О геометрии наилучших диофантовых приближений и относительных минимумов решеток тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи УДК 511.361+511.9+512.64

ГЕРМАН Олег Николаевич

О ГЕОМЕТРИИ НАИЛУЧШИХ ДИОФАНТОВЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ И ОТНОСИТЕЛЬНЫХ МИНИМУМОВ

РЕШЕТОК

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2005

Работа выполнена на кафедре теории чисел механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук Н.Г. Мощевитин

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор С.С. Рышков, доктор физико-математических наук, профессор Н.М. Добровольский

Ведущая организация:

Хабаровское отделение

Института прикладной математики

ДВОРАН

Защита диссертации состоится 18 февраля 2005 г. в 16 часов 15 минут на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, ауд. 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 18 января 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.84 в МГУ, профессор

В. Н. Чубариков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Настоящая диссертация посвящена исследованию двух классических многомерных обобщений понятия наилучших приближений действительного числа рациональными наилучших приближений линейных форм и полиэдров Клейна

Постановки задач, связанных с этими объектами, восходят к Г Минковскому, Г Ф Вороному, Ф Клейну, К Якоби, и другим классикам Ими занимались такие известные математики, как А Я Хинчин, К А Роджерс, В И Арнольд, А Д Брюно, М Л Концевич, Дж Касселс Г Суиннертон-Даер

Исследованию многомерных обобщений понятий цепной дроби и наилучшего приближения числа посвящено множество работ, как в России, так и за рубежом Классическим и новым результатам, связанным с этими вопросами, а также их приложениям уделено внимание в монографиях Дж Касселса1, М Грубера и К Г Леккеркеркера2, П Эрдеша, М Грубера и Дж Хаммера3, Ж Лашо4 и других

Наилучшие совместные приближения и наилучшие приближения линейных форм тесно связаны, по сути являясь двойственными объектами Это отражается, например, в различных теоремах переноса5 В настоящей диссертации получен ряд новых фактов о наилучших приближениях линейных форм, аналогичных известным утверждениям о наилучших совместных приближениях, полученным К А Роджерсом6, Н Г Мощевитиным7

КасселсДж В С Введение в геометрию чисел // Москва, "Мир", 1965 Кас-селсДж В С Введение в теорию Диофантовых приближений // Москва изд-во иностр лит ,1961

2GruberM, Lekkerkerker С G Geometry of Numbers // Amsterdam, 1987 3ErdosP, GruberM, Hammer J Lattice Points Pitman Monographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics, 39 Longman Scientific & Technical, Harlow, copubhshed in the US with John Wiley & Sons, Inc , NY, 1989

ALachaudG Voiles et Polyedres de Klein, 1, 2 Preprints No 95-22, Laboratoire de Mathematiques Discretes, С N R S , Marseille Lummy, 1995

5См Касселс ДОК В С Введение в теорию Диофантовых приближений // Москва, изд6-во иностр лит ,1961

Rogers С A The asymptotic directions of n linear forms in n + 1 integral variables / Proc London Math Soc Ser 2 1951 Vol 52 p 161-185, Rogers С A The signatures of the errors of simultaneous Diophantine approximations//Proc London Math Soc Ser 2 1951 Vol 52 p 186-190

Мощевитпин Н Г Наилучшие совместные приближения нормы, сигнатуры и асимптотические направления // Матем заметки 2000 Т 67 Вып 5 с 730-737

В Т Сош и Г Секерешем8

В диссертации также исследуется одно из классических многомерных обобщений цепных дробей так называемые полиэдры Клейна Теория полиэдров Клейна берет начало в работе9, опубликованной еще в конце 19-го века, однако, первые содержательные многомерные результаты были получены почти столетие спустя В И Арнольдом10 X Цушихаши11, Ж Лашо12, Е Коркиной13, А Д Брюнои В И Парусниковым14 и посвящены полиэдрам Клейна, соответствующим алгебраическим решеткам Отметим также недавнюю работу М Л Концевича и ЮМ Сухова15, в которой получен ряд статистических результатов о полиэдрах Клейна В настоящей диссертации мы уточняем результат Ж -О Муссафира16, а также доказываем многомерный аналог теоремы о плохо приближаемых числах, позволяющий переформулировать гипотезу Оппенгейма в терминах свойств полиэдров Клейна

Научная новизна работы.

