Некоторые вопросы векторного интегрирования и операторной двойственности тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ОБЕРАТОРНО СОПРЯЖЕННОЕ ПРОСТРАНСТВО К

ПРОСТРАНСТВУ ИНТЕГРИРУЕШХ ВЕКТОР-ФУНКЦИЙ II

§ I. Пространство интегрируемых векторных функций.

§ 2. Свойства векторного интеграла

§ 3. Операторно сопряженное пространство к

§ 4. Теорема Радона-Никодима

ГЛАВА П. ДИСПЕРСНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЭКСТЕНСИОНАЛЬНОЙ МЕРЕ.

§ I. Представление ограниченных операторов дисперсными интегралами.

Теория упорядоченных векторных пространств была создана в середине 30-х годов математиками ленинградской школы во главе с Л.В.Канторовичем. Характерной чертой развития этого направления являются тесные и плодотворные связи с другими разделами анализа. Наличие естественных порядков в классических объектах анализа привело к активному взаимодействию теории упорядоченных векторных пространств с различными разделами математики. В результате появились новые теоретические конструкции и многочисленные приложения к теории операторов, выпуклому анализу, теории экстремальных задач и т.д. Соответствующие обзоры имеются в работах [2,6,8,9,25,27,28, 49,54,58,59,62-64,66,67] .

Одной из классических, традиционных задач функционального анализа является задача отыскания общего вида различных классов линейных операторов и функционалов, причем для последних ее решение в классических пространствах есть интегральное представление в той или иной форме. Для аналитического представления линейных операторов "скалярных" интегралов в цринципе недостаточно. Еще в тридцатых годах появились векторные конструкции интеграла в банаховых пространствах в работах Бохнера [71] , Данфорда [75] , Петтиса [89,9б] и др. В настоящее время банахова теория векторного интегрирования достаточно развита и хорошо освещена в монографической литературе [20,70,72,74,91] . Задачи аналитического представления линейных операторов и векторного интегрирования занимают важное место и в теории упорядоченных векторных пространств. В последние годы появилось большое число работ, посвященных этим вопросам. Отметим лишь те из них, которые идейно наиболее близки данной работе [3-7,12,35-37,42,65, 83,84,93-98] . Основные обзоры даны в [9,27,85] . Одновременно появились такие объекты упорядоченного анализа, которые не поддаются описанию в рамках банаховой теории двойственности, и в то же время для них имеет место естественная операторная двойственность.

Б начале семидесятых годов Г.П.Акиловым была высказана идея построения теории векторной двойственности на основе пространств Канторовича. Варианты векторной двойственности уже возникали неявно при решении различных аналитических задач [3,59,85] . Одним из первых объектов векторной двойственности были пространства с разложимой векторной нормой, введенные Л.В.Канторовичем в 1939 г. [781 » (см. также 26 ) Он же изучал вопрос разрешимости операторных уравнений в таких пространствах. В последние годы стимулом для развития аппарата векторной двойственности явились попытки распространить на случай многоцелевых экстремальных задач методов линейного и выпуклого программирования. Аналитические средства для такой теории возникли, в частности, с изучением сублинейных операторов и операторно выпуклых множеств. Важную роль здесь сыграли работы В.Л.Левина [59-62] , А.Г.Кус-раева 32-35, 41-43] , С.С.Кутателадзе [52-56] и А.М.Рубино-ва .[66,- 67] и др. (см. также [45-50, 58] . Общая теория двойственности пространств Банаха-Канторовича сформировалась в работах А.Г.Кусраева [34-37, 42] . Стоит отметить широкое использование метода булевозначных моделей [24] в большинстве перечисленных работ. На возможность применения этого метода в упорядоченном анализе (впервые) явно указал Е.И.Гордон в работе [18"] , где установлена связь между расширенными К-пространствами и вещественными числами в буле-возначных моделях теории множеств. В дальнейшем булевознач-ные модели били положены в основу нового реализационного метода в функциональном анализе [19, 36-38, 57, 88, 92] . Б частности, в [36, 37] получены булевозначные реализации различных объектов векторной двойственности. Указанным методом решены проблемы внутренней характеризации и описания экстремальной структуры опорных множеств [48, 49] .

