Кинетические явления в остывающих нейтронных звездах тема автореферата и диссертации по астрономии, 01.03.02 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. А.Ф.ИОФФЕ

-V.« На правах рукописи

РГБ ОД

13 -та гзеэ

БАЙКО Денис Алексеевич

!

► I . .

КИНЕТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ОСТЫВАЮЩИХ НЕЙТРОННЫХ ЗВЕЗДАХ

/

(специальность 01.03.02 - астрофизика, радиоастрономия)

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2000

Работа выполнена в Физико-техническом институте им. А.Ф.Иоффе РАН

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук Яковлев Д.Г.

Официальные оппоненты:-

доктор физико-математических наук Топтыгин И.Н. (Санкт-Петербургский государственный технический университет кандидат физико-математических наук Денисенков П.А. (Санкт-Петербургский государственный университет)

Ведущая организация:

Главная астрономическая обсерватория РАН

Защита состоится 18 мая 2000 г. в 13 часов на заседании специализированного совета Д003.23.01 при ФТИ им. А.Ф. Иоффе РАН

по адресу: 194021 Санкт-Петербург, ул. Политехническая,д. 26. С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФТИ.

Автореферат разослан 18 апреля 2000 г.

Учёный секретарь

специализированного совета Д003.23.01 кандидат физико-математических наук

А.Л. Орбели

В63£,</, оз

Актуальность темы диссертации. Нейтронные звёзды - астрофизические >бъекты, вещество которых находится в экстремальных условиях (сверхвысокие шотности и температуры, сверхсильные магнитные поля). Поскольку эти условия 1е достижимы в земных лабораториях, исследования нейтронных звёзд весьма ак-'уальны. Они основаны на сопоставлении данных наблюдений с предсказаниями 'еоретических моделей. Построение моделей включает расчёты термодинамиче-:ких и кинетических свойств вещества, а также скоростей нейтринных реакций в 1ём. Так, для моделирования остывания нейтронных звёзд нужно знать теилопро-юдность, теплоёмкость и скорость нейтринных потерь энергии. При исследовании 1ВОлюц,ии магнитного поля важнейшую роль играет электропроводность вещества. I расчёт затухания колебаний нейтронных звёзд основан на знании вязкости. В :вязи с ассоциацией источников мягких повторяющихся гамма-всплесков с магни-■арами — нейтронными звёздами с очень сильными магнитными полями — особую .ктуальность приобрели теоретические исследования свойств вещества в таких «агнитных полях. С развитием ядерной физики и построением теоретических мо-1,елей вещества сверхъядерной плотности становится актуальным моделирование [ейтронных звёзд в предположении о наличии экзотических фаз вещества в их [драх.

Цели работы

. Расчёт термодинамических, корреляционных и кинетических свойств кулонов-ких кристаллов без магнитного поля.

Исследование термодинамических свойств кулоновского кристалла при нали-:ии магнитного поля.

. Изучение прямого урка-процесса при наличии сильного магнитного поля в ядре ейтронной звезды и моделирование её остывания в этих условиях. . Исследование кинетических свойств и нейтринного излучения ядер нейтронных вёзд с локализованными протонами и моделирование остывания таких звёзд.

К научной новизне можно отнести: (1) использование оптимальных схем нтегрирования по зоне Бриллюэна для расчётов фононных термодинамических зункций и фактора Дебая-Уоллера кулоновских кристаллов в оболочках нейтрон-ых звёзд с учётом и без учёта магнитного поля; (2) вычисление парной кор-еляционной функции кулоновского кристалла в гармоническом приближении и равнение с соответствующими монте-карловскими расчётами; (3) подробное ана-итическое и численное исследование неупругой части статического структурного >актора кулоновского кристалла; (4) расчёты кинетических коэффициентов выро-еденных электронов, рассеивающихся на ионах в кулоновских кристаллах и жид-остях в оболочках нейтронных звёзд (впервые учтены многофононные процессы в ристалле и подавление квазиупругого рассеяния в жидкости); (5) изучение плав-ения квантового замагниченкого кулоновского кристалла; (6) расчёты скорости ейтринного энерговыделения в прямом урка-процессе в ядрах нейтронных звёзд сильным магнитным полем; (7) моделирование остывания нейтронных звёзд с

сильно замагниченным ядром; (8) интерпретацию наблюдений теплового излуч« ния пульсара Геминга в модели с сильным внутренним магнитным полем; (9) рад чёты кинетических коэффициентов и скорости нейтринного энерговыделения в( щества во внутреннем ядре нейтронной звезды в модели протонной локализацш (10) моделирование остывания нейтронных звёзд и интерпретацию поверхностны температур трёх источников (Вела, РЭИ 0656+14 и Геминга) в предположении локализации протонов в их ядрах.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Расчёты термодинамических функций и фактора Дебая-Уоллера для кулоно! ских кристаллов с объёмно- и гранецентрированными кубическими решётками.

2. Исследование парной корреляционной функции и структурного фактора кул< новского кристалла в гармоническом приближении и сравнение с результатам моделирования указанных величин методом Монте-Карло.

3. Вычисление кинетических коэффициентов вырожденных электронов в кулоно! ских кристаллах и жидкостях.

4. Расчёты термодинамических функций фононов, фактора Дебая-Уоллера и ере; неквадратичной амплитуды отклонений иона из положения равновесия в кул< новском кристалле при наличии магнитного поля. Изучение условий плавлени замагниченного квантового кулоновского кристалла.

5. Расчёт нейтринных потерь в прямом урка-процессе в сильных магнитных п< лях.

6. Моделирование остывания нейтронной звезды с сильным магнитным нолем ядре под влиянием прямого урка-процесса.

7. Расчёты кинетических коэффициентов и скоростей нейтринных реакций в мс дели вещества ядра нейтронной звезды с локализованными протонами.

8. Моделирование остывания нейтронной звезды в предположении о локализаци протонов в её ядре.

Научная и практическая ценность работы. Результаты диссертации нео£ ходимы для моделирования остывания нейтронных звёзд. Сравнение результате моделирования с наблюдениями теплового излучения этих объектов позволяет и; влечь важную информацию о свойствах их вещества. Также результаты диссер тации нужны для моделирования эволюции магнитных полей нейтронных звёзд

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинара сектора теоретической астрофизики ФТИ им. А.Ф. Иоффе, на семинаре в инстит) те физики Ягеллонского университета (Краков, 1998), на зимней школе по физик полупроводников ФТИ им. А.Ф. Иоффе (Зеленогорск, 1999), на международно! совещании "Магнитные поля в нейтринной астрофизике" (Ярославль, 1999), н сессии "Исследования неидеальной плазмы" научного совета по проблеме "Физик низкотемпературной плазмы" РАН (Москва, 1999) и на семинаре кафедры астрс физики Санкт-Петербургского государственного университета (Петергоф, 2000).

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в восьми печатных работах, приведённых в конце автореферата.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, четырёх содержательных глав, заключения и списка литературы. Объём диссертации составляет /33 " страниц печатного текста, в том числе 36 рисунков и 6 таблиц. Список литературы содержит наименований. - ------------

Основное содержание диссертации

Во введении описаны основные представления о внутреннем строении нейтронных звёзд [11] и очерчен круг задач диссертации.

Нейтронные звёзды — компактные объекты с массой М ~ 1.4и радиусом И ~ 10 км; средняя плотность их вещества р ~ 1015 г см~3. В строении нейтронной звезды принято выделять 2 области: ядро (р > рсс ~ 1.5 • Ю14 г см-3, радиус ~ 10 км) и кору (р < рсс, толщина < 1 км). Кору звезды, и свою очередь, подразделяют на внутреннюю (рсс > р > р& » 4 • 10" г см-3, толщина < 1 км) н внешнюю кору (р < толщина < 100 м). Во внутренней коре вещество со-:тоит из полностью ионизованных атомных ядер, переобогащённых нейтронами, нейтронной жидкости вне ядер (возможно, сверхтекучей) и сильно вырожденного, ультрарелятивистского, почти идеального электронного газа. При плотностях О ~ 1014 г см-3, вблизи дна внутренней коры, атомные ядра, возможно, становятся несферическими, образуют одно- или двумерные структуры [8] и, в конце концов, сливаются в однородную материю ядра нейтронной звезды. Во внешней коре все нейтроны связаны в атомных ядрах. С понижением плотности уменьшается энергия Ферм »-электронов. Состав ядер становится более симметричным. Растёт поляризуемость электронного газа. При плотности р к 106 г см-3 электроны перестают быть релятивистскими. При дальнейшем уменьшении р происходит рекомбинация электронов и ионов. Состояние ионов в коре нейтронной звезды зависит от температуры Т. В основном, ионы образуют либо кристалл, либо сильно неидеальную жидкость.

Внешние области ядра нейтронной звезды состоят из нейтронов, протонов, электронов и мюонов. Состав внутренних областей ядра (р > Ш15 г см-3) достоверно неизвестен. Там возможно рождение гиперонов или образование экзотических фаз вещества (кварковая плазма, каонный конденсат и др.). Несмотря на высокую температуру Т ~ 108 - Ю10 К (не слишком старой звезды), вещество в ядре нейтронной звезды сильно вырождено из-за высокой плотности: фермиевские температуры нейтронов, электронов и протонов составляют Трще > 1012 К, Трр ~ 10й К (хотя в некоторых моделях протоны не вырождены, а локализованы). Нуклоны в ядре нейтронной звезды могут быть сверхтекучими. Теоретические оценки критических температур сверхтекучести нуклонов модельно зависимы и лежат в интервале 108 - 10'° К.

