Моделирование неомической электропроводности сильно неоднородных сред тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.10 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ФИЗИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ С СИЛШОЙ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ

НЕОДНОРОДНОСТИ) ЭЛЕКТРШРОВОДНОСТИ (ОБЗОР).

1.1. Поликристаллические полупроводники.».,

1.2. Прыжковая проводимость слабо легированных кристаллических и аморфных полупроводников.

ГЛАВА 2. НЕОМИЧЕСВДЯ ПРОВОДИМОСТЬ ПОЛИКРИСТАЛЛШЕСКИХ

ПОЛУПРСВОДНЙКОВ.

2.1. Перколяционный расчет.

2.2. Алгоритм моделирования.

2.3. Результаты расчета.

ГЛАВА 3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНОЙ ПРЫЖКОВОЙ

ПРОВОДИМОСТИ.

3.1. Алгоритм моделирования.

3.2. Результаты моделирования.

ГЛАВА 4. МОДЕЛЬ СЕТКИ МИЛЛЕРА И АЕРАХАМСА В ТЕОРИИ

ПРЫЖКОВОЙ ПРОВОДИМОСТИ.

4.1. Постановка задачи.

4.2. Алгоритм моделирования.-^

4.3. Вычисление электропроводности в модели

Миллера и Абрахамса.w

4.4. Результаты моделирования.

ГЛАВА 5. МОДЕЛИРОВАНИЕ НИЗКОТЕМПЕРАТУРНОЙ ПРЫЖКОВОЙ

ПРОВОДИМОСТИ.

5.1. Алгоритм моделирования.11 ^

5.2. Обсуждение результатов.

5.3. Сравнение с экспериментом.

ГЛАВА 6. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ИНТЕН1РЕТЩИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ НИЗКОТЕШЕРАШНОЙ ПРЫЖКОВОЙ ПРОВОДИМОСТИ.

6.1. Теория низкотемпературной прыжковой проводимости Шкловского.

6.2. Моделирование "мягкой системы".

6.3. Плотность распределения величин % ц и ее влияние на гешетрию критической подсетки.

6.4. Проводимость одномерной мягкой цепочки.

6.5. Проводимость трехмерной мягкой системы.

t

Объектом исследования настоящей диссертации является неомическая статическая электропроводность материалов, облада -кнцих следующими двумя характерными свойствами:

1) Экспоненциально широкий случайный разброс локальных значений омической электропроводности.

2) Сильная зависимость локальной электропроводности от электрического поля.

В диссертации рассматриваются две физические системы, обладающие такими свойствами. Первая - поликристаллические полупроводники с высокими межкристаллическими барьерами. Ток через один барьер пропорционален гиперболическому синусу падающего на нем напряжения, что обеспечивает зависимость локальной электропроводности от поля, а разброс локальных значений омической электропроводности создается дисперсией барьеров по высоте. Вторая рассматриваемая система - полупроводники (аморфные или слабо легированные кристаллические) проводимость которых при данной температуре имеет прыжковый характер. Эта "классическая" неоднородная система, явившаяся первой неоднородной системой, при исследовании электропроводности которой были применены методы теории протекания, также удовлетворяет сформулированным выше свойствам.

Актуальность работы определяется большой практической значимостью рассматриваемых материалов. Поликристаллические и аморфные полупроводники широко применяются в различных твердотельных электронных приборах, в электрографии, в приборах для преобразования солнечной энергии и многих других. Важность исследования не омических свойств материала обусловлена двумя причинами: во-первых, неомичность таких материалов наступает в сравнитедьно слабых полях, и во многих практических применениях эти материалы работают в не омическом режиме, а, во-вторых, измере-^ ние зависимости электропроводности от приложенного поля может дать ценную информацию о важнейших характеристиках исследуемого материала, таких как радиус локализации волновой функции примесного состояния и плотность состояний в аморфных полупроводниках и функция распределения межкристаллических барьеров по высоте в поликристаллических.

