Исследование поведения нескольких умеренно крупных частиц в неоднородных средах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

5 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

' МОСКОВСКИЙ

ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ имени СЕРГО ОРДЖОНИКИДЗЕ

УДК 533.6 на правах рукописи

ЛЕВИН Владимир Валентинович

ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ НЕСКОЛЬКИХ УМЕРЕННО КРУПНЫХ ЧАСТИЦ Э НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ

Специальность 01.G2.05 "Механика жидкости, газа и плазмы"

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА 1993

Работа выполнена на кафедре теоретической физики Московского ордена Трудового Красного Знамени педагогического университета

Научный руководитель - Заслуженный деятель науки Российской Федерации, доктор физико-математических наук, профессор Яламов Ю.И.

Официальные оппоненты: ведущий научный сотрудник ЦАГИ, доктор

физико-математических наук Галкин B.C., старший научный сотрудник Института проблем механики,кандидат физико-математических наук Смирнов Л.П.

Ведущая организация - Московский государственный технический

университет им.Баумана

у

Защита состоится " * -Л "_X,_ 1993 г. в

часов на заседании специализированного совета К 053.18.02 в Московском авиационном институте имени Серго Орджоникидзе (125871, Москва, Волоколамское шоссе, 4).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ПАИ.

Автореферат разослан "_,_"_ 1993 года

Ученый секретарь специализированного совета, кандидат физико-математических

наук, доцент , Лобанова Л..«

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследования

Газовая среда с взвешенными в ней частицами составляет аэро-[исперсную систему. Такие системы наблюдаются и в природных явле-1иях, и в практической деятельности человека. Естественно встает :адача предсказывать поведение аэрозольных частиц в среде и управлять процессами, протекающими в таких системах.

Аэродисперсные системы находятся преимущественно в термоди-(амически неравновесных состояниях с различными типами неоднород-¡ости. Из всего разнообразия неоднородностей для теоретического нализа выбран градиент температуры. Его наличие в среде приво-;ит к движению частиц. В газах движение твердых частиц обуслов-ено нескомпенсированностыо передаваемого им от молекул импуль-а, а движение неиспаряющихся капель - еще и зависимостью коэф-ициента поверхностного натяжения от температуры. Движущиеся аэ-озольные частицы генерируют в газовой среде поле скорости, по-редством которого при достаточно малых расстояниях друг от дру-а осуществляется их гидродинамическое взаимодействие. В настоя-ее время имеется достаточно полная, теория термофореза одиночных астиц и дисперсных систем крупных частиц низкой теплопроводнос-и.

Цель настоящей работы - развитие теории термофоретического виже- ия гидродинамически взаимодействующих аэрозольных частиц, аключающееся в учете всех линейных по числу Кнудсена эффектов

граничных условиях при анализе движения двух умеренно крупных астиц - как тзердых, так и жидких; расположенных произвольно тносительно градиента температуры в газе вдали от дуплета.

Основные задачи:

1. Получить аналитические выражения для•мгновенных'екорос-ей установившегося термофоретического движения двух умеренно рупных неиспаряющихся сферических капель пр.и произвольном рас-эложении линии центров частиц относительно.постоянного на бес-

конечности' градиента температуры.

2. Построить рекуррентные соотношения для коэффициентов решений уравнений Лапласа и Стокса в биполярных координатах для умеренно крупных твёрдых частиц.

3. Проанализировать зависимость гидродинамического взаимодействия от: а) разреженности газа; б) теплопроводных свойств частиц и газовой среды; в) внутренних течений жидких частиц; г) температурной зависимости коэффициента поверхностного натяжения капель.

4. Применить полученные распределения для тепловых полей в задаче по вычислению коэффициента теплопроводности аэродисперсной системы. ^

Научная новизна диссертации

1. Предложена векторная форма записи граничных условий для умеренно крупной твердой частицы в системе произвольных криволинейных ортогональных координат.

2. Разложение поля скорости на сферической поверхности на потенциальную и с<рленоидальную части применено для записи гранич ных условий на основе векторной функции, заданной на сферической поверхности умеренно крупных нелетучих капель.

