Гомологии разбиений с особенностями и их точные варианты тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

/

ТБИЛИССКИЙ 1Т)СУДАРСТВЕННЬЙ УНИВЕРСИТЕТ им. И.Д^АВАХНйВкЗ:

ГОМОЛОГИИ РАЗБИЕНИЙ С ОСОБЕННОСТИ И ИХ ТОЧНЫЕ ВАРИАНТЫ 01.01.04 - геометрия и топология

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата у:зш;о--матстатических наук

На правах рукописл

ИВАНАЙЗЕ Геннадий Бичикоевич

Тбилиси-.^ 20

Раоота вшюлнена на кафедре алгебры и геометрии механико-м г статического (¿акульте^а Тбилисского государственного, университета т. И.Дкава:зшшили.

Каучнил руководитель: доктор физико-математических наук,

академик АН ГССР, профессор Г.С.ЧОГОШБШШ.

Официалы.ие оппонента: доктор фязико-матештических наук,

профессор Е.Г.СКЛЯРЕНКО; кандидат физико-математических наук, ст^н.с. М.Б.БАЛАВШЕ.

Ведущая организация: Математический институт им. В.А.Стекло ва АН СССР.

Бацита диссертации состоится " 19 9 О

в 15 часов на заседании специализированного совета Д 057.03.05 по математике при Тбилисском государственном университете им. И.^кавахшьили.

Адрес: 380043, Тбилиси, Университетская, 2, кеханико-матема-тический факультет.

С диссертацией моено ознакомиться в библиотеке Тбилисского гос. университета ш. И.Ддавахишшш.

Автореферат разослан "ЗД" С£/СУ Л^ЗГ 19 9О г. Ученый секретарь

специализированного совета у^л^и^е^

А 057.03.05, доцент ЬЫ.ЛЩИШШШ

Построение удобных гомологических инвариантов - групп и теории гоиологий - всегда являлось актуальной задачей алгебраической топологии. При построении теории общих (неполиэдральных) пространств, именно гомологии Александрова-Чеха и сингулярных гомологии, возникли две задачи в направлении улучшения и обогащения теории: построение точного варианта теории Александрова-Чеха,классический вариант которой является не точной теорией, и1для сингулярной теории, построение варианта без компактных носителей, поскольку классический вариант был теорией с компактными носителями. Первые точные варианты гомологической теории Александрова-Чеха были найдены А.Н.Колмогоровым (1926), Н.Стинродом (1940), Г.С.Чо-гозвили-(1940), Борелем и Ыуром (1960). Последние крупные достижения по построению точной теории на категории локально компактных

Т 2

¡саусдорфових пространств принадлежат Е.Г.Скляренко и У.Масса . Теория Е.Г.Скляренко, как отмечает У.Маеси, обладает тем недостатком, что в ней слояно определяется индуцированный гомоморфизм. Е.Г.Скляренко объясняет это тем, что "Определяющая цепи и коцепи пространства система покрытий строится неоднозначно". Теория У.Мас-:и, как отмечает Е.Г.Скляренко, обладает тем недостатком, что цеп-иой комплекс строится не непосредственно, а зависит от коцепного кошлекса. Б данной диссертации строится такой точный вариант го-.¿ологдческой теории как на вышеуказанной категория, так и на категории произвольных хаусдорфовых пространств, который лишен обоих «меченных недостатков. Этого ш достигаа.". с помощью введенной I.С.Александровым теории гомологии, осноеэнной на особых подкомп-хексах нервов конечных покрытий, и введенной Г.С.Чогошвили теории ?омологий, основанной на конечных разбиениях. Эти теории стали

[ Скляренко Е.Г. Успехи шт. наук, 24:5 (1969); 34; 6 (1979). ' Масси У. Теория гоыологий и когомологий. Ы. (I9QI); flmer.

Mat fi. Mon. 85:2(i97ô).

