Математическое моделирование течений вязкой несжимаемой жидкости со свободными границами методом сглаженных частиц тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

МА КАРЧУ К РОМАН СЕРГЕЕВИЧ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕЧЕНИЙ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ СО СВОБОДНЫМИ ГРАНИЦАМИ МЕТОДОМ СГЛАЖЕННЫХ ЧАСТИЦ

01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

- СОЯ 2012

Томск 2012

005054294

005054294

Работа выполнена на кафедре ЮНЕСКО по НИТ математического факультета ФГБОУ ВПО «Кемеровский государственный университет» (КемГУ)

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Афанасьев Константин Евгеньевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Житников Владимир Павлович

доктор физико-математических наук, профессор

Якутенок Владимир Альбертович

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное

учреждение науки Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева Сибирского отделения Российской академии наук

Защита состоится «16» ноября 2012 г. в 10 ч. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.267.13 при ФГБОУ ВПО «Национальный исследовательский Томский государственный университет» по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина, 36, корпус 10.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Томского государственного университета.

Автореферат разослан «15» октября 2012 г.

Учёный секретарь диссертационного совета, доктор технических наук

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Изучение особенностей течений жидкости со свободными границами является очень актуальной задачей, поскольку такого рода течения встречаются повсеместно. Достаточно привести в качестве примеров такие сложные физические процессы, как накат волны на наклонный берег, взаимодействие волн с береговыми и донными сооружениями, погруженными в жидкость телами: задачи глиссирования, посадки гидросамолетов на поверхность водоемов и т. д. Практический интерес в таких задачах представляют как кинематические характеристики течений - поле скоростей, положение свободной границы, так и динамические - поле давления, величины гидродинамических нагрузок на твердые границы области течения или погруженные тела.

Исследованию процессов взаимодействия твердых и упругих тел с жидкостью посвящены работы многих отечественных и зарубежных ученых: Л. И. Седова, Г. В. Логвиновича, В. В. Пухначева, А. А. Коробкина, А. Г. Те-рентьева, Э. И. Григолюка, А. Г. Горшкова, М. В. Норкина, В. И. Юдовича, Г. Г. Шахверди, Н. Wagner, R. Zhao, О. Faltinsen, M. Greenhow, W. M. Lin, X. Zhu и др.

В работах приводятся аналитические и численные решения вышеуказанных задач, результаты лабораторных испытаний, однако, в связи со сложностью рассматриваемых явлений, получение как аналитических так и численных решений в полной математической постановке весьма затруднительно или невозможно, а лабораторные эксперименты, не говоря уже о натурных испытаниях, являются весьма дорогостоящими и трудоемкими. С другой стороны, непрерывный рост производительности компьютерной техники и все более возрастающая ее доступность для широкого круга исследователей, открывает новые возможности для решения ранее неисследованных, в силу их сложности, задач. Оба этих фактора и обуславливают постоянное увеличение общей доли вычислительного эксперимента в научных исследованиях по сравнению с аналитическими выкладками, лабораторными экспериментами и натурными испытаниями.

Несмотря на всю привлекательность использования аппарата вычислительной математики для моделирования таких процессов, этот путь, тем не менее, представляет значительные трудности, что обусловлено, во-первых, неизвестным заранее положением свободной границы области расчета, которое необходимо находить на каждом шаге по времени, во-вторых, ее сложным поведением, часто приводящим к нарушению связности области расчета и, в итоге, к вытекающим отсюда проблемам вычислительного характера.

Для описания движения сплошных сред традиционно используется два подхода: Эйлера и Лагранжа. Методы, основанные на подходе Эйлера, используют неподвижную сетку в системе координат наблюдателя, сквозь которую движутся материальные частицы (малые объемы) сплошной среды, все

физические характеристики при этом определяются в узлах данной сетки. Методы, основанные на лагранжевом подходе, используют сетку, "вмороженную" в материальную среду. Это означает, что она двигается и деформируется вместе со сплошной средой. Узлы такой сетки жестко связаны ребрами и вместе с ними образуют ее ячейки, а при движениях и деформациях связи узлов сохраняются.

Использование классических численных методов как эйлерового так и лагранжевого типа для проведения вычислительных экспериментов связано с определенными трудностями. Основная проблема первых состоит в сложности постановки граничных условий в связи с заранее неизвестным положением свободной границы. Недостаток вторых - аварийный останов программы при пересечениях ребер ячеек сетки, возникающих в случае больших деформаций области расчета.

В последнее время все большее распространение стали получать бессеточные методы, к которым, следуя Лью1, будем причислять методы, не требующие использования связной сетки, по крайней мере, на этапе построения функций формы. К таковым, в частности, относятся бессеточный метод конечных элементов (MFEM - Meshless Finite Element Method) и метод естественных соседей (NEM - Natural Element Method), которые используют слабую форму уравнений динамики жидкости, для интегрирования которой и необходимо наличие сетки, что, несмотря на все несомненные достоинства этих методов, все же подразумевает привлечение сложных и ресурсоемких алгоритмов ее построения и алгоритмов определения свободной границы.

Особое место в ряду бессеточных методов занимает метод сглаженных частиц (SPH - Smoothed Particle Hydrodynamics), стремительно развивающийся и давший толчок к развитию множества других методов, использующих его идеологию (MPS - Moving Particle Semi-Implicit, ISPH - Incompressible SPH и др.). Ввиду общей идеологической основы методов, будем использовать для их именования общий термин - методы сглаженных частиц. Непосредственным предшественником метода сглаженных частиц является метод PAF (Particle-and-Force)2, от которого он унаследовал, среди прочего, и свое основное свойство - полное отсутствие сетки, обусловленное использованием сильной формы уравнений динамики жидкости. Эта специфика метода и определила ряд его преимуществ перед другими бессеточными методами: простота программной реализации ввиду отсутствия потребности в сложных алгоритмах численного интегрирования и построения сетки, использование простейших алгоритмов определения свободных границ и границ раздела, непосредственный переход к решению трехмерных задач без привлечения дополнительных, не характерных для двумерных случаев, алгоритмов.

К настоящему моменту метод сглаженных частиц оброс значительным ко-

1 Liu G.R. Mesh free methods: moving beyond the finite element method // CRC Press. 2003. 712 p.

2Harlow F. R, Meixner B. D. The Particle-And-Force Computing Method for Fluid Dynamics // Los Alamos National Laboratory Report LA-MS-2567. 1961.

личеством разнообразных модификаций, улучшивших качественные характеристики метода и его эффективность и позволивших ему завоевать твердые позиции в сфере численного моделирования задач из различных областей механики. Вышеперечисленные особенности метода обосновывают целесообразность его использования для решения задач, предлагаемых в настоящей работе.

Цель работы - адаптация и развитие метода сглаженных частиц для получения инструмента численного моделирования течений вязкой несжимаемой жидкости со свободными границами, позволяющего определять гидродинамические нагрузки на твердые стенки области течения и погруженные тела.

Задачи исследования:

1. Разработка алгоритма метода сглаженных частиц для решения задач динамики вязкой несжимаемой жидкости со свободными границами и его реализация в виде комплекса программ.

2. Разработка алгоритма корректировки свободной поверхности для обеспечения устойчивости вычислений и корректного определения гидродинамических нагрузок.

3. Разработка алгоритмов перемещения абсолютно твердого тела и его взаимодействия с вязкой несжимаемой жидкостью.

4. Проведение расчетов тестовых и модельных задач методом сглаженных частиц. Сравнение полученных результатов с аналитическими и эталонными численными решениями, а также расчетами других авторов.

5. Проведение вычислительных экспериментов по моделированию течений вязкой несжимаемой жидкости при наличие больших деформаций свободных границ, приводящих к нарушению связности области расчета, включая процессы взаимодействия жидкости и погруженного твердого тела.

6. Определение значений гидродинамических нагрузок на твердые границы области течений и погруженные в жидкость тела.

Научная новизна работы:

1. Предложены модификации метода сглаженных частиц, использование которых дает возможность моделировать течения вязкой несжимаемой жидкости со свободными границами, включая процессы взаимодействия жидкости с твердыми телами, а также вычислять гидродинамические нагрузки на твердые границы области течения и погруженные тела.

2. Разработан алгоритм на основе метода сглаженных частиц, позволяющий проводить моделирование сложных задач динамики жидкости на всех стадиях вычислительного эксперимента, включая этапы развитых течений, сопровождающиеся нарушением связности области расчета.

3. Проведены в полной нелинейной постановке численные расчеты задач о всплытии плоского кругового цилиндра в жидкости, входе и погружении в жидкость плоских цилиндров с различной формой основания

в зависимости от варьируемых параметров. Определены гидродинамические нагрузки на вертикальные стенки бассейна, гидродинамические силы, действующие на цилиндры со стороны жидкости, исследованы процессы распространения волн, образующихся в результате падения цилиндров в жидкость.

На защиту выносятся:

1. Разработанная полиномиальная функция ядра четвертой степени, обладающая свойством монотонности первой производной и позволяющая стабилизировать вычисления за счет обеспечения равномерности расположения узлов "сетки".

2. Алгоритм корректировки свободной поверхности, позволяющий стабилизировать вычисления поля давления вблизи нее и получить удовлетворительные хронограммы гидродинамических нагрузок.

3. Алгоритм решения нестационарных задач, позволяющий моделировать течения вязкой несжимаемой жидкости, сопровождающиеся сильными деформациями свободной поверхности, взаимодействие жидкости с погруженными твердыми телами, определять гидродинамические нагрузки на твердые границы области течения и погруженные тела.

4. Результаты численного моделирования процессов всплытия плоского кругового цилиндра в жидкости, входа и погружения в жидкость плоских цилиндров с различной формой основания в зависимости от варьируемых параметров.

Обоснованность и достоверность полученных результатов подтверждаются адекватностью используемых математических моделей рассматриваемой предметной области и корректностью математических постановок задач и методов их решения, основываются на расчетах классических тестовых и модельных задач и сравнении их с известными аналитическими решениями или результатами расчетов, приведенных в работах других исследователей.

Практическая значимость результатов диссертационного исследования заключается в следующем. Метод сглаженных частиц с предлагаемыми в работе модификациями дает возможность проводить численное моделирование задач динамики жидкости со свободными границами, включая этапы развитых течений, особенностью которых является наличие сильных деформаций области расчета, и процессы взаимодействия жидкости с погруженными твердыми телами. Метод позволяет получать качественные картины поля давления, определять значения гидродинамических нагрузок на твердые границы области течения и твердые тела, погруженные в жидкость.

Основные результаты исследования использовались при выполнении работ в рамках проектов, выполненных в ЦНИТ КемГУ:

- проекта № 4829 "Численное моделирование течений жидкости со свободными границами современными численными методами на многопроцессорных вычислительных системах" (2005 год) по ведомственной научной программе федерального агентства по образованию "Развитие научного потенциала высшей школы".

- интеграционного проекта фундаментальных исследований Объединенного ученого совета по механике и энергетике СО РАН (2006-2008 годы) по теме "Численное моделирование нестационарного взаимодействия сложных упругих конструкций с жидкостью или газом Блок 2: "Нестационарное взаимодействие нелинейных поверхностных волн с плавающими и закрепленными упругими конструкциями Пункт 1. "Развитие методов расчета гидродинамических нагрузок при резко нестационарном воздействии волн с большими деформациями области течения".

- государственного задания на выполнение научно-исследовательских работ в рамках тематического плана ФГБОУ ВПО "Кемеровский государственный университет" (2012-2014 годы) по теме "Исследование воздействия весомой жидкости на закрепленные и плавающие конструкции и береговые сооружения" (регистрационный № 01201263105).

Представление результатов. Основные результаты диссертации представлялись на: III Всероссийской научно-практической конференции "Информационные технологии и математическое моделирование" (Анжеро-Судженск, 2004); V Региональной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых, посвященной десятилетию Новокузнецкого филиала-института Кемеровского государственного университета (Новокузнецк, 2005); Всероссийской научно-практической конференции "Информационные недра Кузбасса" (Кемерово, 2004-2008); XI Международной научно-методической конференции "Новые информационные технологии в университетском образовании" (Кемерово, 2006); III международной летней научной школы "Гидродинамика больших скоростей и численное моделирование" (Кемерово, 2006); VII Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (с участием иностранных ученых) (Красноярск, 2006); Международной конференции "Сопряженные задачи механики реагирующих сред, информатики и экологии" (Томск, 2007); 3-й Всероссийской конференции с участием зарубежных ученых "Задачи со свободными границами: теория, эксперимент и приложения" (Бийск, 2008); Международной конференции "Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике" (Новосибирск, 2010); Научно-практической конференции "Современные проблемы механики сплошных сред" (Чебоксары, 2011); X Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Нижний Новгород, 2011); Научном семинаре "Информационные технологии и математическое моделирование" под руководством профессора Афанасьева К. Е. (Кемерово, 2004-2012); Научном семинаре "Прикладная гидродинамика" под руководством чл.-корр. РАН Пухначева В. В. (Новосибирск, 2012); Научном семинаре "Вычислительные методы в гидромеханике" под руководством профессора Бубенчико-ва А. М. (Томск, 2012).

Публикации. По теме диссертации опубликована 20 работ, в том числе 3

статьи в изданиях, рекомендованных ВАК для представления основных научных результатов диссертации.

Личный вклад автора. Основные научные и практические результаты диссертационной работы получены автором лично или при непосредственном его участии. Из печатных работ, опубликованных диссертантом в соавторстве, в диссертацию вошли только те результаты, которые автором получены лично на всех этапах диссертационного исследования.

Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, списка цитируемой литературы и приложения. Общий объём работы составляет 177 страниц машинописного текста, включая приложение - 8 страниц; библиографический список состоит из 170 литературных источников.

Во введении приводится краткий обзор работ, посвященных численным методам исследования задач динамики жидкости со свободными границами, на основе которого обосновывается актуальность и практическая значимость настоящей работы. Формулируется цель и задачи исследования, приводятся положения, выносимые на защиту, полученные в работе новые результаты, излагаются ее структура и краткое содержание.

Первая глава состоит из пяти параграфов и посвящена описанию математических и вычислительных методов и алгоритмов, используемых в работе для моделирования нестационарных течений вязкой несжимаемой жидкости со свободными границами.

В первом параграфе приводится общая постановка нестационарной задачи о движении однородной вязкой несжимаемой жидкости со свободными границами. В некоторой области 0.(1) С К'' ((1 - размерность задачи) такое движение подчиняется системе уравнений Навье-Стокса:

где х(£) - радиус-вектор точек области v(x, I) - вектор скорости, р(х, I) - давление, р - плотность, ц - коэффициент динамической вязкости, Г - вектор плотности массовых сил. V и р являются искомыми характеристиками процесса, р, ци { - параметры задачи, х и £ - независимые переменные.