3. Проведен численный анализ уравнений движения двух крупны аэрозольных частиц, подтверждена возможность квазистационарного описания поведения дуплета.

4. Получены формулы мгновенных термофоретических скоростей гидродинамически взаимодействующих частиц с учетом линейных по числу Кнудсена эффектов в граничных условиях.

5. Выполнены количественные расчеты по полученным результатам для различных физических характеристик вещества частиц и среда. .

6. Разширено решение задачи о теплопроводности аэродисперсн системы на случай умеренно крупных высокотеплопроводных частиц.

Основные положения. выносимые на защиту

1. Векторная форма граничных условий на поверхности умеренно крупной твердой частицы в произвольной системе ортогональных координат.

2. Доказательство квазистационарного и поступательного характера термофоретического движения крупных частиц численным интегрированием динамических и кинематических уравнений движения.

-3. Формулы проекций мгновенных термофоретических скоростей умеренно крупных неиспаряющихся капель с учетом поправок на гидродинамическое взаимодействие с точностью до третьей степени отношения радиуса любой капли к расстоянию между их центрами, играющего роль малого параметра.

4. Решение задачи об осесимметричном обтекании двух твердых умеренно крупных частиц, являющееся критерием точности приближенного решения произвольного термофоретического движения частиц.

5. Существенное изменение термофоретического движения частиц эколо капли в результате ее гидродинамического влияния-.

6. Формулы для коэффициента эффективной теплопроводности в иисперсной системе'с высокотеплопроводными умеренно крупными частицами

Структура диссертации

Диссертация состоит из Введения, четырех глав с выводами,' Заключения, Списка литературы и Приложений.

Практическая ценность исследования

Полученные результаты могут быть использованы для анализа жзических свойств аэродисперсных систем и для проведения конк->етных инженерных расчетов, связанных с движениём совокупностей [астиц в неоднородных газовых средах.

Апробация работы

Результаты диссертации представлялись на XIV Всесоюзной. :онференции "Актуальные вопросы физики .аэродисперсных систем"

(1986, г.Одесса) и на IX Всесоюзной конференции по динамике разреженных газов (1987, г.Свердловск).

Публикации

1. Гайдуков М.Н., Левин В.В., Терзян A.B. Движение ансамбля из нескольких аэрозольных частиц в неоднородной по температуре среде. Исследование влияния разреженности среды. В кн. "Избранные проблема физической кинетики и гидродинамики дисперсных систем", МОПИ им. Н.К.Крупской, М. , 1987, с. 110 - 128. Кн. депонирована в ВИНИТИ. Деп. № 2675 - В87.

2. Левин В.В., Терзян A.B., Коструба В.Н. Движение ансамбля из нескольких аэрозольных частиц в неоднородной по температуре среде. Исследование влияния вращения и многочастичных взаимодействий. В кн. 'Избранные проблемы физической кинетики и гидродинамики дисперсных систем", МОПИ им. Н.К.Крупской, М., 1987, с. 129 - 146. Кн. депонирована в ВИНИТИ. Деп. № 2675 - В87.

3. Левин В.В. Две умеренно крупные сферические капли в поле постоянного градиента температуры. В кн. "Физическая кинетика и гидродинамика дисперсных систем", КОПИ им. Н.К.Крупской, 1987, С. 58-71. Кн. депонирована в ВИНИТИ. Деп. № 6585 - В87

4. Терзян A.B., Гайдуков H.H., Левин В.В. Поведение дуплета умеренно крупных аэрозольных частиц в неизотермической среде. - ИФ®, 1987, т.53, № 6, с. 1025 - 1026. Статья полностью депонирована в ВИНИТИ. Деп. № 4388 - В87.

5. Гайдуков H.H., Левин В.В. Две умеренно крупные сферические капли в неизотермической вязкой среде. В кн. "Тезисы докладов IX Всесоюзной конференции по динамике разреженных газов", Свердловск, 1987, т.2, с. 49.

6. Левин В.В., Терзян A.B. Вычисление коэффициента эффективной теплопроводности с учетом граничных условий второго порядка. В кн. "Актуальные проблемы физики и механики аэродисперсных систем", МОПИ им. Н.К.Крупской, 11., 1989, с. 164 - 170. Кн. депонирована в ВИНИТИ. Деп. № 580 - В89.