Настоящая работа посвящена изучению некоторых оператор-но двойственных пар, связанных с векторным интегрированием. При этом одним из основных вопросов является описание опера-торно двойственного пространства. Следует отметить, что такое описание приводит к результатам об аналитическом представлении линейных операторов. Переходя к краткому обзору содержания работы, приведем прежде всего необходимые определения.

Действительное векторное пространство £ называется векторной решеткой, если Е является частично упорядоченным множеством, в котором для любых двух элементов лл у е Е существует их суцремум Л VII ж инфимум хлу , причем линейные операторы и порядок согласованы:

1) для всех Е из Х^ ^ следует ц+г.

2) если и число >0 , то .

Векторная решетка Е называется К -пространством, если любое ограниченное сверху множество в Е имеет супремум.

Отображение р: X —* £+ , где Х-векторное пространство, а Е - & -пространство, называется векторной нормой, если оно обладает свойствами, аналогичными свойствам скалярной нормы, т.е,. для любых X, у еХ

1) р(Х) = О тогда и только тогда, когда х = О

2) pCdX) ~\ск \pCxJ для о<е IR

3) рСя+д) < p(xj + р($)

Если векторная норма р удовлетворяет условию

4) если р(Х-) « Qi + й^ для некоторых jeé X * > Qze Е , то существуют такие сс^е-Х , что = х и p(Xi)= ас (¿~41). то она называется разложимой.

Если для векторной нормы р выполняется условие

5) из |х [(j| следует р(х) £ то будем называть ее монотонной.

Векторная решетка (векторное пространство) X , наделенное разложимой монотонной нормой р , принимающей значения в некотором К -пространстве, называется К -нормированной решеткой ( К -нормированным цространством).

Пусть F - фундамент К. -пространства Е . Оператор F—> Е называется ортоморфизмом, если он допускает мультипликативное представление: х—* (хеЕ) где у 6 тЬ - максимальное расширение К -пространства Е . Для всякого ортоморфизма Ht существует наибольший фундамент 2)^ (%) , на который он продолжается. Если JT = , то

Множество всех ортоморфизмов обозначается Oit к °° С Е ) ;

ОгО. (Е) = {X е ОМГСЕ) • Юл « Е }

Всякий ортоморфизм является порядков о непрерывным оператором ( [77] ).

Введем понятие ограниченного оператора в К -нормированных пространствах.

Пусть (Л, р), (У; - К-нормированные пространства посредством К -пространства £ . Линейный оператор

X У называется ограниченным, если существует такой ортоморфизм €€ (МЯ (Е) . что С ер(х)

Среди таких ортоморфизмов существует наименьший [50*1 , который обозначим 1(11) . Пусть (X, V) - множество всех ограниченных операторов из X в У . Это тоже К, -нормированное пространство с нормой 7- , причем г% м, у) . ш сх; у; выполняется нормативное неравенство: с^(Ых) £ г(и)р(х) .

Оператор Ц называют изометрией, если их) = р(х).

Если X - некоторое К -пространство, |х( - модуль элемент то пара (X, !• есть Ц -нормированная решетка, в которой само Л является нормирующим пространством.

Пусть X -нормированное пространство посредством Ц -пространстваН, Пространство х* = ¿г (х,е) называется операторно сопряженным ( р -сопряженным) к пространству (Х} р) .

Работа состоит из введения и двух глав. В первой главе вводится понятие интегрируемой векторной функции, заданной на измеримом пространстве (Т, с б" -конечной мерой ри принимающей значения в ¡1 -пространстве. Определяется векторный интеграл. Приведенная конструкция интеграла не предполагает ни наличия нормы в К- -пространстве образов, ни так называемой регулярности [II] (свойства диагональнойипо-следовательности) и может быть реализована для любого К. -пространства. С векторным интегралом естестввнным образом связывается К -нормированная решетка интегрируемых векторных функций. В работе описано операторно сопряженное пространство к ней в случае, когда она обладает свойством порядковой полноты. В этой главе доказан также аналог теоремы Радона-Никодима для векторных мер, при некоторых дополнительных предположениях относительно базы К -пространства образов.

