Квазиклассически сосредоточенные состояния в квантовой механике тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ
|
Трифонов, Андрей Юрьевич
АВТОР
|
||||
|
доктора физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Томск
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
1995
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.04.02
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
од
На правах рукописи
Трифонов Андрей Юрьевич
Квазиклассически сосредоточенные состояния в квантовой механике
Специальность 01.04.02 - теоретическая физика
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой стеизнч доктора физико-математических наук
Томск - 199.1
Работа выполнена ни кафедре г.ысшсй математики 41 адатемди!ческой физики Томского политехнического университета
Научный консультант;
доктор физико-математических наук
профессор М.М. Никитин (ТПУ)
Официальные оппоненты: член-корреспондент РЛН
профессор С.Д. Творогов (ИОЛ СО РАН)
доктор физико-математических наук
профессор В.А. Бордовицын (ТГУ)
док-юр фнзнко-матоЛатических наук «
профессор A.B. Борисов (МГУ)
Ведущая организация:
Московский институт электроники и математики (технический университет)
Защита состоится "_"_______1995 г. и ____час. на заседании
диссертационного совета Д 0S3.53.07 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук при Томском государственном университете по адресу: С340&0, Томск, пр. Ленина, 36, ауд.
С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Томского государственного университета
1995 г.
Автореферат разослан
Ученый секретарь
диссертационного сонета
кандидат физико-математических наук
доцент Со4Л'у CJL JlMX0B'14
Общая характеристика работы
В диссертации развивается новое направление квазикласснчесг.от подходи в квантовой механике - теория ква-шклассически-сос^едоточсиных состоянии.
Актуальность темы
Развитие приближенных (к«азикла.ссичег.ких) методов расчета физических эффектом во внешних полях остается актуальней задачей теоре-1 ической физики и представляет одно из важных се направлений. Универсальность квазикллсси-ческих методов проявляется, в частности, в возможности их использования для анализа квантоьо-электродинамических эффектен как в слабых, так и н сильных электромагнитных полях (естественно, п этих случаях разложение идет по разным параметрам). Поэтому аппарат квазиклассических асимптотик оказывается эффективным как при решении задач, связанных с экспериментом, так и при решении некоторых общетеоретических проблем. Разработанные для квантовой электродинамики, эти методы могут применяться при исследовании различных аффектов в пеаДелевых калибровочных и гравитационных полях.
Так, например, одним из возможных путей решения проблемы создания источников интенсивного спонтанною и вынужденного излучения является использование электромагнитных полей со сложной структурой (например, полой кристаллов, периодических магнитных нолей и др.), Точные решения релятивистских волновых уравнений в такш: полях, как правило, неизвестны. Использование квазииласси'.еских волновых функций в этих случаях позволяет исследовать как классические, так и квантовые характеристики излучен мх.
Следует отметить также акту;\льность квазиклассичсского исследования квантовых эффектов в сильных нолях, в присутствии которых эти эффекты становятся существенными. Развитие ускорительной и лазерной техники подает возможным, в недалеком будущем, создание таких нолей,.Хроме того, теоретические оценки указывают на существование полей . близких к критически, у поверхности пульсаров и заряженных черных дыр.
Изучение квантовых явлений я квнэмклаг.си ческоы приближении преаетммч-(
ст также существенный теоретический и математический иктерес.
Гак', например, реимние одной из пршпшпиажпых праслеи соотяитсгкчч
3
результатов квантовой и классической механики для заряда. во внешнем электромагнитном поле - проблемы вы иод а классических уравнений движении и) уравнений движения для квантово-механических средних в проделе h ~> О принято связывать с существованием нормированных динамических сое тонкий квантовой системы в форме волновых накетчн, сосредоточенных в окрестности положения классической частицы. Естественно ожидать, что такие состоянии можно построить в квазиклассическом приближении, если потребовать, что бы фаза волнсьой -функции имела, в отличие от стандартных НКI¡ асимптотик, неотрицательную' мнимую часть, обращающуюся ь нуль на классической траектории. Построение такого сорта квази классических асимнтотк дает возможность продвинуться в этой старой проблеме, поставленной, по-сущестау, ejnú II. Зренфестом для нерелятивистской квантовой механики, и решить ее в общем случае - дл* произвольного внешнего поля, причем как для нереляти-вистсаой, так и для релятивистской частицы, - с учетом ее спина (ичоспина). При этим открывается возможность расширенной трактовки самой классики .как замкнугой системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОЛУ) относительно квантозо-мсханических средних наГюра наблюдаемых и получения из квантовой механики классических уравнений для квантовых средних наблюдаемых, не имеющих классическое аналога (например, спин или изоспин частиць.), Указанный подход позволяет получить уравнения движения спина для произвольных электромагнитных полей и строго обосновать тот факт, что в спиновых уравнениях электромагнитные поля следует брать в точках классический траектории точечного заряда.
Цель работы *
Цель диссертационной работы состоит в разработке теории каачиклассически-сосредо точенных состояний для основных уравнений нереля гивистской и релятивистской квантовой механики я способов использования лтих состояний для расчета конкретных физических эффектов.
Нау чная новизна
Ь j:a3otc ягк^зшч полудни следующие'¿•сксвыле ре^улътиты:
'•4 '
I 'btno <.ч||к:;к.. лис кьа-шкл.ча-ичсской сосредоточенности соглсяпий кван-| \ сие ¡•••л', »шиыпогммх уравнениями Шродингера, Лчрака, К пей на-l'iipumi.i и Прока mi внешних электромагнитных н гравитаикомнмх целях. i{'H<4.'i.iiiM, Mi.'i кыник.часее.чегкпя сосредоточенность возможна. только на
клаг.сччео oil фч ¡оной траектории.
2. floe) роены с .') юбон степенью юч lint Til по h —> 0 асимптотически полные наборы и кнашкласгическая агимитогика функции Грина (в классе квачиклас-снчески сосредоточенных состояний) для урашкчпш Шрёдннгсра, Лирзка и Клейна-Гордона.
3. [[окапано, nin для релятивистских волновых уравнений i; квачикляссичеоком приближении .можно разделить положительно- и отрицательно-частотные решения. И с любом степенью точности но h —* С на классе положительно-часто I них (о I ринатедыю-частотиых) квгом классически сосредоточенных со -стояний выделить "'амяльтониан одночастичной теории.
4. Получена кпа ¡¡-.классическая асимптотика члра Шннлгера до Ни la. для урап-нений Клейна Гордина и Прока п пространстве ['имана- Картава (в классе квали классически сосредоточенных состояний).
5. Покачано,что для матричных волновых уравнений (Дирахз. Прока) средние кланюро-механическне спинового оператора - псевдово.к гора поляризации Гартманна 5'1 - в пределах при ft —* 0 япляклея решениями классического релятивист ского урэвненн;! движения .'пина уравнения Наргманна - Мишсля-Телегли.