Нейтронные звёзды рождаются горячими, с температурой ~ 3 • 10" К, но бь стро охлаждаются до Т < 109 К. В течение ~ 105 — 106 лет основным механи: мом потерь тепловой энергии являются реакции с излучением нейтрино в ядр нейтронной звезды (при Т < Ю10 К звезда прозрачна по нейтрино). Поздне( остывание, в основном, определяется излучением фотонов с поверхности звездь Моделирование остывания нейтронных звёзд и сравнение результатов с наблк дательными данными об их тепловом излучении — один из важнейших источнр ков информации о внутреннем строении звёзд. Для такого моделирования нужн знать теплоёмкость, теплопроводность и скорость нейтринного энерговыделени в веществе нейтронной звезды.

Для тепловой эволюции нейтронной звезды принципиально важно-разрешён л в её ядре мощный прямой урка-процесс: п-*р + е + й.р+е-*п + v. Если разре шён, то звезда остывает быстро. В противном случае, остывание идёт значительн медленнее, главным образом, за счёт гораздо более слабого модифицированного урка-процесса.

В главе 1 изучены свойства кулоновских кристаллов в коре нейтронной звезды

В разделе 1.1 дано историческое введение в проблему.

В разделе 1.2 описана гармоническая модель кулоновского кристалла и выве дено дисперсионное уравнение для частот его колебаний. Модель гармоническо! решётки (ГР или HL — harmonic lattice) состоит в замене точной потенциально! энергии кристалла Uex (без учёта обменного взаимодействия ионов) приближён ным выражением:

1 N Я2гг , N . N

. =о 2 .

"=о 'С

> и

где ¡Уо — потенциальная энергия в предположении, что все ионы закреплены в уз лах решётки и? — а - компонента вектора смещения г-ого иона и;, N — числс ионов (массы М). Лагранжиан системы диагонализуется переходом к коллективным координатам Л^.: -\fMNuf = (к — волновой вектор, лежащий ( 1-ой зоне Бриллюэна), а затем к главным осям эрмитовской матрицы

2><*(к ) = + (2;

Штрих у знака суммы означает отсутствие члена 11; = 0; в термодинамическом пределе

не зависит от г. Частоты колебаний кристалла (« — индекс поляризации) определяются секулярным уравнением с1е1 {Т>а/3{к) - а1ь36"а} = 0.

Расчёт динамической матрицы ТУ13 непосредственно по формуле (2) неэффективен, т.к. этот ряд сходится очень медленно. В разделе 1.3 методом Эвальда получены выражения, позволяющие ускорить расчёт динамической матрицы кулоновского кристалла с произвольной решёткой. Сумма по г в (2) представлена в виде суммы двух быстро сходящихся рядов, по прямой и обратной решёткам. ,

В разделе 1-4 исследованы особенности фононных спектров кулоновских кристаллов с простой решёткой. В таких кристаллах для каждого вектора к, лежащего в 1-ой зоне Бриллюэна, имеется 3 моды (я = 1,2,3). Эти моды принято классифицировать по их поведению вблизи центра зоны Бриллюэна: 2 моды являются поперечными акустическими (их частоты ос к), а 3-я (оптическая) мода продольна, и шз и сор (шр = \/4ппЕ2е2/М — плазменная ионная частота. — зарядовое число ионов, п — их концентрация). Рассчитаны коэффициенты, определяющие асимптотическое поведение динамической матрицы вблизи к = 0 для объёмно- и гранецентрированных кубических (ОЦК и ГЦК) решёток. Получены аналитические формулы, описывающие поведение частот и ориентацию векторов поляризации ека вблизи центра зоны Бриллюэна (в частности, определены скорости звука акустических мод).

В разделе 1.5 изучены термодинамические функции кулоновского кристалла, связанные с возбуждением в нём собственных колебаний (фононов). За основу взят потенциал П = 1п (1 — е""Лшк,/'т). Суммирование идёт по всем поляризациям

8 и волновым векторам к фононов в 1-ой зоне Бриллюэна. Остальные функции эпределяются дифференцированием термодинамического потенциала. Например, теплоёмкость С = Су = -Т(д2П/дТ2)^ (V - объём).

В термодинамическом пределе в формуле для $2 переходит в интеграл но зоне Бриллюэна. В классическом (71 > Тр = йшр, возбуждено много фононов всех гипов) и квантовом (Т С Тр) пределах получены асимптотические выражения адя термодинамических функций. В частности, в квантовом пределе для теплоемкости воспроизводится закон Дебая С ос Т3. С высокой точностью определены коэффициенты в квантовых асимптотиках термодинамических функций ОЦК и "ЦК кулоновских кристаллов. При промежуточных значениях Т ~ Тр для опреде-тения термодинамических функций следует рассчитать трёхмерные инчегралы по 1-ой зоне Бриллюэна. Для ОЦК и ГЦК решёток при !0~4 < Т/Тр < '20 исиользо-«н трёхмерный метод Гаусса (предложенный Альберсом и Губернатисом [1] для ЛДК; метод обобщён в диссертации на ГЦК и гексагональные плотно упакован-1ые — ГПУ — решётки). Расчёт выполнен с ошибкой не хуже 0.01%. Кроме того, шределены термодинамические функции для ГПУ решётки. В этом случае расчё-:ы проведены лишь при 10~2 < Т/Тр < 20 менее точным методом, предложенным Иочковичем и Ансеном [9]. Дана подробная таблица значений термодинамических функций для ОЦК, ГЦК и ГПУ решёток. Общий вид термодинамических функ-щй и их асимптотик для ОЦК решётки представлен на рис. 1.

На рис. 2 фононная теплоёмкость кулоновского кристалла сравнивается с теп-юёмкостью вырожденных электронов. Видно, что фононный вклад в геплоём-юсть доминирует в широкой области температур 0.1 < Т/7'р < 10.

В разделе 1.6 изучены парная корреляционная функция, кулоновская энергия ] структурный фактор кулоновского кристалла. Структурный фактор зарядовой

Т / Tp pig cm 3]

Рис. 1 (слева). Фононвые термодинамические функции для ОЦК (Ьсс) решётки и их асимптотик! при Т <S Тр (quantum) и Т>ТР (classic); P,S,C — давление, энтропия, теплоёмкость.

Рис. 2. Теплоёмкость фононов и электронов на один ион для ОЦК решётки как функция плотно сти звёздного вещества (полностью ионизованное железо 56Fe) при трёх значениях температуры

плотности определяется выражением

5(1. о = Jt £ - (2TT)3nJ(q) , (3

'j

где t — время, r,(i) — оператор координаты г-ого иона в представлении Гейзен берга, (■ ■ - }т означает усреднение по каноническому ансамблю. В модели ГР эт( усреднение производится с гамильтонианом газа невзаимодействующих фононов Величина S(q, t) определяет динамический структурный фактор S(q, о>) и парнун корреляционную функцию д(т, I)

= ¿^die-^q.i), 9(r,t) = 1 + Ц (^№>0 - 1] е-* . (4

Последняя, в свою очередь, определяет кулоновскую энергию кристалла Uc (бе: учёта ионного обмена):

(5;

где д(г) = д(г, 0) — статическая парная корреляционная функция, усреднённая пс углам г.

В результате квантования колебаний кристалла обобщённые координаты а с ними и операторы г,- = R; + й;, выражаются через операторы рождения i

уничтожения фононов. Тогда среднее в (3) вычисляется непосредственно:

S(q,t) = S'(q) + S"(q,i). S'(q) = e-wW(27r)3n^'<J(q-G), (6)

g

s"(q,t) = ^ei<lR< _ 1 2W(q) = 9Yt>a/3(0,0), (7)

i

,,,yR 'Л ^ y cos [kR, - Uyjt + ih/IT)]-------------- -

У " ' MNwk, sh (hùJkS/2T)

Величины S' и S" отвечают упругому и неупругому рассеянию частиц в кристалле [см. далее формулу (9)]. Упругое рассеяние, согласно (6), может происходить лишь с передачей импульса, равного одному из векторов обратной решётки G (известное правило брэгговской дифракции). Величина W(q) — фактор Дебая-Уоллера — описывает подавление упругого рассеяния, связанное с осцилляциями ионов. В диссертации показано, что для ОЦК и ГЦК решёток фактор Дебая-Уоллера является изотропным, т.е. зависит лишь от jq|. Для этих решёток он рассчитан с ошибкой < 0.01% при Ю-4 < Т'/Гр < 20 методом Гаусса (раздел 1.5). Приведена подробная таблица значений W(q).

В модели ГР по формулам (4), (6), (8) вычислена парная корреляционная функция д(г) для ОЦК решётки при различных значениях квантового параметра 9 = 7'р/Т и кулоновского параметра неидеальности Г = Z2e2/aT [а = (З/Ажп)1/3 — радиус ионной сферы]. Для классической решётки (в = 0) проведено сравнение с функцией <?(г), рассчитанной методом Монте-Карло (МК или МС — Monte-Carlo). Согласие оказывается очень хорошим в диапазоне 1.5 < г/о < 7. При г > 7а метод МК перестаёт работать из-за конечности числа частиц, участвующих в МК моделировании. Модель ГР, напротив, даёт правильные результаты при сколь угодно больших г. При г < 1.5а нарушается предположение о малости отклонений ионов из положений равновесия, вследствие чего модель ГР перестаёт быть применимой. Однако метод МК также становится непригодным при г < 1.2а из-за того, что гакие сближения ионов весьма редки. Плавление кулоновского кристалла происходит при Гт « 172. Функция д(г), полученная методом ГР, хорошо согласуется : МК расчётом при Г > Гт. С ростом Г согласие только улучшается, поскольку уменьшается амплитуда колебаний ионов. Важно, что модель ГР позволяет легко исследовать д(г) в квантовой области в > 1, что невозможно сделать классическим методом МК. Пример расчёта д(г) при Г = 800 и в = 0,10 дан на рис. 3.

