Некоторые свойства многомерных поверхностей в эвклидовых пространствах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

' 'Л АКАДЕМИЯ НАУК СССР СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕН!® ИНСТИТУТ МАТШАТШСИ

На правах рухоплси УДЕС 513.73

БОДРЕЖО Ирина Ивановна

некоторые свойства

МНОГОМЕРНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ в шштдовьн. пространства: (01.01,04 - теокэтр'дя и топология),

Автореферат

диссертации на соискание ученой степезга' ка:1дидата физико-натеиатичестдх наук

}

Новосибирск - 1391

Работа Бшошюна зга ка£едра дасхрс. ной изтештаки Волгоградского государстайикого университета.

Яаучшй руководитель - доктор фпзжо-иатакатическах наук,

прсфаесор ВЛ'.вомешсо.

Официальные оппоненты: докгор физико-математических наук,

профессор В.А.Толоногов; кандидат физико-математических наук, доцент В.В.Славскяй. Ведущая организация - Московский государственный университет.

Защита состоится 11 " ¡.-¿.-/¿'А-Ч'__1991 года

в час. на заседания спецкги азированного сэаита

К 002,23.02 в Институте иатеиатаки СО АН СССР но адресу: 630090, г. Повоовбарен 80, Уливерситетошй проспект, 4.

С диссертацией ко иго ознакомиться в библиотеке Института :.щтеьаа:шш СО Ш СССР.

/' (У д

Аотореферат ргзосяа„ __*_25_ 11391 гсдз.

1ча1шА секроторь оае1щз.пазироз£11когэ остзетз и. ф.-ы. к.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

.:: Ак^альность_темьи Значительное место в геометрических

■ V; I

. исследованиях занимают вопросы, связаюше с внешней геометрией многомерных поверхностей. Отметим лыеь некогорке направления

изучение поверхностей с привлечением касательного и нормального расслоений и метрик на шг, аналогичных метрика»» Сасаки ( А.А.Борисенко н др.)»

исследование свойств поверхностей методом екйшких форм (¡0. Лумисто, М.Вяль.чс и др.);

классификация поверхностей в зависимости от их знешне-ге оме три ческа характеристик проводится также в работах Чена, Ли и др.

В реферируемой работе предлагается метод исследования п-мериых поверхностей г" в (п + р)-иердаи евклидовом пространстве е"+р с помощью кривых на поверхности» который заключается в следующем.- На поверхности г" рассматривается кривая г, вдоль которой строится специальный соировоадающий

репер Френе I т, т, ', ..., > и находится фор-

(1) С»)

мулы Френе. В процессе построения вводится ряд ксвкх инвариантов поверхности вдоль кривой:

^ -нормальное кручение * ы а , ^ » 1, , относительное кручение а , х' ■* 1, т , * а, ч, поверхности с 11 и у

г" с еп+р вдоль кривой г. Получекше характеристика используются в дальнейшем для описания классов многомерных поверхностей я: изученяя .их строения.

Например, если кривая г - моральное сечение поверхности рп с ьп+р в течке х по направлению I , то возникают такие характеристики, как нормальная кривизна к с х, о, нормальное кручение сх, о, второе нормальное кручение * И г г и ПеРБЫ0 Д85 ИЭ НН2, у И р к * к Сх, 1>, вводилась другими способами , в случае двумерных поверхностей и поверхностей коразмерности два. Остальные характеристики ранее не рассматривались.

Л>эботн_и_ее_на2Чная_новизна. В реферируемой работе развит новый метод исследования многомерных поверхностей." "

1. • Построен саевдалышй. репер Фроне и найдены формулы Френе для кривой г порядка и + ч на поверхности к" с е"+р.

2. Определены новые внешшгеометриче скиэ характеристики поверхности' вдоль кривой г : с- -нормальное кручение

* н, о г ' ^ * 4-1 » относительное кручение а о ,

• и>

1 = 1 у гл j о « 1,

3. Получены формулы для вычисления введенных инвариантов .

4. Сформулированы и доказана теорейы, классифищрующе поверхности кп с еп+р с нулевым нормальный кручением;, несущие сопряженную координатную сеть.

5. Найдено достаточное условие представления во$?огносги к" с еп+р в виде ргманова произведения гиперпове^аовдздей, евклидовьк пространств.

• 6. Определен и изучен масс В-поверхлост&ф.,

7. Классифицированы повергдести г2 с нул^вым^геодоза-чесмш кручением в е2+р.

«ч.

Приложения. Работа носит теоратичзйзй-характер. Ее-

зультаты диссертации являются новшя1 и могут бить применены к исследованию классов ^огомерш-гх поверхностей, выделяемых ограничениям! на вкешегеомотричсские характеристики, введенные в работе,

Методика_исслэ5сг нпч. В работе лспользутатся традиционнее мэтоды геометрии. В частности, суиэстшзшу.® роль играпт исследования систем уравнений Гаусса-ГТйтерсона~(Содацпп-Рич~чи.