Во второй главе изучается пространство ограниченных функций 1°° (01, £ ) со значениями в Ц -пространстве Е и определенных на некотором множестве 01 , на котором не предполагается никакой измеримой структуры. Изучение таких пространств связано с задачей описания опорного множества сублинейного оператора. Пространство 1°° (тоже оказывается И -нормированной решеткой, если в качестве векторной нормы взять поточечный супремум модуля функции. Здесь необходимо дать некоторые определения.

Цусть Ю - некоторый фиксированный фундамент в т£ -максимальном расширении К -пространства Е ( [I, II, 26 Если множество

Е* = {уемЕ, уЕ ] тоже является фундаментом, то будем называть его сопряженным к К -пространству Е относительно Ю . Если &~тЕ, то будем пользоваться термином "сопряженный фундамент".

Цусть с$ - полная булева алгебра проекторов К. -пространства 5 ([I, II, 26] ). Обозначим

К —> }

Гул тогда е5 - тоже полная булева алгебра с поточечными операциями. Экстенсиональной мерой на &01 назовем функцию 11'. —ъ Е со свойствами

1. Если , Я01 , , то

2. ¡¿Свж) для всех & «

В работе описано операторно сопряженное пространство к /С -нормированной решетке £°о(013 У) . Оказывается, оно изоморфно пространству всех экстенсиональных мер. Приведены приложения полученных результатов к задачам теории субдифференциалов, в частности, получена теорема об интегральном представлении элементов субдифференциала канонического оператора.

Результаты работы докладывались в Новосибирском государственном университете, Институте математики 00 АН СССР, на 17 и 7П Школах по теории операторов в функциональных пространствах в Минске в 1978 г. и 1982 г., на научно-технической конференции Читинского политехнического института. Основные результаты работы опубликованы в [13-17] .

1. Акилов Г.П., Кутателадзе С.С. Упорядоченные векторные пространства. - Новосибирск: Наука, 1978. - 368 с.

2. Акилов Г.П., Кутателадзе С.С. Некоторые задачи теории упорядоченных векторных пространств. В кн.: Теория операторов в функциональных пространствах. - Новосибирск, 1977, с.6-19.

3. Бухвалов A.B. Пространства вектор-функций и тензорные произведения. Сиб. мат. журн., 1972, т. 13, №6, с.1229-1238.

4. Бухвалов A.B. Интегральные операторы и представление вполне линейных функционалов на пространствах со смешанной нормой. Сиб. мат. журн., 1975, т.16, № 3, с.483-493.

5. Бухвалов A.B. О двойственности функторов, порождаемых пространствами вектор-функций. Изв. АН СССР. Сер.мат., 1975, т.39, Jjs 6, с.1285-1309.

6. Бухвалов A.B. Приложения теории порядково ограниченных операторов к теории операторов в пространствах- Успехи матем. наук, 1983, т.38, №6, с.37-83.

7. Бухвалов A.B. Критерий интегральной представимости линейных операторов. Функц. анализ, 1975, 9:1, с.51.

8. Бухвалов A.B., Векслер А.И., Гейлер В.А. Нормированные решетки. В кн.: Математический анализ. М.: изд. ВИНИТИ, 1980, т.18, с.125-154.

9. Бухвалов A.B., Векслер А.И., Лозановский Г.Я. Банаховы решетки некоторые банаховы аспекты теории. - Успехи матем. наук, 1979, т.34, № 2, с.137-183.Ю. Владимиров Д.А. Булевы алгебры. М.: Наука, 1969.- 320 с.

10. Вулих Б.З. Введение в теорию полуупорядоченных пространств. М.: Физматгиз, 1961. - 407 с.

11. Вулих Б.З., Лозановский Г.Я. 0 представлении вполне линейных и регулярных функционалов в полуупоряцоченных пространствах. Мат. сб., 1971, т.84, Л 3, с.331-352.

12. Глазырина И.П. Об интегрировании функций со значениями в регулярном К. -пространстве. Новосибирск,Б.и., 1977. 14 с. - (Препринт/ИМ СО АН СССР).

13. Глазырина И.П. 0 теореме Радона-Никодима для мер со значениями в регулярном /¿-пространстве. Школа по теории операторов в функциональных пространствах. - Тез. докл. Минск, 1978, с.36-37.

14. Глазырина И.П. Об одном порядковом аналоге теоремы Радона-Никодима. Деп. ВИНИТИ № 1601-81 Деп. - 9 с.