Для разрешимости системы (1)-(2) необходимо задать начальные и граничные условия. Пусть Г^) = Г^г) и Г2(£) - граница области где Г^г) и Гг(£) - твердая и свободная границы соответственно. Тогда граничные и начальные условия имеют следующий вид:

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

(1)

V • v = 0.

(2)

i v^oixEiMo = vr,(i);

\ Pn(x,i)|x€r2(0 = T • n — pn,

У(Х,*)|,=о = ^(Х), (4)

где уГ|(£) - скорость движения твердой фаницы Гь Если граница Г1 неподвижна, то ур, = О.

К системе уравнений (1)-(2) с граничными и начальными условиями (3)-(4) для перемещения частиц необходимо добавить следующее уравнение и начальные условия:

x(i)|i=0 = x0. (6)

Второй параграф посвящен используемому в работе инструменту численного моделирования течений жидкости - методу сглаженных частиц3 4. Здесь вводятся базовые понятия метода, рассматриваются положенные в его основу идеи, обосновывается его свободно-лагранжевая природа. Характерная особенность метода - отсутствие связной сетки, благодаря чему он успешно применяется для численного решения задач из различных областей механики, в том числе, для моделирования развитых течений жидкости с большими деформациями свободных границ.

Основу метода составляет формула усреднения функции по Стеклову:

Дх) = J /(x)lK(x - х, h)dD, (7)

D

где x,xeD. Здесь и далее предполагается зависимость области интегрирования D от переменной х. Функция W называется функцией ядра, kh - радиус ее носителя, h называется радиусом сглаживания или сглаживающей длиной, а значение коэффициента к зависит от конкретного вида функции.

Проведение вычислительного эксперимента требует перехода к дискретным аналогам уравнений динамики жидкости (1)-(2). С этой целью вся область расчета представляется набором лагранжевых частиц (расчетных узлов), между которыми нет жестких топологических связей, характерных, например, для конечно-элементных сеток. Вместо этого используется понятие ближайших соседей. Множество ближайших соседей частицы г с центром х, определяется как Pi(t) = {xj G К'' : p(x,,xj) < /г,}, р - некоторая метрика в Ш'{.

3Lucy L.B. A numerical approach to the testing of the fission hypothesis / L. b. Lucy // Astron. j. 1977. 82(12). p. 1013-1024.

4Gingold R. A. Smoothed particle hydrodynamics: theory and application to non-spherical stars / R. A. Gingold, j. j. Monaghan // Mon. Not. R. Astr. Soc. 1977. 181. p. 375-389.

Функции формы строятся по данному множеству частиц, которое в разные моменты времени, в общем случае, различно, что и обеспечивает свободно-лагранжевую природу метода.

Используя множество ближайших соседей в качестве набора узлов интегрирования, приходим к дискретной форме формулы (7):

/п

/(х)ИЧх - х, А)с1£> » ^ - Л).ДЯ,-, (8)

£> .7=1

где АБ^ - связанный с ^'-й частицей объем, п - число частиц в области О.

Ввиду отсутствия связной сетки, в методе сглаженных частиц задача определения объема частицы не может быть решена геометрически, подобно, тому как это делается в бессеточных методов, основанных на слабой форме уравнений движения (МРЕМ, ЫЕМ и др.). Вместо этого объем частиц принято вычислять по формуле АБ^ = т^/р^, где массы пу задаются в качестве начального условия и сохраняют постоянные значения в течение всего времени расчета.

В третьем параграфе описывается методика получения дискретных аналогов уравнений движения, излагаются различные способы аппроксимации дифференциальных операторов, рассматривается схема интегрирования по времени системы уравнений (1)-(2). В работе используется схема расщепления по физическим процессам5, согласно которой значения скоростей на (п + 1)-м шаге по времени находятся в 3 этапа. На первом этапе рассчитывается предиктор скорости - промежуточное значение скорости, которая сообщается частицам материальной среды массовыми силами и силами вязкого трения:

v* = v" + (^Алгп + () Д*. (9)

Для получения на (п + 1)-м шаге по времени соленоидального поля скоростей, согласно требованию уравнения (2), следует подобрать соответствующую функцию давления. В соответствии с идеей схемы расщепления такая функция должна быть решением уравнения Пуассона (второй этап):

1-.П+Л V-V*

-Pvpn+1) = "ST- <10)

Третий этап - проектирование предиктора скорости на соленоидальное поле:

v"+1 = V* - Qvpn+1) At. (11)

Новые координаты x"+1 частиц материальной среды находятся интегрированием уравнения (5) с начальными условиями (6) по явной схеме Эйлера:

'Chorin A. Numerical solution of the Navier-Stokes equations // Math, comp, 1968. Vol. 22. P. 745-762.

xn+1 = x" + vn+lAt. (12)

Уравнение Пуассона на давление (10) сводится к системе линейных алгебраических уравнений с симметричной матрицей (в случае симметричного взаимодействия частиц). Поскольку такая схема интегрирования включает в себя как явный (вычисление скорости), так и неявный (вычисление давления) этапы, в западной литературе она получила название полунеявной.

В четвертом параграфе описываются способы постановки граничных условий в методе сглаженных частиц. В отличие от условий Дирихле, внедрение условий Неймана в матрицу системы линейных уравнений для расчета давления нарушает ее симметричность. В связи с этим в работе для решения системы уравнений используется обобщенный метод минимальных невязок с предобусловливанием из библиотеки SPARS KIT6. Здесь же приводятся формулы для вычисления гидродинамических нагрузок на твердые границы области течения.

В пятом параграфе приведен алгоритм метода сглаженных частиц.

Вторая глава состоит из четырех параграфов и целиком посвящена всестороннему тестированию метода сглаженных частиц. Приводятся математические постановки и результаты расчетов ряда тестовых и модельных задач. На основе сравнения результатов, полученных методом сглаженных частиц, с аналитическими, эталонными численными решениями и результатами других авторов, демонстрируется эффективность метода для моделирования течений жидкости при наличии больших деформации свободных границ.

В первом параграфе на основе решения ряда тестовых задач делается вывод о сходимости метода и об эффективности его применения для решения задач динамики вязкой несжимаемой жидкости. Рассматриваются следующие задачи:

1. Задача о деформации жидкого эллипса.7

2. Задача о ламинарном течении жидкости в плоском канале (течение Пу-азейля).

3. Задача о течении жидкости по наклонной плоскости.

4. Задача о падении капли в жидкость.

Для тестирования алгоритмов движения по времени, определения свободной границы и корректности сбора матрицы системы линейных уравнений решается задача JI.B. Овсянникова о деформации жидкого эллипса. Несмотря на то, что оригинальная постановка задачи приведена для идеальной жидкости, но в силу отсутствия в ее формулировке твердых границ, постановка условий на которых является основным отличием математических моделей

6Saad Y. Iterative methods for sparse linear systems / Y. Saad // Society for Industrial and Applied Mathematics: Second Edition. 2000. 460 p.

7Овсянников Л.В. Общие уравнения и примеры // Задача о неустановившемся движении жидкости со свободной границей: сб. работ теорет. отдела / Акад. наук СССР, Сиб. отд-ние; Ин-т гидродинамики. Новосибирск: Наука, 1967. С. 3-75.

идеальной и вязкой жидкостей, то, положив коэффициент перед вязким членом в уравнениях движения равным нулю (fx = 0), приходим к правомерности применения метода сглаженных частиц для решения задачи.

Была проведена серия расчетов с различным количеством частиц, представляющих расчетную область. Для подтверждения достоверности полученных результатов проводилось их сравнение с численным решением дифференциальной задачи эволюции свободной границы по методу Рунге-Кутта 4-го порядка. В таблице 1 приведены относительные погрешности длин полуосей эллипса в зависимости от рассматриваемого момента времени. Видно, что их значения растут со временем. Такое накопление ошибки обусловливается постепенной деформацией области расчета.

Уменьшение относительных погрешностей длин полуосей эллипса по мере увеличения числа частиц, участвующих в расчетах, свидетельствует о сходимости метода к точному решению (таблица 2).

Таблица 1. Относительная по- Таблица 2. Относительная погрешность значений полуосей грешность значений полуосей эллипса для N=20365 эллипса для t = 1.51 с

t Sa 5b

0.3 0.0011416 0.0131192

0.9 0.0001529 0.0072871

1.2 0.0001384 0.0175529

1.51 0.0012172 0.0164775

t Sa Sb

345 0.0134594 0.0697543

1317 0.0054462 0.0643536

5153 0.0022765 0.0377585

20365 0.0012172 0.0164775

Далее решались задачи о ламинарном течении в плоском канале и о течении жидкости по наклонной плоскости, основное различие между формулировками которых заключается в наличии у последней свободной поверхности. Решение задач показало, что относительная погрешность скорости достигает своего максимального значения вблизи твердых границ. Результаты решения этих задач, как и задачи о деформации эллипса, также свидетельствуют о первом порядке сходимости численного решения к точному.

В заключении параграфа приводятся результаты численного моделирования процесса падения круглой капли в бассейн с жидкостью той же плотности8. Результаты моделирования сравниваются с результатами автора вышеупомянутой работы, где данная задача решалась классическим методом сглаженных частиц на основе модели слабо-сжимаемой среды и с использованием отличного от применяемого в настоящей работе способа постановки граничных условий.

Метод сглаженных частиц является простым и эффективным средством получения качественных кинематических картин сложных течений с болыпи-

"Cueto-Felgueroso L. On the Galerkin formulation of the smoothed particle hydrodynamics method / L. Cueto-Felgueroso, I. Colominas, G. Mosqueira, F. Navarrina, M. Casteleiro // Int. J. Numer. Meth. Engng 2004 60 p. 1475-1512.

ми деформациями свободных границ. Однако, во многих задачах наибольший интерес представляет поле давления и гидродинамические нагрузки на твердые границы областей течения, расчет которых является одним из основных слабых мест метода.

Предлагаемые во втором параграфе модификации метода, позволяют стабилизировать процедуру вычисления поля давления и, как следствие, получить возможность определять гидродинамические нагрузки на твердые поверхности, что, в свою очередь, дает возможность моделировать процессы взаимодействия жидкости с погруженными телами.

При моделировании течений жидкости методом сглаженных частиц часто приходится сталкиваться с явлением, которое характеризуется образованием групп (кластеров) частиц по всей области расчета, что оказывает серьезное влияние как на вычисляемые кинематические, так и динамические характеристики изучаемых процессов. Виной тому - особенность используемых для расчета градиента давления функций ядра, значение первых производных которых стремится к нулю по мере приближения к центру области носителя (рис. 1, а). Это приводит к ослабеванию сил отталкивания между парами частиц по мере их сближения, обеспечивая благоприятные условия для их кластеризации.

Решением этой проблемы может стать использование для аппроксимации градиента давления такой функции ядра, поведение первой производной которой на всей области ее носителя будет монотонным, что, соответственно, обеспечит монотонное возрастание отталкивающих сил между парами частиц по мере их сближения.9 10

В связи с тем, что в настоящей работе для проведения численных расчетов используется сплайн 4-ой степени с радиусом носителя равным 5/2/г, для вычисления давления в работе предлагается функция ядра подобного вида:

60 f (5/2 - qf - (3/2 - q)\ 0 < g < 3/2 = (5/2-9)*, 3/2 <5/2;

- . - . . . (13)

>5/2,

На рисунке 1 представлено сравнение формы первых производных функции ядра Морриса (а), используемой в работе для всех расчетов, за исключением вычисления градиента давления, и новой функции (б).

Несмотря на то, что вычисление градиента давления на основе предлагаемой функции ядра позволяет регуляризовать расчетную "сетку" внутри области течения, во многих задачах возникают все же проблемы, связанные с

'Johnson G. R. SPH for high velocity impact computations / G. R. Johnson, R. A. Stryk, S. R. Beissel // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1996. 139. P. 347-373.

'"Desbrun M. Smoothed panicles: A new paradigm for animating highly deformable bodies / M. Desbnin, M. P. Cani. // In Computer Animation and Simulation. Springer-Verlag, 1996. P. 61-76.

Рис. 1. Сравнение первых производных функции ядра Морриса (а) и новой функции(б)

близким расположением частиц свободной поверхности к внутренним частицам среды, за счет недостаточного количества ближайших соседей у первых. Это приводит к осцилляциям давлений в приграничных областях (рис. 2, а).

Рис. 2. Поле давления: а) без использования потенциала взаимодействия, б) с использованием потенциала взаимодействия

С целью избежания подобных эффектов предлагается алгоритм корректировки свободной границы, заключающийся в добавлении в правую часть уравнений движения дополнительных сил отталкивания, действующих на частицы свободной поверхности. В работе предлагается использование потенциала упругих шаров'':

П(г) = ( ~ г°)2' г ^ Го; (14)

I 0, г > г0,

где Кг - коэффициент жесткости взаимодействующих упругих шаров (частиц жидкости), г - расстояние между ними, го - радиус действия потенциала.

Предложенный подход позволяет стабилизировать вычисления поля давления и получить достоверные кривые гидродинамических нагрузок. Для сравнения на рисунке 2 приведены кинематические картины течения и поле дав-

11 Берлин А. А. Имитация свойств твердых тел и жидкостей методами компьютерного моделирования / А. А. Берлин, Н. К. Балабаев // Соросовский образовательный журнал. 1997. 11. С. 85-92.

ления без использования и с использованием корректирующего алгоритма в одни и те же моменты времени.

В третьем параграфе представлены результаты расчетов задач, включающие картины поля давления и кривые гидродинамических нагрузок.

Первой рассматривается задача о колебаниях жидкости плотности 1кг/м3 в прямоугольном бассейне длины п. В начальный момент времени жидкость покоится и имеет форму свободной поверхности: у0 = 1+0.25соза;м, х € [0,7г]. Колебания жидкости происходят в поле силы тяжести с ускорением д = 1м/с2. На рисунке 3 приведены результаты сравнения хронограмм гидродинамических нагрузок на левую стенку бассейна, полученные методом сглаженных частиц (а), а также обобщенным методом естественных соседей (б, кривая 1) и комплексным методом граничных элементов (б, кривая 2).

мы гидродинамических нагрузок на левую стенку бассейна: а) метод КРН б) методы ОЫЕМ и КМГЭ

Результаты расчетов методами КМГЭ и СЫНМ рассматриваемой и последующих задач предоставлены авторами работ.12 13

Постановка следующей задачи отличается лишь уравнением свободной поверхности: «/о = 2+ Ысовжм, х е [0,7г]. На рисунке 4 представлено сравнение хронограмм гидродинамических нагрузок на левую стенку бассейна, полученных в ходе численных расчетов методом сглаженных частиц (а), обобщенным методом естественных соседей (б, кривая 1) и комплексным методом граничных элементов (б, кривая 2).

