Метод мажорант и минорант в исследовании решения краевых задач и задачи Коши для полулинейных параболических систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

московски;! ордена леееа, ордена октяирьс.-йп РЕьсищы '

И ОРДЕНА. ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЫЫ'.'^М ГОСУДАРСТВЕННЫ;! УНИВЕРСИТЕТ юл. М.В.ЛСЧСНОССВА

лЕХАНИКО-.'йТЕ.'.итаЧЕСКИ)! ФАКУЛЬТЕТ

МЕПД МА20РАНТ И МИНОРАНТ в ИССЛЕДОВАНИИ РПиПи'Я КРАДВЫл ЗАДАЧ И ЗАДАЧИ К01Ш ДЛЯ ПОЛУЛИНЕЙНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ

/01.01.02 - дифференциальные уравнения и математическая

физика/

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

ЧУРБАНОВ ВЛАДИМИР ВЛАДИЖРОЕИЧ

УДК 517.9

Москва - 1990

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений мсханико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор Е.М.Ландис Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Ю.А.Лубинский, кандидат физико-математических наук, доцент Я.И.Канель Ведущая организация - Институт прикладной математики и

механики АН УССР Задита диссертации состоится в 16 час. 05 мин. на заседании специализированного совета по математике Д.053.05.04 при Московском государственном университете по адресу: П9Б99, ГСП, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-матсматический факультету,аудитория 13-11.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке механико-математического факультета МГУ / Главное здание, 14 этаа /.

Автореферат разослав

/О .199П)1.

Учёный секретарь специализированного'' " ' совета Д.053.05,04 при МГУ

доцент (^^¿Г^^^'т.П.Лукашенко

ОЩЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность теш. Полулинейные параболические системы

типа реакция-дишфузия

^ в <- а

лежат в основе математических моделей самых разнообразных явлений и процессов в физике, химии, биологии, экологии и многих других областях знаний. Такое широкое распространение полулинейных параболических систем объясняется лрезде всего тем, что они выводятся из фундаментальных законов сохранения /энергии, массы, числа частиц и др./

Большей частью работы, посвящённые (I), проводят исследова- ^ ния конкретных систем, описывающих конкретные процессы. Что касается общей теории, то здесь следует отметить ряд работ {I], в которых получены результаты, являющиеся обобщением соответствующих результатов для систем обыкновенных уравнений. В работе [2] удаётся получить интересные результаты благодаря выполнению принципа максимума для некоторых классов систем типа реакция-диффузия. Лдя общего вида систем (I) принцип максимума не выполняется, да и поведение параболической системы, в ряде случаев, существенно отличается от поведения бездиффузи-

[i] Хенри Г. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. М.: Мир.- 1985.

Fife Р.С., Tang М.М. Comparison principles for Reaction-Diffusion systems. Э. Diff. Eq. 40, 1981, no. 2, pp 168-186.

онной системы. Так в ["I] доказывается, что в случае второй краевой задачи возможна диффузионная неустойчивость положения равновесия в смысле Ляпунова.

При изучении систем (I) часто удаётся использовать математический аппарат,созданный для исследования полулинейных параболических уравнений, полулинейных элиптических систем и систем обыкновенных уравнении, что и делается в большинстве работ. Но на этом пути возникает существенные трудности, причиной которых является отсутствие принципа макет,ума дал произвольных систем типа реакция-диффузия, что, например, исключает возыо-тлость использования приёма барьерных функций.

Как отмечалось, поведение решений системы (I) в чём-то схо;:;о с поведением безди^узионной систе.мы, а в чём-то нет. 3 этом смысле выжно получить ответ на вопрос, остававшийся в течении длительного времени открытым. Будет ли существовать решение задачи Коии дая системы

дая любого ограниченного, непрерывного начального условия.в .

при всех I > О для любого начального условия. Другими словами, моает ли диффузия породить взрыв.

. ■ i

[I] Марри Д. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях. М.: Мир,- 1984.

2//- йел и'*л

(V

63)

Цель работы. Построить для произвольной полулинейной параболической системы вида

и{ -1 А? (I, х) х.^е({,х,и1уи{)1 А ■/... (А)

4-1 * 1 у

полулинейную параболическую систему порядка 2 п с монотонно:; правой частью, для которой справедлив принцип максимума, и решением которой являются все решения исходной системы. С помощью построенной системы привлечь математический аппарат исследования полулинейных параболических уравнений, полулинейных элиптических систем и систем обыкновенных уравнений дая исследования систем вида (4). Показать, что присутствие дишйузионных членов в системе (4) существенно при исследовании вопросов связанных с глобальной разрешимостью задачи Коши и поэтому системы типа реакция-ди^узия, вообще говоря, нельзя изучать путём сведения их к системам обыкновенных уравнений простым отбрасыванием диффузионных членов.