объектом многочисленных исследований. Достаточно указать, что теория, основанная на разбиениях, за последние годы исследовалась Ы.Балавадзе, Л.Ыдзинаришвили, Н.Берикашвили, С.Санебледзе, Ш.Бах-тадзе и др. Следует указать, что обобщение данной в этой диссертации теории гомологий хаусдорфовых пространств с локально компактными носителями в направлении теории пучков недавно дал Е.Г.Скля-ренко .

Для сингулярной теории гомологии пространств, являющейся, как известно, теорией с компактными носителями, А.Картан ^ в категории локально компактных пространств построил такой ее вариант, который не является гомологией с компактными носителями. Эти гомологии на категории локально компактных полиэдров совпадают с сшплициаль-ными гомологиями с бесконечными цепями. В диссертации на категории хаусдорфовых пространств построен вариант сингулярной теории гомологии, не являющийся теорией с компактными носителями и обобщающий теорию гомологии Картана. На категории (бесконечных) полиэдров эта сингулярная теория совпадает с теорией сишлкцкальных гомологий локально-конечных цепей, которая, в свою очередь, на категории локально компактных полиэдров совпадает с сиышшциальными гомологиями бесконечных цепей.

Эта история вопроса и связи данных здесь результатов с другими показывают, по нашему мнению, цель, актуальность, значение и новизну диссертации. Работа содержит I4Ü страниц и список из 58 цитированной литературы, состоит vi3 введения и трех глав, разбитых каждая на 3 параграфа.

Перейдем к излокениы содержания диссертационной работы.

^ Скляренко Е.Г. Итоги науки и техники. ВИШТй. Серия Алгебра. Топология. Геометрия, т. 27 (1989).

4 Carton Н:} Semina ere £.MS., /9ча

В § I главы I на категории ^ пар локально компактных ха-усдор^оьых пространств и их собственных отображений построены проекционные гомологии Н* и когомологии Н* , основанные на разбиениях и на особых подкомплексах нервов разбиений. Пусть

в-^ - конечное разбиение локально компактного хаусдорфо-;а пространства X на произвольные подмножества Q,¿ с. X у

(X) - нерв замкнутого покрытия J » А1<лд ~ неРв

амкнутого покрытия ад А -{ j замкнутого подмножества

\ , A¿iM - нерв покрытия 3>A=je¿ílAj , a XL^ - особый одкомплекс нерва Л^ (X) , состоящий из таких сижшексов, верши-u которых не компактны. Если jí -{ ejj - другое разбиение про-гранства X . то в системе 50(X) вводится порядок не

э включении покрытий, а по вклычешю разбиений, т.е. уЗ , ес-I каждый адемент o!j из у? есть подшохество некоторого зле-знта 6¿ из ot. Этим сишшщиальное отобраыенпе ИС,^ : фаделено однозначно. Кроме того, ('/V,/)A) с /V,^, '■ ^ГЛА ) ( М-р) с. 1В дальнейшем, Q - дискрет-

1Я, либо компактная абелеьа группа. Цепной комплекс пары (Х.А)е^б ределяется как С, (Х,А;С) - te* С Л^М, H^UXl^Q) бо как nU,A;G) - L*. С, ) . Группы

молотой пары ( Х,А) определяются как Нр( С*(Х> Q )) , ли, соответственно, как Нр (Г* (Х,А ,Q)) • Доказывается, что эти ределения эквиьалентни. Как видим, определение цепных коудлек-

в не зависит от коцепей. Если -f : СХ.А)-- собственное

эбранение пар и ¿ ={ S¿ ¡j £ (^i) , то di' - -f'1 Ы) = ' f4e¿)j С S(X) и отображение вложения (Д(,-ООД^йЛ,.)--г (A^ÍVj./V^^b'il.^) индуцирует предельное отображение ^ =

: -* G) , которое дает индуциро-

«ый гомоморфизм Нр (Х,А> G)-.обладающий

йстьом функториальности.

