О роли жордановых структур и регуляризатора Треногина в теории фундаментальных оператор-функций вырожденных дифференциальных уравнений векторно-матричной структуры в банаховых пространствах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

2 7 АВГ

На правах рукописи

КОРОБОВА ОЛЬГА ВИКТОРОВНА

Матричные фундаментальные оператор-функции вырожденных операторно-дифференциальных систем

01.01.02 — Дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Иркутск - 2009

003475856

Работа выполнена в Институте математики, экономики и информатики ГОУ ВПО "Иркутский государственный университет" (Федеральное агентство по образованию РФ).

кандидат физико-математических наук, доцент

Фалалеев Михаил Валентинович

доктор физико-математических наук Чистяков Виктор Филимонович

доктор физико-математических наук, профессор

Кадченко Сергей Иванович

Южно-Уральский государственный университет (г. Челябинск)

Защита диссертации состоится 17 сентября 2009 г. в 10.00 часов на заседании диссертационного совета Д 003.021.01 в ИДСТУ СО РАН по адресу: 664033, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 134.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИДСТУ СО РАН.

Автореферат разослан 14 августа 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, д.ф.-м.н.

Научный руководитель:

Оффициальные оппоненты:

Ведущая организация:

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Многие начально-краевые задачи, возникающие в приложениях, можно редуцировать к дифференциальным уравнениям в банаховых пространствах с необратимым оператором при старшей производной и соответствующим этим уравнениям задачам Кошн. Такие уравнения принято называть сингулярными дифференциальными уравнениями (или, в иной терминологии, вырожденными дифференциальными уравнениями, уравнениями соболевского типа). Повышенный интерес к подобным уравнениям, неразрешенным относительно старшей производной, объясняется возможностью их применения к решению различных прикладных проблем, таких, например, как задачи о фильтрации и влагопереносе, о колебаниях в молекулах ДНК, задачи термоконвекции и электротехники (модели Баренблатта-Желтова-Кочиной1, Осколкова2, Хоффа, Свешникова-Габова-Плетнера-Корпусова3).

Объектом исследований в работе является задача Коши вида

где В, А — замкнутые линейные операторы, действующие из в Е-*-. Ей Е2 — банаховы пространства; Б{В) = 1)(Л) — Еь О (В) с В(А)\ — вектор-функция размерности я, каждая компонента которой является функцией со значениями в Е\\ /(Ь) — вектор-функция размерности а, каждая компонента которой является функцией со значениями в £>>; под записью Av.it) (или £Ш(^)) понимается вектор-функция с компонентами Аи„(Ь) (или #«„(£)), и — 1,... М, А — квадратные матрицы порядка е.

Задачи вида (1), (2) для одного уравнения

'Варевблатт Г.И. Об основных представлениях теории фильтрации в трещивноватых средах / Г.И. Баревблатг, Ю.П. Желтое, И.Н. Кочина // ПММ. - 1960. - Т. 24, № 5. — С. 58-73.

2Осколкоя А.П. Начально-краевые задачи для уравнений движения жидкостей Кельвина-Фойгта и жидкостей Олдройта / А.П. Осколков // АН СССР, Ин-т математики. — 1988. — Т. 179. — С. 126-164.

3Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа / А.Г. Свешников, A.B. Альшид, М.О. Корпусов и др. — М.: Физматлит, 2007. — 736 с.

МВЩ = AAü(t) + f{t),

ü(0) — ы0,

(1) (2)

Bu(t) = Au(t) + /(t), tt(0) = щ

(3)

(4)

O:.

в разное время и в разных постановках исследовались В.А. Треногиным4, H.A. Сидоровым, Б.В. Логиновым5, Г.А. Свиридюком6, А.И. Прилеико7, С.Г. К рейном8, И.В. Мельниковой9, Г.А. Куриной, А.И. Кожановым10, Г.В. Демиденко, C.B. Успенским11, А.И. Янушаускасом12 и их учениками.

В конечномерном случае в качестве операторов А к В рассматриваются матрицы, u(t), f(t.) — вектор-функции и задача (3), (4) оказывается задачей Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Большой вклад в развитие теории и численных методов решения вырожденных систем обыкновенных дифференциальных уравнений внес Ю.Е. Бояринцев13 и его ученики В.Ф. Чистяков, A.A. Щеглова14, М.В. Булатов.

Если исследованию разрешимости задачи Коши (3), (4) посвящено большое количество работ, то про задачу (1), (2) такого сказать нельзя, хотя встречаются начально-краевые задачи прикладного характера, которые редуцируются именно к таким задачам (например, задача о колебаниях в молекулах ДНК15).

Работа посвящена построению матричных фундаментальных оператор-функций, с помощью которых строятся обобщенные в смысле Соболева-Шварца решения и определяются условия существования класси-

4Вайнберг М.М. Теория ветвления решений нелинейных уравнений / М.М. Вайнберг, В.А. Тре-

ногин. — М.: Наука, 1969. — 528 с.

6Lyapunov-Schmidt Methods in Nonlinear Analysis and Applications / N. Sidorov, B. Loginov, A. Sinitsyn and M. Falaleev. — Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2002. — 548 p.

6Sviridyuk G.A. Linear Soboiev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators / G.A. Sviridyuk, V.E. Fedorov. — Utrecht; Boston: VSP, 2003.

7Прилепко А.И. Метод полугрупп решения обратных, нелокальных и неклассических задан. Прогноз-управление и прогноз-наблюдение эволюционных уравнений. I / А.И. Прилепко // Дифферент уравнения. - 2005. - Т. 41, № 11. - С. 1560-1571.

8Крейн С.Г. Линейные уравнения в банаховых пространствах / С.Г. Крейн. — М.: Фнзматлит, 1971. - 104 с.

9Иваиа» В.К. Дифференциально-операторные уравнения и некорректные задачи / В.К. Иванов, И.В. Мельникова, А.И. Фдлинков. — М.: Фнзматлит, 1995. — 384 с.

10Kozhanov А.1. Composity Type Equations and Inverse Problems / A.I. Kozhanov. — Utrecht: VSP, 1999.

1 'Демиденко Г.В. Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производной / Г.В. Демиденко, C.B. Успенский. — Новосибирск: Научная книга, 1998. — 438 с.

12Янушаускас А.И. Аналитическая теория эллиптических уравнений / А.И. Янушаускас. — Новосибирск: Наука, 1979. — 190 с.

13Бояринцев Ю.Е. Линейные и нелинейные алгебродифференциальные системы / Ю.Е. Боярин-дев. — Новосибирск: Наука, 2000. — 223 с,

'■•Чистяков В.Ф. Избранные главы теории алгебро-дифференциальных систем / В.Ф. Чистяков, A.A. Щеглова. — Новосибирск: Наука, 2003. — 320 с.

lsChen G. Initial boundary value problem for a system of generalized IMBq equations / G. Chen, II. Zhang // Math. Meth. Appl. Sei. - 2004. - Vol. 27. - P. 497-518.

ческих решений. Под классическим решением понимается функция u{t) класса Cl(Ei). Заметим, что вполне завершенная теория обобщенных решений вырожденных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, созданная С.Т. Завалищиным и А.Н. Сесекиным16, не допускает прямого обобщения на дифференциальные уравнения в банаховых пространствах, поэтому и возникла необходимость применения соответствующей теории по построению обобщенных решений вырожденных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах.

Построение обобщенных решений возможно двумя способами. Первый способ заключается в построении обобщенного решения в виде суммы регулярной и сингулярной составляющих путем непосредственного восстановления обеих частей, однако вопрос о единственности построенного решения остается открытым. Эту проблему полностью решает способ построения обобщенных решений, разработанный на кафедре математического анализа ИМЭИ ИГУ М.В. Фалалеевым17. Основным инструментом этого подхода является фундаментальная оператор-функция, соответствующая сингулярному дифференциальному оператору. При таком подходе обобщенное решение получается в виде свертки фундаментальной оператор-функции с правой частью уравнения — свободной функцией. Учет свойств операторных и матричных пучков в системе (1) осуществляется с помощью матричной фундаментальной оператор-функции.

Целью работы является построение матричных фундаментальных оператор-функций для различных типов систем вырожденных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах, получение на их основе обобщенных решений рассматриваемых задач и исследование связи между обобщенными и классическими решениями.

Достичь поставленной цели удалось комбинированием идей Треноги-на-Сидорова, Свиридюка с методами теории матриц.

Методы исследования. В работе использована теория фундаментальных оператор-функций вырожденных дифференциальных операторов в банаховых пространствах, теория жордановых наборов фредголь-мовых и нетеровых операторов, теория полугрупп операторов с ядра-

'"Завалящил С.Т. Импульсные процессы; модели и приложения / С.Т. Завалюцнп, А.Н. С'есе-кин. — М.: Наука, 1991. — 256 с.

17Lyapunov-Schmidt Methods in Nonlinear Analysis and Applications / N. Sidorov, B. Loginov, A. Sinitsyn and M. Falaleev. — Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2002. — 548 p.

ми, теория псевдообращения линейных операторов, а также сведения из функционального анализа и теории матриц.

Научная новизна. В диссертационной работе результаты, полученные ранее М.В. Фалалеевым и Е.Ю. Гражданцевой для одного уравнения, перенесены на системы вырожденных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах как в обыкновенных, так и в частных производных и проиллюстрированы примерами.

Все результаты, представленные в диссертации, являются новыми и получены автором самостоятельно.

Теоретическая и практическая значимость работы. В диссертации получены результаты теоретического характера, они имеют существенное значение для теории дифференциальных уравнений, неразрешенных относительно старшей производной, в банаховых пространствах.

Построенные в диссертации матричные фундаментальные оператор-функции для системы уравнений позволят записать в замкнутой форме ее обобщенное решение, принадлежащее классу распределений с ограниченным слева носителем, доказать единственность такого решения, а также определить условия существования классического решения исходной задачи, избегая непосредственного его построения. Полученные результаты могут быть использованы при исследовании задач прикладного характера.

Результаты диссертации могут быть включены в спецкурсы для сту-денгов-математиков ИМЭИ ИГУ и использоваться студентами и аспирантами кафедры математического анализа ИГУ при написании курсовых, дипломных работ и кандидатских диссертаций.

Исследования по теме диссертации проводились в рамках основных плановых тем ИГУ:

• Федеральная целевая программа (Минобразования) "Интеграция науки и высшего образования России". Развитие научных исследований "Учебно-научным центром фундаментального естествознания" (2002-2006 гг.);

• "Развитие исследований в области естественных наук в рамках основных научных направлений" (Иркутский государственный университет) (2006-2008 гг.);

• "Сингулярные системы дифференциальных уравнений в банаховых пространствах специального вида" (Грант для поддержки НИР аспирантов и молодых сотрудников ИГУ, № темы 111-02-000/7-02) (2007 г.);

• "Алгоритмический анализ сингулярных моделей: идентификация, регуляризованные приближенные методы и приложения" (Федеральное агентство по образованию, №091-08-102) (с 2008 г,).

Апробация работы.

