Калибровочные теории высших спинов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

'ЛН- 10 Я' '5

ФИЗИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК

иы. П.Н. Лебедева

На правах рукописи УДК 530.145

ВАСИЛЬЕВ МИХАИЛ АНДРЕЕВИЧ

КАЛИБРОВОЧНЫЕ ТЕОРИИ ВЫСШИХ СПИНОВ

Специальность: 01.04.02 - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва 1992 г.

ГОСУД*'.с^ИАЧ '

Работа выполнена в Огделетги теоретической физики имени И.ЕоТаша Физического института имени ПЛ.Лебедева Ж СССР.

Официальные оппоненты: доктор физихо-математичесгсгс наук

член-корреспондент АН СССР В.А.Рубаков (ШИ, Москва)

доктор физико-математических наук М.А.ОлыпанецкиЯ (ИТЭФ, Москва)

доктор физико-математических наук Г.А.Вялковнсский (ФИАН, Москва)

Ведущая организация: Санкт-Петербургский институт ядерной физики (Санкт-Петербург)

Защита состоится " $0 " года в

/Я

часов

в конференц-зале Физического института имени П.Н.Лебедева АН ОСИ3 на заседании Специализированного совета Д 002.39.03, Ленинский проспект, 53.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ф'1АН.

Автореферат разослан " ^" ¿7crstô^jy 1992 г.

Ученый секретарь Специализированного совета Д 002.39.03

доктор физико-математических наук Л.М.Горбунов

Актуальность проблемы. Глобальной целью релятивистской теории поля является построение последовательной единой теории всех взаимодействий. В основе большинства попыток такого рода лежит идея, использования все более мощных принципов локальной симметрии. Так, принцип локальной суперсиммзтрии привел в середине семидесятых годов к созданию теории супергравитации, на которую можно смотреть как на теорию калибровочных полей спинов 1, 3/2 и 2, служащую естественным обобщением калибровочных теорий типа Янга-Миллоа (спин 1) и гравитации (спин 2). После того как к концу семидесятых годов выяснилось, что даже наиболее широкая из моделей супергравитации -// = 8 - супергравитация - не способна решить задачу построения единой теории всех взаимодействий, возникла проблема поиска альтернатив. Одна из наиболее естественных возможностей состоит в рассмотрении теорий, вовлекающих калибровочные поля высших спинов 4 > 2. Однако, предпринятые на рубеже семидеоятнх-восъмвдесятнх годов попытки такого рода оказались неудачными, т.к. их авторам не удавалось совместить калибровочные симметрии высших спкнов с общекоординатной инвариантностью, присущей гравитации, что породило серьезные сомнения в возможности построения последовательной калибровочной теории взаимодействующих высших спинов. Известное ограничение на число гравитино в теории супергравитации ? является прямым следствием неумения работать с калибровочными полями высших спинов, т.е. ограничения £ ¿2.

Б настоящей диссертации показано, что последовательные теории калибровочных высших спинов существуют. Тем самым, в

частности, преодолевается и ограничение /V-; ? на число безтас-совых частиц спина 3/2. Качественно новой особенностью этих теорий является то;- что калибровочно инвариантные взаимодействия высших сзпшов вовлекают как положительные, так и отрицательные степени космологической постоянной, что не позволяет перейти к плоскому пределу в фазе с ненарушенными калибровочными симметрия®, об'ясняя тем сашм неудачи всех предшествовавших попыток, предпринимавшихся в предположении допустимости разложения по степеням взаимодействий над плоским фоном. С другой стороны, можно ожидать, что в результате спонтанного нарушения калибровочных симметрии высших спинов физическое значение космологической постоянной будет переопределено, а первоначально безмассовые поля высших спинов приобретут ненулевые массы за счет механизма Хиггса. Поскольку, как показано в диссертации, калибровочные теории высших спинов содержат бесконечные цепочки полей с неограниченно возрастающими спинами, соответствующие спонтанно нарушенные теории будут содержать бесконечные цепочки массивных полей оо всеми спинами О 2 5 <°<г В этом отношении . ситуация со спонтанно нарушенными теориями высших спинов оказывается во многом аналогичной положению в теориях суперструн, которые также вовлекают бесконечные цепочки массивных возбуждений высших спинов. Поэтому дополнительным аргументом в пользу исследования калибровочных теорий высших спинов служит надежда, что в -результате удастся прояснить более фундаментальные принципы симметрии, стоящие за теорией суперструн (струнной теорией поля) . Все это делает весьма интересным изучение новых возможное-' тей для построения единой теории фундаментальных взаимодействий, связанных с калибровочными теориями высших спинов.

