Напряженное состояние катушек, обусловленное натяжением при намотке тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

РГб од

2 2 СЕН 1338

На правах рукописи

Георгиевская Евгения Викторовна

Напряженное состояние катушек, обусловленное натяжением при намотке

Специальность 01.02.04 - "Механика Деформируемого твердого тела"

Автореферат диссертации иа соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

■ Санкт-Петербург

1998

Работа выполнена на кафедре "Механика и процессы управлеш Санкт-Петербургского государственного технического универси

Научный руководитель - доктор физико-математических нау]

профессор Елисеев В.В.

Официальные оппоненты- доктор физико-математических нау]

профессор Даль В.М.

доктор технических наук, профессор Мельников Б.Е.

Ведущая организация - Научно-исследовательский институ]

электрофизической аппаратуры им. Д. В.Ефремова

Защита состоится (998 год

'_час. на заседании диссертационного Совета К 063.38.20

Санкт-Петербургском государственном техническом универси-по адресу: 195251, Санкт-Петербург, ул. Политехническая, 29, I корп., ауд. 425.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке СПбГТЗ

Автореферат разослан

^

» -

Ученый секретарь диссертационного

Совета К 063.38.20, доцент В.Н. Но

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы

Сейчас получили широкое распространение композитные материалы. Одним из наиболее технологически удобных и часто используемых способов изготовления слоистых и волокнистых композитов является силовая намотка. Изделия, изготовленные методом намотки, используются во многих областях техники, например, в соленоидах, магнитных катушках международного токамака и т.д. Особенность таких изделий заключается в том, что материал и конструкция изготавливаются одновременно. При этом готовая катушка оказывается в напряженном состоянии уже в процессе изготовления. Технологические напряжения проявляют себя и как действующие напряжения в процессе изготовления, так и в качестве остаточных напряжений в готовых катушках. В обоих случаях они могут оказать сильное влияние на прочность и работоспособность конструкции. Определение этих напряжений является практически важной и актуальной проблемой.

На практике намотка часто ведется проводом, обладающим значительной изгибной жесткостью и имеющим сложную структуру. Для восстановления трехмерного напряженного состояния в проводе необходимо знать действующее на него растягивающее усилие и изгибающий момент. При этом даже малые напряжения, если они действуют в направлении малой жесткости, могут оказать значительное влияние на прочность и работоспособность конструкции, поэтому учет влияния изгибной жесткости и всех сопутствующих моментных эффектов необходим.

Цель работы заключается в описании процесса намотки провода с учетом изгибной жесткости и определении контактного давления и формы провода на свободном участке, а также напряженно-деформированного состояния катушки, обусловленного натяжением при намотке, с учетом изгибной жесткости и возникающих при этом моментных нагрузок на стадиях намотки, снятия с оправки и последующей релаксации напряжений.

Методы исследования.

Основу теоретического исследования диссертации составляют г ложения классической нелинейной теории упругих стержней, линейн двумерной моментной теория упругости, а также теории с начальны: несовместными деформациями в упругой и вязкоупругой постанови; Для построения аналитических решений используются асимптотическ методы.

Научная новизна заключается в учете изгибной жесткости прово на всех стадиях изготовления катушки ( намотка, снятие с оправки, ] лаксация), а также в определении моментных нагрузок.

Практическая ценность.

Определено контактное давление випсов в процессе намотки с у1 том изгибной жесткости провода. Получены формулы для вычислен горизонтальной реакции в скользящей опоре и предсказана форма п{ вода на свободном участке, что имеет важное практическое значение я техники намотки.

Определено напряженно-деформированное состояние катушки, с условленное натяжением при намопсе с учетом изгибной жесткости 1 матываемого волокна. Предложенные методики расчета силовых и ь ментных напряжений могут быть использованы для описания поведен магнитных катушек и композитов, изготовленных методом намоп Возникающие в ходе дальнейшей переработки и эксплуатации напряя ния от температурных деформаций и магнитных сил будут накладыва' ся на уже определенное поле механических напряжений.

