Модулярные формы с дивизором в параболических вершинах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

ярославский ордена трудшого красного знамени государственный педагогический институт им. К.Д. ушнского

РГ6 0 Специализированный с свет к из. 27.ш.

/ -На правах рукописи

ВОСКРЕСЕНСКАЯ Галина Валентиновна

модулярные формы с дивизором в параболических вершинах

01.П1.Г)в. - математическая логика, алгебра и теория чисел

• АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени . кандидата физико-математических наук

Яроставль - 1993

Работа выполнена на кафедре алгебры и геометрии Самарского государственного университета

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ -

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ -

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ

кандидат физико-математических наук, доцент КЛЯЧКО A.A.

доктор физико-математических наук, профессор ТАНКЕЕВ С. Г.

кандидат физико-математических наук КУЗНЕЦОВ ДЛ).

Санкт-Петербургский государственный университет

Зашита диссертации состоится "_" __ 1993 г.

в _ на заседании Специализированного совета

К 113.27.01. по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук при Ярославском государственном педагогическом институте по адресу: 150000, г. Ярославль, ул. Республиканская, 108, ЯГПИ

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ярославского государственного педагогического института

Автореферат разослан "_" _ 1993 г.

Ученый секоетарь Специализированного совета

В.Г.Шендеровский

СЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА. РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. В теории модулярных форм многие интересные задачи связаны с изучением функций, собственник относительно алгебры Гекке. 3 диссертации некоторые из этих задач рассматриваются для пар8б<)яхческкх форм целого веса с характерами, собственных относительно алгебры Гекке, дивизор которых сосредоточен в параболических вершинах.

Изучение арифметической интерпретации коэффициентов модулярных форм, собственны* относительно операторов Гекке, приводит к вопросу о связи между Ь - функциями и преобрь-зованиями Меллина модулярных форм. С- этой точки зрения изучаемые функции рассматривались в работах японских математиков М.Койке, Т.Кондо, Т.Тасака, Т.Хирамацу, Н.Ишии, французского математика Лигоза, канадских ученых Д.Дамиита, Г.Кисилев-ского и Дж. МакКея.

Другой интересной темой является изучение связей между представлениями конечных групп и модулярными функциями. Исследуемые функции могут быть ассоциированы с элементами конечных групп с помощью некоторых представлений. Возникает вопрос о природе некоторых функшй, являющихся характерами групп и участвующих в разложении в эйлерово произведение преобразований Меллина модулярных форм, собственных относительно алгебры Гекке и ассоциированных с элементами этих групп. Рассматривается также задача нахождения таких конечных групп, что все модулярные формы, которые можно ассоциировать с элементами этих групп с помотыо некоторого представления, являются собственными относительно всех операторов Гекке. Исследования в этом направлении проводились американским математиком

Дж. Мейсоном и японским ученым М.М.Лэнгом. Они рассматривали представления группы Матье М^ и группы Конвея на решетке Лича.

ЦВДЬ РАБОТЫ. Основной целью работы является полное описание параболических форм целого веса с характерами, собственных относительно алгебры Гекке и не имевших нулей вне параболических вершин, изучение свойств этих функций и связанных с ниш математических объектов.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Все основные результаты диссертации являются новыми.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Работа носит теоретический хатюктер. Результаты и методы работы могут найти применение в исследованиях по теории модулярных функций и теории представлений групп, в частности, при изучении функций, являвшихся произведениями эта-функвдС Дедекинда от различных аргументов и функций, собственных относительно алгебры Гекке.

МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЙ. В работе используются методы теории модулярных функций, теории чисел, методы теории конечных групп и теории представлений групп Ли.

АПРОБАЦИЯ РАШГЫ. Результаты диссертации докладывались на алгебраическом семинаре Самарского государственного университета, на XI Всесоюзном симпозиуме по теории групп в г. Свердловске / 1989 г. /, на П Международной конференции по алгебре в г. Барнауле / 1991 г. /

ПУБПИКАЩИ. По теме диссертации опубликовано 5 работ, указанных в конце автореферата.

ОБЪЕМ И СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Обтай объем работы 114 страниц машинописного текста. Библиография содержит 55 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность исследования, проведенного в работе, сформулирована цель и дана структура изложения материала диссертация.

