Холловы подгруппы конечных групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

Ревин Данила Олегович ХОЛЛОВЫ ПОДГРУППЫ КОНЕЧНЫХ ГРУПП

01 01 06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск 2008

1 6 0КТ 2008

003448464

Работа выполнена в Институте математики им С. Л Соболева СО РАН

Научный консультант:

доктор физико-математических наук, профессор, член-корреспондент РАН Мазуров Виктор Данилович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

Казарин Лев Сергеевич

доктор физико-математических наук, профессор

Кондратьев Анатолий Семёнович

доктор физико-математических наук, профессор,

член-корреспондент Национальной академии наук

Беларуси

Шеметков Леонид Александрович

Ведущая организация:

Южно -Уральский государственный университет

Защита диссертации состоится «14» ноября 2008г в 15 час.30 мин на заседании диссертационного совета Д003.015.02 при Институте математики им. С. Л. Соболева СО РАН по адресу. 630090, Новосибирск, пр Акад. Коптюга, 4

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики СО РАН.

Автореферат разослан «10» октября 2008_г

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук

¿р^ А. Н. Ряскин

Общая характеристика работы

Постановка задачи и актуальность темы диссертации. Диссертационная работа относится к классическому направлению теории конечных групп — теоремам силовского типа В ней с помощью классификации конечных простых групп дается исчерпывающий ответ на следующий вопрос Пусть заданы некоторое множество тт простых чисел и конечная группа в Имеет ли место в группе С полный аналог теоремы Силова для т:-подгрупп12 Также решается ряд связанных с этим вопросом известных проблем Следуя [1,33,35], напомним историю вопроса и дадим необходимые определения

Тематика, которой посвящена диссертация, восходит к самым истокам теории конечных групп Число элементов (или, иначе, порядок) конечной группы является ее естественной арифметической характеристикой и определяет многие ее свойства. Теорема Лагранжа, исторически самый первый значимый результат теории групп, говорит, что порядок \С\ конечной группы б делится на порядок любой подгруппы. Это несложное утверждение имеет исключительное значение и во многом определяет проблематику теории конечных групп Теорема Лагранжа демонстрирует, насколько порядок группы может определять ее под-групповое строение. Например, оказывается, что группа простого порядка циклическая и не содержит собственных нетривиальных подгрупп Обращение теоремы Лагранжа неверно Скажем, знакопеременной группе степени 4, имеющей порядок 12, нет подгрупп порядка 6. Тем более удивительной является следующая теорема, доказанная в 1872 году норвежским математиком Л. Силовом [61]

Теорема (Л. Силов). Пусть £7 — конечная группа и |(?| = рагп, где число р простое и т не делится на р Тогда

(1) группа С содержит подгруппу порядка ра (т н силовскую р-подгруппу),

(2) любые две силовские р-подгруппы сопряжены;

(3) всякая р-подгруппа группы б содержится в некоторой силовской р-подгруппе

Таким образом, оказывается, что для некоторых делителей порядка группы обращение теоремы Лагранжа, все же, имеет место Более того, оказывается, что строение и свойства любой р-подгруппы во многом определяются строением и свойствами одной-единственной силовской р-подгруппы

Значение теоремы Силова трудно переоценить. По мнению специа-

листов [8, 25,54] она является краеугольным камнем теории конечных групп. Уже в первом издании1 классической книги У. Бернсайда [45] теореме Силова и ее приложениям посвящена целая глава

Получение аналогов теоремы Силова сформировалось в большое самостоятельное направление, берущее свое начало в работах Ф Холла и С А Чунихина [14,56,57] Как ни странно, теорема Холла, первый из таких аналогов, появилась на свет лишь 1928 году [56], т е спустя более, чем 50 лет после работы Л Силова Идея английского математика Ф Холла состояла в том, чтобы вместо силовских р-подгрупп рассматривать более общий объект — ¿^-подгруппы или, как их впоследствии стали называть, холловы 7г-подгруппы. Напомним определение

Пусть 7г — некоторое множество простых чисел Символом ж' будем обозначать множество тех простых чисел, которые не принадлежат тг Для натурального числа п через тг(п) обозначим множество его простых делителей, а для конечной группы (7 через п((3) — множество 7г(|С|) Группа б, для которой 7г(С) С тг, называется тг-группой Подгруппа Н конечной группы (7 называется холловой к-подгруппой, если тт(Н) С -к и 7г(|С Н\) С к' Таким образом, если п = {р}, то холлова 7г-подгруппа — это, в точности, силовская р-подгруппа.

Аналог теоремы Силова для 7г-подгрупп, вообще говоря, неверен для многих 7г существуют группы, не обладающие холловыми 7г-подгруп-пами, есть примеры групп с несопряженными холловыми ^-подгруппами, а также групп, в которых имеются тг-подгруппы, не лежащие в холловых 7г-подгруппах. Тем не менее, Ф Холлу [56] удалось доказать следующую теорему.

Теорема (Ф.Холл). Пусть конечная группа С разрешима и тт — произвольное множество простых чисел Тогда

(1) группа С7 обладает холловой к-подгруппой,

(2) любые две холловы ж-подгруппы сопряжены,

(3) всякая тт-подгруппа содержится в некоторой холловой тг-подгруппе

Эта теорема — обобщение теоремы Силова для 7Т-подгрупп разрешимых конечных групп В 30-е годы Ф.Холл [57] и независимо С А Чу-нихин [14] доказали, что если конечная группа содержит холлову р'-подгруппу для любого простого числа р е 7г(С), то она разрешима Поэтому исследование возможных аналогов теоремы Силова для 7г-под-

1 Имеется ввиду издание 1897 года В списке литературы приведена ссылка на второе издание 1911 года этой книги

групп в неразрешимых группах первоначально воспринималось скептически Л. А Шеметков [35] пишет «В то далекое время многим казалось, что изучение холловых подгрупп в неразрешимых конечных группах не имеет перспективы В этом как-будто бы убеждал и тот факт, что конечная группа оказывается разрешимой, если она обладает холловыми подгруппами любого возможного порядка Но С. А Чунихин думал иначе Его основная идея состояла в том, что надо искать связь между подгрупповой структурой конечной группы и подгрупповой структурой ее главных и композиционных факторов »

Поясним идею С. А Чунихина Предположим, что множество 7г фиксировано Тогда даже полный аналог теоремы Силова для тт-подгрупп не означает, что группа разрешима, поскольку он имеет место, скажем, для любой 7Г- или 7г'-группы Поэтому задача получения таких аналогов при фиксированном тт представляется весьма нетривиальной. Для более точной формулировки этой задачи нам понадобятся введенные Ф Холлом [55] обозначения