(i. Полученные речулыа'Ш лочноля.'пт ралшть новый подход в киа:<ш;л;л-сичсп.ом приближении, пиюиадный на описании квантовой системы (ь приближен им ¡'о h 0) d терминах новых, дополнительных, классических лицами- .ч-.кчх переменных (количество переменных зависит от точности пряГТлижепия). Получена система ураькемкй (система Голшлыоьа-Эренфес га;, описывающая толюцик: зтнх моременных. Доказано, что на классе к|1л-1икла.ч-.ичесхи-(огре,лоточснньгх состояний она с любой степенью точное i и но h -->• 0 .жвлвадентна (и смысле вычисления кэантоиых средних) соответе.чтглои'ему киантово- механическому унапнению (Шрёдинп.ра, Л чрака. Клейна -Гормона).
7. Поо р.ч-нм новые кжпиь ла<.< ические спектральные серии оператор* Лчрака г.о ц'к '1' j (, * , i^v i аксиальной г им метр.(ей. отьечающие дну моримы (пенол-
номерным) лагранжавт,:м топам. В рассматриваемой ситуации, в известных' условиях пвантоьання устойчивых фазовых кривых методом комплексного ростра, выделена из показателей Флокс целая часть, являющаяся индексом Ыисчова замкнутых орбит на приведенном фазовом пространств«?. Описана структура волновых функций в окрестности фокальйы.х точек.
8. Предложен метод вычисления квазиклассических уровней энергии из системы Гамильтон а-Эреифеста {системы уравнений для квантовых средних). В случай устойчивых к линейном приближении точек покоя ь опбиталько-устойчивых фазовых кривых полученные условия квантования совпадают с условиями ы-.аптования. замкнутых орбит комплексным методом ВХБ-Маслова для уравнений Шрёдишера1 и Длрака [14].
9. Получены расчетные формулы для фазы Берри волновых функций (Шрёд}ш-гера и Длрака), отвечающих адиабатической эволюции устойчиво}) в линеч-ном приближении тсч ки покоя гамильтошвой ак .емы.
10. Лалучсиг, первая кватовгя. поправка к характеристикам спонтанного излучения релятивистской заряженной частицы в виде функционала от классической траектории частицы. Полученные выражения для полной излученной энергии и вероятности изл., -шния с переворотом спина рассмотрены в ультра- ■ релятивистском, нерелятивистском приближениях и приосевом приближении, при квалипериодическом движении.
И. В мощности излучения выделены два сорта квантовых поправок, связанных с отдачей излучаемого фотона и с квантовым характером движения частицы. Показано, что в нерслятивистском и приосевом приближении вклад последних существен, в то время как хорошо известно, что в ультрарелятивистском приближении ими можно пренебречь.
Теор этическая и практическая ценность работы
Результаты, приведенные е диссертации, имеют общетеоретический характер и иллюстрируют высокую эффективность метода квазиклассически сосредоточенных состояний для решения широкого класса з тач квантовой мехачи-
'В.М. Собственные фу1.'Х)1ии, сосредоточенные вблизи геодезических // Математически»' вопросы теории распространения волн: Запксю) науч. семин. ЛОМИ. Т. 9. — Л., 1968. — С. 15-63.
о
кн. С одний стороны, использование кзази классически сосредоточен пых оосгоя-ний позволяет достичь более глубокого понимания структуры само; кьлитозой теории. Это достигается, например, при решении проблемы соотнесения результате-; квашеной и -"лассичесхой мехачик, а нмеино, козеоляет по новому взглянуть на квачи классическое приближение к.;:: на приблн^генчое оддсачие кзанювой системе: и терминах новых классических динамических )>с;кч,!сл-ных. В классе .кяазихлассичоски сосредоточенных состояний зюэ>ю;хпа стандартна-; крачтово-гехакическая интерпретация волновых уравнений а искривленном лространстиг.-вре.усни и т.д.
С друге1.! стороны, квспичлассичрск» осредоточешчле -.осгояния удобно использован, дл? анализа конкретных ф. .ичееккх эффектов ро внесших полях. Так, общие формула для хараг .■еристнх спонтанного излучения рол .:тлвисг-ской заряженной частицы, полученные методом чх-азикласснчсски сосредото-:сн-ных состояний, могут быть использованы теоретических я экспериментальных исследованиях квантовых яффектоь, возникающих, например, при д»;;же-нми и пзлучеьич заряженных частиц в ондуляторах л каналах мококристаллоз.
Предложенный в работе новый метод расчета квазикласеичсских уровней энергии, а также-новые конкретные формулы для хвазиклассических спектральных серий оператора Дчрака, отвечающих частично интегрируемым ггмильто-новын системам, югут иметь важное прикладное значение в спектроскопии и астрофизике. '-* ;
Полученные в работе общие фор41улы для фа^ы Берри волновых функций оператора Шрёдингсра и Дирака могут оказаться ьолешыми как для прояснения статуса квантовых фаз в теоретической физике, так и для постановки ^экспериментов по их измерению.
Основные положения, выносимые ва защиту:
1. Определение квазиклассической сосредоточенности состояний для квантовых систем, описываемых уравнениями ПГрёдингера, Дирака, Клейна-Гордона я Прока, во внешних электромагнитных и гравитационных полях.
2. Теоремы о квэ.зикласспческок сосредоточенности.
3. Теорема о5 эквивалентности (в смысле вычисления квантовых средних) заданного квангово-мехаьического уразнаиия. соответствующей системе IV
мильюпа-Эренфеста в классе квазиклассическк сосредоточенных состояний.
4. Метод вычисления квачиклассических уровней энергии из системы Гамильтона- Эренфеста.
5. Метод вычисления квантовых поправок к адиабатической фазе Берри и к характеристикам споитанпого излучения релятивистской заряженной частицы.
Апробация диссертации и публикации
Результаты диссертации докладывались ка:
- Ш школе молодых ученых МГУ "Элементарные частицы и внешние ноля" (2Ь сентября - '2 октябре 1989 г., Майкоп);
- III Всесоюзной тколе-ссминарс "Основания физики" (27 апреля - 5 мая 1991 г., Сочи);
V Ломоносовской конференции по физике элементарных частиц "Элементарные частицы и внешние поля" (20-25 влреля 1992 г., Ярославль):
• - V) Ломоносовской конференции по физике элементарных часгии "Космофи-зика и калибровочные прля" (24 31 августа 1993 г., Москва, МГУ);
- Международной конференции "Геометризацня физики - истоки, развитие и современные направления" (1-5 ноября 1993 г., Казань);
- Международной конференции "Кваатовые системы 94: Новые тенденции и методы" (23-29 мая 1994 г., Минск);
- Международной конференции "'Калибровочные поля и гравитация" (22 -28 августа 1994 г., Томск);
- Международном геометрическом семинаре "Современная геометрия и ее приложения'', поемш.ешюм 1С0-нстию со дня рождения П.А. Широкова (31 января - 2 февраля 1995 г., Казань),
е. тик/ке на научных семинарах лаборатории теоретической физики Объединенного игстигута ядерных исследований, кафедры теоретической физики Московскою госуннверситета, кафедры квантовой теории поля Томского госуниверси-тста. кафедре прикладной математики Московского института электроники и ыахемз г>:кн, ка Томском общегородскси секииаре по теоретической физике
Лэ теме цисссртации опубликовано 23 работ в отечественной и зарубежкой научной ляриоднке.
