Методики теории потенциала в задачах динамики вязкоупругих сред тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

І0 «5б

ХАРКІВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

На правах рукопису

Рапота Надія Ігорівна

МЕТОДИ ТЕОРІЇ ПОТЕНЦІАЛУ В ЗАДАЧАХ ДИНАМІКИ В’ЯЗКОПРУЖНИХ СЕРЕДОВИЩ

01.01.03. - Математична фізика АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Харків - 1996

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі математичної фізики та обчислювательної математики Харківського державного університета.

Науковий керівник: - доктор фізико-математичних наук, професор

Чудінович Ігор Юрійович

Офіційні опоненти: - доктор фізико-математичних наук,

старший науковий співробітник Котляров Володимир Петрович

- кандидат фізико-математичних наук, доцент

Мітенко Віктор Олегович

Провідна установа: Вінницький педагогічний інститут

Захист відбудеться 'і,/£й*/-* ^96 р. в

засіданні спеціалізованої вченої радіР'К02.02.17 в державному університеті за адресою: 310077, м. Харків, майд. Свободи, 4, ауд. УІ-48.

З дисертацією можна ознайомитися в Центральній науковій бібліотеці Харківського державного університету.

Авторефераг розісланий &

72 год. на Харківському

Вчений секретар л "

спеціалізованої вченої ради Кошій О.Ф.

Загальна характеристика роботи.

Актуальність теми. В останні десятиріччя інтенсивно розвивалася лінійна теорія в'язкопружності, основи якої були закладені ще у роботах Максвела, Фойхта, Кельвіна, Вольтерра та інших. Підвищений інтерес до цієї теорії пояснюється, переважно, появою та ілироким використанням полімерних матеріалів та пластмас.

Як виявилось, лінійна теорія в'язкопружності, або як вона ще зветься, на-слідовна теорія пружності, добре описує поведінку полімерних матеріалів при помірних напруженнях, придатна навіть до опису внутрішнього тертя у металах, коли амплітуди напружень дуже малі. У зв'язку з цим особливе значення набуває розробка теоретичних та практичних питань цієї теорії.

Відомо, що одним з провідних методів розв'язання крайових задач теорії в'язкопружності є метод граничних інтегральних (псевдодифференціаль-них) рівнянь. Застосування цього методу до задач статики та квазістатики в'язкопружних середовищ відображене у роботах цілого ряду авторів. Проте, у динамічному випадку відсутня строга математична теорія граничних рівнянь. У більшості відомих робіт автори обмежуються формальним виписуванням та чисельніш розв’язанням граничних рівнянь, не піклую-чись про математичну коректність результатів.

Саме тому побудова теорії нестаціонарних граничних рівнянь у задачах динаміки в'язкопружних середовищ е дуже актульною на цей час.

Основою для такої побудови став цикл робіт І.Ю. Чудиновича, присвячених питанням розв'язності нестаціонарних граничних рівнянь у задачах динаміки пружних середовищ.

Метою роботи є побудова строгої математичної теорії граничних рівнянь у динамічних задачах лінійної теорії в'язкопружності.

Метод дослідження. В роботі дістали подальший розвиток класичні методи теорії потенціалу. Для доведення одержаних в роботі результатів використовано варіаційні методи математичної фізики та методи функціонального аналізу.

Наукова новина. Одержані в роботі результати є абсолютно новими. Автору невідомі інші роботи, які дають строге математичне обгрунтування розв'язності граничних рівнянь у динамічних задачах лінійної теорії в'язкопружності.

Теоретична і практична цінність роботи

1. Теоретична цінність роботи:

Дисертація є закінченою науковою роботою, в якій побудована математично-коректна теорія граничних- рівнянь, що виникають при розв’язанні задач динаміки в'язкопружних середовищ за допомогою методів теорії потенціалу.

З

Зокрема, у роботі були досліджені властивості основних граничних операторів у шкалах просторів типу сободевських, що дозволило дати відповідь на питання про однозначну розв'язність відповідних граничних рівнянь та про гладкість їх розв’язків.

2. Практична цінність. Одержані в роботі теоретичні результати у подальшому дозволять побудувати і обгрунтувати збіжні методи наближеного розв’язування нестаціонарних граничних рівнянь гальоркінського типу.

