Моделирование процессов управления и эллипсоидального оценивания для механических систем на основе декомпозиции тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

Введение.

1 Построение управления для механической системы на основе декомпозиции

1.1 Постановка задачи.

1.2 Полученные результаты.

1.2.1 Приведение системы к нормальным координатам.

1.2.2 Анализ ограничений и построение управления.

1.3 Пример.

2 Эллипсоидальные оценки фазового состояния линейных систем

2.1 Постановка задачи.

2.1.1 Постановка задачи для систем с дискретным временем.

2.1.2 Постановка задачи для систем с непрерывным временем.

2.1.3 Вспомогательные задачи.

2.2 Полученные результаты.

2.2.1 Решение Задачи 1.

2.2.2 Решение Задачи 2.

2.2.3 Решение Задачи 3.

2.2.4 Описание алгоритма.

2.3 Пример 1.

2.4 Пример 2.

3 Моделирование процессов управления и оценивания.

3.1 Постановка задачи.

3.2 Основные результаты.

3.2.1 Первый этап решения.

3.2.2 Второй этап решения.

3.2.3 Третий этап решения.

3.3 Описание алгоритма.

3.4 Пример.

Динамические системы с неопределенностями имеют большое значение в многочисленных приложениях теории управления и оптимизации. Часто в таких системах доступны результаты измерений одного или нескольких параметров, известны границы возможных ошибок этих измерений. Для таких систем важно построить оценки множества достижимости, то есть совокупности возможных концов траекторий данной системы, совместимых с уравнениями динамики системы (с учетом всевозможных реализаций неопределенностей в них) и результатами наблюдений (с учетом их возможных ошибок). Матрицы систем могут быть известными неточно: заданы лишь границы, в которых они могут лежать. Тем самым учитываются возможные неопределенности в задании параметров системы, а также параметрические возмущения. Такие системы могут моделировать различные механические, электрические и другие виды систем, чьи параметры неизвестны, но могут меняться в известных границах. В качестве примеров можно указать механические системы, в которых коэффициенты жесткости, затухания или трения заданы неточно. Электрические системы, где сопротивление, емкость, индуктивность или коэффициенты обратной связи известны с определенной точностью, также могут описываться в рамках этой модели.

Гарантированный (минимаксный) подход оперирует с множествами, в которых лежат неопределенные векторы. При этом предполагается, что неизвестные помехи локализованы в известных множествах, а в остальном произвольны. Гарантированный способ оценивания управляемых систем тесно смыкается с теорией дифференциальных включений [2], [49].

Гарантированный (минимаксный, игровой) подход к проблеме оценивания фазового состояния динамических систем был сформулирован в [15], [16]. Дальнейшее развитие он получил в книге [18], где содержатся результаты решения задач наблюдения и оценивания в динамических системах. В указанных работах используется понятие информационного множества, устанавливаются его свойства, предлагаются способы построения и аппроксимации. При этом применяется аппарат опорных функций. Рассматриваются совместные ограничения на ошибки измерений и начальные данные, включающие как совместное квадратичное ограничение, так и другие возможные ограничения. Необходимо также упомянуть работы [19]-[21], в которых результаты имеют наиболее завершенный характер для ситуации, когда в линейной наблюдаемой системе ограничения на помехи и ошибки заданы не в каждый момент времени, а интегрально-квадратичным образом. В этом случае множество возможных состояний, совместимое с наблюдениями, является эллипсоидом, и дифференциальные уравнения для его параметров относятся к классу уравнений Риккати. Проблемам, связанным с применением эллипсоидов, посвящены также работы [81]-[88].

В работах [34]-[37] для исследования множеств достижимости также используется аппарат опорных функций. Получено дифференциальное уравнение в частных производных для опорной функции множества достижимости, введено понятие интегральной воронки управляемой системы.

Главным элементом во многих алгоритмах гарантированного оценивания управляемых систем является исследование множеств достижимости. В частности, в работах [16], [17] при формулировке правила экстремального прицеливания для дифференциальных игр изучаются общие фундаментальные свойства множеств достижимости. Свойства компактности и непрерывной зависимости множеств достижимости от времени исследовались в работах [76], [78], [93]. Следует особо отметить роль методов анализа и теории экстремальных задач [39], [44] в развитии гарантированного подхода.