Учет моментных нагрузок в данной работе дает практически ва ный пример применения моментной теории упругости к задачам о 1 мотке. ,

Рассмотрение процессов релаксации приводит к выводу о необ> димости проведения расчетов напряженно - деформированного состс ния тел, изготовленных методом намотки, поскольку после снятия оправки и релаксации сохраняются остаточные напряжения.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы были заслушаны на I Международной конференции "Научно - технические проблемы прогнозирования надежности и долговечности металлоконструкций и методы их решения" ( Санкт-Петербург, 28 - 30 нояб. 1995).

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Объем диссертации составляет 152 страницы, список литературы состоит из 98 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение. Сформулированы задачи диссертации и обоснована актуальность проблемы.

Глава 1 посвящена анализу состояния вопроса о методах расчета изделий, изготовленных методом намотки, дан обзор литературы, выделены различные подходы к задачам о намотке. Обычно рассматривается вся история процесса намотки, т.е. расчет строится в рамках модели растущего тела. Этот подход является почти универсальным, дает возможность учесть многие влияющие на конечное напряженно-деформированное состояние факторы, но приводит к сложным интегральным уравнениям, требующим численного решения. Принципиально иной подход основывается на теории с начальными несовместными деформациями и во многих случаях позволяет получить аналитические решения. Оба варианта рассмотрены в диссертационной работе в приложении к конкретной задаче.

Несмотря на большое количество как чисто теоретических, так и прикладных работ в области намотки, остается ряд вопросов, требующих дополнительного рассмотрения, в том числе влияние изгибной жесткости и поведение моментных напряжений. Учет этих факторов и является основной задачей диссертации.

Вторая глава посвящена исследованию поведения провода в процессе намотки. Обоснован выбор модели намотки с сосредоточенной

силой в точке отрыва провода (рис. 1). На основе решения задачи о стержне в рамках нелинейной классической механики упругих стержней определены контактные нагрузки, реакция в скользящей опоре и форма стержня на свободном участке.

где Q и М - сила и момент в стержне, 1

д - распределенная внешняя нагрузка, Q. - вектор кривизны и кручения стержня,

а= а и е, е, + а 22 е2 еа + a k k , а - изгибная жесткость; штрих означает

производную по дуговой координате s.

Задачу можно считать плоской, тогда М = а ф'к = М к, где М н аФ'.

Выделяются два участка. При s < 0:

0' = R-,=>M = aR-|,M' = 0

u

Q = Q t(s), t(s) = - i sin 0(s) + jcos 0(s).

Для "гладкой" поверхности a = -pn => Q ' = 0 => Q = const = pR.

При 5>0: Д=0=>С1= киШ = X1 + Т 3. '

Решение задачи для этого участка проводится в два этапа. Сначала все неизвестные параметры выражаются через угол отрыва провода от оправки а, а затем определяется и сам угол а.

Поведение провода описывается уравнениями статики для первоначально прямого незакрученного стержня в случае отсутствия начальных напряжений:

Q ' + д = 0 , М ' + 1хО + ш = 0

М= а-П, О = ф'к,

(1)

> >

Интегрируя уравнение баланса моментов в (1) и учитывая значения r(s) на концах, получим:

M(L) = М(0) + RT( cosa - I) + RX(sina + h), hsHR"1 (2)

С другой стороны, уравнение баланса моментов в (1) можно представить в виде дифференциального уравнения для угла-Фф

аФ"-Т siní> - X cosO = О, Ф(0) = - a, Ф(Ь) = 0 (3)

Первый интеграл уравнения (3) можно записать так: M2 (L) + 2 аТ = M2 (0) + 2 аТ cosa + 2 аХ sina (4)

В точке сопряжения участкрв s = 0 лмеем pR sina = X + F cosa, pR cosa = T- F sina, M(0) = aR"1 (5)

Соотношения (2), (4) и (5) приводят к уравнению

R2 [ Т ( cosa -1) + Х( h + sina )]2 + 2 ahX = 0 (6)