Начальные условия рассмотренной задачи, в отличие от рассмотренной ранее, способствуют формированию волновых образований, приводящих к возникновению режимов обрушения. При решении таких задач наблюдаются преимущества бессеточных методов перед традиционными. Как можно видеть из рисунка 4, после определенного момента времени, соответствующего моменту обрушения отраженной от правой стенки волны, расчет может быть

'-Стуколов С. В. Решение нелинейных волновых задач гидродинамики идеальной жидкости комплексным методом граничных элементов: автореф. дисс. канд. физ. - мат. наук. Кемерово. 1999. 24 с.

3Рейн Т. С. Численное моделирование движения вязкой несжимаемой жидкости со свободными границами обобщенным методом естественных соседей: автореф. дисс. канд. физ. - мат. наук. Кемерово. 2008. - 20 с.

возможен только при использование бессеточных методов: метода сглаженных частиц и обобщенного метода естественных соседей.

Рис. 4. Задача о колебаниях жидкости в прямоугольном бассейне при наличии режимов обрушения. Хронограммы гидродинамических нагрузок на левую стенку бассейна: а) метод 1БРН, б) методы СНЕМ и КМГЭ

В последнем параграфе второй главы представлены результаты моделирования процесса обрушения столба жидкости и последующего его течения по бассейну с сухим дном. Приведено сравнение результатов расчетов методом слаженных частиц с результатами, полученными обобщенным методом естественных соседей. Также приведено сравнение нагрузок на вертикальные стенки бассейна при различном количестве частиц, участвующих в расчетах.

Третья глава состоит из шести параграфов и целиком посвящена численному моделированию процессов взаимодействия жидкости с погруженными в нее телами различной формы и плотности. Несмотря на то, что большинство представленных задач обладают осевой симметрией, все задачи решаются в полной двумерной постановке.

В первом параграфе излагаются математические и вычислительные алгоритмы движения твердого тела в жидкости.

Во втором параграфе рассматривается специфика внедрения в матрицу СЛАУ для уравнения Пуассона на давление граничных условий Неймана на поверхности твердых тел квадратной формы.14

В третьем параграфе представлены результаты вычислительных экспериментов, в которых рассматриваются процессы всплытия плоских круговых цилиндров в бассейне, наполненном жидкостью плотности рж = 1000кг/м3. В экспериментах участвуют цилиндры, имеющие массовую плотность равную 0.5рж и 0.75рж. На рисунке 5 приведено сравнение картин течения в момент времени t = 0.108 с для цилиндра плотности 500кг/м3 при количестве используемых в расчетах частиц: 3478 (а), 6956 (б), 11574 (в), 17376 (г). Из рисунка можно сделать вывод о высокой степени совпадения картин течения,

l4Lee E.-S. Compensons of weakly compressible and truly incompressible algorithme for the SPH mesh free particle method / C. Moulinée, R. Xu, D. Violeau, D. Laurence, P. Stansby // Journal of Computational Physics. 2008. 227. P. 8417-8436.

полученные численным моделированием при различном количестве расчетных частиц.

' > м-»......................■ ^

О 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 Г^ 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12

Рис. 5. Сравнение картин течений для различного количества частиц, ръ = 500 кг/м3

Четвертый параграф посвящен моделированию процессов входа и погружения плоского цилиндра в бассейн с жидкостью. Рассматриваются цилиндры с круглой и квадратной формой основания плотности 500кг/м3.

На рисунке 6 представлены фрагменты течений в моменты времени 0.024 с (а), 0.072 с (б), 0.182 с (в), 0.3 с (г) в задаче о входе и погружении в жидкость плоского кругового цилиндра при использовании в расчетах 17905 частиц. Также проводились расчеты с 3535, 7125 и 11915 частицами, моделирующими жидкость, неподвижные твердые границы и поверхность твердого тела.

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0 12 . о 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12

Рис. 6. Задача о входе и погружении плоского цилиндра с квадратным основанием в бассейн с жидкостью

На рисунке 7 представлены зависимости положения центра масс цилиндра (а), скорости центра масс (б) и гидродинамической силы, действующей на

цилиндр (б), от времени. Кривая 1 получена для 3478, кривая 2 - для 6956, кривая 3 - для 11574 и кривая 4 для 17376 расчетных частиц.

а)

Рис. 7. Зависимость от времени положения центра масс цилиндра (а), скорости центра масс (б) и гидродинамической силы, действующей на цилиндр (в), ръ = 500 кг/м3

Точки минимума графика скоростей, очевидно, соответствуют экстремумам кривой положения центра масс цилиндра. В работе также приводятся таблицы, содержащие их числовые значения. Проводится сравнение результатов, полученных в ходе численных расчетов задачи с цилиндрами с круглым и квадратным основаниями.

В пятом параграфе рассматривается процесс несимметричного входа и последующего погружения в жидкость плоского цилиндра с квадратным основанием. Цилиндр имеет основание в форме квадрата, повернутого на угол 7г/6 относительно собственного центра масс, при условии что до поворота стороны цилиндра располагались параллельно осям координат. Изображения, иллюстрирующие течение и поле давления в моменты времени 0.024 с (а), 0.052 с (б), 0.192 с (в), 0.3 с (г) для 17905 частиц, представлены на рисунке 8.

1 "

I Р: 20

2

60 100 140 180

а)

в)

0.02 0.04 0.Ш

0.08 0.1 0.12

0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12

б)

г)

0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

Рис. 8. Задача о несимметричном входе и погружении плоского цилиндра с квадратным основанием в бассейн с жидкостью

В работе для каждой рассмотренной задачи, приводятся графики зависимостей от времени положения центра масс цилиндра, скорости центра масс и гидродинамических сил, действующих на цилиндр, полученные в ходе моделирования с различным количеством участвующих в вычислительных экспериментах частиц, на основании которых делается заключение о высокой степени их совпадения, а также о достоверности получаемых методом сглаженных частиц результатов.

В шестом параграфе рассматриваются задачи о входе и погружении круговых цилиндров'различной массы (плотности) в жидкость. Исследуются процессы волнообразования, определяются гидродинамические силы, действующие на цилиндры со стороны жидкости, нагрузки на твердые стенки бассейна.

На рисунке 9 приведено сравнение картин течения в момент времени t = 0.120 с, полученных в настоящей работе (а) с численными решениями методом С1Р|5(б) и результатами лабораторных экспериментов16(в). Начальным моментом времени считается момент касания цилиндром невозмущенной свободной поверхности жидкости в бассейне.

Рис. 9. Задача о входе и погружении в жидкость плоского кругового цилиндра плотности рь = 500кг/м3: а) результаты автора, б) результаты метода С1Р, в) лабораторные снимки

На рисунке 10 приведены хронограммы гидродинамических нагрузок (а) и уровень жидкости (б) на правой стенке бассейна: кривая 1 - рь = 0.25рж, кривая 2 - рь = 0.5рж и кривая 3 - рь = 0.75рж. Максимальные значения нагрузок на стенки бассейна соответствуют моментам наката на них волн. На рисунке 11 приведены зависимости от времени положения центра масс цилиндров (а) и гидродинамических сил, действующих на цилиндры (б). Использование модели несжимаемой жидкости для определения пиковых нагрузок на затупленное тело в момент его удара о поверхность жидкости, не позволяет получить достоверные результаты, ввиду бесконечной скорости распространения малых

15Zhu X. Application of the CIP Method to Strongly Nonlinear Wave-Body Interaction Problems / X. Zhu // Doctoral thesis for the degree of doktor ingenior. 2006.

'■'Greenhow M. Non-linear free surface effects: Experiments and theory / M. Greenhow, W. M. Lin, // Rep. No. 83-19, Dept. of Ocean Engineering, MIT, Cambridge, MA. 1983.

возмущений, однако, дальнейший процесс погружения описывается весьма хорошо17. Своих максимальных значений нагрузки на цилиндры достигают в моменты максимального их погружения в жидкость, минимальных значений - при максимальном подъеме.

Рис. 10. хронограммы гидродинамических нагрузок (а) и уровень жидкости (б) на правой стенке бассейна

400 -300 ■ F| 200 -100 -0 -

Рис. 11. Зависимость от времени положения центра масс цилиндров (а) и гидродинамической силы, действующей на цилиндры (б)

В заключении сформулированы основные результаты исследования:

1. Предложена новая полиномиальная функция ядра четвертого порядка, обладающая монотонной первой производной. Изложен алгоритм ее построения, обоснована целесообразность ее использования при решении задач с большими деформациями областей расчета.

2. Предложен способ корректировки свободной поверхности на основе потенциала парного взаимодействия. Добавление в правую часть уравнений движения Навье-Стокса дополнительной силы, действующей лишь на частицы свободной границы, и основанной на потенциале упругих

"Korobkin A.A. Initial stage of water impact / A.A. Korobkin, V.V. Pukhnachov // Ann. Rev. Fluid Mech. 1988. 20.

P. 159-185.

шаров позволяет стабилизировать расчеты, проводимые методом сглаженных частиц на основе схемы расщепления по физическим факторам и получить удовлетворительные графики гидродинамических нагрузок на твердые стенки области расчета.

3. Предложен алгоритм взаимодействия вязкой несжимаемой жидкости с абсолютно твердым телом.

4. На основе предложенных модификаций разработан алгоритм решения плоских задач динамики вязкой несжимаемой жидкости со свободными границами с возможностью моделирования процессов взаимодействия жидкости с абсолютно твердыми телами.

5. Показана эффективность предложенного алгоритма для решения задач динамики вязкой несжимаемой жидкости со свободными границами в полной нелинейной постановке на основе решения ряда тестовых и модельных задач. Проведено сравнение результатов численного моделирования задач методом сглаженных частиц с результатами других авторов, аналитическими, эталонными численными решениями, лабораторными экспериментами.

6. Проведены в полной нелинейной постановке вычислительные эксперименты по расчету задач о всплытии в жидкости плоского кругового цилиндра, а также о входе и погружении в жидкость цилиндров с различной формой основания в зависимости от варьируемых параметров.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Журналы, рекомендованные ВАК для представления основных научных результатов диссертации:

1. Afanas'ev К. Е. Calculation of hydrodynamic loads at solid boundaries of the computation domain by the ISPH method in problems with free boundaries / К. E. Afanas'ev, R. S. Makarchuk // Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. 2011. - Vol. 26. - № 5. - P. 447-464.

2. Афанасьев К. E. Численное моделирование течений жидкости со свободными границами методами SPH и MPS / К. Е. Афанасьев, А. Е. Ильясов, Р. С. Макарчук [и др.] // Вычислительные технологи. Спец. выпуск. -Новосибирск, 2006. - Т.П. - №9. - С. 26-44.

3. Афанасьев К.Е. Алгоритм поиска ближайших соседей в методе сглаженных частиц и его параллельная реализация / К. Е. Афанасьев, Р. С. Макарчук, А. Ю. Попов // Вычислительные технологии. Спец. выпуск. -Новосибирск, 2008. - Т.13. - С. 9-14.

Тезисы и материалы конференций:

4. Макарчук Р. С. Численное моделирование вязких задач гидродинамики методом сглаженных частиц (SPH) / Р. С. Макарчук // Материалы III Всероссийской научно-практической конференции "Информационные технологии и математическое моделирование". - Анжеро-Судженск. - 2004. - С. 82-84.

5. Макарчук Р. С. Решение нестационарных уравнений Навье-Стокса методом сглаженных частиц (SPH) / Р. С. Макарчук // Материалы V Региональной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых, посвященной 10-летию Новокузнецкого филиала-института Кемеровского государственного университета. - 2005. - С. 2022.

6. Макарчук Р. С. Метод сглаженных частиц (SPH) для решения задач со свободными границами / Р. С. Макарчук // Тезисы XI Международной научно-методической конференции "Новые информационные технологии в университетском образовании". - Кемерово. - 2006. - С. 285-287.

7. Макарчук Р. С. Численное моделирование течений жидкости со свободными границами методом сглаженных частиц (SPH) / Р. С. Макарчук // Материалы III международной летней научной школы "Гидродинамика больших скоростей и численное моделирование". - Кемерово. - 2006. -С. 423-431.

8. Макарчук Р. С. Применение метода ISPH для расчета поля давления в задачах гидродинамики со свободными поверхностями / Р. С. Макарчук // Тезисы VII Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (с участием иностранных ученых). - Красноярск. - 2006. - С. 23.

9. Макарчук Р. С. Моделирование течений жидкости со свободными границами методом ISPH / Р. С. Макарчук // Инновационные Недра Кузбасса. IT-технологии: сборник научных трудов. - Кемерово: ИНТ. - 2007. -С. 329-334.

10. Макарчук Р. С. Численное моделирование течений жидкости при наличии больших деформаций свободной поверхности методами частиц / Р. С. Макарчук // Сопряженные задачи механики реагирующих сред, информатики и экологии: Материалы Международной конференции. -Томск: Изд-во Том. ун-та. - 2007. - С. 121.

11. Afanasiev К. Е. Comparative analysis of the SPH and ISPH Methods / К. E. Afanasiev, R. S. Makarchuk, A. Yu. Popov // Computational science and high performance computing III. - Springer - 2008. - P. 206-223.

12. Макарчук P. С. Применение алгоритма регуляризации сетки для решения уравнения Пуассона в методе сглаженных частиц / Р. С. Макарчук // Тезисы докладов 3-й Всероссийской конференции с участием зарубежных ученых "Задачи со свободными границами: теория, эксперимент и приложения". - Бийск. - 2008. - С. 66-67.

13. Макарчук Р. С. Модифицированное уравнение Пуассона для методов сглаженных частиц / Р. С. Макарчук // Тезисы докладов IX всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям "YM 2008". - Кемерово. - 2008. - С. 22-23.

14. Макарчук Р. С. Расчет поля давления в задачах гидродинамики со свободными границами на основе бессеточных аппроксимаций / Р. С. Макарчук // Материалы 15 Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых. - Кемерово-Томск. - 2009. - С. 611-612.

15. Макарчук Р. С. Вычисление гидродинамических нагрузок на твердые стенки области методом сглаженных частиц в задачах со свободными границами / Р. С. Макарчук // Тезисы международной конференции "Лав-рентьевские чтения по математике, механике и физике". - Новосибирск.

- 2010. - С.127-128.

16. Афанасьев К. Б. Вычисление гидродинамических нагрузок методом ISPH в задачах со свободными границами при наличии режимов обрушения / К. Е. Афанасьев, Р. С. Макарчук // Избранные проблемы гидродинамики больших скоростей: Сборник трудов научно-практической конференции "Современные проблемы механики сплошных сред". - Чебоксары. - 2011. - С. 34-45.

17. Afanasiev К. Е. Hydrodynamic Loads Computation Using the Smoothed Particle Methods / К. E. Afanasiev, R. S. Makarchuk, A. Yu. Popov // Hydrodynamics - Optimizing Methods and Tools; editors H. E. Schulz, A. L. A. Simoes and R. J. Lobosco, InTech. - 2011. - P. 51-68. ISBN 978-953307-712-3.