Апробація воботи. Результати роботи доповідались на республіканському семінарі "Ефективні методи розв'язання задач математичної фізики" Наукової Ради АН України, IV Міжнародній науковій конференції "Методи дискретних особливостей у задачах математичної фізики" (Харків, 1993), IV Міжнародній науковій конференції ім. академіка М. Кравчука • (Київ, 1995), II Всеукраїнській конференції молодих вчених (Київ, 1995).

Публікації: Основні результати дисертації надруковано в шоста (6) роботах. Список публікацій — в кінці автореферату.

Структура та обсяг роботи. Дисертація викладена на 96 сторінках і складається із вступу, чотирьох розділів, які поділені на параграфи, висновку та списку цитованої літератури.

Основні результати, що виносяться до захисту.

1. Теореми про властивості псевдодиференціальних операторів, що виникають при розв'язанні динамічних задач лінійної теорії в'язко-пружності за допомогою поверхневих потенціалов.

2. Теореми про однозначну розв'язність та гладкість розв'язків граничних рівнянь у двох основних задачах динаміки в'язкопружних середовищ на замкнених поверхнях.

3. Теореми про однозначну розв'язність граничних рівнянь у задачах динаміки в'язкопружних середовищ з крайовими умовами змішаного типу.

4. Теореми про однозначну розв'язність нестаціонарних граничних рівнянь у задачах дифракції в'язкопружних хвиль на відокремленому розрізі.

Зміст роботи

У вступі обгрунтовано актуальність теми дослідження, проаналізовано сучасний стан справ, сформульовано ціль роботи та основні результати, що подаються до захисту.

Перша глава присвячена теоремам існування розв'язків нестаціонарних граничних рівнянь на замкнених поверхнях.

Нехай 5 - замкнена поверхня класу С1“ (а > 0) , яка поділяє И" на області й+ (внутрішню) та О- (зовнішню). Зміщення точки х в'яз-копружнього середовища, що займає області £2+ або £2', в мить часу і

визначається вектор-функцією и = и(х, і) = и(Х), X = (хД) .

Позначимо й* = С2* х її+, І = 5 х И, Е* = 5 х Ії+, де = (о, <ю). Якщо немає об'ємних сил , и(х) в С* або С~ задовільнює систему рівнянь:

рд?и(Х) + А и,и(Х) + А мд,и(Х) = 0, X є С1 (1)

де р — постійна об'ємна густина середовища, яку далі покладемо рівній одиниці, А = А1*’ + АІ,>дІи — матричний диференціальний оператор лінійної теорії в’язкопружності, що діє за формулами:

(Дц). = -др„(и),

сч(и) = ао*ле«.(и) + °.$Ає«(и)<

2е*л(и)= дкщ +д„ик .

Тут і далі використовується правило підсумовування за латинськими

індексами, що повторюються, від 1 до п. У (2) {<Гд}" та {є**}”—

тензори напруг та деформацій середовища відповідно. Коефіцієнти, що містяться у законі Гука (2), є компонентами постійних тензорів пружних

{“«“}"■** і та вязких {“о**}"■*!,-, коефіцієнтів середовища, що за-

довільнюють умови симетричності та еліптичності.

Початкові умови вважаємо однорідними:

и(х, + о) = д,и(х, + 0) = 0, х є Л1 . (3)

В першій основній задачі Iі крайові умови мають вигляд

иі(Х) = /*(Х) г X єЕ\ (4)

У другій IIі задається вектор нормальних граничних напруг (Т„и)±(Х) = д*(Х), Хєї* (5)

з компонентами

(Т^У = (ов(а))\і(х) ,

де \{х) = у„(х)) — орт зовнішньої відносно О+ нормалі до &.

Індекси " ± " позначають граничні значення відповідних величин при переході точки X на поверхню 2* з б* відповідно.

