О кубических метаплексических формах на простых комплексных группах ранга 2 тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

" ид

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ САНКТ-ПЕТЕРВУРГСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ПРОСКУРИН Николай Витальевич

О КУБИЧЕСКИХ МЕТАПЛЕКТИЧЕСКИХ ФОРМАХ НА ПРОСТЫХ КОМПЛЕКСНЫХ ГРУППАХ РАНГА 2

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание учепой степени доктора физико-математических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 1993

Работа выполнена в Санкт-Петербургском отделении Математического института им, В. А. Стеклова Российской Академии Наук СЛОМИ).

доктор физико-математических наук Л. Б. Еешсоа. доктор физико-математических наук Н. Л. Гордеев, доктор физико-математических наук В. Г. Журавлев.

Ведущая организация — Математический институт им. В. А. Стеклова Российской Академии Наук.

на заседании специализированного совета Д 063.57.29 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук в Государственном Санкт-Петербургском университете.

Адрес совета: 198904, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Библиотечная пл. 2, Математико-механический факультет СПГУ.

Защита состоится по адресу: 191011, Санкт-Петербург, набережная реки Фонтанки, 27 (ПОМИ), зал 311.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. Горького по адресу: Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан ОС 1993 года.

Официальные оппоненты:

Защита состоится

1993 года в

часов

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физ.-матем. наук

С. М. АНАНЬЕВСКИЙ

ОБШЛЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Квадратичпмо метаплектические формы на группе SL(2.R) известны с давних пор. Важнейший пример - клас-спческая квадратичная тэта функция -

6(z) » Y. exp(ntnzz). ml

Более общо, в трудах К. Зигеля, А. Войля и многих других автороо рассматривались квадратичные метаплектические форнм на сикплек-тическхх группах Sp(2n, R). Но лишь сравнительно недавно, в бОых годах, Т. Кубота нашел возможность определить метаплектические формы произвольной степени (Ein arithmetischer Satz über eine Matrizengruppe, J.Reine Angew. Math., 1965, vol.222, 55-57; On automorphlc functions and reciprocity law in a number theory, Lact. In Math. Kyoto Univ., 1969, vol. 2 ( Матеи. сб. Пор. 1970, i4: 6, 3-37)). Т. Кубота рассматривал нетаплектичеснио формы на линейных группах ( полных и специальных ) второго порядка. Его исследования были продолжены Паттерсоном (А счЫс analogue of the theta series 1,11, J.Reine Angew. Math., 1978, vol.303, 125 -161, 217-220 ) и Делинек (Sommes de Gauss cubiques et revetements de SL(2) d'après S.J.Patterson, S em. Bou rbalc i, Lect. Notes ln Math., 770 (1980), 244-277), сумевшими найти коэффициенты Фурье кубической тэта функции на группе SL(2,C). Практически ы то же время, в работах Нацуното (Sur les sous-groupes arithmétiques des groupes s eml-s I mp 1 es déployés, Ann. sein. Ec. Norm. Sup., 1962, 1-62), Мура (Group extensions of p-adic and adellc linear groups, Publ. Mathem. IHES, 35. 1968, 157-222), Басса. Иилнора И Cappa (Solution of the congruence subgroup problem for SLn(nt3) and Sp2f)(n=2), Publ. Math. IHES, 33, J967, 59-137 ) была подготовлена почва для построения более обвей теории мега-плектических форм на широком классе групп. Первая попытка реализовать новые возможности была предпринята автором в 1983 году, 11). Вскоре появилось обширное исследование Каждана и Паттерсона о метаплектических фориах на полных линейных группах (Metaplrc-t 1 с forms, Publ. Math. IHES, 59, 1984. 35-142), а затем И другие

Публикации - Бамп^, Хофштекна (Cub i с met ар lect I с forms on СИЗ), lpv«nt. math. 84, 1986, 481-505; Some Euler products associated With cubic metaplectic forms or. GL3, Duke Math. J. 1986, vol.53, 1047-1072), Савина (An analogue of the Weil representation lor Oa, preprint Yale Univ., 1991), Фликера и Каждана (Metaplectlc Correspondence, Publ. Math. HIES, 64, 1987, 53-110 ) и других авторов. Котаплектические форны привлекают асе большие вникание исследователей, однако, теория, в целом, ещо очень далека от завершенности.

