Задачи импульсного управления при эллипсоидальных ограничениях на импульсы

Вздорнова, Оксана Георгиевна

Задачи импульсного управления при эллипсоидальных ограничениях на импульсы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Вздорнова, Оксана Георгиевна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Екатеринбург МЕСТО ЗАЩИТЫ

2006 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Задачи импульсного управления при эллипсоидальных ограничениях на импульсы»

Автореферат диссертации на тему "Задачи импульсного управления при эллипсоидальных ограничениях на импульсы"

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ

На правах рукописи

ВЗДОРНОВА Оксана Георгиевна

ЗАДАЧИ ИМПУЛЬСНОГО УПРАВЛЕНИЯ ПРИ ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫХ ОГРАНИЧЕНИЯХ НА ИМПУЛЬСЫ

01.01.02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Екатеринбург — 2006

Работа выполнена в отделе оптимального управления Института математики и механики Уральского отделения РАН.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

Т.Ф. Филиппова

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

A.Н. Сесекин,

кандидат физико-математических наук

B.Б. Костоусов

Ведущая организация: Институт программных систем РАН.

Защита состоится 11 октября 2006 года в 13,00 час. на заседании специализированного совета Д 004,006.01 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук при Институте математики и механики Уральского отделения РАН (620219, г. Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 16).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики и механики УрО РАН.

Автореферат разослан 15 августа 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Н.Ю. Лукоянов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В настоящее время математический аппарат решения задач теории управления детерминированными системами, изменение состояний которых во времени описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями, хорошо разработан. К фундаментальным результатам, полученным в этой области теории управления, можно отнести принцип максимума Л.С. Понтрягипа, теорию необходимых и достаточных условий оптимальности, теоремы об условиях существования оптимальных управляющих воздействий, теорию линейных систем, исследование свойств управляемости, теорию гарантированного оценивания.

Одним из важных разделов динамической оптимизации является исследование задач оптимального импульсного управления, где изучаются динамические процессы с разрывными траекториями и обобщенными управлениями импульсного типа — векторными мерами и другими распределениями (обобщенными функциями).

Многие задачи оптимального управления, первоначально поставленные как классические, не имеют решения в традиционном классе абсолютно непрерывных траекторий и измеримых управлений. Если в классической задаче оптимального управления множество допустимых значений управления неограничено, то в общем случае нельзя" ожидать, что задача оптимизации имеет решение в классе обычных управлений с непрерывными траекториями. При этом основное условие оптимальности — принцип максимума — в своей классической форме оказывается неприменим, так как он требует, чтобы оптимальное управление существовало. Поскольку траекторные компоненты минимизирующих последовательностей в таких нерегулярных, вырожденных задачах сходятся к разрывным функциям, а управляющие функции характеризуются наличием дельтообразных составляющих и сходятся в смысле распределений, то возникает проблема расширения этого класса задач, направленная на включение предельных элементов в множество допустимых процессов. На этом пути и возникают задачи импульсного оптимального управления. Важные примеры задач

указанного класса можно найти в механике, ракетодинамике, квантовой электронике, робототехнике, математической экологии и экономике и др.

В становление и развитие теории оптимального импульсного управления важнейший вклад внесли работы H.H. Красовского, A.B. Куржан-ского, А.Г. Чеицова, А. Брессана, Дж. Варги, Р. Винтера, В.И. Гурмана, В.А. Дыхты, С.Т. Завалшцииа, А.Д. Иоффе, Г.А. Колокольниковой, В.М. Миллера, Ю.В. Орлова, Ф. Перейры, Ф. Рампаццо, Р. Ришела, Р. Ро кафеллара, А.Н. Сесекина, В.М. Тихомирова, Т.Ф. Филипповой и др.

Вопросам оптимизации динамических систем, описываемых дифференциальными уравнениями с управляющими функциями импульсного типа, посвящено большое число исследований, ь том числе работы А.Б. Куржан-ского1, H.H. Красовского2, С.Т. Завалищина, А.Н. Сесекина3, В.И. Гурмана4, В.А. Дыхты, О.Н. Сам сон юк5 (см, также библиографию к указанным работам). Одним из центральных вопросов математической теории управления динамическими системами является проблема построения множества достижимости системы, то есть построения множества тех состояний фазового пространства, куда фазовая точка может быть переведена из начального состояния (или множества начальных состояний) за заданное время при помощи некоторого допустимого управления.

Задача о переводе начальной области Д*о (£ = ¿о) вовнутрь заданного множества фазового пространства за определенный момент времени для систем обыкновенных дифференциальных уравнений рассматривалась ранее в работах1,2,6'7'8'9 и работах многих других авторов, наиболее полно

1 Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. — М.: Наука, 1977. — 392с.

7Красовскuû H.H. Теория управления движением. Линейные системы - М.: Наука, 1968. - 475с.

s&i«<MuufUK С.Т., Сесекин А.Н. Импульсные процессы: Модели и приложения. - М.: Наука, 1991. - 256с.

* Гурман В.И. Вырожденные задачи оптимального управления. — М,: Наука, 1977. — 304с,

*Дыхта S.A., Самсонюк О.Н. Оптимальное импульсное управление с приложениями. - М.: Фнз-

матлит, 2000. - 255с.

* Алексее« B.M.t Тихомиров В.М., Фомин C.B. Оптимальное управление. - М.: Наука, 1979. - 429с.

7КрасоескиИ H.H. Управление динамической системой. Задача о минимуме гарантированного результата - М.:Наука, 1985. - 516с.

* Кротов В. Ф., Гурмау* В.И. Методы и задачи оптимального управления. - М.:Наука, 1973. - 44Сс.

9.В., Маркус Л, Основы теории оптимального управления. - М.: Наука, 1972. - 574с.

изучены вопросы управляемости, существования оптимального управления, необходимые условия оптимальности (основным из которых является принцип максимума JI.C. Понтрягина), достаточные условия оптимальности и другие. Для импульсных систем подобные задачи рассматривались в работах H.H. Красовского, А.Б. Куржанского, Р. Винтера, М.И. Гусева, В.И. Гурмана, В.А. Дыхты, С.Т. Завалищина, В.В. Костоусова, В.Ф. Кро-това, Ю.В. Орлова, Ю.С. Осипова, Ф. Перейры, О.Н. Самсонюк, А.Н. Сс-секина, Т.Ф. Филипповой и др. В случае одноточечных множеств Xq и Х\ при обычном требовании равноограниченности вариации решение указанной задачи хорошо известно1»2,3. В работах1,10 рассматривалась подобная задача при добавочном ограничении на управление в виде конуса.

Для решения задач указанного круга принципиальной является проблема точного или приближенного построения множеств достижимости управляемой системы. Во многих прикладных задачах точное нахождение множества достижимости может оказаться затруднительным, и для формирования оптимального управляющего воздействия исследуемую задачу "огрубляют", заменяя точное множество достижимости его оценкой по включению (внешней и, если возможно, внутренней). При этом класс, в рамках которого выбирают оценивающие множества, предполагают состоящим из множеств более простой геометрической структуры, в частности, это может быть семейство многогранников (полиэдров, политопов) или класс эллипсоидов.

Ананьина Т.Ф. Задача оптимизации управляемой системы в классе обобщенных воздействий // Дифференц. уравнения. - 1975, - ТЛ1, № 4. - С.595-603.

пая на технике эллипсоидального исчисления11,12,13. В рамках этого подхода основная задача состоит в нахождении эллипсоида (или семейства эллипсоидов) в фазовом пространстве, оценивающего сверху или снизу по отношению к операции включения множеств искомую область достижимости. Впервые техника эллипсодального оценивания рассматривалась в работах A.B. Куржанского1,11, Ф.Л. Черноусько12, F.C. Schweppe14.

В работе рассмотрены схемы построения множеств достижимости и их внешних оценок для управляемых импульсных систем. При этом предполагается, что на управляющие функции наложено специальное ограничение, задаваемое обобщенным "эллипсоидом" в пространстве функций ограниченной вариации. В частности, при данном ограничении вектор точечного импульсного управляющего воздействия обязан лежать в заданном конечномерном эллипсоиде. Задачи такого рода возникают в тех случаях, когда возможности управления импульсной динамической системой стеснены ограничениями неравномерными по различным направлениям (например, при движении летательных аппаратов вблизи поверхности планеты или в узких ущельях, а также при движении подводных управляемых устройств в условиях сложных подводных рельефов). Поэтому рассмотрение эллипсоидальных ограничений на импульсное управление указанного выше специальною вида позволяет, с одной стороны, отразить специфику постановки задачи, а с другой стороны, дает возможности использовать в анализе теоретических и прикладных методов управления такими системами достижения эллипсоидального исчисления, разработанного для управляемых систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Цель работы. Построение и исследование множеств достижимости линейных управляемых систем импульсного типа и развитие эллипсоидаль-

п Kurzhanski A.B., Vúiyi I. Ellipsoidal calculus for estimation and control // II AS A: Boston etc.:, IIASA Birkhäuser, 1997. - 321p.

