Групповые свойства физических структур тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ



АКАДЕМИЯ НАУК СССР СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ Институт математики

На правах рукописи

Михайличенко Геннади,1? Григорьевич

Щ 512.816 + 514.774 ГРУППОВЫЕ СВОЙСТВА. ФИЗИЧЕСКИХ СТРУКТУР

01.01.04 -геометрия и топология

■Автореферат

диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математнческях наук

Новосибирск,.1992

Работа выполнена в Новосибирском государственном педагогическом институте

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, профессор ЗО.Ш.Еорисоь

доктор физико-математических наук, профессор Ю.С.Владимиров

доктор физико-математических наук, профессор А.М.Шалехов

Ведущая организация - Казанский государственный униг

вереитет им. В.И.Ульянова-

Ленина

Защита состоится "_"__199 г. в "_" ч,

на заседании Специализированного совета Д 002.23.02 по защите диссертаций на соискание ученой степени 'доктора физико-математических наук нри Институте математики СО АН СССР яо еде-су: 630090, Новосибирск, Университетский проспект, 4.

С диссертацией мокло ознакомиться в библиотеке Института математики СО АН ССОР.

Автореферат разослан "_______199 - г.

Учений секретарь Специализированного совета

доктор, физ.-мат. наук В.С.Белоноеов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Физические структуры представляют собой своеобразный математический объект, предложенный Ю.И.Кулаковым (Новосибирский университет^ для классификации физических законов. В последнее.время школой П.С.Владимирова (Московский университет) физические структуры стали применяться для анализа ряда принципиальных проблем теоре^ческой физики, а именно:"обоснования размерности и метрики пространства-времени, развития нового подхода к описания электромагнитного, гравитационного и ими взаимодействий и их объединения, формулировки нового взгляда на епкнорные свойства элементарно частиц. Установление групповых свойств физических структур позволяет более глубоко раскрыть их геометрическое содержание, а также понять эффективность их применения в анализе некоторых проблем оснований физики и геометрии.

Цель работы. В определение физической структуры входят различные характеристики, как-то: размерность исходных множеств, ранг феноменологической симметрии, степень групповой симметрии. Целья настоящей работы бь»о дать естественное в физическом смысле и точное в математическом смысле определение физической структуры, в рамках которого можно доказать эквивалентность групповой и феноменологической симметрии, на ряде простых примеров проверять ее, а также объяснить основные 'соотношения мезеду характеристикам» физической структуры, при которых эта эквивалентность имеет ыгго.

Общая методика иссдсповзния. Феноменологическая симметрия (симметрия в смысле Ю.И.Кулакова) означает существование функционально Я связи мезеду веем« расстояниями для определенного числа точек и тем самым определяет ранг соответствующей матрицы Яксби, который оказывается ровно на единиц меньке числа расстояний. Далее устанавливается, что коэффициенты ли-

иейной зависимости шеду столбца?,и! отой матрица ^адаш' конечномерную алгебру Ли гладких: векторных полей, го есть некоторую локальную группу Ли локальных преобразований исходного многообразия, которая оказывается группой движений. С другой .стороны, групповая симметрия (симметрия в смысле Клейна) означает существование такой группы Ли преобразований, относительно которой метрика сохраняется, являясь ее двухточечным инвариантом. Это, в свою очередь, такте определяет ранг упомянутой вше матрицы Якоби и приводит к феноменологической симметрии. При исследовании конкретных физических структур сначала проводится классификация конечномерных алгебр Ли гладких векторных полей, которые находятся как решения систем дифференциальных уравнений, возникающих из условий коммутирования. Метрика к<е, понимаемая в общем случае только как некоторая функция двух точек,-является решением другой системы дифференциальных уравнений, возникающих из условия ее инвариантности.

Научная новизна. Основным результатом диссертации является обнаружение определяющих групповых свойств бинарных физических структур на одном и двух множествах и установи -. ние для них эквивалентности групповой и феноменологической симметрия. Этот результат на момент публикации соответствующих работ азтора является новым, ранее.» математике неизвестным.

Практическое и теоретическое значение. Значение р боты теоретическое. Установление групповых свойств физических структур дает возмокность проводить их классификацию методами теории групп Ли преобразований. В частности, можно определить все феноменологически симметричные геометрии, в которых метрика рассматривается как невырожденный двухточечный инвариант. В рамках самой теории групп Ли преобразований возникают вопросы их классификации, но не с •.»¡чнойтыо до традиционного подобия, а с точностью до эквивалентности (замени координат) в каадом изоморфном классе, то есть вопроси .классификации локальных действий группы Ли на многообразии. Кроме того, нойш дня теории групп преобразований является воярос об определении условий невырожденности двухточечных инвариантов.

Апробащш. Оеисшшс положения и результаты диссертации обсуждались на следующих' научных семинарах: семинарах лаборатория математической физики ЛОМИ (рук. чл.-норр. О.А.Ладьжен-„ская), семинарах кафедры геометрии Новосибирского университета (рук. проф. В.Ф.Борисов), семинаре кафедры классической дифференциальной геометрии МГУ (рук. проф. A.M.Васильев), геометрическом семинаре МГУ (рук., проф. Э.Г.Позняк), семинаре кафедры теоретической физики МГУ (рук. проф. Ю.С.Владимиров}, семинарах отдела геометрии и анг.лпза Ш СО АН СССР (рук. академик ЗО.Г.Решотняк), семинарах отдела ассоциативных алгебр и колец Ли Щ СО АН СССР (рук. проф. Я.А.Бокуть). Кроме того, результаты диссертации докладывались автором на Всесоюзном геометрическом семинаре памяти Н.В.б|шова (Москва, 1985), Всесоюзной конференции по геометрии "в целом" (Новосибирск, 1987), Всесоюзных Герценооских чтениях (Ленинград, 19£о), ежегодных научних конференциях Новосибирского пединститута, а также на заседаниях Всесоюзной школы-семинара по теории физических структур (-бакан, 1984; Уссурийск, 1987; Пущине, 1988, 1989; Казань, 1990).