Результаты диссертации были представлены на следующих конференциях: ежегодные научно-теоретические конференции молодых учёных ИГУ (г. Иркутск, 2004, 2005, 2006, 2007), ежегодные конференции ИДСТУ СО РАН "Ляпуновские чтения & презентация информационных технологий" (г. Иркутск, 2004, 2007), IV и V Всесибирские Конгрессы жешцин-математиков (г. Красноярск, 2006, 2008), Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, 2006), I и II Международные научно-технические конференции "Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем" (г. Пенза, 2006, 2007), Всероссийская научная конференция "Математика. Механика. Информатика" (г. Челябинск, 2006), III Межвузовская зональная конференция, посвященная памяти профессора Б.А. Бельтюкова "Математика и проблемы ее преподавания в вузе" (г. Иркутск, 2007), Международная конференция, посвященная 100-летию со дня рождения академика И.Н. Векуа "Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения" (г. Новосибирск, 2007), I Международная научно-техническая конференция молодых специалистов, аспирантов и студентов "Математическое и компьютерное моделирование естественнонаучных и социальных проблем" (г. Пенза, 2007), IX Международная Четаевская конференция "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением", посвященная 105-летию Н.Г. Четаева (г. Иркутск, 2007), III-я Международная конференция "Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования", посвященная 85-летию Л.Д. Кудрявцева (г. Москва, 2008), Школа-семинар "Нелинейный анализ и экстремальные задачи" (г. Иркутск, 2008), а также на семинаре кафедры уравнений математической физики ЮжноУральского государственного университета (г. Челябинск) под руковод-

ством профессора Г.А. Свиридюка и систематически докладывались иа семинаре кафедры математического анализа Института математики, экономики и информатики ИГУ под руководством профессора Н.А. Сидорова.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 24 работы. Список основных публикаций приведен в конце автореферата, из которых [1] входит в список журналов, рекомендованных ВАК для опубликования основных результатов кандидатских и докторских диссертаций по математике.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 4-х глав и списка литературы. Работа изложена на 154 страницах. Библиографический список содержит 103 наименования.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, формулируется цель работы, дается обзор литературы по исследуемой проблеме.

Первая глава содержит вспомогательные результаты и определения.

В разделе 1.1 изложены необходимые сведения о жордановых наборах ф]мздгольмовых и нетеровых операторов.

Пусть Ei, Е'2 — банаховы пространства; В, А — замкнутые линейные операторы из Ei в Е2; D(B) — D{A) = E¡, D(B) с D(A); оператор В необратим.

Если оператор В фредгольмов, то дополнительно предполагается, что: _

A) dim N{B) = dim N{B*) = n, R{B) = R{B), {<pu % = 1,..., n} - базис в N(B), \фи i - 1, ...,n} — базис в N(B*), {7,- 6 E¡, i = l,...,n}, {zí S Б?, i — 1,..., n} — соответствующие биортогональные системы элементов, т.е. {(р^, 7у) = (г,-, tyf) = 0ц, i, j - 1,..., щ

B) оператор В имеет полный А-жорданов набор, состоящий из элементов

(г — 1,...,п, к = таких, что ípf] ^ <ри <P¡k) €

i — 1,...,«, к = 2,... , p¿, и имеют место соотношения

- 0, Bipf = A^f"1', г = 1,..., n, fc — 2,... ,Pi, det{Acpíw),Vj)^01 i-, 3 — 1, •. • ,n.

Если оператор В нетероп, то накладываются следующие предположения:

C) dim N(B) — n, dim N(B*) = m, n ф m, {ipu i = 1,...,n} — базис в N(B), j = 1,..., m} - базис в N(B*), {7i e E*u i = 1,..., n}, {Zj € E2, j — 1,..., m} — соответствующие биортогональные системы элементов, т.е. (у= öi!e, i, к = 1,...,п, — ökj, к, j = 1

D) существуют элементы (г = 1,..., n, к — 1,..., рг), составляющие полный А-жорданоа набор оператора В, т.е.

В<р?> = А<р\к-1\ i=l,...,n,k = 2,...,pi,

rank ijfp) = min (m, n) — I, i — 1,..., n, j = 1,..., m.

В разделе 1.2 приведены сведения из теории матриц и матричных пучков.

Пусть Л — числовая матрица, Ль ..., А^ — ее характеристические числа. Тогда существует невырожденная матрица Т порядка s такая, что

Л = Т ■ J ■ Т~\ (5)

где

J = diag {Лт/г/, + Hq,, A2/fe + Яй, .. •, + Н^} -

квазидиагональная матрица, Aj/?i + H4i — жорданова клетка порядка ф, <?i + <?2 4- ... + q^i = s. J называется нормальной жордановой формой матрицы Л.

Если все элементарные делители Л первой степени, то жорданова форма имеет диагональный вид и в этом случае

А —Т • diag {Аь Аз, ..., А,} - ОТ1.

В разделе 1.3 приведены основные определения и сведения из теории обобщенных функций в банаховых пространствах, введено определение матричной фундаментальной оператор-функции дифференциального оператора.

Рассмотрим матричный дифференциальный оператор вида

BS'{t) - AA6(t),

где В, А — замкнутые линейные операторы с плотными областями определения, действующие из Е\ в J32, D{B) С D(A); Л — квадратная матрица порядка s. Под записью B5'(t) понимается JsBö'{t), где 4 — единичная матрица порядка s.

Определение 1. Матричной фундаментальной оператор-функцией £{i) для дифференциального оператора B5'(t) — AA8{t) на классе К'+(Ег) назовем такую матричную оператор-функцию, для которой выполняются следующие два равенства:

(B6'(t) - AA6(t)) * £{t) * ü(t) = u(f) Vu(t) 6 K'JEo)

и

£{t) * (BS'(t) - AAö(t)) * v(t) = v(t) Vv(t) e K'+(Ei).

Здесь под u(t) £ К^(Е2) (или v{t) E K'+(Ei)) понимается вектор-столбец, каждая компонента которого является обобщенной функцией с ограниченным слева носителем со значениями в Е2 (или Е{).

Эффективность введения такого понятия объясняется следующей леммой.

Лемма 1. Если £{t) — матричная фундаментальная оператор-функция для дифференциального оператора B6'(t) — AAS(t'), то свер-точное уравнение

(B6'(t) - AA5{t)) * u(t) = h(t)

при любой правой части h(t) б К'+(Е2) имеет единственное решение в классе К'+{Е{) вида

u(t) = £(<)*h(t).

В этом же разделе построены матричные фундаментальные оператор-функции для дифференциального оператора IS'(t) — AA5(t) с ограниченным оператором А и для дифференциального оператора BS'(t) — i\AS(t) с непрерывно обратимым оператором В.

Для дифференциального оператора MB6'(t) — AA5(t) определение 1 и лемма 1 формулируются и доказываются аналогично.

Во второй главе исследуются сингулярные системы дифференциальных уравнений в банаховых пространствах.

В разделе 2.1 при различных условиях на операторы А, В рассматривается задача Коши для системы дифференциальных уравнений первого

порядка вида

BS(t) = \ATi(t) + 7(t), (6)

й(0) = Во, (7)

где tt(í), f(tj — вектор-функции размерности s, компоненты которых uv(t) — функции со значениями в банаховом пространстве Е\, a f„{t) — функции со значениями в банаховом пространстве у — 1,..., а; В, А — замкнутые линейные операторы из Е\ в Е^, D(B) — D(A) — Ei, D(B) С D(A); оператор В необратим, R(B) — R(B)\ под записью Au(t) (или Bñ(t)) понимается вектор-функция с компонентами Auv{t) (или Bü„(t)), и = 1, ...,s; Л — невырожденная квадратная матрица порядка

В разделе 2.1.1 построена матричная фу идам с 1ггал ь пая оператор-функция для дифференциального оператора B6'(t) — ЛA6(t) в случае, когда оператор В фредгольмов. Приведем одну из теорем этого раздела.

Теорема 1. Пусть в системе (6) det А ф 0 и выполнены условия А), В), тогда дифференциальный оператор B6'(t) — Aylá(í) имеет на классе К'+(Е2) матричную фундаментальную оператор-функцию вида

£(t) = TS(t) * diag {Ei(t), ЗД, ..., ВД} * T'4{t),

где T — невырожденная квадратная матрица порядка s из формулы (5), diag {E\(t), E-iit), ..., E^t)} —блочная квадратная квазидиагональная матрица порядка s вида

(Ex{t) 0 ... О \ О E2{t) ... о

(8)

V о о ... ед/

диагональные блоки которой Еи{Ь) — /9„£у(£) * <х(£„(£)) являются верх-иетреугольными квадратными матрицами порядка д„,

/18{г) М(Ь) * ад (АЩ) * ад)2 ... (ЛСД * ед)9"-^

(9)

0 Щ) AS(t) * £v(t) . .. (AS(t) * £v(t))^-2

0 0 fó(t) .. (A6(t) *

0 0 0 AS(t) * £v(t)

\ 0 0 0 JS(t) /

и

V- 1, и

£„(*) = Гел"АГ1

n Vi

t=i 1

E ff {!>

t=l LÄ=0 v j=l

Здесь и далее г = 1,..., n,j = 1,.. — полный Л*-жорданов набор оператора 2?*; Г — оператор Треногина-Шмидта18;

(A6(t) * £v(t))1 = (Л5(*) * £„(t)) * ■ • • * (AÄ(i) * £„(*)), / = 1,..., ft, - 1.

Следствие 1. Если в условиях теоремы 1 все элементарные делители матрицы Л первой степени, то матричная фундаментальная оператор-функция дифференциального оператора B5'(t)—AAö{t) имеет на классе К'+(Е2) вид

£{t) = T6(t) * diag {&(*), £2(t), ..., £s(t)}*T~x6(t).

Далее с помощью матричной фундаментальной оператор-функции находится обобщенное решение исследуемой системы и условия, при которых обобщенное решение окажется классическим.

Следствие 2. В условиях теоремы 1 задача Коши (6), (7) имеет единственное обобщенное решение класса К'+(Е\), которое находится по формуле

ад - £(t) * (J(t)9(t) + Bü05(t)). (10)

В случае, когда элементарные делители матрицы Л первой степени, формула (10) принимает вид

u{t) = Tw(t),

где при и — 1,..., s

Е [Ё{Е + (<

w„{t) =

18Вайнберг М.М. Теория ветвления решений нелинейных уравнений / М.М. Вайнберг, В.А. Тре-погнн. — М.: Наука, 1969. - 528 е.

X„AV(t-T)x

+ + / Ге

¿=1 J = 1 2=1 2 = 1 {

x ['- E£<•'(a„/1u.° + 5„(r)) dr)o(t)

= T-4o, g(t) = T-'/(i),

Pt-j

m=- £ т^ - л,

= -^r-7 + 5,(0), - —^ (¿(0), ф!^) -

-----i W4). » = I, ■ • ■,n, j = 1,...

Теорема 2. Пусть выполнены все предположения теоремы 1, все элементарные делители матрицы Л первой степени, входные данные задачи щ и 7(f) таковы, что с£ = 0 (г = 1,... ,п, j - 1,... ,р4, f = 1,..., s). Тогда обобщенное решение (10) задачи Коши (6), (7) окажется классическим и имеет вид

Щ = Tw(t),

где при v — 1,..., s

П Pi

¿=1 j=i

+ j ГсКЛЦ,-г) J, _ £ ^ ^fc+WJJ f rfr.

¿=1 7=1

В разделе 2.1.2 исследуется случай, когда оператор В нетеров. Сформулированы и доказаны две теоремы о виде матричной фундаментальной оператор-функции, соответствующие положительному (п > т) и отрицательному (п < т) значениям индекса оператора В, построены обобщенные решения задачи Коши (6), (7) и получены условия существования классических решений в обоих случаях. Показано, что при положительном индексе обобщенное решение является многопараметрическим, содержащим произвольные функции и свободные параметры.

