L-группоиды тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи ЕРОФЕЕВА ЛАРИСА НИКОЛАЕВНА

L - ГРУППОИДЫ

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математичеких наук

У/

Санкт-Петербург, 2004

Работа выполнена на кафедре «Высшая математика» Нижегородского государственного технического университета

Научный руководитель - доктор физико-математических наук, профессор

Галкин Владимир Михайлович Официальные оппоненты—доктор физико-математических наук, профессор

Кублановский Станислав Исхакович доктор физико-математических наук, профессор Кузнецов Михаил Иванович Ведущая организация - Московский государственный университет имени М.В .Ломоносова

оо

Защита состоится «ХЗ » О^ТУРьяя 2004 г. В ^ часов на заседании диссертационного совета Д212.232.29 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Санкт-Петербургском государственном университете. Адрес совета: 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр.,28 математическо - механический факультет Санкт-Петербургского государственного университета.

Защита будет проводится по адресу: 191011 Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, 27, ауд.311 (помещение ПОМИ РАН).

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке имени МХорького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу Санкт-Петербург, Университетская наб. 7/9.. Автореферат разослан «_»_2004 г.

Ученый секретарь диссертационного Совета доктор физико-математических наук профессор

В.М. Нежинский

Общая характеристика работы.

Актуальность темы. Леводистрибутивный закон в системе G(о) с бинарной операцией "о" явился предметом изучения в ряде работ, начиная с работы Бур-стина и Майера 1929 года.

Для квазигрупп с этим законом структурная теория была построена В.М.' Гал-киным.[1] Выяснилось, что изучение леводистрибутивных квазигрупп сводится к изучению, так называемых, ф -групп. По определению, ф -группа - это группа Л с автоморфизмом ф таким, что выполняется требование:

х<р(х-') e sTs' =>хеТ = (у е П\<р(у) = у) (•)

Здесь sg.II, а Т - подгруппа ^-неподвижных элементов. Данное условие названо -свойством.

Связь ф -групп и леводистрибутивных квазигрупп, следующая. Пусть - множество левых смежных классов группы по подгруп-

пе Положим

Именно эта конструкция играет фундаментальную роль в теории леводистрибутивных квазигрупп. Необходимым для наличия квазигрупповой структуры на G(o)t а в случае конечной группы П и достаточным условием является требование ( ♦ ).

Ослабление этого требования до Хф(X'1 хеТ (**)

является одной из причин введения леводистрибутивного /.-группоида G(°) с

аксиомами

1)xo(y0z) = (xoy)0(xoz) цдя Vx,y,ze.G

2) aox = b однозначно разрешимо в G для V<i,6e(?

3) Хоа = а однозначно разрешимо в G для Vtf е G

Таким образом, аксиоматика L - группоидов отличается от аксиоматики лево-дистрибутивных квазигрупп лишь в одном пункте: в квазигруппе аксиома 3 за-

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА

ОЭ 280 Уакт folf

меняется более сильным требованием однозначной разрешимости уравнения х«а = в.

Изучение L-группоидов оправдано не только эстетическими соображениями ( отбрасывание s в (•)), но также и тем, что такие группоиды встречаются в качестве полных характеристик в топологии узлов [2].

Обе причины, как эстетическая, так и прикладная объясняют интерес, проявленный к изучению таких группоидов.

В процессе работы обнаружено одно важное различие в развитии теорий квазигрупп и группоидов. В квазигруппах имеет место свойство транзитивности: группа автоморфизмов AutG действует на С^о^транзитивно. Именно это обстоятельство позволяет свести изучение леводистрибутивных квазигрупп к изучению ф -групп, где в качестве П можно взять одну из трех групп: AutG,

группу левых трансляций или ее ком-

мутант Обе последние группы также транзитивно действуют на G.

В качестве <р можно рассмотреть сопряжение фиксированной трансляцией Ь4.

Хотя автором и не найдено примеров нетранзитивного действия AutG на L-группоиде, тем не менее a priori предполагать AutG -транзитивность нельзя, а, значит, нельзя предполагать и наличие представления а пото-

му приходится приложить больше усилий для получения некоторых аналогов свойств леводистрибутивных квазигрупп.