Структура и объем диссертации. Объем диссертации - 251 машинописная страница. Библиография содержит 44 наименования. О структуре диссертации и расположении материала в пой можно судить по приводимому ш«е ее оглавлений*.

ВВЕДЕН!®

§Г. Некоторые примеры из геометрии и физики

(стр. 5 - 14) Î2. Основные определения и результаты диссертации (стр. 15 - 27).

ГЛАВА I. Феноменологическая и групповяя симметрии в геометрии.

§1. Феноменологическая симметрия г геометрии

(стр. 29 - 38) §2. Групповая симметрия, в геометрии и ее эквивалентность феноменологической симметрии (стр. 39 - 60К §3. Группы движений феноменологически инзариадтичх

плоских метрик (стр. 61 -77),

§4. Трехмерные алгебры Ли преобразований плоскости (стр. 78 - 102).

§5. Метрика плоской (двумерной) геометрии как двухточечный инвариант (стр. 103 - 117).

ГЛАВА И. Феноменологическая и групповая симметрии в ге~ метрии двух множеств- (теории физических структур) .

§1. Феноменологическая симметрия физических структур I! ее эквивалентность групповой симметрии в геометрии двух мноиестЕ (стр. 119 - 148).

§2. Группы движений в геометрии двух множеств (стр. 149 - 166).

§3, Об изоморфизме и подобии, слабой эквивалентности и аквквалентности групп преобразований, их взаимном расширении и двухточечных инвариантах (стр. 167 - 165).

§4. Четырехмерные алгебри Ли прео(5разований плоскости (стр. 186 -.205). ■

§5. Групповые свойства физической структуры ранга (3,3) (стр.206-215).

56. Групповые свойства физических структур ранга (Я. +1,2) (стр. 216-220).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

§1. Групповые свойства произвольных физических структур (стр. 231 - 244).

52. Некоторые вопросы и замечания (стр. 24о - 247).

Литература - (стр. 248 - 251).

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В §1 Введения сначала на примере евклидовой плоскости пояснено, что значит групповая и феноменологическая симметрии в обычной геометрии одного множества и как следует понимать эквивалентность этих симметрия. Далее рассмотрены второй закон Ньтона и закон Ома з их привычной и феноменологически инвариантной формах. При этом ускорение и ток рассматриваются как "расстояния" мысу/ точками разтечннх множеств (материаль-

- б -

ных тел и ускорителей для случая закона Ньютона, проводнике и источников тока в случае закона Ома). Групповая симметрия этих геометриях (физических структурах) понимается следутцда образом: существуют такие изоморфные группы преобразований исходных множеств, то есть такие в них эффективные действия некоторой группы Ли, относительно которых "расстояние" (ускорение или ток1 является двухточечным инвариантом. Эквивалентность феноменологической и групповой симмзтряй е геометрии двух множеств понимается как их взаимно однозначная обусловленность.

В §2 Введения дается краткое изложение основных определений и результатов диссертации, чтобы можно было получить полное представление о ее содержании до ознакомления с подробностями доказательств.

Приступим сначала к краткому положению содержания §§ I -- 5 первой главы.

г ".Г. Пусть имеется множество ■ 71Ъ произвольно!? " природы, точки которого обозначим строчными латинскими буквами, а так~е функция Ji R , где &s <- Т)Ъ* TJZ> , сопоставляющая упорядоченной паре -<>'j>e. <5/ некоторое вещественное число }C¿J) <£. íl .В общем случае область определения &jf может не совпадать со всем прямым произведением 711 * 7ÍI . Функцию ■/ будем иногда называть метрикой, но требуя, однако, ее положительной определенности и выполнения обычных метрических аксиом, то есть понимая ее только как двухточечную функцию. Будем предполагать, иго выполняется следующее условие:

А. Если две произвольные точки i,j из 772 различны, то для некоторого к в 7Ш либо <¿k> ,<Jk> е С?у - и $<¿k)$fqk) , либо <kl> , ■< kj> е б г и -f(k¿>^

Смысл условия А состоит, прекде вссго, э том, что рассматриваются только такие свойства пространства 71Z , которые выражаются посредством функции j . По метрике j , удов-летв1>)яиие1 условию А, на множестве ПЪ определяется отде-

дкмая в смысле Хаусдорфа тогюлопш атдашгсм системы окрестностей 2/С¿) какдой его точки >- . Топология в УТЬ к ¡ТС других: прямых произведениях вводится обычным образом как про-•изье.цйнне топологий пространств-сомножителей. 3 <5^ рассматривается топология, индуцированная из ПЪ * Ль

Пусть п I - целее число. Для некоторого кортека < к*. „, ки> длиш п из ТТЬ<г введем функцию $ а = 1к1 „, кп~2 [ $ п = ^ [к,, ч- кц~] ), сопоставляя точке с С-:

с 7ТС точку , /(¿кпОбЯ'1 (({(кхс},„,,

$СкпЬ)£$п- ), если ¿¿кцУ , , <1кп>&<5у

, < ¿> ). В отношении пространства ?/Т и исхо-

дной функции ^ будем предполагать выполнение следующих трех аксиом:

I. Область определения 05^ функции ^ есть открыто« и плотное в 71% * 775 множество.

12. Существует открытое и плотное в множество,

для каждой точки которого найдется в Т?Ътакой корте« длины п ^ что дня него' либо отображение / п , либо отобра»е2Л!8 ^ ^ некоторой ее окрестности У(1) в является локальным гочеошрфиямом.

III. Функция у достаточно гладкая в локальных координатах, описанных в аксиоме II, и плотно в "ПЪп' шои -¿тво таких кортежей длиш п- , дпя которых отображение f'г(jn .) имеет ранг /г. в точках плотного в ПЪ мнскестаа.

