Модели ориентируемых жидкостей и анизотропного поверхностного натяжения тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА

На правах рукописи

Калугин Алексей Георгиевич

МОДЕЛИ ОРИЕНТИРУЕМЫХ ЖИДКОСТЕЙ И АНИЗОТРОПНОГО ПОВЕРХНОСТНОГО НАТЯЖЕНИЯ

01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА — 1998

Работа выполнена на кафедре гидромеханики механико - математического факультета Московского Государственного Университета им. М.В.Ломоносова

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

кандидат физико-математических наук, доцент А. Н. Голубятников

доктор физико-математических наук А. В. Марченко

кандидат физико-математических наук, ст.н.с. А. В. Аксенов

Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша

Зашита состоится ' МГ^^б? 1998 г. в/^^чае. на заседании Диссертационного Совета Д.053.05.02 при МГУ им. М.В. Ломоносова по адресу: 119899, Москва. Воробьевы Горы, МГУ, Главное здание, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ.

Автореферат разослан "Ц "вР^ГЯ^У 1998 г.

Учёный секретарь Диссертационного Совета доктор физико-математических наук,

профессор ^^ В.П. Карликов

_(

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В настоящее время во многих областях техники, медицины, в прикладных вопросах физики, химии и биологии широко используются и изучаются такие вещества как жидкие кристаллы, суспензии и коллоидные растворы с анизотропными по форме частицами, растворы полимеров и другие среды, представляющие собой ориентированные жидкости. 11сс. 1' лованшо таких сред, в частности, вопросам построения и уточнения ..юдолей анизотропных жидкостей и поверхностных пленок, обладающих различными свойствами симметрии, и определению физических конпаит, характерных для этих моделей, посвящено большое количество теоретических и экспериментальных работ. Построение моделей жидких кристаллов тесно связано с заданием их групп материальной симметрии, чти позволяет при достаточно общих предположениях определить, например, вид функции внутренней энергии, тензора вязких напряжений, вектора притока тепла, а также других необходимых величин. Дальнейшее определение численных значений параметров, входящих в математические модели таких сред, как правило проводится на основе экспериментального изучения равновесия или таких движений среды, для которых заранее известно аналитическое или численное решение соответствующей модельной задачи. В связи с этим представляет значительный научный и практический интерес изучение возможности построения непротиворечивых моделей анизотропных жидкостей с различными свойствами симметрии, исследование свойств орнентаци-онных и поверхностных волн, а также изучение равновесия взвешенной капли нематического жидкого кристалла (НЖК), чему посвящена представляемая диссертация.

Цель работы. Диссертация посвящена исследованию влияния групп материальной симметрии сплошной среды на ее устойчивость, связанной с гиперболичностью уравнений движения и на устойчивость ее поверхностного натяжения. Также изуча-

ется влияние анизотропии поверхностного натяжения на форму взвешенной капли нематпческого жидкого кристалла.

Методы исследования. Исследования проводятся методами механики сплошной среды. В работе применяются вариационные принципы механики, групповой анализ, а также аналитические и численные методы теории дифференциальных уравнений.

Научная новизна полученных результатов. В диссертации впервые

- проведено исследование вопроса устойчивости сплошных сред, группы материальной симметрии которых являются 4-параметрическими подгруппами группы

- показано, что при некоторых группах симметрии среда является неустойчивой вне зависимости от выбора функции внутренней энергии, в остальных случаях получены критерии устойчивости:

- проведено исследование поверхностных сред, ответственных за поверхностное натяжение, группы симметрии которых - все подгруппы группы ЗЬ'2- Показано, что часть сред являются неустойчивыми в смысле определения касательных и нормальных перемещений при произвольной функции внутренней энергии поверхностного натяжения, для остальных сред получены критерии устойчивости, причем все устойчивые двумерные среды имеют трехмерные аналоги, и наоборот:

- решена задача о равновесии взвешенной капли нематического жидкого кристалла с учетом анизотропии поверхностного натяжения в случае слабой ориентации директора на поверхности раздела нематик - изотропная жидкость:

- аналитически и численно показано, что учет анизотропии поверхностного натяжения почти всегда приводит к возникновению конических пиков на полюсах капли.