15. Глазырина И.П. Одна теорема об интегрировании в векторных решетках. УП Школа по теории операторов в функциональных пространствах. - Тез. докл. Минск, 1982,с.

16. Глазырина И.П. Об интегральном представлении элементов субдиффэренциала. УШ Школа по теории операторов в функциональных пространствах. - Тез. докл. Рига, 1983,с.55-56.

17. Гордон Е.И. Вещественные числа в булевозначных моделях теории множеств и К. -пространства. Докл. АН СССР, 1977, т.237, № 4, с.773-775.

18. Гордон Е.И. К -пространства в булевозначных моделях: теории множеств. Докл. АН СССР, 1981, т.258, № 4,с.777-780.

19. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория. М.: Изд-во иностр. лит., 1962, 895 с.

20. Дистель Дж. Геометрия банаховых пространств. Киев: Вища школа, 1980, 45 с.

21. Иоффе А.Д., Тихомеров В.М. Двойственность выпуклых функций. Успехи матем. наук, 1968, т.23, № 6, с.51-116.

22. Иоффэ А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974, 479 с.

23. Йех Т. Теория множеств и метод форсинга. М.: Мир, 1973, 150 с.

24. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977, 742 с.

25. Канторович Л.В., Вулих Б.З., Пинскер А.Г. Функциональный анализ в полуупордцоченных пространствах. М.-Л.: Гостехиздат, 1950. - 548 с.

26. Келли Дж. Общая топология. М.: Мир, 1968.- 384 с.

27. Коротков В.Б. Интегральные операторы. Новосибирск: Наука, 1983. - 224 с.

28. Коэн П. Теория множеств и континуум-гипотеза. -М.: Мир, 1973. 348 с.

29. Красносельский М.А., Забрейко П.П., Пустыльник Е.И Соболевский П.Е. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. М.: Наука, 1966. - 317 с.

30. Крейн М.Г. 0 минимальном разложении функционала на положительные составляющие. Докл. АН СССР, 1940, т.28, № I, с.18-21.

31. Кусраев А.Г. Некоторые применения несплющенности в выпуклом анализе. Сиб. мат. журн., 1981, т.22, № 6, с.102-125.

32. Кусраев А.Г. 0 субдифференциале композиции множеств и функций. Сиб. мат. журн., 1982, т.23, № 2, с.116-127.

33. Кусраев А.Г. Теоремы об открытом отображении и замкнутом графике для выпуклых соответствий. Докл. АН СССР, 1982, т.265, й 3, с,526-529.

34. Кусраев А.Г. Общие формулы дезинтегрирования.- Докл. АН СССР, 1982, т.265, № 6, с.1312-1316.

35. Кусраев А.Г. Булевозначный анализ двойственности расширенных модулей. Докл. АН СССР, 1982, т.267, $ 5,с.1049-1052.

36. Кусраев А.Г. Некоторые применения теории булевозначных моделей в функциональном анализе. Новосибирск,1982, 42 с. (Препринт № 5/Ин-т математики СО АН СССР).

37. Кусраев А.Г. 0 некоторых категориях и функторах булевозначного анализа. Докл. АН СССР, 1983, т.271, № I, с.281-284.

38. Кусраев А.Г. Об открытости выпуклых измеримых соответствий. Мат. заметки, 1983, т.33, № I, с.41-48.

39. Кусраев А.Г. О дискретном принципе максимума.- Мат. заметки, 1983, т.34, № 2, с.267-272.

40. Кусраев А.Г. Об одном классе выпуклых соответствий. Оптимизадия/йн-т математики СО АН СССР, Новосибирск,1983, вып.32, с.20-33.

41. Кусраев А.Г. Пордцково непрерывные функционалы в булевозначных моделях теории множеств. Сиб. мат. журн.,1984, т.25, № I, с.69-79.

42. Кусраев А.Г. О субдифференциале суммы. Сиб. мат. журн., 1984, т.25, № 4, с.107-110.

43. Кусраев А.Г. Абстрактное дезинтегрирование в пространствах Канторовича. Сиб. мат. жур., 1984, т.25, № 5, с.79-89.

44. Кусраев А-.Г., Кутателадзе.С.С. Свертка Рокафеллара и характеристика оптимальных траекторий. Докл. АН СССР, 1980, т.290, № 2, с.280-283.

