Интерполяция функций конечного порядка в полуплоскости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Классическая задача интерполяции состоит в отыскании функции данного класса, принимающей в заданных точках -узлах интерполяции - заданные значения. В общей постановке задача интерполяции состоит в следующем.

На линейном пространстве Q, задана последователь -ность линейных функционалов } • Для данной последовательности чисел|$к J-6*0 требуется найти такой элемент fea , который удовлетворяет условиям , ке N . . ■ (i)

При решении общей задачи интерполяции (1) в линейном топологическом пространстве GL обычно используется следующая процедура: строится система элементов биорто -тональная к системе функционалов и состовляется интерполяционный ряд о ^К 9К • К - -7

Если этот ряд сходится, то его сумма даёт решение задачи (i) . В дальнейшем мы будем излагать результаты исследова -ний интерполяционных задач в классах, состоящих из целых, функций и функций аналитических в верхней полуплоскости С -= £ 2 : CW&> oj", и всюду понимать сходимость в смысле равномерной сходимости на каждом компакте.

Теория интерполяции аналитическими функциями, рождение которой связано с именами Ньютона и Лагранжа, является важ -ной отраслью современного анализа. Интерес к этой тематике обусловлен обширной сферой её приложений в вопросах полноты систем аналитических функций в комплексной области, в теорий дифференциальных уравнений, уравнений в свёртках, краевых задачах, задачах оптимального управления и других областях математики.

Вопросами интерполирования в классах целых функций конечного порядка занимались многие математики. Укажем на ис В.Л.Гончарова [26

60

М.А.Ев

61

2. следования А.О.Гельфовда ¡22 графова 40] , Б.Я.Левина [б8|, А.Ф.Леонтьева. |бз] , И.И.Ибрагимова [41], И.И.Ибрагимова и М.В.Келдыша ¡42], Ю.А.Казьмина [43] , [44] , [45] , Ю.Ф.Коробейника [4?], [48] и других авторов.

Не останавливаясь на задачах интерполяции, связанных с интерполяционными рядами Ньютона, Абеля - Гончарова и другими, рассмотрим следующий интерполяционный процесс, носящий имя Лагранжа.' Пусть в комплексной плоскости £ (иди в полуплоскости С* задана последовательность попарно различных точек £(узлов интерполяции) . В качестве последователь- ности линейных функционалов возьмём последовательность функционалов, определённых формулами

00

Ряд е (?) з) (г-а« )Е'Гак) в котором £ (£) - целая функция с простыми корнями в узлах ак|| » принято называть рядом Лагранжа. Он является интерполяционным рядом для задачи (1) с системой функционалов (2). Целые функции

Е(г)

Е (%) = к (ь^)Ек) к

1, 2>. •., образуют систему, биортогональную к системе (2), которая в отличие от других интерполяционных процессов (Ньютона, Абеля - Гончарова) не сводится к системе полиномов. Одним из первых математиков, начавших систематическое изучение и применение рядов Лагранжа, был Борель [б] . Для того чтобы обеспечить сходимость ряда (3) , Борель [?] предложил в каздое слагаемое вводить множитель (2: / к) * с целыми ^ о или, более общим образом [в] , вместо (з) раосмаофивать рад у ёк ЕЫГ(*) (л) с подходящей целой функцией ) .

Борель попользовал ряд Лагранжа для изучения зависимости особенностей степенного ряда от свойств его коэффициентов, Тейлора.

В 1940 году Б.Я.Левин рассмотрел задачу интерпо - ■ ляции (2) с узлами, образующими К. - множество (см. , гл. 2) . В этом случае известно исключительное множество, вне которого каноническая функция ЬО? ), построенная по множеству узлов » удовлетворяет асимптотическому ра -венству 4|Е( | ~ и можно доказать, что цри условии |) ак) — 2)Кк1 , £> о , ряд Лагранжа (3 ) сходится равномерно на каждом компакте и представляет целую функцию класса С®) ] . Если о=> к^ ^ ~~ множество с показателем §(г) , то для су -ществования целой функции г удовлетворяющей условиям интерполяции (2) , необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство ¿.\ёл мал. а к ак1

2(1 М о

• СЮ

В 1948 году А.Ф.Леонтьев [бО] впервые рассмотрел задачу, получившую впоследствии название задачи свободной интерполяции: определить, каким условиям должна удовлетворять по-с ледова тельное ть узлов . комплексной плоскости для того, чтобы по каждой последовательности чисел шг лмл. удовлетворяющей неравенству

- « § • - • (б) К оо 4м. ( Д. к I можно было построить целую функцию класса [§ , о^] , удовлетворяющую равенствам (2) . Используя обобщённый ряд Лаг -ранжа

00 Е(г> И г-ОЕ'Сак)

К,

V)

К = 4 где -натуральные числа, он доказал, что такими условиями являются неравенства .

