Конциркулярная геометрия приближенно келеровых многообразий тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Введение

Глава I. Пространства Фиалкова.

§1. Существование конциркулярных преобразований

§2. Примеры.

§3. Некоторые свойства конциркулярных преобразований метрики в римановых многообразиях.

Глава II. Основные классы почти эрмитовых многообразий и их структурные уравнения.

§1. Предварительные сведения.

§2. Конциркулярные преобразования метрики в почти эрмитовых многообразиях.

§3. Gi-многообразия и их структурные уравнения.

§4. Основные классы почти эрмитовых многообразий.

Глава III. Конциркулярно приближенно кеяеровы многообразия.

§1. Класс конциркулярно приближенно келеровых многообразий

§2. Примеры.

Глава IV. Тождества кривизны для ZiVii'-многообразий.

Глава V. ZiViir-многообразия F-постоянного типа.

Глава VI. ZiVi^-многообразия постоянной /^-кривизны

§1. Свойства секционной кривизны римановых многообразий

§2. Свойства голоморфной секционной кривизны почти эрмитовых многообразий.

§3. Gi-многообразия точечно постоянной голоморфной секционной кривизны.

§4. Постоянство Я5-кривизны ZiVK-многообразий.

Глава VII. Конформно-плоские ZiVi^-многообразия.

Актуальность темы. Изучение конформно-инвариантных свойств римановых многообразий, в том числе и наделенных дополнительной структурой, является одной из наиболее актуальных задач современной дифференциальной геометрии. В частности, сюда относится изучение конформно-инвариантных свойств почти эрмитовых многообразий, проведенное в работе А.Грея и Л.Хервеллы [4]. Хорошо известно, что конформное преобразование метрики сохраняет геодезические (т.е. переводит геодезические в геодезические) тогда и только тогда, когда оно тривиально, т.е. является гомотетией. Существуют, однако, нетривиальные конформные преобразования, сохраняющие геодезические окружности (т.е. кривые, у которых первая кривизна постоянна, а остальные кривизны равны нулю). Они называются конциркулярными преобразованиями. Их изучение и является предметом настоящей работы. Простейшими примерами пространств, допускающих конциркулярные преобразования метрики, являются пространства постоянной кривизны.

Начало изучению конциркулярных преобразований было положено К.Яно [6]. В дальнейшем конциркулярные преобразования и их приложения в физике привлекли внимание многих исследователей. Отметим работы А.Фиалкова [7], Н.С.Синюкова [8], С.Г.Лейко [27], [33]. Тем не менее геометрические свойства конциркулярных преобразований изучены пока недостаточно. К.Яно вывел дифференциальные уравнения, которым должна удовлетворять функция, определяющая кон-циркулярное преобразование в римановом пространстве [6]. В связи с этим встала задача: описать все римановы многообразия, допускающие конциркулярные преобразования метрики. К.Яно ввел в рассмотрение тензор Ж конциркулярной кривизны [6], являющийся инвариантом конциркулярных преобразований, и доказал, что риманово пространство конциркулярно-плоско тогда и только тогда, когда тензор % тождественно равен нулю, что равносильно постоянству кривизны многообразия. В частности, отсюда получаем, что пространства постоянной кривизны допускают конциркулярные преобразования. В качестве следствий К.Яно получил, что эйнштейновость рима-нова многообразия и постоянство кривизны являются конциркулярно инвариантными свойствами.

В последние годы наиболее интенсивно специалистами по эрмитовой геометрии изучались локально конформно келеровы многообразия, т.е. такие почти эрмитовы многообразия, которые конформным преобразованием метрики переводятся в келеровы многообразия. Эти многообразия входят в конформно-инвариантный класс W^ почти эрмитовых многообразий, согласно классификации Грея-Хервеллы [4]. Примерами многообразий класса служат многообразие Хопфа и конформные образы комплексного евклидова пространства. Особенно большой вклад в изучение локально конформно келеровых многообразий внесли Вайсман [2], [22], Грей и Ванхекке [34], В.Ф.Кириченко [3], [35]. Также большое внимание геометров привлекали приближенно келеровы многообразия, составляющие класс W\ [4]. Здесь наиболее существенные результаты были получены А.Греем [19], [20] и В.Ф.Кириченко [13], [14], [29], [31], [36]. Отметим, что конформные преобразо- ^ вания метрики приближенно келерова многообразия выводят его за пределы класса приближенно келеровых многообразий. Естественным расширением этих двух классов явились многообразия Вайсмана-Грея [5], образующие конформно-инвариантный класс [4], содержащий локально конформно приближенно келеровы многообразия. Многообразия Вайсмана-Грея изучались В.Ф.Кириченко, Н.А.Ежовой,

