Орбиты и инварианты в тензорном произведении трехмерных пространств тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

1 Орбиты и инварианты кубических матриц третьего порядка

1.1 Введение

1.1.1 Основные определения и факты; из теории б-групп (см. [8, п. 8.5], [3] )

1.1.2 Основные конструкции (см. [4, п. 2] ).

1.2 Метод классификации.

1.2.1 Классификация орбит [4].

1.2.2 Описание полупростых элементов

1.2.3 Описание нильпотентных элементов [4].

1.3 Основные результаты.

1.4 Полупростые элементы.

1.5 Нильпотентные элементы.

1.6 Инварианты

1.7 Семейства элементов

2 Замыкания нильпотентных орбит кубических матриц порядка три

2.1 Введение

2.2 Метод описания замыканий.

2.2.1 Алгоритм.

2.3 Замыкания.

2.3.1 Замыкание Oei, Обо, О

2.3.2 Замыкание О^.

2.3.3 Замыкание O55.

2.3.4 Замыкание

2.3.5 Замыкание Оы

2.3.6 Замыкание о

2.3.7 Замыкание

2.3.8 Замыкание о

2.3.9 Замыкание

2.3.10 Замыкание Озе

2.3.11 Замыкание Озз

2.3.12 Замыкание Озо

2.3.13 Замыкание о

2.3.14 Замыкание о

2.3.15 Замыкание On

2.3.16 Замыкание O

2.3.17 Замыкание о

2.3.18 Замыкание Oie

2.3.19 Замыкание с>

2.3.20 Замыкание О

2.3.21 Замыкание о

2.3.22 Замыкание

2.3.23 Замыкание Ol

Орбиты и инварианты кубических матриц третьего порядка с симметричными слоями

3.1 Введение

3.2 Основная конструкция.

3.3 Основные результаты.

3.4 Классификация полупростых элементов

3.5 Классификация нильпотентных элементов.

3.6 Инварианты.

3.7 Семейства элементов

В современной теории инвариантов сложилось вполне четкое понимание того, что среди линейных действий редуктивных групп выделяются классы "хороших" действий, которые наиболее интересны и для которых решение основных задач теории инвариантов, таких, как классификация орбит, описание образующих и соотношений в алгебре инвариантов, является реальным делом. Остальные действия являются "плохими". Распознавание "хороших" и "плохих" действий зависит от того, какой критерий мы берем в качестве базы. В качестве критерия могут выступать, например, гомологическая размерность алгебры инвариантов, сложность действия, свобода модуля ковариантов и т. п. [8], [11]. Почти всегда количество "хороших" действий ограничено. Следовательно, можно надеяться на возможность детального исследования конкретных "хороших" линейных действий. Если удается выделить, при помощи общей конструкции, некий подкласс в классе "хороших" действий то можно попытаться развить общий подход к изучению этого подкласса. При выполнении упомянутых выше возможностей детальное изучение конкретных линейных действий из выделенного подкласса еще более вероятно.

Имеется несколько примеров общих конструкций "хороших" действий. Классическими примерами, детально изученными в работах Костанта [12], [13], являются присоединенное представление и представление изотропии симметрического пространства. Около 25 лет назад Э. Б. Винбергом было найдено обобщение этой конструкции [3], так называемые тета-группы (6-группы). А именно, было установлено, что присоединенное представление алгебры неподвижных точек автоморфизма конечного порядка полупростой алгебры Ли на любом пространстве собственных векторов этого автоморфизма является "хорошим" действием, его алгебра инвариантов свободна, имеется сечение Шевалле с конечной группой Вейля, порожденной комплексными отражениями, имеется общая схема классификации замкнутых [3] и нильпотентных орбит [9]. Эти результаты применялись в дальнейшем для детального исследования различных конкретных линейных действий (для получения полной классификации орбит, явного описания образующих алгебры инвариантов).

Например, таким способом была получена, в рамках общей теории, классификация 3-векторов 9-мерного пространства [4]. С использованием информации о степенях образующих алгебры инвариантов 3-векторов 9-мерного пространства [3] и комбинаторики раскрасок графов был получен явный вид образующих этой алгебры инвариантов [14]. Напомним, что линейное представление группы SLg(C) в пространстве 3-векторов 9-мерного пространства можно реадизовать как ^-группу, ассоциированную с простой алгеброй Ли типа Е^ и автоморфизмом третьего порядка.