Цель исследования. Общей цельзо работы является построение теории взаимодействующих калибровочных полей всех спинов в четырехмерном пространстве-времени.

Научная новизна. Предогавлешшо в диссертации результата оригинальны. Б работах [1,2] впервые предложена новая формулировка динамики свободных калибровочных высших сшшов в терщика; 1фор*л, лежащая о основе нелинейной теории (результаты работа [1] дум фзраюнов били затем не зависemq получены в работе : Aragon С., Doser S., Hucl. Phys. В 170 [FS1] (1980),с.329-352).

Также впервые были построены бесконечномерные супералтеб-рц высших сшшов и вспомогательных полей [3-5] и установлена их связь с алгебрами Гайзенбзрга-ВеЕяк [4].

Принципиально новым результатом является установление того факта, что взаимодействия• калибровочных высших спинов в присутствии ''гравитации содержат отрицательные степени космологической постоянной, не допуская, тем самш, перехода к плоскому пределу в фазе с ненарушенным? калибровочными симметрняш быс-шх спинов [4,5). Б тех зхз работах [4,5] впервые получены явные выражения для калибровочно инвариантных кубических взаишдеВст-вий высших спинов в лагразшшом подходе.

Важный новым результатом является замкнутая формулировка полшх нелинейных уравнений движения калибровочных высших спинов, предложенная в [12-17].

В работах [4,13,9] описано оемейство теорий высших спинов о нетривиальными внутренними симметрия®, которое, по-видимому, [9] исчерпывает все возможные варианты теорий такого рода.

Практическая ценность подученных в работе результатов зостоит в том, что они открывают новое перспективное направле-ше квантовой теории поля, способное привести к созданию единой геории всех взаимодействий и прояснить характер фундаментальных гринципов калибровочной симметрии, лежащих а основе теорий, содержащих возбуждения высших спинов, таких, например, как теория ¡уперструн.

Апробмптя работы. Результата, изложенные в диссертации, «однократно докладывались и обсуждались на науч1шх семинарах еоретического отдела ФИАН и многих других советских и зарубеж-ых научных центров (ИТЭФ, МИАН, ОИЯИ, ИФВЭ, ШИ. ЦЕРН (Швей-эрия); ЙЦТП (Италия), Институты теоретической физики г.Утрехта Голландия) и г.Карлсруе' (Германия) и других), на сессиях Отде-ения Ядерной Физики АН СССР, а также на многочисленных между-ародных конференциях {международные семинары Квантовая грави-ация (Москва 1987, 1990), международный семинар по теоретиког-упповым методам в физике (Москва, 1990), Весенняя школа, по терпи суперструн (Триест, 1989), конференция Супермембраны и финка в 2+1 измерениях (Триест, 1989) и другие}.

Публикации. Основу диссертации составляют результаты, публикованные в 17 научных статьях, указанных в конце авторе-эрата.

Структура диссертации. Дисоертация состоит из Введения ?лава 1), четырех глав основного содержания (Главы 2-5), Зак-' эчения, трех Приложений и списка литературы из 122 наименова-й. Общий об'ем 229 страниц машинописного текста.

- б -

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ.

Введение (Глава 1) содержит исторический обзор и обоснование дели исследования.

Так, в §1.1 напоминаются основные факты из теории калибровочных полей низших спинов-теории Янга-Миллса (спин 1), гравитации (спин 2) и супергравитации (спин 3/2).

В §1.2 приводятся основные фордулы из теории свободных калибровочных полей высших спинов в рамках формулировки симметричных (спин-)тензоров.

