Характеристики роста аналитических функций и их приложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Вв е д е ни е

Глава I. РОСТ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В ОГРАНИЧЕННЫХ

ОБЛАСТЯХ БАНАХОВА ПРОСТРАНСТВА.

§ I. Порядок и тип аналитических функций в единичном шаре банахова пространства.

1. Предварительные сведения и основные определения

2. Вычисление порядка и типа.

§ 2. Порядок и тип по совокупности переменных функций, аналитических в ограниченных областях банахова пространства.

1. Предварительные сведения и основные определения.

2. Вычисление порядка и типа.

§ 3. Системы сопряженных порядков и сопряженных типов функций, аналитических в ограниченных областях банахова пространства.

1. Системы сопряженных порядков.

2. Системы сопряженных типов

§ 4. Медленно и быстро растущие аналитические функции в ограниченных областях банахова пространства

1. Медленно растущие функции

2. Быстро растущие функции

Глава П. РОСТ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В ОГРАНИЧЕННЫХ

КРУГОВЫХ ОБЛАСТЯХ ПРОСТРАНСТВА С"

§ 5. Шкалы роста функций, аналитических в ограниченных круговых областях.

I. Рост аналитических функций в кратно-крутовых областях.

2. Рост аналитических функций в круговых областях.

3. Об экстремальных скоростях роста функций в полицилиндре

§ 6. Рост по одной из переменных функций, аналитических в кратно-круговых областях

1. Определения, примеры.

2. Свойства порядка и типа.

§ 7. Соотношения мезвду характеристиками роста функции, аналитической в кратно-круговой области.

Глава 111. ПРИЛОЖЕНИЯ ХАРАКТЕРИСТИК РОСТА В ТЕОРИИ

АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

§ 8. Метод Вимана-Валирона для функций, аналитических в ограниченных кратно-круговых областях

1. Основные определения и теоремы.

2. Вспомогательные результаты

3. Доказательство теорем.

4. О связи максимального члена и центрального индекса при некотором условии регулярности.

5. Метод Вимана-Валирона в приложении к дифференциальным и интегро-дифференциальным уравнениям.

§ 9. Лакунарные степенные ряды.

1. Теорема типа теоремы Уиттекера

2. Теоремы разложения

§ 10. Бесконечные произведения типа произведений

Вейерштрасса

1. Построение бесконечного произведения

2. Оценки порядка роста бесконечного произведения

Л и т е р а т у р а. НО

Рост функций, аналитических в С,rv, П>,I или в некоторой области Q сС7 П>/1 давно привлекает внимание математиков. Изучение характеристик роста целых функций - это традиционное направление комплексного анализа, в меньшей степени изучен рост функций, аналитический в областях О с пъ I ( Q - ограниченная или неограниченная, (х ф€п).

В одномерном случае рассматривается рост функций как в неограниченных областях, например, в полуплоскости, в угле, в полосе; так и в ограниченных областях: в круге, в произвольной выпуклой односвязной области. Ж.Валироном, А.Виманом в 20-е годы для функций, аналитических в круге, введены характеристики роста и найдены их основные свойства. В 50-е годы изучение этих характеристик роста было продолжено Н.В.Говоровым [21] , М.Н.Шереметой [29]-[31], Г.Мак-Лейном [ 9] и другими.

В настоящее время в связи с развитием многомерного комплексного анализа приобретает все большее значение изучение роста аналитических функций многих комплексных переменных. Необходимость учитывать рост функций возникает в теории степенных рядов, рядов Дирихле, а также рядов более общей природы; в теории дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений, в теории аппроксимации функций.

В данной работе рассматривается рост функций только лишь в ограниченных областях. Систематического исследования задач, связанных с ростом аналитических функций в ограниченных областях С\ ранее не проводилось. Можно назвать отдельные результаты,которые принадлежат Кякичеву В.А., Лаленко Ю.П. [23], К.М.Мурадову

25]. В последнее время интерес к этому вопросу значительно возрос в связи с тем, что найден ряд приложений в теории рядов (В.П.Громов [56] ), в теории дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений (Б.А.Державец [57] , автор 152] ).

В работе ставится задача: ввести различные характеристики роста функций, аналитических в ограниченных круговых и кратно-круговых областях пространства €^ ; изучить свойства этих характеристик; получить приложения введенных понятий в теории степенных рядов (зависимость свойств степенного ряда функции от ее характеристик роста), в теории дифференциальных уравнений и интегро-дифференциальных уравнений (утверждения о росте их решений), к свойствам бесконечных произведений.