Черноусько Ф.Л. Оценивание фазового состояния динамических систем: метод эллипсоидов. — М.: Наука, 1988.-319с.

liFüippova T.F.t Kurzhanski A.B., Sugimoto К. and Valyi I. Eilipsoida] calculus, singular perturbations

and the state estimations problems for uncertain systems. — Laxenburg, 1992. - 16p. - Working Paper

WP-92-51: IIASA.

l4Schweppe F.C. Uncertain Dynamic Systems, - Englewood Cliffs, N.J.; Prentice Hall, 1973. - 563p.

ных методов аппроксимации областей достижимости на специфический круг объектов: линейных управляемых импульсных систем с специальным ограничением в виде обобщенного "эллипсоида" в пространстве функций ограниченной вариации.

Методы исследования. В основе работы лежат методы теории дифференциальных уравнений, классической теории оптимального управления и теории оптимального импульсного управления; используются результаты выпуклого анализа, теории экстремальных задач, функционального анализа.

Научная новизна.

Основные результаты диссертации:

1. Доказаны теоремы о числе импульсов для линейной импульсной системы при специальных ограничениях на управления в виде обобщенного эллипсоида в пространстве функций ограниченной вариации.

2. Получены условия разрешимости в задаче о переводе начального выпуклого компакта вовнутрь другого выпуклого компактного множества с минимумом вариации импульсного управления, удовлетворяющего ограничению эллипсоидального типа; найдены необходимые условия оптимальности в виде аналога принципа максимума.

3. Предложены алгоритмы построения внешних эллипсоидальных оценок множеств достижимости линейных импульсных систем.

4. Получены соотношения, устанавливающие зависимость решений задачи оптимального импульсного управления при специальных ограничениях на импульсы от параметров ограничений.

Результаты диссертационной работы являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность работы. Результаты диссертации дополняют теорию оптимального управления системами, описываемыми дифференциальными уравнениями импульсного типа. В работе рассмотрены задачи импульсного управления в условиях неопределенности по начальным данным при ограничении на импульсы в виде "эллипсоида" пространства функций ограниченной вариации.

Практическая ценность работы состоит в том, что для решения задачи управления динамической системой в условиях неопределенности и при наличии эллипсоидального ограничения на управляющую функцию предложены алгоритмы построения эллипсоидальных оценок множеств достижимости системы.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, списка сокращений и обозначений, двух глав, объединяющих 11 параграфов, и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 122 страницы машинописного текста, библиографический список включает 126 наименований.

Апробация работы. Основные результаты диссертации обсуждались и докладывались на конференциях молодых ученых Института математики и механики УрО РАН (Екатеринбург, 2001, 2002, 2003, 2004); 33-ей, 34-ой, 35-ой, 36-ой региональных молодежных конференциях "Проблемы теоретической и прикладной математики", (Екатеринбург, 2002, 2003, 2004, 2005); Воронежской весенней математической школе "Лонтрягинские чтения XIII", (Воронеж, 2002); the Fourth International Conference "Tools for mathematical modelling", (St.-Petersburg, 2003); III Всероссийской конференции "Математика, информатика, управление", (Иркутск, 2004); 11th IEEE International Conference "Methods and Models in Automation and Robotics", (Migdzyzdroje, Poland, 2005); областной научно-практической конференции "Информационно-математические технологии в экономике, технике и образовании", посвященной 85-летию Уральского государственного технического университета (Екатеринбург, 2005).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-13]. ..

Все основные результаты диссертации являются новыми и принадлежат автору. В научных работах, написанных в соавторстве с научным руководителем, Т.Ф. Филипповой принадлежат постановки задач и общая схема исследования. Все результаты этих работ получены автором самостоятельно.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы исследования, дан краткий обзор литературы, относящийся к рассматриваемым в работе вопросам, и изложены основные результаты диссертации.

В первой главе диссертации рассматривается задача построения областей достижимости линейных управляемых систем при специальных ограничениях на управляющие функции и исследуются свойства множеств достижимости, описывается структура и свойства оптимальных управлений. Глава состоит из б параграфов.

В параграфе 1.1 приводится постановка задачи, описываются ограничения, накладываемые на управляемую импульсную систему, даются основные определения.

Дала управляемая система в К." , описываемая следующим дифференциальным уравнением с обобщенными (импульсными) управлениями:

йх = Л(г)х(И + х(-0) = яо» * € [О, Г]. (1)

Здесь и(-) € V™ — управление (У£* — пространство т-векторных функций ограниченной вариации на [0,Т]), Л(<) и В({) - непрерывные матричные функции размеров п X п и п X т соответственно.

Предполагается, что на управление «(•) помимо обычного требования равнеограниченности вариаций наложено дополнительное ограничение: «(•) должно принадлежать "эллипсоиду" Ы — £* пространства функций ограниченной вариации:

и «=1

где фо — некоторая постоянная симметрическая положительно определенная матрица размерности т х т. В частности, если — — гб^ — £,), 6 [О, Т], то вектор скачка г должен лежать в заданном эллипсоиде ££ = {г € Ет 1 < 1 } С

Начальное состояние системы (1) точно не известно, но задано ограничивающее выпуклое компактное множество С К", содержащее это

состояние: х(—0) — хо € Ло-

Управление и*(*) назовем допустимым, если «*(•) € Ы и и*(*) переводит начальную область Ло вовнутрь некоторого заданного выпуклого компактного множества Х\ фазового пространства за промежуток времени [0, Т]:

У х(Т-,и*(.),хо)= У {Х{Т)х0 + У Х(Т)Х-1(т)В(т)<1и*(т)} С

Множеством достижимости Х(Т,хо) в момент времени Т назовем множество всех точек фазового пространства Ж", в которые можно перейти на промежутке времени [0,!Г] из заданного начального состояния хо по решениям системы (1) при всех возможных управлениях «(¿)

Х(Т,хо) « У®(Г;«(.),«о) = и(Х(Т)х0+ [X(Г)Х-1(г)Б(г)^(г)}. иси иеы о

Задача 1. Среди допустимых управлений и(*) б Ы найти управление щ,

минимизирующее полный импульс

*>(«) = |М-)1иР = шш{|К.)|и I «(■) 6 И,ЛГ(Г;«(.),ЛУ С Л-1>.

В параграфе 1.2 формулируются и доказываются необходимые и достаточные условия существования решения задачи 1. При доказательстве используются свойства (выпуклость, компактность в *-слабоЙ топологии) ограничивающего "эллипсоида" и.

В параграфе 1.3 описывается структура множеств достижимости Х{Т^хо) из каждой точки начального множества хо € Ао и полного множества достижимости Х{ТУ ЛЬ).

Рассмотрим множество С, свойства которого имеют важное значение для доказательства теорем главы 1. Множество О состоит из нулевой функции и функций из следующего класса: для каждого в € [О, Т] и каждого таких что = 1, полагаем

если 0 < г < Т, в = 0;

0, если Ь = 0, 0 < в < Т;

0, , если 0 < I < 0;

если & < г < Т.

9&А1) =

Заметим, что множество О есть множество кусочно-постоянных функций.

Лемма 1. Множество О обладает следующими свойствами:

(1) (7 С и С V™

(2) Множество О компактно в *-слабой топологии пространства V™.

(3) Множество с1* со О (*- слабое замыкание выпуклой оболочки О) совпадает с множеством Ы = £*.

Также, в параграфе 1.3 вводится линейный оператор опреде-

ленный на V™ со значениями в Е":

= I Я(т)(Мт), Я(г) в Х(Г)Х-1(г)В(г), :

и доказываются его свойства.

Свойства введенного выше множества С? и линейного оператора Л(и(*)) дают возможность доказать важные для поиска оптимального управления теоремы 1 и 2.

п+1

Теорема 1. Для любого «(•) = существует й(£) =

»=1

п+1

где е С?, А* > 0.« А,- = 1, такая,что Л(гх(-)) = Л(й(*)).

»=1

Теорема 2. Для любой точки х\,• принадлежащей границе множества достижимости Х^ТуХа), существует кусочно-постоянная управляющая функция «(•) 6 Ы с не более, чем п точками разрыва непрерывности на отрезке [О,Г] и векторами скачков Ащ = «(<,)— «(<,-—0), лежащими в эллипсоиде и начальные значения хо € А'о такие, что х(Т; «(*), хо) = Х\.

Параграф 1.4 посвящен необходимому условию оптимальности для рассматриваемой задачи 1 в форме принципа максимума. Предположение А. Предположим, что существует д 6 К" такой, что

Х(Т)Хъ + ЧСХъ (2)

Теорема 3. Пусть выполнено предположение А. Тогда для существования допустимого управления и(-) с нормой |¡u(*) j|UiP=a необходимо и достаточно, чтобы.

Ua) + ff(0} <0. (3)

Здесь р{1; А) означает опорную функцию множества А в направлении I:

р{1; А) ~ sup(f, х). хеА

Теорема 4 представляет собой инструмент для поиска решений задачи 1.