18. Макарчук P. С. Расчет гидродинамических нагрузок в задачах со свободными границами методами SPH и ISPH / Р. С. Макарчук, А. Ю. Попов // Тезисы докладов Второй Всероссийской школы молодых ученых-механиков "Актуальные проблемы механики". X Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики. - Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. - 2011. - С. 69-70.

19. Макарчук Р. С. Численное моделирование процесса выхода плоского цилиндра из бассейна с жидкостью конечной глубины / Р. С. Макарчук // Информационно-телекоммуникационные системы и технологии (ИТСиТ-2012): Материалы Всероссийской молодежной конференции. -Кемерово. - 2012. - С. 230-231.

20. Макарчук Р. С. Исследование процесса погружения плоского цилиндра в однородную несжимаемую жидкость методом сглаженных частиц / Р. С. Макарчук // Современные методы механики: Материалы международной молодежной конференции. - Томск.: Изд-во Том. ун-та. - 2012.

- С. 34-35.

Подписано в печать 10.10.2012 г. Формат 60х841/1в Печать офсетная. Печ. л. 1,5 Тираж 100 экз. Заказ № 69

Кемеровский государственный университет 650043, г. Кемерво, ул. Красная, 6. Отпечатано в типографии издательства "Кузбассвузиздат" 650043, г. Кемерово, пр-т Советский 606.

Введение

Глава 1. Метод сглаженных частиц

§1. Основные уравнения динамики жидкости

§2. Основы метода сглаженных частиц.

2.1. Усреднение функции по Стеклову.

2.2. Первая производная функции.

2.3. Функция ядра.

2.4. Дискретизация области.

§3. Дискретные уравнения динамики сплошной среды.

3.1. Плотность и уравнение неразрывности.

3.2. Уравнения движения Навье-Стокса.

3.3. Вторая производная. Оператор Лапласа.

3.4. Интегрирование по времени.

3.5. Радиус сглаживания.

§4. Граничные условия.

4.1. Твердая граница.

4.2. Свободная граница.

4.3. Вычисление гидродинамических нагрузок.

§5. Алгоритм расчета методом сглаженных частиц

Глава 2. Тестирование метода

§ 1. Решение тестовых задач. Сходимость.

1.1. Задача о деформации жидкого эллипса.

1.2. Задача о ламинарном течении жидкости в плоском канале

1.3. Задача о течении жидкости по наклонной плоскости.

1.4. Задача о падении капли в жидкость.

§2. Алгоритмы стабилизации вычислений

2.1. Алгоритм регуляризации расчетной сетки.

2.2. Использование потенциала парного взаимодействия для корректировки свободной поверхности.

§3. Задачи на вычисление давления и гидродинамических нагрузок

3.1. Задача о колебаниях жидкости в прямоугольном бассейне

3.2. Задача о колебаниях жидкости в прямоугольном бассейне при наличии режимов обрушения.

§4. Задача о разрушении плотины.

4.1. Моделирование турбулентных режимов течения.

4.2. Постановка задачи

4.3. Результаты вычислительных экспериментов.

Глава 3. Взаимодействие жидкости с погруженным телом

§ 1. Уравнения движения погруженного тела в жидкости.

§2. Граничные условия на поверхности твердого тела.

§3. Задача о всплытии плоского цилиндра с круглым основанием в бассейне с жидкостью.

3.1. Постановка задачи

3.2. Результаты расчетов.

§4. Задача о входе плоского цилиндра в бассейн с жидкостью.

4.1. Постановка задачи

4.2. Вход в жидкость цилиндров с различными формами оснований. Результаты расчетов.

§5. Задача о несимметричном входе плоского цилиндра с квадратным основанием в бассейн с жидкостью.

5.1. Постановка задачи

5.2. Результаты расчетов.

§6. Вход в жидкость плоских круговых цилиндров различной массы

6.1. Постановка задачи

6.2. Результаты расчетов.

Современную науку невозможно себе представить без использования мощнейшего аппарата вычислительной математики, который с каждым годом приобретает все большую популярность. Непрерывный рост производительности компьютерной техники, а также ее доступность для широкого круга исследователей, обуславливает постоянное увеличение общей доли вычислительного эксперимента в научных исследованиях по сравнению с натурными или лабораторными испытаниями. Разумеется, вычислительный эксперимент не претендует на исключительную роль в научных исследованиях, однако, он позволяет значительно снизить потребность в проведении экспериментов, что неизбежно влечет за собой сокращение как временных, так и денежных затрат на научные исследования.

Рост производительности компьютерной техники сказывается не только на экстенсивном использовании вычислительных технологий (уменьшение шага расчетной сетки, ускорение расчетов благодаря использованию вычислительных мощностей множества ядер или процессоров - параллельное программирование и др.), но и на повышении их качественных характеристик: разрабатываются новые численные методы, постоянным модификациям подвергаются уже известные и широко используемые, расширяется сфера их применения и т.д.

Применение новейших методов позволяет моделировать сложные задачи гидродинамики, включая задачи с большими деформациями свободных и контактных границ между жидкостями и погруженными телами, задачи с межфазными переходами, турбулентные течения, кавитационные обтекания тел, быстропротекающие процессы, такие как подводные взрывы и т.п.

К одному из наиболее сложных для моделирования и представляющих большой практический интерес классов задач гидродинамики относятся задачи со свободными границами. В качестве примеров, где встречаются такого рода задачи, можно привести такие сложные физические процессы как накат волны на наклонный берег, взаимодействие волн с береговыми и донными сооружениями, погруженными в жидкость телами: задачи глиссирования, посадки гидросамолетов на поверхность водоемов и т.д. Практический интерес в таких задачах представляют как кинематические характеристики течений -поле скоростей, положение свободной границы, так и динамические - поле давления, величины гидродинамических нагрузок на твердые границы области течения или погруженные тела.

Исследованию процессов взаимодействия твердых и упругих тел с жидкостью посвящены работы многих отечественных и зарубежных ученых: Л.И. Седова [1], Г.В. Логвиновича [2], В.В. Пухначева и A.A. Коробкина [3], А.Г. Терентьева [4, 5], Э.И. Григолюка и А.Г. Горшкова [6], М.В. Норки-на [7], В.И. Юдовича [8], Г.Г. Шахверди [9], R. Wagner [10], R. Zhao и О. Faltinsen [11], M. Greenhow и W.M. Lin [12], X. Zhu [13], S. Shao [14] и др.

При математическом моделировании подобных задач используется модель сплошной среды, для описания движения которой традиционно применяют два подхода: Эйлера и Лагранжа. Далее рассмотрим численные методы решения задач гидродинамики, основанные на этих подходах, их преимущества и недостатки.

Методы, основанные на подходе Эйлера, используют стационарную, чаще всего регулярную сетку, сквозь которую движутся частицы (малые объемы) сплошной среды, а все физические характеристики определяются в узлах данной сетки, т.е. они не связаны с конкретными материальными частицами, а в каждый момент времени являются характеристиками разных частиц, находящихся в данный момент в данной точке пространства. Методы этого класса позволяют рассчитывать задачи с большими деформациями и чаще всего применяются для задач гидро- и газодинамики. Решения, полученные с их помощью, обладают высокой точностью, кроме того они хорошо изучены и имеют проработанное теоретическое обоснование. Сложность применения методов данного класса к решению задач со свободными границами является заранее неизвестное положение свободной границы и вытекающие отсюда проблемы с постановкой граничных условий.

Методы, основанные на Лагранжевом подходе, используют подвижную сетку, которая представляет собой дискретное представление материальной среды. Узлы такой сетки жестко связаны ребрами и вместе с ними образуют ее ячейки. В этом случае сетка двигается и деформируется вместе со сплошной средой, при этом связи узлов сохраняются. Физические характеристики, определяемые в узлах сетки, являются характеристиками соответствующих частиц материальной среды. В отличие от эйлеровых, данные методы позволяют легко отслеживать свободные границы и границы раздела, но также имеют и недостатки, наиболее значительный из которых - невозможность рассчитывать задачи с большими деформациями расчетной области, поскольку они приводят к значительным деформациям расчетной сетки вплоть до пересечений границ (ребер) ячеек, что, в свою очередь, влечет за собой аварийное завершение программы.

Существуют также методы, основанные на совместном использовании обоих подходов, разрабатываемые с целыо устранения вышеупомянутых недостатков.

Самыми распространенными и хорошо изученными на данный момент являются методы конечных разностей (Finite Difference Methods, FDM) [15-18]. Они основаны на эйлеровом подходе, а для получения разностных схем решаемых дифференциальных уравнений используют разложение характеристик, входящих в эти уравнения, в ряды Тейлора. На данный момент существует огромное разнообразие разностных схем, с их помощью решено и до сих пор решается большое количество прикладных задач, хорошо проработана теория, изучены аппроксимационные характеристики схем, их устойчивость и сходимость.

К разряду эйлеровых также относится метод конечных (контрольных) объемов (Finite Volume Method, FVM) [19,20], основанный на интегральных законах сохранения. На первом этапе для любого конечного объема формулируется закон сохранения. Затем расчетная область покрывается сеткой, в узлах которой будут рассчитываться физические характеристики моделируемого процесса. Далее выбираются контрольные объемы, чаще всего, с центрами в узлах расчетной сетки и границами, проходящими через центры ребер ячеек сетки. Для каждого полученного контрольного объема записывается дискретный аналог закона сохранения на основе баланса всех потоков через границы рассматриваемого объема. Метод конечных объемов в большинстве случаев позволяет получать консервативные схемы, допускает дискретизацию расчетных областей со сложной геометрией, а также позволяет строить более точные схемы вблизи границ области по сравнению с методами конечных разностей. Эти достоинства метода обусловлены возможностью использовать нерегулярные сетки, равно как и контрольные объемы произвольной формы. Отличительной особенностью данного метода является то, что законы сохранения применяются на этапе построения численных схем, а не на более раннем этапе вывода дифференциальных уравнений, как, например, в методах конечных разностей. Кроме того, физические законы сохранения выполняются не в предельно малых объемах (частицах) среды, а в конкретных конечных подобластях.

Для отслеживания свободной поверхности или контактных границ метод конечных объемов может комбинироваться с методом Volume of Fluid (VOF). Метод VOF был разработан в Национальной лаборатории Лос-Аламоса (США) в конце 70-х - начале 80-х годов [21]. Одна из главных особенностей метода - возможность расчета течений в многосвязных областях с наличием разрывов характеристик и больших деформаций свободной поверхности. В данном методе в качестве маркера, позволяющего определять положение свободной поверхности, служит функция объемной концентрации среды в ячейке [22].

В середине 50-х годов появился метод частиц в ячейках (Particle-in-Cell, PIC), разработанный группой ученых во главе с Харлоу [23] также в лаборатории Лос-Аламоса. Метод сочетает в себе оба подхода к описанию движения сплошной среды - существует как неподвижная эйлерова сстка, так и набор движущихся сквозь нее лагранжевых частиц. На эйлеровом этапе рассчитываются предварительные значения скоростей с учетом лишь вклада давления, затем, на лагранжевом этапе, рассматривается поток частиц через границы ячеек и, таким образом, учитывается вклад конвективных членов [20,23,24]. Давление вычисляется из уравнения состояния. Метод предназначен для моделирования течений сжимаемой среды, однако, в силу постоянства массы частиц, уравнение неразрывности (сохранения массы) во внимание не принимается. Несмотря на то, что изначально метод был разработан для решения уравнений Эйлера, он также позволяет решать уравнения движения при наличии вязкого трения. В зависимости от решаемой задачи в уравнения также можно включить и искусственную вязкость. Кроме того, расчеты можно проводить в любой ортогональной криволинейной системе координат [23]. Метод позволяет рассчитывать многофазные течения без каких-либо ограничений на степень деформации границ раздела и свободных поверхностей.

Несмотря на то, что метод частиц в ячейках позволил значительно расширить класс моделируемых численными методами физических явлений, он не был свободен от недостатков. В частности, результаты расчетов, полученные с его помощью при относительно малом числе расчетных частиц были неточны - наблюдались значительные осцилляции гидродинамических величин. Использование же в расчетах большего числа частиц оказывалось неразумным для ЭВМ того времени. В связи с этим были разработаны экономичные модификации метода, а именно метод жидкости в ячейках (Fluid-in-Cell, FLIC) [25] и метод крупных частиц [26]. Упомянутые методы являются весьма схожими и на эйлеровом этапе не отличаются от метода Харлоу. На лагранжевом же этапе вместо перемещения дискретного набора частиц используется поток массы через границы ячеек. Еще одна модификация - метод Fluid-Implicit-Particle (FLIP) [27], представляющий собой обобщение метода PIC на случай подвижной адаптивной эйлеровой сетки в целях повышения локальной точности решения. Наиболее полный материал по методам частиц в ячейках, содержащий как математические основы метода, так и конкретные его приложения в современных расчетах, включая коды программ на языке Фортран можно найти в монографии [24]. Хороший обзор метода PIC, его модификаций и приложений содержится также в работе [28].

Для расчета течений несжимаемой жидкости со свободными границами в 1965 году, также под руководством Харлоу, был создан метод маркеров и ячеек (Marker-and-Cell, MAC) [29]. В отличие от метода PIC частицы здесь в расчете физических характеристик не участвуют, представляя собой лишь маркеры свободной границы. В методе применяется схема расщепления, а для определения давления необходимо решать уравнение Пуассона. Схема расщепления метода MAC очень схожа с проекционной схемой Чорина [30]. Позднее появились модификации метода, такие как Simplified MAC (SMAC) [31], Stanford-University-Modified MAC (SUMMAC) [32], Semi-Implicit MAC (SIMAC) [33], MAC-Reynolds-Low (MACRL) [34] и др.

Метод функций уровня (Level Set Method) был предложен Osher и Sethian в 1988 году [35]. В качестве маркера свободной поверхности или границы раздела вместо дискретного набора частиц служит линия уровня некоторой функции. Достоинством метода является простота описания различного рода кривых, прямое вычисление геометрических характеристик свободных поверхностей и границ раздела - кривизны, касательной, нормали и т.д. Кроме того, применение метода к решению трехмерных задач не составляет каких-либо дополнительных трудностей. Подробное описание метода Level Set можно найти в монографиях [36,37].

Начиная с 50-х годов прошлого века значительное распространение получил метод конечных элементов (Finite Element Method, FEM) [38-41]. Расчетная область в МКЭ представляет собой сетку, узлы которой сохраняют между собой жесткие связи и двигаются вместе с материальной средой, а ячейки сетки в методе принято называть элементами. Его достоинства заключаются в легком внедрении граничных условий, достаточно высокой точности и возможности проследить всю эволюцию свободной границы. К достоинствам можно также отнести наличие проработанной теоретической базы, большое количество доступной литературы как по теории метода, так и по его приложениям, а также широкий спектр решаемых им задач. Основной недостаток, как и у других сеточных лагранжевых методов - невозможность проведения расчетов в областях со сложным поведением свободной поверхности в силу перехлеста границ ячеек расчетной сетки за счет сильных деформаций расчетной области. Наиболее полное описание метода и его приложений, как к задачами упругости, так и к задачам гидродинамики, можно найти в 3-х томной монографии Зенкевича [42-44].