Также по формуле (5) рассчитана кулоновская энергия кристалла. Поскольку тод интегралом в (5) стоит точная кулоновская энергия Z2e2/r, это выражение :уммирует некоторую часть ангармонических вкладов в полную потенциальную энергию кристалла. Вообще говоря, (классическая) ангармоническая энергия может быть записана в виде Uq^^/NT — А\/Г + А2/Г2 +... , где А{ — постоянные соэффициенты. Естественно, при вычислении в (5) следовало бы использо-

зать точную (а не гармоническую) парную корреляционную функцию. Тем не ме-riee-для ОЦК решётки по случайным причинам старший ангармонический вклад в

Рис. 3 (слева). Парная корреляционная функция ОЦК решётки при Г = 800. Рис. 4. Статический структурный фактор ОЦК решётки при Г = 180.

модели ГР оказывается очень близок к точной ангармонической поправке того Ж1 порядка: Ах = 10.64 и 10.84 соответственно. Для ГЦК точный и "гармонический' коэффициенты А\ отличаются примерно в 2 раза (А| = 12.34 и 5.(53).

Наконец, рассчитан усреднённый по углам q неупругий статический структур ный фактор 5"(<?) = 0). Непосредственный расчёт по формуле (7) невозмо жен, т.к. этот ряд расходится при больших /¿¿. Для регуляризации ряда необходи мо знать точную асимптотику тензора = ьа/3(Н^0) при Щ —> эо. При опре

делении асимптотики приближённо полагалось гЛ9(Г}.) « Г<)"ай + .//¿"/¿^/Л2. гд< и J(R) —скалярные функции (т.н. модель НЬ2). После вычисления функцик Г и 3 регуляризация проводилась методом Эвальда. Полученная величина ¿>"(9 изображена на рис. 4 сплошной линией для классического кристалла 6 = 0 пр1 Г = 180. Сингулярности при д = О, т.е. в положениях брэгговских пиков ((¡), объясняются процессами рассеяния с поглощением или излучением одного фонона. Тш сингулярностей зависит от квантового параметра. Для классического кристалл« сингулярности имеют вид 1п |А; — (т\. Для чисто квантового кристалла, в = со. тш сингулярностей становится иным: — (}\. Для реального квантового кристалла т.е. при больших, но конечных значениях в, имеем сингулярность типа — (т\ переходящую в непосредственной близости точки к = С в сингулярность тип; 1п |к — 0\ благодаря тепловым акустическим фононам с очень малыми частотами возбуждённым даже при низких температурах вблизи центра зоны Бриллюэна.

В разделе /^проанализирована вероятность электрон-ионного рассеяния в ку-лоновском кристалле. В борновском приближении эта величина записывается как

Г(р р') = £ , (9]

ста'

где Ф — матричный элемент потенциала взаимодействия электрона с фиксированным в пространстве ионом, взятый между состояниями электрона р'сг' и ри (р' — р = Нц), Ы = е' — е — переданная энергия. Для электрона, находящегося в блоховском состоянии, брэгговская дифракция в кристалле отсутствует. Следовательно, 5(ч,о)) слагается из неупругих процессов с излучением и поглощением любого числа фононов. В диссертации получены полезные асимптотики Л^. ш).

Наконец, в разделе 1.8 полученные сведения об электрон-фононном рассеянии использованы для расчёта коэффициентов переноса вырожденных электронов в кулоновских кристаллах. Помимо этого, рассмотрены коэффициенты переноса в кулоновской жидкости. В результате стандартного решения линеаризованного кинетического уравнения с интегралом столкновения в форме Нольцмана. кинетические коэффициенты: теплопроводность (к), электропроводность (а) и сдвиговая вязкость (г?) могут быть записаны как

ТГ2ТпеТк е2ПеТа РрУрПеТц к = 1 а _- ^ ^ _--1 _ (Ю)

¿т* т* а

где рр и ир — фермиевские импульс и скорость электрона, пе — концентрация электронов, т* = ер¡1? — эффективная масса электрона, а та — эффективное время релаксации для процессов переноса тепла, заряда и импульса (а — к, а. г;).

Эффективные времена релаксации та выражаются через эффективные статические структурные факторы и <55* (при у = Ты ¡'Г)

Г+ос - у Г+°° - у3

= / с(11)

J ~оо ^ ^ —ОС * ^

gpPFTt

16ttW

У dííp dnp. у |Фр'-р^'|а (SaAV + MS«)- (U)

Здесь = (1 - cos0), = 3sin2 в/2, hK = (2 + cos0)/2tt2, = 0; в - угол зассеяния (угол между начальным и конечным импульсами электрона р и р'). Формулы (10)—(12) являются общими, т.е. не зависят от состояния ионной системы (кристалл или жидкость).

В кулоновской жидкости четырёхмерный интеграл в (12) превращается в од-юмерный [по модулю переданного импульса hq = 2pF sin (0/2)] в силу изотропии функций Se и 6SK. При конкретных расчётах в жидкости считалось, что 6SK = 0. i S„ — S — S', где S — истинный статический структурный фактор жидкости, известный из МК расчётов, а S' — усреднённый по углам брэгговский структурой фактор (6) для ОЦК. Приближение, в котором 5SK = 0, обосновано для :лассической жидкости, Т > Тр. Динамический структурный фактор квантовой кидкости неизвестен. В этом случае можно приближённо использовать класси-[еский структурный фактор при том же Г. Другой подход к случаю квантовой кидкости предложен ниже. Вычитание брэгговского структурного фактора S1 из ;олного статического структурного фактора жидкости приближённо учитывает :аличие квазипорядка в кулоновской жидкости вблизи точки плавления. Кьази-орядок может приводить к подавлению квазиупругого рассеяния электронов (как

т. =

3000 1000 300 100

3000 1000 300 100

Б 6 7

Т [К] 18 Т [К]

Рис. 5 (слева). Электропроводность углеродной плазмы при плотности р = 104 г см-3 как функция температуры (нижняя горизонтальная шкала) или параметра неидеальности Г (верхняя горизонтальная шкала). Старые расчёты изображены штрихами, новые — сплошной линией.

Рис. 6. То же, что на рис. 5, но для теплопроводности.

в кристалле, где упругая дифракция электронов подавлена из-за наличия щелей в их спектре).

В кристалле факторы (11), вообще говоря, анизотропны. В диссертации для облегчения расчётов они искусственно изотропизовывались. путём отбрасывания в сумме в (7) всех слагаемых,кроме слагаемого с R; = 0 (т.н. модель HL1). Полученные в этом приближении статический структурный фактор и парная корреляционная функция изображены штрихами на рис. 3 и 4.

На рисунках 5 и б показаны вычисленные значения электро- и теплопроводности электронов в зависимости от температуры. Расчёты в однофононном приближении в кристаллической фазе и с учётом полного статического структурного фактора S в жидкой фазе помечены "old". Расчёты, представляемые в диссертации (многофононный структурный фактор в кристалле и модельное подавление квазиупругого рассеяния в жидкости), помечены "new". Скачки старых кинетических коэффициентов происходят в точке плавления Г = Гт. Отличие старых и новых результатов в окрестности точки плавления показывает, что учтённые нами эффекты валены при 0.3ГТО < Г < ЗГт. Видно, что указанные эффекты приводят к исчезновению скачков кинетических коэффициентов. Это даёт любопытный метод вычисления последних в квантовой жидкости при отсутствии информации о её динамическом структурном факторе. Метод состоит в искусственном распространении результатов для квантового кристалла на область Г < Гт.

Рассчитанные в модели HL1 факторы (11), а также времена релаксации (12) аппроксимированы формулами, удобными для практического использования.

В разделе 1.9 перечислены основные результаты главы 1.

В главе 2 изучены свойства кулоновских кристаллов в магнитном поле.

В разделе 2.1 дано историческое введение в проблему.

В разделе 2.2 уравнения для частот колебаний кристалла модифицированы с учётом внешнего однородного магнитного поля. В калибровке векторного потенциала А = [В х г]/2 лагранжиан кулоновского кристалла принимает вид ;

/•« l-t-^t.W ^ • " 03)

г=1

где п — единичный вектор в направлении магнитного поля, ujb — ионная циклотронная частота, и ¿о — лагранжиан без магнитного поля. Выбором тех же коллективных координат, что и в разделе 1.2, и переходом к фурье-компонентам по временной переменной А£(i) —► в соответствующей системе уравнений

Эйлера, получим систему однородных линейных уравнений для фурье-компонент. Условием её разрешимости служит секулярное уравнение

det {Va3(k) - ul,6a0 - ivkswBtn^n-<} = 0 . (14)

Его решение даёт частоты г^ колебаний кристалла в магнитном поле.

В разделе 2.3 исследованы особенности спектра колебаний кулоновского кристалла в магнитном поле для простых решёток. Как и без поля, имеется 3 ветви колебаний. При кВ ф 0 вблизи центра зоны Вриллюэна меньшая из частот щ ос к2. Частоты 1/2_з при к —► 0 принимают постоянные ненулевые значения. Диапазон к, в котором fx ос к2, а частота промежуточной моды v2 « const, сокращается с ростом угла между к и магнитным полем. Если кХВ, то частоты и превращаются в акустические ос к, а наибольшая частота остаётся оптической % Получены точные асимптотики всех частот при малых к и произвольном направлении магнитного поля.

В разделе 2.4, следуя [12], выполнено квантование собственных колебаний кристалла в магнитном поле. При этом операторы коллективных координат записаны в видеМ^ = _ Qk*nUj. гДе aks = а-кз ~ постоянные коэффициенты,

а ¿к, и 4„ — операторы рождения и уничтожения фононов.

В разделе 2.5 изучены основные фононные термодинамические функции кристалла с магнитным полем. Расчёты проведены для ОЦК решётки при фиксированном направлении магнитного поля — вдоль направления на ближайшего соседа (что соответствует минимуму энергии нулевых колебаний ОЦК кристалла в магнитном поле, см. раздел 2.7). Интегрирование по зоне Бриллюэна проводилось трёхмерным методом Гаусса (раздел 1.5). Термодинамические функции определены в широком диапазоне температур 1()~3 < в < 104 и магнитных полей О < рв < 100, где рв = и!в1шр. Примеры расчётов теплоёмкости фононного газа в зависимости от д и рв представлены на рис. 7 и 8.

