Исследование течений и теплообмена в каналах при наличии естественной конвекции тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Обозначения

Введение

1 .Краткий обзор литературы

2.Смешанная конвекция воды в плоскопараллельных каналах

2.1 Постановка задачи

2.2 Исследование влияния естественной конвекции на вынужденное течение в плоскопараллельном канале

2.3 Влияние инверсии плотности холодной воды на течение и теплоперенос в плоскопараллельном канале

2.4 Смешанная конвекция холодной воды на начальном тепловом участке горизонтального плоскопараллельного канала

2.5 Численное исследование течения и теплообмена при смешанной конвекции воды в горизонтальном и наклонных каналах

Выводы к главе

3.Смешанная конвекция воды в горизонтальном канале квадратного сечения 3.1 Тестовые расчеты

3.1 Математическая модель

3.2 Анализ результатов 113 Выводы к главе

4.Устойчивость конвективных течений в квадратной полости

4.1 Постановка задачи

4.2 Результаты расчетов 125 Выводы к главе 4 131 Заключение 132 Литература

ОБОЗНАЧЕНИЯ - высота канала, м;

Э - безразмерный период течения; Бо - число Фурье, *

Г- коэффициент трения, = ± ^ ^

Ие дп - ускорение свободного падения, м / с2; вг - число Грасгофа;

Ь - коэффициент теплоотдачи, Вт/ ( м2-К ); к - коэффициент теплопроводности, Вт / ( м-К ); Ь - безразмерная длина нагреваемого участка канала; Ь^ - безразмерная длина входного участка канала; Ь2 - безразмерная длина выходного участка канала; £ - безразмерная координата появления "термика";

N11 - число Нуссельта, —; п - внешняя нормаль к поверхности; р - давление, Па; р' - конвективная добавка к гидростатическому давлению, Па; Р - безразмерная конвективная добавка к гидростатическому давлению,

-2 ' Рие

Рг - число Прандтля, —;

Иа - число Релея, йг-Рг; Ие - число Рейнольдса, йес1 /V; t - время, с; Т - температура, К;

Т' - добавка к средней температуре, К; u, v - составляющие скорости вдоль осей х, у соответственно, м/с;

U, V - безразмерные составляющие скорости вдоль осей X, Y соответственно; х, у - декартовы координаты, м;

X, Y - безразмерные декартовы координаты; а - коэффициент температуропроводности, м2/ с;

Р - температурный коэффициент расширения, К"1; у - показатель степени; v - кинематическая вязкость, м2 i с;

0 - безразмерная температура; ц> - функция тока; а - напряжение, ст = pv—, Н/м ; р - плотность жидкости, кг / м3. Индексы: усреднение по сечению; - усреднение по периоду; d - параметры на нижней стенке; е - параметры на входе;

1 - точка инверсии плотности; шах - максимальное значение; и - параметры на верхней стенке; R - параметры на правой стенке;

L параметры на левой стенке.

Актуальность темы. Процессы теплообмена в холодной воде играют важную роль во многих природных явлениях и технологических процессах. В качестве примеров можно привести: эксплуатация систем водоснабжения, аккумулирование солнечной энергии, охлаждение электронного оборудования и т.д.

Одним из основных механизмов переноса тепла, во всех приведенных выше примерах, является естественная конвекция. Естественная конвекция в холодной воде осложняется аномальной зависимостью плотности от температуры, т.е. плотность воды имеет экстремум, а точнее максимум. Экстремум плотности возникает при низких температурах вследствие усиления связей в водороде и ослабления интенсивности теплового движения молекул. Пресная вода имеет экстремум плотности вблизи 4 ° С. В соленой воде наличие и положение точки экстремума плотности зависит от концентрации соли. Аномалия плотности воды приводит к большему разнообразию конвективных течений по сравнению с жидкостями у которых плотность зависит от температуры линейно.

При решении проблем, связанных с естественноконвективным теплообменом в настоящее время активно используются численные методы. В представленной работе для моделирования процессов теплопереноса использовался метод контрольного объема Патанкара-Сполдинга.

Целью данной работы являлось численное исследование смешанного конвективного течения и теплопереноса в плоскопараллельных каналах и в каналах с квадратным сечением с холодной водой. А также определение границ устойчивости продольных вторичных течений.