В монографии [50] изучается структура множеств достижимости, а также предельных множеств достижимости, получающихся при стремлении времени к бесконечности, называемых множествами управляемости. Структура множеств достижимости исследуется также в работах [67], [3], [92], [28]. Изучению границы множества достижимости линейной нестационарной системы посвящена работа [51].

У гарантированного способа оценивания все основные проблемы сводятся к тому, что операции над неопределенными величинами переходят в операции над множествами сколь угодно сложной (вообще говоря) формы. В связи с этим практически приемлемое построение множеств достижимости сталкивается с большими трудностями, особенно в пространстве большой размерности. Даже если исходные множества в начальный момент времени имеют геометрическую форму, требующую при машинном счете небольшого числа параметров для обработки и хранения, то в результате аффинных преобразований, сложения множеств, их пересечения, могут получаться многообразия сложной, и, самое главное, трудно предсказуемой формы. Оценки показывают, что при отсутствии каких-либо революционных прорывов в области создания новых моделирующих приспособлений (например, компьютеров), ни сейчас, ни в обозримом будущем для широкого класса реальных систем поточечные описания, обладающие достаточной точностью, не найдут материальной базы для воплощения.

Очевидность этого обстоятельства вызывает к жизни попытки ввести множества простой (канонической) формы, приближающие настоящие множества достижимости. Под простой понимается такая форма, которая при соблюдении допустимой точности аппроксимации требует приемлемых вычислительных ресурсов. При этом все входящие в задачу множества заменяются на множества канонической формы. Возникает задача построения операций над каноническими множествами (типа упомянутых ранее элементарных операций над множествами общей формы), результат которых был бы максимально близок в смысле некоторого критерия к результату соответствующих операций над множествами неопределенности. Представляется сомнительным существование универсальной канонической формы, но пока разнообразие их невелико.

В некоторых задачах бывает удобно описывать множества неопределенности с помощью методов теории линейных неравенств. Системы линейных неравенств выделяют многогранники в пространстве фазовых координат, содержащие неизвестное состояние системы. Подобный подход применяется в работах [23]-[25], [77]. Теория линейных неравенств используется также в монографии [26] для оценки возможностей управляемых систем, для агрегирования в экономических моделях и т.д.

В работах [53], [96] и других было предложено в качестве канонических множеств брать эллипсоиды. Здесь следует отметить, что множества достижимости линейных систем при не слишком обременительных условиях являются выпуклыми, а эволюция начального множества при отсутствии помех в таких системах описывается аффинными преобразованиями. Выбор эллипсоидов, таким образом, может быть объяснен указанными выше причинами, а именно: 1) эллипсоид в пространстве Rn описывается вектором своего центра и симметрической матрицей размерности пхп, т.е. сравнительно небольшим числом параметров (примерно вдвое меньшим, чем, например, требуется при больших п для описания параллелепипеда той же размерности); 2) произвольное выпуклое тело можно довольно хорошо приблизить эллипсоидом (в работе [22], (см. также [79], [4]) доказаны теоремы, позволяющие оценить качество аппроксимации эллипсоидом произвольного выпуклого множества); 3) класс эллипсоидов инвариантен относительно аффинных преобразований. Все это привело к появлению значительного количества работ с использованием эллипсоидов.

В статье [66] решена задача об аппроксимации эллипсоидом минимального объема пересечения эллипсоида и полосы.

В работе [52] предложен способ аппроксимации сверху суммы и пересечения двух эллипсоидов. При этом минимизировался след квадрата матрицы эллипсоида (сумма четвертых степеней полуосей эллипсоида). Получены соответствующие уравнения локально-оптимального оценивания.

В цикле работ [95]-[97] в качестве канонических множеств также применяются эллипсоиды. Выведены уравнения эволюции эллипсоида, аппроксимирующего множество достижимости, а также уравнения непрерывного оценивания в задаче гарантированной фильтрации, однако в полученные уравнения входят неопределенные скалярные параметры, в выборе которых содержится произвол.

Эллипсоидальные аппроксимации используются и в работах [12]-[14] для оценивания множеств достижимости как линейных, так и нелинейных систем.