В §1.3 воспроизводятся стандартные аргументы, связанные с анализом гравитационного взаимодействия высших спинов в рамках разложения над плоским фоном, указывающие на трудности введения гравитационного взаимодействия калибровочных высших спинов. Здесь же анонсируется один из центральных результатов работы, состоящий в том, что калибровочно инвариантные взаимодействия калибровочных высших спинов содеркат отрицательные степени космологической постоянной. Приводится качественное об'яснение того, как это позволяет обойти трудности, возникающие при попытках анализа проблемы в райках разложения над плоским фоном.

В §1.4 напоминаются некоторые элементы геометрических подходов к гравитации, играющие существенную роль для формулировки теории высших спинов, предложенной в диссертации.

В §1.5 перечисляются наиболее принципиальные общие качественные свойства теорий высших спинов, построенных в диссертации, и возможное их соотношение о физическими моделями и т-

тематическими- тенденциями современной теории поли.

3 §1.6 суммируется основное содержите диссертации, излагаемое в последующих четырех главах и приложениях.

Во второй главе дается определение простейшей бесконечномерной супералгебры высших спинов и вспомогательных полей, лежащей в основе динамики высших спинов. В качестве ключевого наводящего соображения в §2.1 обсуждается известная осцилляторная реализация алгебры Ли анти-де Ситгера 0(3,2.)л-$р(Ч) и ее супераналога оарО.Ч).

Следуя [3,6,8], супералгебра высших спинов и вспомогательных полей вводится затем в §2.2 кал бесконечномерная супералгебра Ли, строящаяся через (анти)коммутаторы по ассоциатив-

/V Д £ £

ной алгебре с образующими , £ и е. „ подчиненными

соотношениям

(ЦЛ-о, СЦаЗ-о, £'-1 ; (2>

12 = 1 (3)

где индексы 01^=4,2. и <¿,^ = /,2. интерпретируются как спинор-' ные = 6 О • Ее антидесигтеровская подалгебра

л

реализуется всевозможными генераторами, квадратичными по ^ и . Соответствующие калибровочные поля имеют вид ■

и могут рассматриваться как производящие функции для компонентных физических полей, отождествляемых с коэффициентами 60^,АЬ"(х). В этом же параграфе приводятся явные выражения для напряженностей

к - сь^Д IЬ * (5)

и их компонент, отвечающих разложению тша (4) для и играющих центральную роль в анализе динамики высших спинов, осуществляемом в главах 3 и 4. Здесь же сфорлулированы условия вещественности и наиболее общий вид закона Р -преобразования для калибровочных полей (4), согласованный со структурой супералгебры высших спинов и вспомогательных полей.

В Третьей главе в терминах калибровочных полей (4) и напряженностей (5) описывается лагранжева динамика калибровочных высших спинов. Изложение этой главы следует работам [1,2, 4,5,7].

В §3.1 описывается процедура линеаризации, позволяющая вести анализ взаимодействий ло теории возмущений в предположе-

нии, что гравитационные пола имеют ненулевые вакуумные значения, описывающие фоновое пространстьо анти-де Ситтера, а все остальные поля имеют первый порядок малости.

В §3.2 показывается, что квадратичная часть действия

Й-да? ГсТзее^Г нЬ € МОГ' с"^-1

правильно описывает динамику свободных безмассовых .полей всех высших спинов 3 ), 3/2 в пространстве анти-де Ситтера, если Кц. * ; ; - соответствующие компоненты разложения типа (4) напряженностей (5). При этом спин -5 описывается полями V V с 11+711-2(5-0 Важным свойством действия (6) является то, что на квадратичном уровне из него выпадают "лишние поля" с |п> 2. Однако вне рамок квадратичного

приближения вариация действия (6) по лишним полям отзывается отличной от нуля. Поэтому, для того, чтобы придать действию (6) смысл на взаимодействующем уровне, приходится накладывать определенные связи, позволяющие выразить лишние поля с |п-т! > 2 через физические поля с \ ч< 2.

Такие связи для лишних полей предложены в §3.3. Здесь ;г.е доказана важная теорема о свободных уравнениях движения, состоящая в том, что, если выполнены условия связи для лишних полей и свободные уравнения движения для физических полей, то для линейной части кривизн имеет место следующее представление

R.

pi»

и L .j,,.. - некото-

рые полностью симметричные мультиспиноры, которые могуч быть отличны от нуля и служат аналогами тензора Вейдя в гравитации. Уравнение (7), эквивалентное уравнениям высших спшюв, дополненным связями для лишних полей, играет ключевую роль как для анализа лагранжевых взаимодействий высших спшюв в §3.4, Taie и для формулировки уравнений движения в глава 4.