Согласно аксиома?.! II и III, открытое и плотное в ТТЬ множество является гладким многообразием размерности л-(лем-ыа 2). 'Ьункцж $ , удовлетворякщую условиям аксиомы II", будем называть невырожденной.

Пусть, далее, гп ~/г+2 ъЗ . Введем еще функцию Р , сопоставляя кортежу <\/к к^ъ}?- длины из 'ПЪ 'п точку С , ¡(¿к), , $Ыъ»)€. , координаты которой в т ->■)/£ определяются упорядоченной по исходному кортежу последовательностью значений функции / для ьсех пар его элементов < 1\> , <1 к ,,, , < га> , если ¡эти пары .принадлежа? С?^ . Область определения введенной функции обозначим через €» р

Определение. Будем говорить, что функция / гадььт ?ш мкместве ПЪ феноменологически симметричную

£ -

п, -мерную геометрию расстояний ранга т--п + 2, , если, кроне условия А и аксиом I, II, III, дополнительна имеет место следующая аксиона:

ТУ. Существует плотное в Ьр множество, для каждого кортежа <'-JM . vu:> дятт т = n + z которого и некоторой его окрестности V (¿¿J к >.,им>) найдется такая достаточно гладкая, функция СР £ ~ R , определенная в некоторой области £ с: Й m < п' "J, содержащей точку P(<Lj к ,.,v м> ) , что в ней ¡j~rcw/ ср Ф О и множество F(ti(<tjk k<vzo>)) является -.эдмнояоетвем иночества нулей функции СР , то есть

' J(ih) " •" J(vv>) = о

для всех- кортежей из 'U(<ijk,,,

Аксиома TJ составляет содержание принципа феноменологической симметрии в теории физических структур.

Те'ореяа, Для того, чтобы фикция / , удовлетворяющая условию А и аксиомам I, II, III, задавала на множестве 771S фергменологически симметричную п -мерную геометрия расстояний ранга m = п + 2 . необходимо и достаточно, чтобы ранг отображения Г был равен т Ст -jf./Д? - i на плотном в & р множестве.

Ил стой теоремы следует, что множество значений с.тобра-кения F локально совпадает с множеством нулей функции , а не только является его подмножеством.

•!?LF2LJ.' Преобразование л кнотества ITC называется движением, если при нем сохраняется метрика J . Последнее означает, что для каждой пари >~€ Gj тлеет место равенство

-¡(ШЛ <j})=f(ij),

если пара . Мнокество всех движений

есть группа, для которой функция / является двухточечны?,! инвариантом. Если метрика § ■ известна, то условие ее сохранения приставляет собой функциональное уравнение относительно

о

преобразования ^ .

Определение. Будем говорить, что функция $ задает на множестве 7)Ъ п. -мерную геометрию расстояний, наделенную групповой симметрией степени п (п + ±)/2 , если, кроме условия А и аксиом I, II, III, дополнительно имеет место следующая аксиома:

1У'. Существует открытое и плотное в 41% множество, для каждой точки i которого определено эффективное гладкое действие гь(п-и)/э. -мерной локальной группы Ли в некоторой окрестности V(¿) , такое, что действия ее в окрестностях' 'UCi-i , K(j) двух точек <- , j совпадают в пересечении K(l> /1 Ucj) , и что функция / является двухточечным инвариантом.

Группы преобразований, о которых говорится в аксиоме 1У', определяют локальную подвижность "твердых тел" в /г.-мерном пространстве Т}% с ti(nt"J-)/Z степенями свободы, такую же как у твердых тел в евклидовом пространстве. Заметил, однако, что глобальной подаинности при этом может и не быть. Будем говорить также, что метрика / допускает локальную группу локальных движений с tx(n+i)/Z степенями свободы.

Теорема I. Для того, чтобы функция £ » удовлетворяющая условию А и аксиомам I, II, III, задавала на множестве 17Ъ гь -мерную геометрию расстояний, наделенную групповой симметрией степени ri(n +, необходимо и достаточно, чтобы ранг отображения - F' был равен m (m -1)1?. -- 1 на плотном в lУ р множестве.

Итоговым результатом §1 и §2 гл.1 является установление эквивалентности феноменологической и групповой симметрии в п. -мерной геометрии расстояний:

Теорема 2. Для того, чтобы функция j задавала на множестве 7П феноменологически симметричную П. -мерную геометрию расстояний ранга п Z , необходимо и достаточно, чтобы эта функция задавала на Т1Ъ "I -мерную геометрию расстояний, наделенную групповой симметрией степени n(t\+i)fZ,

Заметим, что необходимое и достаточное условие теоремы чз 51 и теорема 3 из §2 о ранге отображения Р можно было .бы включить,в определение /г -мерной геометрии расстояний, яиторая была бы, а одной сторону, феноменологически симмет-

- ТО -

рична, а с-другой, наделена групповой симметрией соответствующей степени, причем обе симметрии били бы, согла.но теореме 2, полностью эквивалентны.

Основные определения, результаты и методы исследования по §5 I и 2 гл.1 опубликованы в работах /3/, /5/, В последующих трех параграфах первой главы эквивалентность феноменологической и групповой симметрия детально прослеживается на примере двумерных (плоских) геометрий.

§3 гл.Г. Ранее автором методам, разработанным ira в теории физических структур, были найдены чсо невырожденные феноменологически инвариантные плоские метрики /I/. Выпиием здесь их локальные координатные представления с точностью до акви-валентности (замены координат на плоскости) и переобозначения

у/Г/7 . где У - произвольная функция одной пере-

менной :

f(ùj) = (xî¿J -асф)л + cycij - ytj>), ftijj = COS y Ci) COS <f(jj co$ (XCc) - X (J)) ± S ta if Ci) sin ycji, J-(Lj) - shymsh y (J) с os (oc a)~ z (J J ) - chytl)c h ijij) 7

f(LJl - fx H) згcj>f - CyCh - ycj/} \ f(£jj = ckyU}chy(j)cos(xci)~xij>)-shyU) shyijf,

jCtjl = x tl) - a <j)#U} , 4UJJ = (xii) - x<J>).d С ~УФ) /(¿J) s бocci)--*ij})/(y(i) -£/(j)) t- in l$U)-y(JJl,

jaj) = 6n ((xii) - X(jj) (yd) - Уф)*) + + (xcCj-x<j>)/(ytt)/ ■

xaj)=((OCCi) -XCj))* 2ci) Ej у *cj))/yci) y</V,

где Ы. ф^ , с1 Ф О . . , = С, + 1,

~ 1 , причем не обязательно - 6у .