В работах [71], [6], [89], [90], используются эллипсоидальные оценки множеств достижимости для систем с неопределенными параметрами.

Данная диссертация основывается на цикле работ, выполненных в отделе механики управляемых систем Института проблем механики РАН по методу эллипсоидов: [9]-[11], [27]-[33], [40]-[42], [45]-[47], [54]-[61], [6]- [8], [68]-[71] развит метод эллипсоидального оценивания множеств достижимости, основанный на операциях над эллипсоидами, оптимальных или субоптимальных в смысле объема. В работе [55] построена алгебра эллипсоидов экстремального объема, с помощью чего были выведены дифференциальные уравнения эволюции эллипсоидов, оценивающих множества достижимости; решена задача аппроксимации эллипсоидом минимального объема пересечения эллипсоида и полупространства, что использовалось в дальнейшем для построения квазиоптимальных алгоритмов аппроксимации пересечения эллипсоидов. В статье [33] строятся двусторонние оценки множеств достижимости управляемых систем. Уравнения эллипсоидального оценивания, полученные в работе [55], выведены в [27] с использованием аппарата опорных функций; установлены экстремальные свойства уравнений; доказана единственность локально-оптимальной в смысле объема эллипсоидальной аппроксимации. В работах [69], [И] строятся асимптотики аппроксимирующих эллипсоидов, а результаты метода эллипсоидов используются в игровой задаче для оценки времени преследования. Несколько эллипсоидов предлагается использовать в статье [61] для уточнения внешних и внутренних аппроксимаций, в частности, в случае невыпуклых ограничений на начальный вектор. В работах [45]-[47] строятся некоторые квазиоптимальные алгоритмы аппроксимации пересечения эллипсоидов, которые используются в задачах гарантированной фильтрации. На основе метода аппроксимации пересечения эллипсоидов из работы [55] в [30] выведены уравнения непрерывного гарантированного оценивания. Сводное изложение результатов по эллипсоидальному оцениванию и фильтрации, в которых в качестве критерия оптимальности брался объем оценивающего эллипсоида, приведено в монографии [62], препринтах [59], [60]. Получены также уравнения эволюции аппроксимирующих эллипсоидов для довольно широкого класса критериев, причем одним из самых простых и интересных частных случаев является след матрицы эллипсоида (см., например, [31], [32]). В статьях [6]-[8] получены уравнения эволюции аппроксимирующих эллипсоидов для динамических систем с учетом как аддитивных, так и параметрических неопределенностей и возмущений с учетом измерений в дискретные моменты времени.

Основные результаты исследований по методу эллипсоидов, выполненные в Институте проблем механики РАН, подытожены в монографиях [62] и [70].

Данная диссертация посвящена применению метода эллипсоидов в сочетании с декомпозицией управляемых систем для моделирования процессов управления и оценивания. В работе исследуются следующие основные проблемы. Во-первых, рассмотрена постановка проблемы и изучение возможности построения субоптимального управления для динамических систем с эллипсоидальными ограничениями на управление. Во-вторых, строятся уравнения эволюции аппроксимирующих эллипсоидов для динамических систем с неизвестными, но ограниченными возмущениями и неопределенностям при наличии дискретных измерений (в состав которых, в свою очередь, входят неопределенности и возмущения). И в-третих, ставится вопрос о возможности применения полученного управления для динамических систем с начальным положением, заданным на множестве, и неопределенных параметрах системы.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Диссертация посвящена вопросам построения субоптимального управления для линейных колебательных систем при наличии возмущений, а также построению оценок фазового состояния этих систем с учетом наблюдений.

Цель проведенных исследований заключается в постановке задач гарантированного управления и оценивания, разработке численных методов решения, исследовании частных случаев и конкретных примеров субоптимального управления (построенного на основе метода декомпозиции системы на ряд подсистем с одной степенью свободы) для колебательных систем, а также в построении оценок фазового состояния этих систем с учетом наблюдений с помощью метода эллипсоидов; численном исследовании возможности приведения таких систем из произвольного начального положения (заданного не точно) в окрестность положения равновесия.