Теорема 4. Пусть wo(') ~ решение задачи 1 и olq = ||uo(*)llv,p > 0- Тогда число с*о является минимальным положительным корнем уравнения

mvc{-p(-B'(.)X'(T> -)1-М+9(1)} = 0. (4)

Параграф 1.5 посвящен детализации аналога принципа максимума, доказанного в параграфе 1.4, для наложенных на управления ограничений: и является функцией ограниченной вариации и и(-) содержится в "эллипсоиде" Ы. При данных ограничениях для нахождения опорной функции U требуется решить бесконечномерную оптимизационную задачу, поскольку необходимо искать экстремум в пространстве непрерывных функций /(•) :

m« И-1'А-(Г, ll/40C?âll2>+iï(i)> = 0.

Рассматривая в каждый момент времени t метрическую проекцию вектора t/(<) = V:K(Tt t)B(t) (IKII = 1) на множество Wk = {b € Em | hfQ0b < k2}, удается данную задачу свести к задаче на экстремум в конечномерном пространстве (теорема 5).

Теорема 5. Пусть «о(*) — оптимальное управление с нормой ао = циоцу.р > 0, а вектор lo и число ко — максимизирующие элементы в условии

m^mgc{-a max || - l'X(T,t)B(t)+mVk(l>X(T, t)B(t))\\q -k + g{l)} = 0,

где prWk {y) означает проекцию y G К™ на W*, Тогда существует функция /о(*) € С™ такая, что при всех t fo(t) € W}^ и

1) max !| - l>0X(T,t)B(t) + /0(t)||, = max inf || - l'0X(T,t)B(t) + f\\q;

t€[0,TJ *6[0,Г] Д )€№*0

Г Г

2)[{-V0X{T,r)B{r)^fQ{r))duo{r)rmax /"(-ЗДТ,т)5(г)+/о(г))^(т).

о о

Результаты теоремы 5 дают условия для поиска моментов времени, в которых возможны скачки оптимальных управлений.

Утверждения параграфов 1.4 и 1.5 позволяют построить множество достижимости для ряда конкретных систем. В параграфе 1.6 рассматриваются примеры, иллюстрирующие применение теорем главы 1. Результаты численного моделирования приведены в виде двух- и трехмерных графических рисунков.

Вторая глава диссертации, состоящая из 5 параграфов, посвящена задачам оценивания множеств достижимости импульсной управляемой системы. В параграфе 2.1 дана формулировка задачи, которой посвящена глава 2.

Рассматривается система вида

dx — A{t)xdt + du, ж(—0) — Хо> u(*) G £/, (5)

где множество Ы есть "эллипсоид" в пространстве функций ограниченной вариации, порожденный эллипсоидом ~£q — {/ € | VQqI < 1}, Qo — некоторая постоянная симметрическая положительно определенная матрица размерности m х тп; матрица B(t) — Е имеет размерность п х п.

Здесь предполагаем, что начальное множество Л'о имеет вид

ЛЬ = {хо I T'qR~1Xо < 1}, (б)

где R — некоторая постоянная, симметрическая, положительно определенная п х п матрица.

Целью главы 2 является построение эллипсоидальных оценок (внешних по отношению к операции включения множеств) для множества достижимости Л'СГ; Л'о) системы (5) при эллипсоидальных ограничениях на управление.

Первый способ оценивания множеств достижимости импульсной системы приведен в параграфе 2.2. Рассмотрим множество 71*:

Т* = {П € [О, Т] | ЗК ф О, (0(т,у /,))* = *,))*}',

где функция С7(г, 0 имеет вид: С (г, /) = т^о^'С^»

Предположение П. Множество 1\ конечно:

Т. = {пь П2,. • •, гт} С [О, Г].

Заметим, что в силу результатов главы 1 множество Т* составлено из тех моментов времени, в которые возможны скачки оптимальных (приводящих на границу области достижимости) управлений ио(*)-

В этом же параграфе доказывается теорема 6 о структуре множества достижимости.

Теорема 6. Пусть выполнено предположение П, Тогда

Л-(Т) = соу5(0,ад, (7)

¿(0, Яг) — {г € Е" | х'Я~1х < 1}, Яг = Х{Т, т)ЯоХ'(Т, г).

Здесь, в отличие от задач оценивания состояний динамических систем с управлениями классического типа, возникает задача оценивания выпуклой оболочки объединения семейства эллипсоидов (данный вопрос не возникал в задачах построения эллипсоидальных оценок решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений).

Первый способ оценивания множеств достижимости дает теорема 7:

Теорема 7. Для любого р — (рх,... ,рт) > 0 верна оценка:

где к = «Л^г.С'^1 « ф = (рх + • ■ •+рт)(р;1Яп + ...+Р^Ятт)-

В параграфе 2.2 приведен пример, иллюстрирующий данный способ оценивания.

В параграфе 2.3 рассматривается второй способ оценивания множеств достижимости импульсной системы. Для решения поставленной задачи здесь рассматривается следующая вспомогательная задача.

Задача 2. Дани два эллипсоида £о и £\:

£0 = {х е К" I х'д^х < 1>, ¿1 = {х € К" I х'о^х < 1}.

Найти эллипсоид минимального объема

£2 = {х € | х'О^х < 1},

содержащий £ои£г (следовательно, £г будет содержать и выпуклую оболочку со(£о и^х)).

В данном параграфе предложен алгоритм, с помощью которого можно построить внешний эллипсоид £2 в задаче 2. Алгоритм состоит из 3 этапов. На первом этапе находится неособое преобразование матриц эллипсоидов £о и £1, которое приводит их к диагональному виду. На втором этапе строится оценивающий эллипсоид £2 для преобразованных эллипсоидов £о и £\. В параграфе 2.3 доказывается, что построенный по такой схеме эллипсоид £2 является минимальным по включению среди всех эллипсоидов, содержащих ¿о и £\ и имеющих матрицу диагонального вида. Кроме того, доказано, что эллипсоид £2 является минимальным по объему среди всех эллипсоидов, содержащих ¿ои£{. На заключительном, третьем этапе, происходит возврат к прежней системе координат и вычисляется эллипсоид £%, решающий задачу 2. Приведен пример, иллюстрирующий данный способ оценивания.

Случай, когда конечность множества Т* не выполняется, рассмотрен в параграфе 2.4. Справедлива следующая теорема.

Теорема 8. Для любого числа е > 0 существует 5 > 0 и конечное множество Т& с [О, Т\ такие, что при всех I € К" имеют место оценки

™х(<?(г,0)* < тах«7(т,0)* < шах(С(г, 1))Ь + е\Щ. (9)

Основываясь на теореме 8 и результатах параграфов 2.2 и 2.3, можно оценить множество достижимости Х(Т, Xq) с точностью е. Приведен иллюстрирующий пример.

В параграфе 2.5 получены соотношения, устанавливающие связь задачи импульсного управления при специальных (зависящих от параметра е) ограничениях на импульсы с предельной задачей, полученной деформацией эллипсоида ограничений (сжатием по одним осям и растяжением по другим). Условия разрешимости, оптимальности, структура области достижимости исходной и предельной системы (которая не содержит эллипсоидальных ограничений на импульсы) согласуются между собой.

Автор работы глубоко благодарен научному руководителю д.ф.-м.н., профессору Татьяне Федоровне Филипповой за постоянное внимание, помощь и всестороннюю поддержку.

Публикации по теме диссертации

1. Вздорноеа О.Г. О построении множества достижимости в задаче импульсного управления с эллипсоидальными ограничениями // Проблемы теоретич. н при-кл. математики: Тр. 33-й Регион, молодеж. конф. - Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 2002. - С.224-229.

2. Вздорноеа О.Г. Задача импульсного управления с эллипсоидальными ограничениями // Соврем, методы в теории краев, задач: материалы Воронеж, вес. мат, шк, "Понтрягинские чтения-13 - Воронеж: ВГУ, 2002. - С.32-33.

3. Вздорноеа О.Г. Импульсное управление множествами при эллипсоидальных ограничениях на импульсы// Проблемы теорет. и прикл. математики: труды 34-й Регион. молодеж. конф. - Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 2003. - С.152-157.

4. Вздорноеа О.Г., Филиппоеа Т.Ф. Оценивание состояний импульсной управляемой системы с эллипсоидальными ограничениями // 4-th Intern. Conf. "Tools for mathematical modelling", June 23-28, 2003, St.-Petersburg: proc. - St.-Petersburg: St.-Petersburg State Polytechn. Univ., 2003. - V.10. - P.36-42.

5. Вздорноеа О.Г. О задаче оптимального управления при двойном ограничении на импульсы // Проблемы теорет. и прикл. математики: труды 35-й Регион, молодеж. конф. - Екатеринбург: ИММ УрО PAIL, 2004. - С.217-223.

• 6. Вздорнова О. Г., Филиппова Т.Ф. Оценки траекторных трубок дифференциальных систем импульсного типа [электронный ресурс] // Труды З-ей Всерос. конф. "Математика, информатика, управление"(29 июня - 1 июля 2004, Иркутск). -Иркутск: Институт динамики СО РАН, Иркут. гос.уп-тет., 2004. - (CD-ROM)

7. Вздорнова О.Г., Филиппова Т.Ф. Построение е-оденок множеств достижимости дифференциальных импульсных систем // Проблемы теорет. н прикл. математики: труды 36-й Регион, молодеж. конф. - Екатеринбург: ИММ УрО РАН., 2005. -С.247-253.