Сделаем два замечания по поводу асимптотик термодинамических функций. В классическом пределе должно быть возбуждено много мод всех типов. При k_LB

z

N

и

10° 10х Y71 г 1 1

10-* г / 1 / // -/ // ■

10"3 1

ю"4 />в-0

10"' ■// /Эв-0.1 ;

ю"6 / /тз ---- Рв=1 ;

ю"7 ............ Рв-Ю ^

ю- ------ Рв=Ю0

ю"а > .......' .......J ....... .......J .......' .......i .......J1

10

10"

T / T„

ю"1 -2

10' 10"

10

a 10"s U 10м

ю-

10"'

10"'

10"'

—• 0=1О"3 1 -- 0=1 ; — 6-10 I

..... е=ю2 -I

- 0-ю3 :

0=10

10 '

10" 0>в / а)р

Рис. 7 (слева). Фононная теплоёмкость ОЦК решётки в зависимости от температуры для раз личных значений магнитного поля (рв = шв/ир).

Рис. 8. Фопопная теплоёмкость ОЦК решётки в зависимости от магнитного поля для различны; значений квантового параметра в = Тр/7\

вблизи центра зоны Бриллюэна v^ ~ у + и)2. Поэтому если рц S> I, то условие.\ классичности становится рвв <С 1. Это видно на рис. 7 и 8, где при ре = 100 теп лоёмкость выходит на классическую асимптотику C/N = 3 лишь при Т/Тр « 100 Классические асимптотики термодинамических функций от магнитного поля ш зависят. Из этого общего правила и классической асимптотики энтропии следует что усреднённая по спектру величина (In (i^kä/wp))ph = 1 ¡N In (^ь/^р) также не зависит от магнитного поля. В квантовом режиме важную роль играет мода ( частотой vi ос fc2, возбуждённая и при 0 1. Благодаря ей при низких темпера турах вместо закона Дебая получаем С ос Т3/2, рис. 7.

В разделе 2.6 исследована амплитуда смещения иона из положения равновесия в ОЦК решётке в магнитном поле, направленном так же, как и при рассмотрении термодинамики кристалла в разделе 2.5. Средний квадрат смещения иона t направлении единичного вектора q определяется выражением

и\ = <(ûq)2)r = ¿у £a£X3?V(2rikä + 1) = 2W(q) (15)

ki

и тесно связан с фактором Дебая-Уоллера W(q). В сильных полях рц 1 при в > 1 смещение ионов из положения равновесия становится анизотропным. Смещение вдоль магнитного поля незначительно сокращается, а поперёк поля уменьшается в несколько раз (рис. 9). Очевидным следствием этого эффекта является изменение условий плавления квантового кристалла в магнитном поле. Для оценки в диссертации использован критерий Линдемана. Согласно Шабрие и др. [3]

200

190

180

1Б0

0 0.1 10 ' 10" 10' 10* и1

Рис. 9 (слева). Линии — сплошная, длинные и короткие штрихи, точечная и ттрих^пунктирная — отвечают рд = 100,10,1,0.1,0.01. Ось ординат продольна, ось абсцисс поперечна магнитному полю. Отрезок между точкой (0,0) и произвольной точкой на кривой — среднеквадратичная амплитуда отклонения иона в данном направлении в единицах расстояния до ближайшего соседа.

Рис. 10. Кулоповсхий параметр неидеальпости, соответствующий плавлению ОЦК кристалла, как функция магнитного поля для различных значений квантового параметра в.

квантовый кристалл плавится при условии

— = 0.249 __;-°!)6 fl2 , (16)

ап 1 4-0.003410®' v >

где Тт = V [йхйх)т, а ап — расстояние до ближайшего соседа, равное (Лтг2)1/ба для ОЦК. Отсюда для классического кристалла Гт й 180. Это значение увеличивается с ростом в (стабильность кристалла падает). Из-за уменьшения амплитуды колебаний (а значит и т-р) в магнитном поле стабильность кристалла возрастает. Зависимость Гт{рв) при нескольких значениях в представлена на рис. 10.

В разделе 2.7 исследована зависимость моментов фононного спектра и\ и u-i (un = ((1/кз/Шр)п)гъ) от величины и направления магнитного поля. Особый интерес представляет зависимость момента Ui от направления поля. Эта величина определяет энергию нулевых колебаний кристалла Е0 = l.bNfujpu\. В диссертации показано, что минимум энергии нулевых колебаний ОЦК решётки соответствует направлению магнитного поля на ближайшего соседа. Можно ожидать, что при наличии внешнего поля кристаллизация в остывающем веществе происходит гак, чтобы направление на ближайшего соседа в образующемся кристалле совпало с направлением магнитного поля. С другой стороны, в процессе эволюции магнитного поля при низких температурах кристалл будет стремиться повернуться так, чтобы минимизировать Е0.

При рв > Ю-3 разность Awj для двух неэквивалентных ориентации магнитного ноля ведёт себя приблизительно как р4в. При рв > 1 рост Лиj насыщается при

значениях Aui < 10 2, зависящих от выбора рассматриваемых ориентаций.

В разделе 2.8 перечислены основные результаты главы 2.

В главе 3 изучен прямой урка-процесс в сильном магнитном поле и остывание нейтронной звезды под действием такого урка-процесса, протекающего в её ядре.

В разделе 3.1 дано краткое историческое введение и описан прямой урка-процесс в отсутствие магнитного поля. Как известно, этот процесс разрешён в вырожденных ядрах нейтронных звёзд лишь при достаточно высокой концентрации протонов пр: пр > пп/8 (в предположении npe-состава вещества). Будучи разрешённым, он доминирует над остальными процессами излучения нейтрино. Однако условие включения процесса трудно достижимо. В лучшем случае, оно выполняется при высоких плотностях: р > Зро, где р0 = 2.8 х 1()14 г см~3, т.е. в центральных слоях массивных нейтронных звёзд. Требование пр/пТ1 >1/8 следует из условия /3-равновесия, сильного вырождения n, р и е и закона сохранения импульса.

В разделе 3.2 качественно показано, что ввиду несохранения поперечного импульса частиц в магнитном поле прямой урка-процесс может быть разрешён и в области параметров, запрещённой при В = 0 (при пр/пп < 1/8).

В разделе 3.3 получено общее выражение для скорости нейтринного энерговыделения Q„ в прямом урка-процессе. Использован стандартный формализм квантовой механики и теория электрослабого взаимодействия Вейнберга-Салама-Глэшоу. Получено сложное выражение для матричного элемента процесса с учётом точных волновых функций заряженных частиц в магнитном поле в предположении с нерелятивизме нуклонов.

В разделе 3-4, разбитом на 4 подраздела, рассмотрен наиболее реалистический случай не предельно сильных (хотя и очень сильных, В < 3 ■ 10'6 Гс) магнитных полей, в которых заряженные частицы заселяют много уровней Ландау. Этс существенно упрощает матричный элемент. В подразделе 3.4-1 общее выражение для Qv представлено в виде Qv = Q^Hb, где Q° — скорость энерговыделения с кинематически разрешённой области в отсутствие магнитного поля, а Rb ~ множитель, описывающий влияние поля. Показано, что в пределе В -> 0 величине Rb превращается в функцию Хевисайда Q(pfp 4- рре — рр„), описывающую кинематическое ограничение на протекание процесса в незамагниченном веществе [рра = /1(37г2па)1/3 — импульс Ферми частицы а].

В подразделе 3-4-2 фактор Rb рассчитан в области PFp+Ppe < Рет запрещённой при В = 0. Для удобства введены 2 параметра: г = [ррп — (ррр + ppt)2J Np^ jp\.p i у = TVpp3, где 7V[.p = Ррр/2|е| й — число уровней Ландау, заселённых протонами В запрещённой области х > 0, в разрешённой — х < 0. Фактор Rb рассчита( двумя методами — квантовым и квазиклассическим. Первый подразумевает сум мирование в выражении для Q„ по дискретным уровням Ландау электронов i протонов, а второй — интегрирование по их поперечным импульсам. Результать расчёта показаны на рис. 11. В обоих случаях они малочувствительны к у > 1 Это подтверждается квазиклассической асимптотикой для относительно большие

\

0.2

0

5

10

-20

-15

-10 X

-5

0

X

Рис. 11 (слева). Фактор Пп как функция х в области Др = рт —ргр — рте > 0, запрещённой при В — О, для различных Л'гР- Пустые кружки — квазикласстпсекое приближение, прчувствителъ-пое к зпачению Л'рр, а сплошные кружки — квантовые численные результаты. Короткие штрихи — асимптотика (17). Остальные кривые построены по аппроксимащюнной формуле.

Рис. 12. Фактор Яд в области Ар < 0, разрешённой при В = й, как функция х для различных значений Л^р. Пустые кружки соответствуют квазиклассическому подходу, сплошная линия рассчитана по ашфоксимационной формуле, остальные кривые — численные квантовые результаты.

В квантовом методе мы усреднили <у„ по квантовым осцилляциям. возникающим при заполнении новых уровней Ландау с изменением ферми-и.ипульсов частиц. Эти расчёты аппроксимированы аналитическими формулами (линии различных типов на рис. 11), которые в пределе Д'рр -> оо воспроизводят квазиклассический результат.

В подразделе 3.4-3 фактор Нв рассчитан в области х < 0. Результаты представлены на рис. 12. Пустыми кружками изображены квазиклассические результаты, сплошная линия — аппроксимирующая их аналитическая формула, остальные кривые — квантовый расчёт, усреднённый по квантовым осцилляциям. Г1 практической точки зрения, плавные осцилляции множителя Нц и разрешённой области неважны, поскольку они не оказывают влияния на остывание нейтронной звезды.