Доказано, что все свободные параметры входят в сингулярную составляющую решения, а произвольные функции — в регулярную составляющую. При отрицательном индексе обобщенное решение принадлежит подклассу обобщенных функций из К'+(Е2), удовлетворяющих условиям

сНа8 {<гГ(*), аШ сгЩ)} * «(*) — 0, г = п + 1,..., т,

где diag {<т[(/), а^), ..., <?[,(£)} — блочная квадратная квазидиагональная матрица порядка а' с диагональными блоками верхнетреугольного типа

= К (еКАВП; Фг) *

Здесь В ' — псевдообратный оператор19, определяется по фор-

муле (9), в которой £„{£) заменяются на V — 1,..., д. Оператор-

функции ТУ{Х) имеют следующий вид:

ад = BW*AB+t\i -

I- Х~1 1 t^l 4=0 1 J

m-

В разделах 2.1.3-2.1.5 понятие матричной фундаментальной оператор-функции переносится на случаи, когда размерность ядра оператора В или длины Л-жордановых цепочек бесконечны. В этих пунктах соответственно рассмотрены случаи (в терминологии профессора Г.А. Сви-ридюка20) спектральной, секториальной и радиальной ограниченности операторного пучка В — цА. В каждом из трех случаев построены обобщенные решения задачи Коши (6), (7) с помощью соответствующей матричной фундаментальной оператор-функций и определены условия существования классических решений.

В разделе 2.2 результаты, полученные для систем дифференциальных уравнений первого порядка, обобщаются на системы дифференциальных уравнений высокого порядка вида

= AAü(t) + f(t). (11)

i0Nashed M.Z. Generalized Inverses and Applications / M.Z. Nashed. — New York: Academy Press. — 1976.

^Sviridyuk G.A, Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators / G.A. Sviridyule, V.E. Fedorov. - Utrecht; Boston: VSP, 2003.

Как и в разделе 2.1 здесь рассматриваются случаи, когда оператор В фредгольмов, иетеров, а также случаи спектральной, секториалыюй и радиальной ограниченности операторного пучка В — цА. В каждом из них построена матричная фундаментальная оператор-функция для дифференциального оператора Вб^ЦЬ) - ЛЛ<5(г).

Приведем результат для случая спектральной ограниченности операторного пучка цВ — А.

Оператор А называется спектрально ограниченным относительно оператора В, если 3 а > 0 такое, что при любом Щ > а оператор цВ — А непрерывно обратим. Пусть 7 — {ц 6 С \ |/1.| = г > а}, тогда операторы

являются проекторами в Е\ и Е-> соответственно, порождают разложения пространств Е\ и Е2 в прямые суммы Е\~ Е\® Е] — кег Р ф Щ1 Р, Е2 — Е2®Е\ = кегффкп д. Действия операторов В и А расщепляются, обозначим через В^Ль) сужение оператора В{А) на Е\ (к — 0,1). Тогда А0 : Е\' —» Ео и В\ : Е{ Е\ непрерывно обратимы, А\ : Е\ —> Е\ ограничен, (¿В — ВР, (}А — АР.

Теорема 3. Пусть в системе (11) сЫ Л -ф- 0, оператор А спектрально ограничен относительно оператора В. Тогда дифференциальный оператор Вб^ф — ЛА(5(*) имеет на классе К'+(Е2) матричную фундаментальную оператор-функцию

Здесь Т — невырожденная квадратная матрица порядка я из формулы (5), с№а§ {Сд'1(<)1 Сд-2(£), ..., С;у;1(г)} — блочная квадратная квазидиагональная матрица порядка .ч вида (8), диагональные блоки С?лг^(¿) имеют вид =-- где сг({ул'„(0) определяется по

формуле (9), в которой £„(£) заменяются на = 1, • • • 1 /¿)- При

этом

Яи{1) = тб(г) * Сдг2(*),..., * т-ЧЩ.

где

UNJt) = {nNB - A^f1 Be* d,i.

i

Если дополнительно предположить, что оо — несущественно особая точка операторного пучка (рВ — А)~г (т.е. 3 ре {0} U N такое, что (А^ВоУ ф 0, но (Ло^о)р+1 s 0), то очевидно

- UNMBTlQm - £ AoHl - Q)S^(t).

fe=о

Третья глава посвящена сингулярным системам дифференциальных уравнений в частных производных в банаховых пространствах.

Пусть Ei, Е2 — банаховы пространства, В, А — замкнутые линейные операторы из Е\ в Еп с плотными областями определения, оператор В необратим, Л — невырожденная квадратная матрица порядка s.

В разделе 3.1 рассмотрена система дифференциальных уравнений в частных производных вида

BVau(x) - ААй(х) + J (х).

Здесь а — (c*i, с*2, ..., ад/) — мультииндекс, т.е. целочисленный М-мерный вектор с неотрицательными координатами сц, х 6 RM, под записью Лм(Ш) .(или BVa~u{x)) понимается вектор-функция с компонентами Aii,,(x) (или ВТ>с,и„('х)), и — I,... ,s,

V М») ^ -дх«>дх? дхам -. |а| — Qj + Q2 4 ь aM-

В разделе 3.2 исследуется система дифференциально-разностных уравнений вида

дА'и -

В- ЛЛ (Ti(t, х-Л)- u(t,x)) + f(t, х). (12)

В каждом разделе этой главы рассмотрены случаи, когда оператор В фредгольмов, нетеров или обладает спектральной, секториальной или радиальной ограниченностью.

Приведем один из результатов раздела 3.2.

Системе уравнений (12) соответствует дифференциально-разностный оператор

Если оператор В нетеров, то справедливы следующие две теоремы: Теорема 4. Пусть в системе (12) сМ Л -ф 0, выполнены условия С), Б) и п > т. Тогда дифференциально-разностный оператор имеет на классе А''(Я1, 0 Лм; Е?) матричную фундаментальную оператор-функцию вида

Здесь Т — невырожденная квадратная матрица порядка в из формулы (5), diag {{I,х), х), ..., — блочная квадратная квазидиагональная матрица порядка в вида (8), диагональные блоки х) являются верхнетреугольными квадратными матрицами порядка ц» вида = /^дДж) * ет(^„(г,х)), где определяется формулой (9), в которой свертка А5({) * £„{£) заменяется на /М(4)Д„«(Зс) * и = 1,..., г. Здесь

£лг(ад, 6(х)) = ■ 6(х) - АА6Ц) ■ (6(х - р) - ¿(ж)).

х I1- Е £<•> ^м^-'Н ад • (д д*))*-1-»-

п Pi

<=1 ¿=1

*=1 0 ^

*=1 >-¿=0

—Аг—1, _(р4—— Л

и введены обозначения

Д^ж) = ¿(ж — д) - 6(х),

(Л^(х))к = (¿(з?-р) - ¿(з?)) * • • • * (г(з? - й - г(г)) =

>И1 I !■■■■! III ^ИЧ! 114 I———✓

к

к

Вш 0r) - Y, °м0(ш - №-Д)- Í(a0)° = йо(5Т) - S(x). 1=0

Теорема 5. Пусть в системе (12) det А ф О, выполнены условия С), D) и п < т. Тогда матричная оператор-функция Jjv(í,ic) из теоремы 4 является фундаментальной для дифференциально-разностного оператора CN(6(t), 6(х)) на подклассе обобщенных функций из K'(R\_<&RM\ Fn), удовлетворяющих условиям

diag arNi{t,x), ..., aTN¡t{t,x) j *Ti(t,x) = 0, r = n+l,...,m,

где diag jo^í,x), arNi(t,x), ..., — блочная квадратная ква-

зидиагональная матрица порядка s с диагональными блоками

00 ¿Лгс— 1

■ {5(х -JL)- 6(х))к * o{FNli(t, х)), V = 1,..., /л,

представление для a(T^u(t,J:)) см. в теореме 4.

В четвертой главе исследуется задача Коши для системы дифференциальных уравнений специального вида

MBtiN\t) - AAñ(t) + J(t),

В(0) = Во, B'(O) = ñb ..., ^-«(О) = Tin-i, где ñ(t), f{t) — вектор-функции размерности s, компоненты которых ujt) — функции со значениями в банаховом пространстве Е\, a fv(t) — функции со значениями в банаховом пространстве Е->, и — 1,..., s; В, А — замкнутые линейные операторы из Ег в D(B) = DIA) — Ei, D(B) с D{A)\ оператор В необратим, R{B) = R(B), оператор А непрерывно обратим. Под записью Añ{t) понимается вектор-функция с компонентами Aujt), v— 1,..., s; М, Л — квадратные матрицы порядка s, det М = О, det А ф о.

Пусть матричный пучок fiAÍ - Л регулярен.

Определение 221. Пучок матриц цМ — Л называется регулярным, если 1) М и Л — квадратные матрицы одного и того же порядка и 2) det (цМ - Л) ф 0.

а1Гантмахер Ф J*. Теория матриц / Ф.Р. Гаытмахер. — М.: Наука, 1966. — 576 с.

Утверждение 1 [там же]. Если пучок матриц регулярен, то существуют невырожденные матрицы Р и С} порядка в такие, что

где 1Ч и 1ц-ч — единичные матрицы соответствующих порядков, Ь — матрица жордановой структуры порядка q, Н — сПец {Я), Я2, ..., Я*}, Н] — жордановы нильпотентные блоки порядка тп^, у которых элементы первой "наддиагонали" равны единице, а все остальные элементы равны нулю: Н™' — 0, лц + т2 + • • ■ + ТП} — а — <7, ] = 1,..., г.

В диссертации полностью исследован случай Н — 0. Это означает, что матрица М не имеет Л-присоединенных векторов.

При некоторых дополнительных предположениях, опираясь на результаты второй главы, построены матричные фундаментальные оператор-функции для дифференциального оператора — КА&{1) в случаях вырождения операторного пучка В — цА, которые были перечислены выше.

РЕЗУЛЬТАТЫ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1. Построены матричные фундаментальные оператор-функции для вырожденных систем дифференциальных уравнений первого порядка в банаховых пространствах в случаях фредгольмова или нетерова оператора при производной, а также в условиях спектральной, сек-ториальной или радиальной ограниченности операторного пучка. В каждом из них получены обобщенные решения в классе распределений с ограниченным слева носителем и условия существования классических решений.

2. Для регулярного матричного пучка в тех же случаях вырождения операторного пучка, что и в п. 1, построены матричные фундаментальные оператор-функции для дифференциальных операторов Аг-порядка, дифференциальных операторов в частных производных и дифференциально-разностных операторов.

3. На основе полученных результатов исследована разрешимость в классе распределений задачи Коши-Дирихле для системы дифференциальных уравнений Баренблатта-Желтова-Кочиной и для линеаризованной системы дифференциальных уравнений, описывающей колебательные процессы в молекуле ДНК.

СПИСОК ОСНОВНЫХ ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Фалалеев М.В. Системы дифференциальных уравнений с вырождением в банаховых пространствах / М.В. Фалалеев, О.В. Коробова // Сиб. мат. журн. - 2008. - Т. 49, № 4. - С. 916-927.

2. Коробова О.В. Задача Коши для вырожденного дифференциально-разностного уравнения первого порядка в банаховых пространствах / О.В. Коробова // Интеллектуальные и материальные ресурсы Сибири: сб. науч. тр. - Иркутск: Изд-во БГУЭП, 2005. - С. 218-226.

3. Коробова О.В. Сингулярные системы дифференциальных уравнений с матрицей и фредгольмовым оператором при производной в банаховых пространствах / О.В. Коробова // Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем: сб. статей 1 Междунар. науч.-техн. конф. молодых специалистов. - Пенза, 2006. — С. 34-37.

4. Коробова О.В. Сингулярные системы дифференциальных уравнений в банаховых пространствах / О.В. Коробова // Математика. Механика. Информатика. Тез. докл. Всерос. науч. конф. — Челябинск: Челяб. гос. ун-т, 2006. — С. 72.