8. Вздорнова О.Г., Филиппова Т.Ф. Внешние эллипсоидальные оценки множеств достижимости дифференциальных импульсных систем // Изв. РАН: Теория и системы упр. - 2006. - № 1. - С.38-47.

9. Вздорнова O.F. Вопросы чувствительности в задачах импульсного управления // Тез. докл. конф. "Информационно-математические технологии в экономике, технике и образовании", посвящ. 85-летию Урал, гос. техн. ун-та. - Екатеринбург: УПИ., 2005. - С.8.

10. FUippova T.F., Vzdomova O.G. State Estimation for Linear Impulsive Control Systems // WSEAS Trans. Syst. - 2005. - V.4., Issue 7. - P.974-979.

11. Vzdomova O.G,, FUippova T.F. State estimation for impulse control system with ellipsoidal constraints// Proc. 4-th Intern. Conf. "Tools for Mathematical Modelling", Saint Petersburg, 23 - 28 June 2003: abstr. Vol. - St .-Petersburg: St.-Petersburg State Polytechn. Univ., 2003. - P.147-148.

12. Vzdomova O.G., FUippova T.F. Linear Impulsive Control Systems: State Estimation . through Ellipsoidal Calculus Techniques (electronic resource] // Proc. 11th IEEE Intern. Conf. "Methods and Models in Automation and Robotics"(29 Aug. - 1 Sept. 2005, Mi§dzyzdroje, Poland). Szczecin: Inst. Control Eng. Tcchn. Univ. of Szczecin, 2005. - (CD-ROM).

13. Vzdomova O.G., FUippova T.F. Linear Impulsive Control Systems: State Estimation through Ellipsoidal Calculus Techniques // Abstr. 11th IEEE Intern. Conf. "Methods and Models in Automation and Robotics"(29 Aug. - 1 Sept. 2005, Migdzyzdroje, Poland). Szczecin: Inst, of Control Eng. Techn. Univ. of Szczecin, 2005. - P.54-55

Подписано в печать 04.08.06

Формат 60x84 1/16. Объем 1 пл. Тираж 110 экз. Заказ Хе 120 Размножено с готового оригинал-макета в типографии "Уральский центр академического обслуживания" 620219, г. Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 18

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Вздорнова, Оксана Георгиевна

Введение

Основные обозначения

ГЛАВА 1. ЗАДАЧА ИМПУЛЬСНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ

§1.1 Постановка задачи и основные определения

§1.2 Условия разрешимости задачи.

§1.3 Свойства множеств достижимости импульсной системы

§1.4 Принцип максимума в задаче импульсного управления

§1.5 Оптимизация при "двойном" ограничении на импульсы.

§1.6 Примеры

ГЛАВА 2. ВНЕШНИЕ ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ МНОЖЕСТВ ДОСТИЖИМОСТИ ИМПУЛЬСНОЙ СИСТЕМЫ

§2.1 Постановка задачи

§2.2 Первый метод оценивания.

§2.3 Второй метод оценивания.

§2.4 Построение ^-оценок областей достижимости

§2.5 Об одном предельном свойстве

Введение диссертация по математике, на тему "Задачи импульсного управления при эллипсоидальных ограничениях на импульсы"

В настоящее время математический аппарат решения задач теории управления детерминированными системами, изменение состояний которых во времени описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями, хорошо разработан. К фундаментальным результатам, полученным в этой области теории управления, можно отнести принцип максимума JI.C. Понтрягина, теорию необходимых и достаточных условий оптимальности, теоремы об условиях существования оптимальных управляющих воздействий, теорию линейных систем, исследование свойств управляемости, теорию гарантированного оценивания.

Многие задачи оптимального управления, первоначально поставленные как классические, не имеют решения в традиционном классе абсолютно непрерывных траекторий и измеримых управлений. Если в классической задаче оптимального управления множество допустимых значений управления неограничено, то в общем случае нельзя ожидать, что задача оптимизации имеет решение в классе обычных управлений с непрерывными траекториями. При этом основное условие оптимальности - принцип максимума - в своей классической форме оказывается неприменим - ведь он требует, чтобы оптимальное управление существовало. Поскольку траекторные компоненты минимизирующих последовательностей в таких нерегулярных, вырожденных задачах сходятся к разрывным функциям, а управляющие функции характеризуются наличием дельтообразных составляющих и сходятся в смысле распределений, то возникает проблема расширения этого класса задач, направленная на включение предельных элементов в множество допустимых процессов. На этом пути и возникают задачи импульсного оптимального управления.

Помимо этого, важным стимулом для развития теории импульсного управления является моделирование процессов, управление которыми осуществляется в течение столь кратковременных промежутков, что их можно идеализировать как мгновенные, а результаты воздействия приводят к быстрому изменению процесса — скачкам фазовой траектории моделируемой системы. Формализация таких процессов невозможна без перехода к управлениям импульсного типа и динамическим системам с разрывными траекториями. Важные примеры подобных ситуаций можно найти в механике, ракетодинамике (одной из первых задач является известная задача Лоудена о переводе космического корабля с одной орбиты на другую при минимальном количестве топлива), квантовой электронике (лазерное излучение является импульсным по своей природе), робототехнике, медио-терапии, математической экологии и экономике и т.д.

В становление и развитие теории оптимального импульсного управления важнейший вклад внесли работы Н.Н. Красовского, А.Б. Куржан-ского, А.Г. Ченцова, А. Брессана, Дж. Варги, Р. Винтера, В.И. Гурмана, В.А. Дыхты, С.Т. Завалищина, А.Д. Иоффе, Г.А. Колокольниковой, Б.М. Миллера, Ю.В. Орлова, Ф. Перейры, Ф. Рампаццо, Р. Ришела, Р. Ро-кафеллара, А.Н. Сесекина, В.М. Тихомирова, Т.Ф. Филипповой и др.

Вопросам оптимизации динамических систем, описываемых дифференциальными уравнениями с управляющими функциями импульсного типа, посвящено большое число исследований, в том числе [26, 37, 42, 54, 60] (см. также библиографию к указанным работам). Одним из центральных вопросов математической теории управления динамическими системами является проблема построения множества достижимости системы, то есть построения множества тех состояний фазового пространства, куда фазовая точка может быть переведена из начального состояния (или множества начальных состояний) за заданное время при помощи некоторого допустимого управления.

Задача о переводе начальной области Xq (t = to) вовнутрь заданного множества фазового пространства за определенный момент времени рассматривалась ранее в работах [1, 6, 9, 54, 56, 57, 60, 66] и работах многих других авторов для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, наиболее полно изучены вопросы управляемости, существования оптимального управления, необходимые условия оптимальности (основным из которых является принцип максимума JI.C. Понтрягина), достаточные условия оптимальности и другие. Для импульсных систем подобные задачи рассматривались в работах Н.Н. Красовского, А.Б. Куржанского, Р. Винтера, М.И. Гусева, В.И. Гурмана, В.А. Дыхты, С.Т. Завалищина, В.Ф. Кротова, О.Н. Самсонюк, Ю.В. Орлова, Ю.С. Осипова, Ф. Перейры, А.Н. Сесекина, Т.Ф. Филипповой и др. В случае одноточечных множеств Xq и Х\ при обычном требовании равноограниченности вариации решение указанной задачи хорошо известно [43, 54, 60]. В работах [3, 60] рассматривалась подобная задача при добавочном ограничении на управление в виде конуса.

Одним из возможных методов построения внутренних и внешних аппроксимаций для множеств достижимости является метод эллипсоидальных аппроксимаций. Для управляемых систем, описываемых линейными дифференциальными уравнениями с классическими (измеримыми) управлениями, в настоящее время разработана полная теория построения оценок (внешних и внутренних) множеств достижимости таких систем, основанная на технике эллипсоидального исчисления [60, 88, 99, 106]. В рамках этого подхода основная задача состоит в нахождении эллипсоида (или семейства эллипсоидов) в фазовом пространстве, оценивающего сверху или снизу по отношению к операции включения множеств искомую область достижимости. Впервые техника эллипсодального оценивания рассматривалась в работах А.Б. Куржанского [60,106], Ф.Л. Черноусько [88], F.C. Schweppe [117]. В работах А.Б. Куржанского [106, 107, 108, 109, 110] используется аппарат эллипсоидальных аппроксимаций, позволяющий строить тугие внутренние и внешние эллипсоидальные аппроксимации для множеств достижимости и разрешимости управляемых систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями. Объединение тугих внутренних и пересечение внешних эллипсоидальных аппроксимаций позволяет построить множество достижимости для таких систем.

Отметим, что аппроксимации множеств достижимости иного типа (в виде многогранников или параллелотопов) для динамических систем с обыкновенными (измеримыми) управлениями (или возмущениями) рассмотрены в работах Е.К. Костоусовой [53, 103].