Поскольку ограниченная полная круговая и кратно-круговая области являются непосредственным обобщением на случай многих переменных круга

4*=/* • /2/<£/ , 0< Ц< со, основой для решения поставленной задачи послужили результаты из одномерного комплексного анализа, именно, теория роста аналитических в круге Дд , 0 < К < оо функций , £ А ( Ац).

Порядок (Э и нижний порядок А , тип 6" и нижний тип. i функции f € Л ( & £ ) введены рядом авторов (Г.Мак-Лейн [9 , стр.50|; Ж.Валирон [3 , стр. 19^; [4] ; Говоров Н.В. [21] ; а также см. [32], [40],[4l], [39] ) следующим образом:

О = 6u*t-^- ; л --й- :

0.1) t {-*-)<> 7 ^ > (0.2) где

M (г) = тая It-1, = mQX (o,bx).

В работах [21] , [44J установлена связь величин р , б" с коэффициентами тейлоровского разложения функции f .

Укажем несколько направлений одномерного комплексного анализа, где указанные характеристики роста (0.1) и (0.2) нашли свое дальнейшее развитие и применение.

1. В работах Ж.Валирона Гз] , гл.IX; М.Н.Шереметы [29] , а также см.работы С 32], [40] для аналитических в круге

UKR} , < *> ^^ diis, {еА(А.) (0.3) s =o изучены соотношения между максимумом модуля tM ( л) = ЩЯХ I максимальным членом /и ( г ) = тяэе. I a- rs I l?l.<r J 0ц<оо 4 I' и центральным индексом "V ( Г) = maocS: / сз^ J гs = функции (0.3). Полученные результаты составляют содержание так называемого метода Вимана-Валирона, который позволяет исследовать свойства алгебраических дифференциальных уравнений ( ГЗ , гл.IX], [43] ), изучать связь между порядком (0 , нижним порядком А и величиной пропусков в степенном разложении f [32J, [29] .

2. Для аналитических в круге Ал функций -f" , имеющих нулевой ели бесконечный порядок, введены новые шкалы роста:

А А а) логарифмический порядок р и логарифмический тип 6 |3б]:

О < ^ < оо б) Ц- порядок и С]-тип [35] ; q ж. — ^ 6X9)= «и* /? > ,л

Г- R 7 P—^R n cql ОСЧ-ПГд \ о R - <>Э \ X - fa- I Wi-OCj в

Более общие шкалы роста функции А ( Дд ) изучались Шереметой М.Н. [30], [31] .

3. Для функций $ € Я ( Дд ) распределение нулей связано с ее порядком, верно и обратное: по некоторой последовательности точек { из можно построить бесконечное произведение типа произведения Вейерштрасса, представляющее в Д R аналитическую функцию, которая имеет нули в точках последовательности ^ а$\ и порядок, зависящий от распределения точек Qg в круге Д R [26], [36] , [41], [42] .

Перечисленные задачи одномерного комплексного анализа вполне естественно переносятся на многомерный случай. Их решение и сравнение полученных результатов с фактами из теории целых функций и составляет содержание диссертационной работы.

Заметим, что общая теория банаховых пространств [8], 1.13], [15],[l7], позволила изучать рост аналитических в ограниченных областях функций в произвольном конечномерном банаховом црост-ранстве (см. § 1-4 гл.1) а затем уже, как следствия, получить результаты душ ограниченных круговых & и кратно-круговых $ областей многомерного комплексного пространства С1, (см. * 5 гл.П).

В §§ 1-4 гл.1 определены различные характеристики роста функций, аналитических в ограниченных областях банахова пространства X : порядок и тип аналитической функции в единичном шаре & (§1), порядок и тип по совокупности переменных аналитической функции в полных кратно-крутовых областях (§2), сопряженные порядки и типы аналитической функции в кратно-крутовых областях (§ 3). В каждом из параграфов получены формулы, связывающие введенные характеристики роста функции с компонентами ее тейлоровского разложения; приведены примеры, иллюстрирующие изложение.

Вторая глава посвящена росту аналитических функций в ограниченных круговых и кратно-крутовых областях пространства С"" .