7. Яламов Ю.И..Гайдуков М.Н..Левин В.В. Термофорез двух ча тиц при малых числах Кнудсена. - М., МПУ, 1993, с.1 - 9. Статья депонирована в ВИНИТИ, деп. № 1029 - В93.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Диссертация начинается с Введения, где дается общая характеристика исследования и обзор предшествующих работ по теме диссертации, определяется цель и задачи диссертации, подчеркнута актуальность, новизна и практическая ценность исследования, изложены положения, выносимые на защиту.

Первая глава - "Гидродинамический метод построения теории термофореза умеренно крупных аэрозольных частиц" -.содержит изложение основ гидродинамического подхода к исследованию термо-форетического движения совокупности умеренно крупных аэрозольных частиц.

Как отмечено во Введении, по математической модели явления выделяется три подхода, определяющим в которых служат интервалы значений числа Кнудсена, равного отношению средней длины свободного пробега молекул А к радиусу частиц Н. Для умеренно крупных частиц выполняется условие:

0,01 з Кп < 0,3 , (1)

что дает возможность рассматривать среду сплошной и описывать ее движение с помоп-ыо уравнений динамики вязкой жидкости. Наличие градиента температуры в среде приводит к необходимости принимать во внимание и положение теории теплопроводности.

Будем полагать, что среда изотропна и несжимаема, что имеющиеся в газе и внутри частиц разности температур таковы, что физические свойства можно считать независящ:таи от температуры, но достаточны, чтобы в сравнении с ними можно пренебречь изменениями температуры, обусловленными выделением тепла, связанным с диссипацией энергии путем внутреннего трения. Предположим также отсутствие внешних сил и источников тепла вне и внутри частиц.

При термофоретическом движении аэрозольных частиц числа Рей-нольдса и Пекле много меньше единицы. Векторные поля скорости в среде и внутри капель определяются уравнениями Стокса:

(Иу ? - 0, (2)

- V?, (3)

скалярные поля температуры - уравнением Лапласа.

у2Т - О и

Решения уранения Лапласа и уравнений Стокса должны удовлетворяться на поверхности частиц. Граничные условия для умеренж крупный частицы в произвольной, системе криволинейных ортогональ-•ных координат, связанных с поверхностью частицы, имеют вид.

Те " Та ~ ^^Г^еЭ' (5)

<*.Л> * ^-^[Т Л" . С7?

ео - 2 2 ■'

<?Л> - ■ ■

V , . л •

где Т - у<утв) + {у(утв)}\ П = (у?)', Тч - ?к-0?,-Т) и

П^ ^ = Звездочкой отмечен сопряженный тензор.

В (5) - (8) К„„, Ст - коэффициенты теплового и изотермического То го

скольжения газа вдоль плоской поверхности., Кт - коэффициент скачка температуры у плоской поверхности; величины С^, С^, . и Эв, входящие в члены, пропорциональны? А и появляющиеся в граничных условиях при учете кривизны поверхности и барнеттовских вкладов в функцию распределения молекул среды по скоростям, являются сложными функциями коэффициентов аккомодации тангенциального импульса и энергии.

Как только краевая задача внешнего обтекания, сферы решена. можно рассчитать силу и момент относительно центра сферы, действующие на частицу в данном потоке:

^Г Р„ йэ, (9

г А г

. ? = Г ? х Р-аз, • С 1С

. . тН °

где Рг= - ^ Р + Ч^ар ~ г) + г вектоР напряжений на по-

верхности частицы.

По вычисленным силе и моменту определяются скорости поступательного и вращательного движения частиц и их координаты инте—

- В -

грированием уравнений движения:

ш || - t, (11)

За время движения на расстояниях порядка радиуса частиц скорости термофореза последних достигают значений, при которых силы вязкого сопротивления уравновешивают термофоретические. Наступает квазиустансвившееся движение с медленно меняющейся скоростью, которая находится из условия равенства нулю результирующей силы.