Н.Н.Щипковой [5], [37].

В настоящей работе изучаются конциркулярно приближенно келе-ровы многообразия, т.е. такие почти эрмитовы многообразия, которые получаются конциркулярным преобразованием метрики из приближенно келеровых многообразий (при этом почти комплексная структура не меняется). Отметим, что эти многообразия являются многообразиями Вайсмана-Грея. Интерес к таким многообразиям обусловлен, прежде всего, их близостью к приближенно келеровым многообразиям, которые хорошо изучены и обладают многими замечательными геометрическими свойствами. Возникает естественный вопрос: какие из этих свойств допускают обобщение на класс конциркулярно приближенно келеровых многообразий?

Цель диссертационной работы состоит в дальнейшем изучении конциркулярных преобразований метрики в римановых пространствах и, в частности, в приближенно келеровых многообразиях.

Основными задачами диссертационного исследования являются:

1. Описать римановы многообразия, допускающие конциркуляр-ные преобразования метрики.

2. Продолжить изучение конциркулярных преобразований метрики, в частности, на почти эрмитовых многообразиях.

3. Исследовать свойства некоторых априорно определенных видов конциркулярно приближенно келеровых многообразий и получить ха-рактеризацию многообразий этих видов.

4. Построить примеры собственных (т.е. отличных от приближенно келеровых) конциркулярно приближенно келеровых многообразий.

Новизна результатов. Основные результаты, полученные в процессе диссертационного исследования, являются новыми. Отметим некоторые из них:

1. Доказано, что метрика риманова пространства допускает (нетривиальное) конциркулярное преобразование тогда и только тогда, когда это многообразие является пространством Фиалкова.

2. Построены новые примеры римановых пространств, как допускающих конциркулярные преобразования метрики, так и не допускающих такие преобразования.

3. Доказано, что комплексная линейность тензора Риччи, а также свойство точечного постоянства голоморфной секционной кривизны инвариантны относительно конциркулярных преобразований метрики почти эрмитовых многообразий.

4. Показано, что конциркулярно приближенно келеровы многообразия удовлетворяют тождествам кривизны класса i?3 (т.е. они имеют J-инвариантный тензор римановой кривизны) и R2, причем они удовлетворяют тождеству R\ (т.е. являются паракелеровыми) тогда и только тогда, когда они либо эрмитовы, либо шестимерны и имеют неинтегрируемую структуру, а их форма Ли удовлетворяет определенному дифференциальному уравнению.

5. Построены новые примеры почти эрмитовых многообразий класса W\ 0 W4 постоянной кривизны как с интегрируемой, так и с неин-тегрируемой структурой.

6. Приведено полное описание конциркулярно приближенно келе-ровых многообразий постоянного по Ванхекке типа.

7. Дано исчерпывающее описание конциркулярно приближенно ке-леровых многообразий точечно постоянной голоморфной секционной кривизны.

8. Получено исчерпывающее описание конформно-плоских конциркулярно приближенно келеровых многообразий.

Методы исследования. В предложенной работе исследования проводились методом подвижного репера с помощью структурных уравнений, записанных в специализированном репере. Таким образом, исследование геометрических свойств конциркулярно приближенно келеровых многообразий проводилось большей частью не на самом многообразии, а на пространстве некоторой G-структуры, естественным образом присоединенной к многообразию.

Теоретическое и прикладное значение. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы при дальнейшем изучении почти эрмитовых многообразий, в частности, конциркулярно приближенно келеровых многообразий. Кроме того, они могут найти свое применение в качестве материалов для специальных курсов в высших учебных заведениях.