В § 5 рост аналитической функции в ограниченной кратно-круговой области & рассматривался с точки зрения роста ее максимумов модуля

MM = mqa* \{\ , = о<г<л \

Величины М ( г-) и М ( Q ,., <V ) сравнивались с функциями'вида

Р>ее, гс >о} р,^, f. „n!t, £xpcvx d( г) - непрерывная на ГОД] функция, при этом соответственно были получены порядок и тип по совокупности переменных, соцряженные порядки и типы, уточненный порядок, логарифмические порядок и тип, - порядок и тип. Результаты о связи введенных характеристик роста функции с коэффициентами ее тейлоровского разложения следовали непосредственно из теорем 1-ой главы. Применением методов 1-ой главы оказалось возможным распространить часть результатов на ограниченные круговые области. В этом же параграфе получен результат об экстремальных скоростях роста: существуют аналитические в полицилиндре функции, имеющие как угодно различающиеся нижний и верхний порядки.

В § 6 изучался рост по каждой из переменных функции , аналитической в области $ , при этом обнаружено существенное отличие от случая целых функций: порядок функции / по переменной для аналитических в области % функций, вообще говоря, зависит от способа фиксирования оставшихся переменных. Исследованию связей между введенными в §§ 5,6 характеристиками роста посвящен § 7.

В третьей главе даны некоторые приложения характеристик роста, рассмотренных в 1-ой и П-ой главах.

В § 8 разработан метод Вимана-Валирона для функций, аналитических в ограниченной кратно-круговой области,и црименен к исследованию свойств решений алгебраических дифференциальных уравнений вида

- оператор, введенный И.И.Бавриным в L2] .

В § 9 получены результаты о свойствах функций иррегулярного роста, доказаны формулы для вычисления нижнего порядка и нижнего типа некоторого класса функций. где Ф - полином от указанных переменных, 4- - функция, аналитическая в области 9) ,

Б § 10 построено бесконечное произведение, которое определяет в области © аналитическую функцию с заданными нулевыми поверхностями. Порядок этой функции зависит от свойств семейства нулевых поверхностей.

Данная работа примыкает к исследованиям по изучению роста целых функций многих комплексных переменных, а также тесно связана с теорией роста функций, аналитических в круге. Используемые методы доказательства - это, в основном, модификация методов названных выше теорий, а полученные результаты либо аналогичны соответствующим результатам из теории целых функций и функций, аналитических в круге, либо проявляют специфику рассматриваемого многомерного случая (см., например, § 6, п.1; § 8, п. 4,5).

Укажем основные результаты работы:

1. Введены характеристики роста для абстрактных аналитических функций в ограниченных областях банахова пространства. В качестве примера рассмотрен рост голоморфных отображений (пример 2.2.1).

2. Изучены характеристики роста функций в ограниченных круговых областях пространства С^ (теорема 5.2.1),

3. Получено утвервдение: рост функции, аналитической в ограниченной кратно-круговой области, по одной из переменных зависит, вообще говоря, от фиксирования оставшихся переменных (§6, п.1).

4. Установлены соотношения мевду различными характеристиками роста функции, аналитической в ограниченной кратно-круговой области ( § 7 ).

5. Найдены приложения характеристик роста: а) развит метод Вимана-Валирона (§8, п. 1-4), применением которого доказано, что функция бесконечного порядка не может быть решением уравнения вида: да Ф , ф - полиномы ,, б) изучены свойства лакунарных степенных рядов: установлены теоремы разложения аналитической функции в сумму двух рядов, подчинённых специальным условиям на рост (теоремы 9.2.1-9.2.6); дана оценка нижнего порядка через верхний порядок и величину пропусков в степенном ряду (теорема 9.I.I). в) построено бесконечное произведение для аналитических функций (теорема 10.1.2), в частном случае оценен порядок его роста (теоремы 10.2.1, 10.2.2).

Основные результаты работы доложены на семинарах кафедры математического анализа МОПИ игл.Н.К.Крупской под руководством профессора Баврина И.И., профессора Громова Б.П.; кафедр теории функций и математического анализа Уральского Госуниверситета под руководством член-корр. АН СССР Иванова Б.К.; кафедры математического анализа Казанского Госуниверситета под руководством профессора Аксентьева Л.А.; на конференции молодых учёных при Башкирском филиале АН СССР в 1983 г.; на межвузовской конференции в г. Хмельницкий в 1983 г. и опубликованы в работах [491- [55].

Используемые в работе обозначения, о 7 п >, х у гь - мерное комплексное пространство, i -(^л,. j irv) ~ точка пространства ^ .