К моменту начала работы над диссертацией существовало до -вольно большое число теорий, претендовавших на правильное опи -сание неомической проводимости различных сильно неоднородных сред, причем многие из этих теорий явно противоречили друг дру -гу. В то же время, экспериментальные данные, особенно по прыжковой цроводимости, не позволяли сделать однозначный выбор между претендовавшими на их описание теориями, поскольку для сравнения эксперимента с теорией необходимо детально знать микроскопические параметры образца, которые в большинстве случаев были известны лишь весьма приближенно. Поэтому для цроверки правильности различных теорий, а также для выяснения того, какие именно физические причины определяют тот или иной вид зависимости электропроводности материала от поля, было необходимо иметь возможность ставить эксперименты на материалах, обладающих точно известными и легко варьируемыми микроскопическими свойствами . 1£цинственный из известных методов, позволяющий ставить такого рода "эксперименты", - метод математического моделирования, который и был принят в качестве основного в данной работе. Данные, полученные методом математического моделирования, являются идеальным материалом для проверки правильности той или иной теории, описывающей моделируемую систему, поскольку математический эксперимент всегда является "чистым" в том смысле, что он исходит из тех же самых предположений о микроскопических свойствах материала,, что и теория, а все параметры модели, в отличие от физических экспериментов, точно известны. Проверка существующих теорий,не является, однако, единственной или главной пользой, которую можно извлечь из анализа результатов численного моделирования. Располагая рассчитанными на ЭВМ зависимостями электропров однос ти б от электрического поля Е для различных значений микроскопических параметров материала (например, радиуса локализации волновой функции цримесного состояния и плотности состояний на уровне Ферми), мы получаем возможность решать обратную задачу: сравнивая расчетные зависимости с результатами реальных физических экспериментов, можно определить параметры материала (или, если такое сравнение приводит к цротиворечиям, сделать вывод, что проводимость данного материала нельзя рассматривать в рамках модели, использованной при расчете - такая информация тоже может быть весьма ценной).

Кроме задач, связанных с численным моделированием, в диссертации рассматриваются задачи и более теоретического плана. Предложенная в 1976 году Шкловским теория низкотемпературной не омической прыжковой проводимости /20/ (справедливость которой мы надеялись подтвердить численным моделированием) была, по существу, асимптотической, то есть предсказывала вид зависимости f>(Е) только в пределе очень сильного разброса омической электропроводности и достаточно сильного электрического поля. Предсказания этой теории в большинстве случаев сильно расходились с экспери -ментальными данными. Это скорее всего означало, что параметры реальных полупроводниковых материалов цросто не попадают в об -ласть ее справедливости. Поскольку при построении этой теории систематически опускались "численные множители порядка единицы", точная оценка области ее применимости была затруднительна. С другой стороны, мы не могли признать правильными теории других авторов /35,27,50/, поскольку они не давали полученной Шкловским асимптотики, справедливость которой нам представлялась несомнен -ной. Поэтому еще одной целью работы было обобщение теории Шклов -ского на неасимптотическую область.

Резюмируя выше сказанное, перечислим цели настоящей работы:

- разработка и реализация алгоритмов расчета неомической проводимости поликристаллических полупроводников и полупроводников, проводимость которых носит прыжковый характер, исходя из,по возможности, наиболее общей модели микроструктуры этих материалов;

- расчет зависимости цроводимости указанных материалов от электрического поля для значений микроскопических параметров модели, соответствующих их реальному экспериментальному диапазону;

- анализ правильности существующих теорий неомической электропроводности сильно неоднородных сред путем сравнения их предсказаний с результатами нашего расчета;

- устранение противоречий между теорией не омической прыжковой проводимости Шкловского /20/ и данными физических и числен -ных экспериментов путем обобщения теории на неасимптотическую область;

- сравнение данных, полученных путем численного моделирования, с экспериментальными данными, анализ применимости моделей, использованных в данной работе, выработка рекомендаций по практическому применению полученных результатов.

