Максимальная сходимость рядов Фурье по классическим ортогональным многочленам тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО СВЯЗИ И ИНФОРМАТИЗАЦИИ МОСКОВСКИЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СВЯЗИ И ИНФОРМАТИКИ

На правах рукэпиеи

АРУТЮНЯН Роберт Владимирович

МАКСИМАЛЬНАЯ СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ ПО КЛАССИЧЕСКИМ ОРТОГОНАЛЬНЫМ МНОГОЧЛЕНАМ

Диссертация на с©искани® учен©й степени кандидата физико-математических наук 01,01,01. - математический анализ

Научный руководитель: д©кт©р физико-математических наук, пр@фессор П.К.Суетин

Москва, 1998г.

СОДЕРЖАНИЕ

Стр.

ВВЕДЕНИЕ......................................................3

Глава I. МАКСИМАЛЬНАЯ СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ - ЯКОБИ..........18

1.1. Некоторые свойства многочленов Якоби................ .18

1.2. Оценки функций Якоби второго рода....................24

1.3. Максимальная сходимость рядов Фурье - Гегенбауэра....29

1.4. Максимальная сходимость рядов Фурье - Чебышева.......37

1.5. Максимальная сходимость рядов Фурье - Лежандра.......40

1.6. Общий случай рядов Фурье-Якоби при разных параметрах.43

1.7. Случай полюсов на каноническом эллипсе...............48

Глава 2. МАКСИМАЛЬНАЯ СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ - ЭРМИТА.........51

2.1. Некоторые свойства многочленов Эрмита................51

2.2. Оценки функций Эрмита второго рода...................54

2.3. Максимальная сходимость рядов Фурье - Эрмита.........57

2.4. Случай полюсов на границе канонической области.......63

2.5. Обратная теорема о скорости весового приближения

на всей оси..........................................66

Глава 3. МАКСИМАЛЬНАЯ СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ - ЛАГЕРРА........68

3.1. Некоторые свойства многочленов Лагерра...............68

3.2. Оценки функций Лагерра второго рода..................72

3.3. Максимальная сходимость рядов Фурье - Лагерра........74

3.4. Случай полюеов на границе канонической области.......78

3.5. Обратная теорема о скорости весового приближения

на полуоси...........................................81

ЛИТЕРАТУРА.....................................................84

В известной монографии Дж.Уояша [ 44 ] изложены простейшие результаты о максимальной сходимости последовательности многочленов, приближающих данную функцию в некоторой ограниченной замкнутой области при условии, что эта функция аналитическая в более широкой так называемой канонической области ( проблемаJ>).

Пусть на плоскости комплексного переменного 2 дана конечная односвязная область , ограниченная замкнутой

жордановой кривой У"7 . Обозначим через _Z) внешность кон -тура _Г и пусть функция V = отображает область J)

на область lw/>i при обычных условиях - «*=> и

> 0 » а 2 = ~ обратная функция. Как обычно,

через Уд обозначим кривую, которая при отображении W~ переходит в окружность Iwl — R > i . Тогда внутренность ^ кривой Tr называется канонической областью, соответствующей области и числу &

В монографий Дж.Уолша доказано, что если У7 есть пра -вильная аналитическая кривая, а функция /(г) аналитическая в канонической области , непрерывно дифференцируема Р

раз в замкнутой области (J^ , причем /^(н) G Lip оС в (Зт^ , то существует такая последовательность многочленов { Qn. С2) ] ' ЧТ0 выполняется условие

К К

где постоянная Со не зависит от /ь и & .

В дальнейшем этой задачей занимались С.Н.Мергелян, Б.А.Вост-рецов, А .В. Игнатьева,. В.И.Смирнов, Н.А.Лебедев, В. А.Куприн ,

- 3 -

П.К.Суетин и другие математики. При этом основные обобщения и усиления неравенства ( 0.1) проводились в следующих надрав -лениях.