3
Структ\\ л и объем диссертации
Д^г^чацич • сч )ои1 ич вво.'.'-нйя, семи глав, заключения и списка цитируемо» чихт-:! .о-ртржатисп»___ бийлнографичгскчх ссылок. Обпщй объем
дгихер 1а1!1:и составляет страниц.
Краткое содержание работы
Но пведатт обоснована актуальность темы диссертации, проведен краткий обчор лиюратуры и установлена связь результатов, представленных п диссертации, с результатами работ других авторов. Дано описание структуры лиг.-' сергании я ('форматированы основные задачи, решаемые й ней.
В главах 1 IV ¡литчшастся теория квазш:лас(ически-сосредоточенных состояний, при шучении которь!х используется комплексный метод ВКБ-Маслова.
В первой глиап развивается концепция квачиклассическк-сссредоточснных состояний уравнения Шрёднпгера.
Н 51 главы I обсуждается понятие квазиклассической сосредоточенно' ги состояний уравнения Шрёдингсра
{-¡/)Д + = О, - ¿Г- -¡'¡V (1)
и дано следующее определение:
Оп])слелснн.' 1. Пусть г(1) ~ {(р{1)>?■(!)), О / < Г) - произвольная фг.чпнпя
КрШ'чШ '! 1ч' .
Сгап"«ни'' квантопой системы (1) на?п1>см квыикяассичгсхи го-
гргМпоъчипм г пеги С5>(-(/), Д',/|) (Ф 6 СЗА(-'(/), Л')), если:
(¡) сухц' сгпг,!,' ни оГшСщ! >шмс пределы
Нт |Ф(£,«, ПУ7 = Ых- х(1)), (2)
¡1—
Пш |Ф(;7,г.Л)|2 - ^(/Т -;7(7)}; СО
к— и
(п) сщцг.пп^уют кпаитоныг моменты
Д^'М) 0 ^ Л < /V, Л€[«,1|.
Здесь а,/)' с - му.и.шуиндексы, = Д$5 - оператор с
вей.и векам гимеп.тм Д!,^' (р - р[ф"{Т - £(/))'*•
Специально отметим, что векторы x(t) и p{t) в данном определении никак не связаны между собой и с классической фазовой траекторией системы.
Рассмотрены простейшие свойства квазиклассически-сосредоточепных состояний. В частности, показано, что
Теорема 1. Если состояние Ф(<) является кваэиклассически сосредоточенным класса €Ss{z{t),N), N > 2, то x{i) u p(t) являются решениями соответ-ствующейклассической системы Гамильтона
г je,H(z,t), (4)
где J - единичная симплектическая матрица, a "H{zxt) - веНлевский символ гамильтониана (1).
• и -
Терема 2. Если матрицы "Hpf(t) и Нхr(t) невырождены, а состояние Ф ква-зияиассически сосредоточенно, то при t 6 (0,Tj, Т < оо, за исключением, может быть, конечного числа точек tj, справедливы следующие асимптотические оценки:
||Ах*Ф(х,/,/-{)||~|1Др*Ф(г,1,Й)||, R-* 0. (5)
При условии максимальной классичности, т.е. при
ИЗ (5) следует
= (6)
Предельный характер условий (2), (3) и асимптотический - условий (6) дает естественную возможность использовать при построении квазиклассически сосредоточенных состояний не точные, а приближенные решения исходного уравнения (1) цри условии, что известна оценка их точности по параметру ft, h 0 Пусть - асимптотическое (mod/iw, М > J, I - 2М - 3) при h С jieuieinic уравценля (I) на интервале [0,Tj, t.r. ■
м>1, (т;
где
го .-.'"■•'..•.'
Тогда стандартными рассуждениями доказывается существование такого том кого решения Ф уравнения (1) при I е [0,Т|, что
ф = фг^Ь) »-яР'Ы>М, (*)
где
Следовательно, мы приходим к следующему определению
Определение 2. Будем называть кваэиклаг.сически сосредоточенными с точностью до 0(йл'-1), Л —» 0, (то<1йм~') па фа:ювоИ траектории х[1,гс) состояниями квантовой системы с га-миль то пианом Н(1) (1) асимптотические (то(1/>м, Л —► 0) решения уравнения (1), удовлетворяющие условиям определения X для моментов порядка к 6 14, < N. Множество таг г состояний обозначим
Как следует из (8), если для произвольного 1 < М < ос уравнение (1) имеет решения из класса
то оно имеет (точные) решения и из класса
В 82 главы I приведены п форме, удобной для дальнейшего использования, конструкции квазиклаесическйх траектории-когерентных состояний (ТКС) (главного члена асимптотики)213. В §3 и- §4 главы I исследуются свойства квазиклассических ТКС [»/,1) и их производящей функции |а,<)- В частности, показано, что квэзикласелчеекие ТКС I) минимизируют соотношение неопределенностей Шрёдингера-Робертсона п следующем смысле:
Свойстпо 1, Вели ¡/=--0, то
т
. . -мпЬ(Да(<,Й)-= л, и _ (Э)
где ' " ■
'^Бвгров В.Г., Белов В.В.,Тернов И.М. Кяазичлмхмчесгметрагьтормо-жогерснтьие состояния ьерелягчвнет^кой частчпм в )гроизвсльном ?леггромагниткои поле // Теор. м»т. фичикв. 15Ь2 Т. 50, 14 3.-С. ЗЙО-ЗЭб.
3Ва.£ГОУ У.О., Не'оу У.У., Тегпо'у Ш джикЬткЫ •пцесЬэгу-соЬ.мепЬ вЫпя оГ л ропИ» п. ахЬНгагу р1есиогпавпе(1с // Д. Ма1Ь. РЬуч, 1983. УоК 24, Ко 12. Р, 2555-2*59.
В §5 главы I построены высшие приближения л л я квазиклассических 'ГКС. и оказано, что функции принадлежат классу СЗ(/'!(-('). сю) и оОрл-
зуют в нем базис.
В §6 главы I развит новый подход в квазихлас.сическом приближении, основанный на описании квантовой системы (в приближении но Н —» 0) в терминах новых дополнительных классических динамических переменных (количество переменных зависит от точности приближения). Получена система уравнений (система Гамильтона-Эренфеста), описывающая эволюцию этих переменных. Показано, что
Теорема 3. Для любого = Фо 6 С5з(г01 Л') уравнение Шрёдипгсра (1) на конечном временном интервале [0.71] эквивалентно (с точностью до конечной зешкпуяюи системе обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.
Например, для операторов г, Д^, где
= = Л2а1 • Д^ ..... Д гак, (10)
Д5 = г — (г), а/ = 1,2 п, I — 17&, система Гамильтона-Эренфеста примет вид
Ы1 К!