Практическая значимость исследования. Результаты исследования устойчивости трехмерных и двумерных сплошных сред могут быть использованы при построении мо-

делей ориентируемых жидкостей и жидких пленок. Изучение формы взвешенной капли может быть использовано для объяснения данных наблюдений и определения различных физических констант при изучении моделей нематическпх жидких кристаллов.

Достоверность полученных результатов подтверждается использованием апробированных методов исследования, в том числе вариационных принципов механики сплошной среды, групповых. асимптотических и численных методов; сравнением результатов, полученных численно и аналитически.

Положения, выносимые на защиту.

1. Исследование устойчивости простых анизотропных жидкостей в зависимости от их свойств симметрии при распространении волн Римана и процессах релаксации ориентации.

2. Исследование устойчивости двумерных поверхностных сред с различными типами симметрии и процесса распространения прогрессивных волн в жидкости с учетом анизотропии поверхностного натяжения.

3. Решение задачи о равновесии капли нематического жидкого кристалла, взвешенной в изотропной жидкости с учетом анизотропии поверхностного натяжения.

Апробация работы. По теме диссертации сделаны доклады на конференциях молодых ученых (механико - математический факультет МГУ, секция гидромеханики, 1994 и 1995 гг.), а также на Чебышевских чтеннях (механико - математический факультет МГУ, секция гидромеханики, 1996 г.) и Всероссийской конференции "Современные методы и достижения в механике сплошной среды" (Москва, 1997 г.). Результаты докладывались на научных семинарах Института Механики МГУ и механико-математического факультета МГУ и получили положительную оценку. По материалам работы имеется о публикаций.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения; всего содержит 120 страниц, включая 7 рисунков и 3 таблицы. Библиография состоит из 114 работ.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении обоснована актуальность темы, приведен краткий обзор работ, посвященных общим проблемам физики и механики ориентируемых жидкостей и близких к теме диссертации. Описана структура работы, основные результаты и методы их получения.

В первой главе рассматривается задача об устойчивости трехмерных простых анизотропных идеальных сплошных сред. Определение устойчивости связано с гиперболичностью системы уравнений второго порядка, определяющих закон движения индивидуальных частиц хг(£р, ¿). Требование гиперболичности приводит к условию неотрицательной определенности биквадратичной формы

д2и - - • ■ дхг

Е = I I т1т} >0 х% = ——-

дх^дх{рч ~ ' р д?'

где и(з,хгр) - удельная внутренняя энергия среды, й - удельная энтропия. Состояние сплошной среды в данной точке, характеризуемое днсторсней хг, называется устойчивым, если Е > 0

при любых векторах/. т. Если же существует хотя бы одна пара векторов /. т, для которых Е < 0. то это состояние называется неустойчивым. Среда неустойчива в данной точке, если ее состояние неустойчиво для почти всех дисторсий. В диссертации показано, что возможны случаи неустойчивости, не зависящие от выбора функции внутренней энергии II и выведены критерии устойчивости для различных видов симметрии.

В первой главе диссертации рассматриваются среды, внутренняя энергия которых является функцией от компонент матрицы дисторсии и дополнительного набора тензоров, количество и вид которых определяется свойствами симметрии среды. Сопутствующие компоненты таких тензоров с верхними или нижними индексами считаются вмороженными. В работе рассматриваются среды, группы симметрии которых являются подгруппами группы преобразований 5Хз, сохраняющей вид плотности. Это означает инвариантность уравнений состояния при преобразованиях лагранжевых координат, принадлежащих этим подгруппам. Поскольку группой симметрии изотропного твердого тела является трехпараметрическая подгруппа группы 5Х.з - группа вращений б'Оз, то в качестве групп симметрии простых анизотропных жидкостей рассматриваются четырех-и более параметрические подгруппы из 6X3. При этом из компонент матрицы дисторсии и инвариантов этих подгрупп можно составить максимум две скалярные величины, которые будут аргументами функции внутренней энергии II: удельный объем V - инвариант всех подгрупп группы 6X3 п I - аргумент, определяющий свойства анизотропии среды. В общей сложности возможно восемь различных комбинаций для инвариантов, одна из которых является серией, зависящей от параметра: 1) I отсутствует: 2) /'= |а|2'+2|Л|-'2. где / < 1. А ■ а ф 0; 3) / = |а|2:

4) I = где а ■ А — Ь ■ А — 0: 5) I = ^ ^ Прн тех

\л\ И1

_ А - В

же ограничениях на а, 6, А. что и в случае 4: 6) I = . где

[а|

-> -> - I А\~ + \В\2

А ■ а = В ■ а = 0, А х В ф 0:7)/ = -——-, ограничения те

|а|

же, что и в случае 6; 8) / = |Л|2|а|2, где а • А ф 0.

Далее, учитывая зависимость и = и (V,/), удобно представить форму Е в виде Е = Е^ + Е{2). где = + Е^ = ипР? + ■2и1уР,Р1 + иууР$ ,

гг ди тт ди п д1 } , _ дУ;

= ' д2 = щЬу^1™3 •

Вычисление вида Е в каждом случае сначала производится в специальных базисах, где в системе координат (х1) вектора /, т имеют специальный вид т = (1, 0, 0), I = (соэ7, 8Ш7, 0), а матрица дисторснн

( т I 0 \

К) =

о 1 о 0 0 1

в окрестности состояния хг = 5'^. после чего выражение для Е в произвольном базисе выписывается путем замены, например, А1 на Ат — А ■ т.

В диссертации показано, что для случаев 2 при / ф — 1 и 4-8 можно выбрать /, т так, что 2) = 0 и при этом Е^ ф 0 при условии С// ф 0. Остающийся при выполнении этих требований произвол в выборе I. т позволяет менять знак Это озна-

чает. что при любом выборе функции I/(/, V) для таких видов симметрии форма Е является знакопеременной, а соответствующая среда - неустойчивой. Из всех рассмотренных подгрупп устойчивыми являются только обычная изотропная жидкость, а также два вида анизотропной жидкости, когда дополнительным тензорным аргументом V является вектор, у которого вморожены ковариантные или контравариантные сопутствующие компоненты, причем для двух последних случаев существуют хорошо известные физические интерпретации, например, идеальная проводящая жидкость и нематические или смектические жидкие кристаллы. Для всех трех устойчивых случаев получены критерии устойчивости - соотношения на производные от

и, обеспечивающие неотрицательную определенность формы Е. Также в первой главе показано, что часть критериев устойчивости являются условиями, обеспечивающими неубывание энтропии в случае учета релаксации ориентации.

Во второй главе диссертации методика исследования устойчивости трехмерных анизотропных сплошных сред распространяется на случай двумерных поверхностных сред - пленок, характеризующих поверхностное натяжение.

Для этого рассматривается задача о движении идеальной жидкой пленки на поверхности тяжелой несжимаемой идеальной жидкости. Считается, что плотность поверхностной энергии 11т, является функцией сопутствующих компонент метрического тензора границы жидкости Е: Ь\ — Используя вариационные принципы механики сплошной среды, можно получить систему уравнений движения жидкости и краевые условия на поверхности Е: для определения скачка давления (обобщение формулы Лапласа)

и для определения закона движения поверхностной среды в касательном к Е направлении

где р - давление в жидкости, ра - давление вне ее, baß - компо-

- л ~aß ÖVaC/E ненты второй квадратичной формы поверхности. — ~^-

- компоненты тензора поверхностных натяжений.

Для корректной постановки задачи о нахождении касательных перемещений при Uv. ф const система уравнений (2) должна быть системой эллиптического типа.

Требование эллиптичности приводит к условию положительной определенности формы Е

Ра- р= Ps ьав

■aß

(1)

Vepr = 0,

(2)

däQß

причем вектор m - произвольный трехмерный, а I лежит в касательной к Е плоскости. Таким образом, определения устойчивости и неустойчивости для трехмерных сред можно распространить на случай двумерных пленок.