Основные результаты полученные в диссертации являются новыми и состоят в следующем

Доказано существование для любого асимптотически допустимого множества Q на сфере такого континуального набора линейных форм, что для любой формы из этого набора множество всех асимптотических на правлений для односторонних наилучших приближений этой формы сов-

sSos V T,SzekeresG Rational approximation vectors // Acta Anth 1988 Vol 49 No 3 p255 261

9 Klein F Uber eine geometrische Auffassung der gewohnhchen Kettenbruchentwichlung // Nachr Ges Wiss Gottmgen, 3, p 357-359, 1895

mArnold VIA. graded algebras and continued fractions // Comm on Pure and Appl Math , 1989, v 42, p 993-1000, Arnold VI Higher dimensional continued fractions // Regular and Chaotic Dynamics, v 3, № 3, 1998

11 TsuchihashiH Higher dimensional analogues of periodic continued fractions and cusp singularities // Tohoku Math Journal, 35, 1983, p 607-639

12Lachaud G Sails and Klein Polyhedra Contemporary Mathematics, Volume 210, 1998, p 373 385, LachaudG Voiles et Poljedres de Klein, 1, 2 Preprints No 95 22, Laboratoire de Mathematiques Discretes, C N R S , Marseille-Lummy, 1995

13КогкгпаЕ Classification of A graded algebra*, with 3 generators Indag Mathem NS, 3 (1), 1992, p 27-40 KorkmaE La penodecite des fractions continues multidimensionnelles С R Acad Sci Paris t 319, 1994, Sene I, p 777-780, КоркинаЕ И Двумерные цепные дроби Самые простые примеры Труды МИРАН, 1995 Т 209

ыБрюноА Д, Парусников В И Многогранники Клейна для двух кубических форм Давенпорта Матем заметки 1994, т 56, вып 4, с 9 27

15Kontsemch M L , Suhov Yu M Statistics of Klein Polyhedra and Multidimensional Con tinued Fractions // Amer Math Soc Transl (2) vol 197, 1999

1вМуссафирЖ О Паруса и базисы Гильберта Функ анализ и его приложения 2000 т 34, вып 2, с 43-49

падает с О.

— Доказана равносильность положительности норменного минимума n-мерной иррациональной решетки Л и равномерной ограниченности сверху определителей граней каждого из 2" парусов, порожденных решеткой

— Приведен критерий в размерности п = 3,4 того, что точки решетки Л, лежащие в приведенном парусе этой решетки, образуют базис Гильберта полугруппы точек Л с неотрицательными координатами.

Методы исследования.

В работе используются методы геометрии чисел, теории выпуклых многогранников, теории двойственных многогранников, теории подрешеток простого индекса, а также результаты о распределении простых чисел.

Теоретическая и практическая ценность.

Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в теории полиэдров Клейна, теории относительных минимумов решеток, теории наилучших приближений линейных форм, а также при исследовании решеток с положительными норменными минимумами.

Апробация работы.

Результаты настоящей диссертации неоднократно докладывались автором на следующих семинарах механико-математического факультета МГУ:

1. Научно-исследовательский семинар по теории чисел под руководством Ю. В. Нестеренко, Н. Г. Мощевитина, А. Б. Шидловского,

2. "Арифметика и геометрия" под руководством Н. Г. Мощевитина, A.M. Райгородского,

3. "Дискретная геометрия и геометрия чисел" под руководством С. С. Рыш-кова,

4. "Дискретная геометрия и геометрия чисел" под руководством Н. П. Дол-билина, Н. Г. Мощевитина,

5. "Тригонометрические суммы и их приложения" под руководством Н. Г. Мощевитина, А. В. Устинова,

6. "Теория функций и ее приложения" под руководством С. В. Конягина, а также на международных конференциях

"Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения" (Тула, 19-24. X. 2003),

"XXIII-rd Joumee Arithmetiques" (Graz, Austria, 6-12. VII. 2003), "Diophantine analysis, uniform distribution and their applications" (Минск, 24-30. VIII. 2003).

Публикации.

Результаты диссертации опубликованы в 5 работах, список которых приводится в конце автореферата.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы, включающего 42 наименования. Общий объем диссертации 74 страницы.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ.

Пара чисел (<7,р) € Z2 такая, ч т дЗ>а($,ы в а е т с я наилучшим приближением числа а, если для всех (q',p') € Z2 : 0 < q1 < q имеет место строгое неравенство

и для всех целых р' имеет место нестрогое неравенство

Геометрический смысл этого определения весьма прост: точка (q,p) € Z2 при q > 1 является наилучшим приближением а в том и только том случае, если в параллелограме

нет целочисленных точек, за исключением ±(q,p) и (0,0).