Цель работы Исследование метаплвктических рядов Эйзенштейна, построение кубических тэта функций на прэстых комплексных группах ранга 2, вычисление их коэффициентов Фурье.

Общая методика исследования, ц работе используются: теория групп Ли (разложения Нвасавы, Брюа, представлении нильпотектпых групп); дискретные подгруппы групп ЛИ; теории рядов Эйзенштейна (по Сельбергу, Ленглендсу); теория алгебраических чисел (символ Кубического вычета, закон взаимности, сунны Гаусса, дзета функция Де Даниила).

Научная новизна. Кубические тэта функции, определенные к исследованные автором диссертации, ранее не были известны. Новики являются все полученные в работе результаты, за исключением торрамы о нэроморфной продолжимости рядов Дирихле с квадратами кубических сумм Гаусса в качестве коэффициентов. Зта, последняя, теорема была получена ранее Паттерсоном с помощью метода Рапкнна -Сольберга. Новым является метол описания двойных классов, о котором будет сказано ниже в разделе 'Содержание работы', применяемый для вычисления коэффициентов Фурье рядов Эйзенштейна. Что касается группы С3, то не только метаплектические, но и, вообще, какие бы то ни было автонорфные фунициии на этой группе ранее ив изучались.

Практическая ценность. Найденные автором кубические тога функции ногут быть использованы как ядра интогральнмх операторов для построения соотеитствий Шимуры »еав.у аитоморфными формами на.

различных группах. Разработанная автором техника вычисления коэффициентов Фурье рядов Эйзенштейна может быть с успехом применена и для вычисления коэффициентов Фурье некоторых других ав-томорфных функций, рядов Пуанкаре, например; прячем, не обязательно нетаплпктических. Результаты диссертации, в особенности в части относящейся к метаплектическмн формам на группе БрН.С), указывают метод преодоления трудностей стояиик на путя построения общей теории кеталлектичоских форм.

Апробация работы. Об исследованиях, составляющих диссертацию, автор докладывал на семинарах а Санкт-Петербургском отделении Математического института РАИ, на Международной конгрессе математиков в Варшаве, на международной конференции а Оберволь-фахэ я Всесоюзной конференции а Минске, на семинарах в университетах Геттингена и Бклефельда.

Публикации. К тема' диссертации относятся 10 авторских публикаций а различных математических журналах, включая 2 препринта, тезисы доклада на международной конференция я краткое сообщение на Международной конгресса математиков. Все публикация -- без соавторов.

объем работк. Работа состоит из введения, чотмрегс г/тай кокнвктариев к списка литературы. Она занимает 224 страницы Список литературы содержит 42 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Глава 1 состоит из трех параграфов содержащих необходимые предварительные сведения о гомонорфизмах Куботы я Бвссд-Нилнора -Серра, о кубических метаплектичесхих форма» на группо ЗЫ?.,С). об используемых в работе рядах Дирихле, арифметических .и специальных функциях. Пусть Гп - главная ко игру зга;-подгруппа тойЗ п 5Ип, О), .0 -кольцо целых чисел поля О(уЧ), ( — ) - символ кубического вычета в кольце б. Гомоморфизм Куботы - это о'гображениг? . х,: Г2— С* определенное равенством

б

( -д-). если с » О, о, если с - О.