АР - - Е Е Е ~ ¿, -Л'"
4=1 т-1 . 4 ' п-1
Здесь
(11)
4(4 = ■
° д{2)а1...0(г)ак'
= (оь<1а,.--»от_1,ат+1,...,ал), а-6= (а1,...,ак,Ь1,...,Ь!)>
ат(Ъп) = (а,,а3,...,62,...,6„_ьЬ»+ь...,Ь(, ато+1,...,ак). Система (11) - система со связями
(12)
- = Д(а';2). . (13 >
где I, т — произвольные целые числа. 12
Для системы (11) соотношение неопределенностей эквивалентно следую:! ■ словиго: для произвольного набора из к векторов й1 — {на.}, ! -- ич>,>, . ибо соотношение
л №) ' ,7 к ! -1 -к у П
'-'а,,...,«!/,,...,'! п ц' •••■> а а, >«/.,>■•• > Чк Я' ' '
Приведем ясный вид системы (14) длк N ~ 2:
г - I) + |<У„ А'А).] «),
л-.->4(2,0^2- ^КЛ-^Уу А'2 = Дя-ь_
■де Л5 = ЦДд^л'Ьлхгп ~ неотрицательно определенная матрица, Л' - матрица гра.чатопкрованная матриц« Дг-
В §7 главы 7 получена каазиалассическая асимптотика фунламгмгмликчо решения задачи Коти в классе хвазиклассическн-сосредоточенных состоя ну. й. Часть технических результатов вынесена, в приложения.
Вторая глава посвящена кьазиклассичсски-сосредоточеиным состоччмям уравнения Дирака.
Известно, что физические результаты квантовой теории не зависят от зыоо-ра представления ее основных динамических величин. Удачный выбор тою или ппого представления зачастую позволяет упростить решаемую проблему или полностью ее решить. Б §1 главы 1Т построено кзазиклассическое трьект^рпо-когерентиое представление уравнение Шрёдингера. Конструкция унитарного, с заданной точностью по /г —> 0 оператора, определяющего переход к талому 'представлению, оказывается полезной при построении кьазикчассически-сосредоточенных состояний уравнения Дпрака и расчете матричных злечентев операторов физически наблюдаемых величин.
В §2 главы II дано определение и исследованы простейшие свойства квазиклассически-сосредоточенных состояний уравнения Дирака с аномальным взаимодействием Пауля
¿с = -гГгд, + Но, (1в)
где гамильтониан имеет вид
йГ, - По + {-1Ь.)ПГ, По = с (а, V) + рзгпос? + еФ(£, *), «1 = Д(х,г)) + р;<2, Е(х, £))],
Д.хль а, D, р2 >: Рз - матрицы Дирака и стандартном представлении, Ф(х,<) - потенциал:.' мюпшсго электромагнитного шля, /7(х,{) к E(x,t) -¡;.i.ap:i>K;-Hi'/)c ги его компонент и д — гиромагнитное отношение.
Определение 3. Состояние Ф квантовой системы (1R) назовем хвамкАос-сич,:ски сосрсдотокснншг на фазовой траектории z(1) ~ класса
CS гN.. h) {Ч> С CSD(z(t), N)), если
(i) для волновой функции в х-представ^.иии и Лиг волновой функции о р-прсдставлении существуют обобщенные пределы:
\\in\4ixj.ji)\2 = 6(ic-x\t)), (17)
j^m 1Ф(р,*,Л)1а = ¿(р- (18)
(ii) существуют при h € [0,1[ квантовые моменты W/if^ß', |а| 4- \fl\ = k, О v к < Л', <*,ß € |«i = = iTW.
Здесь
= • (19:
где До^ определено в (3). (| )/> - скалярное произведение
= (го;
Г, - какой-чибо базис а пространстве матриц Дирака. В частности, показано , что
Теорема 4. Если Ф(1) - квазиклассически сосредоточенное состояние класа CSi;(z{t.), N), то x(t) и p(t) являются решениями классической системы Га .-.иыыпона с функцией Гамильтона А-+^(р,i,i) или \(~'Цр,х,'t), где
А(±)(/, г,*) = t) ± е(р,х, t), г(р,х, t) = \jc?V2 + m^c4.
Тс-орема 5. Если Ф(*) - ква-зиклассичсски сосредоточенное состояние класс N), то средние кеантово-механическис спинового оператора - псес Л ¡вектора по.-1ерияации Баргманна -- о пределах при а —»• 0 являются реин киями классического релятивистского урастния движения спина - уравнена Баргманна-Мишсля-Телегди.
В §3 и §1 гласи II лостроелы с любо;! степенью точности по \/Й, /г -» О, назикласснчесхче траскторно-когеректяпе состояния i,/¿) и асимпто-
!ii:a фуньцл'и-1 рина Gp ■{x>y,t,s} в пространстве положительно-«астотиьтх вазикласслчссхи сосрсдоточелпих состояний и оператор 2ад?лолшй
ереход к квзликлйссическоиу траекторио-ко,,ерситлсму представлению. Коп-грукп.ия квазикласснческлх ТКС определится решениями трех гамильтоно-1.1 х систем: нелинейной гаилльтоновой системы с гамильтонианам г, <),
здалощей фазовую траекторию z(t)\ отвечающей X^(p,x,i) к z{t) линейной истемы в вариациях
¿1 = 7iv„(i)o t, ltw к - M,
ямллекслые решения о\ которой определяют фазу и осцилляция амплитуды олповой (функции; линейкой гзмнльтоиовой системы
+ = (23)
да
Ve(t,го) = ^-[(l + gy)U(t) ~ + Ш * m - ï^pM и(*))]•
Здесь р — £/с, 'y(i) = Ijsj 1 - /«о - йе3/(2гпас) - яаглетш? Бора., ¿г/г0 - ано-талышй магнитный момент электрона и все входящие в это уравнение, поля зычисляются в точках Фазовой траектории s(i). Комплексные решения систе-чы (21) описывдгат спичояьге свойства электрона.
В §5 главы II показало, что использование 1;ва-Ч!Классичесъ.и-сссредоточен-iïljx состояний позг-олпло последовательно построить цвухкомпоненткую теорию, т.е. в язном виде выделить (в либо?! перяцке по h —» й) на тодпро-странствз положительно-частотных решений уравнения Дирака гамильтониан féj^(i), лредставлягощчй собой релятивистское обобщение гамильтониана Паули. Скалярная часть этого гамильтониана описывает квантовые флуктуации волнового пакета около положения пастилы на классиче .ой траектории, а '■векторная*' его часть - взаимодействие частицы с внешним полем и с квантовыми _ флуктуациями по орбитальным переменным.
Используя гамильтониан TCp\t), удастся выписать (в любом порядке по h —-0) систему уравнений Гамильтола-Эрсифс-ста, отвечающую урал.-.ению Длрака. Часть технических результатов вынесена н приложение.
Третья глава посвящена квазиклассичег.ки-сосредогочснным состояниям уравнения Клейна Гордона. В §х дано определение и исследованы основные свойства кзазиклассическй-сосредоточеаных состочзшй. Показано, что -квази классическая сосредото"елиость возможна только на классической траектории отвечающей гамильтониану Лг±1(р,5, i).
В §2 и §3 главы III в форме, удобной для расчета (см. гл. V) матричных элементоз тока перехода, приведены конструкции* квазиклассических ТКС Ч'^Чх, £,/;) уравнения Клейна-Гордона и оператора задающею пе-
реход х квазчклассччсскэму траекторно-когерентному представлению на подпространстве положьтельпо-частотпых (отрицательно-частотных) состояний (в любом порядке по '/h). На пространстве положительно-частотных регпе кий выделен гамильтониан едночастичной теории ^kg O'i h) к выписана, со отаетсгвующдт система Гамильтог.а-Эренфеста. Исследуется связь опера го pa fly^)(i,fi) с оператором \('r\ï), имеющим вейлевский символ А'+'(р,г,<) -еФ(х,1) + фРр1 -i m$c!.