Апробация работы. Результаты диссертации докладцвались н обсукдались на итоговых научтах коъфареивдях Волгоградского госукивэрснтета (1988 - 1950), на науткнх семинарах в Харьковском и Ковосибнрскои госукяверечтетах, на Всвсош-лоЗ мдфзренции по теометркв и анализу п г. Новосг^прякс (1985), на Всесоюзном совещании иолодах ученых по дкФЗзрзн-циальной геометрии, посвящоинои йО-тк летаа Н.В.БЯлмогв (1990).

• 0снов1Шй результаты диссертация опубликованы в пята работах, список которых находится в конце автореферата.

Сзукт^е§_и_объем_р§Сс_та, Диссертация содержат 82 стрэ-шхш машинописного текста, состоит из введения, четпрех глав и списка цатпрованой литература в 16 иаякеновашй.

Главы имеют следующие названия Гл. I. Формула Фраке для кривой на поверхности. Гл. 2. Поверхности р" в еп+р с нуле сын норизлышм крученном,

песущае сопряженную кординятнув сеть. Гл. 3. Строение поверхностей г" в е"+р> с сопряженной координатной сетью без кручения.

Гл. 4. Использование шшарпантов « h¡ & r а А о г

U)

дая ышпытп других классов поверхностей.

СОДЕРЖАНИЕ РАЗЙТЫ Во выедания даемся обзор основного содержания ДЕйсерто-

зцви.

Цзлья первой главы является яодучзшш ж>вш£ вназдагзо-шцглчесып лараютрястак ч-изрноИ созсрхноста вдоль кртой.

В ? IЛ приводятся необходавю сведший из теораи шюго-иеркшг поверхностей в евккйдоЕах простракстааж.

Б 5 1.2 строятся м ■» ч егзкльчшх, взавшо оргогональ-яых векториах полей в окрестности точка '* « вдоль кривой г на f" с сп+р . Первые m вз них - т ,..., т

(i) <■)

касательные к г" , другие ч - ,.».. { - норивль-

ккз к еп , Для их построения рассийтриваюгся две ыаксдаальные линейно неоавасемве сжтеиц вектсршх полей в окрвстноста точки х вдоль крявой г ••

* 'г, vtr..... V^0"1 Т, с i i

и

г , D T?, .. . , D т4-1 К, С35

где v - яонэригятюе даффарезщарованзе в , т - единичное касйтьдьше векторное поле вдоль кривой ?-, в - ¡квяраактной

доФХ^резшярование в нормальной связкосга f" с е"+р ,

< - ь ст, tí /■ иь ст, ш, ь - вторая фундаментальная форма поверхности.

В качестве т борется векторное поло т , и Ki < Р >

Векторное поле т ( кк , соответственно) выбираем в линейном ОО

подпространстве, натянутой н» первые к вектLpituz полей сис-теш <и ( сй! , соответственно), ортогонально подпространству, натянутому }ia первые о; - i > векторное поле систеш чэ (с2> , соответственно>»

Таким образои, получены спедаалыше формулы Френв дал кривой г порядка т * ч m поверхности гп с еп+р :

VT т ■ * т + ь с т, тэ,

(1> (8) (1) (1) r т - • т 4 к 1 ■<• b с т , тэ,

(г) (!) "(з) (1) (3)

Т •> - t b ( Т, Т5,

I w-I

(«) (»-О (1) (■)

- т « « M,j «3 •

%*гт ' V т ' V

V_ Ç Я - А, Т - « . i •

' '( i'I M, ч-t q

В Î 1.3 mmimi геометрический сиысл шшариыггоз, yaoï вукяда в описании классои поверхностей.

В § 1.4 иайдеш {»рмуян дач вычисления » -нор»».чышг;> кручения « Н о у , <г «. .

Параграф 1.5 поспит а изучении иторого нормального крученая н f, а поверхности вдоль кряиой.

г

В параграфе 1.6 находится фо-лгуяа д.лл вычисления гсоде-ааческого кручения поверхности в точке по заданному ноправ-

л51шю.

Во второй главе изучаются п -мерлыа поверхности ь" класса cs в с"''' , пвсувде сопряженную координатную сеть и удовльтворввцио условию

Ь „ Сх, О * О, * „, Сх, О =» О , V х <s Fn„ V t <~ Т Fn. С33 N i! X

Доказательства теореы 2.1 и 2.2 составляют основное содержание глабы 2.

Теорба 2.1. Пусть-поверхность f" б еп+р класса с3 лэсет е сЕфэсэдгооте какдой точки сопряавниую координатор) сать, удсвкетаорает усяэаца сзз и ненриподама. ¿огда f" <= En+1 с Еп+Р.

Теории 2.2. Пусть погерхиость f" в еп4р класса с3 несет в окрестности какдой точке соаряиекную координатную сеть, удовлетворяет условно сз> в не ловит в е"*1 . Тогда г" распадается im ржановс произведение l сфер

_n ...k, ,>r „n-iL ,-л+Р , . . -

1 L '

skJ c: ekj "5 J « г, I, , L » 2, min trj, p>.