5. Коробова О.В. Сингулярные системы дифференциальных уравнений специального вида с фредгольмовым оператором при производной в банаховых пространствах / О.В. Коробова // Вестник Иркутского ун-та: материалы ежегод. науч.-теорет. конф. молодых ученых. — Иркутск: Изд-во Иркут. гос. ун-та, 2007. — С. 105-107.

6. Коробова О.В. Сингулярные системы дифференциальных уравнений специального вида в банаховых пространствах / О.В. Коробова // Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения. Междунар. конф., посвященная 100-летию со дня рожд. И.Н. Векуа: Тез. докл. — Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск, 2007. — С. 206-207.

7. Коробова О.В. Сингулярные системы дифференциальных уравнений первого порядка в банаховых пространствах / О.В. Коробова

// Аналитическая механика, устойчивость и управление движением: Тр. IX Междунар. Четаевской конф., посвященной 105-летию Н.Г. Четаева. - Иркутск, 2007. - Том 5. - С. 138-144.

8. Коробова О.В. Сингулярные системы дифференциальных уравнений с нетеровым оператором при производной в банаховых пространствах / О.В. Коробова // Известия Иркутского ун-та, серия «Математика». — Иркутск: Изд-во Ирк. гос. ун-та, 2007. — Том 1. — С. 132-140.

$. Коробова О.В. Матричная фундаментальная оператор-функция дифференциально-разностного оператора в банаховых пространствах / О.В. Коробова. // Ляиуновские чтения & презентация информационных технологий. — Иркутск, 2007. — С. 15.

10. Коробова О.В. Сингулярные системы дифференциально-разностных уравнений с фредгольмовым оператором при производной в банаховых пространствах / О.В. Коробова // V Всесибирский конгресс женщин-математиков: Материалы конф. — Красноярск: РИО СФУ, 2008. - С. 227-231.

11. Коробова О.В. Сингулярные системы дифференциальных уравнений высокого порядка в банаховых пространствах / О.В. Коробова // Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования: Тез. докл. 3-й Междунар. конф., посвященной 85-летию чл.-корр. РАН, проф. Л.Д. Кудрявцева. - М.: МФТИ, 2008. - С. 281-282.

12. Фалалеев М.В. Обобщенное решение системы дифференциальных уравнений с вырождением в банаховых пространствах /М.В. Фалалеев, О.В. Коробова // Вестник Иркутского регионального отд-ния Академии наук Высшей школы России. Научный и общественно-информационный журнал. — Иркутск: Ирк. региональное отд-ние Академии наук высш. школы, 2008. — С. 180-186.

Подписано в печать 10.08.09. Формат 60x84 1/16. Печать трафаретная. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 120 экз. Заказ 59.

Издательство Иркутского государственного университета 664003, Иркутск, бульвар Гагарина, 36; тел. (3952) 24-14-36

Введение

Глава 1. Основные понятия и определения

1.1. Жордановы наборы операторов

1.1.1. Жордановы наборы фредгольмовых операторов

1.1.2. Жордановы наборы нетеровых операторов

1.2. Сведения из теории матриц и матричных пучков

1.2.1. Сведения из теории матриц

1.2.2. Сведения о матричных пучках

1.3. Обобщенные функции в банаховых пространствах

Глава 2. Сингулярные системы дифференциальных уравнений в банаховых пространствах

2.1. Сингулярные системы дифференциальных уравнений первого порядка в банаховых пространствах

2.1.1. Фундаментальная оператор-функция вырожденного дифференциального оператора с фредгольмовым оператором при производной

2.1.2. Фундаментальная оператор-функция вырожденного дифференциального оператора с нетеровым оператором при производной

2.1.3. Фундаментальная оператор-функция в условиях спектральной ограниченности операторного пучка

2.1.4. Фундаментальная оператор-функция в условиях сек-ториальной ограниченности операторного пучка

2.1.5. Фундаментальная оператор-функция в условиях радиальной ограниченности операторного пучка 89 2.2. Сингулярные системы дифференциальных уравнений высокого порядка в банаховых пространствах

Глава 3. Сингулярные системы дифференциальных уравнений в частных производных в банаховых пространствах

3.1. Сингулярные системы дифференциальных уравнений в частных производных специального вида в банаховых пространствах

3.2. Сингулярные системы дифференциально-разностных уравнений в банаховых пространствах

Глава 4. Сингулярные системы дифференциальных уравнений специального вида в банаховых пространствах

Многие начально-краевые задачи, возникающие в приложениях, можно редуцировать к дифференциальным уравнениям в банаховых пространствах с необратимым оператором при старшей производной и соответствующим этим уравнениям задачам Коши. Такие уравнения принято называть сингулярными дифференциальными уравнениями (или, в иной терминологии, вырожденными дифференциальными уравнениями, уравнениями соболевского типа). Повышенный интерес к подобным уравнениям, неразрешенным относительно старшей производной, объясняется возможностью их применения к решению различных важных прикладных проблем, таких, например, как задачи о фильтрации и влагопереносе, о колебаниях в молекулах ДНК, о поперечных колебаниях пластин, о деформации механических систем и др., а также некоторых задач термоконвекции и электротехники (модели Баренблатта-Желтова-Кочиной1, Осколкова2, Хоффа, V.Dolezal, Свешникова-Габова-Плетнера-Корпусова3.

При редукции прикладных задач к вырожденным дифференциальным уравнениям в банаховых пространствах можно выделить два типа задач.

К первому типу отнесем задачи Коши вида

I) Bü(t) = Au(t) 4- f(t), и( 0) = и0,

1Баренблатт Г.И. Об основных представлениях теории фильтрации в трещинноватых средах / Г.И. Барепблатт, Ю.П. Желтов, И.Н. Кочина // IIMM. — 1960. — Т. 24, № 5. — С. 58-73.

2Осколков А.П. Начально-краевые задачи для уравнений движения жидкостей Кельвина-Фойгта и жидкостей Олдройта / А.П. Осколков // АН СССР, Ии-т математики. — 1988. — Т. 179. — С. 126-1G4.

3Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа / А.Г. Свешников, A.B. Альшин, М.О Корпусов и др. — М.: Физматли-г, 2007. — 73(> с. где В, А — замкнутые линейные операторы, действующие из банахова пространства Е\ в банахово пространство Е2, D(B) = D(A) — Ei, D(B) С D(A), оператор В необратим, f(t) — заданная функция со значениями в Е2, u{t) - неизвестная функция со значениями в Ег.

Результаты исследований задач I типа записываются обычно в терминах теории операторных пучков (В — АЛ), таких как, например, A-присоединенных элементов к базису ядра N(B), Л-спектр оператора В.

Ко второму типу отнесем задачи Коши вида

II) MBTi{t) = Л Añ(t) + /(í), ñ(0) = щ, где В, А — замкнутые линейные операторы, действующие из Е\ в Е2) Е\, Е2 — банаховы пространства, D(B) = D(A) = Ei, D(B) С D(A)} ñ(t) — искомая вектор-функция размерности s, каждая компонента которой является функцией со значениями в Ei, f(t) —заданная вектор-функция размерности s, каждая компонента которой является функцией со значениями в Е2, под записью Añ(t) (или Bñ(t)) понимается вектор-функция (столбец) с компонентами Auu{t) (или Bii„(t)), у = 1,., s, Л/, Л — квадратные матрицы порядка s.

Задачи второго типа обладают двойным эффектом: при их исследовании необходимо учитывать как структуру операторного пучка (В — АЛ), так и матричного пучка {¡iM — Л). Для каждого из пучков можно рассмотреть два случая (вырожденный и невырожденный). Операторный пучок (В — ХА) называют вырожденным, если оператор В необратим, и невырожденным, если существует ограниченный обратный оператор В~1. Соответственно матричный пучок (/iM — Л) вырожден, если det М = 0, и невырожден, если det М ^ 0.

В случае невырожденности операторного пучка (В — ХА) задача II заменой и = В~1у сводится к задаче ААо{г) + /(*), и(0) = Вщ с единичным (тождественным) оператором при производной, где А = АВ~\

Соответственно в случае невырожденности операторного пучка (/¿М — Л) задачу II заменой й = М~1гВ можно свести к задаче вш{ь) = САав(ь) + /(£),

1/7(0) = Мщ с единичной матрицей при производной, здесь С = КМ"1.

Таким образом, не ограничивая общности, можно выделить 4 варианта задач II тина, а именно:

1. В — I, М = /;

2. В = /, М ф /;

3. Вф 1}М = 7;

4. В ф1,Мф I.

Именно задачам второго типа посвящена данная работа, полностью исследованы варианты задач 1), 3) и 2), 4) в частном случае.

Если исследованиям разрешимости задач Коши I типа посвящено большое количество теоретических и практических работ, то про задачи Коши II типа такого сказать нельзя, хотя встречаются начально-краевые задачи прикладного характера, как, например, задача о колебаниях в молекулах ДНК [71], которые редуцируются именно к задачам II типа.

Не ставя перед собой цели дать полный обзор работ по исследованию задач I типа, отметим некоторые из направлений исследований (наиболее интересных по мнению автора), часть результатов которых будет использоваться в диссертации. Профессором В.А. Треногиным и его учеником профессором H.A. Сидоровым в цикле работ [42-47, 50, 51, 73] были исследованы трудные задачи ветвления решений вырожденных нелинейных уравнений, в которых А = 0 являлась изолированной особой точкой операторного пучка (В—ХЛ) с фредгольмовым оператором В, что эквивалентно существованию полного Л-жорданова набора для оператора в [7]. Ими был использован обширный арсенал средств, включающий методы Ляпунова-Шмидта, неопределенных коэффициентов, асимптотические методы, регуляризации в смысле А.Н. Тихонова. В дальнейшем H.A. Сидоровым был предложен наиболее общий подход к исследованию таких задач, использующий теорию возмущений линейных операторов, псевдообращения линейных операторов, аппарат обобщенных жордановых цепочек, метод диаграммы Ньютона, асимптотическую теорию особых точек дифференциальных уравнений, групповые методы, теорию полугрупп, в том числе исследована задача Коши I типа с нетеровым оператором в [48, 49]. Другому ученику В.А. Треногина, профессору Б.В. Логинову, удалось исследовать бифуркации Андронова-Хоффа [32, 73] для нелинейных уравнений, основываясь на теоретико-групповых методах.

Профессором Г.А. Свиридюком в цикле работ [40, 41, 79] была создана теория полугрупп операторов с ядрами, эффективность которой проявилась при исследовании задач I типа в случае, когда будут бесконечны либо размерность ядра оператора либо длины А-жордановых цепочек. В рамках этой теории были получены результаты о разрешимости задачи Коши I типа в классе непрерывных функций при различных предположениях относительно операторного пучка (В — АЛ): спектральной, секториальной и радиальной ограниченности. Основной особенностью этих результатов является выделение и изучение фазового пространства дифференциальных уравнений, как множества, содержащего все его решения и являющегося замыканием множества допустимых начальных значений задачи Коши для этого уравнения. В дальнейшем ученик Г.А. Свиридюка, профессор В.Е. Фёдоров, распространил результаты работ [40, 79] для банаховых пространств на локально выпуклые пространства [63, 64]. Последующие приложения этих результатов отражены в работах их учеников [17, 18, 37, 67].