Определен связывашций гомоморфизм ; НДХ,А;С]_гНм(А;0)

обладающий свойством ^ - (41а)Р#- ^ кяВДой пари Точна гомологическая последовательность

Связь с гомотопией дается теоремой: Если |0,_у(У,|3)

собственно гомотопные отображения, то =. . Вырезание имеет место в виде: если собственное отображение пар :(Х,А)—■>(У,В) является относительным гомеоморфизмом, то есть изоморфизм.

Следовательно, система Н^ЦНДХ.А^),^,^^ на категории ¿£> удовлетворяет всем аксиомам Стинрода-Эйленберга с вырезанием Е} .

Соответствующая абсолютная теория И также обладает собственными свойствами. Пусть Ы - произвольное открытое подмножество пространства X и А = Х\И- Тогда множество

£>' СХ) =

Л1|| и | ^^ , где - разбиение подмножества А и

^ ^ - разбиение открытого подмножества Ц , кофинально во шо-. жестве £)(Х) . Отображение I : £)(Х)—>£>(¿6]. где ¿(<*)= = (АЛи.={е: для каадого А = {е^ &2НХ) , отображает множество 5)'(Х) на ЗЭ(£б). Доказывается, что если сА'еФЧХ) и Цсф

• то отображение вложения ( ^/¿^ , -^¿ио) -*

— (Л^'(Ц), где №¿[1*-) - нерв системы замыканий^

множеств в пространстве X . а (~ подкомплекс нерва N¿1 {(Л,) , вершинами симплексов которого является некомпактные или пересекаициеся со множеством А множества , и вложение Ц, {^.ЩЛ^и})-Л К- Щ А,.) являют-

ся вырезаниями. Построенные этими вложениями гомоморфизмы

С^-С)--СД^С)-—- ПЛХ.А^) .где

С * ( и- С) = {¿и { С, ( А/<. (и), Лд- (и); а), , Щ являются изоморфизмами. Отсюда заключаем, что для каждой (Х,А)бз£ кндуциро-

нныЗ посредством композиции : СД1ЦС,)-» Г*(ЛА',С)

моморфизм и : _>. является изоморфиз-

м. Это и является свойством вырезания для абсолютной теории на тегории . Отсюда вытекает, что группы гомологии Нр(Х,А;£) впадают с группами НДЯ.А ^С) . где X комшкти$икация Алек-вдрова.

Если ^ - цепь нерва Л^М, ¿ = , а

1 = £(х,и.)Т«< " цепь не^)ва КМ • совпадающая на К (и)

, то порождается эпиморфизмы ; С* (—»-

—> С^Ы^Щ. Их предельный гомоморфизм ^ • СДХ;^)—

_у. являющийся эпиморфизмом, индуцирует гомоморфизм

• -■* НДМ.;^) . обладащий свойствами: при

X • ^(х х) и" ю - игоморфизмы и если Vc.Lt откры-е подмножества пространства X .то = ^и.^'^а) и

= ° 'Цх.и) • 11меет место точная последовательность

ли I.: —> В = ХЧУ - вложение, то = •

ли : X-* У - собственное отображение и (X , V такие

крытые подмножества пространства X и, соответственно У , О = ^ . то = Чи) • ™ ^и.—V

собственное отображение, индуцированное отображением $ этих ловиях, •■Э1х>ххи} г^^уху)' . тав £ : Х\\А—»

собственное отображение, определенное отображением Таким об-зоы. система И, =[Нри,С), ^, ^х.и) . ^(х^ Удовлетворяет ем аксиомам "абсолютной" теории гомологии в смысле Стинрода-ЭЙ-нберга, а такне теории Маеси.

В этом же параграфе строятся и когокюлогил: коцепной комплекс (Х,А; С) определен как предел прямой системы ^СЧЛ^Х), Д, УГЧ* , 5КХ^ . а когокологаи Н^Х.А^)

явлшотся когоыологияыи коцепного комплекса С*с 1Х,А;С). Существует связь между цепями и коцепями С* (= Н^ (С* (Х,А;г),а), где С*(Х,А-2) - свободна коцепной комплекс. Доя этих коцепних комплексов, т.е. для когомологяи, ьхшю доказать все свойства, двойственные нижеуказанным, а затеы, с помощью функтора Но„(-,<£) доказать аналогичные свойства для цепных комплексов, т.е. для го-мологий, как это делает Ыасси.