У §1.2 вводяться динамічні в’язкопружні потенціали і викладаються відомі дані про їхню поведінку при переході точки X через гіперповерх-ню Е = йхй . В'язкопружні потенціали простого й подвійного шару з за-

даними на Б густинами а, р визначаються формулами

(Уа)(Х) = І(ф'(Х- Г).а(У))Є/і5у , (6)

(^)(Х) = |((т(у)ф;)(Х - У),р(к))е^к (7)

відповідно. В (6) та (7) через Ф} позначено ./-тий стовпець матриці Фг, транспонованої до матриці фундаментального розв'язку рівняння (1), що задовільнюе умови причинності: Ф(Х) = 0 при ( < 0 скалярний

добуток вектор-функцій в ї" , е( -/-тий орт системи координат.

Очевидно, що для гладких фінітних на X густин а, р , що дорівнюють

нулю при < < 0 , обидва потенціали задовільнюють в С1 рівняння (1) і початкові умови (3). Крім того, для них справедливі формули стрибків, аналогічні формулам стрибків гармонійних потенціалів .

Представимо розв'язки задач І*, П* потенціалом простого шару и(Х) = (Уа)(Х) , X є Є*, (8)

тоді для визначення густини а маємо системи граничних рівнянь, які формально запишемо у вигляді

(Уа)(Х) = /*(Х) , (к±а)(Х) = д*(х) ДєГ. (9)

Представлення розв'язків цих же задач потенціалом подвійного шару ц(Х) = (ИТЗ)(Х) , X еЄ* (10)

призводить до відповідних систем

(Ш%Х) = Ґ(Х), (рр)(Х)=д4(Х) , ХєГ (11)

Основні граничні оператори, які присутні в рівняннях (9), (11) вводяться формулами

Уос = {У<хУ(Х) = (Уа)(Х)

= (\УР)‘(Х)

К*а = (Ха)*(Х) = (ГуУа)±(х) * * 2

рр=(/=р)±(х) = (туи/р)±(х)

Вивчення властивостей операторів V , IVі, Xі, Я є одним з основних моментів роботи. В роботі ми постійно використовуємо перехід до перетворень Лапласу по змінній і:

и(х,р) = ] и(х,{)ехр(-р£)сії ,

[цільностями а і р , що знайдені за допомогою рівнянь (9), (11), дають рішення відповідних крайових задач.

Підкреслимо, що результати теорем 1.5 — 1.7 є справедливими для по-верховостей 5 класу С'л(а > 0). У випадку ж гладких 5, ці результати можуть бути узагальнені на більш широкий клас функціональних просторів, що і зроблено у другому розділі дисертації.

У другій главі досліджується гладкість рішень нестаціонарних граничних рівнянь, існування яких доведено в §1.5; узагальнюються результати §1.4, щодо властивостей основних граничних операторів. У цьому розділі припускається, що 5 — поверхня класу С" .

Розглянемо систему диференціальних рівнянь

(V), = Р2ц‘ ~ Рдіа№= Ч

Тут р <=СК, к > 0, а‘2,, а^, (і,у',ісЛ= —оператори множення

на відповідні компоненти а^(х) , а^(х) дійсних тензорів пружних та

в'язких коефіцієнтів середовища, що задовільнюють при і єй" умови симетричності та еліптичності, крім того:

а&М = ат.с + <*&(*) . <*(*) = + 4м(х) >

де а|^0, —сталі, що також задовільнюють умови симетричності та

еліптичності,^, — гладкі фінітні в К" функції.

Вектор нормальних граничних напружень у неоднорідному середовищі задамо формулою:

(71,и)>) = (а^ + ра^д.и,у,(х) , х є Б, і = .

Результати досліджень, проведених у перших двох розділах другої глави, зібрані у наступній теоремі.

Теорема 2.3.

Нехай и є , / > 1 . Існують додатні сталі С„ к,, такі, що при

а > КІ справедливі оцінки

ІМІлр.я* * + ІРҐ'ІкИІ,.р.П‘) -

И*# * с-°‘2{і!^.Ри(.зЛ.Рі5 + ИИС,,^}

\КиІ^.Р, - с^'2{И4ІХх^ +НІС,Л*} -

У §2.1 ствердження теореми доведені у випадку П+ = її?, в §2.2 за допомогою стандартної процедури локалізації ці результати перенесено на

випадок довільних областей П1 з гладкою межею.

У §2.3 сформульована і доведена одна з центральних теорем роботи, що стосується властивостей основних граничних операторів та розв'язності граничних рівнянь у задачах динаміки в'язкопружних середовищ.

Теорема 2.5.