В школе профессора С.Г. Крейна [26-29] также исследуют задачи Коши I тина в банаховых пространствах при различных условиях на операторные коэффициенты А и В. Так, в работе [28] С.Г. Крейном и Б.В. Осиповым исследовалась задача Коши для однородного уравнения Вй — Аи в случае обратимости операторного пучка (В + С.П. Зубовой и К.И. Чернышевым [19, 20] рассматривалась задача Коши для неоднородного уравнения Вй — Аи + / при условии регулярности операторного пучка (В + АА), Г.А. Куриной в работах [30, 31] рассмотрены возмущенные уравнения (В + еК)й — Аи -I- £)?;(£) в случае конечномерных пространств и изучены вопросы управляемости такими системами.

Профессор И.В. Мельникова построила теорию М, ЛГ-функций, обобщающую понятия косинус-, синус-функций, и успешно применила ее к исследованию дифференциального уравнения второго порядка вида й + А\й + Аои = / в банаховых пространствах. Дальнейшие исследования были продолжены ее учениками [21, 34-36]. В последующем результаты И.В. Мельниковой с помощью идей теории полугрупп операторов с ядрами Г.А. Свиридюка были распространены в [18] на уравнения вида Вй + Ахй + А0и = /(£).

Профессор А.И. Прилепко в работах [38, 75] заложил основы нового направления в теории вырожденных дифференциальных уравнений, применив ее к решению обратных задач "прогноз-управление" и "прогноз-наблюдение" для эволюционных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах. В этих работах А.И. Прилепко приведены новые постановки обратных задач дифференциальных уравнений, применимых в теории оптимального управления.

При рассмотрении задач I типа в гильбертовых пространствах (как в частном случае банахова) появляются некоторые новые эффекты, ознакомиться с которыми можно по монографиям С.Г. Пяткова [76] и И.Е. Егорова, С.Г. Пяткова, C.B. Попова [15] и по работам из библиографических списков к этим книгам.

Псевдопараболические операторно-дифференциальные уравнения с помощью теории монотонных операторов рассмотрены в монографии X. Гаевского, К. Грегера, К. Захариса [12].

Если в качестве банаховых пространств выбрать соболевские пространства функций, зависящих от ж, с некоторыми граничными условиями, а в качестве операторов А и В — дифференциальные операторы по х, то задача Коши I приобретает структуру начально-краевой задачи для систем дифференциальных уравнений в частных производных. Таким системам, как самостоятельному объекту исследований, посвящена весьма обширная библиография. Отметим здесь работы А.И. Ко-жанова [22-24, 72], посвященные начально-краевым задачам для дифференциальных уравнений вида

Ащ 4- Ви = f(t, х) с вырождающимися эллиптико-параболичсскими дифференциальными операторами А, В четного порядка по пространственным переменным ж, А.И. Янушаускаса [70] по развитию аналитической теории эллиптических уравнений, Г.В. Демиденко и C.B. Успенского, рассматривавших в своей монографии [14] эволюционные уравнения вида

1-1

A0Dltu + Аг-kDiu = Ж х), к=О где Л\, ., Ai — линейные дифференциальные операторы по переменным х, причем Aq не удовлетворяет условию невырожденности.

Неклассические уравнения математической физики рассматривали в своих работах В.Н. Врагов [11], М.И. Вишик [8], А.Г. Костюченко и Г.И. Эскин [25], R.E. Schowalter [77].

Если в качестве банаховых пространств рассматривать конечномерные, то в этом случае операторами An В являются матрицы и задача типа I становится задачей Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Большой вклад в развитие теории и численных методов решения вырожденных систем обыкновенных дифференциальных уравнений внес профессор Ю.Е. Бояринцев [1-4], исследования которого были продолжены его учениками В.Ф. Чистяковым [5], A.A. Щегловой [66], М.В. Булатовым [6].

В основе проведенных ими исследований лежит результат классической теории матриц, который приведен здесь в формулировке из широко известной монографии Ф.Р. Гантмахера [13].

Пучок матриц (АЛ — В) называется регулярным, если 1) А и В — квадратные матрицы одного порядка и 2) det (АА — В) ^ 0. Для регулярного пучка справедливо каноническое представление [13, с. 332335]: где Р, Q — постоянные невырожденные матрицы порядка s, L — матрица жордановой структуры порядка д, Е^ и — единичные матрицы соответствующих порядков, Н = diag {-Hi, -£/2, • • -, Н{}, Hj — жордановы нильпотентные блоки порядка rrij,

Hjh = 0, mi + rri2 +■•■-{- rrij = s — q, j = 1,., i.

В монографиях Ю.Е. Бояринцева [1-4] с помощью канонического представления пучка построены базовые матрицы, посредством которых решение алгебро-дифференциальной системы (АДС) вида dt с постоянными матрицами А и В, det/1 = 0 и регулярным пучком (АЛ — В) сводится к решению невырожденной системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

В.Ф. Чистяков в своих работах [5, 65, 66] развил метод левого регу-ляризатора. В статьях A.A. Щегловой [68, 69, 78] метод левого регуля-ризатора применен для исследования линейных АДС с переменными коэффициентами и АДС с отклоняющимся аргументом.

Задачи типа II, рассматриваемые в диссертационной работе, обладают двойной структурой, поэтому для их полного исследования требуется учитывать как свойства операторного пучка (В — АЛ), так и матричного (¡jlM — А). Достичь поставленной цели удалось комбинированием идей Треногина-Сидорова, Свиридюка с методами классической теории матриц.

В работе преимущественно строятся обобщенные решения, из которых уже, как следствие, можно получать непрерывные (классические) решения. Заметим, что вполне завершенная теория обобщенных решений вырожденных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, созданная профессором С.Т. Завалищиным [16 и библиография в ней], не допускает прямого обобщения на дифференциальные уравнения в банаховых пространствах, поэтому и возникло новое самостоятельное направление исследований по построению обобщенных решений вырожденных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах.

Построение обобщенных решений возможно двумя способами. Первый способ заключается в построении обобщенного решения в виде суммы регулярной и сингулярной составляющих путем непосредственного восстановления обеих частей [52, 54]. Недостаток этого способа заключается в том, что обобщенное решение ищется конкретного вида и в этом случае о единственности построенного решения можно говорить лишь в "зауженном" классе, определяемом видом решения. Этого недостатка полностью лишен способ построения обобщенных решений, разработанный на кафедре математического анализа ИМЭИ ИГУ М.В. Фалалеевым. Основным инструментом этого подхода является фундаментальная оператор-функция, соответствующая сингулярному дифференциальному оператору [73]. При таком подходе обобщенное решение получается в виде свертки фундаментальной оператор-функции с правой частью уравнения — свободной функцией. Знание фундаментальной оператор-функции позволяет записать в замкнутой форме обобщенное решение, принадлежащее классу распределений с ограниченным слева носителем, а также определить условия существования непрерывного решения задачи, избегая непосредственного его построения.

В работах [55-62] с помощью этой технологии были построены фундаментальные оператор-функции для различных широких классов дифференциальных операторов в банаховых пространствах.

Конструкция фундаментальной оператор-функций используется и в данной работе при построении обобщенных решений. Но поскольку задача II имеет двойную структуру, то учет свойств операторных и матричных пучков осуществляется с помощью матричной фундаментальной оператор-функции — основного (ключевого) понятия диссертации.

Краткое содержание диссертации

Первая глава является вспомогательной и содержит основные понятия и определения, используемые в работе.

В п. 1.1 изложены необходимые сведения о жордановых наборах фредгольмовых и нетеровых операторов [7, 33, 39, 48, 49, 53, 74]. Пусть Е\,Е2 — банаховы пространства, В, А — замкнутые линейные операторы из Е\ в Е2, В(В) = И (А) = Е(В) С О (А), оператор В необратим.

Далее в работе, если оператор В фредгольмов, то будут предполагаться выполненными условия:

A) dim N(B) = dim N(B*) = n, R{B) = R(B), {iph i = l,.,n} — базис в N(B), {фи г = 1 , .,n} - базис в N(B*), {7» G E{, i = 1,., n}, {zi G E2, i = 1, • • •, n} — соответствующие биортогональные системы элементов, т.е. (ip\l\jj) — (z{, ф^) — i, j — 1,., n;

B) оператор В имеет полный А-жорданов набор, состоящий из элементов {ipf \ i = 1,., п, k = l,.,pi} таких, что = iph ipf^ G Ei, i = 1,. , п, к = 2,. и выполняются соотношения

Б^« = 0, = Acptl\ f = 1,. ,n, fc = 2,. причем

1е1 г, ¿ = 1,.,п.

Из условия В) следует, что существует полный А*-жорданов набор оператора Б*, т.е. существуют такие элементы ф^ = ф^ ф^ е г = 1,., п, к — 2,. что справедливы соотношения 0, В*4к) = А*ф\к~1\ г = 1,. ,п, к = 2,. ,Рг, причем det ЬьА*^) ф О, i,j = l,.,n.

Если оператор В нетеров, то выполненными будем считать условия: С) dim N(B) = n, dim N(B*) = m, n ■ф m, 4 = 1,., n) — базис в N{B), {фh j = 1,. ,m} - базис в 7V(£*), {7i G г = 1,. ,n}, G .7 = 1,., m} — соответствующие биортогональные системы элементов, т.е. (</?f \ = ¿jjfe, г, /г = 1,., n, = % к, j =

1,. ,ш; составляют полный

Б) элементы , г = 1,.,п, к — сос;

А-жорданов набор оператора в, т.е. элементы таковы, что bvf> = avf~1] г — 1,., n, А; — 2,., причем rank min (m, n) = /, ?' = 1,., га, j = 1,., m; функционалы = 1, • • •, к = 1,. удовлетворяющие равенству

В*^ = л' = 1,. ,т, к = 2,. причем rank min (т, п) = /, г = 1,., n, j = 1,., т, образуют соответственно полный А*-э/сорданов набор оператора В*.

В п. 1.2 представлены сведения из классической теории матриц и матричных пучков [13], используемые далее в работе.

Пусть Лх, ., Ар — характеристические числа матрицы Л. Тогда матрица Л имеет нормальную жорданову форму квазидиагонального вида

3 = + А2ЕМ + ., Х^Е^ + , где ХгЕ^ + Н^ — квадратная матрица порядка qi #(*> =

Л, 1 о . о о

О Ai 1 . О О

О 0 0 . Аг 1 у О О О . О Агу <72 + • • ■ 4- д^ = б и существует невырожденная матрица Т порядка 5 такая, что а = т • 3 • Т-1, (1.2.2)

Далее везде в работе обозначение Т закреплено именно за этой матрицей, посредством которой матрица Л приводится к своей жордано-вой форме.

В частности, если все элементарные делители Л первой степени, то жорданова форма имеет диагональный вид и в этом случае

Л = Т • diag {Ль Л2, AJ-T-1.

Пункт 1.3 содержит основные понятия теории обобщенных функций в банаховых пространствах и действия над ними, здесь же введено новое понятие матричной фундаментальной оператор-функции дифференциального оператора — основное понятие диссертации. Введенная конструкция позволяет провести полное исследование задачи II в классе обобщенных функций с ограниченным слева носителем. Воспроизведем здесь это понятие.

Пусть Е2 — банаховы пространства. Рассмотрим матричный дифференциальный оператор вида

BÖ'(t)-AAS(t), где В, А — замкнутые линейные операторы с плотными областями определения, действующие из Е\ в Е2, D(B) С D(A), А — квадратная матрица порядка s. Под записью BS'(t) понимается E^B5'(t), где Е^ — квадратная единичная матрица порядка s.