Цель работы. Перенесение результатов, полученных для леводистрибу-тивных квазигрупп, на группоиды. Изучение возможности представления. L-группоидов однородными пространствами, т.е. выяснение условий AutG и Z(G) -транзитивности.

Общая методика исследования. Основным инструментом в исследовании являются методы теории групп. Кроме того, привлекаются результаты теории леводистрибутивных квазигрупп. В транзитивном случае это связано с

возможностью представления L-группоидов однородными пространствами, в 4

нетранзитивном случае связь между группоидами и группами более сложная, но тем не менее аппарат теории групп и здесь работает эффективно.

Научная новизна. Все результаты для L-группоидов являются новыми. Практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ожидается, что ее результаты будут использованы в теории узлов." Кроме того, они могут быть использованы при чтении специальных разделов по теории неассоциативных систем.

Апробацияработы. Результаты диссертации докладывались на:

- расширенном заседании кафедры алгебры МГУ, посвященном памяти А. Г. Куроша (Москва, 1996);

- IV международной алгебраической конференции, посвященной. 60-летию профессора Ю.И.Мерзлякова (Новосибирск, 2000);

- конференции, посвященной 90-летию Л С.Понтрягина (Санкт-Петербург, 1998);

- алгебраических семинарах ННГУ, НГТУ (Нижний Новгород, 1996-2002);

- сессии молодых ученых (Сэров, 1999,2000).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 работ. Структура и объем работ. Диссертация изложена на 66 страницах, состоит из введения и шести глав Список литературы содержит 25 названий, в том числе и работы автора

Содержание работы. Во введении излагаются причины, приведшие автора к изучению L-группоидов. Формулируются проблемы, которые решаются в дальнейших главах.

В 1 главе рассматривается .ряд конструкций, удовлетворяющих тождеству левой дистрибутивности. Они не всегда приводят к L- группоидам, но полезны при.поиске примеров L- группоидов. Основным из них является следующий: С(о)=ПЛГг- множество левых смежных классов группы П по подгруппе Т- под-

группа неподвижных элементов автоморфизма г р группы /7. Операция на G имеет вид

хоу=х<р(х~'у)тос1Т

Глава 2 посвящена общим свойствам L- группоидов. В ней изучается одна-из важнейших характеристик L- группоида - группа левых трансляций Z(G): В квазигруппах, как уже отмечалось, имеет место не только АмО-транзитивность, но и Z(G) -транзитивность. Это обстоятельство обосновывает введение класса Z(G)- транзитивных L- группоидов. Их изучению посвящена следующая глава.

В главе 3 изучаются конечные L- группоиды. В известных автору примерах таких группоидов Z(G)- транзитивность имеет место. Это обстоятельство позволяет выдвинуть гипотезу о транзитивности конечных L- группоидов. Исследование этой гипотезы хотя и привлекательная, но очень сложная задача.

Наименьшим контрпримером такого группоида является группоид, представляющий собой объединение двух орбит относительно действия Z(G) на G. В этой ситуации представляется интересным результат, описанный следующей теоремой.

Теорема.

Пусть G конечный L-группоид. (? = (?, где <?,Ы в ¡-орбиты отно-

сительно действияZ(G).Тогда, если G, и ее подгруппоиды транзитивны, то G2 не может быть медиальной квазигруппой.

Под медиальной квазигруппой понимается квазигруппа с дополнительным тождеством: (аоЬ)°(с<>(1)**(аос)°(Ьо(1). Как известно, медиальные квазигруппы являются аналогом абелевых групп и принадлежат к простейшему типу квазигрупп.

В главе 4 изучаются некоторые классы L- группоидов; А именно; медиальные, дистрибутивные; минимальные и симметрические L-группоиды;

Предикат в названии этих Ь- группоидов показывает, что группоид, удовлетворяет дополнительному тождеству, а именно:

медиальный: (аоЬ)о(с°й)-(а<>с)°(Ь<>й),

дистрибутивный: ао(Ь°с)-(аоЬ)°(аос) и (а°Ь)°с = (аос)о(Ь<>с)

минимальный, если он не содержит подгруппоидов, отличных от одноэлементных и самого себя.