Более общо, Бассон. Милнором и Серром были построены гоиокорфка-ми Гп— С* "продолжающие' х, с группы Гг на группы Гл, П * 2. Оставляя в стороне несущественные в данный момент детали, можно сказать, что кубические метаплектические формы это автоморфные Функции, имеющие в качестве системы мультипликаторов гомоморфизмы хп• Гомоморфизмы Басса-Килнора-Серра конструируются посредством некоторой индуктивной процедуры. Мы даек, в некоторых частных случаях, явные формулы для их значение. Например, если

С» % и» сз с< а1 <**

« Г4лБр(4,О

N ЗС<И<*г, I

Эту формулы, однако, мало пригодны для работы.

В главах 2, 3, 4, составляющих основную часть наше* работы, рассматриваются последовательно кубические натаплектичеекк» фор-ны на специальной линейной группе йИЗ.С), на симплоктической группе 5р(4,С) к на группе С} ( С) - исключительной группе Ли типа Ог, реализованной как подгруппа в ЕЬ(7,С). Говоря точнее, мы определяем метаплектические формы как функции на пространстве К « С/К; здесь и далее С - одна из перечисленных выше групп, К -максимальная компактная подгруппа а О.

Во всех трех случаях внимание сосредоточено на рядах Эйзен-атейма 1:(',ь-;Я, а € С. ассоциированных с произвольной кубической метаплектической формой { на 81» 51.1 2, с)/31Н2 ). Посродствон специально разработанной техники, основанной на рассмотрении вложений группы ьиг.С) в группы ЯПЗ, С), Яр(4, с) и о 1С), вы-числлитск коэффициенты Фурьь рядоь ЭВзенштейиа.

П0.1СНИН это на примере групп,,! 51.(1. Г,.1. Ни имечм нономор

фИЗМЫ /1у : 5Ц 2, С) равенствами

БЫЗ, С) определяемы« для г

[2 2)

б ЭИ 2, С)

V*)

1 о о о а ь О с с]

Ь,( у)

а О Ь О I о С О с!

/)3<7)

а Ь о с а о о О I

Пусть теперь Гп(д! - конгруэнц-подгруппа гпойд в гкп, О! состоящая из всех матриц (а./) удовлетворяющих условиям: а. .*1(то<13)

и а( ) е д при ( * .); здесь д - идеал в О, д с (3>. Положим Г'д) ■ Г3(д). Пусть, далее, - пересечение Г(д) с минимальной параболической подгруппой верхних треугольных матриц в 5КЗ, С) к Л„ - пересечение Г(д) с максимальной параболической подгруппой в БЫЗ.С!, состоящей из матриц с последней строкой айда (О, О,»). Мы иаходкк, что каждая матрица ус Г(д! представима как произ-

ведения К

вс,с с, с 5 г исс.

( ^ ).

Л.е Г,(д>. Далео,

пусть п « (п|,пг) с пг» пг* Мтоаз), йсс1(п1пг,д! » 1. Выберем как-либо и зафиксируем подмножества ш^п) и Iг (л) В д содержа-яяэ точно по одному представителю каждого класса вычетов тойп, взаимно простого с п . Для каждого п и всех т., ^е д выберем как-либо ш зафиксируем подмножества н>2 (п; м1, I ) я 121П!В(, в д содержащие в точности по одному представителю каждого класса вычетов тос)пг взаимно простого с г>2. В этих обозначениях нахо-днк, что каждый класс из й^ЧГЧд)/1^ содержит в точности одну матрицу г представимуо в виде произведения у « с,б , в котором

e^ « Ь) ( Ау )

пЛ

1ту п}>

т, с т, I п),

"а6 т2 I,

1гб13(п;т,, I,), п » (п,,пг).