Существует множество многомерных обобщений этой конструкции. Настоящая диссертация посвящена изучению двух из них. Первый подход основан на интерпретации параллелограма Vqj,A как цилиндра в ¿^-норме с осью (1,а). Второй — на интерпретации этого параллелограма как параллелепипеда с вершиной центрально- симметричного относительно начала координат.

В первой главе диссертации изложены результаты, касающиеся первого подхода, во второй — соответственно, второго.

1. Содержание главы 1.

Первый подход может быть описан следующим образом. Пусть о = («!,..., а„) 6 R", £а : К" R, £а(х) = (<*i£i + • • - + otnxn). Будем также через | • | обозначать ¿^-норму в 1R".

Определение 1. Точка (д,а) = (9,01, ,о„) е такая, что д > О,

называется наилучшим совместным приближением вектора а, если

для всех а' € 2"

Определение 2. Точка (<?, т) = (д, тх, ,т„) Е называется

наилучшим приближением линейной формы Са, если

|£,(т)-,| < |£а(т') - <?'|

для всех (д7, ш') € 2П+1 |т'| ^ |т|, т' / О, ±т , и |£,(т) - д\ < |£а(т) - ч'\

для всех

Оба определения классические17 Эти две конструкции весьма тесно связаны, будучи наилучшими приближениями двойственных объектов, что дает возможность получать различные теоремы переноса18

Все наилучшие совместные приближения к вектору а располагаются в виде последовательностей таких, что

и

причем эти пс)|§р1девау^лы|^гги-®^я5отся>с()фввньщ|1Ж[1и бесконечными, в зависимости от того, лежит а в (]>" или нет

Аналогично, все наилучшие приближения линейной формы Са располагаются в виде последовательностей ±(д1,т1) е таких, что |ш1| < |тг| < < |т,| < и

17См КасселсДж В С Введение в теорию Диофантовых приближений // Москва изд-во иностр лит, 1961, ФинкелъштейнЮ Ю Полигоны Клейна и приведенные регулярные непрерывные дроби // Успехи мат наук 1993 Т 48 Вып 3 с 205 206

1 См КасселсДж В С Введение в теорию Диофантовых приближений // Москва изд-во иностр лит, 1961

и эти последовательности являются конечными или бесконечными, в зависимости от того, являются числа l,t*i, ,ап линейно зависимыми над Q или нет

Для усиления аналогии можно выбрать из каждой пары ±(д,,Шг) ту точку, для которой Са{m,) — q, > 0, и таким образом рассматривать "односторонние" наилучшие приближения формы Это дает возможность сформулировать и доказать ряд утверждений об односторонних наилучших приближениях, аналогичных уже известным фактам, полученным К А Роджерсом 19, H Г Мощевитиным20, В Т Сош и Г Секерешем21, о наилучших совместных приближениях Формулировке и доказательству этих утверждений и посвящена первая глава диссертации

В первых теоремах главы 1 речь идет об асимптотических направлениях для наилучших приближений и для односторонних наилучших приближе ний линейной формы, то есть для предельных точек последовательности {¡m'yfêi и предельных точек множества Вводится понятие осве-

щаемости

Определение 3. Пусть M — замкнутое выпуклое множество, b е дМ, а ^ M Тогда будем говорить, что M освещается точкой а в точке

если существует такое содержится в

Затем вводится понятие асимптотически допустимого множества

Определение 4. Подмножество fi единичной сферы S будем называть асимптотически допустимым, если на сфере S найдется последовательность такая, что

1) для любого' к единичный шар с центром в точке освещается точкой в точке начала координат,

2) Í2 совпадает с множеством всех предельных точек последовательности {в к}

19 Rogers С A The asymptotic directions of n linear forms in n +- 1 integral variables // Proc London Math Soc Ser 2 1951 Vol 52 p 161-185, Rogers С A The signatures of the errors of simultaneous Diophantine approximations // Proc London Math Soc Ser 2 1951 Vol0 52 p 186-190

20МощевитинН Г Наилучшие совместные приближения нормы, сигнатуры и асимптотические направления // Матем заметки 2000 Т 67 Вып 5 с 730-737

21 Sos V Т, Szekeres G Rational approximation vectors // Acta Anth 1988 Vol 49 No 3 p 255-261

И доказываются следующие теоремы, аналогичные теоремам о наилучших совместных приближениях, полученным К А Роджерсом22 и Н Г Мощевитиным23

Теорема 1. Пусть Í2 — асимптотически допустимое множество на сфере S Тогда существует континуальный набор векторов а из R" такой что для любого а из этого набора множество всех асимптотических направлений для односторонних наилучших приближений Са совпадает с VI