В результате выполнения диссертационной работы была изучена возможность построения управления при наличии неизвестных, но ограниченных возмущений; действие возмущений учитывалось при построении оценок фазового состояния систем, а их подавление происходило в процессе построения новых оценок фазового состояния системы с учетом дискретных наблюдений. Из-за больших трудностей, возникающих при построении оптимального управления при наличии ограничений, предлагается строить управление, близкое к оптимальному.

Рассмотрен с теоретических позиций частный случай построения оптимального эллипсоида, аппроксимирующего область пересечения эллипсоида с призмой. Предложен алгоритм управления колебательной системой с неопределенными параметрами и построения оценок фазового состояния таких систем с учетом результатов измерения.

Проведено численное моделирование процесса управления колебательной системы с двумя степенями свободы. Предполагается, что система, начальное положение которой известно не точно, подвержена действию неконтролируемых ограниченных внешних сил и ограниченного управления. Показано, что для рассмотренных примеров метод позволяет построить простое управление, приводящее систему в малую окрестность положения равновесия.

1. Айзерман М.А. Классическая механика. М.: Наука, 1980.

2. Благодатских В. И. Теория дифференциальных включений.-М.: Изд-во Московского ун-та, 1979.

3. Давыдов А. А. Особенности границы достижимости в двумерных управляемых системах.// Успехи мат. наук.-1982.-Т.37. Вып.З (225).

4. Калинин В.Н., Шикин Е.В. О построении эллипсоидов экстремального объема // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1987. №4.

5. Кинёв А.Н. Построение синтеза ограниченного субоптимального управления колебательной системы.// Изв. РАН. ТиСУ. 2000. №6.

6. Кинёв А.Н., Рокитянский Д.Я., Черноусько Ф.Л. Эллипсоидальные оценки фазового состояния линейных систем с параметрическими возмущениями и неопределенной матрицей наблюдений.// Изв. РАН. ТиСУ. 2002. №1.

7. Кинёв А.Н. Численное моделирование эллипсоидальных оценок фазового состояния одной линейной системы.// Изв. РАН. ТиСУ. 2002. №5.

8. Кинёв А.Н. Численное моделирование процесса гарантированного эллипсоидального оценивания.// Изв. РАН. ТиСУ. Принята к публикации. ТиСУ. 2004. М.

9. Клепфиш Б. Р. Численное построение эллипсоидов, аппроксимирующих области достижимости.// Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1983. т.

10. Клепфиш Б. Р. Метод получения двусторонней оценки времени преследования./ / Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1984. №4.

11. Клепфиш Б.Р., Овсеевич А.И. Асимптотика эллипсоидов, аппроксимирующих области достижимости.// Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1984. №2.

12. Комаров В. А. Оценки множества достижимости и построение допустимых управлений для линейных систем.// ДАН СССР. 1983. Т.268. №3.

13. Комаров В.А. Оценки множеств достижимости линейных неавтономных систем.// Изв. АН СССР. Сер. мат.-1984. №.

14. Комаров В.А. Локально-оптимальные оценки множеств достижимости нелинейных систем.// Изв. АН СССР. Техническая кибернетика.- 1985.т.

15. Красовский Н.Н. К теории управляемости и наблюдаемости линейных динамических систем.// ПММ. 1964. Т.28. Вып.1.

16. Красовский Н.Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968.

17. Красовский Н.Н. Игровые задачи о встрече движений. М.: Наука, 1970.

18. Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977.

19. Куржанский А.Б. Информационные множества управляемых систем.// Дифференциальные уравнения. 1977. Т. 13. №1.

20. Куржанский А.Б.Об информационных множествах управляемых систем.// ДАН СССР. 1978. Т.240. №.

21. Куржанский А.Б., Пищулина И.Я. Минимаксная фильтрация при квадратичных ограничениях.// Дифференциальные уравнения. 1976. Т. 12. №8, 9, 12.

22. Лейхтвейс К. Выпуклые множества. Пер. с нем.-М.: Наука, 1985.

23. Лотов А.В. Численный метод построения множеств достижимости для линейных управляемых систем с фазовыми ограничениями //Ж. вычислит. мат. и мат. физ.-1975. Т.15. №1.

24. Лотов А.В. О сходимости методов численной аппроксимации множеств достижимости для линейных дифференциальных систем с выпуклыми фазовыми ограничениями // Ж. вычислит, мат. и мат. физ.-1979. Т.19.т.