Научная новизна. Построена система обыкновенных уравнений, решения которой будут мажорировать и минорировать решения системы (4), в том числе для случая, когда не выполняется принцип максимума, случай, не исследованный ранее. Построена система обыкновенных интегральных уравнении, решения которой будут мажорировать и минорировать решения системы (I) и его градиент

в

в случае когда функции Аг •4'1.п>ь1...т не зависят от x

У ' '

Впервые построен пример системы(2), в которой диффузионные члены приводят к взрыву. ; •

Теоретическая и практическая ценность. Работа тлеет теоре--тическое значение. Она предлагает новый метод исследования систем (I) на глобальную разрешимость, на устойчивость в смысле Ляпунова. Этот метод также позволяет устанавливать стабилизацию

и возникновения пространственно однородных структур. Она имеет также практическое значение при исследовании процессов, которые описываются системами (I) в физике, химии, биологии и экологии.

Апробация. Результаты диссертации докладывались на совместном заседании Московского математического общества и семинара им. И.Г.Петровского /1988/ и на семинаре по качественной теории уравнений с частными производными под рук. В.А.Кондратьева и Е.МЛандиса в МГУ /1987/.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликовании в трёх статьях, список которых приведён в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, семи параграфов и списка литературы, включающего 38 названий.

С0ДР1АШЕ ДЙССШ'АЦИЙ.

Во введении дан краткий обзор работ, относящихся к вопросам, рассматриваемым в диссертации. Изложены основные результаты диссертации и её структура.

В диссертации предлагается новый метод исследования глобального поведения решения полулинейноу параболической системы (4) путём построения специальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений

Ре - й, Р) - *.1.о)

Р*], (-г /... п

/[?-р'(эсе Цт),

/*/... п (5)

£1/Ч 4-

. р;], у- / п

О*(хе /И"1), Хе Л

( Точная верхняя и точная нижняя грань берётся по в случае

задачи Коши и по Л в случае краевых задач.)

Решение системы С5) при соответствующем выборе начальных условий будет мажорировать и минорировать решения краевых задач и задачи Коши для иолулинеинои параболической системы (А).

Б настоящей работе рассматривается полулинейная параболическая система

_ т . ___ ___

и// -1 а[ = ^ *< ^)- 1.7 "о

у-' у ' у ^/«''й^//

Iе-т

^ А/..л (6)

у которой правая часть обладает некоторыми свойствами монотонности и решением которой являются все решения системы (4), что позволяет перенести на системы (4) ряд свойств систем с монотонной правой частью.

В настоящей работе рассматривается полулинейная параболическая система

и уравнение

и* - 1А0 (Оиг.х -¿р.*. и. (8)

Традиционный способ получения априорной оценки модуля градиента решения задачи Коши для системы (7) и задачи Коши для уравнения (8) состоит в получении априорной оценки модуля решения, после чего допустив квадратичный рост правой части по градиенту, получают априорную оценку модуля градиента. 3 настоящей работе априорная оценка модуля градиента решения задачи Коши для системы (7) будет получена путём нахождения мажорант и минорант для решения и'его градиента, являющихся решением

,4. итргргн'иыалтси;

обыкновенной пнтегральнсбистемы неравенств

fJi[Q4t P'jJj*1 t-1, m

aoeй inJ H*, (*) ; 'ùi/.

/-S/*' *, n. (9)

PKf ruP fuf) foc) + f±L oicJ'iT, x. l)d<

CfU ùU(uf) (*)- j-çL oicj'(r,Jc,>i)di

jcJfim ptTr 3-е //* '

146[QV, PVjt ¡.-C'Y m ;J- n

где константы f't n возникают из оценок фундаментальных решении уравнений системы (7). Априорная оценка модуля градиента решения задачи Коши для уравнения (8) будет получена путём построения мажорант и минорант являющихся решением обыкновенной системы уравнений

pf-mpl4X( (Ь,Х, u. f) * A (i,x, Ъ, ц)Р<) хе/г^ие/?* lf'p*

XéR* lié R< /¡t'O* f/é (Qjt pj], j. i.n.Jtf

Заметим, что для получения априорной оценки модуля градиента решения задачи Коши для уравнения (Q) априорной оценки модуля решения не требуется. Поэтому решение задачи Коши для уравнения (8) может быть из класса неограниченных функций, имеющих ограниченный х^адиент.