Пусть задано некоторое множество тт простых чисел Будем говорить, что группа С обладает свойством Е,г, если в <7 имеется холлова тг-подгруппа Если при этом любые две холловы 7г-подгруппы сопряжены, то будем говорить, что группа ¿7 обладает свойством Если, к тому же, любая 7г-подгрулпа группы С содержится в некоторой хол-ловой тг-подгрупле, то будем говорить, что обладает свойством Группу со свойством Еж (Сж, Дг) будем называть также (соответственно, Ск-, группой Таким образом, свойство О^ означает справедливость полного аналога теоремы Силова для 7г-подгрупп, тогда как свойства Е7г и С„ обобщают на 7г-подгруппы пункты (1) и (2) заключения этой теоремы Группы со свойством наиболее интересны для изучения, поскольку, по аналогии с теоремой Силова, в них строение и свойства (например, разрешимость, нильпотентность, абелевость и т д ) произвольной 7г-подгруппы определяются одной-единственной холловой ^--подгруппой Восходящую к С. А Чунихину задачу получения возможных аналогов теоремы Силова для тг-подгрупп мы будем интерпретировать так

Проблема 1. Пусть заданы множество я- и конечная группа 67. Обладает ли группа С свойством

Серия работ С А. Чунихина [14-25] привела к следующему методу отыскания .0,,-групп Если — класс известных групп, то новые ^-группы ищутся среди тех групп, у которых факторы некоторого субнормального ряда принадлежат Двигаясь в этом направлении,

Чунихин обобщил теорему Холла на случаи т н. тг-разрешимых и тг-отделимых групп, им впервые введенных в рассмотрение2. Ему принадлежит также следующий важный результат3 Расширение С „-группы с помощью Сп-группы является С к-группой

В 50-е годы результаты и идеи Чунихина получили распространение и признание как у нас в стране, так и за рубежом, что привело к невиданному росту интереса к данной тематике Изучением проблемы 1 в том или ином аспекте занимались, помимо Ф Холла и С А Чунихина, такие ученые, как Л С.Казарин [5,6], В Д Мазуров [11,82], Л А Шеметков [27-33,35], Р.Бэр [43], Ф Гросс [47-50], Б Хартли [53,54], Н Ито [59], Дж Томпсон [62], Х.Виландт [1,63-71], Г Цаппа [72] и многие другие Эта проблематика вызывает живой интерес и сегодня (упомянем доклад китайского математика Го Вэньбиня на недавней конференции в Красноярске [51]) К сожалению, мы не имеем возможности здесь должным образом осветить все полученные результаты и приведем лишь некоторые из них Заинтересованного читателя отсылаем к обзорам С А Чунихина и Л А Шеметкова [26,33] Подробное изложение некоторых результатов и исторические сведения можно найти в монографиях С А Чунихина, Л. А Шеметкова и М. Судзуки [25,34,60] Более современные обзоры имеются у Б.Хартли [54] и в монографии К Деркаи Т Хоукса [46]

Важным этапом стали работы Ф Холла [55] и немецкого математика X. Виландта [63]

Виландт, в отличие от С А. Чунихина, ничего не предполагал о факторах группы, а наложил ограничение на строение холловой 7г-подгруп-пы Его результат состоит в том, что из существования в группе ниль-потентной холловой тг-подгруппы вытекает свойство

Работа 1956 года Ф. Холла [55] считается классической В ней, помимо обзора результатов С А. Чунихина и X Виландта, получен ряд новых важных теорем, а также введены обозначения Еп, и Б^ (см выше) Комбинируя результат Виландта и метод Чунихина, в качестве основ-

2 Понятие 7Г-разрешимой группы оказалось чрезвычайно плодотворным Во многом благодаря знакомству Холла с работами С А Чунихина стало возможным появление статьи Ф Холла и Г Хигмэна [58], в которой посредством изучения ^разрешимых групп ослабленная проблема Бернсайда сводилась к случаю групп примарной экспоненты и которая сыграла важную роль в решении этой проблемы [3,4,10] Введенные С А Чунихиным понятия и полученные им результаты неоднократно обобщались и на некоторые классы бесконечных группы (отметим в связи с этим работы П А Гольберга [2] и М И Каргаполова [7])

3В такой формулировке этот результат использует теорему Фейта-Томпсона о разрешимости конечных групп нечетного порядка [52]

ного результата работы [55] Ф Холл доказал следующую теорему

Теорема (Ф.Холл, теорема Ю5). Расширение О к-группы А, обладающей нилъпотептной холловой тт-подгруппой, с помощью группы В, обладающей разрешимой холловой тт-подгруппой, является И к-группой

Сразу же возник вопрос, нельзя ли в этой теореме отказаться от ограничений на строение холловых подгрупп, дав, тем самым, методу Чунихина построения новых -0^-групп из уже известных общее теоретическое обоснование Возникла

Проблема 2. Всегда ли расширение ^„-группы А с помощью группы В будет /)т-группой?

Впервые эта проблема была озвучена X Виландтом в часовом обзорном докладе на XIII Международном математическом конгрессе в Эдинбурге в 1958 году [1]. На протяжении пятидесяти лет к ее изучению обращались многие математики Она отмечена в обзорах [26,33,66], монографиях Л А. Шеметкова [34, проблема 22] и М. Судзуки [60] и записана Л. А Шеметковым в Коуровскую тетрадь [36, вопрос 3.62]

Сам Л. А Шеметков внес в изучение этого вопроса фундаментальный вклад. Он решил [32] проблему 2 в случае, когда силовские р-подгруппы группы А являются циклическими для всех р е тг, и получил [27-31] ряд других важных результатов, которые нашли свое отражение в его монографии [34] Более пбзднее обсуждение результатов, связанных с этой проблемой, имеется в [35] Не будет преувеличением сказать, что Л. А Шеметков «выжал» из проблемы 2 все, что можно было сделать без использования классификации простых групп (см [34, лемма 18 3, теор. 18 14])

В 1971 году Б Хартли [53] показал, что условие разрешимости холловой 7г-подгруппы группы В в теореме Холла Б5 можно опустить, предположив выполнение гипотезы Шрайера (о разрешимости групп внешних автоморфизмов) для композиционных факторов группы А Ранее этот результат без доказательства был отмечен X. Виландтом [70].

Впервые для изучения проблемы 2 результаты классификации конечных простых групп использовал в работе 1981 года [5] Л. С Казарин, существенно усилив более ранние результаты Л. А Шеметкова [32] о т. н тг-классах Виландта

В Д Мазуров и автор показали [82], что проблема 2 имеет положительное решение, если силовские 2-подгруппы всех композиционных факторов группы А абелевы.