Первые семь выражений определяют метрики известных геометрий: евклидовой плоскости, двумерной сферы, плоскости Лобачевского, плоскости Минковского, двумерного однополосгного гиперболоида в трехмерном псевдоевклкдовом пространстве, сим-плекткческой плоскости, симплициальной плоскости. Восьмое и девятое выражения, по-видимому, до настоящего времени в геометрии не рассматривались. Последнее, десятое, выражение определяет метрику на несвязном двумерном многообразия, на связных компонентах которого будет либо симплектическая плоскость ( £1. ~ £/= О ), либо плоскость Лобачевского ( £1 ~ ~ - + 1), либо двумерный однополостной гиперболоид (€г =

Если метрика / известна, то можно найти такие преобразования плоскости

а-.' = Асаг,^; , У' = &<х,у),

которые ее сохраняют. Относительно функций А и & из условия сохранения растонния ^ получаем функциональное уравнение

* (А И), 6ТО.А ф, 6(/0 (*<■ И, №, * (/Л!?'(/;),

которое решается в §3 гл.1. Оказалось, что каждая из выписанных вше десяти плоских метрик допускает не более чем трехпа-раметрическу» локальнуо группу локальных движений в соответствии с общими результатами §§ I и 2 гл.1. В качестве иллюстрации приведем ниже яьные задания групп дзикений только для четырех последних ("экзотических") метрик:

х' = а ос + с ,

у' - ■¿у сС »

причем £7 £ к С( >0 ,

в>0

х' = а х 6 у + с, | J

причем >£ о £п а = о и с > (? ;

у'+ c¿, J

причем £п (as+ t- ^ü icíg ^/а # , (£?Х + ё)(СХ + c/j t- OCfyl (С ¿X 'Г с( ) ¿

Х- -

У

причем

= ±

§4 гл.1. Из результатов предыдущего параграфа следует, что всякая феисменолох'ически инвариантная' -двумерная метрика является двухточечным инвариантом некоторой трехпараметриче-ской группы преобразований плоскости. Естественно возник вопрос: всякий ли невырожденный двухточечный инвариант трехмерней группы Ли преобразований плоскости феноменологически инвариантен? Для ответа на этот вопрос автор в §4 гл.1 проводит полную классификацию трехмерных алгебр Л», преобразований плоскости (то есть гладких локальных действий на плоскости трехмерных локальных групп Ли) с точностью рп эквивалентности (обратимой замены.координат). Исходной была хорошо известная, полная с точностью до изоморфизма, классификация трехмерных вещественных абстрактных алгебр Ли, заданная коммутаторами , СХзДЛ , ее базисных векторов

Xi , Л г , Хз . Подставляя в оти глшутаторн операторы

■з

- ТЗ -

где- оС - 1,2« 1 , получаем систему дифференциальных уравнений относительно коэффициентов »блС^у) , решение которой и дает для каждой отдельной абстрактной алгебры ее реализации линейными операторами преобразований плоскости. Полученная классификация сопоставляется с соответствующей классификацией С.Та!, которая была проведена им с точность» до подобия, то есть с точностью до слабой эквивалентности б каждом изоморфном классе, доцускадщей при сравнении двух алгебр, кроме замены координат на плоскости, еще и автоморфкое преобразование базиса одной из них. Отметим, что в более тонкой_ классификации автора имеются неэквивалентные локальные действия, которые С.Ли в своей классификации отождествляет:

X, -А: , Ха~- у^- » =

с коммутационными соотношениями

-О, СХгЛЛ -Ха;

а также

Х^Э* , Х^Р* . X, - ^ * Р» -)

с коммутационными соотношениями

[X,,Хд] - о , [X,., X,3 -- -хх ? [ Х,,Хз1 - ,

где 6 - ярлизьольная постоянная. В соответствующих иэоморф-1Г!.пс классах С.Ли оставляет в своей классификации тгтко следующие алгебра:

- 1-3 -

Xi ^л = yr\c , X I ~ ; X^^ , XL> - , X,j -A. + , Kj. = 0>x , X* - % . Хз = X í ^ ,

хотя, например, выражения с разними значениями постоянной д определяют различные неэквивалентные локальные действия на плоскости соответствующей трехмерной локальной группы Ли.

Отметим еще, что решенная р Й гл.1 задача восходит к той, которую сформулировал А.Пуанкаре з его известной работе "Об основных гипотезах геометрии"(Г8Я7): "какие заключения можно извлечь", исходя из предположения, что 'необходимши и достаточными условиями плоской геометрии являются гипотезп:

A. Плоскость имеет два измерения;

B. Положение плоской фигуры в ее плоскости определяется гремя условиями?

Результаты 54'гл.1 и подробная методика их получения опубликованы в работе /2/.

§5 к.-л. Последний параграф первой главк посвящен гичис-гениго всех двухточечных инвариантов трехмерных групп

Ги преобразований плоскости, являющихся решением следующей системы дифференциальных уравнений:

+ =<J -

ричем,выражения для базисных операторов Х-л - берут-

я по классификационной теореме §4 гл.1. Алгебры Ли с базисами операторами Xjí'-J 'и , имея в соответствующих азисах одинаковые структурные констант: , изоморфны, ко не бязательно эквивалентны. В работе /4/ последовательно для

возможных пар этих операторов находятся рекення системы равнений, записанной выие. В §5 глЛ основьые приеьга решения оказаны на нескольких типичных случаях и перечислены все во-гочотке двухточечные инварианты, которых полупилось 32, как грождпннж, так и не вырожденных. Оказалось, что полностью

невырожденные двухточечные инварианты совпадают с невирокден-нши феноменологически инвариантными плоскими метриками. Этот результат на примере плоских геометрий подтверждает эквивалентность феноменологической и групповой симметрии в геометрик.