Теорема 2. Пусть П — центрально симметричное замкнутое множество на сфере S Тогда существует континуальный набор векторов а из R" такой, что для любого а из этого набора множество всех асимптотических направлений для наилучших приближений Са совпадает с

п

Также в главе 1 доказывается аналог теоремы о сигнатуре для односторонних наилучших приближений линейных форм Сигнатурой вектора ш = (u¡i, , ш„) называется набор sign Ш = (sign W\, , sign шп)

Для наилучших совместных приближений В Т Сош и Г Секереш показали24, что для любой последовательности сигнатур {04}^ такой, чю сг, ф сг,-).! существует набор a M" чисел (ai, , сеп), независимых вместе с 1 над таких, что — отклонение от наилучшего

приближения вектора

Теорема об односторонних наилучших приближениях линейных форм, доказываемая в диссертации, формулируется следующим образом

Теорема 3. Если задана последовательность сигнатур {с,}^ такая, что <г, ф <71+i и все координаты этих сигнатур отличны от нуля, то существует вектор а 6 Мп такой, что sign m, = сгг для всех г, где ш, — одностороннее наилучшее приближение

2. Содержание главы 2.

Второй подход многомерного обобщения понятия наилучшего прибли-

''Rogers С A The asymptotic directions of n linear forms i n n + 1 integral variables // Pro23c London Math Soc Ser 2 1951 Vol 52 p 161 185

'3МощевитинН Г Наилучшие совместные приближения нормы, сигнатуры и асимптотические направления // Матем заметки 2000 Т 67 Вып 5 с 730-737

14Sos V Т, Szekeres G Rational approximation vectors // Acta Anth 1988 Vol 49 No 3 p 255-261

жения числа восходит к Г Ф Вороному25 и Г Минковскому26 и приводит к одному из возможных многомерных обобщений понятия цепной дроби Пусть А С К" — n-мерная решетка, те Л = {&i7i + + к„/уп \ ki, , кп G Щ, где 7i, ,7„ € Ж" линейно независимы

Определение 5. Ненулевая точка v = (wj, ,v„) G А называется относительным минимумом решетки Л, если не существует таких ненулевых точек v' е Л, что |ut'| ^ |г>,| для в г «= 1,е рг и при некотором г = j имеет место строгое неравенство <

Множество всех относительных минимумов решетки А будем обозначать ОТ(Л) Как оказалось, данная конструкция весьма тесно связана с еще одним многомерным обобщением цепных дробей, берущим начало в работе Ф Клейна27 Рассмотрим полугруппу &(А) ненулевых точек решетки с неотрицательными координатами

Определение 6. Выпуклая оболочка К(Л) = conv(S(yl)) называется полиэдром Клейна

Заметим, что можно рассмотреть выпуклую оболчку точек решетки в любом из 2п октантов Таким образом, решетка А порождает 2" полиэдров Клейна

Как показал В А Быковский28, экстремальные точки полиэдра Клейна являются относительными минимумами решетки А Следовательно,

Таким образом, конструкция Вороного-Минковского, так же, как и конструкция Клейна, приводит к полиэдрам Клейна В последнее время эта тематика пользуется все большей популярностью Наиболее изученными являются полиэдры Клейна, соответствующие алгебраическим решет -

25См Вороной Г Ф Собрание сочинений в трех томах // Киев, изд-во АН УССР, т1,1952

26См MtnkowskiH Generalisation de la theorie des fractions continues //Ann Sci de l'Ecole Normale Supeneure, vol 13, Л"°2, р 41-60

21 Klein F Uber eme geometnsche Auffassung der gewohnhchen Kettenbruchentwichlung // Nachr Ges Wiss Gottmgen, 3, p 351-359, 1895

28 Быковский В А Локальные минимумы решеток и вершины многогранников Клейна // Функ анализ и его приложения (в печати)

кам29 Несколько результатов о произвольных полиэдрах Клейна получены Ж.-О. Муссафиром30 Стоит также отметить работу М Л Концевича и Ю М Сухова31, в которой получен ряд статистических результатов о полиэдрах Клейна.

