Кольца эндоморфизмов некоторых классов абелевых групп без кручения второго ранга тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

/

МОСКОВСКИЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМЕНИ В. И, ЛЕНИНА

на правах рукописи

ДЕГТЯРЕНКО Валентина Альбертовна

КОЛЬЦА ЭНДОМОРФИЗМОВ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП БЕЗ КРУЧЕНИЯ ВТОРОГО РАНГА.

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель -профессор, доктор физико-математических наук Л.Я.Куликов

Москва 1999 г.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение..................................................4

Список обозначений.......................................12

Глава 1. Подпрямая сумма двух групп первого ранга, индуцированная группой кольцо эндоморфизмов данной

под прямой суммы.......................................... 14

§ 1. Подпрямая сумма двух групп первого ранга, индуцированная квазициклической группой 2(р»)....................14

§ 2. Группа гомоморфизмов и кольцо эндоморфизмов подпря-мой суммы двух групп первого ранга, индуцированной квазициклической группой г(р») и содержащей р-делимые элементы....................................................27

§ 3. Группа гомоморфизмов и кольцо эндоморфизмов подпря-мой суммы двух групп первого ранга, индуцированной квазициклической группой и не содержащей р-делимых

элементов................................................44

§ 4. Подпрямая сумма двух групп первого ранга, индуцированная группой ®г(р!«>).................................56

§ 5.Аддитивная группа кольца эндоморфизмов подпрямой суммы двух групп первого ранга, индуцированной конечной

прямой суммой ®г(Р1«0....................................68

§ 6. Подпрямые суммы и точные последовательности.........82

Глава 2. Псевдоцоколь подпрямой суммы, индуцированной группой ®г(рд<»). Радикалы кольца эндоморфизмов подпрямой

суммы.................................................... 90

§ 7. Псевдоцоколь подпрямой суммы двух групп первого ранга, индуцированной группой ®г(Рз«>).......................90

§ 8. Киль-радикал кольца эндоморфизмов подпрямой суммы

двух групп первого ранга, индуцированной группой

®г(Рз®).................................................101

§ 9. Присоединенно простой радикал кольца эндоморфизмов

абелевой группы без кручения конечного ранга............106

Литература..............................................117

ВВЕДЕНИЕ

Одной из первых работ по теории абедевых групп без кручения является работа Бэра [353, а по теории абелевых групп без кручения конечного ранга - работы А.Г.Куроша [20], А.И.Мальцева 1221, Д.Дерри [3?]. Основополагающие результаты по теории абелевых групп без кручения бесконечного ранга были получены Л.Я. Куликовым [13-17]. В работах [18, 19] Л.Я.Куликов впервые стал рассматривать подпрямые суммы абелевых групп без кручения. Он показал, что любая счетная ненулевая редуцированная (обобщенно р-примарная) абелева группа без кручения представима в виде подпрямой суммы (обобщенно р-примерных) S-групп, существуют абелевы группы без кручения континуальной мощности, не представимые в виде подпрямой суммы S-групп. Фарукшин В.Х. в работе С273 рассмотрел специальную подпрямую сумму типа Q групп Gi и G2 и нашел необходимое и достаточное условие разложимости этой специальной подпрямой суммы в прямую сумму собственных подгрупп. Рожков A.B. в [251 исследует конечную подпрямую степень специального вида свободного произведения свободных групп с циклическими группами простого порядка. Дикинсон и Тамура в работе [383 рассматривают подпрямые произведения групп целых чисел.

Между строением абелевой группы и ее кольцом эндоморфизмов, группой автоморфизмов существует довольно тесная взаимосвязь, Изучение этих взаимосвязей и описание их с помощью классов абелевых групп без кручения и их колец эндоморфизмов - одно из направлений теории абелевых групп. Одной из первых работ, посвященных характеризации колец зндомрфиз-

- и -

mob редуцированных групп без кручения,была работа З.М.Кишки-ной [3]. В начале 60-х годов в совместной работе Бьюмонта и Пирса [341 была получена характеризация колец эндоморфизмов групп без кручения ранга 2. Д.Арнольд в [323 рассмотрел отроение колец квазиэндоморфизмов абелевых групп без кручения ранга 2. Себельдин A.M. в работе [26] решил задачу опре-деляемооти вполне разложимои абелевои группы без кручения овоюл кольцом эндоморфизмов. Рейд в работе [471 выявил связь между строением псевдоцоколя абелевои группы без кручения группы (подгруппы, порожденной всеми минимальными сервантны-ми вполне характеристическими подгруппа»! данной группы) и строением кольца ее квазиэндоморфизмов (минимальной рациональной алгебры, содержащей кольцо эндоморфизмов).