Перейдём к подробному изложению содержания диссертации.

6

Пусть Л t Z?"1 - открытая область, РЛ - граннца области J2 , J2 - замыкание области Л . Пусть йт = [о,Т]*Л, Пт = [С, Т] * ~[о, + <~)»Л. Л^ * ГО, * - J * *т.

Определение I. функция и (i, ос) принадлежит пространству Cf'2(QT) . если она непрерывна в QT , шлеет в Q7 частные производные по , i • f... т. вплоть до зторого порядка и первые по i , которые непрерывны в йТ.

Определение 2. функция Zi (i,x) принадлежит пространству С (QT ) или пространству С °'*(ПТ ) , если конечна нор:,¡а

¡Ulo/1Uj>/u ({,3)1+ IKphlß, ос) - Ufr, y)l/(/t Ъ

где точная верхняя грань берётся по множеству или по

множеству Пт соответственно, и oi <? (o,i).

Определение 3. фикция u(i,x) принадлежит пространству С ^ für) или пространству С*'* f/]T), если конечна норма

ИЩ* -lul^+lllixjo^ ,

где точная верхняя грань берётся по QT или по Пт соответственно, и ы £ (Oti).

Определение 4. фушеция И fiпринадле;кит пространству С Ы(Qt) или пространству , если конечна норма

где точная верхняя грань берётся по множеству йт или по множеству Пт соответственно, и о( £ {0,1).

В работе используются пространства С. С2'*(£т), С2'*(Л), сг (Л) , которые состоят из

7

функции пространств £(Пт),, С*'^(Пг), С'*'*(СТ), С'^й,) соответственно, не зависящих от "6 .

л

Относительно коэффициентов А А/ потребуются какие-

у ' у

-то из следующих условие или их комбинаций

пл.

£Л п >р «и

т

(12)

I/

при всех $ € , где > Л > О.

В §1 рассматривается первая краевая задача для полулинейной параболической системы (4). От функций ос, и, у {-■{...п, (¿,3с) ¿Дг, и £ Ап, р^Я"1 потребуем

A. Функции и, с), Л /.. л непрерывны в йг *

B. функции -х, и, о), / п удовлетворяют равномерного условию Липшица по переменны!/ и1, /»/... п на любом множестве С1Т где И- АО.лпакт из

Заметим, что в условие 3 константа Липшица может раста с увеличением компакта К .

Теорема 1.1. Пусть выполняются условия А, В. Пусть выполняется условие (12) при ьсех (^х ) £ йт. Пусть функции и п принадлежат пространству Сг,г($г) и являют-

ся решением системы ¿4) с начальным и граничным условием , иг(Огх) = и*е(зс), хеЛ

п (15)

Пусть пункции Р*С£). П являются решением систеш (Ъ)

8

на отрезке Пусть выполняются условия согласования

Qe(o)£ (х) ± p'fo)r асе Л

А /-. п

G e(i ) i и t fo JC) < p*(i). c[c, rj Л Pa

Тогда при всех (itx) e Qr выполняются неравенства

OfU) i uf(i,x) < Pe(i), /= /.. /J (16)

В §2 рассматривается вторая краевая задача. Определение 5. Область принадлежит множеству Dftf™"')

если к кацдои точке поверхности РЛ могло провести касательную плоскость.

Теорема 2.1. Пусть , Пусть выполняются

условия А, В. Пусть выполняется условие СИ) при ¿сох Пусть функции Uf(itDc), • принадлежат пространству

С*'^ (G.T ) И я^лотся решением системы (4) с начальным и граничным условием

11*fax.) = uifoc), х е Л

= * - (t,x)tCoj] *РЛ

Пусть функции Р J, Gf (i), /*/..п являются решением системы обыкновенных уравнений (5) с начальным условием удовлетворяющим неравенствам

Q '(о) ч< Uf0 (Х) P'fo).

Тогда при всех (¿,х)е £т выполняется неравенства (16J. •

В v3 рассматривается задача Коши. От функции ^(I, зс, u.fy) , /= /.. ft потребуем

А'. Функции ^ [¿, и. f) - -i^t-p и> ?)

СС £

и, - ** и>?)

непрерывны на множестве г о, т1 * я^х /?пх /-у5'У 7 /п, где / >0 некоторое положительное число.