Определение 1.3.7. Матричной фундаментальной оператор-функцией £{t) для дифференциального оператора (BÖ'(t) — AAö(t)) на классе К'+(Е2) назовем такую матричную оператор-функцию, для которой выполняются следующие два равенства

Bö'(t) - AAS(t)) * £{t) * = Цг) \/Щ e K'+(E2) и t) * [B5\t) - AA8(t)) * V(t) = Щ Vü(i) <= K'+iE,).

Здесь под г!(£) 6 К'+(Е2) (или г>(£) е К'+{Е\)) мы понимаем вектор-столбец, каждая компонента которого является обобщенной функцией с ограниченным слева носителем со значениями в Е2(Е\).

В этом же пункте построены матричные фундаментальные оператор-функции для дифференциального оператора — ЛЛ<5(£)) с ограниченным оператором А и для дифференциального оператора (В6'(£) — с непрерывно обратимым оператором В.

Во второй главе исследуются сингулярные системы дифференциальных уравнений в банаховых пространствах.

В п. 2.1 при различных условиях на операторы А, В рассматривается сингулярная система дифференциальных уравнений первого порядка вида

ВЩ = ААй(г) + /(£) (2.1.1) с начальным условием й(0)=йо, (2.1.2) здесь f(t) — вектор-функции (столбцы) размерности 5, компоненты которых и^) — функции со значениями в банаховом пространстве а /г/(£) — функции со значениями в банаховом пространстве Е'г, V = 1,., я, В, А — замкнутые линейные операторы из Е\ в Е2) -О(Б) = В(А) = Еи И (В) С И (А), оператор В необратим, В,(В) = Я(В), под записью Аг¿(¿) (или Бг1(£)) понимается вектор-функция (столбец) с компонентами Аи¡,(£) (или Вйу = 1,., б, Л — невырожденная квадратная матрица порядка е.

В п. 2.1.1 построена матричная фундаментальная оператор-функция для дифференциального оператора — АА6(1)) в случае, когда оператор В фредгольмов.

Теорема 2.1.1. Пусть в системе (2.1.1) с1е! А ф О и выполнены условия А), В). Тогда дифференциальный оператор (В6'(1) — АА6(1)) имеет на классе К'+(Е2) матричную фундаментальную оператор-фу нкцию вида t) = TS(t) * E2(t), . • •, ЗД} * T~lö(t), здесь Т — невыроэюдеиная квадратная матрица порядка s из формулы (1.2.2), {Ei(t), E2(t), ., Eß(t)} — блочная квадратная квазидиагональная матрица порядка s вида

Ei(t) 0 . О ^ О E2(t) . О О о . E^t))

2.1.3) диагональные блоки которой являются верхнетреугольными квадратными матрицами порядка ди вида Ер{1) = Е^Е1,{1)^а{Ер{{)), l8{t) A8(t)*£„(t) (A8{t) * £v{t)f . ■ (A6(t) * 6v(t))

О I8(t) A8(t)*£v(t) . • (AS(t) *£v(t))^~2

О 0 I6(t) . ■ (A8(t) * £v(t))*-3

О О о о о о

T8(t) AS(t) * £v{t)

О I8(t)

2.1.4) где и — 1,., /i и v(t) = YeXvÄTt п Pi т

•=1 3=1

TL r^i-l fPi-k i=i 1-£=0 Lj=1 здесь и далее везде Г — оператор Треногина-Шмидта,

A6(t) * £v{t))1 = (ЛСД * £„(*)) * • • • * (ЛСД * £„(*)), / = 1, ■ ■ ■, qv - 1.

V" I

Справедливо

Следствие 2.1.1. Если в условиях теоремы 2.1.1 все элементарные делители матрицы Л первой степени, то матричная фундаментальная оператор-функция дифференциального оператора (B6'(t) — AAö(t)) имеет на классе К'+(Е2) вид

E{t) = T6(t) * {£(*), S2(t): ., £s(t)}*T-l6(t).

Далее с помощью матричной фундаментальной оператор-функции находится обобщенное решение исследуемой системы и условия, при которых обобщенное решение окажется классическим. Эти результаты сформулированы в виде приведенных ниже следствий 2.1.2 и теоремы 2.1.2.

Следствие 2.1.2. Если выполнены условия теоремы 2.1.1, то задача Коши (2.1.1)-(2.1.2) имеет единственное обобщенное решение класса K'+(Ei), которое восстанавливается по формуле

S(i) = £(t) *,fflt)6(t) + BüQÖ(t)) . (2.1.5)

В случае, когда элементарные делители матрицы Л первой степени, формула (2.1.5) переписывается в виде

4{t) = TW(t), где при у — 1,., s п гРг-1 с к -ч , w = -£ Eisс^-^-'у*-1-^) + u+ п Рг п Pi * t'i ii уг л i=i j=1 i=1 1 { n Рг s

-Е E<-> (vk+«fr)««),

3 = 1 n Рг x

1 i=l гттО T-l— —/.\ rp-Г здесь введены обозначения itr = Т 1iio, g(t) — - E JR? (fl?1 w jfc=o

С& = -фз (^М + 3,(0), ф^) - {т, ^ -----¿Г ^""(О),^1') , г = 1, • • ■ ,П, .7 = 1,. ,К

Теорема 2.1.2. Если в условиях теоремы 2.1.1 все элементарные делители матрицы Л первой степени и с^ = 0, г = 1,. ,п, j = 1,.,р1, V = 1,., то обобщенное решение (2.1.5) задачи Коши (2.1.1)—(2.1.2) окажется классическим (гладким) и имеет вид й(г) = Тш(1), где при V = 1,., б

П Рг шМ = + ЕЕ^СОАГ1^ ¿=1 3 = 1

1 п Рг I ГеКАТ(г-г) |7 - ^ + зЛт)) ¿т.

0 1=1

В п. 2.1.2 исследуется случай, когда оператор В нетеров: сформулированы и доказаны две теоремы о виде матричной фундаментальной оператор-функции, соответствующие положительному (теорема 2.1.3) и отрицательному (теорема 2.1.4) значениям индекса оператора В, построены обобщенные решения задачи Коши (2.1.1)—(2.1.2) и получены условия существования классических решений в обоих случаях.

В п.п. 2.1.3-2.1.5 конструкция матричной фундаментальной оператор-функции переносится на случаи, когда размерность ядра оператора В или длины А-жордановых цепочек бесконечны. В этих пунктах соответственно рассмотрены случаи спектральной, секториальной и радиальной ограниченности операторного пучка (В — ^Л). В каждом из трех случаев построены обобщенные решения задачи Коши (2.1.1)-(2.1.2) с помощью соответствующей матричной фундаментальной оператор-функции и определены условия существования непрерывных решений.

В п. 2.2 результаты, полученные для систем дифференциальных уравнений первого порядка, обобщаются на системы дифференциальных уравнений высокого порядка вида

Вй^Щ = ААй(г) + /(*) (2.2.1) с начальными условиями й(0) = йо, й'(о) = йи ., й{м~1]{0) =

Как и в п. 2.1 здесь рассматриваются случаи, когда оператор В фред-гольмов, нетеров, а также случаи спектральной, секториальной и радиальной ограниченности операторного пучка (В — ¡лА). В каждом из них построена матричная фундаментальная оператор-функция для дифференциального оператора [Вб^{Ь) — ААб^)).

Приведем результат для случая спектральной ограниченности операторного пучка (¡лВ — А).

Оператор А [40, 79] называется спектрально ограниченным относительно оператора Л, если 3 а > 0 такое, что при любом |/л| > а оператор {цВ — А) непрерывно обратим. Пусть 7 = Е С : ¡¡л\ = г > а}, тогда пара операторов р = 77- - В ф, ф = / В{^В - А)-1 ф 2кг J шг J

7 7 являются проекторами в Е\ и Е2 соответственно, порождают разложения пространств Е\ и в прямые суммы Е1 = Е^®Е\ = кег Р®\т Р и1?2 = ^20Ф^2= кегф Ф ¡т . Действия операторов В и А расщепляются, причем Ао : —» и В\ : Е\ —> Е\ непрерывно обратимы, Аг : Е\ Е\ ограничен, <2В = ВР, Я А = АР.

Теорема 2.2.4. Пусть в системе (2.2.1) Л ф 0, оператор А спектрально ограничен относительно оператора В. Тогда дифференциальный оператор (Вб^^) — ЛЛс>(£)) имеет на классе К'+(Е2) матричную фундаментальную оператор-функцию дк{г) = тб{1) * {сг^И, ., * т^ед, здесь Т — невырожденная квадратная матрица порядка б из формулы (1.2.2), {Сд^^), •••> ^^СО} — блочная квадратная квазидиагональная матрица порядка в вида (2.1.3), диагональные блоки которой имеют видСц^) — > определяется по формуле (2.1.4), V = 1,., ¡л и где иКи{г) = ¿Т | (/^ - Л^)"1 Ве>*(1ц. 7

Если дополнительно предположить, что оо — несущественно особая тючка операторного пучка (/лВ — А)~] (т.е. 3 р € {0}и7У т,акое, чт,о (А^ВоУ ф 0, но {А^ВоУ^ = 0), то очевидно а:=0 ^

Третья глава посвящена сингулярным системам дифференциальных уравнений в частных производных в банаховых пространствах.

Пусть Е2 — банаховы пространства, В, А — замкнутые линейные операторы из Е\ в Еч с плотными областями определения, оператор В необратим, Л — невырожденная квадратная матрица порядка е.

В п. 3.1 рассмотрена система дифференциальных уравнений в частных производных вида

BVaй{x) = ААй{х) + /(ж), здесь а = (о^, ск2, ., ам) — мультииндекс, т.е. целочисленный М-мерный вектор с неотрицательными координатами ж = (з;х, ж2, хм)) й(х), /(ж) — вектор-функции (столбцы) размерности й, компоненты которых ии(х) — функции со значениями в Е\, а — функции со значениями в Еч, V = 1,.,5, под записью

Аи(х) (BVau(x)) понимается вектор-функция (столбец) с компонентами Аии(х) (BVaUj,(x)), и — 1,., s,

В п. 3.2 рассмотрена система дифференциально-разностных уравнений вида dNv

В-^ = АА (û(t, х-fi)- û(t, х)) + Ж х) (3.2.1) с начальными условиями щ(х), й'(0,х) — ггх(ж), . , ж) = ûn-I(x).

В каждом пункте этой главы рассмотрены все случаи вырождения для операторного пучка (В—рА): фредгольмовость, нетеровость, спектральная, секториальная и радиальная ограниченности. Приведем один из результатов п. 3.2.

