Мультипликативные свойства некоторых гильбертовых пространств аналитических функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

РГЗ од

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ШИШРИН Сергей Михайлович

МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫЕ СВОЙСТВА НЕКОТОРЫХ ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯ

'01.01.01 - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург - 1993

- г ■

Работа выполнена с Санкт-Петербурга»! государственном университете.

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ - доктор фиоико-математичаских наук.

профессор С.А.ВИНОГРАДОВ

ОЬИЦЛЛЬНЬЕ ШПОНЕНПИ - доктор физико-математических наук, профессор А.Б,АЛЕКСАНДГОВ

- кандидат физико-математических наук, доцент А.М.КОТОЧИГОВ ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ: Санкт-Петербургский педагогический государственный университет

Защита состоится "Ю" ллслр'Ш- 1994г. в 15^30. на еа седании специализированного совета К 003.57.£9 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Санкт Петербургском государственном университете по адресу: 198904, Старый Петергоф, Библиотечная пл., д.2, математшео механический факультет.

О диссертацией мо-т.ио ознакомиться в научной библиотеке им.М.Горького Санкт-Петербургского государственного университета.

Автореферат разослан

УЧЕНЬЙ СЕКРЕТАРЬ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННОГО СОВЕТА КАНДИДАТ <ШЖО-МАТБДАТЙЧЕСКИХ НАУК

ШСиПчУ О.И.РЕЙНОВ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ,

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕШ. Теория банаховых и гильбертовых пространств аналитических функций является неогьемлимой частые современной теории функций. При этом широкий круг вопросов связан с мультипликативными свойствами этих пространств, т.е. с описанием мультиплшсаторов, свойствами операторов умножения и деления на функции, факторизацией функций, выделением нулей и т.д. Многие, задачи, возникающие л этой области, оказываются тесно связанными с вопросами тео рии операторов и теорий потенциала.

В последние годы внимание многих аналитиков привлекают пространства аналитических л единичном круге ID комплексной плоскости функций из шкалы Бесова, в частности, гильбертовы пространства As из этой шкалы, состоящие из функций Un-) , , для которых при некотором Se к. ¿_Jh«»1 (n»l> < + r>o. Taie, например, в недавних работах Х.Хеденмапша устгтзвливается . что для функций из некоторых пространств Бергмана имеет место факторигашш, аналогичная выделении нулей с помощью произведений Еляпкс ri пространствах Хардц. Результаты С.Рихтера показывают связь между свойствами инвариантных относительно умножения на ï подпространств я мультипликаторами. Наконец, из днлзтэдионнон теории ЕеркоЕичи, Фояиа и Пирси вытекает гак-

ный вывод о связи общей проблемы инвариантных подпространств с описанием свойств "^-инвариантных подпространств в пространстве Бергыана.

ЦЕЛЬ ИССЛЕДОВАНИЯ. Основная цель работы - установить аналоги для пространств Ас, некоторых классических ре зультатов, имеющих место в пространстве Харди Нг В частнос ти, в диссертации изучаются свойства экстремальных функций для "г -инвариантных подпространств - функций, которые мо гут служить аналогами классических внутренних функций.

ОС!ЦАЯ МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИИ. В диссертации использу ются методы теории аналитических функций ь пространствах Харди и теории потенциала. При этом в работе разрабатывается аппарат специальных интегро-дифференциальных операторо» , обладающих рядом свойств, аналогичных свойствам классического оператора Лапласа.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Все основные результаты работ», касгюидееся пространств ^ , являются новыми. Новый является также разработанный в диссертации аппарат операторов .

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Работа носит теоретический хД рактер. Ее результаты могут бить поло&ни в теории оперы торов. Разработанный в диссертации аппарат операторов представляет самостоятельный интерес и может найти придстг ния как в теории функций, так и в теории потенциала.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты работа догладывались на семинаре по спектральной теории функций и теории операторов в ПОМП им.Стеклова и на второй августовской конференции по спектральной теории функций 17-18 августа 1993 г, ПОМИ

ШФЛИКАЦЩ. Основные результаты диссертации опубликованы

В рпГЗОТГ» 111.

СТРУКТУРА Л ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введе ния, трех глав и списка литературы. Общий объем работы • 61 стр. машинописного текста. Список литературы содержит 19 названий.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Как уже отмечалось выше, в диссертации изучаются гильбертовы пространства А<; аналитических в единичном круге ¡Ь=Ке£: 1г\<1\ функций , €> .Для

■> л* О

которых

V ' 'П4 3.

/ 1Н\Л)\ (.т-П < + — к>. о

При этом основным объектом рассмотрения являются так заливаемые экстремальные функции, которые описываются следующим образом. Пусть I - некоторое замкнутое и инвариантно" относительно умножения на ТЕ подпространство пространства Аь . 'Х ~ максимальная общая кратность нуля в точке

Ь=0 для функций из I . Тогда экстремальной функцией для подпространства I нагиваетсн функция , решающая следующую экстремальную задачу:

sup у1чЧ0> : gel и]

Основные результаты работы, касающиеся свойств экстремальных функций, заключаются в том, что при определенном выборе нормы.в пространствах i\s пря Se. (О, i ] экстремальные

л2-

функции являются мультипликаторами в пространствах A s > причем в случав StlO.^)- сжимающими мультипликаторами, а при Sfet-liö) явлиатся дивиБорами, т.е. обладают свойством llö^pöp^ V для лабого полинома р . Дли доказательства этих результатов в диссертации разрабатывается аппарат некоторых специальных интегро-дифференциалышх операторов Д^.