Все слагаемые ряда Эйзенштейна Е(-,г;/') могут быть выражены через компоненты матриц А^ и это доставляет нам возможнорть найта явные формулы для его коэффициентов Фурье. Аналогичным образом строится система представителей классов й„\Г(д!/ для групп 5р (4, С) н Оа(С). (Конгрузнц-подгруппа Г(д) опрсдэлйется как пересечение Бр(4,с) с Г41д) для О = 5р(4, С) я аналогично для с ■= С2 (С). ) Уместно сказать, что используемые вами вложения группы

£•

и

е г (д)

SL(2,C) можно описать в терминах систен корней. Именно, если определить группу G образующими и соотношениями, как это принято делать в теории групп Шевалле, то каждому положителыюку корню соответствует подгруппа в G 'изоморфная SL(2, С). Ны инеем, таким образом, 4 мономорфизма SL! 2, С) — Sp ( 4, Г.) и 6 кономорфизнов SL(2, С) —>G (С). Технически, построение систены представителей классов Д„ЧГ(д)/оказывается веська сложным, особенно для группы С2(С>. Заметим еще, что стандартная для теории зигелевых модулярных форм техника, использующая представление синплекти-ческих матриц 2пх2л блокани пхп, оказывается но вполне пригодной для наших целен по той причине, что значения гомоморфизма Басса-Милнора-Серра не ногут быть удовлетворительно выражены через эти блоки.

Пусть G « NAK - разложение Ивасавы, u:N—С*- однонерное комплексное представление нильпотентной группы Н. Положим ? « r(g)nW\W. Коэффициенты Фурье кубической кетаплекгнческой формы F: X —> С определяются равенством

cu(o) « vo 1 (?)"1 JJJ^Iпа)Щ7Пс1п, а е А, 9

в котором интегрирование производится по мере Хаара на N и предполагается, что n<j)nW содержится в ядре и. Представления и естественным образом параметризуются парами чисел (!■ v из дробного идеала

q' - { се 01/3) | (cd + cd) е. X для всех d е q } двойственного к q. Например, для 6 » Sp(4,C) имеем:

{ п( v) I v « С4 > с л( к) =

1

°..........1.......i^vv^j^

О О ' 1 о О О ' - V- I

одномерные представления И суть отображения п(к) <е{+ где е(С) » ехр(2пИС ♦ ?)), ц, V б С; а группа Г( д) пИ содержится в ядре представления в том и только в ток случае, если ц,V е q Будем писать <г (ы, у) внесто си(а) определяя и, у е К* по а е Л . <■ К* * к' из равенств

., . 1/2 1/6 -1/2 1/6 -1/3. a » dlagtu у , u у .у ),

, 1/2 1/2 -1/2 1/2 -1/3 -1/2 1/2 -1/2.

a » dlagtu у ,u у ,u у , u у ),

,, 1/2 -1/6 -1/2 -1/6 l/э -1/2 1/i 1/2 1 / * - I /■ J . a - diagd.u у ,u у ,y ,u у ,u у ,y ).

ДЛЯ групп SL(3, С), Sp ( 4, С) И Gj ( С) I соответственно.

Коэффициенты Фурье рядов Эйзенштейна El-.sj/) предстаялотг нами как произведения некоторых кратных рядов Дирихле и специальных функций, известных как функции Уиттекера -

ct,viu-y) " "^fiv* -^fit»'Г. П). если uv * О. Здесь m - некоторая константа и ц е С определяется по форме f так, что £f » л(2-r\)f, £ -оператор Лапласа-Бельтрамк. Ряды Дирихле ^„(s) имеют достаточно сложный вил. Для группы Sp (4, С) имеем, если ц * О:

р(цп,/п, )Slvn./n, n.)S^ ц, л,, nl )S< v, л,, п\п7)

2» (s) = Г --—--—-—---—2--—i-^-i

„ _ _ In.n, I In,I

nt,na,n3 13 2

суммирование по числам п1,п2, п3" 1(3), gcd(n,n2n3, q) • 1, удовлетворявший условиям цп{/п2е q', цп1/г>эе q ; pit) - Фурье коэффициент с номером t формы f. Через St...) обозначаются кубические суммы Гаусса -

S(A,c) - £ (J£.)e<A к/с), S(A, с. с') - £ (-£ )(-р)е( W с); kta kea'