В § 1.2 определен коцепной комплекс С*(Х,А'}С) над компактной группой коэффициентов, где предел прямой системы | СЧЛ^ (X), А/„,ДА1/-/Ц • С,] , ^ берется в сшсле Г.С.Чогошвшш. Следовательно, определяются группы когомологии С} пары (X,А) над компактной группой коэффициентов. Если ^ а - двойственные группы в сшсле Понтрягана, то группы ИДХ.А^С) и двойственны, а гомоморфизмы и сопряхенны.

Доказано, что если С,' - компактная группа, то последовательность ... _

точна, а если , то системы Н* = |_НРIX,},} и

и С = { Н1 и, А; С,') , сопряжены.

Верна теорема (Двойственность Колмогорова): Если (Х,А) такая локально компактная пара, что НсЛХ;,^') = Н^Н X; $')=0 , то имеют место изоморфизмы Не (А £') ^ Н£и(Х\А,а) и Н,, С А; С)^

В § 1.3 исследуются свойство производного функтора ¿¿_гГк и (1 -аддитивности. Показано, что ¿¿^ Н,(-КЩКаа^^*,»<*) ~ ^ при Ку/ $. и имеют место точные последовательности

нРн(^о<)л ла;—* ндх^)-^ ндл^их^и^-с;—

Из этого устанавливается связь между гомологией Н*. и когомологи-

I Александрова, по-другому доказывается теореш 1.1.2 и 1.1.5. геем: если Х-У Х->_ - дискретное объединение своих зшданутых даространств • то НР(Х;£) = (¡1 .

В § 2.1 главы П, на категории пар хаусдорфовых прост-лств и их совершенных отобрааений построена теория гомологиЛ ^ с локально компактными носителями. Рассматривается сеыейст-всех замкнутых локально компактных подмножеств хаусдор-ва пространства X и семейство Ьх|д всех //«Ах » содер-чихся в А. Система Ьсх,А) ^^ локально компактных пар вида

, где МеЬ^ , А/еДх/д » упорядоченная по включению, шется направленной. Цепной коьшлекс пары (Х,А) определяется < С^'СХ,А;Группа гомологии Нрй(Х,А-,С) Деп-х> комплекса С*с(Х,А;С) в с :учае замкнутого /\ , называется иной гоу.ологий с локально коьщактннш* носителями, а А;С) 'руппа гомологии цепного комплекса . В слу-

: замкнутого Д . имеем = Если ^ ДК,А)—*

(V П>) - соверпенное отображение пар, то отобразение У

М, М)-* (-|ЛМ), {{М} » порожденное отображением ,

уцирует гомоморфизмы

ьные гожыорфизш ^ = : И;с(Х,А;С)—

зимаатся за гомоморфизмы, индуцированные совершенным отобра-хе-л . Аналогично, гомоморфизмы : НР( А/• ) —* гделяют предельные гомоьюрфизмы | : Мр£,А(А;С?)—■>Н?^<к). замкнутых А и ГЬ сужение -|(А : А—» В индуцирует гомоыор-щ ("Яа)* : НрСС А; С )—* НрЧ^С) . которые совпадают с го-■рфизмами ^, Эти гомоморф из т функториалыш. В общем случае определяются связиЕаюцие гомоморфизмы •

НрЧХ,А";<£)-> С А* <2 ^ я проверяется, что =

. а в случае замкнутого А , • Доказы-

ся, что дал кавдой пары(X,А) последовательность

----■НУЧА-.СЙ*'

точна, а в случае замкнутого А » точна последовательность

Пусть и. - открытое подмножество в X и А - Х\(Х. Группа Ир" С) определена как предел прямой системы |

Строится естественный изоморфизм ц^ : Н£"и С.)_>.