Известное распространение также получили метод граничных элементов (Boundary Element Method, BEM) [45-47] и комплексный метод граничных элементов [48,49]. Удобство использования данных методов обусловлено тем, что конечноэлементной дискретизации подвергается лишь граница расчетной области, поэтому такие элементы называются граничными. При этом, в любой точке области решение может быть получено по значениям на границе. Данные методы, однако, обладают все тем же недостатком - невозможность расчета задач с сильными деформациями границы расчетной области.

Метод Arbitrary Lagrangian-Eulerian (ALE) [50], как и ранее рассмотренные методы типа PIC и MAC, относится к комбинированным лагранжево-эйлеровым методам, что напрямую следует из его названия. В данном методе используется сетка, которая может двигаться произвольно, т.е. она не остается фиксированной, как эйлерова сетка, но и не подчиняется законам движения лагранжевой сетки, как, например, в методе конечных элементов, откуда и слово "произвольный" (arbitrary) в названии метода. Алгоритм метода разбивается на три основных этапа [51]: 1 - перемещение сетки; 2 -перестройка сетки; 3 - интерполяция значений со старой сетки на новую. Удобство данного метода заключается в том, что можно перестраивать сетку лишь в тех местах, где это необходимо, например, там, где лагранжева сетка сильно деформирована, что в свою очередь могло бы повлиять на точность получаемых результатов, либо вообще способствовать аварийному завершению работы алгоритма. Недостатком метода является наличие процедуры интерполяции, которая способствует сглаживанию результатов. Кроме того, для отслеживания свободных поверхностей и границ раздела типа "жидкость-жидкость "жидкость-тело сетка в методе ALE вблизи них должна вести себя подобно обычной лагранжевой сетке, что в свою очередь приводит к общему недостатку сеточных лагранжевых методов - перехлесту границ элементов. Данный метод часто используется для решения задач о взаимодействии жидкости с погруженными телами.

Обозначенные недостатки сеточных методов, в особенности методов лагранжевой природы, привели к появлению так называемых бессеточных методов, которые в последнее время получают все большее распространение. Несмотря на употребляемый термин, следует, тем не менее, понимать, что не все методы, относящиеся к классу бессеточных, вообще не используют сетку при расчетах. Поскольку строгого, устоявшегося определения бессеточных методов нет, будем следовать терминологии Лью [52] и определять бессеточные методы как методы, не требующие использования связной сетки, по крайней мере, для построения функций формы (например, в методе конечных элементов для данной процедуры обязательно используется сетка). К таковым относятся бессеточные методы, основанные на слабой форме уравнений, поскольку для ее интегрирования все же требуется наличие сетки. Идеальным же требованием к бессеточному методу является отказ от сетки на любом этапе численного решения задачи. К данному классу относятся методы, использующие дифференциальную форму уравнений механики жидкости.

Основное отличие бессеточных методов от классических лагранжевых состоит в том, что сетка строится на каждом временном шаге по новому набору узлов. Это означает, что, по ходу проведения вычислений, узлы области расчета могут перемещаться свободно, в силу отсутствия между ними жестких топологических связей. Такой подход приводит к ряду преимуществ бессеточных методов перед традиционными сеточными при решении задач с большими деформациями расчетных областей:

- отсутствие необходимости в применении сложных и ресурсоемких алгоритмов адаптации сетки, с целью избежания самопересечения ее ребер, что в обычных случаях приводит к аварийному завершению расчетов, а также необходимости использования стандартной в таких случаях процедуры интерполяции, результатом которой является неизбежное понижение точности результатов.

- возможность рассчитывать задачи с разрывами характеристик с заведомо более высокой точностью, в силу того, что поверхность разрыва не должна проходить строго по границам элементов, как того требуют методы конечных элементов.

- возможность использования простых адаптивных процедур добавления и удаления узлов в локальных областях, поскольку в бессеточных методах такая процедура не влечет за собой нарушения связности сетки.

Далее более подробно рассмотрим основные особенности наиболее распространенных численных методов, относящихся к классу бессеточных.

Метод Moving Least Squares (MLS) был предложен в работе Lancaster и Salkauskas [53]. Аппроксимация функции в точке находится путем минимизации функционала, представляющего собой сумму взвешенных квадратов отклонений значений аппроксимированной функции от точных значений этой функции в узлах сетки. В классическом методе наименьших квадратов в качестве весовой функции используется функция-константа равная 1, в методе MLS - функция, имеющая форму гауссовой кривой и обладающая компактным носителем. Глобальная аппроксимация функции получается путем перемещения точки максимума весовой функции по точкам аппроксимации в пределах расчетной области. Эта особенность метода добавила к названию метода наименьших квадратов слово "перемещение" (moving). Компактность носителя весовой функции позволяет использовать для аппроксимации функции в точке лишь ближайшие узлы, а ее форма дает возможность по-разному оценивать вклад в аппроксимацию различных узлов. MLS не является методом численного моделирования физических процессов, а лишь способом построения функций формы, весьма распространенным во многих бессеточных методах, в частности, MLSPH, DEM, EFG, которые будут рассмотрены ниже. Основной недостаток заключается в том, что функции формы, построенные на основе метода MLS, не удовлетворяют условию Кронекера (см. 2.3.), что является причиной общей для всех методов, построенных на MLS, проблемы - сложности внедрения главных граничных условий, поскольку значения аппроксимированной функции не совпадают с точными значениями даже в узловых точках. Существует также метод MLS для комплексных переменных [54].

Разумеется, метод MLS, несмотря на довольно широкое его использование при построении функций формы в бессеточных методах, не является единственным инструментом для этих целей. Liu и Gu [55] предложили новый численный метод - метод точечной интерполяции (Point Interpolation Method, PIM), использующий слабую форму уравнений, процедура построения функций формы в котором отличается от MLS. Новая процедура устраняет принципиальный недостаток метода MLS - нарушение условия Кронекера. Другим отличием является то, что размер полиномиального базиса (количество одночленов в базисе) для метода PIM должен соответствовать количеству точек в области-носителе, на которой строится функция формы. К общим недостатком процедур MLS и PIM относится необходимость обращения, во многих случаях, вырожденных матриц.

Как уже было сказано ранее, бессеточные методы, основанные на слабой форме уравнений, требуют для целей интегрирования построения глобальной сетки на всей расчетной области, что является существенным недостатком этого класса методов. С целью его устранения метод точечной интерполяции был модифицирован для локальной слабой формы уравнений [56], что подразумевает построение сетки интегрирования лишь в малой подобласти расчетной области. Разумеется, этот процесс является значительно менее трудоемким. Далее будут рассмотрены другие методы, также основанные на локальной слабой форме уравнений.

Несмотря на удобство использования полиномиальных базисов в методе PIM, матрица, полученная в ходе построения интерполяции и требующая последующего обращения, может оказаться вырожденной, что является принципиальной проблемой, не позволяющей продолжить процесс вычислений. В связи с этим, было предложено [57] вместо полиномиальных базисных функций использовать радиальные, т.е. зависящие не от координат узлов, а лишь от расстояния между ними. Использование радиальных базисных функций приводит к симметричной матрице, всегда обратимой. Модификация метода PIM, использующая радиальные базисные функции получила название RPIM (Radial PIM).

Ранее было сказано, что методы, построенные на базе граничных интегральных уравнений (МГЭ, КМГЭ), имеют ряд преимуществ перед методами конечных элементов. Идея использования граничных интегральных уравнений для построения новых методов, по аналогии с методами граничных элементов, привела к появлению метода граничной точечной интерполяции (Boundary PIM) [58]. Как следует из названия, для построения функций формы используется процедура метода PIM, а дискретизации, как и в МГЭ, подвергается лишь граница области расчета.

Вышеизложенные методы построения функций формы не учитывают локальные особенности решения, которые, во многих случаях, могут быть заранее известны: поверхности разрыва, области с большими градиентами искомых характеристик и т.д. Решение данной проблемы - использование методов класса PUM (Partition of Unity Methods) [59,60] и hp-clouds [61]. Функции формы в упомянутых методах строятся на основе произведения базисных функций, представляющих собой разложение единицы, а также дополнительных функций, называемых внешним базисом. Он может служить для повышения степени получаемых функций формы, либо учитывать локальный характер решения, путем включения в базис специальных функций, например, гармонических (в случае решения уравнения Лапласа), Хевисайда (в случае разрывных характеристик) и т.д. Положительной чертой такого подхода является использование внешнего базиса лишь в некоторых подобластях расчетной области - там где это необходимо. Еще одно важное достоинство этих подходов - нет необходимости в обращении матриц большой размерности, однако, общий объем памяти, необходимой для хранения всех переменных, увеличивается за счет дополнительных неизвестных в узловых точках, необходимых для построения внешнего базиса.

В 1992 году Nayroles, Touzot и Villon [62] разработали новый метод, названный ими Diffuse Element Method (DEM), путем обобщения метода конечных элементов. В основу была положена идея о расширении понятия элемента, который стал трактоваться как некоторая подобласть вблизи рассматриваемого узла (отсюда слово "размытый" (diffuse) элемент в названии метода), а для построения функций формы на элементе-подобласти вместо стандартных для МКЭ процедур использовать уже выше рассмотренный метод наименьших квадратов с весовой функцией, имеющей компактный носитель. Новое понятие элементов допускает наличие между ними непустых пересечений.

Классический метод конечных элементов, по сути, является частным случаем DEM, если весовую функцию в методе наименьших квадратов выбирать постоянной на элементе. Для интегрирования слабой формы в методе используется связная сетка.

Belytschko, Lu и Gu [63] в 1994 году внесли ряд изменений в концепцию DEM, назвав новый метод Element Free Galerkin (EFG). В методе EFG сохраняются все достоинства метода DEM, а основные его отличия от предшественника заключаются в способе вычисления производных, корректной процедуре внедрения главных граничных условий на основе метода множителей Лагранжа и в использовании процедуры ортогонализации вместо процедур обращения матриц большой размерности в каждом узле расчетной области.

Выше, при рассмотрении метода PIM, было отмечено, что использование локальной слабой формы дает огромные преимущества, которые заключаются как в простоте реализации алгоритма, так и в последующих временных затратах на вычисления. Метод Meshless Local Petrov-Galerkin (MLPG), предложенный Atluri и Zhu [64], как видно из названия, использует локальную форму метода Петрова-Галеркина. MLPG является скорее методологией, нежели численным методом математического моделирования. При соответствующем выборе тестовых и пробных функций данная методология приводит к различным бессеточным методам, в том числе и ко многим рассмотренным выше [65].

В бессеточном методе конечных элементов [66] и методе естественных соседей [67] для интерполяции функций, входящих в решаемую систему уравнений, используются функции формы Лапласа и Сибсона, базирующиеся на понятии естественных соседей, определяемых с помощью диаграмм Вороного Данные методы обладают всеми преимуществами классического метода конечных элементов: простота внедрения граничных условий, согласованность элементов (межэлементная непрерывность функций формы), стандартная процедура построения функций формы, но, одновременно с этим, дают возможность рассчитывать задачи с большими деформациями границ расчетной области даже после нарушения ее связности. Такие преимущества методов объясняются тем, что для построения функций формы необходима информация лишь о положении узлов, но не о связях между ними. Тем не менее, для интегрирования слабой формы, а также для определения узлов интерполяции требуется сетка (диаграмма Вороного либо триангуляция Делоне), что является алгоритмически сложным и ресурсозатратным процессом, особенно в трехмерном случае. Численному моделированию течений жидкости со свободными границами методом естественных соседей посвящены работы [68-71].

В основе метода частиц Франка [72] лежит принцип наименьшего принуждения Гаусса. Область расчета представляется набором частиц, а функции формы строятся на прямоугольной фоновой сетке на основе линейной комбинации B-сплайнов. Метод позволяет рассчитывать задачи с большими деформациями границ расчетной области, не требователен к ресурсам в случае численного моделирования пространственных задач. Недостаток метода состоит в том, что в решаемых уравнениях давление в явном виде не присутствует, что не позволяет рассчитывать гидродинамические нагрузки.

При составлении обзора бессеточных методов использовались материалы работ [52,65,73-75].

Особое положение среди бессеточных методов занимает метод сглаженных частиц (Smoothed Particle Hydrodynamics, SPH) и его более поздние модификации (MLSPH, RKPM, MPS, ISPH и др.), рассмотрению которого будет посвящена оставшаяся часть обзора.

Предшественником метода сглаженных частиц считается метод Particle-and-Force (PAF), разработанный, как и многие из упомянутых выше методов, в лаборатории Лос-Аламоса [76] под руководством Харлоу в 1961 году. Метод не требует использования связной сетки ни на одном из этапов решения задач. Сплошная среда представляется набором частиц, между которыми действуют силы парного взаимодействия. Закон сохранения массы выполняется точно, в виду постоянства массы каждой отдельной частицы во времени. За счет симметричности парных взаимодействий (третий закон Ньютона) полный импульс системы также сохраняется. Для постановки условий на твердой границе используется набор частиц и силы отталкивания. Такой подход к постановке граничных условий стал позднее классическим для метода сглаженных частиц и будет рассмотрен в работе более подробно (см. 4.1.). Радиус взаимодействия частиц ограничен, а давление рассчитывается из уравнения состояния. Все эти идея позднее легли в основу метода БРН.

Метод 8РН был предложен в 1977 году учеными университета Монаша (г. Мельбурн, Австралия) Робертом Джингольдом и Джозефом Монаганом [77], а также независимо от них ученым Колумбийского университета (г. Нью-Йорк, США) Леоном Льюси [78].

Первоначально сфера применения метода была ограничена задачами космологии и астрофизики, однако, позже она была значительно расширена, в чем немаловажную роль сыграл один из его авторов - Джозеф Монаган, внесший огромный вклад в дальнейшее развитие метода, адаптировав его для применения в численных расчетах широкого круга задач, предложив множество модификаций, позволивших улучшить его аппроксимационные характеристики и устойчивость, проведя расчеты множества задач из различных областей. Во многом, именно работы Монагана сделали метод сглаженных частиц очень популярным инструментом среди ученых и инженеров.

В 1994 году группа ученых во главе с Монаганом применила метод сглаженных частиц для расчета течений жидкости со свободными границами [79]. В основу легла идея представления несжимаемой жидкости слабосжимаемой средой с подходящим уравнением состояния (в данной работе применялось уравнение состояния в форме Тэта [80]). Таким образом рассматривалась система уравнений движения, характерная для задач газовой динамики. Работа содержала результаты расчетов тестовых задач, а также их сравнение с аналитическими решениями. Возможности метода были продемонстрированы на решении нескольких реальных задач, одна из которых, задача о разрушении плотины, стала ныне уже классической при тестировании методов частиц.