25. Лотов А.В. О понятии обобщенных множеств достижимости и их построении для линейных управляемых систем // ДАН СССР.-1980. Т.250. No 5.

26. Лотов А. В. Введение в экономико-математическое моделирование. -М.: Наука, 1984.

27. Овсеевич А.И. Экстремальные свойства эллипсоидов, аппроксимирующих области достижимости.// Проблемы управления и теории информации. 1983. Т. 12. т.

28. Овсеевич А.И., Трущенков В.Л., Решетняк Ю.Н., Янгин А.А. Гарантированное оценивание состояния линейных динамических управляемых систем с помощью эллипсоидов // Алгоритмы и программы / Ин-форм. бюллетень Гос. ФАП. 1987. №12.

29. Овсеевич А.И., Трущенков В.Л., Черноусъко Ф.Л. Уравнения непрерывного гарантированного оценивания состояния динамических систем./ / Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1984. №4.

30. Овсеевич А.И., Решетняк Ю.Н. Аппроксимация пересечения эллипсоидов в задачах гарантированного оценивания.// Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1988. №4.

31. Овсеевич А. И., Решетняк Ю. Н. Асимптотическое поведение эллипсоидальных оценок областей достижимости. // Изв. РАН. Техн. кибернетика. 1992. №1.

32. Овсеевич А.И., Черноусько Ф.Л. Двусторонние оценки областей достижимости управляемых систем // ПММ.-1982.-Т.46, вып.2.

33. Панасюк А.И. Уравнения областей достижимости и их применение в задачах оптимального управления.// Автоматика и телемеханика. -1982.т.

34. Панасюк А.И. Уравнение множеств достижимости.// Сибирский матем. журнал.-1984.-Т.25. №4.

35. Панасюк А.И., Панасюк В. И. Асимптотическая оптимизация нелинейных систем управления.-Минск: Изд-во БГУ, 1977.

36. Панасюк А.И., Панасюк В.И. Асимптотическая магистральная оптимизация управляемых систем. -Минск: Наука и техника, 1986.

37. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В. и Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1976.

38. Пшеничный Б.Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. М.: Наука, 1980.

39. Решетняк Ю.Н. Суммирование эллипсоидов в задаче гарантированного оценивания.// ПММ. 1989. №2.

40. Решетняк Ю.Н. Метод эллипсоидов в задачах гарантированного оценивания. // Шестая Всесоюзн. конф. по упр. в мех. системах / Тезисы докл. Львов. 1988.

41. Решетняк Ю.Н., Яшин А.А. Некоторые методы гарантированного эллипсоидального оценивания // Труды Всесоюзн. студенческой конф. @XVII Королевские чтения® / Московский физ.-техн. ин-т.- М., 1986. Рукопись деп. в ВИНИТИ 23 янв. 1987. №548-В87.

42. Рокитянский Д. Я. Возмущенные линейные отображения множеств.// Изв. РАН ТиСУ 1997. №1.

43. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ.-Пер. с англ. М.: Мир, 1973.

44. Трущенков В.Л. Некоторые способы аппроксимации пересечения эллипсоидов в задачах гарантированного оценивания // Аэрофизика и геокосмические исследования. М., 1983. /Сб. науч. тр./ Московский физ.-техн. ин-т.

45. Трущенков В.Л. Гарантированная фильтрация в динамических системах, основанная на эллипсоидальной аппроксимации // Аэрофизика и геокосмические исследования. М., 1984. /Сб. науч. тр./ Московский физ.-техн. ин-т.

46. Трущенков В. Л. Численное моделирование задач гарантированнойфильтрации с помощью эллипсоидов // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1987. №6.

47. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.: Мир, 1989.

48. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с многозначной разрывной правой частью.// ДАН СССР. 1963. Т.151. №1.

49. Формальский A.M. Управляемость и устойчивость систем с ограниченными ресурсами. М.: Наука, 1974.

50. Формальский A.M. Об угловых точках границ областей достижимости.// ПММ. 1983. Т.47. Вып.4.