В §3.4 показывается, что действие (6), дополненное связями, введенный! в §3.3, оказывается калибровочно инвариантным не только на свободном уровне, но и на уровне кубических взаимодействий. Доказательство этого факта существенно опирается на представление (7). Поскольку действие (6) явно общекоординатно инвариантно и в секторе полей спина 2 сводится к действию Эйнштейна с космологическим членом, проблема высших спинов оказывается решенной на уровне кубических взаимодействий. В этом не параграфе объясняется, как механизм разрешения этой проблемы связан с появлением отрицательных степеней космологической постоянной во взаимодействиях высших спинов.

Наконец, в §3.5, следуя [7], показывается, что все основные элементы анализа этой главы переносятся и на поля вспомогательного типа, описываемые коэффициентными функциями Lù с

В главе 4 дается замкнутая формулировка полных нелинейных уравнений движения взаимодействующих безгласоовых полей всех опиков. Содержание этой главы опирается на работы [12-17]. Эта формулировка основана на уравнениях типа уравнений нулевой кривизны

лежащих в основе концепции свободных дифференциальных алгебр, описанной в §4.1. Здесь УХ/1 - некоторый набор дифференциальных

функция, содержащая лишь внешние произведения дифференциальных форм и удовлетворяющая условии

гарантирующему совместность системы (8). Уравнения (8) отзываются автоматически общекоординатно инвариантными благодаря использованию языка внешней алгебры дифференциальных форм, одновременно обладая инвариантностью относительно калибровочных преобразований вида

(8)

О)

(Ю)

обобщающих обычные преобразования Янга-Мшшса.

Б §4.2 осуществляется переформулировка свободных безмас-

совых уравнений всех спинов в форде свободной дифференциальной алгебры, которая сводится к использованию уравнений (7), дополненных уравнениями новариантного постоянства

супералгебры высших спинов и вспомогательных полей ( 1)0 -обозначает линеаризованную ковариантную производную в присоединенном представлении этой сулералгебры). Обобщенные 0-форлы

Вейля, появляющихся в правой части уравнений (7), и всех их производных, отличных от нуля на массовой оболочке. Здесь же показывается, что уравнения (11) правильно описывают не только уравнения движения безмассовых высших спинов, для которых они были первоначально получены, но также и уравнения безмассовых полей со спина?,ш 0, 1/2 и 1.

Б §4.3, следуя работе [14]-, дается переформулировка уравнений Эйнштейна в форме свободной дифференциальной алгебры в первом нетривиальном порядке по взаимодействию. Отмечается, что для самодуального случая полученные выражения оказываются пол-, ными (поправки более высоких порядков отсутствуют).

В §4,4, следуя работам [15-17], дается полная формулировка нелинейных уравнений безг,вссовых полей всех спинов. Динамика безмассовых полей описывается в терминах трех производящих

I

точки и с точкой •соответственно, и координат пространства-вре-

(11)

лежащих в присоединенном представлении

пеки ос* . Кроме того, предполагается, что ЛДЛ ( •• •) ^({х'хегД... } есть проотронствешю-врзгззззая 1-форш„ слугл-втая производящей функцией для калибровочных золой высшзх огганов, В (...) эоть 0-фор.1а, елузшгдя производящей функцией для 0-форм Вэйля, а 3 - 1-®015!а

(12)

по вспомогательным апт!люм.5утирувдг!и спяяорным дифференциалам

и с^

О, . (13)

Поле 3 ке описывает никаких дополнительных степеней свободы, полностью внракаясь через В с шкощью соотЕвтмвущюг уравнений движения (о точностью до чисто налкбровочного прожзвола).