В настоящей работе рассмотрены схемы построения множеств достижимости и их внешних оценок для управляемых импульсных систем. При этом предполагается, что на управляющие функции наложено специальное ограничение, задаваемое обобщенным "эллипсоидом" в пространстве функций ограниченной вариации. В частности, при данном ограничении вектор точечного импульсного управляющего воздействия обязан лежать в заданном конечномерном эллипсоиде. Задачи такого рода возникают в тех случаях, когда возможности управления импульсной динамической системой стеснены ограничениями, неравномерными по различным направлениям (например, при движении летательных аппаратов вблизи поверхности планеты или в узких ущельях, а также при движении подводных управляемых устройств в условиях сложных подводных рельефов). Поэтому рассмотрение эллипсоидальных ограничений на импульсное управление указанного выше специального вида позволяет, с одной стороны, отразить специфику постановки задачи, а с другой стороны, дает возможности использовать в анализе теоретических и прикладных методов управления такими системами достижения эллипсоидального исчисления, разработанного для управляемых систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Цель данной работы состоит в построении и исследовании множеств достижимости линейных управляемых систем импульсного типа и развитии эллипсоидальных методов аппроксимации областей достижимости на специфический круг объектов: линейных управляемых импульсных систем с специальным ограничением в виде обобщенного "эллипсоида" в пространстве функций ограниченной вариации.

Диссертация состоит из двух глав. Главы разбиты на параграфы. Нумерация параграфов и рисунков двойная: первый индекс — номер главы, второй индекс — порядковый номер параграфа или рисунка внутри главы. Нумерация формул и утверждений тройная и однозначно указывает ссылку, сообщая главу, параграф и соответствующий номер.

В первой главе диссертации рассматривается задача построения областей достижимости линейных управляемых систем при специальных ограничениях на управляющие функции и исследуются свойства множеств достижимости. Кроме того, в этой главе описывается структура и свойства оптимальных управлений. Первая глава состоит из 6 параграфов. Приведем их краткое описание.

Задача формулируется следующим образом.

Дана управляемая система в Мп , описываемая следующим дифференциальным уравнением с обобщенными (импульсными) управлениями: dx = A(t)xdt + B{t)du, ж(-0) = xQ, t E [О,Т]. (0.1)

Здесь и(-) Е V™ — управление (V™ — пространство га-векторных функций ограниченной вариации), A(t) и B(t) - непрерывные матричные функции размеров п х п и п х т соответственно.

Предполагается, что на управление и(-) помимо обычного требования равноограниченности вариаций наложено дополнительное ограничение: и(-) должно принадлежать "эллипсоиду" U — £* пространства функций ограниченной вариации: к i v = {«(■) Е v™ | v2[q-"u(-)} = sup^ ||qqmu) ~ qo"<ti-i)h < 1}, li »=i где qq — некоторая постоянная симметрическая положительно определенная матрица размером т х га. du

В частности, если — = z8(t — U), t Е [0, Т], то вектор скачка z должен ill лежать в заданном эллипсоиде £q С Кт: = {z Е мт I z'Q^z < 1 }. Также предполагается, что начальное состояние системы (0.1) точно не известно, но задано ограничивающее выпуклое компактное множество Xq С Кп, содержащее это состояние: х(—0) = xq 6 Xq.

Управление «*(•) назовем допустимым, если и*(-) 6Е U и «*(•) переводит начальную область Xq вовнутрь некоторого заданного выпуклого компактного множества Х\ фазового пространства за промежуток времени [0,Т]: т

IJ ®(Г; «*(•), ®0)= (J + J Х(Т)Х-\т)В(т)с1и*(т)} С Xh жо€Л"о жобАо о

Множеством достижимости х(т, xq) (из начальной точки а?о) в момент времени Т назовем множество всех точек фазового пространства Rn, в которые можно перейти на промежутке времени [0, Т] из заданного начального состояния xq по решениям системы (0.1) при всех возможных управлениях u(t) ЕЫ

ДГ(Г,ж0) = (J я5(Г;м(.),®о) = иШ U lx(T)x0+ f Х(Т)Х-\т)В(т)с1и(т) иШ [ {

Таким, образом исследуется задача.

Задача 1.1.1. Среди допустимых управлений и(-) G U найти управление щ, минимизирующее полный импульс р{и) = ||u0(-)|kP = min{||u(-)||^ | u(-) G U,

X{T]U{-),Xb)= IJ x{T;u(-),x0)cX1}. x0ex0

В параграфе 1.2 формулируются и доказываются необходимые и достаточные условия существования решения задачи 1.1.1. При доказательстве используются свойства (выпуклость, компактность в *-слабой топологии) ограничивающего "эллипсоида" U.

В параграфе 1.3 описывается структура множеств достижимости Х{Т,хо) из каждой точки начального множества xq G Xq и полного множества достижимости Х(Т, Xq).

Здесь вводится множество G — множество кусочно-постоянных функций. Множество G состоит из нулевой функции и функций дв^(-) из следующего класса: для каждого в £ [0, Т] и каждого таких что Qq = 1,

0 < t < Т, 0 = 0; t = 0, 0 < в < Г; 0 <t < 9] в <t< Т.

Свойства этого класса (G С U, компактность в *-слабой топологии, равенство множеств cl*coG и U) сформулированы и доказаны в лемме 1.3.1.

Также, в параграфе 1.3 вводится линейный оператор А(и(-))} определенный на V™ со значениями в Rn: т

А(и(-)) = J H(r)du(r), H(t) = X(T)X-\t)B(t), о и доказываются его свойства (лемма 1.3.2). Свойства введенного выше множества G и линейного оператора А(и(-)) дают возможность доказать важные для поиска оптимального управления теоремы 1.3.1 и 1.3.2.

В теореме 1.3.1 доказано, что каждая точка множества достижимости может быть получена с помощью кусочно-постоянного управления принадлежащая множеству U, с числом скачков не более, чем п + 1, а для любой точки х, принадлежащей границе множества достижимости, могут быть найдены начальное значение xq и кусочно-постоянное управление из U, с полагаем

0, & если если если если числом точек разрыва непрерывности не более, чем п, приводящее систему в положение х (теорема 1.3.2).

Параграф 1.4 посвящен необходимому условию оптимальности для рассматриваемой задачи 1.1.1 в форме принципа максимума.

При предположении о непустоте класса допустимых управлений доказано, что для существования допустимого управления и(-) с нормой llw(')lkp = а необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство (теорема 1.4.1): та.к{-р(-В'{-)Х'{Т, •)/; Ыа) + д{1)} < О, Vie IT, 1И1—i д{1) = conc(p(Z;X(t,0)*0)

В случае, если щ(-) — решение задачи 1.1.1 и «о = llM(')lkp > 0) то а о следует искать среди корней уравнения ma,x{-p(-B>(.)X'(T, ■)1;Ыа]) + д{1)} = 0, причем «о будет являться минимальным корнем (теорема 1.4.2). Таким образом, эта теорема представляет собой инструмент для поиска решений задачи 1.1.1.

Необходимое условие оптимальности в форме принципа максимума сформулировано и доказано в теореме 1.4.3.

Параграф 1.5 посвящен детализации аналога принципа максимума, доказанного в параграфе 1.4, для наложенных на управления ограничений: и является функцией ограниченной вариации и и(-) содержится в "эллипсоиде" U. При данных ограничениях для нахождения опорной функции U требуется решить бесконечномерную оптимизационную задачу, поскольку необходимо искать экстремум в пространстве непрерывных функций /(•) : max{— inf {a max II - l'X(T,t)B(t) - f(i)\\q+ mzx\\f'(t)Ql\\2} + g(l)} = Q. te[0,T]

Рассматривая в каждый момент времени t метрическую проекцию вектора y'{t) = l'X(T,t)B{t) (||2|| = 1) на множествоWfc

Wk = {beRm\ b'Qob < к2} удается данную задачу свести к задаче на экстремум в конечномерном пространстве. В теореме 1.5.2 формулируется вариант принципа максимума (теорема 1.4.3), который уточняет предыдущие результаты, полученные в параграфе 1.4.

Результаты теоремы 1.5.3 дают условия для поиска моментов времени, в которых возможны скачки оптимальных управлений.

Утверждения параграфов 1.4 и 1.5 позволяют построить множество достижимости для ряда конкретных систем.

В параграфе 1.6 рассматриваются примеры, иллюстрирующие применение теорем главы 1. Результаты численного моделирования приведены в виде двух- и трехмерных графических рисунков.

Вторая глава диссертации, состоящая из 5 параграфов, посвящена задачам оценивания решений динамических систем, описываемых дифференциальными уравнениями, содержащими обобщенные (импульсные) управляющие функции.

Точное или приближенное знание множеств достижимости импульсной управляемой системы позволяет оценить предельные возможности системы, выбрать оптимальное управление. Однако, как следует из теорем главы 1, практическое построение точного множества достижимости импульсной системы в общем случае является весьма сложной задачей. В то же время существует широкий класс прикладных задач, для решения которых достаточно построить аппроксимацию или оценку множества достижимости [53, 88,103,110]. Важно отметить, что в рассматриваемой в диссертации задаче при заданном начальном множестве и рассматриваемых ограничениях на управляющие функции, удается эффективно построить внешнюю эллипсоидальную оценку множества достижимости импульсной дифференциальной системы. В построении оценки важно было учесть специальные свойства класса эллипсоидов, позволившие предложить конструктивный алгоритм оценивания. Отметим среди свойств эллипсоидов два: инвариантность эллипсоидов относительно афинных преобразований и то, что эллипсоид в W1 определяется сравнительно небольшим числом параметров.