Ограничимся случаем малой жесткости каната а или большой силы натяжения провода Т. Тогда решение можно искать в виде разложений:

у =ц2(Х о+м X,+ ...),

a = n(a„ + nai+ ...), где n = (7)

Определяем: »2

Хо= 1(^.-1

2hVl-a » V >

(8)

Условия сопряжения (5) позволяют выразить р и Р через угол а, для определения которого необходимо рассмотреть конфигурацию стержня на свободном участке:

['=1=5 X' = - втФ , у' = СОвФ (9)

Угол Ф(в) можно найти из уравнения (3) с помощью метода сраиц вания асимптотических разложений. Внешнее разложение выглядит так

Ф°= ц2(Фо(5) + ц Ф,^) +...), где Ф0 = - Хо , Ф| = - X |, ...

Вблизи в = 0 строим внутреннее разложение

Ф' = й(Ф^Ю -). 5- Д

Из уравнения (3) с учетом граничного условия при % = 0 (в = 0)

условия сращивания ¡¡т ф (£)=()■ ИтФ (£) =-Х _ находим

Ф^ =-аое"^, Ф('=(Х0-а,)е'5-Хо,...

Аналогично находится и пограничный слой вблизи точки в=Ь.

Ф(8) =

-ца0еч^((х0-а)е-*-х>.... £ = -^,8 « О (10)

Интегрируя уравнения (9) с учетом граничных условий в предела от 8=0 до8 = Ь = Я(Ьо + + ц2Ь2 + ... ), определяем коэффициенты разложениях а и Ь.

Окончательно имеем

а = 11"

а

Т 2ТНЯ

Р = ТИ~'( 1 - + ••• )

2ТЕ1

00

В дальнейшем для определения напряженно - деформированного состояния катушки потребуется значение контактного давления между наматываемыми слоями. Сосредоточенная сила И тоже внесет некоторую поправку в значение контактного давления. Предлагается "осреднитъ" величину сосредоточенной силы по длине окружности соответствующего радиуса. Тогда контактное давление будет выглядеть следующим образом:

(12)

На графике ( рис. 2) представлена зависимость контактного давления от радиуса намотки для нити ( а = б) и для провода при различных значениях изгибной жесткости.

1,00 0,90 0,80 0,70 0,60

t о.

0,50

-аЯ=0 -аЯ=0.2 -а/Г=0.4 •а/Г=0.6

1.2

1.4 1,6 R.M

1.8

Третья глава посвящена определению напряженно - деформированного состояния катушки. Рассмотрены два принципиально различных подхода: с точки зрения механики растущего тела (по методике, основанной на идеях Саусвелла) и по теории с начальными несовместными деформациями.

Поведение катушки описывается уравнениями моментной теории упругости (модель со стеснением):

1

2

V -х +К = 0, У-ц + М + тх = О

т » = а,е Е + а2 е , д = а3ав ж = У9, е = Уи", 9 = I V х ц • к

(13)

Из условий однозначности перемещений и поворотов выводят условия совместности деформаций, которые в модели со стеснением В! глядят так:

к • V х ж =0, к • V х е = ж, (14)

Подробно рассмотрена плоская "осесимметричная" задача без об емных внешних нагрузок с учетом дисклинаций. Доказано, что в это случае отсутствуют касательные напряжения и радиальный момент, остальные компоненты силовых и моментных напряжений подчиняют! уравнениям

(гаг)' = а, ,т = Ог + стф = А+

СЬ,

Ь. + Ь,

-1п

Я.

.Щ» =

С

(15)

Для определения напряжений, возникающих в процессе намотки, используется идея Саусвелла. Намотка каждого нового витка создает дополнительное давление и вызывает изменение напряжений в уже намотанных витках. Эта элементарные добавки в напряжениях вычисляются основе решения вспомогательной задачи типа Ламе ( рис. 3). Напряжения, обусловленные натяжениемпри намотке, определяются суммированием элементарных добавок. '

Обобщая эту методику на случай моментной теории упругосп строим решение вспомогательной задачи с учетом граничных условий возникающих дисклинаций:

Рис.3

Я

а,(г) = -

Я

1

авЯ?