При т > У^, к є И, к 2: к(і) > 0 основні граничні оператори здійснюють неперервні відображення:

V:- Н,

К* ■ Н'.ш-»-4,(2*)-

Р- ««...(ї*)-» Нг.»:..*-.ДІ + )-

Області значень цих відображень щільні у відповідних просторах. Обернені оператори, що е розв'язуючими операторами систем граничних рівнянь (9), (11) можуть бути продовжені за неперервністю до відображень

V": .Н,Л4,К(Г) -» Я,,га_и_44г),

М'' : ->

(X1)'1 : Я,„„иДг) -> Нгт_ІЛ.4Дг),

^ : Я,.._иі1е(г)

при всіх т> к є И, к £ к(7) > 0.

Глава 3 присвячена питанням розв'язності граничних рівнянь у задачах М± динаміки в'язкопружних середовищ з крайовими умовами змішаного типу. У цьому випадку гранична поверхня 5 розбивається на дві частини

5, та 52 ненульової площі: 5, п Б2 = 0 , 5, и = 5 . В областях 0і розв'язується система рівнянь (1) з початковими умовами (3). Позначимо і; » $ х н+, / = і, 2 .

На частині поверхні 5, задаються крайові умови першого роду

и*(х) = /^Х), Хєї;,

на і>2 —відомий вектор нормальних граничних напруг (Т^У(Х) = дг*(х), X є е; .

Розглянуто чотири варіанти зображення рішень цих задач: у вигляді потенціалів простого та подвійного шарів, а також їх суми з густинами, зосередженими на різних частинах поверхні 2+ .

Зупинимось на одному з цих варіантів.

при тому, для оригіналів та їхніх зображень по Лапласу збережено одне і те ж саме позначення, що однак не призводить до непорозумінь.

Після переходу до перетворень Лапласу рівняння (1) приймає вигляд: р2и(х,р) + рА(1’Цх,р) + /і<е,и(х,р) = 0 , х єСЇ. (12)

Для зображень по Лапласу потенціалів (6) і (7) та основних граничних операторів введемо позначення (ура)(х), (^Кр[3)(х), Ур, М/*, К*, Рр.

У § 1.3 вводяться функціональні простори, у яких діють основні граничні оператори.

Позначимо через Я, Діг), І єй простір, що складається з узагальнених вектор-функцій и(х) є , які мають скінчену норму:

МІ,,** = {/^ + І^Г + Н) !“Г .

де й(^) — трансформанта Фур'є и(х) . Далі введемо простори Н, До*) , які складаються з вектор-функцій и(х) , що задані в 0і та припускають продовження до елементів їй є Норми в НІр(о±) задамо як

Простори Нтр(Б) на граничній поверхні 5 введемо аналогічно.

Виберемо к > О і позначимо Ск = {р є С: Яе р > к}. При всіх 1,к єП введемо простори НиЛіК(п*) , елементами яких є функції и(х,р) , і ей*, р є СК що мають такі властивості:

1) и(х,р) голоморфно відображує Ск в нДй*), де Я,(п*) є стандартними просторами С.Л. Соболева,

2) и(х,р) в має скінченну норму:

И.*.кя* = (5ЦР I Iі + Н)*ІІиС0*2 , Р = а + іт .

\ аж ^ /

Простори НиЛх(5) вводяться аналогічно.

На закінчення введемо простори Я^Дс*), Ягіп)[К(е+) які складаються з обернених трансформант Лапласа и(х,() = и'и(х,р) елементів просторів Яик Дп*) , ЯІ т1к(5) відповідно. Норми у цих просторах введемо формулами

Зауважимо, що простори НІІ кх(С!^, Нг тг Ді*) складаються із заданих

на б* або £ п-компонентних узагальнених функцій, які дорівнюють нулю при < < 0 .

§ 1.4 присвячений вивченню властивостей основних граничних операторів у функціональних просторах, що були введені вище. Об’єктом дослідження є оператори V, К*, XVі, Р* . Провідним моментом дослідження є доведення рівномірних за параметром р Є С0 оцінок норм операторів ЛГр, К*, V/ *, і7, та обернених до них у просторах

Основні результати §1.4 наведені у теоремі 1.1.

Теорема 1.1.