Ьл, /1 (V) и

4мал. ОО

1л, Л 5 лт. к м. \к,\ м. ^ {ал.

Е (*к) § где VI(V)- число точек множества £<Я в круге | ^ Г* » к ^

Е (¿) ~ каноническое произведение Вейерштрасса, построенное по множеству узлов • Ранее некоторые достаточные условия разрешимости задачи (2) в пространстве } ooJ нашли Мурси и Уйнн [?о] и А.Макинтайр.и Р.Уйлсон .

Если интерполируемая последовательность {^ц ]" удов -летворяет условию т. < ^ , (в) то задачу интерполяции естественно рассматривать в классе В этом случае, как доказав А.Ф.Леонтьев [61] , для возможности свободной интерполяции в классе ) о© ] V при нецелом £ необходимым и достаточным является выполне -ние условий ^ т. К ( ак | < о^ (9) к -> СХ^ и

Ш (м. —-- <оо , (Ю) к —>I Е 1 (ак)\ где Е (&) имеет прежний смысл. Полностью, без ограничения на порядок, А.Ф.Леонтьев решил эту задачу в классе[§ } оо) в других терминах : необходимое и достаточное условие состоит в выполнении (9) --и

ЬАМ, \CLtl - <00, где V) =П (1 - )» а произведение берётся

С и ^ VI ф К <— по всем ОС^ ф ак , Для которых (1- <3 ) I | < I ( < (1 + 5") ( ак[ .

В более общем классе [ 2 М » 00 ) задачу свободной интерполяции (2) при условии

0(1°6к1 ' (11) решила в 1958 году О.С.Фирсакова ¡86] в форме, аналогичной (9) и (Ю) . По последовательности узлов, удовлетворяющей условию

-sO^Jj

Um. К /ак | < , (12) строится присоединённая функция Ef ( & ) . При нецелом 5 в качестве принимается каноническое произведение с d £ , а при целом % к точг п оо ^ • г л0*2 кам к у предварительно добавляются ещё точки так, чтобы ддя & {¿И. выполнялось условие (12) и условие Линделёфа оо чтобы расстояние любой из точек последовательности ^Ji ^ ^ от точек &сь(шщ , 14 = 0,1.2 § - 1, бшо больше 0ак0 дрзз; некотором el 6 (0;1) и чтобы

I/k + í I ~ i/^J Í/¿J^ цриооединённая функция всегда существует, но не единственна. Для того чтобы каждой г /) i °° последовательности чисел j £ j с ограничением (ll) соответствовала целая функция класса [ §(л) , о^ ) , решающая интерполяционную задачу (2) , достаточно, чтобы выполнялось условие (12) и некоторая присоединённая функция Е^ Удовлетворяла условию

7~ 1<0о, (13)

Ьшь |ак| Ы (Е/ , л

К I Л к; 1 и необходимо, чтобы, кроме условия (12) , условие (13) выполнялось для каздой присоединённой функции.

В работе [8б] О.С.Фирсакова перенесла результаты Б.Я.Левина из [бв] на случай множества узлов интерполяции, обладающего лишь свойством правильной распределённости. Она установила, что при любой системе чисел {ё^ > удовлетворяющей условию (б) , существует функция»из класса [§(/"), > решающая задачу (2) , тогда и только тогда, когда выполняв тся -уел овие $('«■ кО

Ш. К—> о=> а-А 4м.—~— +, а)

Е'(ах)1 О . (14)

В работах [бб] » [67] автор нашёл новые критерии, раз -решимости задачи. (2) , рассматривая распределения единичных масс в узлах интерполяции ^ . в качестве основной характеристики такого распределения выбирается семейство функций . """