В работе защищаются результаты исследования следующих процессов:

1. Смешанной (вынужденная и естественная) конвекции воды вблизи точки экстремума плотности в плоскопараллельном канале.

2. Смешанной конвекции воды вблизи точки экстремума плотности в канале квадратного сечения.

3. Естественной конвекции несжимаемой, теплопроводной, вязкой жидкости в квадратной ячейке.

Новизна данной работы заключается в следующем:

1. Впервые проведено исследование смешанного конвективного течения в горизонтальном плоскопараллельном канале при наличии вызванных естественной конвекцией обратных течений.

2. Получено, что благодаря влиянию аномалии плотности воды в каналах могут возникнуть несколько качественно различных типов течений.

3. Показано, что движение жидкости в вертикальных каналах строго периодичны в отличии от горизонтального и наклоненного вверх плоскопараллельного канала.

4. Получено, что течение в горизонтальном канале прямоугольного сечения из-за влияния экстремума плотности воды имеет двухвихревую структуру.

5. Впервые проведено исследование устойчивости конвективных течений на основе численного решения системы уравнений для возмущений, что позволяет определять абсолютную или условную устойчивость течений.

Достоверность результатов полученных в работе обусловлена использованием фундаментальных физических законов, корректностью математических постановок задач, использованием современных численных методов, сопоставлением численных расчетов с аналитическими и численными решениями других авторов.

Практическое значение работы. Вынужденное течение и теплообмен в каналах может быть значительно изменен благодаря естественной конвекции. Детальное понимание этого изменения важно во многих технологических процессах, таких как охлаждение электронного оборудования, выращивание кристаллов из жидкой фазы, накопление солнечной энергии, проектирование теплообменников, труб, используемых для транспортировки воды и многих других.

Апробация работы и публикации. Основные результаты работы докладывались на второй российской национальной конференции по теплообмену (Москва, 1998) и на первой городской научной конференции молодых ученых и специалистов (Сургут, 1998). Обсуждение результатов проводилось на семинарах Тюменского филиала института теоретической и прикладной механики СО РАН под руководством профессора A.A. Губайдуллина (Тюмень), на семинаре Института проблем механики РАН под руководством профессора В.М. Ентова (Москва), на семинарах лаборатории математического моделирования Сургутского государственного университета под руководством профессора П.Т. Зубкова (Сургут). По результатам диссертации опубликовано три печатные работы.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения, содержит 144 страницы, 71 рисунок, библиографию из 72 наименований.

Выводы к главе 4

В данной главе численно исследовалась устойчивость плоских конвективных движений жидкости в замкнутой полости квадратного сечения. Температура стенок постоянна, причем температура нижней стенки больше температуры верхней, а температура вертикальных стенок изменяется с высотой по линейному закону. Течение жидкости описано уравнениями в приближении Буссинеска. На полученные стационарные решения налагалось случайное возмущение отдельно по скоростям и температуре. Затем численно решались уравнения для возмущений.

Получены следующие результаты. В определенной области чисел Грасгофа существует симметричное течение. В свою очередь в этой области определили диапазон чисел Грасгофа внутри которого симметричное решение устойчиво относительно налагаемых на него возмущений как по скоростям так и по температуре, величина которых ниже определенного первого предельного значения. Данные возмущения стремятся к нулю, независимо от их первоначальной формы, но при энергии начального возмущения больше некоторого второго предельного значения симметричное течение переходит в несимметричное, независимо от их первоначальной формы. Между этими предельными значениями энергии возмущений поведение возмущения зависит от первоначальной его формы. А вне этого диапазона чисел Грасгофа любые малые возмущения переводят симметричное течение в несимметричное.

Прослеживали развитие возмущений. Определены диапазоны, где возмущения затухали или возрастали монотонно, а в других наблюдались затухающие или возрастающие колебания.

Заключение

1. Проведено подробное численное исследование течения и теплопереноса в горизонтальном плоскопараллельном канале с изотермически нагреваемой нижней и охлаждаемой верхней стенкой. Вычисления проводились с учетом влияния экстремума плотности воды при 4 °С. Получено, что при определенных условиях в канале могут возникнуть области с обратным течением. Также показали, что в данной задаче для числа Рейнольдса Не = 10 возможно существование двух различных типов течений.