Перейдем теперь к кратком/ изложению содержания $§1-6 второй главы.

§1 гл.II. Пусть имеются два множества 7ГЬ и произвольной природы, в общем случае различной, точки которых будем обозначать строчными латинскими и греческими 'буквами соответственно, а такке функция , где с

с 775*75 , сопоставляющая паре <Ld> C&g некоторую _то~ чку fdcL) = (j^CLd}, ,<• > -Js(i-<£)) /? , тс есть некоторую совокупность S вещественных чисел, причем S > i , Будем предполагать, что выполняется следующее условие:

А. Если две произвольные точки i,j из 775 ( <i'f> из Ть ) различны, то для некоторого УеЛЪ ( к €.71% ) пары

<Lf>,<jY> £ Gj. ъ ¿(¿рФ fgy} {<kd>,<kji> e&j и J(kd)

По функция f , удовлетворяющей условию А, на мнокест- . вах 77? и 71 определяются отделимые топологии заданием систеш окрестностей "Uli) и VCJL) всех точек 1 е 77S и , ¿.е-ТЪ ,

Пусть m ъ i. и п>, i - целые числа. Для некоторых кортежей Jfm > £ длины m и <f kiu, kn> € 77tn

длины n введем функции /'^-//¿'i'" и 1(.,киЗ ,

сопоставляя точкам t. <~ 77% и <t е 7Ъ точки ,,,,, ,

И (j(k.J!,,,,, Rsn , если пары

, *->fm> и кnai> принадлежат .

В отношении множеств 7Г£ , 75 и исходной функции будем предполагать выполнение сяедукщих трех аксиом:

I, Область определения функции j' есть открытое

и плотное в 7Г6 * множество.

П. СущестЕувт открытые и плотные в "775 и мно-

жества, для любых точек ü и cü которых найдутся в Т2"71 и . ;7Tön". такие кортежи длины тип, что для них соответствующие' отображений ;/'п и некоторг-ix окрестностей

'U(i) и i/CU) в Rs,rt и Rsa являются локальными тагаоморфизманн,

III. ¡функция J достаточно гладкая в локальных координатах, описанных в аксиоме II, и плотны в 7£т и тожества таких кортежей длины тип. ,для которых соответствующие отображения Jт и / ^ имевт ранги S m и 5 ^ з точках плотных .в - 1ТЪ и множеств.

Соглайно аксиомам 11,111, открытые и плотные в ТТь и ТЬ множества являются гладкими многообразиями размерности $т и srt (лемка 2). Функции , удовлетворяющую услови-iM аксиомы III, будем называть невырожденной.

Введем еще функцию F , сопоставляя кортежу -с ¿Jк, ,V-,xiß^,„V> длины m + <а + 5 из Ш y-g™*1 точку fCU),jCLf), ,/а1-г))ей5<гп,1Хг-+г>, координаты которой шределяотся упорядоченной по исходному кортежу последовате-[ьность» значений функции f для всех пар его элементов: :icL>, <iß> , ,,, ,<г>z> , если эти пары принадлежат &S бласть определения введенной функции обозначил через Gp ,

Определение I. Будем говорить, что функция / задает на множествах ТТЪ и Т6 физическую структуру -анга (rt-+ifmi-l) и порядка 5 , если, кроме условия А аксиом I, II, III, дополнительно имеет место следующая ак~ иома:

1У. Существует плотное в &f множество, для каждого ортеиа < ¿Jk длины rn + n + Z которого и

екоторой его окрестности К(<С <•< t>) найдется такая доста-очно гладкая функция Ф' ё R5 , определенная в неио-opott области ßc.pxSCrn^i'i(n-+t) , содержащей точку ^(¿l,., tr> ) , что в ней ранг функции °Р равен S и шо-ество является подмножеством множества

улей функции СР , то есть

<P(J(£*>,fcif), ,„, fco*)) - О

ля всех кортежей из

Аксиома 1У составляет содержание принципа феноменологи-эской симметрии в теории физических структур, предложенной грвокачалъно (см. Кулаков Ю.й. Элементы теории физических

- Гг -

структур.-Новосибирск:НГУ,i960) для классификации физических законов. Уравнения p v - О , то есть = О ,,,, - О , задают 5 функциональных связей между s cm + х)(п из-

меряемыми в опыте значениями физических величин f - ,

Уs) и являются аналитическим выражением физического закона, записанного в феноменологически инвариантной форме. Условие па ранг функции означает, что уравнения <р ~ О не сводимы друг к другу, то есть независимы. Заметим также, что не всякая функция может задавать физический закон, и потому одной из основных задач теории физических структур является перечисление всех возможных феноменологически инвариантных: форм физических законов, то есть их полная классификация.

Функцш - / = С/'1» «<"/*) можно рассматривать как своего рода з -мерную метрику в геометрии .гчух множеств. Скажем тзкке, что функция f задает на множествах Wb и 1Ъ феноменологически симметричную (Srm, SU) - мерную геометрию ранга Crn-±,m + ¿) .

Преобразования А и & множеств 77Z и 7Ъ называются движением, если при них сохраняется функция У , то есть для каждой пары <td> €. Qj , такой что <\(¿),6'Ы) > е е , имеет ыестс равенство

JcAen, = .

Множество всех движений есть группа, для которой функция ' (метрика') у является двухточечным инвариантом.