2 .5(120 где (4 л, а) - число точек из { ССК] в круге { ^ : | ^ -- ^ 1 • Отправляясь от результатов А.Ф.Леонтьева и

О.С.Фирсаковой, было показано, что для разрешимости задачи (2) в классе [ § о=>] , необходимо и достаточно, существование такого уточнённого порядка $ (Г ) , 4шл. § 3 »

Г-^оо

ЧТО / \ - £

Ф2С/) Л и. ^

Критерий разрешимости этой же интерполяционной задачи в » °° ) состоит в условии о а в пространстве при дополнительном требовании правильности распределения узлов - в условии у . , Г ФМ)

ЬША. \ -£- = 0 . (15) О

Кроме того, в дополнение к результатам, [вб] в доказано, что при вшолнении условия (1б) существует функция вполне регулярного роста с индикатором равным ^ (<9) (т.е. функция из класса ), /? (9 }] ^ ) , решающая задачу (2) .

Задача свободной интерполяции в массах [?(/*) » Й($)] и » р без дополнительных ограничений о правильной распределённости узлов была решена в работах А.Ф.Гришина [зо] »[31],[32Д. Для счётных множеств Е с единственной точкой сгущения на бесконечности им была введена следующая характеристика, которая называется функцией плотности. Пусть И £ - считающая функция множества. Е » т.е. 14. ^(¿О) равно числу точек в множестве ЮПЕ • Пусть

К* /

Обозначим х п - (К )

ЛЮ.йш. , Кг=ис(г,(г) , где С (2,<Г) ={| -г|<б"] .

Функцией плотности множества Е относительно уточнённого порядка называется величина

А.Ф.Гришин доказал эквивалентность следующих пяти ут

• . верждений. * ^ а) для любой последовательности £ ^ } , удовлетворяющей условию ( 5), существует функция р £ ([(в)! со свойством (2) . ^ б) Для любой последовательности { ^ 1 ^ » удовлетворяющей условию (б) , существует функция Рб[§(л)» (1(&)] р со свойством (2) . в) Существует функция Е 6 которая обращается в ноль в каждой точке множества » удовлетворяющая условию (14) . г) В условии в) функция £ £

§(г). I Шр • д) Выполняются соотношения:

1) с1 (К) ( к ) ДЛЯ любого компакта К * где ^ - риссовская мера субгармонической функции

Н(гес&)Л(в) г3 ,

2) выполняется условие (15) .

Импликация в)^=ф а) была доказана ранее А.М.Рус-саковским [77] .

Задача кратной интерполяции состоит в нахождении по о« заданным узлам интерполяции £а ^ } ■ и последовательности комплексных чисел {ё^^} » & = • • •» > К = 2,., функции Р ) заданного класса со свойством

О--О п (^к) = , Ц (и)

Изучая задачу (и) , естественно заменить обобщённый ряд Лагранжа (4) рядом

СО

К = -Г

Чг - а.,

4 (г).

16) где А

С«

Ь^к) к г; который можно сделать равномерно сходящимся на компактах. При этом возникает задача такого выбора полиномов ^ ^ , чтобы ряд сходился и функция Р входила в нужный класс. Одним из первых задачу (и) в классе [§ } решил

Мурси [69] при некоторых специальных предположениях относительно узлов интерполяции. Г.П.Лапин [54] »[55] перенёс результаты А.Ф.Леонтьева о свободной интерполяции в классах [ § ) оо] , [^ оо ) на задачу о красной интерполяции. Теория кратной интерполяции в пространствах целых функций, описываемых уточнённым порядком ¡?(л) , ив се

- п мействах таких функций получила дальнейшее развитие в работах А.В.Братищева и Ю.Ф.Коробейника [э] ,[11] . Задачи кратной интерполяции в классе [?(/*"') , <5ш1и Ре~ шены в работах А.В.Братищева [ю] и независимо в работах А.М.Руссаковского [7?] , [78] . При этом в случае произвольного множества узлов интерполяции были найдены достаточные условия разрешимости задачи (и) , а при дополни -тельном предположении о правильной распределенности узлов эти условия являются и необходимыми. Наконец, в совместной работе А.Ф.Гришина и А.М.Руссаковского [35] результаты А.Ф.Гришина об интерполяции в классах » были перенесены на задачу о кратной интерполяции. После этого задачи свободной интерполяции в классах целых функций конечного порядка С^СО , сад были исчерпаны.