В подразделе 3-4-4 подведены итоги представленных расчётов. В отсутствие поля прямой урка-процесс разрешён лишь в том случае, когда невязка импульса Др = ррп — Р^р — РРе. < 0. При наличии поля процесс остаётся эффективным вплоть ДО а; < 10, т.е. Др/рРп < NF^3. Если, к примеру, В = 1016 Гс, а плотность вещества лежит вблизи порога прямого урка-процесса, то ~ 300, и Ар/рРп < 1/25.

Влияние магнитного поля на полную скорость нейтринных потерь энергии (с

X (1 «1«%):

т 24

1

в и

1.1 1.2

Р1В

1.4

0 г

В„ В]

Рис. 13 (слева): Полная скорость нейтринного энерговыделепия как функция плотности (в единицах 1015 г см-3) без магнитного поля (сплошная линия) и при нескольких значениях В.

Рис. 14: Допустимый интервал масс для Геминги в зависимости от внутреннего магнитного поля.

учётом модифицированного урка-процесса) проиллюстрировано на рис. 13. Использовано уравнение состояния вещества Пракаша и др. [10]. Скачок сплошной кривой примерно на 7 порядков отвечает порогу прямого урка-процесса, Ар = 0, Р — Рал- Остальные кривые показывают влияние магнитного поля. При р < раЛ имеем Др > 0, х > 0, и прямой урка-процесс оказывается хотя и подавленным, но доминирующим механизмом нейтринных потерь в широком диапазоне плотностей.

В разделе 3.5 полученные результаты использованы для моделирования остывания нейтронных звёзд. Рассмотрен набор моделей нейтронных звёзд с уравнением состояния [10], но различными центральной плотностью (или массой) и величиной внутреннего магнитного поля В. В отсутствие поля кривые остывания звезды весьма чувствительны к её массе вблизи порогового значения Мс: отвечающего включению прямого урка-процесса. Звёзды с массами М < Мс остывают медленно, а при М > Мс — очень быстро. Переход от медленного режима к быстрому происходит при увеличении массы всего на ~ 0.005Ме.

Предположим теперь, что в ядре звезды имеется магнитное поле В ~ 1016 Гс. Чтобы поддерживающие его токи не испытывали ускоренный омический распад за счёт эффекта усиления поперечного сопротивления в сильно замагниченной плазме [5], предположим, что они локализованы в той части ядра, где нейтроны сверхтекучи, и эффект усиления отсутствует. С другой стороны, пусть внутренняя область ядра, в которой открыт прямой урка-процесс, несверхтекуча. Согласно рис. 13, сильное магнитное поле В ~ 3 • 1016 Гс размывает порог включения прямого урка-процесса на достаточно широкий диапазон плотностей. Тем самым поле существенно ускоряет остывание нейтронных звёзд с массами, примерно на 10% меньшими Мс. Вследствие этого переход с медленного остывания на быстрое

происходит в широком диапазоне масс, например л: 0.05М© при В к 3 • 1016 Гс.

Этот результат использован для интерпретации наблюдений теплового излучения пульсара Геминга. Доверительный интервал поверхностной температуры пульсара, полученный в результате интерпретации спектра пульсара моделью водородных атмосфер, лежит между "быстрыми" и "медленными" кривыми остывания в отсутствие поля. Подбирая массу звезды и величину её внутреннего магнитного поля, можно заставить кривую остывания пройти через этот доверительный интервал. Допустимые значения параметров лежат в заштрихованной области на рис. 14. Таким образом, сильное внутреннее магнитное поле упрощает интерпретацию наблюдений Геминги в данной модели, поскольку отпадает необходимость в точном подборе её массы.

Наконец, в разделе 3.б кратко рассмотрен случай сверхсильных полей, в которых электроны и протоны заселяют только основные уровни Ландау. Отметим, что необходимые для этого поля нереалистически высоки, В > 1018 Гс, и близки к вириальному пределу на величину магнитного ноли для нейтронных звёзд.

В разделе 3.7 перечислены основные результаты главы 3.

В главе 4 изучена кинетика вещества в плотных областях ядра нейтронной звезды в рамках экзотической гипотезы о локализации протонов флуктуациями плотности нейтронов и промоделировано остывание звезды в этом предположении.

В разделе 4■ 1 даётся введение в предмет.

Физические условия в ядре нейтронной звезды с локализованными протонами подробно обсуждаются в разделе 4-2. Идея протонной локализации возникает из

сравнения типичной кинетической энергии протонов в сверхплотном нейтронном веществе (р > 4р0) с энергией взаимодействия протона с возмущениями плотности нейтронов при условии, что доля протонов мала. Отношение энергии взаимодействия протона с флуктуацией концентрации нейтронов 5?гп к кинетической энергии протона может быть оценено как ~ 102 — 103(6пп/пп) при пп ~ 0.64 фм~3 и доле протонов хр ~ 1%. Взаимодействие протона с волнами плотности нейтронов приводит к росту эффективной массы протона [7] (аналогично эффекту полярона при взаимодействии электрона с акустическими фононами в твёрдых телах). Более того, согласно [7], при плотности выше некоторой критической плотности р1р (оцениваемой от 4 до 9ро) может происходить локализация протона созданной им же неоднородностью фона нейтронов. Размеры потенциальной ямы, локализующей протон, при 4р0 составляют ~ 1 фм, глубина ~ 100 МэН. Если доля протонов столь мала, что среднее расстояние между ними меньше размеров эффективных ям (хр < 0.05), то все протоны оказываются локализованными. В диссертации высказано и обосновано предположение, что положения отдельных локализованных протонов не будут образовывать дальнего порядка. Все расчёты проведены при более сильном допущении — о полном отсутствии корреляций меж/у положениями локализованных протонов. Тогда локализованные протоны представляют собой случайно расположенные центры, рассеивающие нейтроны и электроны.

В разделе 4-3 приведены кинетические уравнения, описывающие перенос заряда, тепла и импульса электронами и нейтронами, вариационные решения эти> уравнений и аналитические выражения для транспортных коэффициентов. Этг выражения совпадают с (10) с той лишь разницей, что времена релаксации т0 (а = /с, а, ;; — определяет тип процесса переноса) заменяются выражениями {уац 4- ¡■'спр)-1- Здесь 1/ац и — частоты столкновений частиц типа г (» = ( или п) между собой и с локализованными протонами.

Частоты столкновений определяются вероятностями переходов при и- и гр-рассеянии, специальным образом усреднёнными по углам. Эти средние рассчитаны е разделе 4-4- В случае ее- и ер-рассеяния использован формализм диэлектрической проницаемости для сильно вырожденного ультрарелятивистского электронного газа. Результаты по ее-рассеянию совпадают с полученными ранее [4]. Случай ер-рассеяния очень похож на рассеяние электрона на заряженной примеси. И в этом случае все результаты, за исключением среднего, определяющего совпадают с соответствующими выражениями работы [4]. В случаях пп- и пр-рассеяния в качестве вероятностей переходов брались значения, которые можно восстановить по лабораторным сечениям пп- и пр-рассеяния в вакууме. Пренебрегалось, как уже сказано, корреляцией локализованных протонов, а кроме того, модификацией пп-и пр-рассеяния под влиянием среды. Оба эффекта приводят к некоторой переоценке получаемых вероятностей перехода и недооценке коэффициентов переноса. Однако, теоретические сведения о рассматриваемой системе столь неопределённы, что попытки учёта этих эффектов не могут считаться оправданными.

В разделе 4-5 вариационные решения модифицированы таким образом, чтобы в пределе высоких температур (когда доминируют столкновения ¿¿-типа) они воспроизводили известные точные решения кинетического уравнения. Окончательные результаты для кинетических коэффициентов приведены в виде, удобном для практического использования.

В разделе 4-6оценены скорости тормозных нейтринных потерь энергии при ери пр-столкновениях. Для ер-столкновений использованы результаты [6], где рассчитано нейтринное энерговыделение при электрон-ионных столкновениях в ку-лоновской жидкости. Разница с интересующим нас случаем, главным образом, заключается в отсутствии корреляций в протонной системе. В нашем случае, общая формула, полученная в [6], существенно упрощается, и окончательный результат может быть найден однократным численным интегрированием. Расчёты нейтринных потерь при пр-столкновениях являются новыми. В этом случае использована упрощённая модель пр-взаимодействия (контактный потенциал, постоянная связи которого определяется подгонкой к полному сечению пр-рассеяния в вакууме). Результаты численного расчёта энерговыделения пр-процесса аппроксимированы простой аналитической формулой. Как и в разделе 4.4>пренебрежение эффектами среды и корреляцией протонов приводит к переоценке вероятностей перехода, а значит и скорости энерговыделения. Поэтому результаты разделов 4.4 и 4.6 представляют собой максимальный эффект, который можно ожидать в результате

локализации протонов.

В разделе 4.7 обсуждаются астрофизические следствия полученных результатов. Протонная локализация приводит к уменьшению теплопроводности в ~ 100/Т2 раз (Т9 — температура в единицах 109 К). Соответственно этому на 2 порядка удлиняется время выравнивания температуры в ядре нейтронной звезды. Если в ядре звезды с нелокализованными (вырожденными) протонами тепловое равновесие устанавливается в течение rt.e. ~ R2C/k ~ 10 — 100 лет (здесь Я — характерный размер области неизотермичности, С — теплоёмкость единицы объёма, к — теплопроводность), то при протонной локализации тепловая релаксация занимает ~ 103 — 104 лет. Кроме того, время релаксации перестаёт зависеть от температуры ядра звезды.