Диссертация состоит из введения, шести глав и заключения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе получены следующие основные результаты: I) Разработана простая вариационная процедура, позволяющая вычислять зависимость проводимости от поля для сильно неоднородных сред типа поликристаллических полупроводников. Для поликристаллического полупроводника зависимость Е) вычислена в слу -чае равномерного распределения высот межкристаллических барьеров и указан способ вычисления &(Е) для произвольной функции распределения барьеров по высоте, позволяющий, в принципе, решать обратную задачу - определение функции распределения барьеров по работай метод моделирования неомической электропроводности поликристаллических полупроводников, и показано, что результаты нашего аналитического расчета, моделирования и экспериментов на

2) Разработан метод математического моделирования высокотемпературной прыжковой проводимости. Показано, что в области асимптотически с ильных полей результаты моделирования подтверждают концепции ориентированного протекания и захвата на ловушки. Показано, что при понижении температуры, при температуре равной примерно одной десятой ширины запрещенной зоны (в энергетических единицах) происходит переход от сублинейных к суперлинейным ВАХ.

3) Разработан метод решения системы уравнений приближения СЧЗ, позволяющий рассчитывать зависимость прыжковой проводимости для любых полей и температур. На основе проведенных расчетов показано, что в низкотемпературной части области <5^ -проводимости и в области VRH при 17 < 30 зависимость логарифма электропроводности от поля практически линейна, и вычисленг высоте из экспериментально измеренной зависимости поликристаллическш 2~п 0 хорошо согласуются друг с другом. коэффициент пропорциональности между (л б и Е .

4. Разработан метод моделирования низкотемпературной прыжковой проводимости цри помощи метода Монте-Карло, не использующий приближение СЧЗ. Сравнение данных, полученных методом Монте-Карло с результатами расчетов, проведенных в приближении СЧЗ, позволило определить точность последнего.

5) Показано, что наблюдаемые зависимости б(Е) аморфных германия, сурьмы и мышьяка не могут быть интерпретированы в рамках модели с постоянной плотностью состояний.

6) Построена теория низкотемпературной прыжковой проводимости, согласующаяся с результатами моделирования.

Диссертант предполагает продолжить исследование нешической прыжковой проводимости методами математического моделирования. В частности, намечается широкий комплекс расчетов &(Е j в модели с непостоянной плотностью состояний с целью научиться восстанавливать плотность состояний аморфных полупроводников по экспериментально измеренным зависимостям их проводимости от электрического поля и температуры. Второе направление будущих исследований -исследование прыжковой проводимости в области действия закона &уоС~Е 'Лсм. формулы (1.85) - (1.86)).

Ж X ж

В заключение я считаю своим приятным долгом выразить глубокую благодарность своему научному руководителю и соавтору Б.И. Шклов сксглу, постоянное общение с которым было главным фактором, способствующим продвижению исследований, изложенных в данной работе. Я также глубоко признателен Нгуену Ван Лиену, в сотрудничестве с которым выполнена часть исследований, вошедших в диссертацию, и Ю.Ф. Берковской, принимавшей участие в написании и отладке некоторых программ.

Я благодарен заведующему кафедрой одтоэлектроники ЛЭТИ им. В.И. Ульянова (Ленина) академику Ж.И.Алферову и всем сотрудникам этой кафедры за поддержку и внимание к работе.

Я искренне признателен И.Г. Всесветскому (ЛНИВЦ АН СССР) и Б.И. Резникову (ФТИ АН СССР) за постоянную активную помощь при проведении расчетов на ЭВМ.

Большую пользу принесли обсуждения моей работы на семинарах лаборатории теоретической физики ФТИ АН СССР, всем участникам которых я также глубоко благодарен.

1. Ансельм А.И. Введение в теорию полупроводников. - М.: Наука,1978, -616 с. . . .

2. Биндер К. (ред). Методы Монте-Карло в статистической физике.-M.S Мир, 1982, 400 с.

3. Винников А.Я., Мешков A.M., Савушкин В.Н. Нелинейная перколя-ционная проводимость поликристаллической структуры. Письма в ЖТФ, 1980, т.6, в 12, с. 726-729.

4. Винников А.Я., Мешков A.M., Савушкин В.Н. Экспериментальное обнаружение перколяционной электропроводности в сильных электрических полях. ФТТ, 1980, т.22, в. 10, с.2989г-2995.

5. Винников А.Я., Мешков А.М., Савушкин В.Н. Теория нелинейной перколяционной электропроводности неупорядоченного поликристаллического полупроводника. ФТТ, 1982, т.24, в.5, с.1352-1359.