Среди недавних результатов о проблеме 2 отметим работы В Н Тю-

тянова [12,13]

Несмотря на интенсивное изучение и большой накопленный опыт, проблему 2 долгое время удавалось решить только в частных случаях В 1997 году с появлением статьи В Д Мазурова и автора [82], вошедшей в кандидатскую диссертацию последнего [88], появилась надежда полностью ответить на этот вопрос с помощью классификации конечных простых групп В [82] проблема 2 была сведена к случаю, когда А — простая группа, а В — группа ее внешних автоморфизмов

При использовании индуктивных рассуждений в [82] стало ясно, что проблема 2 тесно связана с другим вопросом

Проблема 3. Всегда ли нормальная подгруппа /^-группы будет ¿^-группой?

В Д Мазуров записал эту проблему в Коуровскую тетрадь [36, вопрос 13 33] Еще раньше она была отмечена в работе Ф Гросса 1986 года [47]

Несложно показать, что факторгруппа Дг-группы всегда является ^-группой Поэтому проблемы 2 и 3 являются в определенном смысле двойственными. Сравнительно меньший интерес, который математики проявляли по отношению к проблеме 3, объясняется тем, что их внимание было сконцентрировано на получении достаточных условий для свойства Дг. В то же время, если ставить вопрос шире, о необходимых и достаточных условиях, то эта проблема является столь же важной и естественной, как и проблема 2. В случае положительного решения обеих проблем оказалось бы, что конечная группа обладает свойством О^ тогда и только тогда, когда каждый ее композиционный фактор обладает этим свойством, и проблема 1 свелась бы к следующей

Проблема 4. Пусть задано множество простых чисел я- Описать конечные простые группы со свойством £)„

В кандидатской диссертации автора [88] изучение проблемы 3, также как и проблемы 2, было сведено к проверке некоторых условий в группах автоморфизмов простых неабелевых групп (см также работы [79,86]) Тем не менее, проверка этих условий оказалась непростой задачей В то время ее удалось осуществить для спорадических, знакопеременных групп и тех групп лиева типа, у которых характеристика принадлежит п [79,88] Самый сложный случай — случай групп лиева типа над полем характеристики, не принадлежащей 7г, остался тогда неразобранным Трудность такой проверки в том, что она требует знания всех холловых подгрупп данной простой группы Т е. требуется решить еще одну довольно тяжелую задачу.

Проблема 5. Классифицировать холловы подгруппы в конечных простых группах

Эта проблема представляет независимый интерес и также приковывала внимание многих ученых Ее значимость в том, что холловы подгруппы в определенном смысле «наследуются» нормальными подгруппами и факторгруппами В частности, необходимым условием существования холловой 7г-подгруппы является существование таких подгрупп у всех композиционных факторов группы Важность проблемы описания холловых подгрупп в простых и близких к ним группах была понятна еще Ф Холлу В его работе 1956 года [55] и последующей работе 1966 года Дж Томпсона [62] описаны холловы подгруппы симметрических групп Для групп лиева типа проблема 4 сформулирована в известном обзоре А С Кондратьева [9] Л С Казарин [6, теор. 7] ее решил в случае, когда ж = г' для произвольного простого г Ф Гросс, доказывая в работах [48,49] с помощью классификации конечных простых групп, что если 2 £ 7г, то Еж => Сп, (ослабленная гипотеза Холла), описал в случае, когда 2 ^ тг, холловы 7г-подгруппы спорадических, классических групп, а также исключительных групп лиева типа над полем характеристики р б 7г В кандидатской диссертации автора случай р 6 п для групп лиева типа [81] и случай спорадических групп [79] были исследованы полностью Таким образом, незавершенным осталось описание холловых 7г-подгрупп в группах лиева типа в характеристике р и, как ни странно, в знакопеременных группах

Цель диссертации — полностью решить проблемы 2-5. Тем самым, будет решена проблема 1 — получено исчерпывающее описание конечных групп, в которых имеется свойство Пж (выполнен полный теоремы Силова для тт-подгрупп)

Основные результаты диссертации.

1 Доказано (совместно с Е П Вдовиным), что расширение /^-группы с помощью ^-группы является ^-группой. Тем самым, решена известная проблема [36, 3 62]

2 Доказано (совместно с Е П. Вдовиным), что нормальная подгруппа .О^-группы является .О^-группой. Тем самым, решена проблема [36, 13 33]

3 Для любого множества тг простых чисел получено арифметическое описание простых конечных О^-групп и, как следствие, с учетом предыдущих результатов, получено исчерпывающее описание всех конечных групп, в которых имеет место полный аналог теоремы Силова для 7г-подгрупп

Кроме того, завершено (совместно с Е П Вдовиным) описание хол-ловых подгрупп во всех известных простых группах

Хотя часть результатов диссертации опирается на классификацию конечных простых групп, ее использование в работе является достаточно аккуратным, а именно, для всякой /¿"-группы, т. е конечной группы, композиционные факторы которой изоморфны известным простым группам, результаты получены непосредственно. Поэтому при осторожном походе можно сказать, что они доказаны в классе АТ-групп

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в [73-77] в журналах, входящих в перечень ВАК ведущих рецензируемых научных изданий, см. также [78-80] Все работы автора по теме диссертации [73-100] приведены в списке литературы Из них [73-77,79-82] на момент публикации входили в перечень ВАК

Новизна и научная значимость работы. В диссертации решается ряд известных теоретико-групповых проблем Все результаты являются новыми. Работа носит теоретический характер Результаты и методы работы могут быть использованы для дальнейших исследований в области теорем силовского типа, теории формаций и, шире, классов конечных групп. Методы, разработанные и используемые в диссертации, могут быть применены для изучения подгруппового, в частности, локального строения конечных простых групп, для описания максимальных 7г-подгрупп и решения других проблем Они могут быть включены в спецкурсы для студентов и аспирантов, специализирующихся в области алгебры

Методы исследования. В работе используются классические методы теории групп: теория конечных простых групп, теория линейных алгебраических групп, теория групп лиева типа, теория представлений. Используется (по-видимому, впервые) новый метод изучения локального строения классических групп, основанный на использовании описания радикальных подгрупп и их нормализаторов

Апробация работы. Результаты диссертации с 2000 по 2008 годы были представлены на конференциях в Екатеринбурге, Москве, Новосибирске, Нальчике, Иркутске, Красноярске, Санкт-Петербурге и Челябинске (см [90-100]). Автором были деланы пленарные доклады по теме диссертации на Международном семинаре по теории групп (Екатеринбург, 2001), международных конференциях «Мальцевские чтения» (Новосибирск, 2002, 2007), VI и VII Международных школах-конференциях по теории групп (Нальчик, 2006, Челябинск, 2008), Российско-китайском

семинаре по алгебре и логике (Иркутск, 2007), Международной конференции «Алгебра и ее приложения» (Красноярск, 2007) и Международной алгебраической конференции (Москва, 2008). Результаты работы неоднократно докладывались на семинарах «Теория групп» и «Алгебра и логика» в Новосибирске, а также на Общеинститутском математическом семинаре Института математики СО РАН.