В 1995 году Монаган и Кохарьян [81] опубликовали результаты расчетов задачи о распространении звуковой волны в газе со взвесью. В работе были описаны модификации стандартного метода сглаженных частиц, которые позволили применить его для расчета такого рода задач, что положило начало дальнейшему развитию метода в качестве инструмента численного моделирования многофазных течений. Хотя на тот момент их исследования не включали в себя расчеты задач с четкой границей раздела двух фаз, уже в 1996 вышли работы, посвященные гравитационным потокам, где рассматривалось взаимодействие двух жидкостей, имеющих различную массовую плотность [82,83]. Адаптированный метод позволил проводить расчеты задач с отношением плотностей рассматриваемых сред лишь порядка 0.5, однако в дальнейшем, достигнутые результаты были значительно улучшены. В работах [84-87] излагаются модификации метода, позволившие эффективно применять его для задач с отношением плотностей рассматриваемых сред порядка 0.001. Значительные успехи в данном направлении были достигнуты Мюллером с коллегами. В работе [88] приводятся результаты моделирования многофазных течений, включающих поверхностное натяжение и межфазные переходы. Работа [89] посвящена моделированию многофазных течений методом сглаженных частиц на основе схемы расщепления по физическим факторам.

Еще одно из нынешних приложений метода - магнитная гидродинамика, для решения задач которой метод впервые был применен в оригинальной работе Джингольда и Монагана [77], где метод тестировался на задачах с известными аналитическими решениями, использующих политропные модели звезд в однородном магнитном поле. Филлипс в работе [90] применил метод к решению задач о формировании звезд в неоднородном магнитном поле. В работе [91] изучается распространение ударных волн в проводящей жидкости. В серии работ [92-94] можно найти подробное описание метода для задач магнитной гидродинамики.

Для решения задач механики деформируемого твердого тела метод сглаженных частиц был впервые применен Либерским и др. в работе [95], за которой последовало множество других работ, посвященных деформациям и разрушениям твердых тел при высокоскоростных ударах, включающих как решение двумерных, так и трехмерных задач [96-100], а также ряд работ отечественных авторов [101-103].

Рассматривая метод сглаженных частиц не с точки зрения метода математического моделирования задач гидродинамики, а с точки зрения численного метода решения дифференциальных уравнений, Пабло Лагуна [104] применил его для решения уравнений параболического и гиперболического типов.

В последнее время метод сглаженных частиц стал широко применяться для расчета турбулентных течений [105,106], решения задач релятивистской механики [107,108], решения задач о подводных взрывах [109,110], о течении жидкости сквозь пористые материалы [111-113] и т.д.

В силу того, что любой численный метод обладает как определенным набором собственных недостатков, так и рядом преимуществ перед другими методами, одним из направлений развития методов, улучшения их эффективности, расширения сферы их применения является совместное их использование при решении конкретной задачи. В связи с этим, появился ряд работ, использующих в расчетах гибриды методов, основанных на методе сглаженных частиц, с другими численными методами: MPS-FEM [114], MPS-FVM [115], SPH-Level Set [116], MPS-ALE [117] и т.д. Полунеявный метод движущихся частиц (Moving Particle Semi-Implicit, MPS), разработанный группой ученых из Японии во главе с Косидзукой [118,119], имеет ряд отличий от классического метода сглаженных частиц: для интегрирования по времени уравнений f движения применяется схема расщепления по физическим факторам, вместо физической плотности вводится понятие количественной плотности частиц, используется отличная от классической формула аппроксимации градиента функции. Тем не менее, базисом для построения метода MPS служит метод сглаженных частиц. Существует также ряд других методов, основанных на идеях метода сглаженных частиц.

К настоящему моменту метод сглаженных частиц оброс значительным количеством разнообразных модификаций, улучшивших качественные характеристики метода и его эффективность и позволивших ему завоевать твердые позиции в сфере численного моделирования задач из различных областей механики. Он занимает особое место в классе бессеточных методов, благодаря тому, что не использует связную сетку ни на одном этапе решения задач, а значит является полностью бессеточным. Эта специфика метода определила ряд его преимуществ перед другими бессеточными методами: простота программной реализации, ввиду отсутствия потребности в сложных алгоритмах численного интегрирования и построения сетки, использование простейших алгоритмов определения свободных и контактных границ, непосредственный переход к решению трехмерных задач без привлечения дополнительных, не характерных для двумерных случаев, алгоритмов. Все это позволило методу сглаженных частиц занять особое положение и вывело его в авангард бессеточных методов.

О предмете диссертации

Диссертация посвящена численному моделированию плоских нестационарных течений ньютоновской вязкой несжимаемой жидкости со свободными границами при наличии взаимодействия жидкости с погруженными в нее абсолютно твердыми телами методом сглаженных частиц.

Целью диссертационного исследования является адаптация и развитие метода сглаженных частиц для получения инструмента численного моделирования течений вязкой несжимаемой жидкости со свободными границами, позволяющего определять гидродинамические нагрузки на твердые стенки области течения и погруженные тела.

Основные задачи диссертационного исследования заключаются в следующем:

1. Разработка алгоритма метода сглаженных частиц для решения задач динамики вязкой несжимаемой жидкости со свободными границами и его реализация в виде комплекса программ.

2. Разработка алгоритма корректировки свободной поверхности для обеспечения устойчивости вычислений и корректного определения гидродинамических нагрузок.

3. Разработка алгоритмов перемещения абсолютно твердого тела и его взаимодействия с вязкой несжимаемой жидкостью.

4. Проведение расчетов тестовых и модельных задач методом сглаженных частиц. Сравнение полученных результатов с аналитическими и эталонными численными решениями, а также расчетами других авторов.

5. Проведение вычислительных экспериментов по моделированию течений вязкой несжимаемой жидкости при наличие больших деформаций свободных границ, приводящих к нарушению связности области расчета, включая процессы взаимодействия жидкости и погруженного твердого тела.

6. Определение значений гидродинамических нагрузок на твердые границы области течений и погруженные в жидкость тела.

Научная новизна диссертационного исследования заключается в следующем:

- Предложены модификации метода сглаженных частиц, использование которых дает возможность моделировать течения вязкой несжимаемой жидкости со свободными границами, включая процессы взаимодействия жидкости с твердыми телами, а также вычислять гидродинамические нагрузки на твердые границы области течения и погруженные тела.

- Разработан алгоритм на основе метода сглаженных частиц, позволяющий проводить моделирование сложных задач динамики жидкости на всех стадиях вычислительного эксперимента, включая этапы развитых течений, сопровождающиеся нарушением связности области расчета.

- Проведены в полной нелинейной постановке численные расчеты задач о всплытии плоского кругового цилиндра в жидкости, входе и погружении в жидкость плоских цилиндров с различной формой основания в зависимости от варьируемых параметров. Определены гидродинамические нагрузки на вертикальные стенки бассейна, гидродинамические силы, действующие на цилиндры со стороны жидкости, исследованы процессы распространения волн, образующихся в результате падения цилиндров в жидкость.

Практическая значимость результатов диссертационного исследования заключается в следующем. Метод сглаженных частиц с предлагаемыми в работе модификациями дает возможность проводить численное моделирование задач динамики жидкости со свободными границами, включая этапы развитых течений, особенностью которых является наличие сильных деформаций области расчета, и процессы взаимодействия жидкости с погруженными твердыми телами. Метод позволяет получать качественные картины поля давления, определять значения гидродинамических нагрузок на твердые границы области течения и твердые тела, погруженные в жидкость.

Основные результаты исследования использовались при выполнении работ в рамках проектов, выполненных в ЦНИТ КемГУ:

- проекта № 4829 "Численное моделирование течений жидкости со свободными границами современными численными методами на многопроцессорных вычислительных системах" (2005 год) по ведомственной научной программе федерального агентства по образованию "Развитие научного потенциала высшей школы".

- интеграционного проекта фундаментальных исследований Объединенного ученого совета по механике и энергетике СО РАН (2006-2008 годы) по теме "Численное моделирование нестационарного взаимодействия сложных упругих конструкций с жидкостью или газом Блок 2: "Нестационарное взаимодействие нелинейных поверхностных волн с плавающими и закрепленными упругими конструкциями Пункт 1. "Развитие методов расчета гидродинамических нагрузок при резко нестационарном воздействии волн с большими деформациями области течения".

- государственного задания на выполнение научно-исследовательских работ в рамках тематического плана ФГБОУ ВПО "Кемеровский государственный университет" (2012-2014 годы) по теме "Исследование воздействия весомой жидкости на закрепленные и плавающие конструкции и береговые сооружения" (регистрационный № 01201263105).

Обоснованность и достоверность полученных результатов подтверждаются адекватностью используемых математических моделей рассматриваемой предметной области и корректностью математических постановок задач и методов их решения, основываются на расчетах классических тестовых и модельных задач и сравнении их с известными аналитическими решениями или результатами расчетов, приведенных в работах других исследователей.

Представление результатов

Основные результаты диссертации представлялись на: III Всероссийской научно-практической конференции "Информационные технологии и математическое моделирование" (Анжеро-Судженск, 2004); V Региональной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых, посвященной десятилетию Новокузнецкого филиала-института Кемеровского государственного университета (Новокузнецк, 2005); Всероссийской научно-практической конференции "Информационные недра Кузбасса" (Кемерово,

2004-2008); XI Международной научно-методической конференции "Новые информационные технологии в университетском образовании" (Кемерово, 2006); III международной летней научной школы "Гидродинамика больших скоростей и численное моделирование" (Кемерово, 2006); VII Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (с участием иностранных ученых) (Красноярск, 2006); Международной конференции "Сопряженные задачи механики реагирующих сред, информатики и экологии" (Томск, 2007); 3-й Всероссийской конференции с участием зарубежных ученых "Задачи со свободными границами: теория, эксперимент и приложения" (Бийск, 2008); Международной конференции "Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике" (Новосибирск, 2010); Научно-практической конференции "Современные проблемы механики сплошных сред" (Чебоксары, 2011); X Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Нижний Новгород, 2011); Научном семинаре "Информационные технологии и математическое моделирование" под руководством профессора Афанасьева К. Е. (Кемерово, 2004-2012); Научном семинаре "Прикладная гидродинамика" под руководством чл.-корр. РАН Пухначева В. В. (Новосибирск, 2012); Научном семинаре "Вычислительные методы в гидромеханике" под руководством профессора Бубенчикова А. М. (Томск, 2012).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 20 работ, в том числе 3 статьи в изданиях, рекомендованных ВАК для представления основных научных результатов диссертации.

Личный вклад автора. Основные научные и практические результаты диссертационной работы получены автором лично или при непосредственном его участии. Из печатных работ, опубликованных диссертантом в соавторстве, в диссертацию вошли только те результаты, которые автором получены лично на всех этапах диссертационного исследования.

Структура и объём работы

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, списка цитируемой литературы и приложения. Общий объём работы составляет 177 страниц машинописного текста, включая приложение - 8 страниц; библиографический список состоит из 170 литературных источников.

Основные результаты исследования:

- Предложена новая полиномиальная функция ядра четвертого порядка, обладающая монотонной первой производной. Изложен алгоритм ее построения, обоснована целесообразность ее использования при решении задач с большими деформациями областей расчета.

- Предложен способ корректировки свободной поверхности на основе потенциала парного взаимодействия. Добавление в правую часть уравнений движения Навье-Стокса дополнительной силы, действующей лишь на частицы свободной границы, и основанной на потенциале упругих шаров позволяет стабилизировать расчеты, проводимые методом сглаженных частиц на основе схемы расщепления по физическим факторам и получить удовлетворительные графики гидродинамических нагрузок на твердые стенки области расчета.

- Предложен алгоритм взаимодействия вязкой несжимаемой жидкости с абсолютно твердым телом.

- На основе предложенных модификаций разработан алгоритм решения плоских задач динамики вязкой несжимаемой жидкости со свободными границами с возможностью моделирования процессов взаимодействия жидкости с абсолютно твердыми телами.

- Показана эффективность предложенного алгоритма для решения задач динамики вязкой несжимаемой жидкости со свободными границами в полной нелинейной постановке на основе решения ряда тестовых и модельных задач. Проведено сравнение результатов численного моделирования задач методом сглаженных частиц с результатами других авторов, аналитическими, эталонными численными решениями, лабораторными экспериментами.

- Проведены в полной нелинейной постановке вычислительные эксперименты по расчету задач о всплытии в жидкости плоского кругового цилиндра, а также о входе и погружении в жидкость цилиндров с различной формой основания в зависимости от варьируемых параметров.

Автор выражает глубокую благодарность и признательность своему научному руководителю, д.ф.-м.н., профессору Константину Евгеньевичу Афанасьеву за постоянное внимание к работе, многочисленные обсуждения и ценные замечания, способствовавшие успешному ее выполнению.

Автор выражает благодарность всем сотрудникам кафедры ЮНЕСКО по НИТ и Центра Новых Информационных Технологий Кемеровского государственного университета за поддержку в процессе написания диссертационной работы и отдельно Ирине Владимировне Жуковой за помощь в ее оформлении.

Автор выражает глубокую благодарность жене Шатровой Елене Константиновне, родителям Макарчуку Сергею Владимировичу, Макарчук Татьяне Викторовне и брату Максиму за помощь, поддержку, терпение и понимание.

Заключение

1. Седов Л. И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики: 3-е изд., перераб. / Л. И. Седов. - М.: Наука, 1980. - 448 с.

2. Логвинович Г. В. Гидродинамика течений со свободными границами / Г. В. Логвинович. Киев: Наукова думка, 1969. - 208 с.

3. Korobkin A. A. Initial stage of water impact / A. A. Korobkin, V. V. Pukhnachov // Ann. Rev. Fluid Mech. 1988. - 20. - P. 159-185.

4. Terentiev A. G. Nonstationary motion of bodies in a fluid // Proc. Steclov Inst, of Math. 1989. - 186 : Translated. - 1991. - Issue 1. - P. 211-221.

5. Григолюк Э. И. Взаимодействие упругих конструкций с жидкостью (удар и погружение) / Э. И. Григолюк, А. Г. Горшков. Л.: Судостроение, 1976.-200 с.

6. Норкин М. В. Смешанные задачи удара твердых тел, плавающих на поверхности несжимаемой жидкости: автореф. дис. . д-ра. физ.-мат. наук / М. В. Норкин. Казань, 2010. - 32 с.

7. Юдович В. И. Вертикальный удар по твердому эллипсоиду, полупогруженному в жидкое полупространство / В. И. Юдович // Деп. в ВИНИТИ 19.11.93. -№ 2870-В93.

8. Шахверди Г. Г. Ударное взаимодействие судовых конструкций с жидкостью / Г. Г. Шахверди. СПб.: Судостроение, 1993. - 256 с.

9. Wagner R. Über Stoss-und Gleitvorgänge und der Oberfläche von Flüssigkeiten. Z. And. Math. Und Mech. - 1932. - Band 12. - Heft 4. -P. 193-215.