6. Винников А.Я. Теория электропроводности неупорядоченных поликристаллических полупроводников с межгранульными, барьерами.

7. Автореферат канд.диссерт., Ленинград, 1984,. 18 с. .

8. Гайдялис В.И., Маркевич Н.Н., Монтримас Э.А. Физические про -цессы в.электрографических слояxZnO. Вильнюс: Минтис,1968, с. 367.

9. Гельмонт Б.Л., Гаджиев А.Р., Шкловский Б.И., Шлимак И.С., Эфрос А.Л. Прыжковая проводимость твердых.растворов германия с кремнием. ФТП, 1974, т.18, т.18,.в.12, с.2377-2384.

10. Гольдман Е.И., Ждан А.Г., Маркин Ю.В., Сульженко П.С. Электропроводность полупроводников с межгранульными барьерами и спектроскопия пограничных состояний при наличии туннельного тока. ФТП, .1983, т.17, в.З, с.390,-393. .

11. Забродский А.Г., Шлимак И.С. Неомическая проводимость по примесям в слабо легированном германии. ФТП, 1977, т. II, в. 4, с. 736-740.

12. Кнут.Д. Искусство программирования для ЭВМ, т.1. М.: Мир, . 1967, 736 с. .

13. Мотт Н., Дэвис.Э. Электронные процессы в некристаллических . веществах, т.1.-М.: Мир,.1982, 368 с. . .

14. Нгуен Ван Лиен, Шкловский Б.И., Эфрос А.Л. Энергия активации прыжковой проводимости слабо легированных полупроводников. -ФТП, 1979, т.13, в.II,.с.2192-2209.

15. Скал А.С., Шкловский Б.И. Топология бесконечного кластера в теории протекания.и теории прыжковой проводимости. ФТП,1974, т.8, в.8, с.1586-1592.

16. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1983, . 616 с.

17. Шкловский Б.И. Прыжковая проводимость полупроводников в силь-. ном электрическом поле. ФТП, 1972, т.6, в.12, с.2335-2340.

18. Шкловский Б*.И. Неомическая прыжковая проводимость. ФТП, . 1976, тЛ0,.в.8, сл440-1448. .

19. Шкловский.Б.И. Перколяционная электропроводность в сильных . электрических, полях.-ФТП, 1979, т. 13, в.1, с.93-97.

20. Шкловский .Б.И.,. Эфрос А.Л. Теория протекания.и проводимость . сильно неоднородных сред. УФН, 1975, т.117, в.З, с.401-435.

21. Шкловский Б.И., .Эфрос-А. 1. Электронные свойства легированных . полупроводников. М.: Наука,. 1979 ,. 416 с.

22. Шкловский Е»И.Эфрос.A.JL.~Структура примесной зоны слабо легированных полупроводников. ФТП, 1980, т.14, в.5,с. 825-857.

23. Ambegaokar V., Cochran S., Kurkijarvi J. Conduction in Random Systems. Phye. Rev. (B), 1973, v. 18, №8, p.3682-3688.

24. Apsley N., Davie E.A., Troup A.P., Yoffe A.D. Electronic properties of ion-bombarded evaporated germanium and silicon. J. Phye. C: Solid State Phys., 1978, v. 11, №24, p. 4983-4996.

25. Apsley N., Huges H.P. Temperature- and field dependence of hopping conduction in disordered systems, II. Phil. Mag., 1975, v. 31» № 6, p. 1327-1339.

26. Bottger H., Bryksin V.V. Effective medium theory for the hopping conductivity in high electrical fields. Phys» Stat. Sol.(b), 1979, v. 96, № 1 , p.219-224.

27. Bottger H., Bryksin V.V. Investigation of non-Ohmic hopping conduction by methods of percolation theory. Phil. Mag. (B), 1980 , v.42, № 2, p.297-310.

28. Bottger H., Bryksin V.V. Hopping conductivity in ordered and disordered systems (III). Phys. Stat. Sol. (b),v. 113, № 1, p. 9-49.

29. Elliott P.J., Yoffe A.D., Davis E.A. Hopping conduction in amorphous germanium. American Inst. Phys. Conf. Proc., 1974, v. 20, № 2, p. 311-319.