Электропроводность в случае протонной локализации падает по сравнению со стандартным результатом [2] в ~ 2- 105/7f раз. Это влияет на эволюцию магнитного поля в ядре нейтронной звезды. Если в стандартном случае электропроводность столь велика, что время жизни магнитного поля tj ~ uR2/c2 (сг — электропроводность) превышает возраст Вселенной, то в случае протонной локализации токи, текущие в сверхплотных областях ядра, распадаются за ~ 3 • ]07(Я)р/10км)2 лет (i?ip — размер области протонной локализации). Различные типы статистического анализа популяций радиопульсаров свидетельствуют об отсутствии распада их магнитного поля на временах < 2 • 107 — 108 лет. Это хотя и накладывает ограничение на модель локализованных протонов, но не позволяет её отвергнуть. В принципе, поверхностное поле может быть не связанным с внутренним, или же токи, поддерживающие магнитное поле, могут быть локализованы в той области, где протоны вырождены.

Наконец, уменьшение сдвиговой вязкости в ~ 7-105/Т| раз может иметь значение для роста неустойчивостей, связанных с реакцией на гравитационное излучение. В стандартном случае подобные неустойчивости при Т < 107 К быстро затухают благодаря большой сдвиговой вязкости. В случае же локализации протонов сдвиговая вязкость не зависит от температуры и остаётся равной стандартному значению при Т ~ 1011 К на протяжении всей эволюции звезды. Столь низкое значение вязкости не может воспрепятствовать росту неустойчивостей.

В разделе 4-8 описано моделирование остывания нейтронной звезды с протонной локализацией в наиболее плотной области ядра (при р > р\р). Использовано реалистическое уравнение состояния, предсказывающее малую долю протонов при высоких плотностях вещества [13]. Сверхтекучесть нуклонов не учитывалась. Стандартные нейтринные потери в области р > p\v были дополнены тормозным излучением нейтринных пар при столкновениях нейтронов с локализованными протонами.

Результаты моделирования сопоставлены с наблюдаемыми температурами поверхности трёх источников: Вела, PSR 0656+14 и Геминга. Использованы данные, полученные в результате интерпретации наблюдаемых спектров источников моделями замагниченных водородных атмосфер. Протонная локализация приводит

к увеличению нейтринного энерговыделения в сверхплотных слоях ядер нейтрон ных звёзд. Подбирая Р\р и центральную плотность (или массу) звезды, можнс варьировать размер области, в которой происходит локализация, а вместе с не{ и усиленные нейтринные потери. Увеличение нейтринной светимости приводит к уменьшению теоретических температур поверхности звёзд данного возраста. С другой стороны, наблюдаемые поверхностные температуры лежат ниже стандартных кривых остывания. Для каждого источника определены допустимые облает* значений пороговой плотности p\v и массы М, для которых кривые остывания ускоренного локализацией, проходят через доверительный интервал поверхностной температуры. Зафиксировав р\р и подбирая M, можно объяснить поверхностные температуры всех источников. Например, при p\v — 4.3р0 имеем M m 1.44Мй для Белы, M « 1.48Л/0 для PSR 0656+14 и Л/ « 1.61М© для Геминги. В последнем случае приходится предположить наличие легкой водородной оболочки массы ДМ ~ 10-loMQ на поверхности звезды, которая дополнительно опускает теоретическую поверхностную температуру Гемииги.

В разделе 4-9 перечислены основные результаты главы 4. Сделан вывод о том, что вся совокупность наблюдательных данных о нейтронных звёздах не противоречит гипотезе о протонной локализации в сверхплотном веществе их ядер.

В заключении сформулированы основные результаты диссертации

1. Численным интегрированием с высокой точностью определены фононные термодинамические функции и фактор Дебая-Усшлера для объёмно- и гранецентри-рованных кубических кулоновских кристаллов в широком диапазоне значений отношения температуры к плазменной температуре Ю-4 < Т/Тр < 20. С несколько худшей точностью рассчитаны термодинамические функции гексагональных плотно упакованных кристаллов.

2. В модели гармонической решётки рассчитаны статическая парная корреляционная функция и статический структурный фактор кулоновского объём ноцен-трированного кубического кристалла в зависимости от параметра неидеальности Г = Z2e2/aT и квантового параметра в = Tv/T. Показано, что парная корреляционная функция в гармоническом приближении прекрасно согласуется с расчётом методом Монте-Карло при г > 1.5а. Проанализированы сингулярности неупругого статического структурного фактора, возникающие в положениях брэгговских пиков. Рассчитан ангармонический вклад в кулоновскую энергию с использованием гармонической корреляционной функции, но с учётом точной формы кулоновского потенциала.

3. Вычислены тепло- и электропроводность вырожденных электронов, рассеивающихся на ионах в кулоновских кристаллах и жидкостях. Расчёты проведены с учётом многофононных процессов рассеяния в кристалле и с приближённым учётом подавления квазибрэгговского рассеяния в жидкости. Показано, что учёт этих эффектов приводит к исчезновению скачков кинетических коэффициентов в точке плавления.

4. С высокой точностью рассчитаны термодинамические функции кулоновского объёмноцентрированного кубического кристалла в сильном магнитном поле (при Ю-3 < Тр/Т < 104 и 0 < ыв/ир < 100). Вычислены фактор Дебая-Уоллера и среднеквадратичная амплитуда отклонений иона из положения равновесия. Показано, что при и)в/иР > 1 и Тр/Т > 1 эта амплитуда становится сильно анизотропной: поперечное полю смещение ионов подавлено. Проанализированы условия плавления квантового замагниченного кулоновского кристалла. Показано, что магнитное поле стабилизирует квантовый кулоновский кристалл, увеличивая температуру плавления.

5. Рассчитано нейтринное энерговыделение в прямом урка-процессе в ядрах нейтронных звёзд с сильным магнитным полем. Основные результаты получены для полей, в которых электроны и протоны заселяют много уровней Ландау. Показано, что в таких полях процесс разрешён при более низких плотностях, чем в отсутствие магнитного поля.„

6. Проведено моделирование остывания нейтронной звезды с сильным внутренних магнитным полем. Показано, что с ростом массы звезды при наличии поля ~ 1016 Гс переход от медленного остывания к быстрому происходит, в диапазоне масс ~ 0.05Мо, на порядок более широком, чем в отсутствие поля. Результаты использованы для объяснения значений поверхностной температуры пульсара Геминга. Найдены значения масс и магнитных полей, при которых теоретическое остывание Геминги соответствует наблюдаемым поверхностным температурам. Показано, что сильное внутреннее магнитное поле облегчает интерпретацию, поскольку отпадает необходимость в точном подборе массы Геминги.

7. Рассчитаны тепло- и электропроводность, а также сдвиговая вязкость сверхплотных слоёв ядра нейтронной звезды в предположении о локализации протонов. Показано, что локализованные протоны являются очень эффективными рас-сеивателями электронов и нейтронов, что приводит к изменению температурной зависимости и резкому уменьшению коэффициентов переноса. Также рассчитана скорость нейтринного энерговыделения при столкновениях электронов и нейтронов с локализованными протонами. Энерговыделение пр-реакции значительно превосходит энерговыделение в реакции модифицированного урка-процесса, который протекал бы в этом веществе в отсутствие протонной локализации. Уменьшение транспортных коэффициентов затягивает тепловую релаксацию в ядре нейтронной звезды; ускоряет омический распад магнитного поля в области протонной покализации; снижает стабильность звезды по отношению к неустойчивостям, свя-¡анным с реакцией на гравитационное излучение.

í. Промоделировано остывание нейтронных звёзд с учётом излучения нейтринных тар при столкновениях нейтронов с локализованными протонами. Данный процесс ускоряет остывание звёзд по сравнению со стандартным случаем. Показано, что »фиксировав параметр критической плотности и варьируя массу звезды, мож-ю объяснить низкие поверхностные температуры Белы, РЬ'К 0656-1-14 и Геминги. Сделан вывод о том, что имеющаяся совокупность наблюдательных данных о ней-

тронных звёздах не противоречит гипотезе о протонной локализации в их ядрах В основу диссертации легли следующие публикации:

1. Д.А. Байко, Д.Г. Яковлев, Тепло- и электропроводность кулоновских кристал лов в нейтронных звёздах и белых карликах. Письма в АЖ, 21 (1995) 702-709.

2. Д.А. Байко, Д.Г. Яковлев, Тепло- и электропроводность кулоновских кристал лов во внутренней коре нейтронных звёзд. Письма в АЖ, 22 (1996) 708-714.

3. D.A. Baiko, D.G. Yakovlev, Direct URCA process in strong magnetic fields an neutron star cooling. Astronomy and Astrophysics, 342 (1999) 192-200.

4. D.A. Baiko, A.D. Kaminker, A.Y. Potekhin, D.G. Yakovlev, Ion structure factor and electron transport in dense Coulomb plasmas. Phys. Rev. Lett., 81 (1998) 5556 5559.

5. D.A. Baiko, P. Haensel, Transport properties and neutrino emissivity of dens neutron-star matter with localized protons. Acta Physica Polonica, B30 (1999) 1097 1123.

6. A.Y. Potekhin, D.A. Baiko, P. Haensel, D.G. Yakovlev, Transport properties с degenerate electrons in envelopes of neutron stars and cores of white dwarfs. Astrono my and Astrophysics, 346 (1999) 345-353.

7. D.A. Baiko, D.G. Yakovlev, H.E. De Witt, W.L. Slattery, Coulomb crystals in Ih harmonic lattice approximation. Phys. Rev. E, 61 (2000) 1912-1919.

8. D.A. Baiko, P. Haensel, Cooling neutron stars with localized protons. Astronom; and Astrophysics, 356 (2000) 171-174.

Список литературы

1] R.G. Albers, J.E. Gubematis, препринт LASL LA-8674-MS (1981).

2] G. Baym, C. Pethick, D. Pines, Nature 224, 674 (1969).

3] G. Chabrier, N.W. Ashcroft, H.E. DeWitt, Nature 360, 48 (1992).

4] E. Flowers, N. Itoh, Astrophys. J. 206, 218 (1976).