-* НрС(Х,А;0-)- Доказывается, что для каждой пары (Х,А) £ ¿5»

имеет место точная последовательность

Для гомотопии имеем: если ; (Х,А)—*■ Ц) - совериенно гомотопные отображения, то ^ • В общем случае вырезание имеет место в виде: если V - такое открытое подмножество X . что \/е.А , то включение j : (,Х\\^А\У)—+(Х,А) индуцирует изоморфизмы ^ . Из этого вытекает, что если А и ГЬ такие замкнутые подмножества X • что А и В = X , то включение j :(ДГ2>ПА)-» (.Х,А) индуцирует изоморфизмы ^ . Другими словами, (X, А , ГЬ) ~ вырезаемая триада для гомологии . Поведение функтора Н^ при относительном гомеоморфизме дается теоремой: если : (.Х.А)--»•(VliЗ) - совершенное отображение, взаимно однозначно отображающее множество Х\А иа , то ^ являются изоморфизмами. Для доказательства этой теоремы используется следующая лемма: если (X,А) ^ ^ , то Нр (Х,А;(5]= = ¿Сю НрСМ^А1 лА- » тае предел берется по всем тем Ме Ц • для которых М\ А плотно в М . Из этой теоремы вытекает следующее свойство: если А - компактное подмножество X . то естественное отображение р : (Х,А)-индуцирует изоморфизмы ^ , Таким образом, на категории $ функтор Н*С удовлетворяет всем аксиомам Стинрода-Эйленберга и является распрост-

ранением теории гоыологий Ц ^ из категории на категорию (ВВ § 2.2 на категории Л построена спектровая и проекционная когомологии. В частности, если (Х,А) е ЗЬ , то коцепной комплекс определяется как С*с ( Х,А:С) = С*(М,Ы: С) ,

(гЬ^) . а группа когомологий Нис1Х,А-,0) - как группа когомологий этого коцепного комплекса. Спектровая группа когомологий определяется как = • Если ;

• (.Х.А1-~ совершенное отображение пар, то определены

индуцированные гомоморфизмы : Н'ДХВ^С)-г Н1С (Х,А;(^

И I"* : НГс^.В-а)-»•' ЙЕЛХЛа;. Определены естественные гомоморфизмы ТС* '• Н^СХДС)—•> А;С] , которые является изоморфизмами, когда ^ - компактна.

Показано, что на категории функторы и яв-

ляются, соответственно,. точными и частично точными теориями когомологий.

Пусть X - паракомпактное хаусдорфово пространство,

- пучок коцепей Александера-Спеньера, д^С*с С Х;,С) - коцепной комплекс Александера-Спеньера с кошахтными носителями. Обозначим д5С*с. (Х-,(3)= ¿ЬГ МСД (М • с) • Построен изоморфизм б£

: мС1с(.Х;С)-г ¿с™ Гс . ко торил естественен при

совершенных отображениях. Рассмотрено отображение ум

: Г(У&*(Х;С))-»¿¿г Г(А*(М;<1)) .. где/(Т)={Т|мИ«А.Х1

для каждого сеченая С(<&*{% ;£)). Доказывается, что если X

- паракомпактное К -пространство, то уи - изоморфизм. При этих же условиях доказывается, что

отображение £ ;

_^ ¿¿^ является естественным изоморфизмом при совершенных отображениях. Предварительно доказывается следундая лемма: если в паракомпактном хаусдорфовом пространстве X каждое замкнутое локально компактное подпространство шляется компактным, то X - компактное пространство.

При замкнутом А обозначил Нр(А5С*ДХ,А',<)) через as Hl^CXjАл С)• Проверяется, что на категории пар хаусдорфо-ькх, паракомпактных К -пространств и их совершенных отображений, функтор МН*С является точной теорией когомологий и на этой :ке категории изоморфна теории когомологий Александера-Спенье-ра с компактными носителями. Построен естественный гомоморфизм

В 5 2.3 доказано, что при двойственных группах коэффициентов имеют место двойственности как проекционных, так и спектровых групп гомологии и когомологий. В частности, если G|G' , то Hí4X,AiG)| Н^СХА,^') -и

Б § 3.1 на категории пар бесконечных симплициальных комплексов и их локально конечных сишлициальных отображений рассматриваются скмплкциальные гомологии с бесконечными цепями, 'удовлетворяющими некоторому условию. Пусть (К,Ц) SK • Дяя каздой вершины (J из комплекса К рассматриваются множества

всех симплексов из К • для которых (5 является вершиной. Аналогично определяется подмножество , О € Ь множества К^.