Во второй главе формулируются и доказываются несколько новых фактов о полиэдрах Клейна

Сначала доказывается многомерный аналог известного утверждения о том, что число плохо приближаемо тогда и только тогда, когда его неполные частные равномерно ограничены Напомним, что число a называется плохо приближаемым, если существует такая константа с > 0, что для всех целых р и натуральных q выполняется соотношение

В многомерном случае аналогом свойства числа быть плохо приближаемым является свойство решетки А иметь положительный норменный минимум, то есть

В качестве многомерного аналога цепных дробей мы рассматриваем полиэдры Клейна Аналогами неполных частных будут грани полиэдров Клейна, а их численными характеристиками — "определители" этих гра-

29См Arnold VI A-graded algebras and continued fractions // Comm on Pure and Appl Math , 1989, v 42, p 993-1000, Arnold VI Higher dimensional continued fractions // Regular and Chaotic Dynamics, v 3, № 3, 1998, TsuchthashiH Higher dimensional analogues of periodic continued fractions and cusp singularities // Tohoku Math Journal, 35,1983, p 607-639, Lachaud G Sails and Klein Polyhedra // Contemporary Mathematics, Volume 210, 1998, p 373-385, Lachaud G Voiles et Polyedres de Klein, 1, 2 // Preprints No 95-22, Laboratoire de Mathematiques Discretes, CNRS, Marseille-Lummy, 1995, KorktnaE Classification of A-graded algebras with 3 geneiators // Indag Mathem , NS, 3, (1), 1992, p 27-40, KorktnaE La penodecite des fractions continues multidimensionnelles // С R Acad Sci Pans, t 319, 1994, Sene I, p 777 780, КоркинаЕ И Двумерные цепные дроби Самые простые примеры // Труды МИРАН, 1995 Т 209, Брюно А Д, Парусников В И Многогранники Клейна для двух кубических форм Давенпорта / / Матем заметки 1994, т 56, вып 4, с 9-27

30См Муссафир Ж -О Паруса и базисы Гильберта // Функ анализ и его приложе-ни3я1 2000, т 34, вып 2, с 43 49

31 Kontsevtch M L , SuhovYu M Statistics of Klein Polyhedra and Multidimensional Continued Fractions // Amer Math Soc Transl (2) vol 197, 1999

Теперь мы можем сформулировать упомянутый выше многомерный аналог утверждения о плохо приближаемых чмслах

Теорема 4. Норменный минимум п-мерпой иррациональной решет ки Л С. К" отличен от нуля тогда и только тогда, когда определители граней каждого из 2" парусов, порожденных решеткой Л, равномерно ограничены

Эта теорема имеет отношение к следующим двум классическим гипотезам

Гипотеза Литтлвуда. Если a,ß € К, то raf^m||ma||||m/3|| = О

Гипотеза Оппенгейма. Если п ^ 3 и А С К" — n-мерная решетка,

такая, что N(A) > 0, то Л — алгебраическая решетка (то есть, подобна решетке полного модуля чисто вещественного алгебраического поля степени п)

Известно32, что из трехмерной гипотезы Оппенгейма следует гипотеза Литтлвуда В работах Б Ф Скубенко33 была предпринята попытка доказать гипотезу Оппенгейма, однако в доказательстве имеется весьма существенный пробел По этой причине обе гипотезы остаются недоказанными

Теорема 4 позволяет переформулировать гипотезу Оппенгейма в терминах свойств полиэдров Клейна

Переформулировка гипотезы Оппенгейма. Если п ^ 3, торавно-мерная ограниченность определителей граней всех 2" полиэдров Клейна, порожденных п мерной р е ш е ж к Ш"й »мтерт-Лд и ч н о с т ь границ этих полиэдров

Общеизвестно, что в случае утверждение гипотезы не верно,

так как числа с ограниченными неполными частными не исчерпываются квадратичными иррациональностями

И в завершение уточняется результат Ж -О Муссафира34 о базисе Гильберта полугруппы &(Л)

32См CasselsJ WS , Swmnerton-Dyer H P F On the product of three homogeneous linear forms and indefinite ternary quadratic forms Phil Trans Royal Soc London, 1955 vol A 248, p 73 96

33 Скубенко Б Ф Минимумы разложимой кубической формы от трех переменных Зал научных семинаров ЛОМИ, т 168 Аналитическая теория чисел и теория функций 9 Ленинград, "Наука", 1988 г, Скубенко В Ф Минимумы разложимых форм степени п от п переменных при п л 3 Зал научных семинаров ЛОМИ, т 183 Модулярные функции и квадратичные формы 1 Ленинград, "Наука", 1990 г

"МуссафирЖ О Паруса и базисы Гильберта Функ анализ и его приложения 2000, т 34, вып 2, с 43-49

Определение 7. Базисом Гильберта полугруппы ©(Л) называется минимальное множество образующих этой полугруппы