5] P. Haensel, V.A. Urpin, D.G. Yakovlev, Astron. Astrophys. 229, 133 (1990).

6] P. Haensel, A.D. Kaminker, D.G. Yakovlev, Astron. Astrophys. 314, 328 (1996).

7] M. Kutschera, W. Wojcik, Phys. Rev. C47, 1077 (1993).

8] C.P. Lorenz, D.G. Ravenhall, C.J. Pethick, Phys. Rev. Lett. 70, 379 (1993).

9] R. Mochkovitch, J.-P. Hansen, Phys. Lett. A73, 35 (1979).

10] M. Prakash, T.L. Ainsworth, J.M. Lattimer, Phys. Rev. Lett. 61, 2518 (1988).

11] С. Шапиро, С. Тьюколски, Чёрные дыры, белые карлики, нейтронные звёзды Москва, Мир (1985).

12] Н.А. Усов, Ю.Б. Гребенщиков, Ф.Р. Улинич, ЖЭТФ 78, 296 (1980).

13] R.B. Wiringa, V. Fiks, A. Fabrocini, Phys. Rev. C38, 1010 (1988).

ведение

Кулоновские кристаллы

1.1 Введение

1.2 Дисперсионное уравнение.

1.3 Динамическая 1матрица кулоновского кристалла в термодинамическом пределе

1.4 Основные свойства спектра колебаний кристалла.

1.5 Термодинамические функции фононов и интегрирование по зоне Бриллюэна

1.6 Корреляционная функция и структурный фактор кристалла.

1.6.1 Определения.

1.6.2 Корреляционная функция.

1.6.3 Кулоновская энергия кристалла.,.

1.6.4 Структурный фактор.

1.7 Общие свойства электрон-фоноиного рассеяния.

1.8 Электронные коэффициенты переноса в кулоновских кристаллах и жидкостях

1.8.1 Общий формализм.

1.8.2 Численный расчёт кинетических коэффициентов.

Заключение формулируем основные результаты диссертации:

Численным интегрированием с высокой точностью определены фоноипые термодина-ические функции и фактор Дебая-Уоллера для объёмно- и гранецентрированных куби-еских кулоновских кристаллов в широком диапазоне значений отношения температуры плазменной температуре Ю-4 < Т/Тр < 20. С несколько худшей точностью рассчитаны зрмодинамические функции гексагональных плотно упакованных кристаллов. . В модели гармонической решётки рассчитаны статическая парная корреляционная фун-ция и статический структурный фактор кулоновского объёмноцентрировапного кубиче-адго кристалла в зависимости от параметра неидеальности Г = Z2e2/aT и квантового араметра в = Тр/Т. Показано, что парная корреляционная функция в гармоническом риближении прекрасно согласуется с расчётом методом Монте-Карло при г > 1.5а. Про-нализированы сингулярности неупругого статического структурного фактора, возникающие в положениях брэгговских пиков. Рассчитан ангармонический вклад в кулоновскую зергию с использованием гармонической корреляционной функции, но с учётом точной юрмы кулоновского потенциала.

Вычислены тепло- и электропроводность вырожденных электронов, рассеивающихся на онах в кулоновских кристаллах и жидкостях. Расчёты проведены с учётом многофонон-ых процессов рассеяния в кристалле и с приближённым учётом подавления квазибрэггов-юго рассеяния в жидкости. Показано, что учёт этих эффектов приводит к исчезновению <ачков кинетических коэффициентов в точке плавления.

С высокой точностью рассчитаны термодинамические функции кулоновского объёмно-ентрированного кубического кристалла в сильном магнитном поле (при 10~3 < Тр/Т < ]4 и 0 < оов/^р < 100). Вычислены фактор Дебая-Уоллера и среднеквадратичная ампли-уда отклонений иона из положения равновесия. Показано, что при ujb/u)v > 1 и Тр/Т > 1 га амплитуда становится сильно анизотропной: поперечное полю смещение ионов по-авлено. Проанализированы условия плавления квантового замагниченного кулоновско-) кристалла. Показано, что магнитное поле стабилизирует квантовый кулоновский кри-?алл, увеличивая температуру плавления.

Рассчитано нейтринное энерговыделепие в прямом урка-процессе в ядрах нейтронных !ёзд с сильным магнитным полем. Основные результаты получены для нолей, в которых [ектроны и протоны заселяют много уровней Ландау. Показано, что в таких полях про-;сс разрешён при более низких плотностях, чем в отсутствие магнитного поля. Проведено моделирование остывания нейтронной звезды с сильным внутренним магитным полем. Показано, что с ростом массы звезды при наличии поля ~ 1016 Гс переход г медленного остывания к быстрому происходит в диапазоне масс ~ О.О5М0, на порядок злее широком, чем в отсутствие поля. Результаты использованы для объяснения значе-ий поверхностной температуры пульсара Геминга. Найдены значения масс и магнитных элей, при которых теоретическое остывание Геминги соответствует наблюдаемым по-зрхностным температурам. Показано, что сильное внутреннее магнитное поле облегчает нтерпретацию, поскольку отпадает необходимость в точном подборе массы Геминги.

Рассчитаны тепло- и электропроводность, а также сдвиговая вязкость сверхплотных юёв ядра нейтронной звезды в предположении о локализации протонов. Показано, что экализованные протоны являются очень эффективными рассеивателями электронов и эйтронов, что приводит к изменению температурной зависимости и резкому уменыне-ию коэффициентов переноса. Также рассчитана скорость нейтринного энерговыделения ри столкновениях электронов и нейтронов с локализованными протонами. Энерговыделе-не пр-реакции значительно превосходит энерговыделение в реакции модифицированного рка-процесса, который протекал бы в этом веществе в отсутствие протонной локализа-ии. Уменьшение транспортных коэффициентов затягивает тепловую релаксацию в ядре зйтронной звезды; ускоряет омический распад магнитного поля в области протонной ло-ализации; снижает стабильность звезды по отношению к неустойчивостям, связанным с закцией на гравитационное излучение.

Промоделировано остывания нейтронных звёзд с учётом излучения нейтринных пар ри столкновениях нейтронов с локализованными протонами. Данный процесс ускоряет ;тывание звёзд по сравнению со стандартным случаем. Показано, что зафиксировав па-амстр критической плотности и варьируя массу звезды, можно объяснить низкие поверх-эстные температуры Белы, PSR 0656+14 и Геминги. Сделан вывод о том, что имеющаяся звокупность наблюдательных данных о нейтронных звёздах не противоречит гипотезе о ротонной локализации в их ядрах.

Я признателен Валентину Дмитриевичу Палыпину, Юрию Александровичу Уварову и лексею Борисовичу Копцевичу за помощь при подготовке электронной версии работы.

С удовольствием благодарю Хыо Де Витта, Александра Давидовича Каминкера, Ксе-ию Петровну Левенфиш, Александра Юрьевича Потехина, Павла Хэнселя и Юрия Ана-эльевича Шибанова за многочисленные ценные обсуждения различных вопросов физики зйтронных звёзд в течение моей работы в секторе теоретической астрофизики.

Мне особенно приятно поблагодарить моего руководителя Дмитрия Георгиевича Яко-1ева, научившего меня столь многому в науке и всегда приходящему на помощь в жи-;йских вопросах. Без его советов и участия эта работа никогда не смогла бы состояться.

Выражаю глубокую благодарность моим родителям Байко Евгении Яковлевне и Байко лексею Валериановичу, без заботы и поддержки которых эта диссертация никогда не >ша бы написана.

1. R.C. Albers, J.E. Gubernatis, препринт LASL LA-8674-MS (1981).

2. S.B. Anderson, F.A. Cordova, G.G. Pavlov, C.R. Robinson, R.J. Thompson, Jr., Astrophys. J. 414, 867 (1993).

3. R.A. Arndt, L.D. Roper, R.A. Bryan, R.B. Clark, B.J. VerWest, P. Signell, Phys. Rev. D28, 97 (1983).

4. Д.А. Байко, Д.Г. Яковлев, Письма в АЖ 21, 702 (1995). ;. Д.А. Байко, Д.Г. Яковлев, Письма в АЖ 22, 708 (1996).

5. D.A. Baiko, A.D. Kaminker, A.Y. Potekhin, D.G. Yakovlev, Phys. Rev. Lett. 81, 5556 (1998).

6. D.A. Baiko, P. Haensel, Acta Physica Polonica B30, 1097 (1999).i. D.A. Baiko, D.G. Yakovlev, H.E. De Witt, W.L. Slattery, Phys. Rev. E, (2000).

7. D.A. Baiko, P. Haensel, Astron. Astrophys. 356, 171 (2000).

8. M. Baldo, I. Bombaci, G.F. Burgio, Astron. Astrophys. 328, 274 (1997).

9. D. Bandyopadhyay, S. Chakrabarty, P. Dey, S. Pal, Rapid cooling of magnetized neutron stars, astro-ph/9804145.

10. G. Baym, C. Pethick, D. Pines, Nature 224, 673, 674 (1969).

11. G. Baym, C. Pethick, P. Sutherland, Astrophys. J. 170, 299 (1971).

12. G. Baym, C. Pethick, Landau Fermi-Liquid Theory, John Wiley, New York (1991).

13. В.Б. Берестецкий, E.M. Лифшиц, Л.П. Питаевский, Квантовая электродинамика, Москва, Наука (1989).

14. D. Bhattacharya, G. Srinivasan, in X-ray Binaries, W.H.G. Lewin, J. Van Paradijs, E.P.J. Van den Heuvel (eds), Cambridge University Press, Cambridge (1995).

15. М. Born and К. Huang, Dynamical theory of crystal lattices, Claredon Press, Oxford (1954).