Важную роль в теории колец играют радикалы. Структура абелевои группы может в некоторых случаях определяться свойствами радикала кольца ее эндоморфизмов. Поэтому изучение радикалов колец эндоморфизмов представляет особый интерес. Фейт и Утуми в работе [41] доказали, что радикал Дже-кобоона кольца эндоморфизмов квазинн-ъективного модуля совпадает с множеством всех его эндоморфизмов с большими подмодулями в качестве ядер, а фактор-кольцо по радикалу регулярно в смысле Неймана. Уор и Зельманович в работе [49] описали радикал Джекобсона кольца эндоморфизмов проективного модуля. Хаймо в [42] описал радикал кольца эндоморфизмов делимой периодической группы.

П.А. Крылов в работах [6 - 123, используя строение псевдоцоколя, получил описание ниль-радикала (сумма всех ниль-идеалов) и радикала Джекобсона кольца эндоморфизмов абелевои группы без кручения конечного ранга, нашел условия

их нильпотентности и равенства нулю, выяснил строение фактор-кольца кольца эндоморфизмов по радикалу Джекобсона, Для групп произвольного ранга Крылов П.А. решил почти все основные вопросы о ниль-радикале и радикале Джекобсона колец эндоморфизмов сепарабельных и алгебраически-компактных групп. Фарукшин В.Х в работах С27 - 291 обобщил результаты Крылова для обобщенно р-примарных групп. Сэнд в [48] рассматривает строение радикала Джекобсона для кольца эндоморфизмов при-марной абелевой группы.

В.А.Андрунакиевич и Ю.М.Рябухин в Í11 рассматривают кроме ниль-радикала и радикала Джекобсона присоединенно простой радикал (радикал Врауна-Маккоя) алгебры А (пересечение всех максимальных двусторонних идеалов алгебры А). Динго В. в работе [39] исследует Г-кольца, что у каждого гомоморфного образа М ниль-радикал совпадает с присоединенно простым радикалом. Для присоединенно простого радикала 1(А) алгебры А всегда верны включения N(A) С J(A) С 1(А), где N(A) -ниль-радикал, J(А) - радикал Джекобсона алгебры А. В общем случае радикал Джекобсона строго меньше присоединенно простого радикала. Поэтому представляет интерес изучить строение присоединенно простого радикала кольца эндоморфизмов абелевой группы без кручения.

В связи с этим в настоящей диссертации ставились и решались следующие задачи:

- Изучить строение специальной подпрямой суммы типа ®Z(Pi») абелевых групп без кручения первого ранга А и В -группы второго ранга, охарактеризовать строение аддитивной группы кольца эндоморфизмов этой группы;

- Охарактеризовать псевдоцоколь и радикалы колец эндоморфизмов рассматриваемых групп.

Согласно этим задачам диссертация содержит две главы (глава 1 - § 1 - 6, глава 2 - § 7 - 9).

В § 1 будут найдены необходимые и достаточные условия для существования подпрямой суммы двух групп первого ранга А и В, индуцированной группой г(р»), будет показано, что эта подпрямая сумма будет ч-делимой группой (ч - простое число не равное р) тогда и только тогда, когда чА = А и дВ = В. В общем случае эта подпрямая сумма - группа в - не обязана содержать р-делимые элементы, найдено необходимое и достаточное условие, при котором группа 6 содержит р-делимые элементы. В зависимости от типов групп А и В и последовательностей, задающих эпиморфные отображения этих групп на группу I (р°°), будет получено строение подпрямой суммы 6, указаны условия, при которых эта группа будет сильно неразложимой, вполне разложимой, также будет получено строение множества типов группы 8.