- единичный полицилиндр: £ (j) = [i в С ft': ((|<1];

Ar - круг радиуса R: Д^/аеС1 : /г| 0 < R < -о ;

Д - единичный круг.

2. N - множество натуральных чисел.

7 Л/

3. {<=(К/,,.3КГ7) - мультииндекс,

- одномерные индексы.

1. Ба.врмн И.И. Классы голоморфных функций многих комплексных переменных и экстремальные вопросы для этих классов функций.-Москва: Просвещение, 1976. - 93 с.

2. Баврин И.И. Операторы и интегральные представления. М: Просвещение, 1974. - 129с.

3. Валирон Ж. Аналитические функции. М: Гос.изд-во техн.-теор. л-ры, 1957. - 236с.

4. Виттих Г. Новейшие исследования по однозначным аналитическим функциям. М: Физматгиз, I960. - 319 с.

5. Дяфбашян М.М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. М: Наука, 1966. - 671 с.

6. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. Изд.Ш., М: Наука, 1972. - 496 с.

7. Левин Б.Я. Распределение корней целых функций. М: 1956. -632 с.

8. Л.А.Люстерник, В.И. Соболев. Краткий курс функционального анализа. М: Высшая школа',' 1982. - 272 с,

9. Мак-Лейн Г. Асимптотические значения голоморфных функций. М: Мир, 1966. - 103 с.

10. Полка Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа. М: Наука, 1978. - ч.1, 392 с.

11. Ронкин Л.И. Введение в теорию целых функций многих переменных.-М: Наука, 1971. 432 с.

12. Ронкин Л.И. Элементы теории аналитических функций многих переменных. Киев: Наукова Думка, 1977. - 167 с.

13. В.А.Треногин. Функциональный анализ. М: Наука, 1980. - 496 с.

14. Фукс Б.А. Введение в теорию аналитических функций многих комплексных переменных. М: Гос. изд-во физ-мат. л-ры,1962.- 420с.

15. Э.Хилле, Р.Филлипс. Функциональный анализ и полугруппы. М: Иностранная литература, 1963. - 830 с.

16. Шабат Б.Б. Введение в компл. анализ. ч.П, М: Наука, 1976. -400 с.

17. Л.Шварц. Анализ. М: Мир, 1972. - т.1, 824 е.; т. П, 528 с.Журнальные статьи

18. Агранович П.З. О непрерывности типа целой функции многих комплексных переменных. Дифференциальные уравнения и некоторые методы функционального анализа. - Киев: 1978, с.3-12.

19. Битлян И.Ф., Гольдберг А.А. Теоремы Вимана-Валирона для целых функций многих комплексных переменных. Вестник Ленингр. университета, 1959, J£ 13, с.27-41.

20. Гирнык М.А. Аналог, теоремы Линделефа о типе канонического произведения. Теория функций, функц. анализ и их приложения. (Республ.межведомств. научн. сб.), 1978, & 29, с.16-24.

21. Говоров Н.В. О связи мезэду ростом функции, аналитической в круге, и коэффициентами её степенного ряда. Труды Новочеркасск. политехнич. ин-та, 1959, 100, с.101-115.

22. Копаев А.В. Интегральные представления функций 2-х комплексных переменных и их приложения к решению краевых задач. Автореферат диссертации кандидата физико-матем, наук. М: 1980. - 22 с.

23. В.А.Какичев, Ю.П.Лапенко. Характеристики роста функний, голоморфных в ограниченных кратно-круговых областях. -Мат.анализ и его приложения,-т.Ш Ростов-на-Дону: 1971, с.131-140.

24. Майергойз Л.С. Функция порядков и шкалы роста целых функций многих комплексных переменных. Сиб.мат.ж., 1972, 13, IS I, с.118-132.

25. Мурадов В.М. Сопряженные порядки и сопряженные типы для функций, аналитических в кратно-круговых областях, Баку, 1982. - 18 с. - Рукопись представлена АГПИ. Деп. в ВИНИТИ 13 мая 1982 г., )Ь 2416-82Деп.

26. Нафталевич А.Г. Об интерполировании функций, мероморфных в единичном круга. Лит.м.сб., 1961, I, Fa 1-2, с. 159-180.

27. Б.И.Одвирко-Будко. Обобщение двух классических формул на случай функций многих переменных. Мат. записки Ур1У, 1966, т.5, В 4, с.76-85.