Интерполяционные задачи в различных локально выпуклых пространствах функций рассматривались в работах Ю.Ф.Коробейника [49] , [бо] .

Интерполяционные задачи в классах аналитических функций в единичном круге и в полуплоскости С »по-видимому, впервые рассматривались в работах Г.Пика [74] и Р.Неванлинны [71] , которые независимо один от другого в разной форме нашли критерий того, чтобы существовала функция р (с) , голоморфная в открытом единичном круге, отображающая его в Правую полуплоскость, решающая задачу (2). Эти задачи известны как проблемы Неванлинны, - Пика, они получили развитие в работах М.Г.Крейна и А.А.Нудель-мана (51) .

Г.Д.Трошин [82] продолжил исследования А.Ф.Леонтьева и О.С.Фирсаковой, рассмотрев интерполяционную задачу в классе функций, аналитических в угле | а^ £[< Л /(2£) (х/2. При этом предполагалось, что узлы интерполяции расположены внутри меньшего угла:|ог^£| ^ Я /(2§) - £ (2 > о) .

В 1958 г. Л.Карлесон [4б] нашёл необходимые и достаточ

У' ные условия интерполяционноети множества | Сс к } в классе

-( ограниченных функций в полуплоскости С Л.Карлесон 0 сформулировал свой результат для единичного круга) (см. теорему Карлесона в §з). Позже Шапиро и Шилдс йашли более простое доказательство теоремы Карлесона [89^ . Эрл.[90] в 1970 г. решил интерполяционную задачу в {-| °° с помощью сдвига узлов интерполяции. П.Джонс [37] предложил простое и непосредственное доказательство теоремы Карлесона с помощью, ряда, в некотором смысле обобщающего ряд Лагранжа. Другие варианты и прило- ' жения к задачам интерполяции даны в статье С.А.Виноградова [17] . Не классические задачи кратной интерполяции в Н°° рассматривались в работах В.И.Васюнина [13] (см. также Н.К.Никольский [73^) . И. В. Виде некий [Дб] , используя идеи Эрла, показал, что условие Карлесона (3.1) при дополнительном ограничении на кратности и ^ ^ < °° > ^ = 1.2,., (17) является достаточным для разрешимости задачи (й) в классе Н^ для всякой последовательности к ^ , удовлетворяющей условиям

•• у п.к (к ~ 1) • •

Заметим, что при решении интерполяционных задач методом Эрла оператор, решающий поставленную задачу является нелинейным. В.М.Мартиросян [б8] . используя идеи Джонса,, цри ограничениях (3.1),(47) на узлы интерполяции, построил ряд, решающий задачу (и) в случае, когда последовательность ^ удовлетворяет условиям (Чв) •

В классах ^ при ограничениях (3.1) и (17) задачи кратной интерполяции рассматривались в работах М.М.Джрбашяна щ

39] и других армянских математиков ( обзор см. в работе [68])

В статье С.А.Виноградова, С.Е.Рукшина рассматривались задачи кратной интерполяции в классах Харди с узлами неограниченной кратности, когда джонсовское доказательство невоз -можно (отсутствует какой бы то ни было линейный оператор интерполяции) .

В 1975 г. Б.Я.Левин и Нгуен Тхыонг Уен [59] рассмотрели интерполяционную задачу (2) в классе [ ? ; функций по рядка $ > 1 в полуплоскости £ . Они показали, что для того чтобы по каждой последовательности £ ^ к ^ ^ ' летворяющей условию (б)и имеющей единственную точку сгущения на бесконечности-,- можно было построить функцию класса [ £ , о^З^" » удовлетворяющую равенствам (2) необходимо, чтобы при любом £, > о сходился ряд 1 Д8 < ~ с*) им. -. -1777—7^, (Ш)

И, —> о=>

- 14 • о и достаточно, чтобы выполнялось условие (19) и

--— ,(21)

I Е (ац ) I где Е (£)- каноническое произведение Неванлинны множества $ п \ . При этом дополнительно предполагалось, что 1 и ^ 4 ^

1 г п множество X а х имеет единственную точку сгущения на бесконечности это следует и из условия [21] . Условие '\2iJ накладывает ограничение на скорость убывания Уш (I ^ , а именно, справедливо асимптотическое неравенство (£ > о) , (22) которое позволило авторам строить решение задачи (2) в виде ряда (4) .