Пространство функций ^(^^Ш5^) осЕшцается ассоциативным законом произведения

« / сГИсЛА ] (г+1/; У*и) д(г-У;У-У) (14)

играющем центральную роль в формулировке полной системы динамических уравнений, которая имеет вид

. dw ~ W *AW (*5)

dB ' . (16)

dS = - (17)

S*B=B*S de)

где- ji - произвольный комплексный параметр и операторы Ц и

Т = £ eocj> i 7 = leocp(.i (20)

обладают тем ключевым свойством, что они антикоммутируют о дифференциалами d^ и d^ соответственно, коммутируя со всеми остальными переменными. Система уравнений (1б)-(20) явно инвариантна относительно калибровочных преобразований высших спинов

(21)

и ойцекоординатно инвариантна. Важнейшим свойством системы (15)-(19) является ее полная совместность. Однако проверка го-го, что эта оиотема действительно правильно описывает динамику Зезмассовых полей, требует достаточно кропотливого анализа по геории возмущений;

Этот анализ содержится в §4.5. Здесь предполагается, что ноля лхл и 5 содержат вакуумные компоненты нулевого порядка Чп & .

^ = £ ( + + ' (2Б)

1 поля В , содержат лишь члены первого порядка. Из (14) и (24) }ледует, что для произвольного £

<26)

В результате, уравнения (17)-(19) сводятся к дифференциальным уравнениям по 2 , определяющим все величины в терминах начальных условий

С(У'?К) = Б(0;У-К)5 ^КУ-МО'КЮ <*>

(с точностью до калибровочного произвола). Величины 60СУ}]~[) С(У^}^) служат производящими функциями для динамических полей высших спинов (4) и О-форм Вейля, соответственно.

Как показывается затем в этом параграфе, подстановка выражений и м через СО и 0 в оставшиеся уравнений (15), (16).приводит в линеаризованном приближении в точности к свободным уравнениям безмассових полей в форме (7), (11). Вне рамок линеаризованного приближения уравнения (15)-(19) определяют все нелинейные поправки к уравнениям (7), (11).

Замечательным свойством системы (15)-(19) является то, что все уравнения, содержащие пространственно-временные производные (т.е. уравнения (15)-(17)), сводятся к уравнениям нулевой кривизны ковариангного постоянства. Различные аспекты этогс явления обсуждаются в §4.6, следуя, в основном, работе [17]. I частности отмечается» что это наблюдение позволяет явно разрешить уравнения (15)-(17) в следующем виде

= ^(^У-ДЬс) (28)

»(¡'а-У-ЛМ (29>

б (г ;У;кк)=у пум к) - $0ау-> ю » (зо)

где произвольная калибровочная функция, а Ъ„ и

- некоторые произвольные функции вспомогательных переменных И , У и И „ не зависящие» однако, от координат пространства-времени ос* . Подстановка выражений (28)-(30) в оставшиеся уравнения (18), (19) приводит к тому, что калибровочная функция выпадает из этих уравнений, после чего они сводятся к уравнениям того не вида (18), (19), но с нозависящими от Т величинами "В., и За вместо В и 5 .

Тот факт, что нелинейная динамика безмассовнх полей всех спинов сводится к уравнениям (18), (19) с Ъа и $0 вместо Б и $ „ не содержащими координат пространства-времени, на первый взгляд может показаться удивительным, ко парадокс снимается, если вспомнить, что, как уяэ отмечалось вышз, ССУ;]О=Ь(р;У$0олу-гвге производящей функцией для всех производных физических полей, отличных от нуля ка массовой оболочка. Фактически, уравнения (18), (19) отвечает на вопрос, какие именно функции Ъ п 8 могут описывать все производные физических полей в произвольной точке пространства-времени, без противоречия о полными нелинейными уравнениями. 'Если ке некоторое .решение системы

(18), (19) Во и известно, то это фиксирует все производные динамических полей в <Е®. Зная яе вез производные полей в точке 3V, с помощью тейлоровского разложений можно восстановить юг значения и в некоторой ее окрестности. Хотя уравнения (18),

(19) сами но cede достаточно сложны, подобная переформулировка шгет оказаться весьма интересной не только для. анализа дкнш.та-ки высших спинов,' но и для анализа более привычных динамических систем типа уравнений -Якга-Миллса и Эйнштейна.