1 + —г-

1-

Я

г* у

2(Ь, +Ь2)

1-

Я[ Я1

ст„(г) = -

Я

Р +

..Ко \

' яП

Яр 1 + -т-

1

+ 1 —

я2(1-«)

1+-

жЯ

2(Ь,+Ь2) Я2

ц9(г) =

1

где

Ь,г' 1 0 1+ ж

КЯ„(Ь,+Ьг) 1-КЯ0Ь, '

(16)

К - жесткость оправки, Ь|, Ьг - соответствующие податливости.

В ходе решения принимается дополнительная гипотеза о ненакоплении дисклинаций в процессе намотки.

Напряжения в готовой катушке определяются интегрированием ( в пределах от г до Я) напряжений (16), где в качестве давления р выступает дополнительное давление с!р, вычисленное на основе формулы (12). В случае постоянного натяжения в процессе намотки будем иметь:

г1-Я? 1п-

Т

■"<Г)=2Ь

Я

1

а ^ (Я-Я.Хг + Я.) +

2ТЯ

I Я2-Я* 2яЯ, МТ (Я +Я1Хг-К1)

гшТгУ^-1

стф(г) =

2Ь

2 +

1 + ^

1п

Я2 - Я?

г2 )

а ИИ

1п

(И-И.Хг + Я,) 2Я,

(Я + К,)(г- Я,) г )

'(Я2 - Я? 211?

КЧ^-Я?) г2 )

щ = ——, где о - толщина провода, ог

(17)

Напряжения, полученные таким образом, удовлетворяют уравнен ям равновесия и подчиняются граничным условиям вида

Ог(К)=0, аг(Яо) = ®

/т> ч ТГ, 1 [а а

(18)

В этой же главе задача о намотке рассмотрена и с позиций теории несовместными начальными деформациями, о наличии которых говор невыполнение одного из условий совместности деформаций (14). Кату! ка считается единым упругим телом. Деформации представляются в ви суммы упругой части, связанной с напряжениями законом Гука, и нек торой начальной деформации, никак не связанной с текущими напряя ниями. Поведение катушки при отсутствии объемных нагрузок опис вается следующими уравнениями:

V • т = 0, V • ц + т„ = О к • V х ж = 0, к • V х е = ас ,

Где ае = аее + аЫ> , Е = Бе + £Р

ер =0, б р =0, аер=0, агр= —,

Г ' Г^ ' Г ' Ф ^ »

Т яЬ

Ь о

(19)

2 Г Г г1 [а Я?

Я-Я, J I г2 \Т4яг(г я.

+г

аЯ?

■К?) г'-Цг'-Я?)

<1г

Начальные несовместные деформации, обозначенные индексом "р", определены на основе решения задачи по методике Саусвелла. С учетом граничных условий (18) имеем:

стг =

Г г I -1п-+ 1—-2 Я

г2/

\2 ) 2К Я 2лЯЛт

геа

1-аг-(1+аг)

Я?

и

ст*=ь

«(НМо-*!-

аг-

2л Я„

а геа

Щ. =

Ьг

(21)

В конце главы рассмотрен процесс снятия катушки с оправки. В силу линейности задачи снятие с оправки равносильно приложению на внутреннем радиусе давления - р = стг (Ло). После снятия с оправки силовые напряжения представляются в виде суммы напряжений, возникающих в процессе намотки, и напряжений от воздействия давления стг (До) на внутреннем радиусе. На моментное напряжение щ снятие с оправки не влияет.

На графике ( рис. 4) представлены кривые, характеризующие окружное напряжение, возникающее в нити (1) и в проводе (2) и (3), рассчитанное по различным методикам, до снятия с оправки, а также окружное напряжение после снятия с оправки (4). -

а

Последняя четвертая глава посвящена неупругому поведению гото вой катушки - рассматривается процесс релаксации напряжений да вязко - упругого материала. Решение задачи о релаксации проводится ] рамках теории с начальными несовместными деформациями.