Локально конечной р -мерной цепью комплекса К над С назы-

_ . jf>

ьается функция Ср , формально записываемая в виде ^ t-L ,

которая каздому симплексу из К ставит в соответствие эле-

мент Ср{ с j группы С, и такова, что Ср не равно нулю лишь на-конечном числе р -мерных симплексов из множества для каждой te € К . Ынонество C/(K;G) Есех локально конеч-

ных цепей образует группу. Граничный оператор ^ : С/(К'; С,)-—' мР'1 ^ ^ определяется формулой СР (С?....., (З^) = = 2 ••.^¿чА^.— .Чд) • где суммирование по

распространяется на все вершины тех симплексов, среда вершин которых имеются вершины С?,,... . угл . Группа гомологи!! второго рода комплекса К по модулю Ь над С является группой гомо-

логий фактор-комплекса С* ( К,и \ £) - Если К- "

вокально конечный комплекс, то группа гомологий Н^(К,ЦС) ;овпадает с группой гомологий бесконечных цепей ии, в терминах Сартана, группой гомологий второго рода.

Если (Р : ( -»(к'.Ь') - локально конечное силплициаль-

юе отображение пар л С, г ?! ^ € С/ ( К ; С ) , то соот-¡етствие определяет цепное отображение ¡| : _* С'ЧК'-С) • которое цепной комплекс

сЛь

;0 отображает в цепной комплекс 0*4 Ь' Сле-овательно, тлеется цепной гомоморфизм ;К.Ь.С)—*СУ(КХ£)

оторцй В ГОМОЛОГИЯХ шщуцирует Г0М0М0рфИЗ.\'.Ы ; _-

-*■ И'/ ( К', Ь'; С) - Проверяется, что индуцированные гомоморфиз-

а функториалыш. Определены связываицие гомоморфизмы

—. Доказывается, что для каждой па-I (К.Ь)еЛ ' последовательность

Гомотопия дается теоремой: если локально конечные симплици-

ыше отображения Г1) ^ : ( К,)-)-являются смежными

мплициальными отображениями, то г Т^* • А вырезание -

оремой: если ; ( К,Ь)--т(К'Л') - отображение вырезания

мшшцшэльных пар, то $ ^ являются изоморфизмами. Таким обро-!,:, на категории ЗК функтор Н1/ шляется точной теорией :.юлогий; называем ее теорией гомологий второго рода.

Доказывается, что группы гомологий второго рода бесконечных лшшциальных комплексов изоморфны пределу пр.'шой системы групп •юлогий второго рода их локально конечных подкомплексов.

Имеем теорему: в категории локально конечных симплициальных

полиэдров я их собственных отобралений теория гомологий Н* совпадает с теорией сш/ллициальных гомологий второго рода (см. [ 4~\ выше).

Построен естествешый изоморфизм : -»■

---^С) симплициальной гомологии второго рода с

гомологией с локально компактными носителями, построенной в § 2.1.