Во второй главе - "Термофоретическое движение двух сферических частиц вдоль линии центров*-- получено точное решение задачи о термофорезе двух твердых умеренно крупных частиц. При параллельных линии центров частиц и градиенте температуры в среде создается картина осесимметричного обтекания частиц средой. Списание потока с осевой симметрией осуществляется с помощью функции тока i, через которую скорость в среде выражается следующим образом:

'-bAgVv.JIV (14)

2 \

где и ?2 - ор-ы систег-i координат, h , hg, h - метрические коэффициенты.

Уравнение для стационарного осесимметричного движения вязкой жидкости при малых числах Рейнольдса имеет вид:

Е2(Е2*) - о. (15)

„„„ рз _ htV_э fVa _в \ . _а _а Г

Д "~h3L«4tlha aqj+eq^"^ flqjj

Решение этого уравнения с одновременным удовлетворением граничным условиям на двух сферах получено Стимсоном и Джеффри в системе биполярных координат и выглядит так:

» - (eh? - Д)"3/2Е яп(е)с;1/г(д), ав)

где Wb(5) - anch(n-|)c + bnsh(n-|Ji% c,ch(i»A)e + ¿„shfn+f)* ,

и = cosC- Коэффициенты a , Ь , с , d находятся из гидродинами-

п л п п

ческих грлничных условий (7) и (8). Последние в правой части имеют производные от температуры в среде. Это требует первоначально . решить задачу о распределении температуры.

Уравнение Лапласа в биполярных координатах имеет следующие решения: а) для среды

.6) для частицы с £>0

vi/z! п>0

' Т -|(ГГ ) 1с(с11С-й)1/г1: С е-(п»1,'г)€р (и) (1в) 1 е в п п п=0

в)'для частицы с £<0

1с(сЬ?-д),/2Е 0 е(п*1/г>Ср (д) (19)

г ■ ее' _ п п

п«о

Коэффициенты Ад, Вд, С^ и 0п определяются из тепловых граничных условий (5) и (6).

Преобразования граничных условий приводят к рекуррентным соотношениям для искомых коэффициентов. Вычисления проводятся путем обрывания ряда на большом номере и решения соответствующей системы, составленной из рекуррентных соотношений.

Как.только задача внешнего обтекания решена, можно найти силы, действующие на частицы. Стимсон и Джеффри показали, что силы, необходимые для поддержания движения сфер, выражаются формулой:

2ПТ} ш

,--тг— Е (а ± ь + с ± а ). (20)

1,2 С п п п п

п«2

Для одинаковых частиц коэффициенты В , Ь и с! равны нулю и реп п л

зультаты для. сил совпадают.

Третья глава - "Приближенное решение общего случая термофо-ретического движения двух капель" - посвящена исследованию, в котором определяется влияние гидродинамического взаимодействия на мгновенные скорости поступательного движения капель.

Исследование строится на основе решений уравнений Стокса и Лапласа в сферических координатах. Решение уравнений Стокса получено Ламбом и имеет различный вид для области вне и областей внутри сферических частиц. В первом случае оно записывается так:

n»i е

--------------(п.И

е (215

+ уф + _П±1_ р 5*]

-(n»l ) 1JeIl(2n-l) -(n.l) J'

во втором случае имеет следующую форму:

n* 1 u a

+ 'Ф„ " т) (п+1)(2п+3) pn?] ■

a '

В решениях (21) и (22) введены следующие обозначения: X -г",п*1>ГА PB(cosiJ)sinm(p,

- (n*l ) ran n

**n

Ф , r~'n,-1V В P"4cosi>)cosrap,

~(n*l) nn n

ПВО

p - r-(n + l >„ D p*(cos#)cosmg>t

- (n*l> _ can n

QBO

(22)

X - rn Г L P"'(cost»)sinni(p,

n _ ЯП n

ю * О n

Ф - rn Г M P*(costf)cosmo,

n _ ran n

га * О

n

P - rn Г N P"4cos«)cosmp.

n „ an n

B"0

Общий вид решений уравнения Лапласа для внутренней и внешней областей по отношению к сферическим поверхностям частиц записывается следующим образом:

Т .Гг'1"11?? PB(cost»)cosm(p, (23)

е „ „ яп п

n "-0 ¡я » О

о» п

Т - Г г" Г т P"(costf)cosmp. (24)