Показано, что конечные дистрибутивные, медиальные, минимальные, симметрические Ь- группоиды являются квазигруппами.

В главе 5 исследуются группоиды порядков <; 28.

Целью данного исследования является проверка транзитивности этих группоидов, а также поиск группоида не являющегося квазигруппой. В результате установлено, что все они транзитивны и являются квазигруппами, за единственным исключением где существует группоид не являющийся квазигруппой Вот его описание:

Л-полупрямое расширение /и Г, |Г| = (х/лс7=/ ),J = Рг(х), где /(х) = 0 и левая часть есть неприводимый множитель х' -1 по модулю 2. Можно считать, что

В главе 6 исследуются Ь- группоиды с неразрешимыми группами левых трансляций.

Результаты этой главы используются при изучении группоидов малых порядков. Они представляют интерес и по другой причине. В случае конечных квазигрупп группа левых трансляций, согласно работам ВМГалкина, С.В.Лещевой, О В Суворовой, Н В. Мохниной, является разрешимой. Для конечных Ь- группоидов это не так. Сравнительно простая конструкция дает пример таких группоидов:

Т7 = /х/х„,..х/(п-множителей), автоморфизм (р имеет вид

ф(х) = (х,,х, ) для х = (х, )eG. Достаточно взять неразрешимую

группу , порядок которой взаимно прост с л.

Рассматриваются транзитивные группоиды с представлением G(°) = П/Т с простой группой П. Показано, что Пне может быть знакопеременной группой Аа, но может быть проективной группой. Наименьшая группа, обладающая этим свойством L](8).

Цитированная литература.

[1] Галкин В.М. Леводистрибутивные квазигруппы //Докторская диссертация. Горький, 1986.

[2] Матвеев СВ. Дистрибутивные группоиды в теории узлов. Математический сборник. 1982. Т.119. N1, с.78-88.

Работы автора по теме диссертации.

[1J Ерофеева Л.Н. Об одном классе л-группоидов // Деп. ВИНИТИ 1995

[2] Ерофеева Л.Н. Об одном классе £-группоидов // Деп. ВИНИТИ 13.11.1997

,N3316-B97.

[31 Galkin V.M., Erofeeva L.N. On the spectrum of one groupoid class. Information Conference Dedicated of the 90й1 Anniversary of L.S. Pontryagin. August,31-September,6,1998, Moscow, p. 26.

[4] Ерофеева Л.Н. Об одном классе L-группоидов .IV-Нижегородская сессия молодых'ученых .(Математиками математическое моделирование). СарФТИ, 1999.

[5] Галкин В.М., Ерофеева Л.Н. Конечные Х-группоиды.

IV-Международная алгебраическая конференция, посвященная 60-летию профессора Мерзлякова Ю.И. Новосибирск, 7-11 августа 2000.-С.73-74.

[6] Ерофеева Л.Н. Об одном классе L-группоидов.

V-Нижегородская сессия молодых ученых .(Математика и математическое моделирование). СарФТИ, 2000.

[7] Ерофеева Л.Н. К проблеме транзитивности L-группоидов. Международный семинар по теории групп, Екатеринбург, 2001

[8] Ерофеева Л.Н. О транзитивности одного .класса группоидов//Деп. ВИНИТИ 05.04.02 №360-В2002.

[9] Ерофеева Л.Н. Об одном классе группоидов. Записки научных семинаров ПОМИ. Т.305. 2003.

[10] Ерофеева Л.Н. Группа трансляций некоторых группоидов. Вестник ННГУ серия Математика. Выпуск 2.2004, март, Стр. 96-100.

Подписано в печать 07.04.04. Формат 60 х 84 У16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 232.

Нижегородский государственный технический университет. Типография НГТУ. 603600, Нижний Новгород, ул. Минина, 24.

04-16145