Эти исследования были продолжены Н.Т.Уеном [83] в классе ["§ } оо] при § > 1. Было доказано, что для того чтобы по каздой последовательности £ ^ ^ , удовлетворяющей условию (в) , можно было построить функцию класса

С* удовлетворяющую равенствам (2), необходимо, чтобы

Г ^(«^С^) в 0(Г-9) . (23)

1 I ** ^ г- \ Г 7 С>° и любая присоединённая функция с ^ ) множества -^Ос^ удовлетворяла условию: мм. -^ --— < оо . . и-^/а^ ^а^Н (О! ' ^ и достаточно, чтобы выполнялось (23 ) и некоторая присоединенная функция £. (2) удовлетворяла условию:

Ьмл. -^—М.--- < ^ • (25)

И1аи.1 З^а^Е^и.)!

Кроме того, предполагалось, что множество Ха. \ имеет единственную предельную точку на бесконечности. Н.Т.Уеном было также показано, что при целом § > 1 и выполнении условия (23) существует присоединённая функция множества^ . Как и в предыдущем случае условие (25) накладывает опреде -лённые ограничения на > аналогичные (22) .

Полностью задача простой свободной интерполяции в классах [ § } о=>] , [ § , ) при § > 1. была решена в работах [91] ,[92]. Была также решена задача свободной интерполяции в классе [?(г) , в случае непрерывного индикатора при дополнительном предположении о правильной распределённое™ узлов в С* . Было показано, что условия (49) ,(2о) являются необходимыми и достаточными разрешимости задачи (2) в классе , а условия (23) ,(24) - в классе [ ) • ) ^ .'кроме того, если множество правильно распределено в (£ ^ , то для того чтобы для любой последовательности удовлетворяющей условиям (5 ) и (и) существовала функция из класса [§ (г) , /г ($)] (й. (О) - непрерывный ицдикатор , необходимо и достаточно выполнения условий: иф ---Л --- С ОЗ

7 2 ОМ ' (2б)

У У 4

0. (27)

I'¿М. 1(вп)+ --- ^ а/0"*0 ^к|ЕК)|]

Условия разрешимости интерполяционной задачи в классах

ГГ [?Св , + , , & С®}] ^ были оформулированы также в терминах функций ФуС-О : Ш

О^5 где VI* = Сси^ак) » ~ точка из » ближайшая к ? для разрешимости задачи (2) в классе необходимо и достаточно, существование такого уточнённого порядка 5(Л) , (ш £(>) = § , что

Ф^бО * с/.,

В классе , у эти условия имеют ввд:

Ш) \ -5----- < <>о . (28)

В классе для разрешимости задачи (2), необходимо и достаточно, выполнение условия (28) и

1мл, С =0- (29)

При решении интерполяционных задач использовались идеи Эрла.

Используя метод 9 - проблемы хёрмандера. и результаты решения задачи (2) в классе [§(/"} ,0>'0) А.М.Руссаков -ский [79] показал, что для разрешимости задачи (2) в классе С§(Л), , где (&) - разрывный, ограниченный на отрезке Со;5Ц индикатор, при дополнительном предположении о правильной распределённоети узлов, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие (2б) , а условие (27) выполнялось для точек ОС А , принадлежащих углу {¿4 оы^ £ ^ 51 - 8 } при любом £ > о. 1фоме того, им была решена интерполяционная задача в случае, когда /г (0) - неограниченный, на интервале (о; 51) индикатор. ^

Задачи кратной интерполяции в классах [?, при § > 1, отличающиеся от задач свободной интерполяции, рассматривались Н.Т.Уеном [84] ,[8б] . Им были найдены условия необходимые и условия достаточные для их разрешимости, аналогичные условиям ("19 - 21) и условиям (23-25). Задачу свободной интерполяции с кратными узлами в классе с разрывным индикатором рассматривал Русса-ковский А.М.[тэ] . Им были найдены условия для её разреши -мости при различных ограничениях на узлы интерполяции, аналогичные ограничениям, вводимым Й.Т.Уеном. Кроме того, решалась задача (и) в случае неограниченного иццикатора.