В §4 главы Iii построены нграсплыгающиеся волновые пакеты олерагороз Шрёдингера и Клейна-Гордона в полях с аксиальной симметрией.
Четвертая глава посвягцеча квазихлассичесо!-сосредоточенным состояли ям заряженных частиц спина 0 и 1 в искривленном пространстве-времени i сигнатурой (+,-,-,-).
Во введении к главе IV о(5основана постановка задачи. В §1 главы IV да но определение квазиклассически-сосрздоточенных состояний в искривлсшю! пространстве-времени и исследованы их свойства.
В §2 главы IV построены квазикласснчсскме 'ГКС уравнения Клейна Гордона, а именно: 1) вводится фазовая траектория z(s) = (P(s),Q(j)). P(j) -Ç(-â) — (Ç(i(j))) параметризованная аффинным параметром л, котора определяется системой Гамильтона с гамильтонианом А= тс — e(p,q] c{p,q) = \fg {qyPtPit = pß -i- В этом случае кривая q = Q(s) опи сыьается уравнением Лоренца п римановом пространстве; 2) для системы : вариациях, отвечающей функции Гамильтона A(~\p,q) и фазоЕой траектс рин г(г), строится набор из четырех решений, образующих комплексный рс
Белов В.В., Болтовский Д.В Высшие приближения длд кя^зиклад ческих траекторш когерентных состояний оператора Клейна-Гордона в произвольной электромагнитной пол. - Томск, 1Э89. 21 с. (Препринт / ТНЦ СО АН ССОР: jè 23.)
стек г4(г(<))> причем одно из решений совпадает с вектором фазовой о:.< сти (р(л),д(в)); 3) для скалярного нсевдодифференциальпого уравнения г ■ Шрёдингера (-ШЗ, -г А<-)]Ф - 0, где А<~) = А(~)(р><?)> строится стаикар: ным образом система квазиклассических по то<Ю(Л,,/2) 'ГКС ■.'); -1} ч окис-.: пости классической траектории д = проводится операция "перестройки
фазы", смысл которой заключается во введении семейства пространственно-подобных гиперплоскостей Кошм л = т^), ортогональных данной классической траектории q — (¿{в) и определяемых неявным образом из уравнения (<?(г),(?-<?(г))> = 0.
В §3 главы IV доказывается, что по отношению к скалярному произведению Клейна-Гордона найденные асимптотики образуют полный сртснормнрояачпый набор.
В §4 главы IV построены квазиклассические ТКС уравнения Прока. Главный член квазиклассической асимптотики имеет вид
где вд(.ч) - ортогональная тетрада, а и "(я) удовлетворяет уравнению
{зА* - + + 5а(П)ь| & '(*) = 0. (22)
где =
В §5 главы IV показано, что квазиклассические ТКС обрадуют (с
точностью до 0(УЙ)) по отношению к скалярному произведению Прока полный ортонормированш 'й набор состояний.
В §6 главы IV приводится вывод классического уравнения движения спина векторной частицы на основе квазиклассических ТКС ураипеняя Прока. Тензор спина определяется как квэ.нтово-мехапическое среднее оператора спина
(ад = = - д^), , |2;з)
рассчитанное по квазиклассическим ТКС с точностью до О(у'К).
Как следствие, найдено уравнение, являющееся ойцгховариантным обобщением уравнения Баргманна-Мишеля-Телегди для тензора спина на случай ьнешиих полей кручения.
В §7 главы IV на классе квазиклассически-сосредоточенпыл состочплй 1п лучена кэазиклассическая асимптотика ядра Швингера-де Вита для ур.'..-;!,;-.:.-.
Клейна-Гордона и Прока н пространство Римана-Картапа. Часть технически результатов вынесена » приложение
Б качестве приложения метода кназиклассически сосредоточенных состояни рассмотрены- проблема спонтанного излучения релятивистской заряженной чп стицы (глава V); спектральная задача для оператора Дирака (глава VI); зала ча вычисления адиабатической фазы Перри я квазиклассическом приближен» (глава VII).
Пятая глава посвящена проблеме спонтанного излучения релятивистски заряженных частиц в произвольном внешнем ноле. Полученное выражение ш зполяст найти все характеристики излучения бозона и электрона в произвол! ном внешнем пелп с учетом первой квантовой поправки включительно в то области инвариантных параметров процесса излучения, где выполняются сл< дующие услсвия: отдача фотона мала {Ьо/Е 1) и его движение квазикла< сично (А/а < 1, где А - де-бройлепская длина волны, - характерный радме системы (в случае Магнитиого Ноля А/а ~ Ьш^/Е, и>а - частота вращения)).
В §1 и §2 пятой глады с помощью квазиклассических траекгорно-когерентны состояний ( той 03) операторов Клейн а-Гордон а и Дираха получено спектра; но-угловое и угловое распределения, ичлучешюй энергии бозона и электрон; соответственно, в шще конкретного функционала от классической траектори частицы. Под классической траекторией здесь понимается решение соответ ствуютцей' системы уравнений Гамнльтона-Эренфеста для N — 2. (Замети! что в разложении по малому параметру /» 0 решение системы Гамильтона Эренфеста сводится к решению системы Гамильтона, системы в вариациях уравнения Баргмална-Мителя- Телегди.) Показано, что с точностью до 0{№ - Н -> 0, мощность излучения бозона совпадает с усредненной: по спиновым сост( яниям мощностью Излучения электрона. Следует отметить, что первая кванп ьал поправка (пропорциональная Н, К'-» 0) действительно гарантирована. Г1< скольку при вычислении матричных элементов используются хваэиклассич екме траскторно-когерентные состояния (той/»®/2), что заведомо гарантиру« все поправки, линейные по Н. Эта же точность сохраняется при'суммирован* квадрата матричного элемента по конечным состояниям. ,
В пятой главы рассмотрен ультрарелятияистский 7 -+ оо, 7 = х/1~-1 предел, выражений для спектрально-углового распределения мощности излуч икс и г«роятностя переходов с переворотом спина. Результат (в разложении 1
h —> 0 с точностью ло 0{1г)), естественно, совпадает с известными формулами операторной) квачиклассическош метода0,0'.
Друтй предельный случай 7 —» 1 (с —► 00) pan moi реп в §1 плюй |лавы. Для лого случая удалось получить сравнительно простые выражения для хч рактеристик излучения с учетом спиновых свойств. Покачано, что н нереляти-вистеком случае существен вклад квантовых поправок, связанных с квантовым характером движения и с неоднородностью внешнего злекгромагнитиот ноля, тогда как в ультраролмтионстском случае ими можно пренебречь.
И §5 пятой главы рассматриваете* важный с точки зрения практических приложений мучай квазипериодичес&иго движения
¿•(О = cf\t + г,(о, (24)
где c/?ü - средняя скорость движения, a it(/) - периодическая (х\(1 + '/') — zjt)) или почти периодическая функция (например, движение типа "розетки" при аксиальном каналированнн релятивистских частиц7). Когда ь сопутствующей системе координат, движущейся со скоростью eßp заря 4 является кереляти-вистским, удается получить общие (для произвольного внешнего поля, допускающего траектории вида (21)) выражения для характеристик спонтанного излучения релятивистской заряженной частицы с учетом ее спиновых свойств. Малым безразмерным параметром разложения -слиется к — in ах 7|/?i|, где ß± - поперечная составляющая скорости.