2. Исследовано влияние аномалии плотности воды на течение и теплоперенос в плоскопараллельном канале при числе Грасгофа (лг = 3 • 104. Получено, что при разных температурах стенок, но при одной и той же их разности возможны несколько качественно разных типов течений, начиная от параболического (без областей с обратным течением) до хаотического (непериодического) с интенсивным обратным течением. Благодаря обратным течениям в несколько раз повышается теплоперенос. Обнаружено, что теплоперенос на удалении от входа в канал практически не зависит от температуры втекающей воды, хотя могут реализовываться разные структуры течения.

3. Численно изучалось влияние угла наклона плоскопараллельного канала на течение и теплоперенос при наличии обратных течений. Получено, что в горизонтальном канале тепловой поток больше, чем в наклонных каналах. Исследование изменений характеристик течения показал, что движение жидкости в вертикальных каналах отличается строгой периодичностью в отличие от горизонтального и наклоненного вверх канала. Отмечено, что увеличение угла наклона приводит к увеличению сопротивления, т.е. затрат на перекачку, что связано с аномалией плотности воды.

4. Проведено численное исследование смешанноконвективного течения и теплообмена в канале квадратного сечения с изотермическими вертикальными и адиабатическими горизонтальными стенками. Получено, что увеличение числа Грасгофа приводит к увеличению падения давления (затрат на перекачку), к значительному увеличению теплообмена и сложному поперечному движению. Благодаря инверсии плотности воды течение в канале имеет двух вихревую структуру.

5. На основе численного решения уравнений для возмущений исследована устойчивость естественно конвективных течений в квадратной полости. Полученные результаты однозначно говорят об абсолютной устойчивости асимметричного (одновихревого) течения в исследуемом диапазоне чисел Грасгофа вг = Оч- 6,8-104. Симметричное (двухвихревое) течение обладает определенной, слабой устойчивостью в диапазоне От = 1,5-104-г2,3-104.

1.Depew C.A. and August S.E. Heat transfer due to combined free and forced convection in a horizontal and isothermal tube // J. Heat Transfer, 1971, Vol. 93, pp.380-384.

2. Morcos S.M. and Bergles A.E. Experimental investigation of combined forced and free laminar convection in horizontal tubes // J. Heat Transfer, 1975, Vol. 97, pp.212-219.

3. Ostrach S. and Kamotani Y. Heat transfer augmentation in laminar fully developed channel flow by means of heat from below // J. Heat Transfer 1975, Vol. 97, pp.220-225.

4. Chiu K.-C., Ouazzani J. and Rosenberger F. Mixed convection between horizontal plates - fully developed flow // Int. J. Heat Mass Transfer, 1987, Vol. 30, pp. 1655-1662.

5. Sathyamurthy P., Karki K.C., Patancar S.V. Laminar, fuly developed mixed convection in a vertical eccentric annulus // Numerical Heat Transfer, 1992, Vol. 22, pp. 71-85.

6. Yousef W.W., Tarasuk J.D. Free convection effects on laminar forced convective heat transfer in a horizontal isothermal tube // J. Heat Transfer., 1982, Vol. 104, pp. 145-152.

7. Choudhurv D., Patancar S.V. Combined forced and free laminar convection in the entrance region of an inclined isothermal tube // J. Heat Transfer., 1988, Vol. 110, pp. 901-909.

8. Heggs P.J., Ingham D.B., Keen D.J. The effects of heat conduction in the wall on the development of recirculating combined convection flows in vertical tubes // Int. J. Heat Mass Transfer, 1990, Vol. 33, pp.517-528.

9. Wang M., Tsuji T., Nagano Y. Mixed convection with flow reversal in the thermal entrance region of horizontal and vertical pipes // Int. J. Heat Mass Transfer., 1994, Vol. 37, pp. 2305-2319.

1 O.Hwang G.J. and Lai H.C. Laminar convective heat transfer in a horizontal isothermal tube for high Rayleigh numbers // Int. J. Heat Mass Transfer, 1994, Vol. 37, pp. 1631-1640.

1 l.Patancar S.V., Karki K.C. Laminar mixed convection in the entrance region of a horizontal annulus //Numerical Heat Transfer, 1989, Vol. 15, pp. 87-99.