Ж -О Муссафир доказал, что в трехмерном случае базис Гильберта полугруппы ©(Л) содержится в границе полиэдра Клейна в том и только том случае, если грани полиэдра Клейна находятся на целочисленном расстоянии 1 от точки начала координат

Мы приводим критерий того, что базис Гильберта полугруппы ©(Л) содержится в границе полиэдра Клейна, работающий и в трехмерном, и в четырехмерном случае

Теорема 5. При П = 3 и п == 4 базис Гильберта полугруппы ©(Л) содержится в границе полиэдра Клейна в том и только том случае, если для любой точки х из любой ограниченной грани К существует (замкнутый) симплекс Л С дК с вершинами, образующими бШЪрсодержа щий х

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук Н Г Мощевитину за постановку задач и постоянное внимание к работе

РАБОТЫ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ.

1 Герман О Н Асимптотические направления для наилучших приближений n-мерной линейной формы // Матем заметки, 2004, Т 75, Вып 1, с 55-70

2 Герман О Н Паруса и базисы Гильберта // Труды МИРАН, 2002, Т 239, с 98-105

3 German О N Sails and norm minima of lattices // The Proceedings of the Institute of Mathematics NAN Belarus 2005, v 13, p 98 105

4 Герман О Н Паруса и базисы Гильберта // Тезисы докл V Меж дународной конференции "Алгебра и теория чисел современные проблемы и приложения" Тула, 2003 с 75

5 German О N Sails and norm minima of lattices // Abstracts of Contributed talks, XXIII-rd Journees Arithmetiques, Graz, Austria, 2003, p 45

Отпечатано в копицентре «СТ ПРИНТ» Москва, Ленинские горы, МГУ, 1 Гуманитарный корпус. www.stprint.ru e-mail: zakaz@stprint.ru тел 939-3338 Заказ № 12. тираж 100 экз. Подписано в печать 15. 01. 2005 г.

01. Ol- 01 03

Введение

Глава 1. Наилучшие приближения линейных форм

1.1 Наилучшие приближения и односторонние наилучшие приближения линейных форм.

1.2 Асимптотические направления.

1.3 Некоторые свойства освещаемости.

1.4 Аналог теоремы о сигнатуре для односторонних наилучших приближений линейных форм.

1.5 Вспомогательные утверждения.

1.G Доказательство теорем.

Глава 2. Полиэдры Клейна

2.1 Плохо приближаемые числа и полигоны Клейна.

2.2 Паруса и норменные минимумы.

2.3 Связь с проблемами Литтлвуда и Оппенгейма.

2.4 Двойственный конус.

2.5 Доказательство теоремы 2.2.

2.G Доказательство теоремы 2.3 в случае п = 3.

2.7 Доказательство теоремы 2.3 для произвольного п.

2.8 Паруса и базисы Гильберта.G

2.9 Доказательства теорем о базисе Гильберта.G

Диссертация подготовлена на кафедре теории чисел Московского государственного университета и затрагивает ряд вопросов, относящихся к геометрии чисел.

Актуальность темы. Настоящая диссертация посвящена исследованию двух классических многомерных обобщений понятия наилучших приближений действительного числа рациональными: наилучших приближений линейных форм и полиэдров Клейна.

Постановки задач, связанных с этими объектами, восходят к Г. Минковскому, Г. Ф. Вороному, Ф. Клейну, К. Якоби, и другим классикам. Ими занимались такие известные математики, как Л. Я.Хинчин, К.Л.Роджерс, В.И.Арнольд, А.Д.Брюно, М. Л. Концевич, Дж.Касселс, Г. Суиннертон-Даер.

Исследованию многомерных обобщений понятий цепной дроби и наилучшего приближения числа посвящено множество работ, как в России, так и за рубежом. Классическим и новым результатам, связанным с этими вопросами, а также их приложениям уделено внимание в монографиях Дж.Касселса [1], [2], М.Грубера и К.Г.Леккеркеркера [3], П.Эрдеша, М. Грубера и Дж.Хаммера [4], Ж. Лашо [5] и других.

Наилучшие совместные приближения и наилучшие приближения линейных форм тесно связаны, по сути являясь двойственными объектами. Это отражается, например, в различных теоремах переноса (см. [2]). В настоящей диссертации получен ряд новых фактов о наилучших приближениях линейных форм, аналогичных известным утверждениям о наилучших совместных приближениях, полученным К.А.Роджерсом [G], [7], Н.Г.Мощевитиным [8], В.Т.Сош и Г. Секерешем [9].