В1 уункции ^*({,х, и,о), ¿'/...л удовлетворяют раьномерно условию Липшица по переменным и1, /-/.. п на любом множестве [0,Т7 *Р'п * , где Xх- компакт из

Заметим, что в условие В / константа Липшица может расти с увеличением компакта

Теорема 5.1. Пусть выполняются условия А^ в' Пусть выполняются условия (12), (14) при всех (i,эc)eгЛт. Пусть функции /...л принадлежат пространству С *,г''<(Лт)

и являются решением системы (4) с начальным условием

гг '{о, х) - {-/...п (у?)

Пусть функции й)/ Р ?({ )/ ¿'/„.п. решение систеш (5)на отрезке [с, Т1 с начальным условием удовлетворяющим неравенствам

(с) * и/{сс) 4 р*(о),

Тогда при всех (¿,х)е/7т выполняются неравенства (16).

В §4 строится пример, который показывает, что результаты

предыдущих параграфов в некотором смысле являются точными.

Пример 4.1. Строится обыкновенная система уравнений (3),

л '

решения которой существует при всех г >0 для любого начального условия, а решения задачи Коши для параболической системы (2) уходит на бесконечность за конечное время в ограниченной по .X области для некрторых ограниченных, непрерывных начальных условий.

Тот факт, что решения обыкновенной системы (5) мажорируют и минорируют решения параболической системы (4) позволяет получить некоторые результаты. В первую очередь, это достаточное условие глобальной разрешимости задачи Коши и второй краевой задачи с нулевым потоком на границе. Из примера 4.1 видно, что разрешимости системы обыкновенных уравнений (3) при всех i>0 для любого начального'условия не достаточно для разрешимости задачи Коши системы (2) в полупространстве для любых ограниченных, непрерывных начальных условий. В следующей теореме, являющейся непосредственным следствием теоремы 3.1, будет дана система обыкновенных уравнений, разрешимости которой при всех i >0 для любого начального условия будет достаточно для разрешимости задачи Коши системы (2 ) в полупространстве /7оо для любых ограниченных, непрерывных начальных условий.

Теорема 4.1. Пусть выполняются условия а', З' Пусть существует решение системы

11¿CQl, P¿], Lte.¿- /... n

ti <I8) 1t-£[Qi, P¿], ¿r*. Iе* Qf

при всех i >0 для любого начального условия, такого, что Р е(0) > Qe(o), £~t...п. Тогда решение задачи (2), (17) существует при всех (¿tsc)e: Пж для любого ограниченного, непрерывного начального условия.

В §5 шлучен ряд результатов благодаря следующему приёму. Пусть функции We(it ДГX W Я), /... п такие, что w е(it х)-we(i, e(t, cc), где функции U е(i, n

II

решение системы (4). Тогда функции

будут удовлетворять системе (6), Следовательно, решение системы (4) можно рассматривать как решение системы (6)г у которой правая часть обладает некоторыми свойствами монотонности. Это позволяет получить обобщённый принцип максимума и перенести на системы (4) ряд свойств систем с монотонной правой частью.

Относительно функций A?. предполагается. А? Функции fg(i,x,ulcj,)l удовлетворяют равномерному

условию Гёльдера по переменным CC¿ , ¿s f...n и -¿ с показателями Ы и <*/2 , соответственно, на любом множестве

хК, где К- компакт из Rn+m. в" Функции fх, и, t^), f-'-f... п удовлетворяют равномерному условию Липшица по переменным UL, L =■ S... п, yj-, J = / m на любом множестве QT * К, где К - компакт из R п С". Функции /К (i, ос) непрерывно дифференцируемы на множестве Qt •

Теорема 5.2 Пусть выполняется условие С'''и условие СИ) при всехQT.Пусть выполняются условия А'7, В" Пусть функции U¿(i,x), ¿=/..п принадлежат пространству Ci,a(Qr) и являются решением системы(6) с начальным и граничным условием 'W* (Ох)- и*(х) = w'fo X)J ОС* Л

W'í-L, U e(i, ÍVe(ít х), (Í, х)ф, t]*Pj¿ Л Тогда при всех (itx)£QT выполняются неравенства

W ({i, х) ¿ U '(i, х) ¿ , / - л /

Отметим, что результат теоремы 5.2 верен в случае второй краевой задачи и в случае задачи Копш.

В §6 приводится обыкновенная система интегральных неравенств, решения которой будут мажорировать и минорировать ре-

шение задачи Коши для системы (7) и его градиент.