В параграфе 2.1 дана формулировка задачи, которой посвящена глава 2.

Рассматривается система вида где множество есть "эллипсоид" в пространстве функций ограниченной вариации, порожденный эллипсоидом Rm: qo - некоторая постоянная симметрическая положительно определенная матрица размерности т х т; матрица B(t) = Е имеет размерность п X п. Здесь предполагаем, что начальное множество Xq имеет вид dx = A{t)xdt + du, ж(-0) = xq) u(-) G U,

0.2)

0 = {I 6 Г* | I'Qol < 1},

X0 = {j0 | ZQr 1x0 i

0.3) где R — некоторая постоянная, симметрическая, положительно определенная п X п матрица.

Целью данной главы является построение эллипсоидальных оценок (внешних по отношению к операции включения множеств) для множества достижимости Х(Т; Xq) системы (0.2) при эллипсоидальных ограничениях на управление.

Первый способ оценивания множеств достижимости импульсной системы приведен в параграфе 2.2. Параграф начинается с важного предположения о конечности множества Т*

Г* = {г, £ [0,21 I 31* Ф 0, ф = max (G(r, Ц)*},

0<г<Т где функция G(t, I) имеет вид:

G{T,1) = 1'X(T,t)QoX'{T,T)L

В этом же параграфе доказывается теорема 2.2.1, которая говорит о том, что множество достижимости системы (0.2) можно представить как выпуклую оболочку объединения конечного числа эллипсоидов с матрицами, зависящими от моментов времени т*:

Х(Т) = со (J £(0,QT), тет*

0,QT) = {х G Rn | x'Q~lx < 1}, QT = X(T,t)QQX'(T,T), где т* G T*.

Одну из самых "грубых" внешних оценок дает шар S(0]K) минимального радиуса К, содержащий все эллипсоиды £(0,QT) (г е Т*) (лемма 2.2.1):

К= max (I'Qrl)1*. vi=i, тет.

Теорема 2.2.1 позволяет применить (лемма 2.2.2) метод построения внешних элипсоидальных оценок, доказанный в монографиях [88, 106]. Пересечение оценок, полученных в леммах 2.2.1 и 2.2.2 дает первый способ оценивания множеств достижимости (теорема 2.2.2):

X(T)CS(0,K)f]£(0,Q+), где матрица оценивающего эллипсоида (Vp = (pi,. ,pm) > 0)

Qp = (Pi +P2 + ■ ■ • +Pm){Pl1Qr1 +P21Qt2 + ■ • -+PmQrm)

Также в параграфе 2.2 приведен пример, иллюстрирующий данный способ оценивания.

В параграфе 2.3 рассматривается второй способ оценивания множеств достижимости импульсной системы. Как и в параграфе 2.2, предполагаем конечность множества моментов времени Т*.

Для решения поставленной задачи здесь рассматривается следующая вспомогательная задача.

Задача 2.3.1. Даны два эллипсоида £q и е\\

0 = {х е Мп | x'Qq lx < 1},

Ei = {x <E Mn | x'Q^x < 1}.

Найти эллипсоид минимального объема

Е2 = {х £ Rn | x'Q^x < 1}, содержащий Eq U S\ (следовательно, E2 будет содержать и выпуклую оболочку со(£о U £i)).

В данном параграфе предложен алгоритм, с помощью которого можно построить внешний эллипсоид Е2 в задаче 2.3.1.

Алгоритм состоит из 3 этапов. На первом этапе находится неособое преобразование матриц эллипсоидов Eq и £i, которое приводит их к диагональному виду. На втором этапе строится оценивающий эллипсоид Е2 для преобразованных эллипсоидов 4 и 4 В теореме 2.3.1 доказывается, что построенный по такой схеме эллипсоид Е2 является минимальным по включению среди всех эллипсоидов, содержащих Eq и Ei и имеющих матрицу диагонального вида. В теореме 2.3.2 доказывается, что эллипсоид Е2 является минимальным по объему среди всех эллипсоидов, содержащих EqUEi-На заключительном, третьем этапе, происходит возврат к прежней системе координат и вычисляется эллипсоид Е2, решающий задачу 2.3.1.

Также в параграфе 2.3 приведен пример, иллюстрирующий данный способ оценивания.

Случай, когда конечность множества Т* не выполняется, рассмотрен в параграфе 2.4.

В теореме 2.4.1 доказано, что для каждого е > 0 существует 5 > 0 и конечное множество С [0,Т], что имеет место оценка max(G(r,/))5 < ш:(<?М)* < тах(0(т,1))$+ е\\1\\. tej-s u<t<-/ tej-s

Основываясь на теореме 2.4.1 и результатах параграфов 2.2 и 2.3, можно оценить множество достижимости Х(Т, Xq) с точностью е.

Все полученные результаты были представлены на следующих научных мероприятиях:

1) конференциях молодых ученых Института математики и механики УрО РАН, (Екатеринбург, 2001, 2002, 2003, 2004);

2) 33-ей, 34-ой, 35-ой, 36-ой региональных молодежных конференциях "Проблемы теоретической и прикладной математики", (Екатеринбург, 2002, 2003, 2004, 2005);

3) Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения XIII", (Воронеж, 2002);

4) The Fourth International Conference "Tools for mathematical modelling", (St.-Petersburg, 2003);

5) III Всероссийской конференции "Математика, информатика, управление", (Иркутск, 2004);

6) 11th IEEE International Conference on "Methods and Models in Automation and Robotics", ( Mi§dzyzdroje, Poland, 2005);

7) областной научно-практической конференции "Информационно-математические технологии в экономике, технике и образовании" посвященной 85-летию Уральского государственного технического университета, (Екатеринбург, 2005).

Основные результаты диссертации опубликованы в [13]-[21], [100], [122]-[124].

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

Ж — множество вещественных чисел (числовая прямая);

Ж" — n-мерное евклидово пространство; (х,у) — скалярное произведение векторов х и у, ||ж|| — евклидова норма вектора х, равная

Е — единичная матрица, размерность которой ясна из контекста;

А' — транспонированная матрица А; квадратный корень из матрицы А; Sr[n] — n-мерный шар радиуса г с центром в начале координат, равный {х е Мп| ЦжЦ < г} (если размерность понятна из контекста, обозначается также Sr); p(l; А) — опорная функция множества А в направлении I: р(Ц А) = sup(Z, ж); хеА со А — выпуклая оболочка множества А; cl А — замыкание множества А\ sup А — точная верхняя грань числового множества А; inf А — точная нижняя грань числового множества А\

->■ — знак сильной сходимости или отображения;

Л — знак *-слабой сходимости; cl* со А — *-слабое замыкание выпуклой оболочки А\

IHIp — норма в пространстве Rm, равная т \р \ui\P ) 5 если 1 < Р < оо; max \щ\, если р = оо;

1<г<т

Vp[u(-)] — р-вариация m-векторной функции «(•) на заданном отрезк ке[0,Т]:У>(-)]= sup ие[0,Т} i=i

С™ — пространство непрерывных m-векторных функций у(-) с нормой max\\y(t)\\q] Vm — пространство m-векторных функций и(-) с ограниченной вариацией (на отрезке [0,Т]); V™ — пространство m-векторных функций и(-) с ограниченной вариацией с нормой ||гг(-)||г,)Р (на отрезке [0,Т]); llu(')lkp ~~ норма в пространстве V™, равная Vp[u(-)]-, 11^(*) (i<3o ~~ норма в пространстве Ym, равная m j supHM^Qo^MK где М^) = v{ti+i) - v{ti). и} г=1

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Вздорнова, Оксана Георгиевна, Екатеринбург

1. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С. В. Оптимальное управление. - М.: Наука, 1979. - 429с.

2. Ананьев В.И., Куржанский А.Б., Шелементъев Г.С. Минимаксный синтез в задачах импульсного наведения и коррекции движения // Прикл. матем. и мех. 1976. - Т.40., вып.1. - С.3-13

3. Ананьина Т.Ф. Задача оптимизации управляемой системы в классе обобщенных воздействий // Дифференц. уравнения. 1975. - Т.11, № 4. - С.595-603.

4. Арутюнов А.В. Условия экстремума. Анормальные и вырожденные задачи. М.: Факториал, 1997. - 255с.

5. Арутюнов А.В. Расширения и возмущения задач оптимального управления // Тр. МИАН. 1998. - Т.220. - С.27-34.

6. Афанасьев А.П., Дикусар В.В., Милютин А.А., Чуканов С.А. Необходимое условие в оптимальном управлении. М.:Наука, 1990. - 318с.

7. Ащепков Л. Т. Оптимальное управление разрывными системами. Новосибирск: Наука. СО, 1987. - 226с.

8. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1976. - 351с.

9. Благодатских В.И. Введение в оптимальное управление. М.: Высш. шк., 2001. - 240.

10. Бобылева О.Н. Области достижимости управляемых систем в задачах с фазовыми ограничениями // Дифференц. уравнения. 2002. - Т.38, №11. - С.1563-1564.

11. Варайя П., Куржанский А.Б. О проблеме достижимости при постоянно действующих возмущениях // Докл. РАН. 2000. - Т.372, №4. -С.9-25.