Общая структура диссертации. Диссертация состоит из 4 глав, введения и списка литературы Главы подразделяются на параграфы В начале каждой главы приведен обзор ее основных результатов. Все утверждения (теоремы, следствия, леммы) имеют тройную нумерацию- номер главы, номер параграфа в главе и номер утверждения в параграфе

Содержание диссертации

Глава 1. В этой главе собраны основные необходимые определения и предварительные результаты Приведен список используемых обозначений Собраны общеизвестные утверждения о холловых свойствах С~ и И-к и некоторые результаты из кандидатской диссертации автора Изложены сведения о группах лиева типа и их связи с алгебраическими группами Излагаются также общие аспекты изучения холловых подгрупп в группах лиева типа

Важное место в первой главе занимают результаты о радикальных подгруппах Напомним определение

Пусть г — простое число. Подгруппа Я конечной группы (3 называется радикальной г-подгруппой, если Я совпадает с наибольшей нормальной г-подгруппой своего нормализатора, те й = Ог(№с(Щ)- Понятие радикальной подгруппы тесно связано с понятием суперлокала, введенного М Ашбахером в [42] как обобщение параболических подгрупп в группах лиева типа Для простого числа г подгруппа N группы б называется г-суперлокалом в С, если N = ^(Ог(АГ)). Таким образом, г-суперлокал — это, в точности, нормализатор радикальной г-подгруппы М Ашбахер заметил, что любая подгруппа Н конечной группы С? содержится в некотором г-суперлокале N таком, что Ог(Я) < Ог(Аг) В цитированной работе [42] в перечне наиболее актуальных вопросов теории конечных групп в «постклассификационный-> период сформулирована следующая

Проблема 6. Описать г-суперлокалы в знакопеременных группах и группах лиева типа

В 1991 году эта проблема была записана Р Ж.Алеевым в Коуров-скую тетрадь [36, вопрос 11 3] В 2003 году автор опубликовал рабо-

ту [80], в которой описал суперлокалы и радикальные подгруппы в симметрических и знакопеременных группах, а также установил ряд общих полезных свойств суперлокалов и радикальных подгрупп. Впоследствии выяснилось, что часть этих результатов, относящаяся к радикальным подгруппам симметрических групп не является новой. Радикальные подгруппы интенсивно изучались в другом контексте в рамках теории представлений. Эти подгруппы играют ключевую роль в гипотезе Дж. Алперина о весах и ряде гипотез Э Дейда В работе Дж. Алперина и П Фонга [37] и последующей серии [38-41] работ Дж Ана описаны радикальные подгруппы в симметрических группах, а также в полных классических матричных группах над конечными полями, исключая ортогональные группы в характеристике 2 Эти результаты находят применение в четвертой главе диссертации при индукционных рассуждениях. Оказывается, что в ряде случаев описание радикальных подгрупп и их нормализаторов является более сильным инструментом, чем известные теоремы М Ашбахера и А В Боровика, и работает там, где другие индуктивные инструменты дают сбой

В первой главе приведены общие сведения о суперлокалах и радикальных подгруппах, а также изложена и адаптирована для дальнейшего использования часть результатов Алперина, Фонга и Ана

Глава 2. Это самая большая глава В ней получено описание хол-ловых 7г-подгрупп в знакопеременных группах и в группах лиева типа, характеристика которых не принадлежит 7г Тем самым, решена проблема 5, г. е завершено описание холловых подгрупп во всех простых конечных группах. Основным результатом этой главы можно считать следующую теорему

Теорема 2.1.1. Пусть 7г — некоторое множество простых чисел Тогда для каждой простой конечной группы ¿7 известно, обладает ли 5 свойством Е„, и известны все ее холловы ж-подгруппы

Более точные формулировки результатов этой главы слишком объемны, поэтому мы не приводим их здесь Сформулируем лишь наиболее компактный из них, дающий, с учетом результатов Ф Холла [55, теор. А4] и Дж. Томпсона [62] о холловых 7г-подгруппах симметрических групп, описание таких подгрупп и в знакопеременных группах

Следствие 2.2.4. Пусть 7Г — некоторое множество простых чисел Подгруппа М знакопеременной группы Ап является холловой п-подгруппой тогда и только тогда, когда М — Мо П Ап для некоторой холловой 7Г-подгруппы Мо симметрической группы 5„.

Результаты главы опубликованы в [73,78] и получены в неразделимом

соавторстве с Е П Вдовиным

Глава 3. Основным результатом главы является следующее утверждение, решающее проблемы 2 и 3.

Теорема 3.1.1. Пусть 7г — некоторое множество простых чисел, С — конечная группа и А — ее нормальная подгруппа Группа С обладает свойством .Отг тогда и только тогда, когда группы А и С!А обладают свойством Вп

Как следствие, конечная группа обладает свойством тогда и только тогда, когда каждый ее композиционный фактор обладает этим свойством. Это утверждение открывает путь к исчерпывающей характери-зации .0„.-групп — основному результату следующей главы

Результаты главы опубликованы в [73,76,78] и получены в неразделимом соавторстве с Е П Вдовиным Они используют также результаты кандидатской диссертации автора, опубликованные в [79,81,82]

Глава 4. В четвертой главе решается сформулированная выше проблема 4, а именно, для любого множества -к получена классификация простых ¿^-групп

Кроме спорадических простых групп, любая простая группа принадлежит некоторой бесконечной серии и характеризуется в этой серии одним или двумя естественными арифметическими параметрами Например, знакопеременная группа Ап определяется своей степенью п, группа лиева типа Ап(д) определяется лиевым рангом п и порядком поля 5 и т д Классификация простых ¿»„--групп получена в терминах этих параметров, а потому может быть названа арифметической

Для многих классов простых групп такое арифметическое описание было получено ранее Так, из результатов Ф Холла [55, теор. А4] и Дж Томпсона [62] несложно понять, что знакопеременная группа Ап обладает свойством Бп тогда и только тогда, когда |-тг П 7г(гг')| < 1 или я-(п1) С 7Г Ф Гросс [48, следств. 6.13 и теор 6 14] описал спорадические Д „--группы для любого множества 7г, не содержащего 2 В кандидатской диссертации автора (см также [79, теор 3 3 и теор. 5 1]) было завершено описание спорадических групп со свойством Б^ для произвольного тг и описаны группы лиева типа характеристики р 6 7Г с этим свойством Оставался, таким образом, неразобранным случай групп лиева типа характеристики, не принадлежащей п