Относительно функций ^^ A fj предполагается. к". Функции х, и, ф.), 1=1... п. принадлежат пространствам

£ы/2,<*, 1 (fjT для некоторого ote (o,f) и любого

компакта Á" . Это означает, что функция и,у)

удовлетворяет равномерному условий Гёльдера по переменным 'iIх! u, t], с показателями с*/?,*, / , соответственно, на множестве [OJ] * Rm* К, * ; Ki£gn,K3eRn'm^, K^Ki в'," Функции A fj (i) удовлетворяют равномерному условию Гельдера с показателем (qi) на отрезке Го,Т].

Теорема 6.1. Пусть выполняется условие А*". Пусть выполняются условие В//7и условия (13), (Ы) при всех (i,x)<í Пт. Пусть функции U * fa ас), ¿'/... п принадлежат пространству С (Пт) и являются решением задачи (7), {11). Пусть функции ClKe(i), PKf(i), К'0,1... m,{'Y..n непрерывны на отрезке [0,т] и удовлетворяют системе неравенств (9). Тогда при всех (t, ос) £ [¿5\ 7] */?т выполняются неравенства

Qoe(i)< и'о (i,

В § 7 рассматривается задача Коши для полулинейных параболических уравнений (8).

Относительно функции предполагается.

к." Функция ^(■¿/ принадлежит пространствам

*КрхЪ*K^vza <¿£(0,1) для любых компактов í Ко, К*, Кг из Я™ соответственно.

Норма пространства С '([Р, 7]ж Ке'К,* ) определяет-

. ///

ся аналогично норме из условия А.

В. функция ^(-¿,х, и,у) имеет частные производные по

переменным , ¿-/„,т , которые ограничены на множествах Го,7] Д* х Кг , Для любого компакта Кг из А ' с"". Функции (±, и, у), ¿-/...т^на,*, и.^Щ.^х^), j=f,..m. принадлежат пространствам С ы/3' я'л,*([о,7]* £с></к',' Кг А где (о,/) для произвольных компактов Ко, К/, Кг из соответственно. Определение б. Функция и (¿,эс) называется правильным решением задачи Коши для уравнения (8) ъ слое ЛТ , если она непрерывна в слое Пт . имеет непрерывные в (О, т]* Я т частные производные вплоть до второго порядка по ac¿, ¿ - /•• т и первые по £ , при этом первые по ¿-¿./я ограничены в П- , и удовлетворяет уравнению (8) в Пу •

Замечание. В определение 6 мы не предполагаем, как это часто делается, ограниченности самого решения по пространственным переменным, а предполагаем только ограниченность его производных.

Теорема 7,1 Пусть выполняются условия <13^, (И) при всех (г,х.) е Г1Т. Пусть выполняются условия А - С . Пусть существует решение обыкновенной системы уравнений 10 с начальным условием

на отрезке С0,7], тде^с)^ С Тогда существует

правильное решение уравнения (8) с начальным условием

и(о,х) =иъ(х) -Ы;

в слое ПТ.

Пример 7.1 Рассмотрим уравнение

*■и

где функции Л; , достатЬчно гладкие. Заметим,

т т /п

что функция и (¿, сс) ) бУДет являться решением уравне-

V «■*'

ния (20) с начальным условием ш

и (о, ос) - £ ^ # . (21)

г-*/

Если функции I*/.~т не убывают

по переменным , то задача С20), (21) разрешима

в слое ПТ тогда и только тогда, когда решение соответствующей системы (10) с соответствующим начальным условием существует на отрезке [0,7] .

Автор глубоко признателен' своему научному руководителю профессору Е.М.Ландису за постоянное внимание и поддержку при выполнении настоящей работы, а также профессору С.Н.Круякову за обсуждение результатов настоящей работы.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ.

1. Чурбанов В.В. Априорная оценка первой паевой задачи и задачи Кош для квазилинейных параболических систем. - Рукопись деп. в ВИНИТИ 24 августа 1987г. Ш74-В87.

2. Чурбанов В.В. Оценка модуля градиента решения задачи Коши для полулинейных уравнений и систем и некоторые следствия. - Рукопись деп. в ВИНИТИ 6 сентября 1988г. .К6883-В88.

3. Чурбанов В.В. Пример системы реакции с диффузией, в которой диффузиощше члены приводят к взрыву. ДАН СССР, 1990, т. 310,

с. 1308-1309.

Л-10929 В печать 26.04.90 Изд.Я 26п Формат 60184/16 Уч.-изд. л. 0,62 Печ. л. 1,0 Тираж 100 экз.

Размножено в ЦНИИНТИКПК

Заказ отпечатало ж В0И1 жа/¿листа* ъ/др «кземширах