Система уравнений состоит из:

а) уравнения равновесия: га/ - о, - о,

б) уравнений совместности деформаций ( индекс "Vй соответствуе вязко-упругим деформациям):

гЕ;' +е; -е;-г®;=( ь, +ь2)£г-

(Г *;)'=0 (22)

в) определяющих соотношений .»

г) начальных условий (начальный момент времени 1=0 соответств} ет моменту снятия с оправки)

о г (г,0) эоД стф(г,0) = аф°, щ, (г,0) = ц<,°

д) граничных условий (после снятия с оправки внутренний и внешний диаметры катушки свободны):

СТгОМ)= СТг(Ко,0 = 0

Определяющие соотношения материала содержат производные напряжений и деформаций по времени. Переходя от функций к их изображениям по Лапласу 00

?(р)= ^«е-р'ск, (23)

о

приходим к алгебраическим линейным определяющим соотношениям для изображений.

В общем случае для вязкоупругого материала можно записать:

ёг' = М(р) ст, + Ы(р) ст,+ М1(р) стг° + Ь{|(р) ст,°

ё» = М(р) а9 + Ы(р) аг+ М1(р) ст9° + N1^) Стг°

ае» =0(Р)Ц, +<2.(р)Щ° (24)

В частности для стандартного вязко - упругого материала Пойтин-га - Томсона имеем (точка означает дифференцирование по времени):

2ц(т.ё¥ + еу) = Т„8 + 8, а= кеу, (25)

где а = (аг + стф)/2, е" н егУ + еф\

Здесь е* и § - девиаторы тензоров деформаций и напряжений, Т. и Т0 - константы времени ползучести и релаксации, ц - модуль сдвига.

В этом случае имеем

(26)

Аналогичные соотношения можно записать для моментного н; пряжения щ и деформации эг^

Уравнения равновесия и совместности деформаций также следуе переписать в изображениях по Лапласу. В результате получаем систем уравнений относительно аг, о, и ц, , решая которую находим изобрг

жения искомых величин. Далее, возвращаясь к оригиналам функции определяем зависимости ог(г,0, оф(гД) и ц^гД).

В результате выясняется, что напряжения убывают по эксш ненциальному закону. Скорость уменьшения силовых напряжени Стг(г,0 и аф(гД) характеризуется величинами ехр( - а!) и ехр(——)

2"П СГе ¿9+ агф) = Тц ц^ + щ

и

(27)

Т

с

1,1

где а

, а моментного щ>(г,0 - ехр(

и

На основе рассмотрения процесса релаксации отмечается, что релаксация не снимает полностью технологических напряжений, возникающих на стадии намотки.

В заключении отмечаются основные результаты работы:

1. Построена математическая модель намотки провода (в рамках теории стержней) с учетом изгибной жесткости наматываемого волокна.

2. Определены контактные нагрузки и реакции опор, предсказано поведение провода на свободном участке.

3. Решена двумерная моментаая осесимметричная задача теории упругости с учетом дисклинаций.

4. Определено напряженно-деформированное состояние катушки, обусловленное натяжением при намотке, с учетом изгибной жесткости и мо-ментных эффектов.

5. Рассмотрены процессы снятия с оправки и релаксации напряжений для вязко-упругого материала.

Основные результаты изложены в работах:

1. Бородина Е.В., Елисеев В.В. О моментных напряжениях в задаче о намотке композитов. - Труды СПбГТУ, 1994. N 448. с.146-150.

2. Бородина Е.В. , Елисеев В.В. Напряженное состояние катушек, изготовленных методом намотки. - 1 Междунар. конф. "Научно-технические проблемы прогнозирования надежности и долговечности металлоконструкций и методы их решения". - СПб., 1995.

3. Бородина Е.В., Елисеев В.В. Об учете изгибной жесткости и релаксации напряжений в задаче о намотке композитов. - Ленингр. гос. техн. ун* т.,СПб., 1993. - Деп. в ВИНИТИ.