1. Вместо аналитической кривой Р рассматривались гладкие кривые с уменьшением порядка гладкости, спрямляемые кривые

ж даже случаи произвольной области без условий на ее

границу Г

2. Вместо условия оС 3 рассматривались случаи, когда функция только ограничена в облас-я . Ибо принадлежит таи классу Е1 , лийо имеет на контуре полюсы определенного порядка.

3. В качестве многочленов применялись частич -ные суммы рядов по многочленам Фабера и рядов Фурье но ортого -нальным многочленам.

4. Во многих случаях определялась форма правой части аналога неравенства ( 0.1) в зависимости от граничных свойств функций

/б) в окрестности контура Гк

5. В отдельных частных случаях и примерах определялись к© -нкретные постоянные в неравенствах вида ( 0.1 ) .

Подробный обзор всех этих результатов содержится в монографии П.К.Суетина [41]

Приведем некрторые наиболее характерные формулировки.

Теорема А. Если для кривой Г выполняется условие новы -шенной гладкости

со.«

111=1

а функция /(к) - аналитическая в области и непрерывная

в замкнутой области » т0 остатка ряда по многочленам

Фабера имеет место неравенство

г«?», (о.з)

где ЕЖ&) есть наилучшее равномерное приближение функции в замкнутой области многочленами порядка не

выше /2> .

Теорема В. Если выполняется условие (0*2) , а функция в области входит в клаес * то имеет мест© нера-

венство

И.(г-1)1 * ¿.* " Е^С^ГО, н^а

^((Ы) (0.4)

где^ДШ есть наилучшее приближение функции ■ в

среднем на контуре Гн многочленами порядка не выше п •

Теорема С. Если выполняется условие (0.2 ) , а функция ограничена равномерно в области ^ по модулю, т. е.

14«I *«<?«, (ол)

т© имеет место неравенство

Условие ( 0.2 ) означает, что кривая Г имеет повышенную гладкость. Например, для сегмента [-1,1] это условие не выполняется, но в монографии П.К.Суетина [41] отмечается, что все вышеприведенные результаты имеют место для рядов Фурье по мн© -гочленам Чебышева первого рода, только в© всех неравенствах вмеето 1+А будет стоять число 2.

В настоящей диссертации рассматривается максимальная сходимость рядов Фурье по классическим ортогональным многочленам для аналитических функций в канонических областях, а именно: уста -

навливаются аналоги вышеприведенных неравенств для остатков рядов Фурье но многочленам Якоби, по многочленам Эрмита и по многочленам Лагерра в случаях аналитичности функции в соответствующих кано -ничееких областях.

При рассмотрении аналогов теорем А, В, С для классических ортогональных многочленов возникают следующие трудности и специфические особенности.

1. Как уже отмечалось вше, для сегмента [-1,1] не выпол -няется условие (0.2) и многочлены Якоби, кроме частного елу -чая многочленов Чебышева первого рода, не являются многочленами #абера. Поэтому в данном случае не применимы те методы, которые применяются в монографии П.К.Суетина £ 41 ] .

2. В случаях многочленов Эрмита и Лагерра линии ортогональности являются неограниченными, поэтому в этих случаях не суще -ствует конформных отображений вида У/ - ф(г) , которые являются основой методов, рассмотренных в монографии П.К.Суетина [41] .

3. Как известно, для многочленов Фабера функции второго рода имеют очень простой вид. А функции второго рода для классических ортогональных многочленов значительно сложнее, и для доказательства аналогов теорем А, В, С необходимо рассмотривать вспомогательные асимптотические свойства функций второго рода для мно -гочленов Якоби, Эрмита и Лагерра.

Ряды Фурье по классическим ортогональным многочленам для аналитических функций рассматривались многими авторами. В част -ности, в монографий Г.Сеге [Зб] приведены основные теоремы о представлении аналитических функций в канонических областях.