Перейдём к изложению содержания диссертации. В диссертации интерполяционная задача (и) для классов функций LS . решается в таком же объёме как и в работах А.Ф.Леонтьева по классам [ § , о=>] , , ^) и А.Ф.Гришина

А.М.Руссаковского по классам [?(л), &(&)] , [ S W »^(^Ир для целых функций. В этих работах полностью исследована ин -терполяционная задача в- соответствующих классах целых функ -ций. Мы также-рассматриваем вопросы, связанные с возможностью разрыва индикатора в граничных точках 0 и !)с »которые не имеют аналога в классах целых функций. Шз предыду -щих работ по интерполяции голоморфными функциями в полуплоскости наши исследования наиболее тесно примыкают к исследо -ваниям Г.Д.Трошина [82] , Б.Я.Левина и Н.Т.Уена [59] , Н.Т.Уена [83] , А.М.Руссаковского [79] . Кроме того, задача интерполяции в классах [§ , ^ , » ) » оказывается связанной с задачей интерпоц С>° ляции в классе П . Наше определение задачи свободной интерполяции в классе f-j °° без ограничений на кратности узлов интерполяции оказывается таким, что необходимым уело -вием разрешимости такой задачи является ограниченность последовательности кратностей узлов интерполяции. Это утверждение отсутствует в работах предыдущих авторов по задаче интерполяции в классе hl для полуплоскости.

В первой главе диссертации решается задача (и) в клас -сах [§ , с<>2 ^ и , ) + . Основной результат для класса [§(д), с>о) формулируется следующим образом ( теорема 3.1) .

Следующие три утверждения эквивалентны. 1) для любой последовательности £ ^ » К =4»• • •» {I =1,2,., удовлетворяющей условию ^

4 I к I ¡4. где = Г ^^ , -А-ц = И^1 {1; Я-и.} °злдест вует функция 6 о°) со свойством (и) .

2) Пусть Й) = » - дивизор. Если § - не целое, то каноническая функция дивизора оО удовлетворяет условию

ЪМ) —7-ч ^ - 111 <оо , /31) где

Л " и.

В случае целого £ для разрешимости задачи (и) необходимо, чтобы условие (31) выполнялось для любой присоединённой функции дивизора и достаточно, чтобы (31) выполнялось хотя бы для одной его присоединённой функции Е (%) •

3.1) При любом (Г £ (О;1)

Г Ф ( $т. & Д--г1 л с У* Л

6 о где & = си^ £ о^

32)

3.2) и. о<=> А зз)

VI

Аналогичная теорема 5.1 справедлива для класса [§ ,

Кроме того, показано, что условие (±7*) являетоя необходимым для разрешимости задачи (и) в Н ^ • Используя идеи О.Лагранжа, З.Бореля, П.Джонса, мы получаем решение задачи (и) в виде ряда.

В главе II вводится понятие множества регулярного роста функции, аналитической в полуплоскости С+ • Аналогичное понятие для целых функций введено А.Ф.Гришиным [зо] . Пусть 5 С С • Множество Е называется множеством регулярного роста функции ^ ) в полуплоскости (С , если существует отображение т множества Ь. в ^ , обладающее свойствами: • - . " -г/ йм. —^ « 1, -—^

2->з>=> £ ££ £ Зк I (*) € Е

- Ы«^*) ©О мал. о. —^ оо гет(Е)

Сформулированное определение позволяет говорить о функциях, регулярно растущих на множестве своих корней. Этот класс функций исследуется в главе II. Класс функций, регулярно растущих на множестве своих корней, естественным образом появляется при исследовании интерполяционной задачи в классе

-[0)1 * «Мы доказываем два утверждения, в которых описывается данный класс.