Системе уравнений (3.2.1) соответствует дифференциально-разностный оператор

CN(6(t), 6(х)) = BSiN\t) ■ 6(х) - AAÔ(t) • {5(х -fi)- ô(x)). Если оператор В нетеров, то справедливы следующие две теоремы:

Теорема 3.2.2. Пусть в системе (3.2.1) det А ф 0, выполнены условия С), D) и п > т. Тогда дифферепциально-разностмый оператор £-N{ô{t):ô(x)) имеет на классе K'(R\ <S>RM]E2) матричную фундаментальную оператор-фу?тцию вида

FN(t,x) = T6(t)-ô(x)*{FNl(t,x), FNi(t,x), .F^x^T-^itySix), здесь T — невырожденная квадратная матрица порядка s из формулы (1.2.2), {F^iitix), Fjv2(î,ж), ., F^r(t,x)} — блочная квадратная квазидиагональная матрица порядка s вида (2.1.3), диагональные блоки которой F^w(t,x) являются верхнетреугольными квадратными матрицами порядка qy вида F^v(t,x) = E^J7NiJ(t,x)^a(J7Nv(t,x))) где щг) • ¿(ж) А5{1)А^(х) * Т^х) ■ ■ ■ {Аб^А^х) *

О /ОД ■ 6{х) • ■ ■ (АОД* ж))9'^2 0 здесь г^ = 1,., г О

ОД • ¿(ж) 7 г

Ык-1 X п р»

-ЕЕь^'м*

1 ¿=1 тг 1 сР^к к=1

0')\

Ж - 1)! х й(г) • (Д^Сж))*-^ г=1 Ц=0 Ц=1 ' и введены обозначения

Аиб(х) = 6(х - /л) - 5{х),

А,5(х))к = (6(х - Д - ¿(а?)) * • • • * (5(ж - Д) - ОД)) с 0 сх;

Вк+1(х) = - /Д), (ОД - Д) - ОД))0 = = г=о псевдообратный оператор /74] ■

Теорема 3.2.3. Пусть в системе (3.2.1) det Л ф 0; выполнены, условия С), Б) и п < т. Тогда матричная оператор-функция У-^^^х) из теоремы 3.2.2 является фундаментальной для дифференциально-разностного оператора Сн(6({),6(х)) на подклассе обобщенных функций из К'(В.\ <8> IIм; Е2), удовлетворяющих условиям о-дгД^ж), (7гМ2(г,х), ., сг^(г,ж)} *и(г,х) — 0, г = п+ 1,., т, где |сгrNi(t,x), ., — блочная квадратная квазидиагоналъная матрица порядка s с диагональными блоками верхнетреугольного типа к(^) = со -iNk— 1 представление для 6 теореме 3.2.2.

В четвертой главе исследуется сингулярная система дифференциальных уравнений специального вида

5(0) = щ, й'(0) = Û1, . ., = ÛN-1, здесь /(¿) — вектор-функции (столбцы) размерности s, компоненты которых up(t) функции со значениями в банаховом пространстве .Ei, a fv{t) функции со значениями в банаховом пространстве zy=l,.,s, В, А — замкнутые линейные операторы из Е\ в Т?2, D{B) = D(A) = Еи D{B) С D(A), оператор В необратим, R{B) = R-iB), оператор А непрерывно обратим, иод записью Auit) понимается вектор-функция (столбец) с компонентами Auu(t), и = 1,. ,s, M, Л —- квадратные матрицы порядка s, det M = 0, det Л ф 0.

Пусть матричный пучок {¡хМ — Л) регулярен. Тогда справедливо каноническое представление (1.2.4). В работе полностью исследован случай И — 0. Это означает, что матрица M не имеет Л-присоединенных векторов.

Далее, учитывая некоторые дополнительные условия и результаты второй главы, построены матричные фундаментальные оператор-функции для дифференциального оператора [MBÔ^N\t) — AAÔit)) во всех случаях вырождения операторного пучка (В — ¡iA).

Апробация

Результаты диссертации были представлены па следующих конференциях:

- Научно - теоретическая конференция молодых учёных (Иркутск, апрель 2004) [80];

- Ляпуновские чтения & презентация информационных технологий (Иркутск, декабрь 2004) [81];

- Научно - теоретическая конференция молодых учёных (Иркутск, апрель 2005) [83];

- IV Всесибирский Конгресс женщин-математиков (Красноярск, январь 2006) [84];

- Научно - теоретическая конференция молодых учёных (Иркутск, апрель 2006) [85];

- Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, сентябрь 2006) [86];

- I Международная научно - техническая конференция "Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем" (Пенза, сентябрь 2006) [87];

- Всероссийская научная конференция "Математика. Механика. Информатика" (Челябинск, сентябрь 2006) [88];

- III межвузовская зональная конференция, посвященная памяти профессора Б.А. Бельтюкова "Математика и проблемы ее преподавания в вузе" (Иркутск, март 2007) [89];

- Научно - теоретическая конференция молодых учёных (Иркутск, апрель 2007) [90];

- Международная конференция, посвященная 100-летию со дня рождения академика И.Н. Векуа "Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения" (Новосибирск, май 2007) [91];

- I Международная научно - техническая конференция молодых специалистов, аспирантов и студентов "Математическое и компьютерное моделирование естественнонаучных и социальных проблем" (Пенза, май 2007) [92];

- IX Международная Четаевская конференция "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением" , посвященная 105-летию Н.Г. Четаева (Иркутск, июнь 2007) [93];

- II Международная научно - техническая конференция "Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем" (Пенза, сентябрь 2007) [96];

- Ляпуновские чтения к, презентация информационных технологий (Иркутск, декабрь 2007) [97];

- V Всесибирский Конгресс женщин-математиков (Красноярск, январь 2008) [98];

- 3-я международная конференция "Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования", поев. 85-летию Л.Д. Кудрявцева (Москва, март 2008) [99];

- Школа-семинар "Нелинейный анализ и экстремальные задачи" (Иркутск, июнь 2008) [101].

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [82, 87, 89, 92-96, 100, 102, 103].

Благодарности

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю доценту М.В. Фалалееву за постановку задачи, постоянное внимание и помощь в работе над диссертацией, коллективу кафедры математического анализа ИМЭИ ИГУ за моральную поддержку, ценные советы и полезные замечания.

1. Бояринцев Ю.Е. Регулярные и сингулярные системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений / Ю.Е. Бояринцев. — Новосибирск: Наука, 1980. — 222 с.

2. Бояринцев Ю.Е. Методы решения вырожденных систем обыкновенных дифференциальных уравнений / Ю.Е. Бояринцев. — Новосибирск: Наука, 1988. — 158 с.

3. Бояринцев Ю.Е. Линейные и нелинейные алгебро-дифферен-циальные системы / Ю.Е. Бояринцев. — Новосибирск: Наука, 2000. 223 с.

4. Бояринцев Ю.Е. Пучки матриц и алгебро-дифференциальные системы / Ю.Е. Бояринцев, И.В. Орлова. — Новосибирск: Наука, 2006. 124 с.

5. Бояринцев Ю.Е. Алгебро-дифференциальные системы. Методы решения и исследования / Ю.Е. Бояринцев, В.Ф. Чистяков. — Новосибирск: Наука, 1998. — 224 с.

6. Булатов М.В. Об одном численном методе решения дифференциально-алгебраических уравнений / М.В. Булатов, В.Ф. Чистяков // Журн.вычисл.матем. и мат.физики. — 2002. — Т. 42, № 4. — С. 459-470.

7. Вайнберг М.М. Теория ветвления решений нелинейных уравнений / М.М. Вайнберг, В.А. Треногин. — М.: Наука, 1969. — 528 с.

8. Вишик A4.И. Задача Коши для уравнения с операторными коэффициентами, смешанная краевая задача для систем дифференциальных уравнений и приближенный метод их решения / М.И. Вишик // Мат. сб. 1956. - Т. 38. - Вып 1. - С. 51-148.

9. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике / В.С Владимиров. — М.: Наука, 1979. — 320 с.

10. Владимиров B.C. Уравнения математической физики / В.С Владимиров. — М.: Наука, 1981. — 512 с.

11. Врагов В.Н. Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики / В.Н. Врагов. — Новосибирск: Изд-во НГУ, 1983. 179 с.

12. Гаевский X. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения / X. Гаевский, К. Грегер, К. За-харис. — М.: Мир, 1978.

13. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц / Ф.Р. Гантмахер. — М.: Наука, 1966. 576 с.

14. Демиденко Г.В. Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производной / Г.В. Демиденко, C.B. Успенский. — Новосибирск: Научная книга, 1998. — 438 с.

15. Егоров И.Е. Неклассические дифференциально-операторные уравнения / И.Е. Егоров, С.Г. Пятков, C.B. Попов. — Новосибирск: Наука, 2000. — 336 с.

16. Завалищин С.Т. Импульсные процессы: модели и приложения / С.Т. Завалищин, А.Н. Сесекин. — М.: Наука, 1991. — 256 с.

17. Загребина С.А. Исследование математических моделей фильтрации жидкости / С.А. Загребина // Дис. к-та физ.-мат. наук: 01.01.02. Челяб. гос. ун-т. — Челябинск, 2002. — 100 с.

18. Замышляева A.A. Исследование одного класса линейных уравнений соболевского типа высокого порядка / A.A. Замышляева // Дис. канд. физ.-мат. наук: 01.01.02. Челяб. гос. ун-т. — Челябинск, 2003. -101 с.

19. Зубова С.П. О линейном дифференциальном уравнении с фред-гольмовым оператором при производной / С.П. Зубова, К.И. Чернышев // Дифференц. уравнения и их применения. — Вильнюс, 1976. Т. 14. - С. 21-29.

20. Зубова С.П. О дифференциальных уравнениях в банаховом пространстве, не разрешенных относительно производной / С.П. Зубова, К.И Чернышев // Методы решения операторных уравнений: Сб. научн. раб. — Воронеж, 1978. — С. 62-65.

21. Иванов В.К. Дифференциально-операторные уравнения и некорректные задачи / В.К. Иванов, И.В. Мельникова, А.И. Филин-ков. — М.: Физматлит, 1995. — 384 с.

22. Кожанов А.И. Краевые задачи для уравнений математической физики нечетного порядка / А.И. Кожанов. — Новосибирск: Изд-во НГУ, 1990.

23. Кожанов А.И. О краевых задачах для некоторых классов уравнений высокого порядка, не разрешенных относительно старшейпроизводной / А.И. Кожанов // Сиб. мат. журн. — 1994. — Т. 35, № 2. С. 359-376.

24. Костюченко А.Г. Задача Коши для уравнений тина Соболева-Гальперина / А.Г. Костюченко, Г.И. Эскин // Тр. Моск. мат. об-ва. 1961. - Т. 10: - С. 273-285.

25. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховых пространствах / С.Г. Крейн. — М.: Наука, 1967. — 275 с.

26. Крейн С.Г. Линейные уравнения в банаховых пространствах / С.Г. Крейн. — М.: Физматлит, 1971. — 104 с.

27. Крейн С.Г. Функции Ляпунова и задачи Коши для некоторых систем уравнений в частных производных / С.Г. Крейн, В.Б. Осипов // Дифференц. уравнения. — 1970. — Т. 6, № 11. — С. 20532061.

28. Крейн С.Г. Дифференциальные уравнения в банаховом пространстве / С.Г. Крейн, М.И. Хасан // Итоги науки и техники. Математический анализ. / АН СССР ВИНИТИ. 1983. -Т. 21. - С. 130-264.

29. Курина Г.А О полной управляемости одного класса линейных сингулярно возмущенных систем / Г.А. Курина // Дифференц. уравнения. — 1985. Т. 21, № 8. — С. 1444-1446.

30. Логинов Б.В. Устойчивость разветвляющихся решений бифуркаций Андронова-Хоффа для дифференциальных уравнений с вырожденным оператором при старшей производной / Б.В. Логинов, Б.Ю. Макаров // Тр. Средневолж. мат. о-ва. — 2004. — Т. б, № 1. С. 82-95.

31. Логинов Б.В. Обобщенная жорданова структура в теории ветвления / Б.В. Логинов, Ю.Б. Русак // Прямые и обратные задачи для дифференциальных уравнений в частных производных. — Ташкент ФАН. — 1978. — С. 133-148.

32. Мельникова И.В. Вырожденная задача Коши в банаховых про' странствах / И.В. Мельникова // Изв. УрГУ. Матем. и мех. —1998. — Т. 3, № 1. — С. 147-180.