В четвертой главе этот случай изучен и доказана Теорема 4.1.2. Пусть тг — некоторое множество простых чисел и Б — конечная простая группа. Группа Б обладает свойством Б^ тогда

и только тогда, когда пара (S, тг) удовлетворяет одному из условий I-VII (см. далее)

Условие I. Скажем, что пара (S, тг) удовлетворяет условию I, если тг(5) Стг или |тгПтг(5)| < 1

Условие II. Скажем, что пара (S, тг) удовлетворяет условию II, если имеет место один из следующих случаев-

(1) 5 ~ Ми и тг П тг(5) - {5,11};

(2) S ~ Мхг и тг Л тг(5) = {5, И};

(3) S ~ М22 и тг П тг(5) = {5,11},

(4) 5 ~ Мгз и тг Л тг(5) — одно из множеств {5,11}, {11,23};

(5) S ~ М24 и тг Л tt(S) — одно из множеств {5,11}, {11,23},

(6) S ~ Л и тг П 7г(5) — одно из множетв (3,5}, {3, 7}, {3,19}, {5,11};

(7) S ~ J4 и тг П тг(5) - одно из {5,7}, {5,11}, ¡5,31}, {7,29}, {7,43},

(8) S ~ O'N и 7г П 7г(5) — одно из множеств {5, И}, {5,31},

(9) S ~ Ly и тг П тг(5) = {11,67},

(10) 5 ~ Ди и тг Л 7г(5) = {7,29},

(11) S ~ Сох и тг Л тг(5) = {11,23},

(12) 5 ~ Со2 и тг Л тг(5) = {11,23},

(13) 5 ~ Со3 и тг Л тг(5) = {И, 23},

(14) S ~ М(23) и тг Л тг(5) = {11,23},

(15) S ~ Af(24)' и тг Л тг(5) = {11,23},

(16) S ~ ß и тг Л тг(5) - одно из множеств {11,23}, {23,47},

(17) S ~ М и тг Л tt(S) - одно из множеств {23,47}, {29,59} Условие III. Пусть группа S изоморфна группе лиева типа над полем GF(q) характеристики р 6 тг Положим г = (tt(S') Л тг) \ {р} Будем говорить, что пара (5, тг) удовлетворяет условию III, если г С тг(д - 1) и никакое число из тг не делит число \W\ (порядок соответствующей группы Вейля)

Нам понадобится следующее обозначение Пусть г — нечетное простое число, q — целое число, и q не делится на г Положим e(q,r) — min{e е N | qe = 1 (mod г)}.

Условие IV. Пусть группа S изоморфна некоторой группе лиева типа над полем GF(q) характеристики р, причем G ф. 2B2(q)F^(q), 2G2{q). Пусть 2,р $ тг. Пусть г = ппп(л-(5)Лтг) и пусть г = (тг(5')Лтг)\{г} Положим а = e(q,r) Будем говорить, что пара (S, тг) удовлетворяет условию IV, если существует t е г, для которого b — e(q, t) ф а, и имеет место одно из утверждений.

(1) 5 ~ An-i{q), a = r-l,b = r, {q1"1 - l)r = r, [^j - [а], причем e(q, s) — b и n < bs и для любого sGr,

(2) 5 ~ An^(q), a — r — 1, b — r, («f"1 - l)r - r, = [a] + 1, „ = -1 (mod г), причем e(q, s) — b и n < bs и для любого s € т,

3) S ~ 2An_i(g), r = 1 (mod 4), a = г - 1, Ь = 2r, (g" - l)r = r,

= [ Г ] и s) = b для любого s € г;

(4) 5 ~ 2An_1(q), г = 3 (mod 4), a = J^i, Ь = 2r, (<?" - l)r = r, = и e(q, s) — b для любого s € т,

(5) 5 ~ 2A^1(q), r = 1 (mod A), a — r — I, b = 2r, - l)r = r, = [S-] + 1, n = — 1 (mod г) и e(q,) s) = b для любого s € т,

(6) 5 ~ 2An^(q), r = 3 (mod 4), a = r=l, b = 2r, (g" - 1), = r, =

+ 1, n = — 1 (mod г) и e(q, s) = b для любого s G r,

(7) 5 ~ 2Dn{q), a = 1 (mod 2), n = b = 2a и для любого s S т либо e(g, s) = a, либо e^, s) = b,

(8) 5 ~ 2Dn(q), b = 1 (mod 2), n = a = 2Ь и для любого s € г либо е(<7)s) — a> либо e(q, s) = b

Условие V. Пусть группа S изоморфна некоторой группе лиева типа над полем GF(g) характеристики р, причем G ф 2S2(<7),2 F 4(g),2 G 2(g)-Пусть 2,р £ 7г Пусть г = min(7r(5) П 7г) и пусть г = (тг(5) П тг) \ {г}. Положим с = e(g,r) Будем говорить, что пара (S, тг) удовлетворяет условию V, если e(q,t) = с для любого i £ т, и имеет место одно из утверждений.

1) S ~ .An_i(q) и n < cs для любого s € г,

2) S ~ 2Л„_1(д), с = 0 (mod 4) и п < cs для любого s е т,

3) 5 ~ 2An-i(q), с = 2 (mod 4) и 2п < cs для любого s € г,

4) 5 ~ 2An_i(g), с = 1 (mod 2) и n < 2cs для любого s е г,

5) S~Bn(q),Cn(q),2Dn(q), с четно и 2n<cs для любого s € г,

6) S~Bn(q), Cn(q), Dn(q), с нечетно и п<cs для любого s£r,

7) £ ~ D„ (q), с четно и 2n < cs для любого s£r,

8) 5 ~ 2Dn(q), с нечетно и п < cs для любого s б т,

9) S ~ 3ВД,

10) S ~ -Ё76(д) и если г = 3 и с = 1, то 5,13 £ г,

11) 5 ~ 2E6(q) и если г = 3, с = 2, то 5,13 £ г,

12) 5 ~ .EVfa) и если г = 3 и с 6 {1,2}, то 5,7,13 0 т, а если г = 5 и с 6 {1 2}, то 7 g т,

(13) 5 ~ £«(?) и если г = 3 и с е {1,2}, то 5,7,13 £ т, а если г ='5 и с € {1,2}, то 7,31 £ г,

(14)5~С2(д);