При всіх к є Е, к > 0 основні граничні оператори здійснюють неперервні відображення

Області значень цих відображень щільні у відповідних просторах. Обернені оператори, що продовжені з щільних множин на ці простори, здійснюють неперервні відображення

при всіх к є Я, к > 0 .

Наслідком одержаних в §1.4 результатів є теорема 1.6 про однозначну розв'язність граничних рівнянь (9), (11) в однопараметричній шкалі со-болєвських просторів. Ця теорема сформульована у §1.5 роботи.

У тому ж розділі наведена теорема 1.7, в якій сформульовано умови на /* та д1, за якими вектор-функції, побудовані по формулах (8), (10) з

Нпр(5),лгєЯ.

Представимо розв'язки задач М1 у вигляді

u(X) = (Va)(X)+(wp)(X) , (16)

де supp а с Е,, suppß с £2 . Підставивши (16) у крайові умови, приходимо до систем парних граничних рівнянь

fn,{(^)(x)+-(w*ß)(x)} = /*r (17)

[n!{(K*a)(X) + (Fß)(x)} = sr±,

в яких П, — операція звуження з Е+ на Е(+, і = 1,2 . Формально ці системи запишемо у вигляді:

АС {«,(*} = {f±,g±}. (18)

Введемо простори Яг,м,*,Д2*) , (і = 1,2, л?,£ є R), елементами яких є вектор-функції и є ЯГІ *Де+), що мають зосереджені на Б* носії. Введемо далі простори Ягтк Де*) (і = 1,2, т,к є R) , що складаються зі звужень на X* елементів просторів НТ mл,Де+).

Провідним моментом дослідження нестаціонарних граничних рівнянь у задачах М± стало вивчення властивостей операторів ЩііР, і, j = 1,2, і * j,

які зіставляють елементам и є Hyp(s) пари

^.П^Дг^и)* j є Hyp(s,) х ЯКр(5,). На підставі одержаних результатів

та вже відомих властивостей основних граничних операторів у §§4.2, 4.3 доведено теореми про однозначну розв'язність усіх чотирьох типів граничних рівнянь у задачах Мі .

Наведемо тут результати про розв'язність парних граничних рівнянь (17)-(18), що складають частину тверджень теореми 3.1. Парні граничні рівняння (17)-(18) однозначно розв'язні при всіх /* єЯ^Де*),

д* є Я _^ Де;) . Розв'язуючий оператор (м**,) ' системи (18) здійснює при всіх к є R неперервні відображення

Н„^М) х х k.y^iK)

У четвертій главі дисертації розглядаються задачі нестаціонарної дифракції в'язкопружних хвиль на відокремленому розрізі. Припустимо, що S0 — незамкнений (п - і) -мірний многовид, який є зв'язною частиною

замкненої поверхні S, П = Rn|S0, G = üxR., S* = S0 х R+.

В Є розв'язуємо систему (1) з початковими умовами (3) . В задачі £>, є відомими зміщення точек середовища на берегах розрізу И*)=Г(Х),

\и(Х)=Г(Х). ХЄ2° ' {19)

У задачі Д2 є відомим вектор нормальних граничних напруг

|(Г'и) (х) = З (х)- х є 1* (20)

{(ІІи)-(*)-<ґ(Х). ° ’ (20>

Розв'язки обох задач шукаємо у вигляді

и(Х) = (Уа)(Х) + (Щ)(Х) , ХєС , (21)

з густинами а, р , зосередженими на £„ .

Підставивши (21) в крайові умови (19) приходимо до системи граничних рівнянь

Г Уос + = Г,

[їу+р - Vлр = Г - Г

або

К1{а,р} = Г={Г,Г-г} . (22)

У задачі В2 маємо систему

|т+Уа - Т'Уа + Т+ЩІ = д* - д',

[Г'Уа- Г'ІУ'Р = д' ,

або

Д^а.р} = д = {д+ -д~, д~} . (23)

Функціональні простори та Н,.т,кх{іі){к єй,к>к0>о) , що

використані далі, вводяться таким же чином, як відповідні простори на кожній з частин Б, (і = 1,2) у третій главі роботи. У §4.2 вводяться основні

граничні оператори та вивчаються їх властивості у введених функціональних просторах.