В первой главе дается полное описание параболических форм целого веса с характерами, собственных относительно алгебры Гекке и не имеющих нулей вне параболических вершин. Доказывается, что таких функций ровно 28 и приводится их полный список с указанием уровней и характеров. Все эти функции имеют вид: - + ^— .

п п*к(ак2) *м ; е **

к К

где - эта-функция Дедекивда. Для краткости и удобства

в работе эти функции называются мультипликативными

- произведениями.

В этой главе содержатся необходимые сведения об основных понятиях и фактах теории модулярных функций, используемых в исследованиях.

Вторая глава посвящена арифметической интерпретации коэффициентов мультипликативных г) - произведений и изучению их преобразований Меллина. С этой точки зрения мультипликативные Г] - произведения веса I изучались японскими математиками М.Койке, Т.Кондо, Т.Тасака и другими, мультипликативные

- произведения веса 2 исследовались йранцузским ученым Лигояа. Канадские мстзматики Д.Даммит, Г.Кисилевский и Дж.МакКей для 16 из 28 мультипликативных - произведений начни Ь - функции с гроссен-характерами мнимых квадратичных полей, совпадающе с преобразованиями Меллина этих форм. Они докапали, что для остальных 12 параболических форм такое соответствие невозможно.

В этой главе для трех из оставшихся 12 форм рассматриваются аналоги этих формул, в которых вместо кольца целых мнимого квадратичного поля рассматриваются порядки в алгебре кватернионов и алгебре Кэли. А именно, доказывается, что

lf i ^- . UizA/M е s

— Ц Je

1 JLGr.clH

где суммирование ведется по всем целым кватернионам Гурвица, Целые кватернионы Гурвипа имеют вид:

, а = g = C rol (mocUV а Дс, J £ Z . Z '

2/

1 V~ .4 p*X¿zA/(<* ÍZf .

* oí£IH '

0. + É + C í-ol ;I(mooU) Q-, e, c,d С 2:

где суммирование вецется по всем кватернионам с целыми коэффициентами о. , 6 , с , d такими, что в + с

3/ В алгебре Кэли строится порядок, на котором билинейная йорма < c¿, р > = задает структуру четной унимоду-

лярной решетки типа Гд . Сумма

i ,g л Ыъ УМ

» о -

л_ е

<А£ ^ сСл,

по всем элементам этого порядка равна параболической форме ^

В третьей главе изучаются связи мекну представлениями конечных групп и модулярными функщями. Мультипликативные

^ - произведения могут быть ассоциированы с элементами конечных груш с помошыо некоторых представлений. Выясняется природа некоторых функции, являвшихся характерами гпупп и

I

6

участвующих в разложении в эйлерово произведение преобразований Меллйна мультипликативных - произведений.

Пусть °Р - представление конечной группы & в четномер-ном пространстве V унимодулярннми матрицами. Тогда характеристический многочлен оператора У(^) имеет вид

р (х) = П («""-О*" а.с^^ег.

д к '

Обозначим через (р) характер квадратичного поля Ф пусть к(^) = ^к • Для любого простого числа р на группе 6- определим функцию

=

_ 1

э , р|0х«| (3)

где охо1 (ср _ порядок оператора ^ С^)

Если 24 | <Аип V , то с элементом 6- с помошью представления ЯР можно связать функцию

ЧдМ = П ч*кс«чс*> , аке./л/ цег'.

которая является параболической формой веса *; Сер , определенного уровня /УС^) с характером •

Пусть спф - п_-й коэффициент Фурье разложения этой с[ункши в ряд Фурье в окрестности параболической вершины .

Для параболической формы (?) , собственной относительно всех операторов Гекке, функции с»»(<р и Ч'рСз') участвуют в разложении ее преобразования Меллина в эйлерово произведение:

п.»!

Дж. Мейсон рассмотрел естественное представление группы Матье Mg4 на решетке Лича. Для любого элемента g G М24 функция Г)^(х) , ассоциированная с этим элементом, является собственной относительно всех операторов Гекке. Функции и ^р являются виртуальными характерами группы М^ • Указывается, что при р ^ 3 Ур является эффективным характером. Возникает вопрос о природе функций С„С(р и УрС^) , определенных на других конечных группах.