(15) 5 ~ F4(q) и если г = 3 и с = 1, то 13 £ т

Условие VI. Будем говорить, что пара (5,7г) удовлетворяет условию VI, если имеет место одно из утверждений-

(1) 5 ~ 2£2(22т+1), тгПтг(С) содержится в тг(22т+1 - 1) или тг(22гп+1 ± 2т+1 + 1),

(2) 5 ~ 2(72(32т+1), тгПтт(в) содержится в тг(32т+1-1)\{2} или тг(32т+^: Зт+1 + 1)\{2},

(3) 5 ~ 2^4(22т+1), 7г П тг(С) содержится в тг(22(2т+1) ± 1), тг(22т+1 ± 2то+1 + 1), тг(22(2т+1) ± 23га+2 т 2ТП+1 - 1) или 7Г(22(2т+1)±23т+Ч22т+1±

2т+1 _ ^

Условие VII. Пусть группа 5 изоморфна некоторой группе лиева типа над полем СР(д) характеристики р Пусть 2 е тг, а 0 7г Положим г = (тг П 7г(С)) \ {2} и пусть (¡г — множество простых чисел Ферма, принадлежащих т В этом случае будем говорить, что пара (£, ж) удовлетворяет условию VII, если г С ж(д — е), где число е = ±1 таково, что 4 делит q — е, и имеет место одно из следующих утверждений.

(1) 5 изоморфна одной из групп 2Ап-1(9), причем а > п для любого в е т и £ > п + 1 для любого £ € у,

(2) 5 ~ В„(д) и в > 2п + 1 для любого в е г,

(3) й ~ Сп(д), причем в > п для любого зети£>2?г + 1 для любого

(4) 5 изоморфна одной из групп 2£)п(д), и 8 > 2п для любого в £ т;

(5) б изоморфна одной из групп С2(д), 2<?2(д) и 7 0 т,

(6)5:*%) и5,7£г,

(7) 5 изоморфна одной из групп £б(д), 2Е§{ц) и 5,7 £ г,

(8)5~£;7(9)и5,7,11^т;

(9) и 5,7,11,13 0 г,

(10)5~3О4Ыи70г.

Из теорем 3.1 1 и 4.1 2 прямо следует утверждение, решающее проблему 1, содержащее в качестве частных случаев теоремы Силова и Холла (а также сами теоремы 31.1и412)и которое можно рассматривать в качестве главного результата диссертации

Теорема 4.1.3. Пусть п — некоторое множество простых чисел Конечная группа обладает свойством Бп тогда и и только тогда, когда

для каждого ее композиционного фактора Б пара (£,7г) удовлетворяет одному из условий 1-УП

Этот результат можно интерпретировать так Для любой группы с известными композиционными факторами вопрос, обладает ли группа свойством В-х, теперь является чисто арифметическим вопросом Результаты главы получены автором лично и опубликованы в [74-77]

В заключение я хотел бы выразить глубокую признательность своему учителю чл -корр РАН В Д. Мазурову Его влияние определило мой жизненный путь и сформировало научные интересы Он поставил передо мной, тогда еще студентом, задачу, решение которой привело к написанию данной работы В соавторстве с ним были получены мои первые результаты, и ему я обязан многими идеями, реализованными здесь Я глубоко признателен д ф.-м н Е. П Вдовину за многолетнее сотрудничество и дружескую поддержку Благодаря его усилиям и глубоким знаниям удалось разобрать самые трудные случаи в диссертации, без чего эта работа никогда не была бы написана Хотел бы особо поблагодарить д ф -м н А. В Васильева, к ф -м н М А Гречкосееву и к ф -м н А. В Заварницина за помощь в работе над диссертацией Я благодарен сотрудникам лаборатории теории групп Института математики СО РАН и участникам семинаров «Теория групп» и «Алгебра и логика» за обсуждение работы и благожелательную атмосферу

Работа поддержана РФФИ (проект 08-01-00322), Советом по грантам Президента РФ (проект НШ-344 2008 1), и СО РАН (интеграционный проект 2006.1.2)

Литература

[1] Виланд Г. Пути развития структурной теории конечных групп // Междунар матем конгресс в Эдинбурге, 1958 г Обзорные доклады М • Физматгиз 1962 263-276

[2] Гольберг П А Силовские базы 7г-отделимых групп // ДАН СССР 1949. Т 64, № 6 С. 615-618

[3] Зельманов Е И Решение ослабленной проблемы Бернсайда для групп нечетного показателя / / Изв АН СССР, сер матем 1990 Т. 54, № 1 С 42-59

[4] Зельманов Е И Решение ослабленной проблемы Бернсайда для 2-групп Ц Матем сб 1991 Т. 182, № 4 С 568-592

[5] Казарин Л С Теоремы силовского типа для конечных групп // Структурные свойства алгебраических систем Нальчик, Кабарди-но-балкарск унив , 1981 С 42-52

[6] Казарин Л С О произведении конечных групп // ДАН СССР 1983. Т. 269, № 3 С. 528-531

[7] Каргаполов МИ О факторизации 7г-отделимых групп // ДАН СССР. 1957 Т 114, № 6 С 1155-1157

[8] Каргаполов М. И., Мерзляков Ю И Основы теории групп. 4-е изд М.: Наука Физматлит 1996

[9] Кондратьев А С Подгруппы конечных групп Шевалле // Успехи матем н. 1986 Т. 41, № 1 С. 57-96

[10] Кострикин А И О проблеме Бернсайда // Изв АН СССР, сер матем 1959. Т 23, № 1. С 3-34

[11] Мазуров В Д Об одном вопросе Л А Шеметкова // Алгебра и логика 1992. Т. 31, № 6 С. 624-636

[12] Тютянов В H D ~ -теорема для конечных групп, имеющих композиционные факторы такие, что 2-длина любой разрешимой подгруппы не превосходит единицы // Вести Нац акад наук Беларуси, сер физ -мат наук 2000 №1. С 12-14

[13] Тютянов В H О теоремах силовского типа для конечных групп // Укр матем ж , 2000 Т. 52, №10. С. 1426-1430

[14] Чунихин С А О разрешимых группах// Изв НИИММТом унив 1938.Т 2 С 220-223

[15] Чунихин С. А О силовски-правильных группах // ДАН СССР.

1948 Т 60, № 5. С 773-774.

[16] Чунихин CAO тг-свойствах конечных групп // Матем сб 1949 Т 25, Л* 3 С. 321-346.