В § 2 эпиморфизмы, задающие подпрямую сумму 6 двух групп первого ранга А и В, определены так, что группа 0 содержит р-делимые элементы. В зависимости от типов групп А и В, а,следовательно, от типов группы О, будет получено строение кольца эндоморфизмов Е(6) группы 0. Так,если тип группы А - Ъ(А) равен типу группы В - 1(В), то аддитивная группа кольца Е(6) изоморфна прямой сумме Э* ® где

={пс11"оС.с1к-ррг(а,-дЬ) |пег, е {1,.к> 016(а,-дЬ)=«о }-

" I си

подгруппа р-делимой подгруппы 6о группы в, а

= г д е 6 | д= (п<1"оСрга,шд:~урсЬ) п, ш, Г, с£2 >>

Если 1:(А) < I (В), то аддитивная группа кольца Е (6) изоморфна прямой сумме 6в*®йв*} если же 1:(В)<1(А), то Е (6)^*^0*, где (п^^.сЬГ^Р^О) пег, ген,VI е И,.к} Ь(3(ра,0)=®К

Ов* Ь) пег, геы,VI е И,.к} Ьь(0,рЬ)=со|.

Если типы групп А и В несравнимы, то аддитивная группа кольца эндоморфизмов Е(6) изоморфна подгруппе 0дв* группы где

, I х=п(с110С. ^кг)_1рга, пег, Г е N ч 6ав* = Их,0)1 их)=:тГЩА),ЦВ)), VI Ье(ра,рЬ) = со}.

I сЦ >

Также будет получено строение группы гомоморфизмов

Нот(6,в'), где в'- также подпрямая сумма двух групп первого ранга А' и В", индуцированная группой г(р»).

В § 3 будет рассмотрено строение группы Нот(6,в") и кольца Е(й) в том случае, когда эти группы не содержат р-делимых элементов. Результаты получены для некоторых случаев. Так, если типы групп А и В несравнимы, то аддитивная группа кольца эндоморфизмов ЕШ) изоморфна подгруппе йдв*группы 6. Если МА) < ЦВ), то аддитивная группа кольца Е(6) изоморфна подгруппе Бав* группы в, а если 1(В) < Ь(А), то аддитивная группа кольца Е(в) изоморфна подгруппе Оба* группы б, где

г | х=ВД1Л. .а^)"1?1' Ь, Л

8ва* = ио,х)| их)=:тт(А),ив)), Уг Ье(ра,рЬ) =

^ | с!г '

Также в этом параграфе будет получено строение группы

Нот(С,6) и Нот(й,С), где С - произвольная группа первого

ранга, а 6 - произвольная подпрямая сумма двух групп первого

ранга, индуцированная группой г(р«>).

В § 4 рассматривается строение подпрямой суммы двух

групп первого ранга, индуцированной группой ®2(р1<»), где 1

принадлежит конечному множеству. Будут получены результаты,

аналогичные результатам первого параграфа, найдено отроение решетки типов данной подпрямой суммы.

В § 5 будет полностью описано строение аддитивной группы кольца эндоморфизмов Е(0), группы Нот(С,6), Нот(6,С), где О и 8'' - подпрямые суммы двух групп первого ранга, индуцированные группой ®7(р1«>), 1 £ ...и, причем каждая подп-рямая сумма содержит Р1Р2... Р1~делимые элементы, С - произвольная группа первого ранга. Полученные результаты и доказательства аналогичны результатам и доказательствам, приведенным в параграфах 2 и 3.

В заключении первой главы в § б рассмотрены некоторые частные вопросы, связанные с подпрямыми суммами произвольных эбелевых групп бее кручения, индуцированными произвольной группой без кручения Р или группой г(р®)©2(ср). Будут найдены условия, при которых последовательности подпрямых сумм будут точными, сервантно точными, расщепляющимися, установлена связь между подпрямой суммой колец Е(А/Кегф) и Е(В/кегф), где А, В и Р - произвольные абелевы группы без кручения, ф и Ф - эпиморфные отображения групп А и В на группу Р соответственно, кольцами Е(6/(Кегф © Кегф)) и Е(Р).

Вторая глава посвящена радикалам кольца Е(в) и строению псевдоцоколя группы 6.