здесь: acq- приведенная система вычетов mode; с' j О предста-вино в виде произведения Id3 с tic™, gcd(cf,3) * 1; a'e q - приведенная система вычетов mode состоящая из чисел взаимно простых

с с'; А е q и ett) ■ ехр(2тт((С + t)). Отметин, во язбеяанив не-

2 .

i2.n3)

. . п 1 = 2

доразумений, что сунма Stu, п,,л3) корректно определена во всех

случаях когда 5(»ш1/пг, п3 ) * о, и что сумма V, п,, п|л3 ) корректно определена во всех случаях когда 5( цп1/г>2, лэ ) Й! ц, п2, л3 ) г О. Для групп БЫЗ.С) (с теми же обозначениями, что я выше) имеем, если * О:

р(-1>п /л )5(1», пП1,п,)

2) (я) = Г ---—■:

п,,ла |п1па1

суммирование распространено на числа rii.n2e l(mod3), gcd(n,n2,g) " 1, удовлатворяющие условию vnt/n е ц . Для группы Са(С) имоен, если v * О:

pi )ciu, п, )р( V, 11, , ла, . ., п. )

m 1 , р 1 в 4 Ь 1 1 ■ э

Ti Is) » )----■----;

"■¡tv ' . ,3S*I , JS-S. .64-

суммирование распространено на числа п , . . , ns»< l(mod3), удовле-ТВОрКЮЦКО условиям gcd(n(n2. . . . ns> i}) " 1, q'\ C-

сумма Рамануджана,

C( A, c) « £ e( Ak/c) kfa(с)

( обозначения те же, что и выше, в определении сумм Гаусса); р(. V, л . л3, . . , пБ ) - конечная тригонометрически» вида.

НЕЕ »..»5п.

В1, т_ П, з 4 4

£ J 4 &

суммирование по т^е ; m^c q - множество, содержащсо п точности

по одному представителю каждого класса modr^ взаимно простого с

2 Й , nJ' гз" п.'"з' пзп4' rs°" пзп«п5; h " некоторая рацио-

нально функция, слишком сложная, к сожалению, чтобы можно было ее здесь кратко описать.

Для вырожденного случал, когда uv = О, для рядов 2(и, даются отдельные формулы, обычно более простые. Дл« функций Уиттекера J для групп SL(3, Е) и Sp(4,C) кз.ми найдены формулы, выражающий цх через преобразование Келлина от произведении двух функций Еесселя, если цу * О.

Посла того как вычислены коэффициенты Фурье рядов Эйзенштейна Еi-,s;f), мы рассматриваем один наиболее важный и интересный частный случай, когда / » О,- кубическая тзта функция Куботы-Иаттерсона, q » (3). В этой случае ряды jD ^ t аг) с * О Для групп Б1ДЗ,С) к G^tC) раскладываются а зйг.ероиские лроизвегэнип, а для группы Sp(4,c) представляются комбинацией рядои Дирихле вида

л,,,,«»;®) - uw.

t а I ( J i i: ,

t jjji'

t

или, в простейшем случае, когда д = V = 1, -

2) (я) . 27 Г '■ С)2

что сразу доставляет мероморфную продолжимость рядов Дирихле с квадратами кубических сумм Гаусса в качестве коэффициентов.

Для постоянных членов рядов Эйзенштейна Е(-,г;0. ) находятся явные формулы;

с > ,1 2 П/з-ЗЗ/2 4/3-5/3 (и у) ■ ЛЦ.?Я/2 -. 5 ,г п и____У_

00 <.(9я/г - 3) 3./,(5 . в/9)(8 . 10/9)'

ДЛЯ группы !и(3,С);

г I» V» <;.(ЗУ - 9)с.(зя/2 - 5) _гУцг/Ду6~д__

соо'"-у - з) 35,г(в. а/зия _ 10/3)^77Т)

ДЛЯ группы !1р( 4 , С);

, ., < 35 - 5)<. (9я/2 - 8)С.(Зд/2 - 3)