Пятая глава посвящена рассмотрению теорий высших епшов с нетривиальными внутренними симметриями. Ключевое наблюдение, позволяющее строить теории такого рода, состоит в том, что полные уравнения движения (15)-(19), сформулированные в главе 4, и анализ кубических взаимодействий в главе 3 сохраняют силу [13], если все величины (такие, как калибровочные доля W и 0-фо Вейля Ъ и S ) принимают значения в произвольной ассоциативной алгебра А •

В §5.1 рассматривается простейшая серия калибровочных теорий высших спинов - базисная, унитарная серия отвечающая а:. чаю, когда Л есть произвольная матричная алгебра A=JViat„(C).

В §5.2 описаны дискретные симметрии уравнений, ассоциируемых с базисной унитарной серией, позволяющие ввделять нетривиальные подсистемы полей, с которыми также связаны непротиворечивые системы динамических уравнений. В частности, здесь осуществляется переход к чисто безмассовым подсистемам, не содержащим поля вспомогательного типа.

С пошщью дискретных, сишетрнй, описанных в§5.2, в §5.3, строится семейство теорий, связанное с бесконечномерными супе-

эалгебрами высших спинов унитарного типа />цПростей-зая реализация супералгебр этого типа описывается матрицами ви-

1Д

1ЧФ

...............1 ! 1

1 ргад! 1

(31)

; I' ¡' = -I ... п , I" |" = •!.., ?п , элемента которых являются пропэ-;олышмк функциями осцилляторов 'у 11 У ' 1ЮДчшешшх ссюгно-¡ениям (1), обладающими определенной четностью

(32)

'.е. диагональные блоки в (31) описывают бозоны, а внтвдиаго-:альнне - фермионы. Кроме того, предполагается, что элементы атрицы Р- * (32) подчинены следующим условиям эзмитовостп

при условии, что

.

В §5.4 строятся усечения ортогонального и симплектическо-го типов унитарных теорий, рассмотренных в §5.3. Метод выделения таких подсистем, предложенный в [11, 13], связан с использованием автоморфизмов супералгебр bu (г>\т1ч), индуцируемых антиавтоморфизмами порождающих их ассоциативных алгебр, и сводится к накладыванию дополнительных условий вида

где tjfu - некоторая невырожденная квадратичная форда. Если форма - симметрична ( f|uí ), то условие (36) выде-

ляет алгебры ортогонального типа iio(rr т|ч), а если - кососим-метрична ( = то условие (36) выделяет алгебры симп-

лектичеокого типа

fiosp

Каждой из этих алгебр Ки(п;т|ч) . h0(>i;»i)v) и Ku4p (¿ti jTnll) отвечает свой тип теорий высших спинов, допускающий полностью совместную формулировку уравнений движения типа (15)-(19). Соответствующие подалгебры Янга-Миллса, ассоциируемые с полями спина 1, описываются матрицами (31), не зависящими от и ^ , и сводятся, соответственно, к u(r>) ® И Стп) , 0(п)ф 0(т) и usp(7>) © UJp(w) . Таким образом, все типы компактных конечно—верных симметрий, отвечающих классическим сериям, могут быть реализованы в тех или иных теориях высших спинов.

Полный анализ спектров спинов беэмассовых полей в теориях высших спинов, ассоциируемых с супералгебрами высших спинов каждого типа, проведен в §5.5 исходя из динамических уравнений типа (15)-(19). Окончательный результат задается следующей таблицей

гт-1-1-г—-—I

(37)

I_I_I__!_|-1

1римечательно, что все поля нечетных целых спиноэ принадлежат Присоединенным представлениям соответствующих групп Янга-Милл-¡а. Поля четных целых спинов, напротив, принадлежат к приводи-ш тензорным представлениям второго ранга, содержащим синглет-[ую компоненту (симметричное представление для ортогональных рулп и кососимметричное для симплектических). Это обстоятель-тво является весьма ванным, т.к. в секторе спина 2 с этой

1 чзр.а | | ч | етгеп. ; ^; 1 | осЫ I •щЬ^ег

1 1 1 1 |Ки(п;т]ч)| п^ + т1 1 1 1 1 1 Ь1 + ш2-| П®гг) ф © Г*1©п

1 1 1 Г 1 1 1 I I 1 ! * 1

1 1 1 1 1 г. . /, 1 ■о!пЛп+0+ т( ми)

|ми4|)(К;|»|4Л 2_ 1 1 1 2 1

синглетной компонентой ассоциируется гравитационное поле, которое должно быть бесцветным.