[17] Чунихин CAO б условиях теорем типа Силова // ДАН СССР

1949 Т 69, № 6 С 735-737

[18] Чунихин CAO силовских свойствах конечных групп // ДАН СССР 1950. Т 73, № 1 С. 29-32

[19] Чунихин С А Об ослаблении условий в теоремах типа Силова // ДАН СССР 1952 Т 83, ДО 5 С 663-665

[20] Чунихин CAO подгруппах конечной группы // ДАН СССР 1952 Т 86,№ 1 С 27-30

[21] Чунихин CAO существовании и сопряженности подгрупп у конечной группы // Мат сб 1953 Т 33, № 1 С. 111-132.

[22] Чунихин CAO 7г-разрешимых подгруппах конечных групп // ДАН СССР. 1955 Т 103, № 3 С 377-378

[23] Чунихин CAO некоторых направлениях в развитии теории конечных групп за последние годы // Успехи матем. н 1961 Т 16, № 4 (100) С 31-50

[24] Чунихин С. А Об одной 7Г-силовской теореме, вытекающей из гипотезы о разрешимости групп нечетного порядка // ДАН БССР 1962 Т 6, № 6 С 345-346

[25] Чунихин С А Подгруппы конечных групп. Минск- Наука и техника 1964

[26] Чунихин С А , Шеметков Л А Конечные группы // Алгебра Топология Геометрия, 1969 (Итоги науки ВИНИТИ АН СССР) М 1971.

[27] Шеметков Л. А. К теореме Холла // ДАН СССР. 1962 Т 147, № 2. С 321-322

[28] Шеметков Л А D-строение конечных групп // Матем сб 1965 Т 67, № 3 С 384-497

[29] Шеметков Л. А. Новая D-теорема в теории конечных групп // ДАН СССР 1965 Т. 160, № 2 С 290-293

[30] Шеметков Л А Силовские свойства конечных групп // Матем сб 1968 Т 76, №2 С 271-287

[31] Шеметков Л. А О сопряженности и вложении подгрупп, в сб Конечные группы // Минск, 1966 С 881-883

[32] Шеметков Л А О силовских свойствах конечных групп / / ДАН БССР. 1972. Т 16, № 10 С. 881-883

[33] Шеметков Л А Два направления в развитии теории непростых конечных групп// Успехи матем. н 1975 Т 30, № 2(182) С. 179— 198

[34] Шеметков Л. А. Формации конечных групп. М Наука 1978

[35] Шеметков Л А Обобщения теоремы Силова // Сиб матем ж 2003. Т 44, № 6 С 1425-1431

[36] Коуровская тетрадь. Нерешенные вопросы теории групп 15-е изд Новосибирск- Ин-т мат СО РАН. 2002.

[37] Alpertn J. L, Fong P. Weights for symmetric and general linear groups // J Algebra 1990 V 131, N1 P. 2-22

[38] An J. 2-weights for general linear groups // J Algebra 1992 V 149, N2 P 500-527

[39] An J 2-weights for unitary groups // Trans Am Math Soc 1993 V. 339, N1. P 251-278.

[40] An J 2-wights for classical groups // J reme angew Math 1993

V 439 P 159-204.

[41] An J Weights for classical groups // Trans. Am Math Soc 1994

V 342, N1. P. 1-42

[42] Aschbacher M Subgroup structure of finite groups // Proc Rutger group theory year, 1983/1984 Cambridge. Cambridge Umv Press 1985 P. 35-44

[43] Baer R Verstreute Untergruppen endlicher Gruppen // Arch Math 1958 V 9, N1-2 P. 7-17.

[44] Borel A , Tits J Eléments unipotents et sousgroupes paraboliques de groupes réductifs, I // Inv Math 1971 V 12, N 2 P 95-104

[45] Burnside W Theory of groups of finite order 2nd ed Cambridge Cambudge Umv Press 1911

[46] Doerk К, Hawks T Finite soluble groups Berlin, New York Walter de Gruyter 1992.

[47] Gross F On the existence of Hall Subgroups //" J. Algebra 1986 V 98, N1 P 1-13

[48] Gross F On a conjecture of Philip Hall // Proc London Math Soc Ser IIT 1986 V 52, N3 P. 464-494.

[49] Gross F Odd order Hall subgroups of the classical linear groups // Math Z 1995 V 220, N3 P 317-336

[50] Gross F Conjugacy of odd order Hall subgroups// Bull London Math Soc 1987. V 19, N4 P 311-319

[51] Guo W Some problems m group theory // Межд. конф «Алгебра и ее приложения», поев 75-летию В П.Шункова, Красноярск, 12-18 авг 2007 г, тез докл С 162-163

[52] Feit W, Thompson J G Solvability of groups of odd order // Pacif J Math 1963 V 13, N3 P. 775-1029

[53] Hartley B. A theorem of Sylow type for a finite groups // Math Z 1971. V 122, N4 P. 223-226

[54] Hartley B Helmut Wielandt on the 7r-structure of finite groups // Mathematische Werke = Mathematical Works / Helmut Wielandt, ed by B.Huppert and H Sneider, vol 1, Berlin Walter de Gruyter, 1994 P 511-516

[55] Hall P Theorems like Sylow's // Proc. London Math. Soc Ser III 1956 V 6, N22. P 286-304

[56] Hall P A note on soluble groups // J. London Math Soc 1928. V 3 P. 98-105

[57] Hall P A characteristic property of soluble groups// J. London Math Soc. 1937 V 12 P 198-200.

[58] Hall P , Higman G On the p-lenght of p-soluble groups and reduction theorem for Burnside's problem // Proc London Math Soc Ser. III. 1956 V. 6, N21 P 286-304

[59] îto N On 7r-structures of finite groups // Tôhoku Math Journ 1952 V. 4, N1. P 172-177

[60] Suzuki M Group theory II, NY, Berlin, Heidelberg, Tokyo* Spnnger-Verl. 1986

[61] Sylow M L Théorèmes sur les groupes de substitutions / / Math Ann 1872. V. 5, N4 P. 584-594

[62] Thompson J. G. Hall subgroups of the symmetric groups // J. Comb Th 1966 V 1, N2. P. 271-279

[63] Wielandt H Zum Satz von Sylow // Math Z. 1954 V 60, N4 407-408

[64] Wielandt H Sylowgruppen und Kompositoin-Struktur // Abh Math Sern Univ Hamburg 1958 V. 22 P 215-228

[65] Wielandt H Zum Satz von Sylow II // Math Z 1959 V 71, N4 P 461-462.