33. Мельникова И.В. Задача Коши для включения в банаховых пространствах и пространствах распределений / И.В. Мельникова // Сиб. мат. журн. 2001. - Т. 42, № 4. - С. 892-910. '

34. Мельникова И.В. Корректность вырожденной задачи Коши в банаховом пространстве / И.В. Мельникова, М.А. Алыпанский // ДАН. 1994. - Т. 336, № 1. - С. 17-20.

35. Плеханова М.В. Оптимальное управление распределенными системами, не разрешенными относительно производной по времени / М.В. Плеханова // Дис. к-та физ.-мат. наук: 01.01.02. Че-ляб. гос. ун-т. — Челябинск, 2006. — 154 с.

36. Прилепко А.И. Метод полугрупп решения обратных, нелокальных и неклассических задач. Прогноз-управление и прогноз-наблюдение эволюционных уравнений. I / А.И. Прилепко // Дифференц. уравнения. — 2005. — Т. 41, № 11. — С. 1560-1571.

37. Русак Ю.Б. Некоторые соотношения между жордановыми наборами оператор-функции и сопряженной к ней / Ю.Б. Русак // Изв.АН УзССР, Сер. физ.-мат. 1972. - № 2. - С. 15-19.

38. Свиридюк P.A. К общей теории полугрупп операторов / Г.А. Сви-ридюк // УМН. 1994. - Т. 49, № 4. - С. 47-74.

39. Свиридюк Г.А. Линейные уравнения соболевского типа. Учеб. пособие / Г.А. Свиридюк, В.Е. Фёдоров. — Челябинск: Челяб. ун-т, 2002. 179 с.

40. Сидоров H.A. О ветвлении решений задачи Коши для одного класса нелинейных интегро-дифференциальных уравнений / H.A. Сидоров // Дифференц. уравнения. — 1967. — Т. 3, № 9. — С. 1592-1601.

41. Сидоров H.A. Задача Конга для одного класса дифференциальных уравнений / H.A. Сидоров // Дифференц. уравнения. —1972. Т. 8, № 8. - С. 1521-1524.

42. Сидоров H.A. О ветвлении решений дифференциальных уравнений с вырождением / H.A. Сидоров // Дифференц. уравнения. —1973. Т. 9, № 8. - С. 1464-1481.

43. Сидоров H.A. Исследование непрерывных решений задачи Коши в окрестности точки ветвления / H.A. Сидоров // Изв. ВУЗов. Математика. — 1976. — № 9. — С. 99-110.

44. Сидоров H.A. Общие вопросы регуляризации в задачах теории ветвления / H.A. Сидоров. — Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та, 1982. 312 с.

45. Сидоров H.A. Сплетаемые уравнения ветвления в теории нелинейных уравнений / H.A. Сидоров, В.Р. Абдуллин // Мат. сб. — 2001. Т. 192, № 7. - С. 107-124.

46. Сидоров H.A. О применении некоторых результатов теории ветвления при решении дифференциальных уравнений с вырождением / H.A. Сидоров, O.A. Романова // Дифференц. уравнения. — 1983. Т. 19, № 9. - С. 1516-1626.

47. Сидоров H.A. Уравнения с частными производными с оператором конечного индекса при главной части / H.A. Сидоров, O.A. Романова, Е.Б. Благодатская // Дифференц. уравнения. — 1994. Т. 30, № 4. - С. 729-731.

48. Сидоров H.A. Регуляризация простых решений / H.A. Сидоров,B.А. Треногин // Сиб. мат. журн. 1978. - Т. 19, № 1. - С. 180185.

49. Сидоров H.A. Точки бифуркаций решений нелинейных уравнений / H.A. Сидоров, В.А. Треногин // Нелинейный анализ и нелинейные дифференциальные уравнения. — М.: Физматлит, 2003. С. 5-50.

50. Сидоров H.A. Обобщенные решения дифференциальных урав-ненний с фредгольмовым оператором при производной / H.A. Сидоров, М.В. Фалалеев // Дифференц. уравнения. — 1987. — Т. 23, № 4. С. 726-728.

51. Треногин В.А Функциональный анализ / В.А. Треногин. — М.: Физматлит, 2002. — 488 с.

52. Фалалеев М.В. Обобщенные функции и действия над ними: Учебное пособие / М.В. Фалалеев. — Иркутск: Иркут. гос. ун-т, 1998. — 81 с.

53. Фалалеев М.В. Фундаментальные оператор-функции сингулярных дифференциальных операторов в банаховых пространствах / М.В. Фалалеев // Сиб. мат. журн. — 2000. — Т. 41, № 5. —C. 1167-1182.

54. Фалалеев М.В. Фундаментальные оператор-функции сингулярных дифференциальных операторов в условиях секториалыюсти и радиальности / М.В. Фалалеев // Изв. ВУЗов. Математика. — 2006. № 10. - С. 68-75.

55. Фалалеев М.В. Фундаментальная оператор-функция вырожденного уравнения теплопроводности в банаховых пространствах / М.В. Фалалеев // Докл. РАН. 2007. - Т. 416, № 6. - С. 745-749.

56. Фалалеев М.В. Задача Коши для вырожденного уравнения теплопроводности в банаховых пространствах / М.В. Фалалеев // Дифференц. уравнения. — 2008. Т. 44, № 8. — С. 1120-1130.

57. Фалалеев М.В. Фундаментальные оператор-функции сингулярных дифференциальных операторов в условиях спектральной ограниченности / М.В. Фалалеев, Е.Ю. Гражданцева // Дифференц. уравнения. 2006. — Т. 42, № 6. - С. 769-774.

58. Фалалеев М.В. Теория фундаментальных оператор-функций вырожденных интегро-дифференциальных операторов в банаховых пространствах / М.В. Фалалеев // Дис. д-ра физ.-мат. наук: 01.01.02. Иркут. гос. ун-т. — Иркутск, 2008. — 238 с.

59. Фёдоров В.Е. Голоморфные разрешающие полугруппы уравнений соболевского типа в локально выпуклых пространствах / В.Е. Фёдоров // Мат.сб. 2004. - Т. 195, № 8. - С. 131-160.

60. Фёдоров В.Е. Исследование разрешающих полугрупп линейных уравнений соболевского типа в банаховых и локально выпуклых пространствах / В.Е. Фёдоров // Дис. д-ра физ.-мат. наук: 01.01.01, 01.01.02. Челяб. гос. ун-т. Челябинск, 2005. — 271 с.

61. Чистяков В.Ф. Алгебро-дифференциальные операторы с конечномерным ядром / В.Ф. Чистяков. — Новосибирск: Наука, 1996. 278 с.

62. Чистяков В.Ф. Избранные главы теории алгебро-дифференци-альных систем / В.Ф. Чистяков, A.A. Щеглова. — Новосибирск: Наука, 2003. — 320 с.

63. Шеметова В.В. Исследование одного класса уравнений соболевского типа на графах / В.В. Шеметова // Дис. к-та физ.-мат. наук: 01.01.02. Магнитог. гос. ун-т. — Магнитогорск, 2005. — 109 с.

64. Щеглова A.A. Линейные алгебро-дифференциальные системы с переменным отклонением аргумента / A.A. Щеглова // Изв. ВУЗов. Математика. — 2002. — № 6. — С. 69-77.

65. Щеглова A.A. Левый регуляризующий оператор для алгебро-дифференциальной системы с запаздыванием // Изв. ВУЗов. Математика. — 2003. № 4. — С. 73-85.

66. Янушаускас А.И. Аналитическая теория эллиптических уравнений / А.И. Янушаускас. — Новосибирск: Наука, 1979. — 190 с.

67. Chen G. Initial boundary value problem for a system of generalized IMBq equations / G. Chen, H. Zhang // Math. Meth. Appl. Sei. — 2004. Vol. 27. - P. 497-518.

68. Kozhanov A.I. Composity Type Equations and Inverse Problems / A.I. Kozhanov. Utrecht: VSP, 1999.

69. Lyapunov-Schmidt Methods in Nonlinear Analysis and Applications / N. Sidorov, B. Loginov, A. Sinitsyn and M. Falalcev. — Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2002. — 548 p.

70. Nashed M.Z. Generalized Inverses and Applications / M.Z. Na-shed. — New York: Academy Press. — 1976.

71. Prilepko A.I. Methods for solving inverse problems in mathematical physics / A.I Prilepko, D.G. Orlovsky, I.A. Vasin. — New York-Basel: Marcel Dekker inc., 2000. — 709 p.

72. Pyatkov S.G. Operator theory. Nonclassical problems / S.G. Pyat-kov. Utrecht; Boston: VSP, 2002.

73. Schowalter R.E. The Sobolev type equations. I (II) / R.E. Showalter // Appl. analys. 1975. - Vol. 5, № 1. - P. 15-22. (№ 2. - P. 81-99.)

74. Shcheglova A.A. Classical and generalized solutions of differential-algebraic systems with deviating argument // Functional DifF. Eq. — 2004. Vol. 11. - № 3-4. - P. 485-510.

75. Sviridyuk G.A. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators / G.A. Sviridyuk, V.E. Fedorov. — Utrecht; Boston: VSP, 2003.

76. Коробова О.В. Обобщенная задача Коши для вырожденной системы дифференциально-разностных уравнений / О.В. Коробова // Вестник Иркутского университета: мат-лы ежегод. науч.-теор. конф. мол. уч. — Иркутск: Иркут. ун-т, 2004. — С. 83.

77. Коробова О.В. Задача Коши для вырожденного дифференциально-разностного уравнения в банаховых пространствахО.В. Коробова // Ляпуновские чтения &; презентация информационных технологий. — Иркутск, 2004. — С. 22.

78. Коробова О.В. Задача Коши для вырожденного дифференциально-разностного уравнения первого порядка в банаховых пространствах / О.В. Коробова // Интеллектуальные и материальные ресурсы Сибири: сб. науч. тр. — Иркутск: Изд-во БГУЭП, 2005. С. 218-226.

79. Коробова О.В. Задача Коши для вырожденного дифференциально-разностного уравнения в банаховых пространствах / О.В. Коробова // Вестник Иркутского университета: мат-лы еже-год. науч.-теор. конф. мол. уч. — Иркутск: Иркут. ун-т, 2005. — С. 102-104.

80. Коробова О.В. Задача Коши для вырожденного дифференциально-разностного уравнения первого порядка в банаховых пространствах / О.В. Коробова// IV Всесибирский конгресс женщин-математиков: Материалы конференции. — Красноярск: РИО СибГТУ, 2006. С. 85-87.

81. Коробова О.В. Сингулярные системы дифференциальных уравнений в банаховых пространствах / О.В. Коробова // Вестник Иркутского университета: мат-лы ежегод. науч.-теор. конф. мол. уч. Иркутск: Иркут. ун-т, 2006. — С. 101-103.

82. Коробова О.В. Сингулярные системы дифференциальных уравнений в банаховых пространствах / О.В. Коробова // Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова: Тр. Междунар. конф. — Ростов-на-Дону, изд-во ООО «ЦВВР», 2006. С. 233-235.

83. Коробова О.В. Сингулярные системы дифференциальных уравнений в банаховых пространствах / О.В. Коробова // Математика. Механика. Информатика. Тез. докл. Всерос. науч. конф. — Челябинск: Челяб. гос. ун-т, 2006. — С. 72.

84. Коробова О.В. Матричная фундаментальная оператор-функция дифференциально-разностного оператора в банаховых пространствах / О.В. Коробова // Ляпуновские чтения & презентация информационных технологий. — Иркутск, 2007. — С. 15.

85. Фалалеев М.В. Системы дифференциальных уравнений с вырождением в банаховых пространствах / М.В. Фалалеев, О.В. Коробова // Сиб. мат. журн. 2008. — Т. 49, № 4. — С. 916-927.