12. Важенцев А.Ю. Проблема внешнего эллипсоидального оценивания объединения двух концентрических эллипсоидов и ее приложения // Прикл. математика и информатика: тр. фак. ВМиК МГУ. М., 2003.- №14. С.18-34.

13. Вздорнова О.Г. О построении множества достижимости в задаче импульсного управления с эллипсоидальными ограничениями // Проблемы теоретич. и прикл. математики: Тр. 33-й Регион, молодеж. конф.- Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 2002. С.224-229.

14. Вздорнова О. Г. Задача импульсного управления с эллипсоидальными ограничениями // Соврем, методы в теории краев, задач: материалы Воронеж, вес. мат. шк. "Понтрягинские чтения-13 ". Воронеж: ВГУ,2002. С.32-33.

15. Вздорнова О.Г. Импульсное управление множествами при эллипсоидальных ограничениях на импульсы// Проблемы теорет. и прикл. математики: труды 34-й Регион, молодеж. конф. Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 2003. - С.152-157.

16. Вздорнова О. Г. О задаче оптимального управления при двойном ограничении на импульсы // Проблемы теорет. и прикл. математики: труды 35-й Регион, молодеж. конф. Екатеринбург: ИММ УрО РАН.,2004. С.217-223.

17. Вздорнова О.Г., Филиппова Т.Ф. Построение gr-оценок множеств достижимости дифференциальных импульсных систем // Проблемы теорет. и прикл. математики: труды 36-й Регион, молодеж. конф. Екатеринбург: ИММ УрО РАН., 2005. - С.247-253.

18. Вздорнова О.Г., Филиппова Т.Ф. Внешние эллипсоидальные оценки множеств достижимости дифференциальных импульсных систем // Изв. РАН: Теория и системы упр. 2006. - № 1. - С.38-47.

19. Вздорнова О.Г. Вопросы чувствительности в задачах импульсного управления // Тез. докл. конф. "Информационно-математические технологии в экономике, технике и образовании", посвящ. 85-летию Урал, гос. техн. ун-та. Екатеринбург: УПИ., 2005. - С.8.

20. Вдовина О.И., Сесекин А.Н. Численное построение областей достижимости для систем с импульсным управлением // Динам, системы и пробл. упр.: сб. науч. тр. Екатеринбург, 2005. - С.65-73. - (Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН; Т.И, №1)

21. Габасов Р.Ф., Кириллова Ф.М. Особые оптимальные управления. М.: Наука, 1973. - 256с.

22. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988. - 552с.

23. Гурман В. И. Об оптимальных процессах особого управления // Автоматика и телемеханика. 1965. - Т.26, №5. - С.782-791.

24. Гурман В.И. Вырожденные задачи оптимального управления. М.: Наука, 1977. - 304с.

25. Гурман В. И. Принцип расширения в абстрактной теории систем и управления // Программные системы: Теорет. основы и приложения.- М.: Физматлит. 1999. - С.9-25.

26. Гурман В.И. Особые и обобщенные оптимальные управления // Тр. Ин-та математики НАН Беларуси. 2001. - Т.7. - С.31-37.

27. Гурман В.И., Дыхта В.А. Вырожденные задачи оптимального управления и метод кратных максимумов // Автоматика и телемеханика. -1977. №3. - С.53-59.

28. Гурман В.И., Знаменская Л.Н., Сачкова Ю.Л. Обобщенные решения в задачах управления (Междунар. симпоз. GSCP-2002, Переславль-Залесский, 27-31 авг. 2002.) // Дифференц. уравнения. 2003. - Т.39, №8. - С.1140-1143.

29. Гусев М.И. Об оптимальном управлении обобщенными процессами при невыпуклых фазовых ограничениях // Дифференц. игры и задачи упр.: сб. науч. тр. Свердловск: ИММ УНЦ АН ССР, 1975. - С.64-112.

30. Гусев М.И., Куржанский А.Б. К оптимизации управляемых систем при наличии ограничений I, II // Дифференц. уравнения. - 1971 -Т.7, №9, - С.1591-1602; №10, - С. 1789-1800.

31. Дику cap В. В., Милютин А. А. Качественные и численные методы в принципе максимума. М.: Наука, 1989. - 143с.

32. Дубовицкий А.Я., Милютин А.А. Теория принципа максимума // Методы экстремальных задач в экономике. М.: Наука, 1981. - С.6-47.

33. Дыхта В.А. Принцип максимума для оптимальных импульсных процессов при ограничениях на образ управляющей меры // Оптимизация, управление,интеллект. 1995. - №1 - С. 100-109.

34. Дыхта В.А. Необходимые условия оптимальности импульсных процессов при ограничениях на образ управляющей меры // Изв. вузов. Математика. 1996. - №12 - С. 1-9.

35. Дыхта В.А., Самсонюк О.Н. Оптимальное импульсное управление с приложениями. М.: Физматлит, 2000. - 255с.

36. Завалищин Д.С., Завалищин С.Т. Динамическая оптимизация обтекания. М.: Физматлит, 2002. - 224с.

37. Завалищин С.Т. Специальные нелинейные уравнения в обобщенных функциях // Дифференц. уравнения. 1990. - Т.26, №8. - С.1316-1323.

38. Завалищин С.Т., Костоусов В.В. Об условиях оптимальности импульсных процессов // Обобщ. функции в задачах упр. и дифференц. уравнениях: сб. науч. тр.: УрО АН СССР. Свердловск, 1992. - С.30-39.

39. Завалищин С. Т., Ревенко В.В., Сесекин А.Н. Нелинейные дифференциальные уравнения в обобщенных функциях: Препринт. УрО АН СССР. Свердловск, 1989. - 67с.

40. Завалищин С. Т., Сесекин А.Н. Импульсные процессы: Модели и приложения. М.: Наука, 1991. - 256с.

41. Завалищин С. Т., Сесекин А.Н., Дрозденко С.Е. Динамические системы с импульсной структурой. Свердловск: Сред.-Урал. кн. изд-во, 1983. -112с.

42. Завалищин С. Т., Ушаков В.Н. О приведении при ограничениях на полные импульсы управляющих сил // Прикл. математика и механика -1975. Т.39, №2. - С.216-224.

43. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Расширение вариационных задач // Тр. Моск. мат. об-ва. 1968. - Т. 18. - С. 187-246.

44. Иоффе АД., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974. - 480с.

45. Карамзин Д.Ю., Арутюнов А.В. Расширение и возмущение задачи оптимального управления с фазовыми ограничениями // Вестник МГУ. Сер.15 2002. - № 2. - С. 31-35.

46. Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ М.: Наука, 1988. - 280с.

47. Колмогоров А.Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976. - 543с.

48. Костоусов В.Б. Особая задача оптимизации при ограничених на фазовые координаты // Нелинейные задачи в обобщенных функциях. -Свердловск, 1988. С.27-33.

49. Костоусов В. В. Структура импульсно-скользящих режимов при возмущениях типа меры. I, II // Дифференц. уравнения. 1984. - Т.20, №3. - С.382-392; Т.20, №5. - С.745-753.

50. Костоусов В.В. Особая задача оптимизации при ограничених на фазовые координаты // Нелинейные задачи в обобщенных функциях. -Свердловск, 1988. С.27-33.

51. Костоусова Е.К. Внешнее и внутреннее оценивание областей достижимости при помощи параллелотопов // Вычисл. технологии. 1998. - Т.З, №2. - С.57-68.

52. Красовский Н.Н. Теория управления движением. Линейные системы -М.:Наука, 1968. 475с.

53. Красовский Н.Н. Игровые задачи о встрече движений. М.:Наука, 1970. - 420с.

54. Красовский Н.Н. Управление динамической системой. Задача о минимуме гарантированного результата М.:Наука, 1985. - 516с.

55. Кротов В.Ф., Гурман В. И. Методы и задачи оптимального управления. М.:Наука, 1973. - 446с.

56. Кумков С.И., Пацко B.C. Модельная задача импульсного управления с неполной информацией // Тр. ИММ УрО РАН. Екатеринбург, 1992. -Т.1. -С.106-121.

57. Куржанский А.Б. Оптимальные системы с импульсными управлениями // Дифференц. игры и задачи упр. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1975. - С. 131-156.

58. Куржанский А. Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977. - 392с.

59. Куржанский А.В., Гусев М.И. К оптимизации линейных систем с импульсными воздействиями // 5-е Всесоюз. совещ. по техн. кибернен-тике. Новосибирск, 1971.

60. Куржанский А.Б., Никонов О.И. Эволюционные уравнения для пучков траекторий синтезированных систем управления // Докл. РАН. -1993. Т.ЗЗЗ, №4. - С.578-581.

61. Куржанский А.Б., Осипов Ю.С. К управлению линейной системой с обобщенными воздействиями // Дифференц. уравнения. 1969. - Т.5, №8. - С.1360-1370.

62. Куржанский А.Б., Филиппова Т. Ф. Об описании множества выживаемости траекторий дифференциального включения // Докл. АН СССР. 1986. - Т.289, №1. - С.38-41.

63. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1978. - 280с.

64. Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М.: Наука, 1972. - 574с.

65. Лоран П.-Ж. Аппроксимация и оптимизация. М.: Мир,1975. - 496с.