Другое важное обстоятельство состоит в том, что все супералгебры высших спинов Ь... (П;ш|ч) оказываются суперсимметричными в обычном смысле, т.е. содержат суперсимметричное расширение о$р(4^и) гравитационной алгебры только г случае й -И). Это видно, в частности и из таблицы (37), т.к. только в этом случае (усредненные) числа бозонов я фермионо! оказываются равными друг другу. Противоположный случай, когда И - о или ЮТ ■=- о соответствует чисто бозонной (фер/монной ) теории.

Наконец, в §5.6, следуя [9, 11], анализируются неприводимые унитарные представления супералгебр 1ш (л • гп|Ч) , Ьо (и ^гя(М) и Ьи$р(1г,)и|ч}. В основе этого анализа лежит отождествление сйнглетонных представлений с пространством Фока, отвечающим осцилляторам (1) и реализующим одновременно представление простейшей оупералгебры высших спинов Ни О Еез-массовые представления супералгебр высших спинов затем строятся через парные тензорные произведения синглетонных представлешй в согласии о нзвеотной теоремой Флато-Фронсдала. Замечательны!! факт состоит при атом в том, что среди таких безмассовых представлений присутствуют представления, обладающие в точности теш жа спектрами спинов, которые приведены в таблице (37). В работе [9] требование существования таких унитарных представлений рассматривалось как условие допустимости, указывающее на принципиальную возможность построения последовательной теории высших спинов. Замечательно, что тем самым, все теории, допускаю-

щие замкнутые уравнения типа (15)-(19), автоматически удовлетворяют условию допустимости.

В Заключении перечислены основные результаты, представленные в диссертации.

Диссертация содержит также три Приложения. Так в Приложении А собраны некоторые часто встречающиеся обозначения. В Приложении В приведены основные формулы теории символов операторов полезные для практических вычислений, связанных, с алгебрами Гайзенберга-Вейля, лежащими в основе супералгебр выдпшх спинов. В Приложении С описан гамильтонов анализ калибровочных полей вспомогательного типа, из которого, в частности, следует, что эти системы действительно не несут собственных степеней свобода.

Основные результаты, выносимые на защиту:

1. Предложена новая форма описания лагранжевой динамики безмассовых полей всех спинов $ \ 3/2 в терминах 1-форм, несущих дополнительные спинорные индексы, которая служит обобщением тетрадной формулировки гравитации.

2. Найдены бесконечномерные супералгебры высших спинов, калибровочные поля которых служат производящими функциями 1-форм, использующихся- для описания динамики безкассовых полей всех спинов 5^1.

3. Установлена связь супералгебр высших спинов с алгебрами Гайзенберга-Вейля.

4. В терминах калибровочных связностей и напрякенностей, порождаемых супералгебрами высших спинов, построено действие, решащее проблему .введения калибровочно инвариантного взаимодействия высших спинов друг о другом и с гравитацией в кубическом порядке по взаимодействию.

5. Установлено, что в присутствии гравитации взаимодействия высших спинов содержат как положительные, так и отрицательные степени космологической постоянной, что делает невозможным переход к плоськэду пределу в фазе о ненарушенными калибровочными симметриями высших спинов, и об'ясняет, тем самым, причину известных трудностей о введением гравитационного взаимодействия высших спинов.

6. Уравнения движения свободных безмассовых полей всех спинов в плоском пространстве и пространстве анти-де Ситтера приведены к форме свободной дифференциальной алгебр! с помощью введения бесконечных цепочек 0-форм Вейля, обобщающих тензор

эйля И все его производные в гравитации.

7. Получена полная формулировка для нелинейных уравнений зижения безтссовых полей всех спинов, которые в линеаризован-эм приблипенип сводятся к обычным свободным уравнения;.!, обла-шт всеми нообходнмькя калибровочными оимметриями высших спит я явно сбщскоордшатко инвариантны.