В 5 3.2 на категории $ рассматриваются сингулярные гомологии второго рода. Пусть X € .а Б(^) - шоаество воех сингулярных симплексов С^: Д^ ——X , О . Для каадого компакта р с. X рассматривается множество 6 ^ IX) | (АОЛокально конечной сингулярной р --мерной цепью пространства X над называется функция с^ . сопоставлявшая каздому ^ -мерному, сингулярному симплексу

е БСХ) определенный алемент ^ группы С и удовлетво-рящая следуицим двум условиям: I) мнокество симплексов | € £ ¿рСХ)!^!.^)^^ +0 ^ конечно для каадого компакта Р с. X ; 2) объединение | - локально компактное замкнутое подпространство в X. Цепь С}, запишем в виде = . Множество (X всех локально конечных сингулярных ^ -мерных цепей образует, по сложению,абелеву группу. Граничный оператор % : —определен формулой Ъо.. - ^[^^ЕЛЛТ4- Носитель цепи Я Ч-' % Я£'-СИ I-1 1 с 4в~ У определен как |С1| _ Ц | еСЛ^) \ С^Ссг) = |с ^ о } с X и обладает следующими свойствами: - замкнутое локально компактное подпространство в X ;)°1=0; \ С^иК^!; ^С^ . Группу гомологии Н"(Х;Сг) цепного комплекса Си/(Х;С) назовем сингулярной группой гомологии второго рода пространства X над £ . Если X локально компактное пространство, то группа Н р5 ( X ; С ) совпадает с группой гомологий Картана в его терминах с группой гомологии второго рода [_4~]. Если |:Х-<-У

;овершенное отображение хаусдорфовых пространств, то отобраке-

, определенное соответстви-

£г1Ср) = |г (рТс ' = ' я^е™ "еЕНЫМ ¡юрфизмом. Гомоморфизмы : ЦрЧХ;С)-- Н^( У ; )

иннмаотся за индуцированные посредством гомоморфизмы. Они

икториальны. Сингулярная группа го.мологай гторого рода пары

(,Д) & над есть группа гомологии Н^Х.А;, С) фак-

р-кошлекса А', С ) • Определены связывание гомоморфизмы

: Нр5(Х,А',С) ---- Нр?Д А-С).' Доказывается, что последо-

тельность

Свойство гомотопии дается в виде: если совершенные ото5ра:т:е-я пар : (Х,А)—*(ХВ) совершенно гокотопны, то - ^ . язь с вырезанием дается теоремой: если V - такое открытое под-южество в X , что V <=."иЛА , то отобра-кение вырезания

--"IX,А) индуцирует изоморфизмы Таким

1разом, на категории функтор Н + является точно;'! теорией шологий и на категории совпадает с теорией Картана.

Доказывается, что для хаусдор^оьош пространства сингулярная эупиа гомологии второю рода естественно изоморфна пределу прямой 1стемы групп сингулярных гогдлогии Картпна его локально компакт-¿х замкнутых подмножеств.

Построен естественный изоморфизм ^ : (-г

__„ симплициальной гомологии второго рода в син-

/лярнуы гомологии второго рода.

В § 3.3 на категории хаусдорфовых пространств и их непрерыв-ых отображений с номоцью теорш Гуревича-Дугунджи-Доукера обрат-их систем групп со множеством гомоморфизмов строится спектраль-

нея группа гомологии Чеха. Это позволяет свойство гомотопии (в виде свойства смекности симшшцкал ьн их отображений) применить не при построении групп, а после - при проверке аксиом, как это естественно. Пусть (Х,А) - пара. Для каждого открытого покрытия ске СсУ(.Х,А ) рассмотрим группу гомологий конечных цепей ^к.л-НЛХа,А^С) нерва (Х^.Аа) . а Для пары <¿¿/3 с- СМХ>)

семейство гомоморфизмов ЛГ^ : Н„)Л--Группа НДХ,А-,£)-

предельная группа обратной системы со множеством гомоморфизмов

, > А") ]г • Доказывается, что естественный го-

моморфизм ^ : ИДХ,А;С)—-НДХ.А.С), где К(Х,А-,С)-классическая группа гомологий Чеха, является изоморфизмом.

По теме диссертации опубликованы работы:

1. Иванадзе Г.Б. О спектральных и проекционных группах гомологии. - Л конференция математиков БУЗ-ов ГССР, 1986.

2. Иванадзе Г.Б. О проекционных топологиях локально компактных пространств, основанных на разбиениях и особых подкомплексах / Труды Тбил. мат. нн-та, 91; 4 (1988).