45. Кусраев А.Г., Кутателдазе С.С. Выпуклые операторы в псевдотопологических векторных пространствах. Оптими-зация/Ин-т математики СО АН СССР, Новосибирск, 1983, вып. 25, с.5-41.

46. Кусраев А.Г., Кутателадзе С.С. Локальный выпуклый анализ. В кн.: Современные проблемы математики, т.19, М.: ВИНИТИ, 1982, с.155-206.

47. Кусраев А.Г., Кутателадзе С.С. Анализ субдифференциалов с помощью булевозначных моделей. Докл. АН СССР,1982, т.265, № 5, с.1061-1064.

48. Кусраев А.Г., Кутателадзе С.С. Субдифференциалы в булевозначных моделях теории множеств. Сиб. мат. журн.,1983,",т.24, № 5, с. 109-132.

49. Кусраев А.Г., Кутателадзе С.С. Субдифференциалыгое исчисление. Новосибирск: изд. Новосибирского ун-та, 1983, 72 с.

50. Кусраев А.Г., Стрижевский В.З. Решеточно-нормиро-ванные пространства и классы непрерывных вектор-функций. Оптимизация, 1984, вып. 34(51), с.24-36.

51. Кутателадзе С.С. Опорные множества сублинейных операторов. Докл. АН СССР, 1976, т.230, № 5, с.1029-1032.

52. Кутателадзе С.С. Выпуклое -программирование. Докл. АН СССР, 1979, т.245, А* 5, с.1048-1050.

53. Кутателадзе С.С. Выпуклые операторы. Успехи ма-темат. наук, 1979, т.34, № I, с.167-196.

54. Кутателадзе С.С. Теорема Крейна-Мильмана и ее обращение. Сиб. мат. журн., 1980, № I, с.130-138.

55. Кутателадзе С.С.0 выпуклом анализев модулях.- Сиб. мат. журн., 1981, т.22, № 4, с.118-128.

56. Кутателадзе С.С. Спуски и подъемы. Докл. АН СССР, 1983, т.272, № 3, с.521-524.

57. Кутателадзе С.С., рубинов A.M. Двойственность Мин-ковского и ее приложения. Новосибирск: Наука, 1976. 254 с.

58. Левин Б.Л. Тензорные произведения и функторы в категориях банаховых пространств, определяемые -линеалами. Тр. Моск. матем. общества, 1969, т.20, с.43-81.

59. Левин В.Л. О двух классах линейных отображений, действующих между банаховыми пространствами и банаховыми решетками. Сиб. мат. журн., 1969, т.10, № 4, с.903-909.

60. Левин В.Л. Субдифференциалы выпуклых отображений и сложных функций. Сиб. мат. журн., 1972, т. 13, JS 6, с.1295-1303.

61. Левин В.Л. Выпуклые интегральные функционалы и теория лифтинга. Успехи мат. наук, 1975, т.30, № 2,с.115-178.

62. Макаров В.Л., Рубинов A.M. Математическая теория экономической динамики и равновесия. М., Наука, 1973, 335 с.

63. Пич А. Операторные идеалы. М.: Мир, 1982, 536 с.

64. О.Рейнов. Операторы типа и аналитические представления линейных операторов. В кн.: Теория операторов в функциональных пространствах. - Новосибирск, 1977,с.

65. Рубинов A.M. Сублинейные операторы и операторно-выпуклые множества. Сиб. мат. журн., 1976, т.17, № 2,с.372-380. ;

66. Рубинов A.M. Сублинейные операторы и их примене- :ние. Успехи матем. наук, 1977, т.32, № 4, с.ПЗ-174.

67. Сикорский Р. Булевы алгебры. М.: Мир, 1969,376 с.

68. Халмош П. Теория меры. М.: Изд-во иностр.лит., 1953, 291 с.

69. S BnULoUiÙ 2J>. femuieJl Sp&CU of- ZOkdiHuMltlrUyiLtAiöiti. \л)алл€ш-&: Po-ùzh- h'-fic РиЛё<&4ильл9Z. G-. Voll Л/гшгссыиь аЛср^ш* andV-aAad cútalas. — 0. McM. Japan, tt3S~jffo l, 1-ЛЯ,