10. Zhao R. Water entry of two-dimensional bodies / R. Zhao, O. Faltinsen // J. Fluid Mech. 246. - 1993. - P. 593-612.

11. Greenhow M. Non-linear free surface effects: Experiments and theory / M. Greenhow, W. M. Lin // Rep. No. 83-19, Dept. of Ocean Engineering, MIT, Cambridge, MA. 1983.

12. Zhu X. Application of the CIP Method to Strongly Nonlinear Wave-Body Interaction Problems / X. Zhu // Doctoral thesis for the degree of doktor ingenior. 2006.

13. Shao S. Incompressible SPH simulation of water entry of a free-falling object / S. Shao // Int. J. Numer. Meth. Fl. 59. - 2009. - P. 91-115

14. Самарский А. А. Введение в теорию разностных схем / А. А. Самарский. -М.: Наука, 1971.- 552 с.

15. Годунов С. К. Разностные схемы / С. К. Годунов, В. С. Рябенький. М.: Наука, 1973. - 400 с.

16. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики / Г. И. Марчук. М.: Наука, 1977.-456 с.

17. Рихтмайер Р. Разностные методы решения краевых задач / Р. Рихтмайер, К. Мортон. М.: Мир, 1972. - 420 с.

18. Андерсон Д. Вычислительная гидромеханика и теплообмен: в 2-х т. / Д. Андерсон, Дж. Таннехилл, Р. Плетчер М.: Мир, 1990. - Т. 1. - 384 с.

19. Роуч П. Вычислительная гидродинамика / П. Роуч. М.: Мир, 1980. -616 с.

20. Hirt C.W. Volume of fluid (VOF) method for the dynamics of free boundaries / C.W. Hirt, B.D. Nichols // J. Comput. Phys. 1981. - 39 (1). - P. 201-225.

21. Минаков А. В. Численное моделирование течений вязкой несжимаемой жидкости с подвижными границами: автореф. дис. канд. физ.-мат. наук / А. В. Минаков. Красноярск, 2008. - 20 с.

22. Харлоу Ф. Численный метод частиц в ячейках для задач гдиродинамики / Ф. Харлоу // Вычислительные методы в гидродинамике. М: Мир, 1967. -Р. 316-342.

23. Григорьев Ю. Н. Численное моделирование методами частиц-в-ячейках / Ю. Н. Григорьев, В. А. Вшивков, М. П. Федорук. Новосибирск: Издательство СО РАН, 2004. - 360 с.

24. Gentry R. A. An Eulerian Differencing Method for Unsteady Compressible Flow Problems / R. A. Gentry, R. E. Martin, B. J. Daly // J. Comput. Phys. -1966,- 1(1).-P. 87-118.

25. Белоцерковский О. M. Метод крупных частиц в газовой динамике / О. М. Белоцерковский, Ю. М. Давыдов М.: Наука. - 1982. - 392 с.

26. Brackbill J. U. FLIP: A method for adaptively zoned, Particle-in-Cell calculations of fluid flows in two dimensions / J. U. Brackbill, H. M. Ruppel // J. Comput. Physics. 1986.- 65(2). - P. 314-343.

27. Андреев A. H. Механика от дискретного к сплошному / Андреев А. Н. и др. ; отв. ред. В.М.Фомин; Рос. акад. наук, Сиб. отд - ние, Ин -т теоретической и прикладной механики им. С. А. Христиановича. -Новосибирск: Изд - во СО РАН, 2008. - 344 с.

28. Harlow F. Н. Numerical Calculation of Time-Dependent Viscous Incompressible Flow of Fluids with Free Surface / F. H. Harlow, Welch E. // Phys. Fluids. 1965. - 8(12). - 2182-2189.

29. Chorin A.J. Numerical solution of the Navier-Stokes equations / A. J. Chorin // Math. Comput. 1968. - 22. - P. 745-762.

30. Amsden A. A. The SMAC method: A numerical technique for calculating incompressible fluid flows / A. A. Amsden, F. H. Harlow // Los Alamos Scient. Lab. Rep. NLA-4370. 1970.

31. Chan R. A computer study of finite-amplitude water waves / R. K-C. Chan, R. L. Street // J. Comput. Phys. 1970. - 6. - P. 68-94.

32. Armenio V. An improved MAC method (SIMAC) for unsteady high-reynolds free surface flows / V. Armenio // Int. J. Numer. Meth. Fl. 1997. - 24. - P. 185-214.

33. Pracht W. E. A numerical method for calculating transient creep flows / W. E. Pracht // J. Comput. Phys. 1971. - 7. - P. 46-60.

34. Osher S. Fronts propagating with curvature-dependent speed: Algorithms based on Hamilton-Jacobi formulations / Osher S., Sethian J. A. // J. Comput. Phys. 1988.- 79(1).-P. 12-49.

35. Sethian J.A. Level Set Methods and Fast Marching Methods: Evolving Interfaces in Computational Geometry, Fluid Mechanics, Computer Vision and Materials Science / J.A. Sethian // Cambridge University Press. 1999. - 404 p.

36. Osher S. Level Set Methods and Dynamic Implicit Surfaces / S. Osher, R. Fedkiw // Springer. 2002. - 296 p.

37. Зенкевич О. Конечные элементы и аппроксимация / О. Зенкевич, К. Морган. М.: Мир, 1986. — 318 с.

38. Коннор Дж. Метод конечных элементов в механике жидкости / Дж. Кон-нор, К. Бреббия. Л.: Судостроение, 1979. - 264 с.

39. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред / Дж. Оден. М.: Мир, 1976. - 465 с.

40. Шайдуров В. В. Многосеточные методы конечных элементов / В. В. Шайдуров. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. - 288 с.

41. Zienkiewicz О. С. The Finite Element Method: vol.1 The Basis / O.C. Zienkiewicz, R. L. Taylor. Butterworth-Heinemann, 2000. - 348 p.

42. Zienkiewicz О. C. The Finite Element Method: vol.2 Solid Mechanics / O. C. Zienkiewicz, R. L. Taylor. Butterworth-Heinemann, 2000. - 479 p.

43. Zienkiewicz О. C. The Finite Element Method: vol.3 Fluid Dynamics / О. C. Zienkiewicz, R. L. Taylor. Butterworth-Heinemann, 2000. - 707 p.

44. Бреббия К. Методы граничных элементов / К. Бреббия, Ж. Теллес, JI. Вроубел. М.: Мир, 1987. - 524 с.

45. Баженов В. Г. Методы граничных интегральных уравнений и граничных элементов / В. Г. Баженов, Л. А. Игумнов. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008. -352 с.

46. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках / П. Бенерджи, Р. Баттерфилд. М.: Мир, 1984. - 494 с.

47. Громадка Т. Комплексный метод граничных элементов // Т. Громадка, Ч. Лей. М.: Мир, 1990. - 304 с.

48. Линьков А. М. Комплексный метод граничных интегральных уравнений теории упругости / А. М. Линьков. СПб.: Наука, 1999. - 382 с.

49. Hirt С. W. An arbitrary Lagrangian-Eulerian computing method for all flow speeds / C. W. Hirt, A. A. Amsden, J. L. Cook // J. Comput. Phys. 1974. -14. - P. 227-253.

50. Nithiarasu P. An arbitrary Lagrangian Eulerian (ALE) formulation for free surface flows using the characteristic-based split (CBS) scheme / P. Nithiarasu // Int. J. Numer. Meth. Fl. 2005. - 48. - P. 1415-1428.

51. Liu G.R. Mesh free methods: moving beyond the finite element method / G. R. Liu. CRC Press, 2003. - 712 p.

52. Lancaster P. Surfaces Generated by Moving Least Squares Methods / Lancaster P., Salkauskas K. // Math. Comput. 1981. - 37. - P. 141-158.

53. Liew К. M. Complex variable moving least-squares method: a meshless approximation technique / К. M. Liew // Int. J. Numer. Meth. Eng. 2007. -70. - P. 46-70.

54. Liu G. R. A point interpolation method for two-dimensional solids / G. R. Liu, Y. T. Gu // Int. J. Numer. Meth. Eng. 2001. - 50. - P. 937-951.

55. Liu G. R. A local point interpolation method for stress analysis of two-dimensional solids / G. R. Liu, Y. T. Gu // Struct. Eng Mech. 2001. - 11 (2). -P. 221-236.

56. Liu G. R. Point interpolation method based on local residual formulation using radial basis functions / G. R. Liu, L. Yan, J. G. Wang, Y. T. Gu // Struct. Eng Mech. 2002. - 14(6). - P. 713-732.

57. Gu Y. T. A boundary point interpolation method for stress analysis of solids / Y. T. Gu, G. R. Liu // Comput. Mech. 2002. - 28(1). - P. 47-54.

58. Babuska 1. The Partition of Unity Method / I. Babuska, J. M. Melenk // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1997. - 40. - P. 727-758.

59. Melenk J. M. The Partition of Unity Finite Element Method: Basic Theory and Applications / J. M. Melenk, I. Babuska // Comp. Methods Appl. Mech. Engrg. 1996. - 139. - P. 289-314.

60. Duarte C. A. H-p clouds an h-p meshless method / C. A. Duarte, J. T. Oden // Numer. Meth. Part. D. E. - 1996. - 12. - P. 673-705.

61. Nayroles B. Generalizing the Finite Element Method: Diffuse Approximation and Diffuse Elements / B. Nayroles, G. Touzot, P. Villon // Comput. Mech. -1992. 10 (5). - P. 307-318.

62. Belytschko T. Element-free Galerkin Methods / T. Belytschko, Y. Y. Lu, L. Gu // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1994. - 37(2). - P. 229-256.

63. Atluri S. N. A New Meshless Local Petrov-Galerkin (MLPG) Approach in Computational Mechanics / S. N. Atluri, T. Zhu // Comput. Mech. 1998. -22. - P. 117-127.

64. Fries T.-P. Classification and Overview of Meshfree Methods / Fries T.-P., Matthies H.-G. // Institute of Scientific Computing Technical University Braunschweig Brunswick, Germany. 2004. - P. 64.

65. Del Pin F. The meshless finite element method applied to a lagrangian particle formulation of fluid flows / F. Del Pin // Instituto de Desarrollo tecnologico para la industria quimica (INTEC) universidad nacional del litoral noviembre. -2003. 157 p.

66. Sukumar, N. The natural element method in solid mechanics текст. / N. Sukumar, B. Moran, T. Belytschko // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1998. - Vol. 43, N.5. - P. 839-887.

67. Рейн Т. С. Численное моделирование движения вязкой несжимаемой жидкости со свободными границами обобщенным методом естественных соседей: автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук / С. Н. Рейн. Кемерово, 2008. - 19 с.

68. Карабцев С. Н. Метод естественных соседей для решения задач идеальной несжимаемой жидкости со свободными границами: автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук / С. Н. Карабцев. Кемерово, 2008. - 18 с.

69. Афанасьев К. Е. Моделирование задач гидродинамики вязкой несжимаемой жидкости со свободными границами бессеточным методом естественных соседей / К. Е. Афанасьев, Т. С. Рейн // Вычислительные технологии. 2008- Т. 13, № 4. - С. 7-24.

70. Франк А. М. Дискретные модели несжимаемой жидкости / А. М. Франк. М.: Физматлит, 2001. - 208 с.

71. Li S. Meshfree Particle Methods / S. Li, W. K. Liu. Springer, 2004. - 502 p.

72. Belytschko T. Meshfree and Particle Methods / T. Belytschko, J. S. Chen. -John Wiley and Sons Ltd, 2007. 384 p.

73. Liu G. R. An Introduction to Meshfree Methods and Their Programming / G. R. Liu, Y. T. Gu. Springer, 2005. - 479 p.

74. Harlow F. H. The Particle-And-Force Computing Method for Fluid Dynamics / F. H. Harlow, B. D. Meixner // Los Alamos National Laboratory Report LA-MS-2567. 1961.

75. Gingold R. A. Smoothed particle hydrodynamics: theory and application to non-spherical stars / R. A. Gingold, J. J. Monaghan // Mon. Not. R. Astr. Soc. 1977. - 181. - P. 375-389.

76. Lucy L.B. A numerical approach to the testing of the fission hypothesis / L. B. Lucy// Astron. J. 1977. - 82(12). - P. 1013-1024.

77. Monaghan J. J. Simulation of free surface flows with SPH / J. J. Monaghan, M. C. Thompson, K. Hourigan // J. Comput. Phys. 1994. - 110. - P. 399-406.

78. Коул P. Подводные взрывы / P. Коул. M.: Изд-во иностранной литературы, 1950.

79. Monaghan J. J. SPH simulation of multi-phase flow / J. J. Monaghan, A. Kocharyan // Computer Physics Communications. 1995. - 87. - P.225-235.

80. Monaghan J. J. Gravity currents and solitary waves // Physica. 1996. - D. -98. - P.523-533.

81. Gravity currents descending a ramp in a stratified tank / J. J. Monaghan etc. // J. Fluid. Mech. 1999. - 379. - P.39-69.

82. Ritchie В. W. Multiphase smoothed-particle hydrodynamics / Ritchie B. W., Thomas P. A. // Mon. Not. R. Astron. Soc. 2001. - 323. - P.743-756.

83. Ott F. A modified SPH approach for fluids with large density differences Электронный ресурс. / Cornel University Library. 2003. - URL: http://arxiv.org/PScache/physics/pdf/0303/0303112v3.pdf (дата обращения: 19.06.2009)

84. Valizadeh A. Modeling two-phase flows using SPH method / A. Valizadeh etc. // Journal of Applied Sciences. 2008. - 8(21). - P.3817-3826.

85. Muller M. Particle-Based Fluid-Fluid Interaction / M. Miiller etc. // Proceedings of SIGGRAPH'05 Symposium on Computer Animation (SCA 2005). Los Angeles, USA. - July 31 - August 4, 2005. - P.237-244.

86. Hu X. Y. An incompressible multi-phase SPH method /X. Y. Hu, N. A. Adams // J Comput. Phys. 2007. - 227. - P.264-278.

87. Phillips, G. J. Fragmentation in collapsing magnetic gas clouds Non-uniform initial fields // Astronomical Society of Australia, Proceedings (ISSN 00669997). - 1985. - Vol. 6, № 2. - P.205-207.

88. Borve S. Regularized Smoothed Particle Hydrodynamics: A New Approach To Simulating Magnetohydrodynamic Shocks / S. Borve, M. Omang, J. Trulsen // Astrophys. J. 2001. - 561. - P. 82-93.

89. Price D. J. Smoothed Particle Magnetohydrodynamics -1. Algorithm and tests in one dimension / D. J. Price, J. J. Monaghan // Mon. Not. R. Astron. Soc. -2004. 348(1). - P. 123-138.

90. Price D. J. Smoothed Particle Magnetohydrodynamics II. Variational Principles and variable smoothing-length terms / D. J. Price, J. J. Monaghan // Mon. Not. R. Astron. Soc. - 2004. - 348(1). - P. 139-152.