Определение 2. Будем говорить, что функция У задает на ынояестэаг 7П и 7£ ( $т, s п. )-мерную геометрия, наделенную групповой симметрией степени srnn , если, кроме условия А и аксиом I, II, III, дополнительно имеет место следующая аксиома:

1У Существуют открытые к плотные в к мно-

жества, для всех точек I к <L которых определены эффектиа-нне гладкие действия srnn. -мерной локальной группы Ли в некоторых окрестностях K(t-) п 2/CU) , такие что действия ее в окрестностях 2/(1) , U<j) и WW , У(р) точек и

р совпадают в пересечешях Vci) П U(J) и Ъ(Ы) i) l/( pj и что функции У является двухточечным инвариантом.

- тО -

Группы преобразований, о которых говорится в аксиоме 1У', определяют локальную подвижность жестких фигур ("твердых тел") в ,$п) -мерном пространстве 'ПЪ* 71 с гт а степенями свободы.

Теорема I. Если функция £ задает множествах ТГЬ и ?'& ( 5/»г,5/г )-мерную геометрию, наделенную групповой симметрией степени ¿гпц, , то она на тех же множествах задает физическую структуру ранга I, П1Ч-1 ) и порядка 5

Теоремам Если функция - $ задает на множествах 71Ъ и физическую структуру ранга Сги-1,т+±) и порядка 5' , то она на тех же множествах задает ( мерную геометрию, наделенную групповой симметрией степени

Эквивалентность феноменологической и групповой симметрии С5т,$п) -мерной геометрии, задаваемой на двух множествах 71% и 1Ъ функцией ^ , непосредственно вытекает из сформулированных выше теорем I и 2.

Основные положения и результаты §1 гл.11 опубликованы в работах /б/ для $ - I и /II/ для . Однако физичес-

кие структуры порядка 5 в случае $ ъ И еще не все найдены. Часть их для й = 3. , например, может быть получена ком-плексификацией соответствующих структур порядка I или их тривиальным наложением.

гл.11. Ранее автором были найдены все функции £ , задающие на многообразиях 772 и ТС размерности ^ и п физические структуры ранга (пг I, т-ц.) и порядка I (см.ДАН, 1972,-Т.206,№5,-С.1056-1058). Выпишем здесь их локальные координатные представления с точностью до эквивалентности (замены координат в 71Ъ и 7% ) и переобозначения £ , считая для определенности, что >тг п- :

т - I , гь- 1 ;

У = ? ;

га = ± , п 2 :

т= 1,

т - п >, 2,'

У = + .„ 4-

" /гг п-г 1 2:

У „ а: + ... + +

Для всех остальных пар значений цэлых чисел ^ к П- физические структуры ранга 1 ,т +1) и порядка I не существуют . • Если функция $ известна, то преобразования

X' = А(*С), (Я

многообразий ^/Ъ и , составляющие движение, являются рвавшем функционального уравнения ' :

В §£ гл.11 дли каждой из перечисленных вше шести функций находятся полные локальные группы локальных движений как решения. соответствующих уравнений сохранения, причем на функции А к 6" , кроме гладкости и локальной обратимости, никакие другие условия (например, линейность или аналитичность) не налагаются.

Г е-о р ь и а X. Полная локальная группа локальных

зижений в геометрии двух множеств с одной из икт-'сяийи.< им-ч метрик задается следующими локальными преобразованиями чогообразий Ш и 75 :

т - 1, £

х/ = х + а, =

т = 1 , п Г 2 ;

= , ?. - ¿Г/Я ,

тем С1 > О \ т -1 , « = 3 : Х'= (ОЗС+^СЛг^, '= Г -с- С.Л, |

р' = (я?~>6тЛ-с1Г), ест«*.. ¿у^-еЛ , ]

шеи ас1- ~ / . га - п >/ 2 ;

сс'= гх. а. , f' ~ £? £ ,

в О,- - квадратная матрица порядка т с с/г'Гй > (9 , -ратная к ней матрица, X - строка длш:ъ: № , ^ - столбец соты лг ;

х' X,т =г се"*-* эсс 1

_ » ,

й ^ - квадратная матрица порядка_ -1 о с1*Ьи>0 ~ обратная к ней матрица, ОС , # ■ стр-лси уннм

, £ ... отолоц'л высоты /71 - i

т п - I "я- 2

се,' = ха + 6 , £' а £ ,

где а ~ квадратная матрица порядка т с с^е£(Х>0 СХ .. обратная к ней матрица» (X, & - строки длины т 1 £ столбец высоты т. ,

Все перечисленные в теореме группы движений завися" от конечного числа параметров, максимальное число которых, в со- ~ ответствии с общими результатами §1 гл.11, равно тгь , то есть произведению-размерностей многообразий 1ТЬ и 1Ъ , так как Л ~ ± (Для сравнения заметил, что в п, -мерной феноменологически симметричной геометрии одного множества с одним расстоянием это число равно ¡ъСПч- (<2 ). В каждой из групп движений группы преобразований многообразий и

Г£> , шея одну и ту же параметрическую группу, изоморфны, но не обязательно эквивалентны, то есть не обязательно переходят ^руг в друга цру некотором локально обратимом гладком отображении 'р: 7?& 7Ъ . Эквивалентность имеет место только в однопараштричесной группе движений сс' •= :зс V- а ~ ~ ¿1 для случая т = п = 1 , так как в ней каждое движение состоит из двух локальных одномерных параллельных переносов'на прямой. Неэквивалентность в группах двкяений для случая гп-^гь обусловлена тем, что преобразуемые в них мно~ гообразил 7ТЬ и имеют различную размерность. В группах движений для случая т - л. ъ 2, 3?и многообразия имеют одинаковую размерность к естественно было ожидать эквивалентности груш их преобразований, однако имеет место следующая теорема:

Теорема 2. Локалкме групш локальны,: преобразований многообразий ТТЪ и Т1- , задающие группы движений для случая т - п г, ¡2, , неэквивалентны.

Отметим, что от и группы 0'<а5ывгз»тся слабо эквивалентными. Результаты §2 гл.И бьгли дплояены автором на Всесоюзной конференции по геометрии, проза;дившей в Новосибирске в 19В?