12.Islam N., Gaitonde U.N., Sharma G.K. Combined free and forced convection heat transfer in a horizontal annulus // The eleventh international heat transfer conference, 1998, Vol. 3, pp.299-304.

13.Incropera F.P., Schutt J.A. Numerical simulation of laminar mixed convection in the entrance region of horizontal rectangular ducts // Numerical Heat Transfer, 1985, Vol. 8, pp. 707-729.

14.Nyce T.A., Ouazzani J., Durand-Daubin A., Rosenberger F. Mixed convection in a horizontal rectangular channel - experimental and numerical velocity distributions // Int. J. Heat Mass Transfer., 1992, Vol. 35, pp. 1481-1494.

15.Huang C.C. and Lin T.F. Buoyancy induced flow transition in mixed convective flow of air through a bottom-heated horizontal rectangular duct // Int. J. Heat Mass Transfer, 1994, Vol. 37, pp. 1235-1255.

16.Huang C.C., Lin T.F. Vortex flow and thermal characteristics in mixed convection of air in a horizontal rectangular duct: effects of the Reynolds and Grashof numbers // Int. J. Heat Mass Transfer., 1995, Vol. 38, pp. 1661-1674.

17.Cheng K.C., Obata T,, Gilpin R.R. Buoyancy effects on forced convection heat transfer in the transition regime of a horizontal boundary layer heated from below//J. Heat Transfer., 1988, Vol. 110, pp. 596-603.

18.Mori Y. and Uchida Y. Forced convection heat transfer between horizontal flat plates // Int. J. Heat Mass Transfer, 1966, Vol. 9, pp.803-816.

19.Hwang G.J. and Liu C.-L. An experimental study of convective instability in thermal entrance region of a horizontal parallel plate channel heated from below // Can. J. Chem. Engng, 1976, Vol. 54, pp.521-525.

20.Kamotani Y., Ostrach S. Effect of thermal instability on thermally developing laminar channel flow// J. Heat Transfer., 1976, February, pp. 62-66.

21.Chiu K.-C. and Rosenberger F. Mixed convection between horizontal plates -entrance effects // Int. J. Heat Mass Transfer, 1987, Vol. 30, pp. 1645-1654.

22.Maughan J.R. and Incropera F.P. Secondary flow in horizontal channels heated from below// Exp. Fluids, 1987, Vol. 5, pp.334-343.

23.Maughan R. and Incropera F.P. Experiments on mixed convection heat transfer for airflow in a horizontal and inclined channel // Int. J. Heat Mass Transfer, 1987, Vol. 30, pp.1307-1318.

24.Maughan J.R., Incropera F.P. Regions of heat transfer enhancement for laminar mixed convection in a parallel plate channel // Int. J. Heat Mass Transfer., 1990, Vol. 33, pp. 555-570.

25.Evans G., Greif R. Buoyant instabilities in downward flow in a symmetrically heated vertical channel // Int. J. Heat Mass Transfer., 1997, Vol. 40, pp. 24192430.

26.Khellaf K., Lauriat G. A new analytical solution for heat transfer in the entrance region of ducts: hydrodynamically developed flows of power-law fluids with constant wall temperature // Int. J. Heat Mass Transfer., 1997, Vol. 40, pp. 3443-3448.

27.Hwang G.J., Tsai C.W. Theoretical and experimental studies of laminar mixed convection in water pipe flow with density inversion effect // Int. J. Heat Mass Transfer., 1997, Vol. 40, pp. 2019-2034.

28.Gau C., Huang T.M., Liu C.W., Aung W. Mixed convection flow and heat transfer in a horizontal divergent channel with bottom wall heated // The eleventh international heat transfer conference, 1998, Vol. 3, pp.257-262.

29.Tanda G. Natural convection heat transfer in vertical channels with and without transverse square ribs I I Int. J. Heat Mass Transfer., 1997, Vol. 40, pp. 21732186.

30.Mahaney H.V., Ramadhyani S. and Incropera F.P. Numerical simulation of three-dimensional mixed convection heat transfer from an array of discrete heat sources in a horizontal rectangular duct // Numerical Heat Transfer, 1989, Vol. 16, pp.267-286.

31.Lee K.-T., Tsai H.-L., Yan W.-M. Mixed convection heat and mass transfer in vertical rectangular ducts // Int. J. Heat Mass Transfer., 1997, Vol. 40, pp. 16211632.