& _ _ an n

п**0 я»р

Коэффициенты T,t,A,B,D,L,M и N вычисляют-

ап вп вп вп вп яп юп вп

ся из граничных условий

ат

тв - т - кл тг2, (25)

ат е ат* т

- - С ко-52А Тв. (26)

евг а эг q е R «, <р е

[ferlB - (27)

[v I - О. (28)

r av avar,R •

\r -¿F - r -»fFl- - -rV^(R,i»,p), (29)

яР<е,в k a R яр<а'

?.v.P^.a)]R - ?-7-nr(R,»,V), (32)

4-

эП_

(30)

(31)

где иПрСй.в,?) - векторные функции угловых переменных

на поверхности частицы.

Вследствие линейности уравнений Стокса и Лапласа, а Также и граничных условий поля скорости и температуры в среде можно выразить суперпозицией невозмущенного поля и возмущений, вносимых каждой частицей дуплета:

Т - Т + 7Т + £ Т^1'. (34)

I »1

где и т'1> - решения (21) и (23) в системе координат, свя-

та е

занной с «.-той частицей.

После подстановки (33) и (34) в (25 - 32) на поверхности каждой частицы в любом уравнении есть объемные сферические гармоники в координатах обеих частиц. В граничных условиях на поверхности конкретной частицы возмущение от другой частицы необходимо представить в координатах первой. Выполняется это преобразование с помощью формул переразложения объемных сферических гармоник:

. .." . /1". \»

>) при ¡>к

ГШ (35

2",ПФ1,Е<-1)~в /в [тЧ'у (»,»>) при |<к

вп[1 | ■■ к

где 1 - расстояние между центрами частиц,

_ (п+з)!

- <п*г >у (1) I »п } г

ЦП I 1 I щ к • ■* 4

вп (т+5)!(п-ш)! ' В полученной системе уравнений относительно искомых коэффициентов выделяем.в левой и правой частях каждого уравнения выражения при одинаковых сферических гармониках и приравниваем их друг другу. Дальнейшие вычисления неизвестных коэффициентов проводятся методом последовательных приближений по степеням малого параметра, в роли которого выступает отношение радиуса любой частицы к расстоянию между центрами частиц дуплета.

Легко показать, что действующие на каждую частицу сила и момент относительно ее центра определяются лишь гармониками Р и X .:

-МЮ , Ч

Г - - 4п7[г^ Р^Ч, (36)

С " ~ 8л1>е*К (37>

В случае квазистационарного движения результирующая сила равна нулю. Это условие позволяет определить мгновенную скорость установившегося термофоретического движения каждой частицы:

с- - ^КШИ'-МЦ:» -1

где Ь(к> = [1+2СтКп+|^)12(1+агКтКп)+*-2СчКп1 .

+(Рв-Рв)Кп(*-2СчКп).

г с т

и'к ,=.|1+(Рв+0в)Кп+2^ Кп (1+*КтКпМ0в-ев)Кп(*-2С Кп) , I те ^

р(к>- 1+2К С Кл2, т Ч

<з<к)=(*-2с Кп)(1-к )-(1+*к Кп),

Ч о Р т

(ь1-ьа:К Кп-^-2СдКп к^

л ~2(1+жК Кп^+х-гс Кп • * ~ г • ч е

ЧетБ-ртая глава - "Вычисление коэффициента эффективной теплопроводности аэродисперсной системы" - дает пример использования, промежуточных результатов второй и третьей глав.

Существующий в дисперсных системах тепловой поток может определятся так:

<$> - Jim А fieVTdv - к' lim ^ fvTdv - k"<vt>, (40)

V^O v J V-Ю V J

где к - коэффициент эффективной теплопроводности. Интегрирование ведется по всему объему смеси. Введением новой величины:

3 - (ка- Ke)|vTdv, (41)

которая характеризует вклад частицы в тепловой поток и называется дипольной силой, поток преобразуется к виду-

<Ф» - «с <7Т> + п<3> , (42)

е ,

где п - концентрация частиц (объемная концентрация с ■= gjrR3n). Интегрирование в (41) ведется по объему отдельной частицы.