Но наиболее систематически и полно все эти вопросы изложены в монографии П.К.Русева [52] .В этой монографии на ряды Фурье по классическим ортогональным многочленам переносятся многие известные свойства рядов Тейлора. Так, например, подробно изложены

- 6 -

условия сходимости / аналог теоремы Конш-Адашра / , граничные свойства, уеловия суммируемости в граничных точках, вопросы сверхсходимости и многие другие аналоги евойств степенных рядов. Однако никаких теорем о максимальной сходимости рядов Фурье по классическим ортогональным многочленам в моногра#ии М.КРусева нет.

Как обычно, обозначим через { Ги/*'®6^! стандартизованные многочлены Якоби, ортогональные на сегменте [-1,1] с весовой функцией

= ¿>-.£,^>-1, X« К1]

Для еешента [~1Д] линией уровня Г^ является эллине с уравнением

2 а

Внутренность этого эллипса обозначим через ¿^я » а внеш -ность - 2)% .

Как известно, функции второго рода определяются

разложением

где - квадрат нормы многочлена с весом(0.7).

В начале первой главы рассматриваются вспомогательные результаты.

Теорема 1.2.1. Если т0 Д^ функций Якоби вто-

рого рода справедливо неравенство [бо]

I * * Ш 'г е г* (оло)

где - ¿Ц-ЯоС I;

В случае многочленов Лежандра / при оС О / это неравенство известно [13] . Аналогично, неулучшаемость неравенства (ОДО) подтверждают случаи многочленов Чебышева первого и второго рода. Во всех этих случаях функции второго рода при -ведены в работе [Зб] .

В третьем параграфе первой главы неравенство (0,10) ис -пользуется для оценки остатка ряда Фурье по многочленам Геген -

Теорема 1.3.1. Если СдГСк) » то для остатка ряда

Фурье но многочленам Гегенбауэра справедлива весовая оценка

£ -I

А(х*А) I & ШнА * '

( О «XI)

, г 7

где = С±+х) ; X € Ы,1]. (0.12)

Теорема 1.3.2. Если 4(ъ)в А(О-к) и равномерно ограничена по модулю, т.е. при г 6 ^ , то

</ Г / Л

Теорема 1.3.3. Если ((*)€Е+ССг^* т.е. если пред-

етавима в области интегралом Кош по своим угловым гра -

ничным значениям на контуре Гц , то

(0.14)

о1-1,11.

Рассматриваются также случаи, когда функция предста-

вима интегралом типа Коти в области с функцией распреде-

ления на контуре Д .

В этих трех теоремах установлена конкретная зависимость правых частей от величины И , и видно, как возрастает правые части при И 1 . Однако, постоянные С^^с) , Се(ы) и С¿00 в общем случае не вычисляются.

В некоторых частных случаях функции второго рода вычисляются в конечном виде. К таким случаям относятся многочлены Чебыше-ва первого и второго рода, многочлены Лежандра, а также и неко -торые другие частные случаи. Во всех этих случаях постоянные

0 * СсС-0 ш можно вычислить конкретно. Именно

эти вычисления прилагаются в четвертом и пятом параграфах первой главы.

В четвертом параграфе первой главы результаты третьего на -раграфа уточняются в случае рядов Фурье по многочленам Чебышева второго рода.

Теорема 1.4.1. Если

€ СА (£*), то для остатка ряда Фурье по многочленам Чебышева второго рода имеет место весовая оценка

Теорема 1.4.2. Еели аналитическая функция в области

ограничена равномерно, то

ЪМЛ'/Ш * И-

X € 1-1, 17.