8. Показано, что та часть уравнений, которая содержит х)странствешю-вр-з:лешше производные, может быть разрешена яв->, поскольку сводится к условиям нулевой кривизны и ковариант-1ГО постоянства. Б результате нелинейная динамическая задаче юдится к некоторым уравнениям в пространстве вспомогательных ремешшх, из которых полностью выпадает зависимость от прост-лственно-временных координат.

9. Построено три двухпараметрические серии супералгебр сших спшгав/ш^м/'/) , ¡10(П^\Ч) и^р/л;«/^, приводящие к ориям высших спинов с нетривиальными внутренними оимметриями па иО))фШг.1) , 0(П)(30{г,1) и и$р(п)фи5р(1Т1) , соответственно, в кгоре полей спина 1. Показано как предложенные уравнения общаются на все три серии калибровочных теорий высших спинов нетривиальными внутренними симметриями.

10. Проанализированы безмассовые унитарные представления тералгебр высших спинов . Показано, что спектры спи-з этих унитарных представлений в точности соответствуют жтрам спинов, вытекающим из анализа динамических уравнений шбровочных высших спинов.

ПУБЛИКАЦИИ

[1] Васильев М.А. "Калибровочная" форма описания безмассовых нолей произвольного спина |\ ЯФ, 1980, т.32, . с.855-861. [2J Васильев М.А: Свободные безмассовые поля произвольного спина в пространстве де Ситтера и начальные условия для супералгебры выоших спинов || ЯФ, 1989, т.45, 1784-1797.

[3] FradkiB E.S. ,■ Vasiliey Н.А., Candidate for the Role of

Higher-Spin Symstry || Ann. of Phys., 1987, v.177, p.63-112.

[4] Fradkin E.8., Vasiliev И.А. On The Gravitational Interac-

tion of Masslesa Higher-Spin Fields !| Phys.Lett.B, 1987, v. 183p. 89-95. -

[5]- Fradkin B.8., Vasiliev M:A. Cubic Interaction in Extended

Theories of Massless Higher-Spin Fields |! Hucl.Phys.B, 1987, v.291, p.141-171.

[6] Vasiliev H.A. Extended Higher-Spin 8uperalgebas and Their

Realizations in Terns of Quantum Operators |! Fortschr.Phys., 1988, v.36, p.33-62.

[7] Васильев М.А. Линеаризованные кривизны вспомогательных

полей в пространстве анти-де Ситтера |\ ЯФ, 1988, т.47, 831-843.

[8] Fradkin B.S., Vasiliev H.A. Superalgebra of Higher Spin

and Auxiliary Fields H Int.J.Hod.Phys.A, 1988, v.3, p.2983-3010.

] Konstein S.E., Vasiliev H.A. Massless Representations and Admissibility Condition for Higher Spin Superalgebras !! Nucl. Phys.B, 1989, v.312, 402-418.

0] Vasiliev M.A. Free Massless Fernionic Fields of Arbitra-

ry Spin in d-Dimensional Anti-de Sitter. Space H Nucl. Phys.B, 1988, v.301, 26-68.

1] Konstein S.E., Vasiliev M.A. Extended Higher-Spin Superai-

gebras and Their Massless Representations И Hucl.Phys.B, 1990, v.331, p.475-499.

2] Васильев M.A. Уравнения движения калибровочных-полей выс-

ших спинов как свободная дифференциальная алгебра ] | ЯФ. 1988, т.48, 1478-1487.

3] Vasiliev M.A. Consistent Equations for Interacting Mass-

less Fields of All Spins in the First Order in Curvatures !! Ann. of Phys., 1989, v.190, 59-106.

4] Vasiliev M.A. Triangle Identity and Free Differential Al-

gebra of Massless Higher Spins \\ Nucl. Phys.B, 1989, v.324, 503-522.

5] Васильев M.A. Замкнутые уравнения взаимодействующих ка-

либровочных полей всех спинов jI Письма в ЖЭТФ, 1990, т.52, 446-449.

3] Vasiliev M.A. Properties of equations of notion of interacting gauge fields of all Spins in 3+1 dimensions )! Class. Quant. Grav., 1991, 1387-1417. Vasiliev M.A. Algebraic aspects of the higher-spin problem И Phys. Lett.B, 1991, v.257, 111-117.