Например, для полной излученной энергии имеем 2е2 ( 7
At(l)-|fl«[Sp(Ä(flj})C(l)^C+(l))];
5Schwinger 3. The quantum correction in the radiation by energetic accelerated electrons // proc. Na». Acad. Sei. USA. 19Г.4. Vol. 40, N 2. P. 132-136.
6Байер H.H., Катков В.M, Фалин C.B. Излучение ^литниистских электронов. - M.: Атс».и> дат, 1S73. 3Y4 с.
ТЬазмлсв В.А., Жевага U.K. Излучение бисгры* частнц в исшесше к во ннешннх noirsx. -M.: flay ta, 19.17. 272 с.
An[tuh) = 5 Im [Sp (Ä(/5j)i(i,)D1,C+(<J))];
Здесь X(l.C,C,h) и C(l) - решения системы уравнений Гамильтона-Эренфеета <« разложении по малому параметру к. а векторы и cß?r - consi.
он;)<v\i ■ л ч ются у сл ови ем
x(t, С, С; Л) = + .v, (t, с, с, П),
где X,!>■) - почти периодическая функция.
У пятой главы рассмотрен ряд примеров, использующих общие формулы, полученные и этой главе. В случае »^релятивистского приближения для гармонического осциллятора-и однородною магнитного поля результаты совпадают с полученными ранее8-10.
Шестая глапа посвящена применению кназикласс.ически сосредоточенных состояний к решению спектральных задач. В §1 рассматриваются состояния, кьазиклассически сосредоточенные в фазовом пространстве на многообразии Л? = [г(<,г) — (/7(/,г),£(/,г)), т 6 Rfc, 0 < i ^ 7'}. Лано следующее определение:
Определение: 4. Состояние Ф назовем квазиклассически. сосредоточенным на многообразии Л* класса CSs^f,/t) (Ф 6 CSs(A(fc)), если
(¡) для волновой фупкиии Ф{х,¿,Й) ö х-представлснии м *S(;7,t,/i) о р-к})с:>ставлс)ши существуют обобщытыс. пределы
\)m\ty{x,t,h)\2 = fd(T6(x~ x{t,r)), (26)
£ — О J
л?
lim |Ф(р,¿,/г)|2 — /dffi(p-^i,r)); (27)
(ii) для любого N < ос и h б [0,1[ существуют квантовые моменты
дЭДсдо, м + = . оа-^л'.
3Чижов Г.Л., Яорофеен О.Ф. Излучение koio(»ciithoio осциллятора // Вести. МГУ. Физика, iir |[х.:юмик. 1PS2. Т. 23, tk 2. С. 12-16.
9 IJoöpou A.A., Дорофеев О.Ф., Чижов Г. А. Оинхротронное излучение электрона в когерентном состоянии // Теор. матеы. физика. 1984. Т. 61, N.' 2. С. 293- 300.
10Д«лонон H.H., Млш.ко В.И., Манько О.В. Корренироцаннис кого|К'нтнис состояния и ишу-чоние tKiitiTOBUx систем
// Тр. ФИАН СССР. 1988. Т. 192. С. 204-220.
3âf.ch ci,ß 6 Z; - мулмппипдексы, Д(Д-(:,Л) = A;) - оператор с
вейлевским символом Д^ -(р- (р))°(х ~ (2)/, " Л<т инчариантчиа мера :т Л*, / der = 1. Ai
Исследовали основные свойства киазиклассически сосредоточенных. состояний класса CSs(Aj,ft) и показано, з частности, via если с; C3s(A;,h), то = <7£Лр, где !jt - фазовый поток гам мл (.тоновой системы (4) с гам иль гон и-шом Ti(p,х) (1). Когда Л£ - инвариантный ла-ранжев тор, квазикласемчески иередоточешшми состояниями класса CSj(A*, h) являются функции, допуска-онше интегральное представление
Ф(х,<,/») = / ^(т,Д)Ф(£,/,г,А) da, AÎ
■де Ф(x,t,T,h) при каждом фиксированном г является кваликлассически сосре-юточениой класса C5s(z(t, г), оо, ft), a N{t, h) определяется функцией Ф. А>га-югичнос интегральное представление для стационарных состояний через гаус-овы пакеты было предложено Карасевым M.Q.11
В §2, 3 и 4 шестой главы приведены известные1 г"14 конструкции компле.кспо-о ростка на семействе двумерных лагранжевых многообразий в форме, удоб-!ой для дальнейшего использования при построении квазиклассических спек-ралышх серий оператора Дирака. В §5 получена локальная асимптотика modО(02) уравненля Дирака в смешанной карте. Показано, что скалярная асть квазиклаесиче-.кой асимптотики Фе полностью определяется it-ометри-ескии объектом [Aî(w),r3(A'(u))J, ы = (Б,/), и описывает квантовые флук-уации волковой функции около лагранжева тора As(w). Спннорнал часть валовой функции Ф/s определяется найером двух линейно независимых спиноров
"Карасей М.В. Оахлисста lia лаграижеиьга подмногообразиях и неготорыч проб;«ии ььми-гсассичесхою приближения // Записки научи, семи». ЛОМИ. 1S89. Т. 172. О. 41-54. '•Мвслов H.H. Комплексный мггач 3KD в нелинейных уравненм.м. - М.: Внука, 1Й7Т. 384 е.; Ыоу У.Р The Complex WKB Mcthoil for Nonlinear Equations. I. Linear Theo:у. - Валы, Вгл1о;|, filin: Bifliiauper Verlag, JS94. 304 p.
'ЕглопКБ,, ЛобрикотаиОЛО. К комическийелг-раюрИыловиилчзагриншхмкеичк-чрн^кзх комппек.-лчам ростхом и em приложение к спектральный задачам // Докл. Л11 СССР. л!>дЗ . 208, № С. 1037->042.
4 Бег :ов В.В., Доброхотов О.Ю. Кавзи*;ис~иче<kxc acxMitTOTWC« Маслспьл с Vimп."'''t.''лîi'.l;* хзамя. I. Общчй недаод // 'JVftp иатем. физика. №8, Т 92, -V 2. С. г J 5-251
г(т) и описывает взаимодействия спида электрона с внешним электромагнитным полем. Е случае аксиально симметричного внешнего электромагнитного поля построен канонический оператор Маслова на семействе лагралжевых многообразий с комплексным ростком и получены следующие условия квантования лагранжевых многообразий A2(w):
iü = Ы, I — ±1,±2,... (2&;
к
А / í»i(í,£,/)dffi(t,£.7) = ^-{nilf+l/2)+w^} + (n+l/2)> (29:
f = 0,1,2,..., т» = 0,±1,±2,... .
Здесь Qi и щ - показатели Флокс системы в вариациях и системы (21). Соот ветсгаующ?л последовательность собственных функций Фе образует асвмпти т и чески полный п сртопормированпый в С5д(Л2(о>)) набор состояний.