30. Pishchuk I.I. Theoretical investigation of the field dependence of the direct current in inhomogeneous semiconductors.-Phys. Stat. Sol.(b), 1982, v.111, № 2, p.K17-K21.

31. Fishchuk I.I. Effective medium theory for DC conductivityand Hall effect of inhomogeneous semiconductors in high electrical field. Phys. Stat. Sol.(b), 1982, v. 113, № 2, p. 549-557.

32. De Gennes P.G. On a relation between percolation theory and the elasticity of gels. J. de Phys., 1976, t. 37, № 1, p. L 1 - L 2.35» Hill R.M. Hopping conduction in amorphous solids. -Phil. Mag., 1971, v. 24, № 192, p. 1307-1325.

33. Imgrund H., Overhof H. J. de Phys., С 4, 1981, v. 42, p. C4 - 83.37* Kikuchi R., Sato H. Cation diffusion and conductivity in solid electrolytes. II. Mathematical Analyses. J.Chem. Phys., 1971, v.55, № 2, p. 702-715.

34. Kirkpatrick S. Percolation and conduction. I. Transport theory of percolation processes. Rev. Mod. Phys., 1971, v. 45, № 4, p.574-588.

35. Mackintosh A.J., Phillips R.T., Yoffe A.D. The electrical conductivity of amorphous antimony and its dependence on film thickness. Physica (B), 1983, v.117-118, № 5,p.1001-1003.

36. Miller A., Abrahams E. Impurity conduction at low concentration. Phys. Rev., 1960, v. 120, H° 6, p.745-756.

37. Marshall J.M. Transit-pulse dispersion in a spatially random hopping system. Phil. Mag. (B), 1981, v.43, № 3, p. 401-406.

38. Mott N.F.' The anisotropic elastic energy of a rhombus-shaped dislocation loop. Phil. Mag., 1970, v. 22,175, p.7-29.

39. Mott N.F. Conduction in non-crystalline systems. VII.Non-Ohmic behaviour and switching. Phil. Mag., 1971, v. 24, № 190, p.911-958.

40. Nguen Van Lien, Shklovskii B.I. Hopping conduction in strong electric fields and direct percolation. Solid St. Comm., 1981, v. 38, № 2, p. 99-102.

41. Ortuno M., Pollack M. Hopping transport in a-Ge and a-Si.-Phil. Mag.(B), 1983, v. 47, №6, p.L 93 L 98.

42. Petritz R.L. Theory of photoconductivity in semiconductor films. Phys. Rev., 1956, v. 104, № 6, p. 1508-1516.

43. Phillips R.T., Mackintosh A.J., Yoffe A.D. Electrical and optical properties of UHV sublimed a-As. J. de Phys.C4, 1981, v. 42, № 10, p.C4-869 - C4-872.

44. Pollak M., Ries I. A percolation treatment of high-field hopping transport. J. Phys. С : Solid St. Phys., 1976, v. 9, № 12, p. 2339-2352.

45. Richards P.M. Theory of one-dimensional hopping conductivity and diffusion. Phys. Rev.(B),1977, v. 16, №4,p. 1393-1409.

46. Richards P.M. One-dimensional hopping transport. J.Chem. Phys., 1977, v. 68, H° 5, p. 2125-2128.53* Seager C.H., Pike G.E. Percolation and conductivity :a computer study. II. Phys. Rev. (B), 1974, v. 10, №4, p. 1435-1446.

47. Sinkkonen J. DC conductivity of a random barrier network. Phys. Stat. Sol.(b), 1980, v. 102, № 4, p. 621-627.

48. Stauffer K. Scaling theory of percolation cluster. Phys. Rep., 1979, v. 54, № 1, p. 1-74.

49. Teylor W.E., Odell N.H., Pan H.J. Grain boundary barriers in Germanium. Phys. Rev., 1952, v. 88, № 4, p. 868-875.

50. Volger J. Note of the Hall potential across an inhomoge -neoue conductor. Phys. Rev., 1950, № 6, p. 1023-1024.

51. Zvyagin I.P. A percolative approach to the AC hopping conductivity. Phys. Stat. Sol.(b), 1980, v. 97, № 2, p. 143-149.