91. Price D. J. Smoothed Particle Magnetohydrodynamics III. Multidimensional tests and the B = 0 constraint / D. J. Price, J. J. Monaghan // Mon. Not. R. Astron. Soc. - 364(2). 2005. - P. 384-406.

92. Libersky L. D. Smooth particle hydrodynamics with strength of materials / L. D. Libersky, A. G. Petschek // In: Trease, H. E., Fritts, M. J., Crowley, W. P. (Eds.), Advances in the Free-Lagrange Method. Springer-Verlag. 1990. -395. - P.248-257.

93. Randies P. W. Smoothed Particle Hydrodynamics: Some recent improvements and applications / P. W. Randies, L. D. Libersky // Comput. Method. Appl. M. 1996.- 139.-P.375-408.щ

94. Libersky L. D. Recent improvements in SPH modeling of hypervelocity impact / L. D. Libersky etc. // Int. J. Impact Eng. 1997. - 20(6-10) -P.525-532.

95. Liu M. B. Adaptive smoothed particle hydrodynamics for high strain hydrodynamics with material strength / M. B. Liu, G. R. Liu, K. Y. Lam // Shock Waves. 2006. - 15(1). - P.21-29.

96. Rabczuk T. Simulation of high velocity concrete fragmentation using SPH/MLSPH / T. Rabczuk, J. Eibl // Int. J. Numer. Meth. Eng. 2003. -56.-P. 1421-1444.

97. Rabczuk T. A three dimensional large deformation meshfree method for arbitrary evolving cracks / T. Rabczuk, T. Belytschko // CMAME. 2007. -196(29-30).-P. 2777-2799.

98. Buruchenko S. K. Smooth Particle Hydrodynamics: Some Results /S. K. Buruchenko // Вычислительные технологии. 2002. - T.7, №1. - P.41-53.

99. Лукьянов А. А. Моделирование деформирования твердого тела с использованием бессеточных методов /А. А. Лукьянов, В. Б. Пеньков // Вестник СамГУ. Сер. естественнонаучная. 2007. - №6(56). - С.62-70.

100. Laguna P. Smoothed Particle Interpolation / P. Laguna // Astrophys. J. -1995.-439.-P. 814-821.

101. Violeau D. Two attempts of turbulence modelling in smoothed particle hudrodynamics / D. Violeau, S. Piccon, J.-P. Chabard // Advances in Fluid Modelling and Turbulence Measurements. 2002. - P.339-346.

102. Violeau D. Numerical modelling of complex turbulent free-surface flows with the SPH method: an overview / D. Violeau, R. Issa // Int. J. Numer. Meth. Fl. 2007. - 53. - P. 277-304.

103. Monaghan J. J. Variational principles for relativistic smoothed particle hydrodynamics / J. J. Monaghan, D. J. Price // Mon. Not. R. Astron. Soc. -2001. 328. - P. 381-392.

104. Aguiar C. E. Smoothed particle hydrodynamics for relativistic heavy-ion collisions / Aguiar C.E. etc. // J. Phys. G: Nucl. Part. Phys. 2001. - 27. -P. 75-94.

105. Liu M. B. Smoothed particle hydrodynamics for numerical simulation of underwater explosion / M. B. Liu etc. // Comput. Mech. 2003. - 30. -P. 106-118.

106. Swegle J. W. On the feasibility of using smoothe particle hydrodynamics for underwater explosion calculations / J.W. Swegle, S.W. Attaway // Comput. Mech. 1995. - 17. - P. 151-168.

107. Jiang, F. Mesoscale SPH modeling of fluid flow in isotropic porous media / Jiang, F. etc. // Comput. Phys. Commun. 2007. - 176. - P. 471^80.

108. Jiang F. Smoothed Particle Hydrodynamics Modeling of Transverse Flow in Randomly Aligned Fibrous Porous Media / F. Jiang, A.C.M. Sousa // Transp Porous Med. 2008. - 75. - P. 17-33.

109. Lee C. J. K. Fluid-shell structure interaction analysis by coupled particle and finite element method / C. J. K. Lee, H. Noguchi, S. Koshizuka // Computers and Structures. 2007. - 85. - P.688-697.л

110. Liu J. A hybrid particle-mesh method for viscous, incompressible, multiphase flows / J. Liu, S. Koshizuka, Y. Oka // J. Comput. Phys. 2005. - 202. -P. - 65-93.

111. Hieber S. E. An immersed boundary method for smoothed particle hydrodynamics of self-propelled swimmers / S. E. Hieber, P. Koumoutsakos // J. Comput. Phys. 2008. - 227. - P. 8636-8654.

112. Sueyoshi M. Validation of a Numerical Code by a Particle Method for Violent Free-surface Problems // Int J. Offshore Polar. 2006. - 16(4). - P.261-267.

113. Koshizuka S. A particle method for incompressible viscous flow with fluid fragmentation / S. Koshizuka, H. Tamako, Y. Oka // Computational Fluid Dynamics Journal. 1995. — 4(1). — P. 29-46.

114. Koshizuka S. Numerical analysis of breaking waves using the moving particle semi-implicit method / S. Koshizuka, A. Nobe, Y. Oka // Int. J. Numer. Meth. Fl. 1998.-26.-P. 751-769.

115. Lee E.-S. Comparisons of weakly compressible and truly incompressible algorithms for the SPH mesh free particle method / E.-S. Lee etc. // J. Comput. Phys. 2008. - 227. - P. 8417-8436

116. Яненко H. H. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики / H. Н. Яненко. Новосибирск: Наука - Сибирское отделение, 1967. - 197 с.

117. Канторович JT. В. Функциональный анализ: 3-е изд., перераб. / JI. В. Канторович, Г. П. Акилов. М.: Наука, 1984. - 752 с.

118. Смирнов В. И. Курс высшей математики: 6-е изд., перераб. и доп. в 5-ти т./ В. И. Смирнов. М.: Наука, 1974. - Т.4., 4.1. - 336 с.

119. Колмогоров А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. М.: Наука, 1976. - 543 с.

120. Владимиров В. С. Обобщенные функции в математической физике / В. С. Владимиров. М.: Наука, 1979. - 320 с.

121. Liu G. R. Smoothed particle hydrodynamics: a meshfree particle method / G. R. Liu, M. B. Liu // World Scientific Publishing Company. 2003. - 472 p.

122. Müller M. Particle-Based Fluid Simulation for Interactive Applications / M. Müller, D. Charypar, Gross M. // Proceedings of the 2003 ACM SIGGRAPH/Eurographics symposium on Computer animation. 2003. -P. 154-159

123. Monaghan J. J. Why particle methods work / J. J. Monaghan // Siam J. Sei. and Sat. Comput. 1982. - 3(4). - P. 423-433.

124. Liu W. K. Reproducing kernel particle methods / W. K. Liu, S. Jun, Y. F. Zhang // Int. J. Numer. Meth. Fl. 1995. - 20. - P. 1081-1106.

125. Liu W. K. Reproducing kernel particle methods for structural dynamics / Liu W. K. etc. // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1995. - 38. - P. 1655-1679.

126. Liu W. K. Multiresolution reproducing kernel particle method for computational fluid dynamics / W. K. Liu etc. // Int. J. Numer. Meth. Fl. -1997.-24(12).-P. 1391-1415.

127. Monaghan J. J. A Refined Particle Method for Astrophysical Problems / J. J. Monaghan, J. C. Lattanzio //Astronomy and Astrophysics. 1985. - 149(1). -P. 135-143.

128. Morris, J. P. A study of the stability properties of smooth particle hydrodynamics // Publications Astronomical Society of Australia. 1996. -13(1). - P. 97-102.

129. Monaghan J. J. Smoothed particle hydrodynamics / J. J. Monaghan // Annu. Rev. Astron. Astrophys. 1992. - 30. - P. 543-574.

130. Monaghan J. J. Smoothed particle hydrodynamics / J. J. Monaghan // Rep. Prog. Phys. -2005. 68. - P. 1703-1759.

131. Shao S. Incompressible SPH method for simulating Newtonian and non-Newtonian flows with a free surface / S. Shao, E. Y. M. Lo // Advances in Water Resources. 2003. - 26. - P. 787-800.

132. Brookshaw L. A method of calculating radiative heat diffusion in particle simulations / L. Brookshaw // Publ. Astron. Soc. Aust. 1985. - 6. - P. 207210.

133. Morris J. P. Modeling low Reynolds number incompressible flows using SPH / J. P. Morris, P. J. Fox, Y. Zhu // J. Comput. Phys. 1997. - 136. - P. 214-226.

134. Brookshaw L. Solving the heat diffusion equation in SPH / L. Brookshaw // Mem. S.A.It. 1994. - 65(4). - P. 1033-1042.

135. Cummins S. J. An SPH projection method / S. J. Cummins, M. Rudman // J. Comput. Phys. 1999. - 152. - P. 584-607.

136. Cleary P. W. Conduction modelling using smoothed particle hydrodynamics / P. W. Cleary, J. J. Monaghan // J. Comput. Phys. 1999. - 148(1). -P. 227-264.

137. Peaceman D.W. The numerical solution of parabolic and elliptic differential equations / D.W. Peaceman, H.H. Rachford // J. Soc. Indust. Appl. Math. -1955.- 3(1).-P. 28-41.

138. Douglas J. On the numerical integration of + = §f by implicit methods / J. Douglas // J. Soc. Indust. Appl. Math. 1955. - 3(1). - P. 42-65.

139. Пейре P. Вычислительный методы в задачах механики жидкости / Р. Пейре, Т. Д. Тейлор. Л.: Гидрометеоиздат, 1986. - 352 с.

140. Кобельков Г. М. К исследованию схем расщепления для уравнений Навье-Стокса / Г. М. Кобельков // Численные методы решения задач математической физики. 2004. - 26. - С. 4-17.

141. Белоцерковский О. М. Численное моделирование в механике сплошных сред: 2-е изд., перераб. и доп. / О. М. Белоцерковский. М.: Физматлит, 1994.-448 с.

142. Saad Y. Iterative methods for sparse linear systems / Y. Saad // Society for Industrial and Applied Mathematics: Second Edition. 2000. - 460 c.

143. Benz W. Dynamic mass exchange in doubly degenerate binaries / Benz W. etc. // Astrophys J. 1990. - 348. - P. 647-667.

144. Lars Hernquist. TREESPH: A unification of SPH with the hierarchical tree method / Lars Hernquist, Neal Katz // The Astrophysical Journal Supplement Series. 1989. - 70. - P. 419-446.

145. Paul R. Shapiro. Adaptive Smoothed Particle Hydrodynamics, With Application To Cosmology: Methodology // The Astrophysical Journal Supplement Series. 1996. - 103. - P. 269-330.

146. J. Michael Owen. Adaptive Smoothed Particle Hydrodynamics: Methodology. II. // The Astrophysical Journal Supplement Series. 1998. -116. - P. 155-209.

147. Lastiwka M. Adaptive particle distribution for Smoothed Particle Hydrodynamics / M. Lastiwka, N. Quinlan, M. Basa // Int. J. Numer. Meth. FI. 2005. - 47. - P. 1403-1409.

148. Libersky L. D. High strain Lagrangian hydrodynamics: a three-dimensional SPH code for dynamic material response / L. D. Libersky etc. // J. Comput. Phys. -1993.- 109.-P. 67-75.

149. Petschek A. G. Cylindrical smoothed particle hydrodynamics / A. G. Petschek, L. D. Libersky // J. Comput. Phys. 1993. - 109. - P. 76-83.

150. Takeda H. T. Numerical simulation of viscous flow by smoothed particle hydrodynamics /Н. T. Takeda, S. M. Miyama, M. Sekiya // Progress of Theoretical Physics. 1994. - 92(5). - P. 939-960.

151. Dilts G.A. Moving-least-squares-particle hydrodynamics ii: conservation and boundaries / G.A. Dilts // Int. J. Numer. Meth. Eng. 2000. - 48(10). -P. 1503-1524.

152. Афанасьев К. E. Анализ динамических характеристик при взаимодействии уединенной волны с препятствием / К. Е. Афанасьев, Е.Н. Березин // Вычислительные технологии. 2004. Т. 9, № 3. - С. 22-37.

153. Овсянников JI.B. Общие уравнения и примеры: Задачи о неустановившемся движении жидкости со свободной границей / JI. В. Овсянников. -Новосибирск: Наука, 1967. С. 5-75.

154. Афанасьев К. Е. Численное моделирование течений жидкости со свободными границами методами SPH и MPS / Афанасьев К. Е., Ильясов А. Е., Макарчук Р. С. и др. // Вычислительные технологии. 2006. -Т. 11, № 9. - С. 26-44.

155. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа: учеб. для вузов / Л. Г. Лойцянский. — 7-е изд., испр.- М.: Дрофа, 2003. — 840 с.

156. Кочин Н.Е. Теоретическая гидромеханика, часть 2 / Н. Е. Кочин, И. А. Кибель, Н. В. Розе. М.: Физматгиз, 1963. - 728 с.

157. Патрашев А. Н. Гидромеханика / А. Н. Патрашев М.: Военно-морское издательство, 1953. - 719 с.

158. Cueto-Felgueroso L. On the Galerkin formulation of the smoothed particle hydrodynamics method / L. Cueto-Felgueroso // Int. J. Numer. Meth. Eng. -2004. 60. - P. 1475-1512.

159. Johnson G. R. SPH for high velocity impact computations / G. R. Johnson, R. A. Stryk, S. R. Beissel // Comput. Method. Appl. M. 1996. - 139. -P. 347-373.

160. Desbrun M. Smoothed particles: A new paradigm for animating highly deformable bodies / M. Desbrun, M. P. Cani (Gascuel). // Eurographics Workshop on Computer Animation and Simulation (EGCAS). 1996. -P. 61-76.

161. Берлин А. А. Имитация свойств твердых тел и жидкостей методами компьютерного моделирования / А. А. Берлин, Н. К. Балабаев // Соросовский образовательный журнал. 1997. - 11. - С. 85-92.

162. Стуколов С. В. Решение нелинейных волновых задач гидродинамики идеальной жидкости комплексным методом граничных элементов: автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук / С. В. Стуколов. Кемерово, 1999. -24 с.

163. Манойлин, С. В. Некоторые экспериментально-теоретические методы определения воздействия волн цунами на гидротехнические сооружения и акватории морских портов: препринт / С. В. Манойлин. Красноярск: ВЦ СО АН СССР. - 1989. - 50 с.

164. Мазо А.Б. Моделирование турбулентных течений несжимаемой жидкости: учебное пособие / А. Б. Мазо // Казань: Казанский государственный университет им. В.И. Ульянова-Ленина. 2007. - 106 с.

165. Dilts G. A. Moving-least-squares-particle hydrodynamics i: consistency and stability / G. A. Dilts // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1999. - 44(8). - P. 11151155.