Дипольная сила Й для любой частицы зависит от расположения вокруг нее других частиц через VT: При расстояниях между частицами, когда взаимодействием частиц можно пренебречь, дипольная сила частицы равна дипольной силе одиночной частицы в безграничной среде. Для коэффициента эффективной теплопроводности в этом случае имеем:

к' - (1 t- 30с)ке , (43) .

(х-П(1+2КС Кпа) .

где ß ~ г(1 +к *кп) +г-2сТсп •

т q

Во второй главе рассматривался дуплет взаимодействующих частиц, линия центров которого параллельна градиенту температуры на бесконечности. Дипольная сила частиц такой системы определяется через распределение температуры внутри частиц (19):

S- |(7Te)e||nR3v'2sh2CE [(2m+l)she+ch?]Dme(2""l)e . (44) ■ >о

Коэффициент эффективной теплопроводности может быть найден численным интегрированием:

к' - Ke|l+3»'2C2(z-l)JshCchC£ [(2m+l)shC+ch5]Drae(2"<'1 . (45)

В третьей главе получено распределение температуры внутри и вне частиц дуплета, расположенного произвольным образом относительно градиента температуры. В этом случае выражение для коэф-

щциента эффективной теплопроводности имеет вис - ^[г+зес^с2^ -

1.46;

(ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Представлены количественные оце :ки размеров частиц и'гра-1иента температуры, доказывающие, что математическс ; описание тер-юфоретического движения системы умеренно крупных частиц можно доводить на основе квазистационарных уравнений Стокса и Лапласа.

2. Построены граничные условия, включающие все линейные по шслу Ккудсена эффекты, для произвольной системы ортогональных ко-эрдинат в векторной форме, для системы биполярных координат в случае твердых частиц и для системы бисферических координат в случае яеиспаряющихся капель с разложением для последних векторного-поля зкорости на потенциальную и соленоидальную части.

3. Получены системы рекуррентных соотношений для расчета коэффициентов решений в биполярных координатах уравнений Лапласа и Стокса.

4. Найдены выражения для мгновенных скоростей установившегося термофоретического движения умеренно крупных капель при произвольной ориентации линии центров дуплета относительно градиента температуры на бесконечности.

5. Решена задача о теплопроводности дисперсных систем умеренно крупных частиц до поправок второго порядка по концентрации.

6. Подтверждено, что термофоретическое движение аэрозольных частиц является квазиустановившимся с медленно меняющейся скоростью. Изменения вызваны перемещением частиц относительно друг друга.

7. Установлено, что увеличение разреженности среды приводит

к уменьезнию гидродинамического взаимодействия; возрастание теплопроводности частиц в интервале относительной теплопроводности от 10 до 100 наиболее увеличивает гидродинамическое взаимодействие.

8. Проведен анализ гидродинамического взаимодействия между каплей и находящимися в ее окружении твердыми и жидкими частицами меньшего чем у капли радиуса. Показано, что гидродинамическое

поле капли существенно влияет на движение находящихся вблизи ее частиц на расстояниях, сравнимых с радиусом капли.

Диссертационная работа выполнена на кафедре теоретической физики Московского ордена Красного Знамени педагогического университета под руководством Заслуженного деятеля науки Российско) Федерации, доктора физико-математических наук, профессора Яламо-ва Ю.И. Выражаю безмерную признательность за неоценимую помощь I осуществлении исследования доктору физико-математических наук, профессору Гайдукову М.Н. Благодарен сотрудникам кафедры за доброжелательное отношение и творческую атмосферу.

Левой Владимир Валентинович

ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ НЕСКОЛЬКИХ УМЕРЕННЫХ ЧАСТИЦ

в неоднородных сгедлх

Автореферат диссертации ■а сонскшие учеаой степени пцтпафвапнамилпеаиаш]«

Подписано к печати 1.07.93. Формат 60x84/16. Бумага писчая. Печать офсетная УЧ.-ИЗД. А. 0,88. Усл. печ. А. 0,93. Тираж 100. Заказ (1% Бесплатно.

160600. г. Вологде, ул. С. Орлова. 6. ВШИ. ' Кошшокрвый набор осуществлен издательством ВГПИ 'Русь" ООП ВоАупрстат