соо1" У- " 3я - 4)С, (9в/2 - 6) ГЗЯ/г - 1)

„8 5 г/3 10/3-5 _¿пи у__

31 Ъ(3 - 4/з)(я - 5/31(3 - 2)(3 - 14/91(3 - 16/9)

для Группы <; {I С); здесь С.(я) « (1 - з'г) с0( (а); С0( -дзета функция Дедикинда. Имея формулы для постоянных членов ( » коэффициентов с, ! рядов Эйзенштейна Е( •, з; в. ), мы находим их полюса н опридЕЛЯвм кубические тэта функции как вычеты в главных (мак-симпл:>ных) и.).|юсах: в точке 4/3, для группы БЫЗ.С); в точках 4 к 10/:1, для .группы 5 р (4. ¡г:); з точке 8/з, для группы с (С). Кубические тэ'ы функции являются, конечно, кубическими метаплок-ткчоскиии фисками относительно группы Г(д), д » (3). Для их коэффициентов ¡'урье находятся явные формулы.

::сли О - кубическая тэта функция на группе БЫЗ.С), то для во ко »(¡фици ж.'ов Фурье имеем

J (,! ' j J

■ h —т( i,HlnH,/3lli'l!1 / 6иукМ4nlntu. 4n\v\u~1 /гy* /г )•, M 36Ç. О)

где

oo

ttta, Э> - |к2/)(«/Г+ 1 /х)Кг/з(1Ы1 + x)x~1 dx, о

К - функция Бесселя-Накдональда, ц, v е q', tiv * О,

h " i ô:

если nv~ - куб какого-либо числа из 0(/з), в противном случае.

Я t(с) - коэффициент Фурье с номером с тэта функции Куботы-Пат-терсона О,.

Кубическая тэта функция в на группе С2(С) оказывается сингулярной. Для ее коэффициентов Фурье имеем:

с (и, у) » - 2 "-fuy)2'3, с (u, у> - о, осей uv * о,

3 5С. ( 6 ) ц

С(10(и,у) » О, если и * О, C0l)(u,y> = hxt v)AfP>K( V. u, y>,

«сяв v • Oj здесь: h e С*- абсолютная постоянная; l?ik>; u, y> ■ J0„iu.y,8/3,4/3); v e 1 + g определяется равенством v « Çtv^j'p, 5®« t, t « 2; A: 1 + q — С* - мультипликативная фуикцкя.

(Квяется весьма вероятным, что, для простого р, Мри> есть прохзведение ВрЯ®" и нескольких множителей вида (1 - ftj>ï"")e с lîSKotopuK* ot, с к с в«= ±1. Но это не установлено в'диссертации. )

На группе Sp(4,c) мы определяем две тэта функций - в и ё-■Йьгчвты » каксвмальном и во втором полюсах. Коэффициенты Фурье фукхцкв С:

, , 2 П* 2/3 2

_» »

cii,0.4*.X)- - -7-т(д)иу К (4nl(ilu), Ц * О;

3 Ç.U)

Cov(Ci, yj - rlTTu" V/JK,/V * 0;

3*<. < 4 ) 3

с ,u.y, * ,,?У n ei - -1-)"||„112/з11и,,/з.

H 35<.(3) plfiv llpll3

ReB E AuJ l - s'D„i,( I; 4 )US/3yS/ 3V{4TliUiU, 4rtlHu"1yl. s-» In.? и

t -4еску5но, l | (>ii>) ™

с да < о в ii|»,pi -

"t (1 + х»1/эК1/з(а/1 + x + k)Kg/J(ß>/( 1 ♦ 1/xM'l '+ 1/Ш)

(1 ♦ K,"3<1 ♦ ;<,,3/V/3K dXdh'

00

Коэффициенты Фурье функции 0:

3 (Z )

c^iu.y) Ш з,(0)г(м)иу8/3К,/3(4л|Щц)> ц * О,

3 { 2 i

cow(u,y) » ,-25"5 , РГПТаг/3у8/3К (4л| И и"1 у), ^ * 0( з С.{2}3

М З1 2 С. i 2) Г(4/3) pil'V llpll2

•Res £ Л ( l; S)D { l; 1 0/3 ) uyVl 4 IT | (JI U, 4fr | и"'y > i

S= 1 0/3 1 il • $

t - iecKySHo, 1 I ((IV)

С ßv * О и (/(«, ß) »

(i ♦ x)'/6K0(aSl * x t k)Klyj(flSl l * 1/хШ * I /Ю)

j J ---, ,i/6, ,-'so 5/6„7/6-dxrf,<-

„ • (1 + k) 1 + x + к) x к

oo

В этих формулах: Г - ганма-функцил; Р^ - производная функции определяемой равенством

Р.,(е>

S( V. n) Hnlls

n = i ( 3 g cd ( n, q) = 1

и области Rets) »3/2 и продолжаемой мероморфно на С (это коэффициент Фурье ряда Эйзенштейна на группе SLI2. ОН

v(l:s) *

т (цт.'т )S( um, /га,, m, )S( д, m, . tn\ )S( v. m. , mlirÇ) 13 12^ & J l « J

Im

Л1'

- 1 . . 2S-4

I тг I

1 ' 2 ' '"3

где суммирование распространено на иелые числа (на О) удовлет-

воряющие условияк:

Kmod3), (iuij/ir^e q

U"! /гае q , _2_ 2

{т1т2ш3)| , ¿Яцл^/д , т3) * О, т2,т3) * О, цит1тгт31

- куб числа кз О.

(Чтобы получить, для кубических симплэктических тэта функций столь же явные формулы, что и для тэта функции на группе БИЗ.С) кы должны были бы исследовать более детально ряды Дирихле Р,,(е) и Л I; б) к найти Р|,(1) и вычеть! Л^^! I; в) в точках 5 = 4 н э • 10/3. Но, в настоящий момент, неизвестно как это можно сделать. '

АВТОРСКИЕ РАБОТЫ ПО ТЕНЕ ДИССЕРТАЦИИ

I 1 I Проскурин 11. В. Автонорфные функции и гомоморфизм Басса--Нилнора-Серра, I, 11. Зап. науч. семинаров ЛОНИ, 1983, Т. 123. с. 85-1 26, 127-163.

13) Проскурин Н. В. Разложения автоморфны* функций и вычеты рядов Эйзенштейна. Международный Конгресс натекагико», Краткие сообщения. I, с. 31, Варшава, 1983.

131. Проскурин Н. В. Кубические симплектичэские тэта-функции. Зап. науч. семинаров ЛОКИ, 1987, т. 162, с. 186-188.

(41 Проскурин Н. В. Автоморфные формы на исключительной группе С2(С). Алгебра и анализ, 1989, т. 1, вып. 3, с. 196-^26.

151 Проскурин И. В. О некоторых дискретных подгруппах в исключительной группе С2 ( С). Зап. науч. семинаров ЛОНИ, 1990, Т. 183, с. 124-141.

[6J Proskurln N. V. On cubic symplectic mnaplectlç forms. Preprint LOMI, E-l-87. Leningrad, LOMI, 1987. 16 p.

a

171 Proskurln N. V, On cubic symplectlc metaplectlc forms, J Relne Angew. Math., 1988, vol.388, 158-188.

181 Proskurln N. V. On cubic thota function». Conference on modular forms sctcrt I variables. Ober wo I f a c li, 1990.

(9) Proskurln N. V. Cubic metaplectlc forms on exceptional Lis group C-type. Preprint LOUI, E-5-90. Leningrad, 1.0HI, 1990. 20 p.

I 101 Proskurln N. V. Cubic metaplectlc forms on axe opt Iona I lis group of type Gj. J. do Math. Pure« at Appl., vol.72, n 3, »993.