В § 7 будет рассмотрено строение псевдоцоколя подпрямой суммы двух групп первого ранга - группа 6, индуцированной группой ФЦр!00), 1 е {1,2,..Д.>, содержащей Р1Р2. • делимые элементы. Так, если множество типов группы □ состоит из четырех элементов,то псевдоцоколь группы й совпадает с самой группой 6, если же множество типов группы 0 состоит из двух или трех элементов, то псевдоцоколь группы О совпадает с

подгруппой группы G,состоящей из pip-¿-. .pt-делимых элементов. Если же подпрямая сумма двух групп первого ранга инду-цированая группой Z(p»), не содержит р-делимых элементов и множество типов этой группы состоит из двух или трех элементов, то псевдоцоколь этой подпрямой суммы совпадает о самой подпрямой суммой. Получено строение псевдоцоколя конечной прямой суммы подпрямых сумм групп первого ранга, индуцированных одной квазициклической группой.

В § 8 будет рассмотрено строение ниль-радикала кольца эндоморфизмов подпрямой суммы. Так, если G - подпрямая сумма двух групп первого ранга, индуцированная группой ®Z(Pj®), je I = {1,2...t>, содержащая pipg-..Ptr делимые элементы и t(A) = t(B), то NÍE(G)) = i te E(G)jt e Hom(GB,GD(i))> = = ít e E(G) ¡x e Hoití(Ga,Gd(I))}, где Gdcd - подгруппа группы G, состоящая из pipg.•.pt-делимых элементов, Ga=-í (x,0) |x e a & Ф(x) = 0>, Gb=-í (0,x) |x £ В & ф(х) = 0> -подгруппы группы G, ф и ф эпиморфизмы групп А и В на группу ©Z(p.j«>) соответственно. Если же типы групп А и В не равны, то N(E(G)) = 0. Также будет получено строение ниль-радикала кольца эндоморфизмов конечной прямой суммы подпрямых сумм групп первого ранга, индуцированной группой Z(p»). Если подпрямая сумма индуцированна группой Z(p»), не содержит р-делимых элементов и множество типов этой подпрямой суммы состоит из двух или трех элементов, то также N(E(G)) = 0.

§ 9 посвящен присоединений простому радикалу кольца эндоморфизмов абелевой группы без кручения. В общем случае радикал Джекобсона не равен присоединение простому радикалу. Будут рассмотрены группы, для кольца эндоморфизмов которых присоединенно простой радикал равен нулю, совпадает с

ниль-радикалом. Будет показано, что присоединению простой радикал кольца эндоморфизмов вполне разложимой группы конечного ранга и кольца эндоморфизмов конечной прямой суммы подпрямых групп первого ранга, индуцированных группой Ъ (р«>), содержащей р-делимые элементы, совпадает с радикалом Джекобсона этого кольца эндоморфизмов.

список

- 12 -обозначений

г(р1<») - квазициклическая группа

Р1 - простое число

© - прямая сумма

П - прямое произведение

1(А) - тип группы первого ранга А

G = Aj_[В - подпрямая сумма двух абелевых групп без кручения

Ф,Ф

Ga - -С (х,0) |х 6 А & ф(х) = 0} gb = <(о,у)|у е в & ф(у) = 0}

Gd - р-делимая подгруппа подпрямой суммы G двух абе-

левых групп без кручения первого ранга, индуцированная группой Z(poo) Gd(I) - PiP2---Pt~делимая подгруппа подпрямой суммы G

двух абелевых групп без кручения первого ранга, индуцированная группой Z(pi<»), где iei={i,2,.. t> t(GA) - тип группы Ga t(Gb) - тип группы Gb t(Gd) - тип группы Gq

t(Gd(i)) - тип группы Gdcd t (Gab) = inf-ct(ga),t(gb)> typesetG - множество типов группы G П(С) = { p ipC # С, p - простое число>

д = -nEmini-^-1

Дз = -n2(3)mi(3)ni(j)'1m2(d)~1

zi(i) = 1 + rip +...+ rip1, где ri£-il,2,. .p-i> Z2(i) = 1 + sip +...+ sip1, где sie-f'1,2,. .p-l> 21 (i, j) = 1 + Г1,.зРз +...+ ri#3 Рз1, где r-i, зе{1,2,, .Рз-1} Z£(i,j) = 1 + si, ¿p., +...+ si, 3Р31. где Si, .j£-il,2,. .p.j-1}