[66] Wielandt H Arithmetische Struktur und Normalstuktui endlicher Gruppen // Conv Internaz di Teoria dei Gruppi Finitine Applicazioni, Fuenze, 1960 Roma Edizioni Cremonese, 1960. P 56-65

Wielandt H Der Normahsator einer subnormalen Untergruppe / / Acta Sci Math Szeged 1960 V 21 P 324-336

Wielandt H. Sylowturme in subnormalen Untergruppen // Math Z 1960 V 73, N4 P 386-392

Wielandt H, Huppert В Arithmetical and normal sructure of finite groups // Proc Symp Pure Math 1962 V 6 Providence RI Amer Math Soc P 17-38

Wielandt H Sur la Stucture des groupes composés // Séminare Dubriel-Pisot (Algèbre et Théorie des Nombres), 17e anée, 10 pp 1963/64 N17

Wielandt H Zusammenghesetzte Gruppen. Holder Programm heute // The Santa Cruz conf on finite groups, 1979. Proc Sympos Pure Math V 37, Providence RI Amer. Math Soc., 1980. P. 161-173

Zappa G Sopra un'estensione di Wielandt del teorema di Sylow // Boll Un Mat. Ital (3) 1954 V 9, N4. P. 349-353.

Работы автора по теме диссертации

Вдовин Е П, Ревин Д О Холловы подгруппы нечетного порядка конечных групп// Алгебра и логика 2002 Т. 41, №1 С 15-56

Ревин Д О Свойство конечных групп в случае 2 0 тт // Труды ИММ УрО РАН 2006 Т 13, №1 С 166-182

Ревин Д О Свойство Dж в линейных и унитарных группах // Сиб матем ж 2008 Т 49, №2 С 437-448

Ревин Д О Характеризация конечных Dn-групп // ДАН 2007 Т 417, №5. С 601-604

Revm D. О The Z^-property m finite simple groups // Algebra and Logic 2008 V. 47, N3 P 210-227 Имеется русск перев Ревин Д О Свойство D7г в конечных простых группах, Алгебра и логика 2008 Т 47, №3 С 364-394

Revm D О, Vdovm Е Р Hall subgroups of finite groups // Contemporary Mathematics. V. 402 (2006) С 229-265

Ревин Д О Свойство D„ в одном классе конечных групп // Алгебра и логика 2002 Т 41, №3 С 335-370

[80] Ревин Д О Суперлокалы в симметрических и знакопеременных группах// Алгебра и логика 2003 Т 42, №3 С. 338-365

[81] Ревин Д О. Холловы 7г-подгруппы конечных групп Шевалле, характеристика которых принадлежит тг // Матем. труды 1999 Т 2, №1 С 157-205

[82] Мазуров В Д, Ревин ДО О холловом ^-свойстве для конечных групп // Сиб мат. ж 1997. Т 38, №1 С 106-113.

[83] Мазуров В Д, Ревин Д О. Арифметические свойства периодических групп // Математика, механика, информатика-2002. Труды конф , поев 10-летию РФФИ М : Физматлит 2004 С. 228-238

[84] Васильев А. В., Вдовин Е П, Макаренко Н Ю, Маслакова О С, Ревин Д. О. Характеризация групп арифметические свойства, автоморфизмы, комбинаторные методы // Мат. III конф молодых ученых, поев 100-летию М. А. Лаврентьева, ч I Новосибирск 2003 г С 13-18

[85] Вдовин Е Л, Заварницин А. В, Колесников П С, Пожида-ев А П., Ревин Д О Группы и алгебры лиева типа // Мат V конф молодых ученых, поев М А Лаврентьеву, ч I Новосибирск 2007 г С. 11-15

[86] Ревин Д О Две .О^-теоремы для одного класса конечных групп Препр. №40. Новосибирск ИДМИ 1999

[87] Vdovm Е Р , Revin D О Hall subgroups of finite groups, Препр №134 Новосибирск: ИМ СО РАН 2004

[88] Ревин Д О Холловы подгруппы неразрешимых конечных групп Диссертация на соискание уч ст. кандидата физ -мат наук Новосибирск 1999.

[89] Ревин Д. О. Холловы подгруппы неразрешимых конечных групп автореферат диссертации на соискание уч ст кандидата физ -мат наук Новосибирск. 1999

[90] Вдовин Е П, Ревин Д О Холловы подгруппы нечетного порядка конечных групп // IV Межд алгебр, конф , Новосибирск, авг 2000 г. С. 46-48

[91] Revin D 0, Vdomn E P Hall subgroups of odd order of finite groups// Wisla, Poland. June 6-10 2000. С 46-47

[92] Вдовин E П, Ревип Д О Холловы свойства Ev и Dn в случае, когда 3 ^ 7г // Межд сем no теории групп, поев 70-летию А И Старостина и 80-летию Н.Ф Сесекина, тез. докл Екатеринбург, 17-21 дек. 2001 г С. 49

[93] Ревин Д О Суперлокалы в симметрических и знакопеременных группах // Межд сем по теории групп, поев 70-летию А И Старостина и 80-летию Н Ф Сесекина, тез докл. Екатеринбург, 17-21 дек 2001 г С 195-197

[94] Ревин Д О Характеризация конечных D^-rpynn // «Алгебра и логика», мат российско-китайск сем , Иркутск, 6-11 авг 2007 г С. 89-93

[95] Ревип Д О Свойство Dn конечных групп // Межд конф «Алгебра и ее приложения», поев 75-летию В П Шункова, Красноярск, 12-18 авг 2007 г, тез докл С 111

[96] Ревин Д О Вокруг гипотезы Ф Холла // Межд конф «Алгебра и ее приложения», поев 75-летию В П Шункова, Красноярск, 12-18 авг 2007 г, тез докл. С 111

[97] Ревин Д О Холловы свойства конечных групп // Российская конф «Математика в современном мире», поев. 50-летию Ин-та ма-тем им С. JI Соболева СО РАН, Новосибирск 17-23 сент 2007 г, тез докл С 37

[98] Ревин Д О Группы со свойством // Межд алгебр конф , поев 100-летию со дня рождения Д К. Фаддеева, С -Пб , 24-29 сент 2007 г, тез. докл. С. 57-61

[99] Revm D О , Vdovm Е Р Existence and conjugacy of Hall subgroups in finite groups // Межд. алгебр конф , поев 100-летию со дня рождения А Г Куроша, М., 28 мая - 3 июня 2008 г., тез докл С 343-344

[100] Revm D. О Generalizations of Sylow's Theorem // Межд. алгебр конф , поев 100-летию со дня рождения А Г Куроша, М , 28 мая -3 июня 2008 г, тез докл , С. 344-345

Ревин Данила Олегович Холловы подгруппы конечных групп

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Подписано в печать 16 07 08 Формат 60x84 1/16

Уел печ л 1,5. Уч -изд. л 1,5. Тираж 150 экз. Заказ №130.

Отпечанатно в ООО «Омега Принт» 630090, Новосибирска, пр. Лаврентьева, 6