Глава I диссертации посвящена разработке аппарата one раторов ДПервоначально они определяются на функциях. представиыых в круге . lb в виде

n,vt»0

равенством

- L 5>rlciDraww. <

{.»O V4,«iO

Затеи устанавливается, что так определенные операторы обладают рядом свойств. Например, при<*>-£ для них справедлива следующая обобщенная формула Грина:

2.UM) j (ДЛ,и)?чи» H-iaT «W*> -

T

где двумерная нормированная мора Лебега в D

<Avvv,l£) - одномерная нормированная мера ЛеОега на 'I1 , а

- оператор дифференцирования но направлению внешней i; ЧГ нормали. При «.»О оператор Д0 совпадает с оператором ^ Д , где Д - классический оператор Лапласа, и эта формула превращается в классическую формулу Грина для единичного круга (Ь .

Операторы оказываются ипиариантшши относительно

преобразований Мебиуса в смысле следующей формулы:

( Здесь & - произвольное преобразование Мебиуса круга /Ь ) На основании этого свойства получается следующее представление операторов при Л £(.-2., О) в виде интегро-диффе-

ренциальных операторов:

а

где 1

k = sv^™! vPf ар , Ьлг, -

ттин) J1 r r' х ^-оа V-

Эта формула может служить определением операторов на

функциях класса С lib). В случае cOQ интегро-диф^ерсицналь ное представление операторов Ь.^ может бить получено о учетом следующего их свойства:

Параделько с операторами в главе 1 рассматриваются операторы ^ , являющиеся правыми обратными к ним. Для них устанавливается формула, аналогичная формуле восстановления потенциала Грина: _ . -

Здесь

Глава II иосвяцена вопросам факторизации аналитических функций в весовых классах Бергмана - пространствах Аь при ЬсО . Норма в этих пространствах задается равенством

е>

где сч--1-2.$ и Основным

результатом настоящей главы, доказательству которого посвящен является

ТЕОРЕМА 2.1.5. Пусть X - Ъ -инвариантное подпростран-

^ X

стео в пространстве А& при некотором , ©5

- соответствующая экстремальная функция. Тогда для любого

полинома р справедливо неравенство

5 4 »©5рй5 4 ЙрУ

В частных случаях S= - 11 Ь=-1 аналогичная тиорема была'доказана Х.Хедеимальмом. Он же вместе с К.Жу установил, что при Ьо£ подобный фант не имеет места.

В §2 на основании теоремы 2.1.5 доказывается вобмож-ность использования экстремальных функций для выделения нулей у аналитических функций. С этой долью для каждой аналитической в функции -Р рассматривается "функция

кратности" , равна;! для каждого '\с1Ь кратности нуля v функции ? к точке IX . А для каждой 7-аначиой функции , определенной в С> . рассматривается инвариантное подпространство при всех Xtlö}. До-

казывается, что для лвбой такой функида О либо =

либо •хЭ-Ли = & , иными словами, экстремальные функции для fcDj

подпространств не имепт "лишних" нулей, кром« тех,

которые задаются функцией "vS- . Поэтому окстремальные функции могут служить для выделения нулей у аналитических функций в смысле следующей теоремы;

ТЕОРЕМА 2.2.4. Пусть Sfc 1-1.0} и f - ненулевая функция из А\ . Тогда £ допускает факторизацию где ©5

- экстремальная функция для подпрострллстБа 1$ , а Р

z *

- некоторая функция из Аь , не имеющая нулей в Ö и допускающая оценку КРЦ < ||иь •

Глава III описывает свойства экстремальных функций в

классах Аь при . . При S£(0,~) норма в них

i

задается равенством (

D

а при ^ - равенством

ь

Основным результатом главы является следующая ТЕОРЕМА 3,9.

1. Пусть } и - экстремальная функция для X -инвариантного подпространства I в пространстве А ь •

Тогда для любого полинома р> выполняется неравенство

2. Пусть - экстремальная функция для 2. -инвариант-иого подпространства I в пространстве . Тогда для любого полинома р выполняется неравенство

с некоторой абсолютной константой С .

Эта теорема фактически устанавливает, что любая экстремальная функция :з пространстве при является мультипликатором этого пространства , Отсюда немедленно следует, что любое "Н,-инвариантное подпространство I обладает свойством "единичной коразмерности" - с1"11т(1£>г1)И. Ранее С.Рихтером и А.Шилдсом это свойство было установлено для пространства ( пространства Дирихле ).

■ Другим важным следствием теоремы 3.9 является следующее качественное 'наблюдение, касаадееся пространства мультипликаторов класса А 5 при ЪСЛоА ] : набор внутренних

и -

частей мультипликаторов класса As совпадает с набором виу треиних частей всех функций из . В честности, для любой функции f- иа класса As существует мультипликатор пространства A¿ с той же последовательностью нулей, что и у функции \ .

Работы автора по теме диссертации.

Ш Факторизация аналитических функций в весовых пространс-■ твах Бергмана.- Алгебра и Анализ, т. 5 (1993), вып.5, стр.155-177