Теорема 1.4.3. Если , то

•П^Ы^ААМ ± ЕЙШ ' зсекМ. (0.17)

В пятом параграфе первой главы рассматриваются максимальная сходимость рядов Фурье и© многочленам Лежандра, т.е. при условии

о ♦ __

Теорема 1.5.1. Если

, ТО

а-я^И^-М хбМ Ш8)

Теорема 1.5.2. Если аналитическая в области фц функция ограничена равномерно, т.е. (•!(•&•)( & М » то

Теорема 1.5.3. Еели |(2) е Е.1.(Сп0 , то

В шестом параграфе первой главы ряды #урье-Якоби рассматриваются в общем случае при различных параметрах об и £

Если сС , то оценка вида (0.10) пока не получена,

Вмеето этого пока известно при постоянном неравенство

[25]

1 * > (0.19)

где постоянная возрастает неограниченно приЯ-?!.

С помощью этого неравенства в шестом параграфе первой главы получены оценки скорости максимальной сходимости рядов Фурье -Якоби при условиях оС Ф $

Теорема 1.6,1. Если 4 (Сгь) » то при оС^ ъ - У^

и для х £ ¿] имеет место оценка

где С^Я;^) -> при

Теорема 1.6.2. Еели я) и | £ М

то при сС,^ - Уъ и для ос € ¿] справедлива оценка

| * I (0.21)

где С^Я;®при

Теорема 1.6.3. Если |(г) € £¿(£0 , то при и для X с [-1, I] справедливо неравенство

А М * (4; ^' (0-22)

где при

В седьмом параграфе первой главы рассматривается случай, когда аналитическая в области Ст^ функция ^(г) имеет полюс на эллипсе Г^ порядка Р , т.е.

(0.23)

В этом случав приводятся конкретные весовые оценки остатка ряда Фурье - Якоби.

В частности, доказано, что если оС- р +1 -^-р +•!- -то имеет место оценка

£*У

Л &<*,]>) | - С, (р

Во второй главе рассматриваются ряды Фурье по многочленам Чебышева - Эрмита для аналитических функций в канонических областях. При этом сначала в первых двух параграфах приводятся вспомогательные результаты о многочленах Чебышева - Эрмита и функциях Эрмита второго рода. А затем - в третьем параграфе этой главы -приводятся оценки скорости максимальной сходимости рядов Фурье но многочленам Чебышева - Эрмита.

Поскольку многочлены Чебышева - Эрмита {НнМ ортогональны на всей оси с весовой функцией

ссе(-оо,оо) (0.25)

то в данном случае каноническая область есть горизонтальная бесконечная полоса

= {г: >о] (о.2б)

Теорема 2.3,1. Если аналитическая функция в кано-

нической области допускает представление в виде интег -

рала Коши по своим угловым граничным значениям на граничных пря-

области

то для остатка ряда Фурье по многочленам Чебышева - Эрмита на всей оси имеет место весовая оценка

В (х) 1 Сх)| & , X 6 (гое, оо), (0.27)

где весовая функция имеет вид

' (0.28)

Как известно, для многочленов Чебышева - Эрмита получены различные весовые оценки с различными экспотенциальными множителями и в том числе имеются оценки на расширяющихся сегментах вещественной оси. Многие из этих оценок можно применить для полу -чения соответствующих весовых оценок скорости максимальной схо -димости на расширяющихся сегментах.

Теорема 2.3.3. При условиях теоремы 2.3.1. имеет место не -равенство

* > осе [-Д„, Ач]

(0.29)

где

В четвертом параграфе второй главы рассматривается ряд Фурье-Эрмита для функции

которая имеет полюс порядка р на границе канонической области . Для этой функции вычисляются коэффициенты Фурье - Эрмита и устанавливается оценка скорости максимальной сходимости

/ * •

В пятом параграфе второй главы рассматривается некоторая

обратная теорема о сходимости наилучшего весового приближения

функции на всей вещественной оси.

Теорема 2.5.1. Пусть на всей оси определена функция

Если для наилучших средних квадратических приближений

1

N

выполняется неравенство

-о®

причем ряд с общим членом сходится, то функция

продолжается аналитически с оси на область б^р

В третьей главе рассматриваются ряды Фурье по многочленам Чебышева - Лагерра для аналитических функций в канонических об -ластях.