В качестве групп симметрии поверхностной среды рассматриваются подгруппы группы 51/2- С учетом подгрупп с одинаковыми инвариантами, возможно всего четыре различных случая. Причем относительная площадь поверхности S = \fà является общим для всех подгрупп инвариантом. Вычисление формы Е в двумерном случае аналогично трехмерному. Исследование положительной определенности формы Е показывает, что один из четырех случаев симметрии является абсолютно неустойчивым. Устойчивыми, как и в трехмерном случае, являются среды следующих типов: 1) изотропная жидкая пленка, в общем случае с непостоянной функцией энергии поверхностного натяжения, 2)

СХ (3 Q

= ааИ а0 . где а0 - метрический тензор начального состояния, 3) поверхностные среды с I = |А|2, где А - вектор, контраварнантные сопутствующие компоненты которого постоянны. Для этих случаев получены критерии устойчивости.

В последнем разделе второй главы рассматривается задача о волнах малой амплитуды в жидкости бесконечной глубины, в предположении потенциальности движения. В случае решения задачи в виде прогрессивных волн получаются следующие дисперсионные соотношения (к = \к\, к - двумерный волновой вектор), соответствующие рассмотренным выше случаям:

(3)

£2 2 kSdU,

к) ш

1+дк, I = \Âf (4)

Р

, 2&3 ( диЕ\ /Г л 2кЗ диЕ 3)ш — —(и? + + (к ■ к)0 — + (5)

¡т. и\ _ „о

I = а0/3 ао , (к ■ к)о = как: аа0

Отметим, что требование устойчивости волнового решения (а; - действительная величина при любых к) для коротких (капиллярных) волн выполняется в силу выведенных соотношений на устойчивость касательных перемещении. Также появление дополнительных аргументов С/^ в случаях 2), 3) приводит к зависимости величины фазовой скорости от направления волнового вектора к. Кроме того, в этих случаях групповая скорость перестает быть параллельной фазовой, что приводит к эффекту переноса энергии в направлении, расположенному под углом к направлению распространения волны.

В третьей главе рассматривается задача о равновесии капли несжимаемого нематнческого жидкого кристалла, взвешенной в изотропной жидкости, с учетом анизотропии поверхностного натяжения. В качестве модели рассматривается модель Озеена-Франка, когда объемная плотность свободной энергии упругих искажений поля вектора ориентации (директора) А берется в виде

= -КЧгЛ> VгAJ (6)

1 2*

- одноконстантное приближение, а поверхностная плотность свободной энергии задается соотношением

^ = а + (7)

где а. /3. К - постоянные величины, вектор Ь образует фиксированный угол и с нормалью к поверхности, п - ось легкого ориентирования. Задача о равновесии капли сводится к поиску

минимума для функционала вида

Е = / Fydr + / Fzda (8)

v s

где V - заданный объем капли, £ - ее граница, что позволяет найти форму капли и распределение ориентации директора внутри нее. После этого давление р находится по формуле

р — рд — Fy + const.

Независимое варьирование вектора b позволяет выразить его через А и п и перейти к функции Fv = Fy(An) вида

Fz = а + \(3{ 1 - (/(1 - Ъ1)( 1 - А*) + |Anbn\f) (9)

С учетом порядка величин а, ¡3, К и характерного размера капли Rq. при котором ее можно рассматривать как монокристалл в отсутствие внешних воздействий, вводятся два безразмерных параметра

£1 = £ « 10"1 -МО"6 и е, = ^ « 101 - Ю-4 а К

При /3 = 0 (а значит и £\ = е^ = 0) изопериметриче-ская задача о наименьшем значении функционала Е при фиксированном V имеет единственное решение А = const, капля - сфера. Далее минимум функционала (8) ищется в приближении по £i, £2, считающихся малыми параметрами, когда в по-динтегральных выражениях учитываются члены не выше квадратичного, в классе функций, обладающих симметрией основного состояния, когда в сферических координатах (г, в, ip) А = (cos х, sin х/^, 0). Это приводит в к уравнению для определения угла отклонения вектора ориентации от вертикали w = (в + x(ri,x))/e2, х = тг/2-в, Т\ = r/R{) вида

/ 9 ч (w,cosx)x W , .