51. Хонин В. А. Гарантированные оценки состояния линейных систем с помощью эллипсоидов.// Эволюционные системы в задачах оценивания. Свердловск: Уральский научный центр АН СССР. 1985.

52. Черноусъко Ф.Л. Оптимальные гарантированные оценки неопределенностей при помощи эллипсоидов.// Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1980. №3-5.

53. Черноусъко Ф.Л Гарантированные оценки неопределенных величин при помощи эллипсоидов.// ДАН СССР. 1980. Т.252. №1.

54. Черноусъко Ф.Л. Оптимальные гарантированные оценки неопределенностей при помощи эллипсоидов.// Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1980. №3,4,5.

55. Черноусъко Ф.Л. Эллипсоидальные оценки области достижимости управляемых систем.// ПММ. 1981. Т.45. Вып.1.

56. Черноусъко Ф.Л. Оценки множеств достижимости управляемых динамических систем.// Теоретична и приложна механика. Четвърти нац. конгресс по теорет. и прил. мех., Варна, Доклади, Кн.1. София: Изд-во Болгарской АН. 1981.

57. Черноусъко Ф.Л. Колмановский В.Б. Оптимальное управление при случайных возмущениях. М.: Наука, 1978.

58. Черноусъко Ф.Л., Овсеевич А.И., Клепфиш Б.Р., Трущенков В.Л. Эллипсоидальное оценивание состояния управляемых динамических систем. М., 1983. /Препринт/ Ин-т проблем механики АН СССР: №224.

59. Черноусъко Ф.Л., Овсеевич А.И., Решетняк Ю.Н., Трущенков В.Л., Янгин А.А. Алгоритмы гарантированного эллипсоидального оценивания и фильтрации для динамических систем.-М., 1987. /Препринт/ Инт проблем механики АН СССР: №293.

60. Черноусъко Ф.Л., Янгин А. А. Аппроксимация множеств достижимости при помощи пересечений и объединений эллипсоидов.// Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1987. №4.

61. Черноусъко Ф.Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. М.: Наука, 1988.

62. Черноусъко Ф.Л. Декомпозиция и субоптимальное управление в динамических системах.// ПММ. 1990. Т.54. Вып. 6.

63. Черноусъко Ф.Л. Ограниченные управления в системах с распределенными параметрами.// ПММ. 1992. Т.56. Вып. 5.

64. Черноусъко Ф.Л. Эллипсоидальная аппроксимация множеств достижимости линейной системы с неопределенной матрицей.// ПММ. 1996. Т. 60. Вып. 6.

65. Шор Н.З., Гершович В. И. Семейство алгоритмов для решения задач выпуклого программирования.// Кибернетика. 1979. Т.15. Вып. 4.

66. Яковенко Г.Н., Кутепов С. А. О структуре множества достижимости.// VII Всес. совещание по проблемам управления. Тезисы докладов. Кн.1.-Таллин, 1980.

67. Chernousko F.L. Ellipsoidal bounds for sets of attainability and uncertainty in control problems.// Optimal Control Applications and Methods. 1982. V.3. №2.

68. Chernousko F.L. On equations of ellipsoids approximating reachable sets.// Problems of Control and Information Theory. 1983. V.12. №2.

69. Chernousko F.L. State Estimation for Dynamic Systems. Boca Raton: CRC Press, 1994.

70. Chernousko F.L., Rokityanskii D.Ya. Ellipsoidal Bounds on Reachable Sets of Dynamical Systems with Matrices Subjected to Uncertain Perturbations.// JOTA. 2000. V. 53. №1.

71. Chernousko F.L. Control of Oscillations in Systems with Many Degrees of Freedom.// IUTAM Symposium on Recent Developments in Non-linear Oscillations of Mechanical Systems (Eds. N. Van Dao and E.J. Kreuzer). Kluwer Academic Publishers, 2000.

72. Durieu C., Polyak B.T., Walter E. Ellipsoidal State Outer-Bounding for MIMO Systems via Analitical Tecniques.// Proc. Symp. Modeling, Analisis and Simulations, CESA'96 IMAC Multiconference. 1996.

73. Durieu C., Nazin S.A., Polyak B.T., Walter E. Ellipsoidal estimation under model uncertanty.// Proc. 15th ШАФС World Congress. Barselona. 2002.