- Г2 -

году /10/ и опубликованы в работе /12/.

§3 гл.II. 8 этом параграфе детально рассматриваются вопросы классификаций групп преобразований, играющие особую роль при вычислении двухточечных инвариантов. Дело в том, что обы- ( чно эта классификация проводится с точностью до подобия, то есть с точностью до слабой эквивалентности в каждом изоморфном классе действующих групп, когда при сравнении действий допускаются как замена параметров в действусщей группе так и замена координат в преобразуемом многообразии. Но слабая эквивалентность нз всегда равносильна эквивалентности, допускающей при сравнении действий только замену координат, в том случай,. когда действующая (параметрическая) группа имеет внешние автоморфизмы. Например, для двух эквивалентных четырехмерных групп Ли преобразований плоскости с базисными операторами (векторными полями)

соответствующих алгебр Ли двухточечный инвариант тривиален:

. . / = соаН,

з то время как для слабо эквивалентных (то есть таких, которые С.Ли в своей классификации не различает), но не эквива-гентных групп с базисными операторами

оответствующих алгебр Ли этот инвариант невырожден:

Обсуждения вопросов ".;лассификаши групп преобразований > сшие заяач, возникающих в теории физических структур, автор поевгтил работу /8/, а также выступление на Всесоюзном семинаре памяти К.В,Ефимова /7/.

В §4 гл.II проводится полная классификация четырехмерны* алгебр Ял преобразований плоскости (семейств векторных пояей) с точностью до эквивалентности в каждом изоморфном классе алгебр Ли соответствующих групп Ля, действующих на плоскости. При проведении этой классификации использовагись, с одной стороны, классификация вещественных четырехмерных абстрактных алгебр Ли, ас, другой, методы и результаты §4 гл.1, поскольку у каадой четырехмерной алгебры тлеется трехмерная подалгебра. Полученная классификация сравнивается с соответствующей классификацией С.Ля. Проведенное сопоставление показывает, что в предзлех подобия имеется взаимно однозначное .соответствие между м.Ьяеством всех четырехмерных алгебр по классификации С.Ли и множеством четырехмерных алгебр по классификационной тесреме §4 гл.II. Таким же был результат сопоставления;, проведенного - конце §4 гл.1 для трехмерных алгебр Ли преобразований плоскости, Однако, если только две трехмерные алгебры из классификации С.Ли допускали уточнение в пределах эквивалентности, то г четырехмерном случае таких алгебр значительно бояшз.

2_1§_,глЛ1 изучается групповые свойства физической структуры ранга (3,3) и порядка I, задаваемой на двумерных многообразиях ПЪ и с локальными координатами Х-, у и %> Р функцией ^ ( У * £ * ?) , дсцусиающей четырехмерную группу двгих-нчЧ. Рассматривая функции / как невырожденный двухточечный инвариант четырехмерных групп Ли преобразований плоскости к используя классификацию предыдущего §4 гл.11, автор уртьнавнквйет, что с точностью до замены локальных координат в ?ТВ и 1Ъ и переобозначения Ч'(* / существуют два и только два таких инв&рианта, задаваемые следующими шраяенкями.: £ - эс £ + у р и $ ~ зс§ + р . Отмечено та-ккз, что ни о;, ш из них не монет быть получен, если исходить из обычной классификации групп г .-еобравованип с точностью до

/

цобия (слабой зквавалэнтноетк). Таким образом, уточнение в эделах эквивалентности классификации С.Ли, осуществленное а глЛГ, при вычислении двухточечных инвариантов оказывается )бходимым. Результат; §4 и гл.П опубликованы в /9/.

?б гл.П пссвяц~н изучению групповых свойств фиаичеоких )уктур ранга (п. * i } Z) и порядка I, задаваемых на одномзр-! и П -мерном многообразиях 77S и ?*£ функцией x'gfL,i,,,f'%) , допускающей П. -мерную группу движений, .ссификацгш всех групп Ли преобразований прямой с точностью подобия (слабой эквивалентности) провел в свое время сам и и уточнение ее з пределах эквивалентности не изменило го результата. Далее находятся с точность*, до эквивалент-ги в соответствующих изоморфных классах двумерные алгебры преобразований плоскости и трехмерные алгебрн Ли преобра-аний трехмерного пространства. Для гг ~ г , 3 доказа-что с точность» до замены локальных координат в 77£ и • и переобозначения {ytj) £ невырожденные деухто-®е инварианты определяются следующими выражениями: / - • : + £ дня 11 - i , j = ос f -t- 2 для гъ ~ Z , £ ;-fx £ t-)/С х т- тУ) для п~3 . Для случая nz-4 физические 'ктуры ранга С¡ги порядка I не существуют, так максимальная размерность групп Ли преобразований прямой а трем. Результаты §6 гл.П опубликованы в работе /13/.

В главах I и II были определены бинарные физические стру~ и, когда функция f сопоставляет число паре точек. Ви~-не структуры естественно определяются на одном и двух мно-вах. Функция j" для них допускает нетривиальную группу зний с конечным числом параметров, которое било названо гнью групповой симметрии. При определенных соотношениях Г рангом физической структуры, числом параметров группы гний и размерностью множеств групповая и феномонологичес-пашетрш соответствующей геометрии оказываются эквивалент. Эти соотношения были заложены в определение фнзичес-¡труктуры, ее феноменологической и групповой симметрия.■ :тврнно возникает вопрос об их происхождении и сбоснова-Кроме того, имеется несколько возможностей обобцзшя и

%

развития понятия .физической структуры, одна из которых 6011а реализована в §1 гл.II. когда двум точкам из разных множеств сопоставлялось 5 действительных чисел, где 5 > 1 ( 5-метрические физические структуры). Другая возможность реализуется в определении тернарных физических структур, например, когда функция £ сопоставляет число не паре точек, как в случае бинарных структур, а трем. Тернарные физические структуры .могут быть определены на одном, двух и трех множествах. Однако предварительное исследование показало, что тернарные структуры в их естественном определении, в отличие от иинар-ных, никаких групповых свойств не имеют, то есть соответствующая функция ■£ не допускает нетривиальную группу движений. Возникает поэтому еще и вопрос о внутре; * их причинах такого раг.ичия мекду бинарными и тернарными физическими структурам?