На підставі цих властивостей у §4.3 доведена однозначна розв'язність граничних рівнянь.

Теорема 4.2.

При будь яких правих частинах / = {Г,Г -г| єНгі,ік{і^ х,

У = {д* -д~, д'} єНг,-&».«(е0)х Нг,.и,кіК(20) рівняння (22) , (23) мають

однозначні розв’язки.

Розв’язуючі оператори і?,'1,Л,~' при будь яких значеннях к єИ, к > к0 здійснюють неперервні відображення

яг': нгУікк(га) х к.^,(г0) ->н,-йм,,(е;)хя,№(ї;) ,

я,-': я,-х,*,к(ї0+) х я Де;) -> я,-х.*.Д20+)х Нгу2,к.*(х;)

Основні результати дисертації опубліковані в роботах:

1. Рапота Н.И. Метод граничных уравнений в задачах динамики вязкоупругих сред / Труды Второй Всеукраинской конференции молодых ученых, Киев, 16—18 мая 1995 года, Математика / Киев. ун-т.

— Киев, 1995. — с. 106 — 111, Библиогр. 7 назв. — 1\с. — Деп в ГНТБ Украины 04.09.95 №2034-Ук95.

2. Рапота Н.И., Чудинович И.Д. Граничные уравнения в основных задачах динамики вязкоупругих сред / ХГУ. — Харьков, 1995. — 22 с. Библиогр.: с. 22 — Деп. в ГНТБ Украины 02.10.95 №2206-Ук95.

3. Рапота Н.И. Парные граничные уравнения в задачах динамики вяз-

коупругих сред // Інтегральні перетворення та їх застосування до крайових задач: 36. наук. пр. — Київ: 1т-т математики НАН

України, 1995. — Вип. 10. — с. 248 — 252.

4. Рапота Н.И., Чудинович И.Ю. Разрешимость граничных уравнений в основных задачах динамики вязкоупругих сред // Інтегральні перетворення та їх застосування до крайових задач: 36. наук. пр. — Київ:Ін-т математики НАН України, 1996. — вип. 11. — с. 266 - 270.

5. Рапота Н.И. Гладкость решений граничных уравнений в задачах динамики вязкоупругих сред // ХГУ. — X., 1996 — 24 с. Библиогр.: с. 23 - 24. - Деп. в ГНТБ Украины 29.04.96 №1059-ук96.

6. Рапота Н.И., Чудинович И.Ю. Метод граничных уравнений в задачах динамики вязкоупругих сред // Тези доп. четвертої Міжнародної наукової конференції ім. академіка М. Кравчука. — Київ: КПІ, 1995. - с. 206.

SUMMARY

Rapota N.I. Potential theory methods in dynamic problems for viscoelastic media. Manuscript. The thesis is to achieve the degree of Doctor of Philosophy in mathematics on the speciality 01.01.03 -Mathematical Physics. Kharkov State University, Kharkov, 1996.

The thesis deals with the construction of mathematical theory of boundary equations in dynamic problems for viscoelastic media. These problems’ solutions were represented in a form of dynamic surface single- and double-layer potentials. Mentioned representations lead to various boundary equations with respect to unknown potentials’ densities.

The unique solvability of these equations in the scales of Sobolev’s type functional spaces is proved.

The essential results of the thesis are published in 6 scientific works.

АННОТАЦИЯ.

Рапота Н.И. Методы теории потенциала в задачах динамики вязкоупругих сред. Рукопись. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.03 - Математическая физика. Харьковский государственный университет. Харьков, 1996.

Диссертация посвящена построению математически корректной теории граничных уравнений в основных задачах динамики вязкоупругих сред. Решения этих задач были представлены в виде динамических'-поверхностных потенциалов простого и двойного слоев. Указанные представления приводят к различным видам граничных уравнений относительно неизвестных плотностей потенциалов.

Доказана однозначная разрешимость этих уравнений в шкалах функциональных пространств типа соболевских.

Основные результаты диссертации опубликованы в 6 научных работах.

Ключові слова: в’язкопружні середовища, поверхневі потенціали, граничні рівняння, розв’язність у просторах Соболева.

Key words: viscoelastic media, surface potentials, boundary equations, solvability in Sobolev spaces.