66. Миллер Б.М. Оптимизация динамических систем с обобщенным управление // Автоматика и телемеханика. 1989. - №6. - С.23-34.

67. Миллер Б.М. Условия оптимальности в задачах обобщенного управления // Автоматика и телемеханика. 1992. - №5. - С.50-58.

68. Милютин А.А., Илютович А.Е., Осмоловский Н.П., Чуканов С.В. Оптимальное управление в линейных системах. М.: Наука, 1993. -268с.

69. Обен Ж.-П., Экланд И. Прикладной нелинейный анализ. М.: Мир, 1988. - 510с.

70. Овсеевич А.И., Решетняк Ю.А. Аппроксимация пересечения эллипсоидов в задачах гарантированного оценивания // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1988. - №4. - С.182-189.

71. Орлов Ю.В. Теория оптимальных систем с обобщенными управлениями. М.: Наука, 1988. - 188с.

72. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Физматгиз, 1961. - 391с.

73. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973. - 470с.

74. Рудин У. Функциональный анализ. М.: Мир, 1975. - 443с.

75. Сесекин А.Я. Свойства множества достижимости динамической системы с импульсным управлением // Автоматика и телемеханика. 1994. - №2. - С.52-59.

76. Сесекин А.Н. О множествах разрывных решений нелинейных дифференциальных уравнений // Изв. вузов: Математика. 1994. - №6. -С.83-89.

77. Сесекин А.Н. О связности множествах разрывных решений нелинейной динамической системы с импульсным управлением // Изв. вузов: Математика. 1996. - №11. - С.85-93.

78. Сесекин А.Н. Динамические системы с нелинейной импульсной структурой //Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. Екатеринбург, 2000. - Т.6 №1-2. - С.495-514.

79. Скворцова А.В., Ченцов А.Г. О построении асимптотического аналога пучка траекторий линейной системы с одноимпульсным управлением // Дифференц. уравнения. 2004. - Т.40, М2. - С.1645-1657.

80. Субботин А.И., Субботина Н.Н. Альтернатива для дифференциальной игры сближения-уклонения при ограничениях на импульсы управлений игроков // Прикл. математика и механика. 1975 - Т.З, №39-С.397-406.

81. Субботин А.И., Ченцов А.Г. Оптимизация гарантии в задачах управления. М.: Наука, 1981. - 287с.

82. Фанъ Цзы Теоремы о минимаксе // .Бесконечные антагонистические игры: сб.пер. М.: Физматгиз, 1963. - С.31-39.

83. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью М.: Наука, 1985. - 224с.

84. Ченцов А.Г. Приложения теории меры к задачам управления Свердловск: Сред.-Урал. кн. изд-во, 1985. - 128с.

85. Черноусъко Ф.Л. Оценивание фазового состояния динамических систем: метод эллипсоидов. М.: Наука, 1988. - 319с.

86. Шилов Г.Е. Математический анализ: Второй специальный курс для ун-тов. М.: Наука, 1965. - 327с.

87. Юсубов Ш.Ш. Необходимые условия оптимальности для систем с импульсными воздействиями // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2005. - Т.45, т. - С.233-237.

88. АиЫп J.-P., Frankowska Н. Set-Valued Analysis. Boston, etc.; Birkhauser, 1990. - 461c.

89. Blatter J., Morris P.D., Wulbert D.E. Continuity of the Set-valued Metric Projection // Math. Ann. 1968. - V.178, M - P. 12-24.

90. Bressan A., Rampazzo F. Impulsive Control Systems with Commutative Vector Fields //J. Optimiz. Theory and Appl. 1991. - V.71, №1. -P. 67-83.

91. Chentsov A.G. Asymptotic Attainability. Dordcher etc.: Kluwel Acad. Publ., 1997. - 322p.

92. Chernousko F.L. State estimation for dynamic systems. Boca Raton (FL): CRC Press, 1994. - 304p.

93. Chernousko F.L., Ovseevich A.I. Properties of the optimal ellipsoids approximating the reachable sets of imsertain systems //J. Optimiz. Theory and Appl. 2004. - V.120, №2. - P.223-246.

94. Filippova T.F. On the State Estimation Problem for Impulsive Differential Inclusions with State Constraints // Nonlinear Control Systems, NOLCOS'2001: Prepr. 5th IFAC Sympos., St.-Petersturg, Russia, 2001.- St.-Petersburg, 2001. P.173.

95. Filippova T.F. State Estimation Problem for Impulsive Control Systems // Proc. 10th Mediterranean Conf. on Automation and Control, Lisbon, Portugal, 2002. Lisbon, 2002.

96. Filippova T.F., Kurzhanski А.В., Sugimoto K. and Valyi I. Ellipsoidal calculus, singular perturbations and the state estimations problems for uncertain systems. Laxenburg, 1992. - 16p. - Working Paper WP-92-51: IIASA.

97. Filippova T.F., Vzdornova O.G. State Estimation for Linear Impulsive Control Systems // WSEAS Trans. Syst. 2005. - V.4., Issue 7. - P.974-979.

98. Guangming X., Long W. Necessary and sufficient conditions for controllability and observability of switched impulsive control systems / / IEEE Trans. Autom. Control. 2004. - Vol.49, Ш. - P. 960-966.

99. Karamzin D.Yu., Arutyunov A.V., Pereira F.M.F.L. A nondegenerate Maximum Principle for the impulse control problem with state constraints // Тр. 4-ой Моск. междунар. конф. по исслед. операций (ORM 2004).- Москва: МАКС Пресс., 2004. С.14-18.

100. Kostousova E.K. State estimation for dynamic systems via parallelotopes: optimization and parallel comuputetions// Optimiz. methods and Software. 1998. - V.9, №4. - P. 269-306.

101. Kurzhanski A.B. On evolution equations in estimation problems for systems with uncertanty. Luxenburg: IIASA, 1982. - WP-82-48.

102. Kurzhanski A.B., Valyi I. Ellipsoidal calculus for estimation and control // IIASA: Boston etc.:, IIASA Birkhauser, 1997. 321p.

103. Kurzhanski A.B., Varaiya P. Ellipsoidal techniques for reachability analysis: Internal approximation // Systems and Control Letters. 2000. -V.41. №3. -P.201-211.

104. Kurzhanski А.В., Varaiya P. Dynamic optimization for reachability problems // J. Optimiz. Theory and Appl. 2001. - V.108., №2. - P.227-251.

105. Kurzhanski A.B., Varaiya P. Reachability analysis for uncertain systems the Ellipsodal Technique. Control and optimization // Dyn. Contin. Discrete Impuls. Syst. Ser. B. Appl. Algorithms. 2002. - V.9, №3. -P.347-367.

106. Kurzhanski А.В., Varaiya P. Ellipsoidal techniques for reachability analysis. Part I: External approximations; Part II: Internal approximations. Box-valued contraints // Optimiz. methods and software. 2002. - V.17. - P.177-237; P.207-237.

107. Miller B.M. The generalized solution of nonlinear optimization problems with impulse control // SIAM J. Contr. and Optim. 1996. - V.34, №4. - P.1420-1440.

108. Motta M., Rampazzo F. Space-time trajectories of nonlinear systems driven by ordinary and impulsive controls // Differential and Integral Equations. 1995. - V.8, №2. - P.269-288.

109. Murray J.M. Existence theorems for optimal control and calculus of variations problems where the state can jump // SI AM J.Contr. and Optim. 1986. - V.24, №3. - P.412-438.

110. Pereira F.M.F.L. A maximum principle for impulsive control problems with state constraints // Comput. and Appl. Math. 2000 - Vol.19, №2.- P.137-155.

111. Pereira F.M.F.L., Silva G.N. Necessary Conditions of Optimality for Vector-Valued Impulsive Control Problems // Systems and Control Letters. 2000. - №40 - P.205-215.

112. Rishel R.: An extended pontryagin principle for control systems whose control laws contain measures // SIAM J. Control 1965. - V.3., №2. -P.191-205.

113. Schweppe F.C. Uncertain Dynamic Systems. Englewood Cliffs, N.J.: Prentice Hall, 1973. - 563p.

114. Silva G.N., Vinter R.B. Measure differential inclusions //J. Math. Anal. Appl. 1996. - V.202 - P.727-746.

115. Silva G.N., Vinter R.B. Necessary conditions for optimal impulsive control provlems // SIAM J. Control Optim. 1997. - V.35. - P. 18291846.

116. Silva G.N., Litvinchev I.S., Rojas-Medar M., Brandao A.J.V. State constraints in optimal impulsive controls // Comput. and Appl. Math.- 2000. -V.19, №2-P. 179-206.

117. Vinter R.B., Pereira F.M. A maximum principle for optimal processes with discontinuous trajectories// SIAM J.Contr. and Optim. 1988. -V.26, Ш. - P.205-229.

118. Zavalischin S.T. Impulse dynamic systems and application to mathematical economics // Dynamic Systems and Appl. 1994. - V.3, №3. - P.443-450.

119. Zavalischin S.T., Sesekin A.N. Dynamic Impulse Systems: Theory and Applications. Dorderecht: Kluwer Academic Publishers, 1997. - 260p.