В $1 Заклмче'тчя, исходя из более общего определения физической структуры, автор сделал попытку ответить на вопрос с соотношениях между рангом физической структуры, степенью ее групповой симметрии и размерностью множеств, а также на вопрос о причинах разлк^я групповых свойств бинарных и тернарных физических структур. Естественно предположив, что толькс те структуры содержательны в физическом и математическом смыслах. которые наделеяы нетривиальными групповыми свойствами. Групповой симметрией могут быть наделены только бинарные физические структуры на одном л двух множествах, для которых эта симметрия язляется определяющей. Последнее означает, что функция ^ будет -задавать бинарную физическую структуру в том и только ¡а том случае, если она допускает нетривиальную конечномерную группу двикений. Условие наделения физической структуры групповой симметрией определяет ее степень, устанавливая связь этой степени с размерностью множеств, рангом и порядком структуры. Результаты §1 Заключения опубликованы в работе /14/.

В §2 Заключения обсуждается и другие вопросы и задачи, естественно "озникшие по ходу исследования, а также дополнительнее возможности дальнейшего содержательного обобщет?" и развития понятия физической структуры. Одной из ияпботео вак-

ньтх задач является установление тех структурных ограничений на группы преобразований, которое вытекают из условия незыро-«денности двухточечного инварианта. Решение этой задачи позволило бы без предварительной полкой классификации групп преобразований, с одной стороны, находить все физические структуры, если они существуют", а с другой, не вычиг. =ш двухточечных инвариантов, установить, в каком случае они мсгут или не могут.существовать. Например, известно, что бинартаге физические структуры ранга (п * 1, 3) и порядка I для гг ъ Ч не существуют (см. §2 гл.II), хотя .имеются <2п.-мерные группа преобразований плоскости { } и п -мерного пространства ,,,, , необходимые для вычисления соответствующего

двухточечного инварианта f 1гп) . Быто бы жела-

тельно понять'этот нетривиальный факт еще и из общих" групповых соображений;

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Михайличенко Г.Г. Двумерные геомотрии//Докл.АН СССР.-1961.-Т.£60,М.-С.603-805.

2. Михайличенко Г,Г, Трехмерные алгебры Ли преобразований плоско сти//Сиб. мат. «урн. -1982. -Т .23,.¥5. -С. 132-141.

3. Михайличенко Г.Г. О групповой и феноменологической симметриях в геометрии//Докл.АИ СССР.-1983.-Т.269,Ш. -С. 2 &4-288.

4. Михайличенко Г.Г. Метрика плоскости как двухточечный инвариант/Ред."Сиб.мат.жури."-1984.-36 с.-Деп.в ВИНИТИ 30.10. 84,$6980-84.(Реферат//Сиб.мат.«урн.-1985.-Т.26,№5.-С.198).

5. Михайличенко Г.Г. О групповой и феноменологической симметриях в геонетрии//Сиб.мат.«урн.-1984.-Т.25,№5.-С.99-113.

6. Михайличенко Г.Г. Феноменологическая и-групповая симметрии в геометрии двух множеств (теории физических структур) //Докл.АН СССР.-1985.~Т.284,М.-С.39-41.

7. Михайличенко Г.Г. Некоторые замечания к классификации Ли групп преобразований//Вест.МГУ.Сер.I.Математика, механика. -19-36.-К.-С .93.

8. Миха&личенко Г л'. Некоторые замечания об изоморфизме и подобии груш преобразований, юс расширении и двухточечных инвариантах/Ред."Скб.мат.яурн."-1987. -13 с.-Деп.в ВИНИТИ 29. 05.57 ,!#335&-В£Г/. (Реферат//Сиб .мат .жури. -1959. -Т. 30 ,М. -С. 223

9. Шгхайдйченко Г.Р. Групповые свойства физической сгру ктуры ранга (3,3 У?ед. "Сяб.мат.курн,"-19 £7.-22 с.-Деп.в ВИНИТИ 29.05.87,№3855-53?. (Роферат//Сиб .мет. «урн. -19®. -Т. 30 ,-»1. • С.222). *

10. Млхайличенко Г.Г. Группы цзижен;*й в геометрии двух мнс;,;еств//Всесосэнан конференция по геометрии "в целом,' Новосибирск, сентябрь 1987 г.:Тез.докл.-Новосибирск,1987.-С.65.

11. Иихайличенко Г.Г. Групповые свойства физических етру ктур/Ред."Сиб.ыат-.г.урн."-19®.-35 с.-Де-; в ВИНИТИ Ю.О'З.®,» 15В4-ВШ.' Реферат/,'Сиб.мзт .журн. -1990. -Т. 31 ,$3»-С .210}.

12. Мюсайли-однко Г.Г. Группы дгггяеаий в геометрии дьуя мкодаств/Ред."Сиб.чат.курк."-1989.-18 с.-Деп.в ВШИГИ 26.09. ®, ,76016-889. (Реферат//Скб .ыат. журк.-1990. -Т. 31 5. -С .204).

13. Мпхайличенко Г.Г. Групповая симметрия в геометрии дэух мно*еств//Укр.ыат.яурн.-19®.-Т,41 ,-0.1501-1505.

14. Ыих&йличену • Г.Г. Групповые свойства произвольных физических с?руктур//'Вь!чпсяэтельние системы, -Не - осибирск: Ш, 1990.-Вып.135,-С.27-39.

ОЩДЯ СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ

Групповая симметрия н сшсле Клейна

основной результат диссертации

теоремы С. Ли

Алгебры Ли векторных полей

установке автором

Феноменологическая сишетгуля в смысле..

•Кулакова