В этой главе исследуются ограничения присоединенных представлений простых групп Ли, алгебры Ли которых имеют четны? ранг X. , на конечные подгруппы, каждый элемент которых имеет в присоединенном представлении характеристический многочлен с рациональными коэффициентами, b этом случае функции сп (g") опискваотся тождествами МакРональда.

Доказывается, что цля л^ого нечетного простого одела , Езаимно простого с поиянком элемента g , имеет место

cU'm ф •с .

г U

г р ,

гае ¿U- (p-i)js - характер неприводимого представле-

ния группы Ли со стартим весом fp-i^j> , rie j3 - полусумма положительных корней соответствующе!' алгебры Ли.

Алгебры Ли типа Ае при I = 0,4,^,10,12,1^,18,22 (med 24^, типа В> (> при t = 0, 16 (woJ 24 ) , типа С£ при

^ s О, (mot! 24 ) , типа £>£ при I = П, 8 fmed 24)

имеют ранги, кратные 24. С элементами соответствующих групп Ли, имеющих в присоединенном представлении характеристические многочлены с рациональными коэффициентами, можно ассоциировать параболические формы ^(г*) . функции %> (<р в этом случае являются настоящими характерами. Мультипликативные Г] - произведения могут быть ассоциированы с помошью присоединенного представления с конечными подгруппами в .

В четвертой главе это соответствие рассматривается более подробно.

Интересной задачей является нахождение таких конечных групп, что все модулярные -формы, которые можно ассоциировать с элементами этих групп с помошью некоторого представления, являются собственными относительно веек операторов Гекке.

Дж. Мейсон показал, что все функции, ассоциированные с элементами группы Матье м^ с помошью ее представления на решетке Лича, являются мультипликативными - произведениями. Таких форм 21. М.м.Лэнг рассматривал представление группы Конвея на решетке Лича. Но с элементами этой группы также могут"быть ассоциированы лишь некоторые мультипликативные.

- произведения. Задача нахождения такой конечной группы, что все 28 мультипликативных Г| - произведений можно ассоциировать с элементами этой группы с помошью некоторого пюедставления, в настояшее время не решена.■

В этой главе находятся все конечные подгруппы в группе Ли С) такие, что для любого иг элемента ^ , имеющего

в присоединенном представлении характеристический многочлен

П (х"*-!")** , параболическая форма (X.) = П ^"(а**} к . о к

является мультипликативным Г| - произведением. Максимальными

такими группа™ являются произведения группы & , порожден-

ной скалярной матрицей, на следующие группы: ,

А„ , * 2Ъ , Ъч х , бинарная группа тетраэдра, метапиклическая группа порядка 21, "¿V , меташклическая группа порядка 12 : < : 83 = Т2 = (5Т')г> , все группы порядка 16, Щ * Ж3 , , Ям , , 21о , .

С элементами группы ££ С) конечного порядка с помощью присоединенного представления можно ассоциировать все мультипликативные I) - произведения веса, большего I.

Приводится таблица, в которой для каждой из этих групп указываются мультипликативные г| - произведения, соответствующие ее элементам. В частности доказывается, что собственные значения элемента ^ £ Б/ (5, С), соответствующего данной параболической форме, находятся однозначно с точностью до перестановки значений, возведения каждого собственного значения в степень, взаимно простую с порядком элемента ф и умножения каждого собственного значения на один и тот же корень степени 5 из I. Приводится таблица, в которой для каждой параболической формы указываются собственные значения соответствующих ей элементов.

Результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Воскресенская Г.В. Модулярные формы и представления групп. - Самара. - 1991. - 13 с. - Деп. в ВИШИ 03.01.91., * 74 - В 91.

2. Воскресенская Г.В. О характерах групп Ли и характерах модулярных форм // П Международная конференция по алгебре: Тез. докл. - Барнаул. - 1991. - с. 21.

3. Воскресенская Г.В. Гиперкомплексные числа, системы корней и модулярные формы // Сб. Арфметика и геометрия многообразий. - Самара. - 1992. - с. 48 - 59.