В третьей главе эводнтся следуквде понятие специальной ксорданатзюй сстп без кручения. Координатная сеть с > " r.a fn называется коордатнатной сетью баз кручения, если нор-цальное кручение повераности f" о еп+р по направления х., , 1 » 1, п, касательному к координатной лшпш и точке х , равно нули для v х с f™ . .

. в

Координатная сеть ( ^ > " мя г-" называется специальной, если ковариантняя производная в нормальной связности г" в еп+р от нормального векторного поля ь с х1, ххэ, взятая з направления ^ а касательной к в точке ■1 '' Jf - 1, п, коллннеарна ь с х^ для V х е гп.

ь - вторая фундаментальная форма к" в еп+р .

Обозначим через р-с множество поверхностей гп в е"*р масса с3 , посудах в окрестности каэдой точки специальную сопрязмнную координатную сеть Сез кручения. В § 3.1 доказана следующие леммы!

Леша 3.1. Поверхности аз множества я. имеют плсскуп нормальную связность.

Лета 3.2. На поверхностях пз множества в о:сре отнести калдой точил существует оснащение Родрпга 4 > ^

для которого вторые квадратичные форги поверхности икают вид: П с ь э - й ь с х , х > с1и аи ,

Ь С X , ХА > * О, 1 в 1, п ,

П С л > в Г а? ь1 С X., X, 5 di/du1,

СУ ^ X XI

г» const, lai, ПдС^яс., р.

3 параграфе 3.S /гсжэсако достзтсчяоа услсвпе прэдставлэ-1шя Fn с ег'*~' н в*«?« р-санеза проязведеная гиперповерхностей озшшдсеи. зрссгрвккз.

Teopewa 3.1, fîrcrn повегютостг» Fn э е"+р класса с3 trace? з oKpscîMocra jaaaot специальную сопрягэшгуп ко-ордшштнуг сеть без кручззтя. Тогда f" представила в виде ргаианова произведения l гиперповерхностей

>. с ь 5 Е" + . . . + V.

1 )г 4 1 -------

1 .) - Г J , J » 1, п, Ь » 1, пи.1 <п, р>

В четвертой глзте изучаются классы поверхностей с поио-

щью шшгзриаэтов " н сг ¡' А г • которые появляются,

С1>

рс.та в качества кривой рассмотреть геодезическую на поверхности г" , проходящую через точку * .= г Г| в направлении I « т гг\

А Л ,

Обозначим >-'с.о через т , * - натуральный параметр г .

Поверхность класса с"1 в к"+р назовем В-поверж:э-сть», сый нормальное ьокторное голе

пгс ь ст, т> / ст, тли пдраллзлысо в нормальной связности вдоль любой геодезической

'а

Тыорема 4.1. Иа В-поверхностях и только на лих вдоль

любой геодезической > выполняются соотношения; - м. а '

гс,д з > * м. 1 г " с*

С 1 > .} Г]

с - 1 окд , Зошисадьл. вообще говори, от геодезической / ,

V ит С Л ■> » л „ (. - ^ , )'' .

(л С1 } а О) 1 Н'1

' <3 С 1 ) -Г} • Ч

Во в-сорок 1гг.р.>гр«5л гдаь-;* <! мгуипг.-л /¿'ууьр::!^ аоиерх-пост« с )пглгв1,:м г-еоддаичьемш круче««;»? « » Ксениям.

что геодезический кручением поверхности г" с еп+р в точке к по направлению ь называется кручение к с*, 15 геодвлической гд в точке х как кривой в сп+р .

Теорема 4.2. На сфере й2 с е3 ^ (или ее части)

! на откритой части поверхности Веронезе v2 с е3 с е2+р , и только не них выполняется условие

к Сх, 15 ;< О, * Сх, О » О, V х е Р2, V б Т Г2.

О *

д9 к с«, и - кривизна геодезической г-д как кривой в е2+р.

В заключение автор выражает глубокую благодарность рофессору В.Т.Фоменко за постановку аьдачи и научное руко-

ЗДСТЕО.

ПуСлнкации по теме диссертации:

1. Бодренко И.И. О двумерны:! к -поверхностях в четы-хиериса евклидовом пространстве //Рукопись деп. в ЕИВСТИ .11.87, 8299 - В 87.

2. Бодрезжо И.И. Формулы Фраке поверхностной полосы из Я е" //рукопись деп. в ВШОЙ 27.07.88 , 6086 - В 83.

3„ Бодренко И.И. О нормальной верченш п-иерной поверх-;ти в Ет //Рукопись дез. в ВйЕКТй 03.02.83, 744 - В 89.

4. Бодренко ИЛ?.. П«зряш>ста г7" в еп+р с кулевым шальным-згручонпеи, кесуняз аопряненнул координатную еэть укопись деп, в ВШйТПС 13.01.90 , 353 - В 90.

5. Бодрэнко ЯЛ. 0 поверхностях, нееувдх сооряяенную рданзтнуэ !,-еть Саз кручения //Тезисы докладов Всесоюзного эщошя иолодах учеззше по дафференилальяоа гоог.ютрзь, зященного 80-летию Я. ВгЕфимова (29 сент.- 5 окт.1990 г.)