16. G.A. Brooker, J. Sykcs, Phys. Rev. Lett. 21, 279 (1968); J. Sykes, G.A. Brooker, Ann. Phys. (N.Y.) 56, 1 (1970).

17. V. Canuto, H.Y. Chiu, Space Sci. Rev. 12, 3 (1971).

18. G. Chabrier, N.W. Ashcroft, H.E. DeWitt, Nature 360, 48 (1992).

19. G. Chabrier, Astrophys. J. 414, 695 (1993).

20. M.H. Cohen, F. Keffer, Phys. Rev. 99, 1128 (1955).

21. A.C. Давыдов, Теория твёрдого тела, Москва, Наука (1976).

22. О.Ф. Дорофеев, В.Н. Родионов, И.М. Тернов, Письма в АЖ 11, 302 (1985).

23. D.H.E. Dubin, Phys. Rev. А42, 4972 (1990).

24. D.H.E. Dubin, T.M. O'Neil, Rev. Mod. Phys. 71, 87 (1999).

25. R.T. Farouki, S. Hamaguchi, Phys. Rev. E47, 4330 (1993).

26. E. Flowers, N. Itoh, Astrophys. J. 206, 218 (1976).

27. G. Fontaine, P. Brassard, White dwarf seism,ology: Influence of the constitutive physics on the period spectra. In: Chabrier G., Schatzman E. (eds.) The Equation of State in Astrophysics, Cambridge University Press, Cambridge, p. 347 (1994).

28. J.L. Friedman, Phys. Rev. Lett. 51, 11 (1983).i2. B.L. Friman, O.V. Maxwell, Astrophys. J. 232, 541 (1979).

29. K. Fuchs, Proc. R. Soc. London A151, 585 (1935).

30. N.K. Glendenning, Compact Stars, Springer, New York (1996). •5] O.Y. Gnedin, D.G. Yakovlev, Nucl. Phys. A582, 697 (1995).

31. E.H. Gudmundsson, C.J. Pethick, R.I. Epstein, Astrophys. J. 272, 286 (1983).

32. P. Haensel, V.A. Urpin, D.G. Yakovlev, Astron. Astrophys. 229, 133 (1990).

33. P. Haensel, S. Bonazzola, Astron. Astrophys. 314, 1017 (1996).

34. P. Haensel, A.D. Kaminker, D.G. Yakovlev, Astron. Astrophys. 314, 328 (1996).

35. J.P. Halpern, F.Y.-H. Wang, Astrophys. J. 477, 905 (1997).

36. W.M. Itano, J.J. Bollinger, J.N. Tan, B. Jelenkovic, X.-P. Huang, D.J. Wineland, Science 279, 686 (1998).

37. N. Itoh, S. Mitake, H. Iyetomi, S. Ichimaru, Astrophys. J. 273, 774 (1983).

38. N. Itoh, Y. Kohyama, N. Matsumoto, M. Seki, Astrophys. J. 285, 758 (1984).

39. N. Itoh, Transport processes in dense stellar plasmas. In: Chabrier G., Schatzman E. (eds.) The Equation of State in Astrophysics, Cambridge University Press, Cambridge, p. 394 (1994).

40. B. Jancovici, Nuovo Cimento 25, 428 (1962).

41. H. H0jgaard Jensen, H. Smith, J.W. Wilkins, Phys. Lett. A27, 532 (1968); Phys. Rev. 185, 323 (1969).

42. А.Д. Каминкер, Д.Г. Яковлев, Теор. и мат. физика 49, 248 (1981).

43. С. Kouveliotou et al., Nature 393, 235 (1998).

44. M. Kutschera, W. Wojcik, Phys. Lett. B223, 11 (1989).

45. M. Kutschera, W. Wojcik, Acta Physica Polonica B23, 947 (1992).

46. M. Kutschera, W. Wojcik, Phys. Rev. C47, 1077 (1993).

47. M. Kutschera, Phys. Lett. B340, 1 (1994).

48. M. Kutschera, W. Wojcik, Nucl. Phys. A581, 706 (1995).

49. D. Lai, S.L. Shapiro, Astrophys. J. 383, 745 (1991).

50. Л.Д. Ландау, E.M. Лифшиц, Статистическая физика, часть 1, Москва, Наука (1995).

51. J.M. Lattimer, C.J. Pethick, М. Prakash, P. Haensel, Phys. Rev. Lett. 66, 2701 (1991)

52. L.B. Leinson, A. Perez, J. of High Energy Physics, 09, 20 (1998); astro-ph/9711216.

53. К.П. Левенфиш, Д.Г. Яковлев, АЖ 38, 247 (1994).

54. К.П. Левенфиш, Д.Г. Яковлев, Письма в АЖ 22, 56 (1996).

55. К.П. Левенфиш, Ю.А. Шибанов, Д.Г. Яковлев, Письма в АЖ 25, 417 (1999).

56. Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский, Физическая кинетика, Моска, Наука (198?).

57. L. Lindblom, Astrophys. J. 438, 265 (1995).

58. С.P. Lorenz, D.G. Ravenhall, C.J. Pethick, Phys. Rev. Lett. 70, 379 (1993).

59. A.G. Lyne, R.S. Pritchard, F. Graham-Smith, F. Camilo, Nature 381, 497 (1996).

60. R.D. Meyer, G.G. Pavlov, P. Meszaros, Astrophys. J. 433, 265 (1994).

61. R. Mochkovitch, J.-P. Hansen, Phys. Lett. A73, 35 (1979).

62. T. Nagai, H. Fukuyama, J. Phys. Soc. Jap. 51, 3431 (1982).

63. T. Nagai, H. Fukuyama, J. Phys. Soc. Jap. 52, 44 (1983).

64. Н. Nagara, Y. Nagata, Т. Nakamura, Phys. Rev. A36, 1859 (1987).

65. J.W. Negele, D. Vautherin, Nucl. Phys. A207, 298 (1973).

66. S. Ogata, Astrophys. J. 481, 883 (1997).

67. H. Ogelman, J.P. Finley, Astrophys. J. 413, L31 (1993).

68. H. Ogelman, J.P. Finley, H.U. Zimmerman, Nature 361, 136 (1993). '4] E. Ostgaard, D.G. Yakovlev, Nucl. Phys. A540, 211 (1992).

69. D. Page, J.H. Applegate, Astrophys. J. 394, L17 (1992).

70. D. Page, Yu.A. Shibanov, V.E. Zavlin V. E., in: Rontgenstrahlung from the Universe, eds. H.U. Zimmermann, J. Trtimper, H. Yorke, MPE Report 263, p. 173 (1996).

71. G.G. Pavlov, V.E. Zavlin, in: Neutron Stars and Pulsars, eds. N. Shibazaki, N. Kawai, S. Shibata, T. Kifune, p. 327 (1998).

72. C.J. Pethick, Rev. Mod. Phys. 64, 1133 (1992).

73. Д. Пайнс, Элементарные возбуждения в твёрдых телах, Москва, Мир (1965). .0] E.L. Pollock, J.P. Hansen, Phys. Rev. A8, 3110 (1973).

74. A. Possenti, S. Mereghetti, M. Colpi, Astron. Astrophys. 313, 565 (1996).

75. A.Y. Potekhin, G. Chabrier, D.G. Yakovlev, Astron. Astrophys. 323, 415 (1997). ■3] A.Y. Potekhin, J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 31, 49 (1998).

76. A.Y. Potekhin, D.A. Baiko, P. Haensel, D.G. Yakovlev, Astron. Astrophys. 346, 344 (1999).

77. M. Prakash, T.L. Ainsworth, J.M. Lattimer, Phys. Rev. Lett. 61, 2518 (1988).

78. M. Prakash, M. Prakash, J.M. Lattimer, C.J. Pethick, Astrophys. J. 390, L77 (1992).7| M.A. Preston, R.K. Bhaduri, Structure of the Nucleus, Addison-Wesley, Reading, Massachusetts (1975).

79. M.E. Raikh, D.G. Yakovlev, Astrophys. Sp. Science 87, 193 (1982).

80. С.Я. Рахманов, ЖЭТФ 75, 160 (1978).

81. R.W. Romani, Astrophys. J. 313, 718 (1987).

82. С. Шапиро, С. Тьюколски, Чёрные дыры, белые карлики, нейтронные звёзды, Москва, Мир (1985).

83. Yu.A. Shibanov, V.E. Zavlin, G.G. Pavlov, J. Ventura, Astron. Astrophys. 266, 313 (1992).итература 134

84. W.L. Slattery, G.D. Doolen, H.E. DeWitt, Phys. Rev. A21, 2087 (1980).

85. G.S. Stringfellow, H.E. DeWitt, W.L. Slattery, Phys. Rev. A41, 1105 (1990).

86. T. Takatsuka, R. Tamagaki, Prog. Theor. Phys. 97, 345 (1997).

87. Y. Toyozawa, Prog. Theor. Phys. 26, 29 (1961).

88. V. Urpin, D. Konenkov, MNRAS 292, 167 (1997).

89. H.A. Усов, Ю.Б. Гребенщиков, Ф.Р. Улинич, ЖЭТФ 78, 296 (1980).

90. R.V. Wagoner, Astrophys. J. 278, 345 (1984).

91. E.P. Wigner, Phys. Rev. 46, 1002 (1934).

92. R.B. Wiringa, V. Fiks, A. Fabrocini, Phys. Rev. C38, 1010 (1988).

93. G. Wunner, H. Ruder, H. Herold, Astrophys. J. 247, 374 (1981).

94. Д.Г. Яковлев, В.А. Урпин, Письма в АЖ 24, 303 (1980).

95. Д.Г. Яковлев, Письма в АЖ 31, 347 (1987).

96. D.G. Yakovlev, D.A. Shalybkov, Sov. Sci. Rev. E7, 311 (1989).

97. D.G. Yakovlev, A.D. Kaminker, K.P. Levenfish, Astron. Astrophys. 343, 650 (1999).

98. J.M. Ziman, Electrons and Phonons, Oxford University Press, Oxford (1960).