28. Саркисян С.Ц. Некоторые аналоги теорем Вимана-Валирона для целых трансцендентных функций. Метрические вопросы теории функций, Киев, 1980, с.115-125.

29. Шеремета М.Н. О максимальном члене и центр, индексе степенного разложения аналитической в круге функции, Укр.мат.журн., 1981, 33, В 6, с.846-848.

30. М.Н.Шеремета. О зависимости меэду ростом функции, аналитической в круге, и модулями коэффициентов её ряда Тейлора. -Вестник Львовск. университета, сер.мех.-мат., 1965, в. 2, с. I0I-II0.

31. М.Н.Шеремета. Связь меэду асимптотикой аналитических функций и коэффициентами их степенных разложений: Автореферат диссертации кандидата физико-матем. наук. Ростов-на-Дону, 1969,14 с.Иностранная литература

32. Kapoor &/? On eovbremz rode* of erouJtU ofШ Рыта., 194,1,N4, аоа-лоь.09L i(uL ofQyT<l ^ ^ LUvLte -kafoyvo lo*t rate*H pouHL. Mail p^ra. Oppt., trnf/Zi, W

33. Карооп- (y.P to pel K. ^ompoKlUHT. tUcr-^n^ lora f+vfc Imat.Qnzt. Off*.,

34. Kafoor 6, R, O.R 0K bU ^o^r or-oOu~ Ж ршяШп*, CLnatgiib ly^tem илйе aide.Xvdicui, J. /9*6, ¥, лГз,&44

35. Ibn-ofa J4t ^г-ыЫяАьогъ of с&>и£а*>fu*Mu>M. J, Lotvden mat. Зое., /964,39, !9-ЪО.39. -Sa/fr-u^e T S. Чш-Mjl a^ot я*^ ^

36. L.R. Refuearity of orouMi cnut oop' J. WUdL&ncd. Op ft , /Ш, A if, л 96 -306

37. TwjL M. Poibdutf tUoru in м^гЛг, Ufietu*.1959. «

38. T-MCjL Mr. CoAbOnitod proeUctf for- ou rrwronbOrfyUefusittion LK, a илйЫ cirdt. J.Mail Joe. tf J^a^ MXJ,?-*

39. Кг&лод. Q Fotveicons &t -ешеаЛсопб oUffcrertLe^. J. Meet. Рим d Qfft., №г, 3 ^ Л 91-506.

40. Ча&с-Оп. £ ы. (to, (WOLWZAbtt oUc mooL<A MQrtMm du> WLv> Zntuiw. , Лое.FrouLGt, 19/6.

41. Гайдай Н.Н. О теоремах типа Вимана-Валирона для функций, аналитических в кратно-круговых областях. М., 1981.- 8 с.-Рук. представлена МОЛИ им. Н.К.Крупской. Деп. в ВИНИТИ5 марта 1981 г., J8 1016-81Деп.

42. Гайдай Н.Н. Характеристики роста, аналитических функций. -М., 1982. 9 с. - Рук. представлена МОПИ им.Н.К.Крупской.

43. Гайдай Н.Н. Рост аналитических функций многих комплексных переменных. М., 1982 - 8 с. - Рук. представлена МОПИигл. Н.К.Крупской. Деп. в ВИНИТИ 28 декабря 1982 6429-82 Деп.

44. Гавдай Н.Н. Метод Вимана-Валирона в приложении к алгебраическим Дифференциальныгл уравнениям. Уфа, 1983 г. - Тезисы докл. на Ш-ей конф. молодых учёных Башкирии, 24-25 мая I9S2r.

45. Раздай Н.Н. Теорема В иман а-В а лир он а для аналитических функций многих комплексных переменных. Пенза, 1983 г. - Тезисы докл. на ХЛ1 научной конф. ПВАИУ, 2-2 марта 1983 г.

46. Гайдай Н.Н. Характеристики роста аналитических функций б банаховом пространстве. Пенза, 1983 г. - Доклад на ХУЛ научн. конф. ПВЛИУ, 2-3 марта 1983 г.

47. Державец Б.А. О системах уравнений в частных производныхв пространстве функций, аналитических в шаре и тлеющих заданный рост вблизи границы. Ростов-на-Дону, 1982 - 12 с. -Рук. представлена Р1У. Деп. в ВИНИТИ 19 января 1983 г., J3 298-83Деп.