Апробация работы. Основные результаты докладывались и обсуждались на Международной научной конференции "Актуальные проблемы математики и механики" (2000 г., Казань), на VIII Белорусской Математической конференции (2000 г., Минск), на научной сессии по итогам научно-исследовательской работы за 2000 год МПГУ (2001 г., Москва).

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в пяти публикациях [39] — [43].

Краткий обзор содержания диссертации.

Во введении обосновывается актуальность исследования конциркулярно приближенно келеровых многообразий, изучаемых в диссертации. Формулируются цели и задачи диссертационного исследования и приводится краткое содержание работы.

1. Бессе А. Многообразия Эйнштейна. Т. 1.II. — М.:Мир, 1990. — 704 с.

2. Vaisman I. On locally and globally conformal Kahler manifold. Trans. Amer. Math. Soc. — 1980. — V. 262. — P. 533-542.

3. Кириченко В.Ф. Локально конформно-келеровы многообразия постоянной голоморфной секционной кривизны. Матем. сб. — 1991.Т. 182, No 3. — С. 354-363.

4. Gray A., Hervella L.M. The sixteen classes of almost Hermitian manifolds and their linear invariants. Ann. Math. Pure ed Appl. — 1980.V. 123, No 4. — P. 35-58.

5. Кириченко В.Ф., Щипкова H.H. О геометрии многообразий Грея-Вайсмана. Успехи мат. наук. — 1994. — Т. 49, No 2. — С. 155-156.

6. Yano К. Concircular geometry, I-IV. Proc. Imp. Acad. Tokyo. — 1940. V. 16. — P. 195-200, 354-360, 442-448, 505-511.

7. Fialkow A. Conformals geodesies. Trans. Amer. Math. Soc. — 1939. — V. 45. — P. 443-473.

8. Синюков H.C. Геодезические отображения римановых пространств. — М.: Наука, 1979. — 255 с.

9. Vries H.L. Uber Riemannische Raume, die infinitesimal konforme Transformationen gestatten. Math. Z. — 1954. — V. 60, No 3. — P. 328-347.

10. Кобаяси HI., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. Т. 1,2. — М.: Наука, 1981.

11. Goldberg S.J., Kobayashi S. The conformal transformation group of compact Riemannian manifold. Amer. J. Math. — 1962. — V. 84. — P. 170-174.

12. Nagano Т. The conformal transformations on the space with parallel Ricci tensor. J. Math. Soc. Japan. — 1959. — V.ll. — P. 10-14.

13. Кириченко В.Ф. К-пространства постоянного типа. Сиб. ма-тем. ж. — 1976. — Т. 17, No 2. — С. 282-289.

14. Кириченко В.Ф. О геометрии однородных К-пространств. Ма-тем. заметки. — 1981. — Т. 30, No 4. — С. 569-582.

15. Кириченко В.Ф., Ежова Н.А. Конформные инварианты многообразий Вайсмана-Грея. Успехи мат. наук. — 1996. — Т. 51, No 2. — С. 163-164.

16. Kirichenko V.F. Generalized quasi-Kaehlerian manifolds and axioms of CR-submanifolds in generalized Hermitian geometry, I. Geometriae Dedicata. — 1994. — V. 51. — P. 75-104.

17. Kirichenko V.F. Generalized quasi-Kaehlerian manifolds and axioms of CR-submanifolds in generalized Hermitian geometry, II. Geometriae Dedicata. — 1994. — V. 52. — P. 53-85.

18. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. — М.: Наука, 1964. — 664 с.

19. Gray A. Nearly Kahler manifolds. J. Different. Geom. — 1970. — V. 4, No 3. — P. 283-309.

20. Gray A. The structure of nearly Kahler manifolds. Ann. Math. — 1976. — V. 223. — P. 233-248.

21. Кириченко В.Ф. Аксиома Ф-голоморфных плоскостей в контактной метрической геометрии. Изв. АН СССР. — Т. 48, No 4. — 1984. — С. 711-739.