32.Patancar S.V., Spalding D.B. A calculation procedure for heat, mass and momentum transfer in three-dimensional parabolic flows // Int. J. Heat Mass Transfer., 1972, Vol. 15, pp. 1787-1806.

33.Гебхарт Б., Джалурия Й., Махаджан Р. и др. Свободноконвективные течения, тепло- и массообмен. - М.: Мир, 1991.

34.Петухов Б.С. Теплообмен и сопротивление при ламинарном течении жидкости в трубах. - М.: Энергия, 1967.

35.Arpaci V.S., Larsen P.S. Convection Heat Transfer. 1984. 512 pp.

36.Дрейцер Г.А., Современное состояние исследований конвективного теплообмена в каналах и его отражение в учебниках, Изв. вузов. Энерг. №7, 120-124, 1990.

37.Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. - М.:Наука, 1986.

38.Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. - М.: Наука, 1972.

39.Gebhart В. and Mollendorf J. A new density relation for pure and saline water // Deep Sea Res., 1977, № 24, pp. 831-848.

40.Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости: - М.: Энергоатомиздат, 1984.

41.Goldstein R.J. and Kreid D.K. Measurement of laminar flow development in a square duct using a Laser-Doppler flowmeter i i J.Appl.Mech., 1967, pp.813.

42.Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. - М.:Наука, 1987.

43.Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Непомнящий A.A. Устойчивость конвективных течений. - М.: Наука, 1989.

44.Юдович В.И. О возникновении конвекции // Прикладная математика и механика, т.ЗО, 1966, с. 1000-1005.

45.Жуховицкий Е.М. Применение метода Галёркина к задаче об устойчивости неравномерно нагретой жидкости // Прикладная математика и механика. T.XVIII, 1954, с.205-211.

46.Сорокин B.C. О стационарных движениях в жидкости, подогреваемой снизу // Прикладная математика и механика, T.XVIII, 1954, с. 197-204.

47.Гершуни, Е.М. Жуховицкий, Е.Л. Тарунин. Численное исследование конвекции жидкости, подогреваемой снизу // Изв. АН СССР, Механика жидкости и газа, № 6, 1966, с.93-99.

48.Юдович В.И. Устойчивость конвекционных потоков // Прикладная математика и механика, т.31, 1967, с.272-281.

49.Братухин Ю.К., Шлиомис М.И. Об одном точном решении уравнений нестационарной конвекции // Прикладная математика и механика, т.28, 1964, с.959-962.

50.Юдович В.И. Свободная конвекция и ветвление // Прикладная математика и механика, т.31, 1967, с.101-111.

51.Иванилов Ю.П. Вторичные режимы в конвективных течениях // Изв. АН СССР, Механика жидкости и газа, № 3, 1966, с.93-94.

52.Уховский М.Р., Юдович В.И. Об уравнениях стационарной конвекции // Прикладная математика и механика, T.XXVII, 1963, с.295-300.

53.Джозеф Д. Устойчивость движений жидкости. - М.:Мир, 1981.

54.Гореликов А.В., Зубков П.Т., Климин В.Г., Назин Г.И., Сухачева Ч.Н. Стационарные решения задачи естественной конвекции холодной воды в квадратной ячейке // Сборник научных трудов, выпуск 2, СурГУ, 1996, с.60-65.

55.Гореликов А.В., Зубков П.Т., Юсубов И.И. Естественная конвекция воды в квадратной ячейке вблизи точки инверсии плотности // Итоги исследований ИММС СО РАН, 1997, №7, с.59-63.

56.Sparrow Е.М., Minkowvcz W.J. Buoyancy effects on horizontal boundary-layer flow and heat transfer // Int. J. Heat Mass Transfer, 1962, Vol.5, pp. 505-511.

57.Гилпин P.P., Имура H., Чжен К.С. Экспериментальное исследование возникновения продольных вихрей в горизонтальном течении Блазиуса при нагреве снизу // Теплопередача, 1978, т. 100, №1, с. 74-82.

58.Kamotani Y., Ostrach S. and Miao H. Convective heat transfer augmentation in thermal entrance regions by means of thermal instability // J. Heat Transfer, 1979, Vol. 101, pp. 222-226.