В диссертации также исследуется одно из классических многомерных обобщений цепных дробей: так называемые полиэдры Клейна. Теория полиэдров Клейна берет начало в работе [10], опубликованной еще в конце 19-го века, однако, первые содержательные многомерные результаты были получены почти столетие спустя В.И.Арнольдом [11], [12], X. Цушихаши [13], Ж. Лашо [14], [5], Е.Коркиной [15], [16], [17], А. Д. Брюно и В. И. Парусниковым [18] и посвящены полиэдрам Клейна, соответствующим алгебраическим решеткам. Отметим также недавнюю работу М.Л.Концевича и Ю.М.Сухова [19], в которой получен ряд статистических результатов о полиэдрах Клейна. В настоящей диссертации мы уточняем результат Ж.-О. Муссафира [20], а также доказываем многомерный аналог теоремы о плохо приближаемых числах, позволяющий переформулировать гипотезу Оппенгейма в терминах свойств полиэдров Клейна.

Научная новизна. Полученные результаты являются новыми, полученными автором самостоятельно. Основными результатами данной работы можно считать следующие:

Доказано существование для любого асимптотически допустимого множества Q на сфере такого континуального набора линейных форм, что для любой формы из этого набора множество всех асимптотических направлений для односторонних наилучших приближений этой формы совпадает с П.

Доказана равносильность положительности норменного минимума п-мерной иррациональной решетки А и равномерной ограниченности сверху определителей граней каждого из 2п парусов, порожденных решеткой А.

Приведен критерий в размерности п = 3,4 того, что точки решетки А, лежащие в приведенном парусе этой решетки, образуют базис Гильберта полугруппы точек А с неотрицательными координатами.

Методы исследования. В работе используются методы геометрии чисел, теории выпуклых многогранников, теории двойственных многогранников, теории подрешеток простого индекса, а также результаты о распределении простых чисел.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в теории полиэдров Клейна, теории относительных минимумов решеток, теории наилучших приближений линейных форм, а также при исследовании решеток с положительными норменными минимумами.

Апробация работы. Результаты настоящей диссертации неоднократно докладывались автором на следующих семинарах механико-математического факультета МГУ:

1. Научно-исследовательский семинар но теории чисел под руководством Ю. В. Нестеренко, Н. Г. Мощевитина, А. Б. Шидловского,

2. "Арифметика и геометрия" под руководством Н. Г. Мощевитина, А. М. Рай городского,

3. "Дискретная геометрия и геометрия чисел" под руководством С. С. Рыш-кова,

4. "Дискретная геометрия и геометрия чисел" под руководством Н. П.Дол-билина, Н. Г. Мощевитина,

5. 'Тригонометрические суммы и их приложения" под руководством Н. Г. Мощевитина, А. В. Устинова,

G. 'Теория функций и се приложения" под руководством С. В. Конягина, а также на международных конференциях

Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения" (Тула, 19-24. X. 2003),

XXIII-rd Journde Arithmdtiques" (Graz, Austria, G-12. VII. 2003),

Diophantine analysis, uniform distribution and their applications" (Минск, 24-30. VIII. 2003).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [21], [22], [23], [24] и [25].

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 74 страницах и состоит из введения, двух глав и списка литературы, включающего 42 наименования.

1. КасселсДою. В. С. Введение в геометрию чисел // Москва, "Мир", 1965.

2. КассслсДж. В. С. Введение в теорию Диофантовых приближений // Москва, изд-во иностр. лит., 19G1.

3. GruberM., Lckkerkcrker С. G. Geometry of Numbers // Amsterdam, 1987.

4. ErdosP., GruberM., Hammer J. Lattice Points // Pitman Monographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics, 39. Longman Scientific & Technical, Harlow; copublished in the US with John Wiley Sz Sons, Inc., NY, 1989.

5. Rogers C. A. The signatures of the errors of simultaneous Diophantine approximations // Proc. London Math. Soc. Ser.2. 1951. Vol.52. p.l8G-190.

6. МощевитииH. Г. Наилучшие совместные приближения: нормы, сигнатуры и асимптотические направления // Матем. заметки. 2000. T.G7. Вып.5. с.730-737.

7. Sos V. Т, Szekeres G. Rational approximation vectors // Acta Arith. 1988. Vol.49. No.3. p.255-261.

8. Klein F. Uber cine geometrische Auffassung der gewohnlichen Ketten-bruchentwichlung // Nachr. Ges. Wiss. Gottingen, 3, p. 357-359, 1895.