Пусть - аналитическая в С * Функция с индикатором относительно уточнённого порядка §(/**) , регу лярно растущая на множестве своих корней. Тогда эта функция

С-|, « функций ■ некоторой функции вполне регулярного роста относительно порядка ) в С + с индикатором •

Пусть ~ аналитическая в С ^ функция с индикатором относительно уточнённого порядка $(?-), регулярно растущая на множестве своих корней, = Г

-:- ,

-»оо V где £ Ъщл. - означает предел в топологии, пространства обобщённых функций в С Тогда имеет место равенство о(» = И (*) цри г е !>ур/ , где ^ ^ - неванлинновская мера функции . Заметим, что для любой функции порядка в имеет место неравенство [з] : Н(%) .

Кроме того, если $.(0) - непрерывный на отрезке [о; 5]] индикатор, то верхняя аргументная плотность множества корней функции > являющееся её множеством регулярного роста, непрерывна в точках 0 и Я .Для функций вполне регулярного роста в замкнутой полуплоскости С + этот результат был доказан Н.В.Говоровым [23] .

Третья глава посвящена решению интерпсхляционных задач в классах [<?(>) ,&(0)1 , , йф)] р . Причём по своей постановке и решению различаются случаи, когда индикатор (&} непрерывен на сегменте [о; Я] и когда он терпит разрыв в точках 0 и для счётных множеств Е С С ш используем функции плотности: где (К) = ^Г 3-т • Аналогичные функции геЕпк }! для множеств в' плоскости рассматривал А.Ф.Гришин. ^

Пусть ) - непрерывный на отрезке [о; ЯЗ индикатор. Следующие пять утверждений эквивалентны. а) Для люббй последовательности ■[ ^ ^ ^ , удовлетворяющей условиям (28) и | кк^ (к )! к / /9 и» П п где = Гк 6 , существует функция [^»й.^] со СВОЙСТВОМ (и) . О, кая б) В п.а) функция Рв , р в) Существует фушшдя Е(£) £ . Л* та~ , ЧТО Ю С ® £ и выполняются условия (29) и ш

Г ->оо ИУ У ко

- О р

У^и) д

И, д) Выполняются соотношения:

1) с/ ^ С« ) ^ ^ (К) для любого компакта К ; оО V Н

2) справедливо (зо) и

3) справедливо (31) и 4 ^^ мал. А о Ш

Аналогичные утверждения доказаны в случае когда ограниченный на отрезке индикатор.

Основные положения диссертации, вынесенные на её защиту. 1) Решение задач свободной интерполяции с кратными узлами в классах причём в последнем случае различаются когда - непрерывный или ограниченный на отрезке [о; ЯЗ индикатор.

2.) Теоремы о функциях регулярно растущих на своих кор

П + нях в полуплоскости (Ь . Построение функций вполне регуляр

- 24

V | ного роста в полуплоскости £ * с заданным индикатором, удовлетворяющих различным дополнительным ограничениям.

Основные результаты, полученные в диссертации, опубликованы в работах [91 - 100] автора, приведенных в списке цитируемой литературы. По теме диссертации делались доклады на VI конференции " Некоторые проблемы комплексного анализа", г.Черноголовка, 1983 г., в Краснодарской математической школе в сентябре 1985 г., на семинарах в г.Харькове Груко • водитель Б.Я.Левин) , г.Донецке ^руководитель В.И.Белый) , г.Санкт-Петербурге ( руководители В.П.Хавин и Н.К.Никаль -ский) , г.Москве( руководитель Ю.А.Казьмин) , г.Харькове (руководитель В.А.Марченко) , г.Львове (руководитель А.А.Гольдберг) .

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

91. Малют-Хн К.Г. 1нтерполяц1я правильних. множин у верхней п1впл0щин1. Допов. Ш УРСР, 1981» 5, 16-19.

92.Малютин К.Г. Интерполирование в полуплоскости обобщёнными каноническими произведениями. Теория функций, функщюнальнем анализ и их приложения. Харьков, 1986, 45, 84-96.

93. Малютин К.Г. Кратная интерполяция в полуплоскости в классе аналитических функций конечного порядка. Теория функций, функциональный анализ и их приложения. Харьков, 1993, 58, 69 - 78.

94. МалютГн К.Г. В1льна. 1нтерполяц1я з краткими вузлами у верхней нап1вплощин1. допов. АН Укра1ни, 1992 , 6 , 25 - 27.

95. Малютин к.Г. Множества регулярного роста, в полуплоскости. 4