59.Biswas G. Pelster Т., Gornelius J.S., Mitra N.K., Fiebig M., Three dimensional computations of laminar mixed convection flows in a horizontal rectangular duct with a uniformly heated bottom wall // Numer. Meth. Therm. Probl.: Proc. 6th Int. Conf., Swansea, July 3rd-July 7th, 1989, Vol.6, Pt2. - Swansea, 1989, 17211731.

60.1shigaki H. Laminar flow and heat transfer in a square duct rotating around a perpendicular axis // Nikon kikai gakkai ronbunshu. B= Trans. Jap. Soc. Mech. Eng. B. - 1996. - 62. №597, 1795-1801.

61.Oliver D.R. The effect of natural convection on viscous flow heat transfer in horizontal tubes // Chem. Engng Sci., 1962, Vol. 17, pp. 335-350.

62.Naito E. The effect of buoyancy on laminar flow and heat transfer in the entrance region between horizontal parallel plates // Intern. Chem. Eng., 1985, Vol. 25, Ш, pp. 315-323.

63.Lee S.L., Hwang G.L. Liquid solidification in low Peclet number pipe flows // Can. J. Chem. Eng., 1989, Vol. 67, №4, pp. 569-577.

64.Федосеев B.H., Шанин О.И., Шанин Ю.И., Афанасьев В.А. Теплообмен в прямоугольных каналах с теплопроводными стенками при одностороннем нагреве // Теплофиз. высок, температур, 1989, т.27, №6, с. 1132-1138.

65.Fedorov AG., Viskanta R. Turbulent natural convection heat transfer in an asymmetrically heated, vertical parallel-plate channel // Int. J. Heat Mass Transfer., 1997, Vol. 40, pp. 3849-3860.

66.Kitagawa K. A brief review of previous work on viscous flow simulation // Top. Boundary Elem. Res., Vol.5, Viscous Flow Appl. - Berlin etc., 1989., pp. 1-9.

67.Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкости. - М.: Мир, 2.т., 1991.

68.Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен. - М.: Мир, 2.т., 1990.

69.Родионов С.П. Естественная конвекция воды в нагреваемой снизу замкнутой трехмерной прямоугольной полости вблизи точки инверсии плотности // Труды РНКТ-2, Москва, 1998, т.З, с. 136-140.

70.Дрейцер Г.А. Нестационарный конвективный теплообмен в каналах // Труды РНКТ-2, Москва, 1998, т.2, с.112-115.

71.Кузьминский А.В., Смирнов Е.М. Экспериментальное исследование неустойчивостей в течении по длинному квадратному каналу, вращающемуся вокруг поперечной оси // Изв. акад. наук, МЖГ, 1996, №2, с. 87-93.

72.Стриженов А.А, Халилов В.Ш. Структура пристенного течения в канале с зернистым слоем // Изв. акад. наук, МЖГ, 1994, №6, с.9-13.

73.Лущик В.Г., Павельев А.А., Якубенко А.Е. Турбулентные течения. Модели и численные исследования (обзор) // Изв. акад. наук, МЖГ, 1994, №4, с.4-27.

74.Грабарник СЛ., Цепов Д.С. Численный метод расчета вязкого течения в 3-мерном канале произвольной формы // Математическое моделирование, 1998, т.10, №3, с.103-111.

75.Высотина В.Г. Моделирование дозвукового течения газа в осесимметричном канале с лабиринтным уплотнением // Математическое моделирование, 1998, т.10, №9, с.3-13.

76.Пономарев С.Г., Рождественский Б.Л., Стойнов М.И. Прямое численное моделирование турбулентных течений в плоском канале при различных внешних условиях/'/' Математическое моделирование, 1996, т.8, №10, с.35-44.

77.Галиев И.М., Зубков П.Т. Плоское конвективное течение воды в горизонтальном канале // Труды РНКТ-2, Москва, 1998, т.З, с.54-57.

78.Галиев И.М., Зубков П.Т. Смешанная конвекция воды в горизонтальном канале квадратного сечения Н Сборник научных трудов, выпуск 4, естественные науки, СурГУ, 1998, с.92-99.

79.Galiev I.M., Zubkov Р.Т. Stability of convection in a square cavity // Book of abstracts of the 13th U.S. National Congress of Applied Mechanics, 1998, p.FB2.