9. Arnold V. I. A-graded algebras and continued fractions // Comm. on Pure and Appl. Math., 1989, v. 42, p. 993-1000.

10. Arnold V. I. Higher dimensional continued fractions // Regular and Chaotic Dynamics, v. 3, JY* 3, 1998.

11. Tsuehihashi H. Higher dimensional analogues of periodic continued fractions and cusp singularities // Tolioku Math. Journal, 35,1983, p. 607-639.

12. Laehaud G. Sails and Klein Polyhedra // Contemporary Mathematics, Volume 210, 1998, p. 373-385.

13. KorkinaE. Classification of A-graded algebras with 3 generators // Indag. Mathem., NS, 3, (1), 1992, p.27-40.10} KorkinaE. La pdriodecitd des fractions continues multidimensionnelles // C. R. Acad. Sci. Paris, t. 319, 1994, Sdrie I, p. 777-780.

14. КоркинаЕ. И. Двумерные цепные дроби // Самые простые примеры. Труды МИРАН, 1995. Т. 209.

15. БрюноА.Д., Парусников В. И. Многогранники Клейна для двух кубических форм Давенпорта // Матем. заметки. 1994, т. 5G, вып. 4, с. 9-27.

16. KontscvichM. L., Suhov Yu. М. Statistics of Klein Polyhedra and Multidimensional Continued Fractions // Amer. Math. Soc. Transl. (2) vol. 197, 1999.

17. МуссафирЖ.-О. Паруса и базисы Гильберта // Функ. анализ и его приложения. 2000, т. 34, вып. 2, с. 43-49.

18. Герман О. Н. Асимптотические направления для наилучших приближений п-мерной линейной формы // Матем. заметки. 2004. Т.75. Выи.1. с.55-70.

19. Герман О. Н. Паруса и базисы Гильберта. // Труды МИРАН, 2002, Т. 239, с. 98-105.

20. German О. N. Sails and norm minima of lattices. // The Proceedings of the Institute of Mathematics NAN Belarus. 2005, v. 13, p. 98-105.

21. Герман О. H. Паруса и базисы Гильберта. // Тезисы докл. V Международной конференции "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения", Тула, 2003, с. 75.

22. Вороной Г. Ф. Собрание сочинений в трех томах // Киев, изд-во АН УССР, т.1, 1952.

23. Minkowski Н. Generalisation de la thdorie des fractions continues // Ann. Sci. de l'Ecole Normale Supdrieure, vol.13, -Y«2, p. 41-GO.

24. Быковский В. А. Локальные минимумы решеток и вершины многогранников Клейна // Функ. анализ и его приложения, (в печати)

25. CassclsJ. IV. S., Swinncrion-DyerH. P. F. On the product of three homogeneous linear forms and indefinite ternary quadratic forms // Phil. Trans. Royal Soc. London, 1955, vol. A 248, p. 73-9G.

26. СкубепкоБ. Ф. Теорема изоляции для разложимых форм чисто вещественных алгебраических полей степени n ^ 3 // Зап. научных семинаров ЛОМИ, т. 112, 1981 г.

27. Акрамов У. А. Теорема изоляции для форм, отвечающих чисто вещественным алгебраическим полям // Зап. научных семинаров ЛОМИ, т. 185, 1990 г.

28. Скубепко Б. Ф. Минимумы разложимой кубической формы от трех переменных // Зап. научных семинаров ЛОМИ, т. 168, 1988 г.

29. Скубепко Б. Ф. Минимумы разложимых форм степени п от п переменных при n ^ 3 // Зап. научных семинаров ЛОМИ, т. 183, 1990 г.

30. Болтянский В. Г., ГохбергИ. Ц. Теоремы и задачи комбинаторной геометрии // Наука. 1965г.

31. МощевитинН. Г. О наилучших совместных приближениях // Успехи мат. наук. 199G. 51. No.G(312). С.213-214.

32. D. R. Heath-Brown, C.Jia The distribution of ар modulo one // Proc. London Math. Soc. Ser.3. 2002. Vol.84, p.79-101.

33. Glyn Harman Simultaneous Diophantine approximations with primes // J. London Math. Soc. (2) 1989. Vol.39, p.405-413.

34. Виноградов И. M. Особые варианты метода тригонометрических сумм // М. Наука. 1970г.

35. Moussafir J.-O. Convex hulls of integral points // Зап. научных семинаров ПОМП, т. 25G, 2000 г.

36. БоревичЗ. П., ШафаревичИ. Р. Теория чисел // Москва, "Наука", 19G4.

37. White G. К. Lattice tetrahedra // Canadian J. of Math. 16(1964), p. 389396.