6о* Чпс11_о:.с1к~дрг(а5-дЬ) |пег, Гег,¥1 е И, .к}(Ь6(а,-дЬ)=со^ 4 1 с14 ' '/

= / д е □ | (пс^^^р1 а, грсЬ) п, гп, £", с£2 ^ { I Ь^(а,Ь) = со, Ь%(а,Ь) » « } .

=<(пс!1"с4^к"ррга,0)|пе2, Геи,VI е {1,.к> Ь6(ра,0)=«>Ь ^ I ^

ев* ={ (0,пс11~^ак"рРгЬ)|пе2, Ген,VI е <1,.к> Ье(о,рЬ)=®Ь 4 I С11

г | х=пС<^1**- ^кг)_1рга, п е г, Г е N

Зав* = их,0)| их)=1пт(А)Д(В)), VI Ье(ра,рЬ) = со}. 4 I сЦ

( | х-к^.с^Г^ Ь, 1 е N ^

Вва* = {(0,х) 1 их)=1птСА),МВ)), Уг Ьа(ра,рЬ) -

^ I аг }

аед(ш) - характеристика элемента ш группы А

Ьрк(ш) - р-высота элемента ш группы 6

* - изоморфизм

= - сравнение

рП - сервантная вполне характеристическая подгруппа

ЗосО - псевдоцоколь группы й

АгтСЗосв) - аннулятор псевдоцоколя группы 6

Е(0) - кольцо эндоморфизмов группы 6

Нош(6,6') - группа гомоморфизмов группы 6 в группу 6'

Н(Е((3)) - ниль-радикал кольца эндоморфизмов группы О

Л(Е(8)) - радикал Джекобсона кольца эндоморфизмов группы □

I (Е(б)) - присоединение) простой радикал (радикал Брауна-

Маккоя) кольца эндоморфизмов группы й 1ш - образ гомоморфизма <х

Кегф - ядро гомоморфизма <р ® - тензорное произведение

Ъ - группа целых чисел

Ц - поле рациональных чисел

ГЛАВА 1, Подпрямая сумма двух групп первого ранга, индуцированная группой ®Z(pi»)5 кольцо эндоморфизмов данной подпрямой суммы.

§ 1. Подпрямая сумма двух групп первого ранга, индуцированная квазициклической группой Z(p»).

Пусть G абелева группа без кручения, E(G) - ее кольцо эндоморфизмов. Подгруппа G прямого произведения А = П Bi называется подпрямой суммой групп Bi, если для каждого i отображения i.-rti G Bi является эпиморфизмом [213. Пусть нам даны две группы без кручения А и В и эпиморфные отображения ф и ф групп А и В на группу F. Элементы (a,b) е А ® В, где Ф(а) = ф(Ь),образуют подгруппу G группы А ® В. Она будет являться подпрямой суммой групп А и В. Очевидно, что Кегф©Кегф является подгруппой группы G.

Пусть А и В группы первого ранга, Z(p®) - квазициклическая группа. Рассмотрим множество {(х,у){ф(х) = Ф(у)>, где ф и ф - эпиморфные отображения групп А и В на группу Zip®) соответственно. Это множество является аддитивной группой -подпрямой суммой групп А и В, индуцированной группой Z(p®), или специальной подпрямой суммой типа Z(p°°) групп А и В. Будем обозначать эту группу следующим образом: G = A j IB. Не-

Ф,Ф

трудно видеть, что G - абелева группа без кручения второго ранга.

В этом параграфе рассматривается строение группы G, строение решетки типов группы G, находятся необходимые и достаточные условия: q-делимости группы G, существования р-делимых элементов, вполне разложимости и сильном неразложимости

группы G.

Так как группа Z(p») является р-делимой группой, то для того, чтобы можно было задать эпиморфные отображения групп А и В на группу Z(p»),необходимо, чтобы А и В также были р-делимыми группами. Действительно, пусть ф(