В §о тестой главы пргдложен метод вычисления квазиклассических уров ней энергии из системы уравнений Гамильтона-Эренфеста. Метод основал я; следующем утверждении:
Теорема 6. Преть стационарная задача
Щ\ - Е„<рг : ; '(30
имеет только дискретный спектр. Если решение системы (11) можно пелу чигаъ о почти периодических функциях:
£ (31
где у = (*., Д«а1, ДСТ^,...), а, = 1^51, I = О, N(N + 1)/2; у„у - коэф'фицх, енты разложения в обобщенный ряд Фурье функции y(t,h), то - комбь национные частоты Ритца (mod f¿N+W¿):
--= Е„ -EU¡1 иУ е (32
Выбирья вакуумные значения энергии из соотношения
Е - (Ti) — £.«?#>(<,*>, А)Д<*> + 0$АЧ1>'2).' {32
« котором Д<*> надо выбрать такими, чтобы они минимизировали соотношение неопределенностей Шрёпкпгера-Робертсона (И), полупим принципиальную подложность определить квазлклассические уровни энергии. Ухгзатих схема з явной виде реализована для устойчивых ь линейном приближении точек покоя к србитрльно устойчивых фазовых кривых. Полученные здесь условия квантования (чля уравнений Шрёдингера и Дирака) совпадают с известными ранее.
В §§7 н 8 шесюн главы полученные общие результаты применяются к построению спектральных серий электрона в аксиально симметричном фокусирующем магнитном поле, в кучоноискоы пеле а в аксиально симметричном электрическом поле. Часть технических результатов вынесена в приложения. В частности, в приложении В описана структура волновых функций в окрестности фокальных точек.
В седьмой гласе с-помощью квазиклассичесхих траекторно-когерентных состояний, построенных в первой и второй главах, исследуется адиабатическая фаза Берри.
В §1 седьмой главы приведена хорошо известная конструкция квазиклассических спектральных серий [|(/,Я),23,,(Я)] оператора Шрёдингера, отвечающих нульмерным лагранжевым торам А°(Л). В §2 седьмой главы показано, что за время адиабатической эволюции состояния |г/, /2(0)) приобретает фазу Берри15, которая имеет чисто геометрический характер:
N.. г.
+ Е Е /{at (П),ПГ>тЫ + l/2)di4,
(34)
где
7f (Д) ==
1 dak(R)
2 ORi
1 n 1 iV-i-
2 tx П|(Д)
Re ( (R)<
adit).
Здесь С - замкнутый контур, вдоль которого в пространстве параметров (Л), ■ • •, Н-п) движется конец вектора R(t), 6 [0,Т]. В заключение подчеркнем
'"Betry M.V. Quantum phase factors accompanying adiabatic changra // Proc. Roy. Soc.. London. 1934. Vol A 392, No ¡802. P. 45-58.
счодуюпшй фа:; г. Согласно (34), адиабатическая фаза Берри у,..(С) полностью определяете* двумя гоомотричесхими объектами:
1. фх.оъой траекторией Л°(Л) - {г (Я) = {Pit(R),Q0(R)), Л £ С}, - невырожденной и устойчивой Е линейном приближении точки покоя системы Гамильтона;
'Л комплексным ростком гп(Л"(/'(<)))» образсианным из п линейно независимых соэствсшглх ч-jKTopoE at(R(l)), к — Т7п, матрицы нормированных
условном {«/;,-'-'} = 2iix;.
Выражение (31) используется в §3 той же главы для вычисления фазы Берри обобщенного гармонического осцилчятора. Результат вычислений совпадает с полученным ранее М. Берри1®.
В С<; седьмой главы полученные в §2 результаты обобщаются на случай оператора Дирака, во внешних Г-периодических полчх. Показано, что в квази-клмх.нчесхом траскторпо-ксгерентном приближении в течение адиабатической эволюции волновой функции Ф„ ндоль замкнутого контура С в пространстве параметров фаза Берри состоит из двух частей
7л(С) = -гЛС) + 7({С).
Одна из них - фаза у„(С) (34) - индуцируется в процессе адиабатического движения вдоль замкнутой кривой С нульмерного лагранжева многообразия с комплексным ростком (т.е. геометрическое объекта [A4(/i),r3(Aa(/i)j) и определяется скалярной частью волновой функции Дирака, т.е. функцией R). Вторая часть фазы - "¡({С)
7<(С> - £ / ¿с (Л^ГЯМЯ.-, (35)
где
- £ ^ «),..(«»{s. »4jB)U»>jb(S) (и)
обусловлена адиабатическим переносом Еектора спина (спинора vc(R)) вдоль замкнутою контура С и определяется спинорной частью еру и кии и Дирака. В
'сН->ггу M.V. Classical adiabaiie angles ami q-jantal a/tiabalic jihanr // .). Pliys A: Malh. (!<■«. 10S5. Vol IP, No I. I'. 15 :>.7.
2-1
ом выражении Ё и 11 - напряженности электрической и магнитной компонент ешнего поля.
В §5 седьмой главы полученные общие результаты применяются для иссле-вання фазы Берри в периодическом магнитном ноле H(t). В результате про-денных расчетов удалось показать, что
1 о{С) = (f, ~ ^ - С/2)ВД,
е (1(C) - телесный угол, под которым кривая С, описываемая концом вектора [*), видна из начала координат. Часть необходимых технических результатов шесена в приложения.
В заключении кратко суммированы основные результаты, полученные в ссертации.
сновные работы, опубликованные по теме иссертации:
Белов В.В., Трифонов А.Ю., Хоэин С.Н. Излучение бозонов в периодическом магнитном поле (вторая квантовая поправка). — Ред. журн. "Изв. вузов. Физика." — Томск, 1987. — 27 с. Деп. в ВИНИТИ 28.10.87. № 7554-1387. Белов В.В., Трифонов А.Ю., Хозин С.Н. Квазьклассические состояния электрона в периодическом магнитном поле // Изв. вузов. Физика. — 1988. — Т. 31, № 11. — С. lli-119.
Вагров В.Г., Белев В.В., Трифонов АЛО. Радиационная самополяризация электронов в магнитном оидуляторе. — Ред. жури. "Изв. вузов. Физика." - Томск, 1988. — 1G с. Деп. в ВИНИТИ 27.01.88. № 751-В88. Велов В.В., Трифонов А.Ю., Хозин С.Н. Излучение бозонов в магнитном он-гуляторе конечной длины (квазиклассический подход). — Ред. жури. "Язв. <уюн. Физика." — Томск, 1988. — 30 с. Деп. п ВИНИТИ 10.06.88. № 4610-В88. Звгров Б.Г., Белов В.В., Трифонов АЛО. Высшие приближения для кпазч-^ластических траехторнс-когеремтньга состояний оператора Шредишсра и [иракз. в ароимно.чыюи ьлгктроиагннтном поле. — Томск, 188$. — 42 с. (Оре-1ринт / Томский научи, центр СО АН СССР; № г>)
багров В.Г., Белов В.В., Трифонов A.IO. Квазикласс.ическое траекторно-ачереатноа представление в квантовой теории издуиекиа электрон-г. —
Томск, 19S9. — 38 с. (Препринт j Томский научи, центр СО ЛП СССР; JV& 27).