Поскольку многочлены Чебышева - Лагерра { ортогональны на полуоси е весовой функцией

),а^е Х, х е [о, со), (о.зз)

то в данном случае роль линии уровня играют параболы

ГХ - 1 ^ = (0.34)

которые ориентированы горизонтально и вправо, е вершиной в точке ОС--Х . Внутренность параболы С 0 »34) , содержащую положительную полуось обозначим через » а внешность через -Л)л. . Аналитическая функция

V =

где имеется в виду главное значение корня, отображает область конформно и однолистно на правую полуплоскость Кеч/ — ц Х> 0 • При этом область можно характеризовать

условием ке А X » а область Л) - условием

В первых двух параграфах третьей главы приводятся вспомогательные результаты о многочленах Чебышева - Лагерра и о функциях Лагерра второго рода. Здесь новым результатов является тольво формула дифференцирования функций Лагерра второго рода.

В третьей параграфе третьей главы приводятся основные ре -зультаты о максимальной сходимости рядов Фурье по многочленам Чебышева - Лагерра.

Теорема 3.3.1. Если аналитическая в области функция

представима интегралом типа Коши

Гх 4 г

где функция распределения суммируема на контуре Гк

ж выполняется условие

ММ* 5 <00>

Гх

то для остатка ряда Фурье - Лагерра имеет место весовая оценка

СДор^

(о.зб)

Фактически этот результат доказывается дважды с различными зависимостями правой части от параметра X .

Теорема 3.3.3. При условиях теоремы 3.3.1. на расширяющихся сегментах имеет место оценка

г!..

где Вн^ й- •

В четвертом параграфе третьей главы рассмотрен случай полюсов разлагаемой функции на параболе Р\ Если

то имеет место неравенство

А Хб1о,оо).

В пятом параграфе третьей главы приводятся некоторая обратная теорема о скорости весового приближения функции на полуоси.

Почти все результаты по частям докладывались на конферен -циях в Донецком, Саратовском, Воронежском, Ростовском университетах, на семинаре проф. В.И.Гаврилова в МГУ, а также на конференциях профессорско-преподавательского состава Московского Технического университета связи и информатики.

По результатам настоящей диссертации опубликованы статьи, заметки, тезисы [55] - [б4] ,

Глава I. МАКСИМАЛЬНАЯ СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ-ЯКОБИ

I.I. Некоторые свойства многочленов Якоби

В теории ортогональных многочленов обычно рассматривается разложение ядра Кошн

¿г-г-д^,..«..!.*, СлД

7 fb~ о Tin. '

L = ¡Ac*)£L(*M* .

где

я-

(1.1.2)

Эта формула, справедлива при любой стандартизации ортогональных многочленов (х*)} » может служить определением функций второго рода. Полагая в разложении (1.1Д) 2 =Х € [-1,1]> получим -

Г) п\ \ л

о. 4 '

В разложении (1.1.1) можно перейти к ортонормированным многочленам и нормированным функциям второго рода

Тогда разложение (1.1.1) приводится к виду

I оо л А

^ = (1.1.5)

Поскольку это ортогональное разложение, то имеем неравенство Бееселя

оо

А

X

Кг. О

О,

(1Л.6)

Из этого неравенства уже следует,^что последовательность нормированных функций второго рода { СО I сходится к нулю равномерно на всяком компакте, расположенном вне сегмента ¿-I. Вместо (1.1.3) в данном случае имеем формулу

а.

(1.1.7)

С помощью этой формулы находим условие биортогональности

Д

t

Гк

ос - К

оЦ

Лх =

(1.1.8)

(X,

Все эти формулы справедливы для любых сие тем ортогональных многочленов и, в частности, для многочленов Якоби.

Как известно [ Зб] , стандартизованные ортогональные многочлены Якоби,