74. Durieu СPolyak B.T., Walter E. Multi-input multi-output ellipsoidal state bounding.// J. of Optimization Theory and Application. Vol. 111. No 2. 2001.

75. Eaton J.H. An interative solution to time optimal control.// J. of Math. Anal, and Appl.-1962.-V.5, №2.

76. Fisher M.E., Gayek J.E. Estimating reachable sets for twodimensional discrete systems.// J. of Optimization Theory and Appl.-1988.-V.56. №1.

77. Jacobs M. Attainable sets in systems with unbounded controls.// J. of Diff. Equations.-1968.-V.4. №3.

78. John F. Extremum problems with inequalities as subsidiary conditions.// Studies and essays presented to R. Courant on his 60th birthday.-New York: Interscience Publishers, 1948.

79. Kurzhanski А.В., Valyi I. Ellipsoidal Calculus for Estimation and Control. Boston: Birkhauser, 1996.

80. Filippova T.F., Kurzhanski A.B. On the Set-Valued Calculus in Problems of Viability and Control of Dynamic Processes: the Evolution Equation, Working Paper WP-88-91, HAS A, Laxenburg, 1988.

81. Filippova T.F., Kurzhanski А.В., Sugimoto K., Valyi I. Ellipsoidal

82. Calculus, Singular Perturbations and the State Estimation Problems for Uncertain Systems, Working Paper WP-92-51, II AS A, Laxenburg, 1992.

83. Kurzhanski А.В., Tanaka M. On a Unified Framework for Deterministic & Stohastic Treatment of Identification Problems, Working Paper WP-89-013, IIASA, Laxenburg, 1989.

84. Kurzhanski А.В., Valyi I. Evolution and Control of Uncertain Systems, Tutorial-92-01, IIASA, Laxenburg, 1992.

85. Kurzhanski А.В., Valyi I. Set valued solutions to control problems and their approximations, in Analysis and Optimization of Systems, A. Bensoussan and J.L. Lions, Eds., Lecture Notes in Control and Inform. Sci., Ill, Springer-Verlag, Berlin, 1988.

86. Kurzhanski А.В., Valyi I. Ellipsoidal techniques for dynamic systems: the problems of control synthesis, Dyn. Control, 1, 1991.

87. Kurzhanski А.В., Valyi I. Ellipsoidal techniques for dynamic systems: control synthesis for uncertain systems, Dyn. Control, 2, 1992.

88. Kurzhanski А.В., Sugimoto K., Valyi I. Guaranteed state estimation for dynamical systems: ellipsoidal techniques, Int. J. Adaptive Control Signal Proc., in press.

89. Kurzhanski А.В., Varaiya P. On reachability under uncertainty. SIAM J. Control. 2002. V. 41(1).

90. Kurzhanski А.В., Varaiya P. Reachability analysis for uncertain systems-the ellipsoidal technique. Dynamics of Continuous, Discrete and Impulsive Systems Series B: Applications and Algorithms. 2002. V.9.

91. Nazin S.A., Polyak B.T. Limiting behavior of ellipsoids for state estimation.// Proc. NOLCOS 2001, St. Peterburg. 2001

92. Ovseevich A.I. Asymptotic behavior of attainable and superattainable sets.// Proc. of the Conf. on Modeling, Estimation and Filtering of Systems with Uncertainty. Sopron, Hungary, 1990. Basel, Switzerland: Birkhaiiser, 1991.

93. Pescvardi Т., Arenda K.S. Reachable sets for linear dynamic systems.// Information and Control. 1971. V.19. №4.

94. Polyak В. T. , Scherbakov P.S. Random spherical uncertainty for estimation and control.// IEEE Trans, on Autom. Contr. Vol. 15. No. 11, 2000.

95. Schlaepfer F.M., Schweppe F.C. Continuous-time state estimation under disturbances bounded by convex sets // IEEE Trans. Automat. Control. 1972. V.AC-17. №2.

96. Schweppe F.C. Recursive state estimation: unknown but bounded errors and system inputs.// IEEE Trans. Automat. Control.- 1968. V.AC-13. №1.

97. Schweppe F.C. Uncertain Dynamic Systems. Englewood Cliffs: Prentice Hall, 1973.