7. Бе) joe В .В., Трифонов Л.Ю., Хозин C.II. Излучение бозонов в периодическом магнитном пола // Изв. вузов. Физика. — 19S9. — Т. 32, № 9. — С. 27-31.
8. Белов В.Б., Трифонов Л.Ю., Хозин С.Н. Излучение бозонов в магнитном он дуляторе конечной длины // Изв. вузов. Физика. — 1989. - Т. 32, № 10. — О. 54-58.
9. Багров В.Г., Белов В.В., Тернов И.М., Трифонов Л.Ю. О самополяризации электронов движущихся в спиральном магнитном ондуляторе // Вест. Московского гос. ун-та. Сер. 3, физика, астроном. — 1989. — Т. 30, № 4. — С. 80-82.
10. Белов В.В., Еолтозский Д.В., Трифонов А.Ю. Квазиклассические траекторно-когерентные состояния релятивистскою уравнения типа Шрёдингера и уравнения Клейна-Гордона. — Томск, 1991. — 15 с. (Препринт / Томский научи, центр СО АН СССР; № 12).
11. Белов В.В., Болтовсккй Д.В., Трифонов Л.Ю. Метод квазиклассических траектории-когерентных состояний в задаче о спонтанном излучении бозона в произвольном внешнем электромагнитном поле. — Томск, 1991. — 30 с. (Препринт / Томский научн. центр СО All СССР; 14).
12. Bagrov V.G,, Bslov V.V., 'frifonov A.Yu., YevseyevicL A.A. Quasi-classical trajectory-coherent approximation in quantum mechanics of a charged particle in a curved space-time // Class. Quantum Grav. — 1991. — Vol. 8. — P. 515527.
13. Bagrov V.«., Belov V.V., Trifonov A.Yu., Yevseyev'ch A. A. The complex V/KB-Mbiluv method for the Diiac equation iu a torsion field: I. Construction ol trajectory-coherent states and the equation for spin // Clas3. Quantum Grav. — 1991. — Vol. 8. — P. 1349-1359.
14. Bagrov V.G., Bolov V.V., T»ifonov A. Vu., YevBeyevich A.A. Quasi-classical trajectory-coherent approximation for the Dirac equation with an external electromagnetic field in Riemann-Cartan срасе: II. Construction of TCS and equation for spin // Ibid. — P. 1833-1840.
15. Hagrov V.G., Triionov A.Yu., Yev3eyo.vich A.A. Quantum mechanics of charged spiii-1 particle iu curved space-time v-Uh torsion: quasiclafsical analysis of the Proce equation based an the Maslov complex sprout methi i // Class. Quantum Grav. — J932. - Vol. 0, —- P. 533-543.
16. bfvnoh H.I:., <<лгс»вскпй Д..В., Трифонов Л.Ю., Мощясстк спонтанного излучения нерслятииистской частицы в аксиально-симметричном магнитном тюле ,// H:m.'/iywB. Физика. -- 1992. —- Т. 35, № 10. — С. 79-82.
J7. Bagrov V.G., Belov V.V., Pcgova A.M., Trifonov A.Yh. The quasiclassica! localization of the states and obtaining of classical equationd of motion from quantum theory // Modern Phys, Lett. B. — 1993. - - Vol. 7, No 26. — P. 16671675.
18. Bagrov V.G;, Belov V.V., Trifonov A.Yu. Theory of spontaneous radiation by electrons in a trajectoiy-cohcrent approximation // J. Phys. A: Math. Gen.~ 1993. — Vol. 26, No 22. — P. 6431-6449.
19. Bagrov V.G., Belov V.V., Kondratyeva M.F., Rogova A.M., Trifonov A.Yu. A new formulation of quasi-classical approximation in quantum mechanics // J. Moscow Phys. Soc. — 1993. — Vol. 3. — P. 1-12.
20. Belov V.V., Boltovskiy D.V., Trifonov A.Yu. Theory of spontaneous radiation by bosons in quasi-classical trajectory-coherent approximation // Int. Л. Mod Phys. B. — 1991. — Vol. 8, No 18. — P. 2503-2524.
21. Bagrov V.G., Belov V.V., Trifonov A.Yu., Yevscycvich Л.А. Quantization of closed orbits in Dirac theory by Masiov's compplex germ method // J. Phys Л: Math. Gen.— 1394. — Vol. 27, No 3. - P. 1021-3043.
22. Bagrov V.G,, Belov V.V., Trjfonov A.Yu., Yevseytevich А.Л. Quaiidassical spectral scries of the Dirac operators coi rcspponding to quantized two-dimensional, Lagrangian tori // J. Phys. A: Math. Gen. — Ш1. — Vol. 27, No 15. — P. 5273-5306.
23. Trifonov A.Yu., Yevseyevich A.A. Maslov's complex germ method and Веггу'з phase // J. Poys. A: Math. Gen. — 1994. --- Vol. 27, No 18. ~ P. 6267-6286.
24. Bagrov V.G., Belov V.V., Ttifoncv A.Yu. New methods for seiniclassica] approximation in quantum mechanics // Quantum Systems: New Trends and Methods: Proc. Inter. Workshop. — Minsk, 23-29 May 1994. - - Singapore: World Scientific, 19iM.
25. Багров В.Г., Ьелон B.B., Трифонов АЛО. Новая методика для кяатнклас.си-чсского приближения в квантовой механике //' Междунар. конф. "Геометрн-vin;i?. фи-шхи ястоки, развитие и современные направления": Тр. конф. Каччнь, I л поябля 1993 г. - Качан;,: Ремарк, 1994. — С. (if>-77.
2fi. Hagrov V.G., Belov V.V., Kondratyeva M.K., Ragova A.M., Trifonov A.Yu. Tt quasielassical localization of the .slates and a new approach of quasi-classic;
Astrophysics: Proc. Stli and 6th Lomonosov Cofs. on Elementary Particle Physic - Yaroslavl, April 1992; Moscow, August 1993. - Rome: Accademia Nazilonal dei Lincei, 1994. - P. 132-142.
27. Belov V.V., Boltovsky D.V., Rogova A.M., 'IVifonov A.Yu. Non-dispersive quas classical wave packets // Particlc Physics, Gauge i' it-ids and Astrophysics: Pro< 5tli and 6th Lomonosov Cofs. on Elementary Particle Physics. - Yaroslavl. Apr 1992; Moscow, Augu?t 1993. - Rome: Accademia Na/ilonale dei Lincci, 1994. P. 143-151.
2S. Trifonov A.Yu., Yevsevevich A,A. The Aharonov-Anandan phase for quasi-euerg] trajectory-coherent states // J. Phys. A: Math. (Jen. 1995. Vol. 28. -— P.
approximation in quantum mechanics // Particle Physics, Gaur.e t''ields an
/
IlnniiHcnno k ik-i.-it:', IP.fM.M <l>opw;>r OOxK-l/1(1. |>vMara muchum V I.
Tit pa a 1(10 n.i, iiiKa.s .V 646 MII«I'. Po'r.'iiipHirr TUN'. (i.WfKM. Tom; k. 'ip. .'i'^iuM. ::<!.