г Я, ,, + —---— = о 10

COS X COS-X

и отклонения формы капли от сферической у(х) = (R — До)/(£1До)

(y'cosx)' = (2у + Al) cos ж - ^ cos(3a: + 2ш) (И)

с краевыми условиями tt;ri(1,ж) = 1/2 sin2(ж +ш). w(ri,0) = w{ru тг/2) = 0, у'{0) = 0. у'{п/2) = 1/2 sin 2а;, где Л! = —(sin 2ш + eos 2lü)/6.

При и = 0, 7г/2 уравнения (10). (11) имеют точные решения, отличающиеся знаками,

±w = wi = 1/4 n2 sin 2а:, ±y = yx = 1/24(3 cos 2x - 1) (12) В общем случае решение ищется в виде

w = cos 2ш w\ + sin 2to w-2-, у = cos 2u> y\ -f sin 2ш y2 (13)

Уравнение (11) для функции у? решается численно, а уравнение

мт - dW(rux)

(10) относительно ш2 заменой w =---- сводится к за-

дх

даче Неймана для уравнения Лапласа, что позволяет выразить w-2 в квадратурах.

Отметим, что при ш ф 0, 7г/2 на полюсах капли возникают конические пики, обусловленные отсутствием сосредоточенных линейных и точечных сил. Исследование асимптотики формы капли в общем (не линеаризованном) случае приводит к кубическому уравнению для R'/R при в —> 0. решение которого при малых £\ имеет вид

R'(*/2) eisinZo;

В заключении перечислены основные результаты, представляемые на защиту.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

1. Рассмотрена задача об устойчивости трехмерных простых анизотропных сплошных сред в зависимости от их свойств материальной симметрии. Изучены среды, группы симметрии которых являются подгруппами группы ¿Тз. Показано, что при некоторых видах симметрии среда является абсолютно неустойчивой, а устойчивыми могут быть только изотропная жидкость и анизотропные жидкие кристаллы нематического и смектиче-ского типов, для них получены критерии устойчивости.

Показано, что часть критериев устойчивости является условиями, обеспечивающими неубывания энтропии в процессах релаксации ориентации.

2. Проведено исследование устойчивости анизотропных поверхностных сред в случае, когда их группами симметрии являются подгруппа группы БЬ). Показано, что устойчивыми могут быть только среды типа изотропной жидкой и изотропно-упругой пленок, а также анизотропная жидкокристаллическая поверхностная среда, когда свойства анизотропии задаются одним вектором ориентации.

Изучены процессы распространении прогрессивных поверхностных волн, получены дисперсионное соотношение и критерии устойчивости таких волн. Показано, что в случае упругой и жидкокристаллической поверхностных сред возникает эффект переноса энергии под углом к направлению распространения волны.

3. Рассмотрена задача о равновесии капли нематического жидкого кристалла, взвешенной в изотропной жидкости, с учетом анизотропии поверхностного натяжения в случае слабой ориентации директора на поверхность раздела нематик-изотропная жидкость. Показано, что учет анизотропии поверхностного натяжения приводит к возникновению конических пиков на полюсах капли.

Список работ по теме диссертации:

1. Голубятников А. Н., Калугин А. Г. Об устойчивости несжимаемых сплошных сред с высокой аффинной симметрией. Вестник МГУ, сер. 1, Математика. Механика. 1996, № 2, с. 59-62.

2. Голубятников А. Н., Калугин А. Г. Об устойчивости поверхности жидкости с анизотропным поверхностным натяжением. В сб. Материалы международной конференции н Чебышевских чтений, посвященных 175-летию со дня рождения П. Л. Чебышева. М.: Изд МГУ, 1996, т. 2, с. 396398.

3. Калугин А. Г. Об устойчивости анизотропных сплошных сред. Материалы всероссийской конференции "Современные методы и достижения в механике сплошных сред. М.: Изд. НИИ Механики МГУ, 1997, с. 35-36.

4. Калугин А. Г. Об устойчивости анизотропных сплошных сред. Сборник трудов НИИ Механики МГУ, посвященный 90-летию со дня рождения Л. И. Седова. М.: Изд. НИИ Механики МГУ, 1997.

5. Калугин А. Г., Голубятников А. Н. О равновесной форме капли нематического жидкого кристалла. Труды МИР АН, 1998, N. 3.