22. Vaisman I. Locally conformal Kahler manifolds with parallel Lie form. Rend, di Mat. — 1979. —V. 12. — P. 268-284.

23. Gray A. Curvature identities for Hermitian and almost Hermitian manifolds. Tohoku Math. J. — 1976. — V. 28, No 4. — P. 601-612.

24. Лихнерович А. Теория связностей в целом и группы голономии.М.: Издательство иностранной литературы, 1960. — 216 с.

25. Vanhecke L. Almost Hermitian manifolds with J-invariant Riemann curvature tensor. Rend, semin. mat. Univ. e politecn. Torino. — 19751976. — V. 34. — R 487-498.

26. Vanhecke L. cr-hypersurfaces of generalized complex space forms. Hokkaido Math. J. — 1977. — V. 6, No 1. — P. 31-38.

27. Лейко С.Г. О спин-конформных диффеоморфизмах псевдори-мановых пространств. IX Всесоюзная геометрическая конференция.Кишинев, 1988. — С. 182.

28. Кириченко В.Ф. Почти эрмитовы многообразия постоянного типа. Докл. АН СССР. — 1981. — Т. 269, No 6. — С. 1293-1297.

29. Кириченко В.Ф. К-алгебры и К-пространства постоянного типа с индефинитной метрикой. Матем. заметки. — 1981. — Т. 29, No 2.С. 265-278.

30. Gray A. Classification des varietes approximativement kahleriennes de courbure sectionelle holomorphe constante. C.r.Acad.sci. Paris. — 1974. — V. 279, No 22. — P. 797-800.

31. Кириченко В.Ф. К-пространства постоянной голоморфной секционной кривизны. Матем. заметки. — 1976. — Т. 19, No 5. — С. 805-814.

32. Игнаточкина Л. А., Кириченко В.Ф. Конформно-инвариантные свойства приближенно келеровых многообразий. Матем. заметки. — 1999. — Т. 66, No 5. — С. 653-663.

33. Лейко С.Г. Законы сохранения для спин-траекторий, порожденных изопериметрическими экстремалями поворота. Гравитация и теория относительности. — Казань: Издательство Казанского университета, 1988. Вып. 26. — С. 117-124.

34. Gray A., Vanhencke L. Almost Hermitian manifolds with constant holomorphic sectional curvature. Cas. Pestov. Mat. — 1979. — V. 104.P. 170-179.

35. Кириченко В.Ф. Конформно плоские локально конформно ке-леровы многообразия. Матем. заметки. — 1992. — Т. 51, No 5. — С. 57-66.

36. Кириченко В.Ф. Дифференциальная геометрия К-пространств. Итоги науки и техники. Т. 8. Проблемы геометрии. — М.: ВИНИТИ АН СССР, 1977. — С. 139-161.

37. Щипкова Н.Н. Дифференциальная геометрия многообразий Вайсмана-Грея. Дисс. на соискание ученой степени канд. физ.-мат. наук. — М.: МПГУ, 1994.

38. Арсеньева О.Е., Кириченко В.Ф. Автодуальная геометрия обобщенных эрмитовых поверхностей. Матем. сб. — 1998. — Т. 189, No 1. — С. 21-44.

39. Власова Л.И., Кириченко В.Ф. О геометрии конциркулярно приближенно келеровых многообразий, 1. VIII Белорусская Математическая Конференция. Минск: Институт математики НАНБ, 2000 г. Тезисы докладов. — 4.2. — С. 97.

40. Vlasova L.I. Curvature identities for concircularly nearly Kahlerian manifolds. Webs and Quasigroups. Tver. State Univ. — 2000. — P. 155160.

41. Власова Л.И. Некоторые типы конциркулярно приближенно келеровых многообразий. Моск. энерг. ин-т (тех. ун.) деп. в ВИНИТИ 18.12.00, No 3158 BOO. — М. — 2000. — 28 с. — БУ, Депонир. науч. раб., No 2, 2001.

42. Власова Л.И. О голоморфной секционной кривизне концирку-лярно приближенно келеровых многообразий. Научные труды МПГУ. Серия: естественные науки. — 2001. — С. 59-60.