В действительности 0-групп, ассоциированных с особыми алгебрами Ли, не так уж и много и поэтому связанные с ними действия должны быть детально исследованы. Зачастую эти действия имеют интересные приложения в алгебраической геометрии и теории представлений. С точки зрения теории представлений желательно знать какие нилыготентные орбиты лежат в замыкании данной нильпотентной орбиты. Это позволяет выяснять структуру некоторых превратных пучков.

Настоящая работа является продолжением начатой в [4] деятельности по детальному изучению представлений 0-групп, связанных с особыми алгебрами Ли. Здесь рассмотрены 0-группы, ассоциированные с автоморфизмами порядка три простых алгебр Ли типа Eq, F4.

Представление, связанное с простой алгеброй Ли типа Eq, является тензорным произведением тавтологических действий трех унимодулярных групп трехмерного пространства, т. е. пространство представления есть пространство кубических матриц порядка три. Классификацию орбит в этом случае можно рассматривать как аналог теории жордановой нормальной формы для обычных матриц. Действительно, известно, что любая квадратная матрица общего положения подобна диагональной. В рассматриваемой ситуации аналог диагональных матриц - это картановское подпространство, а группа перестановок заменяется на группу порядка 648, порожденную комплексными отражениями. Также известно, что умножениями справа и слева на различные невырожденные матрицы обычную матрицу можно привести к простейшему виду, где на диагонали стоят единички в числе, равном рангу матрицы, а на остальных местах - нули. Аналогом этого для кубических матриц порядка три является приведение матрицы общего положения к матрице из картановского подпространства.

Работа состоит из трех разделов.

В первом разделе получена классификация орбит кубических матриц порядка три и описаны свертки, дающие образующие алгебры инвариантов (она свободна).

Во втором разделе получена структура замыканий нильпотентных орбит кубических матриц.

В третьем разделе то же самое, что изучалось в первых двух разделах, сделано для ^-группы, связанной с простой алгеброй Ли типа Классификация орбит для этой ^-группы получена совместно с Д. И. Артамкиным. С помощью полученных результатов изучена связь между изотопными и коммутативно изотопными трехмерными комплексными коммутативными алгебрами (определение изотопии и коммутативной изотопии см. 3.8).

Автор пользуется случаем, чтобы выразить глубокую благодарность своему научному руководителю Эрнесту Борисовичу Винбергу за постановку задачи, полезные обсуждения и рекомендации.

Результаты работы докладывались и обсуждались на семинаре "Теория инвариантов" кафедры Высшей алгебры под руководством проф. Э. Б. Вин-берга на механико-математическом факультете МГУ.

Основные результаты работы опубликованы в [16], [17], [18].

Обозначения и соглашения

Основным полем всегда считается поле комплексных чисел С. Все объекты считаются определенными над С.

Если V - векторное пространство, то V* - сопряженное к нему, SkV -&-ая симметрическая степень, AkV - к-ая внешняя степень, где к - натуральное число. Существует двойственность между пространствами AkV и AkV*, задаваемая следующим правилом: ж, я* >= уХ^х*^, х е AkV,x* е AkV\

Если е - ненулевой элемент пространства AkV, то е* - элемент пространства AkV* такой, что < е,е* >= 1.

Пусть М - подмножество векторного пространства М С V', тогда ( М }

- его линейная оболочка.

GL(F) - группа обратимых линейных преобразований векторного пространства V.

SL(V)cGL(V) - подгруппа унимодулярных линейных преобразований. Пусть G - подгруппа GL(V), М - подмножество V. Определим Zq( М )

- централизатор М в G, полагая

Zq{M) = {(/ Е G\gm = т для любого т € М}.

Нормализатор Nq{M) подмножества М в G - это

Ng{M) = {де G\gM = М}.

Пусть G - произвольная группа Ли. Тогда обозначим через Lie(G) ее алгебру Ли, и через G0 - связную компоненту единицы. Если Н - подгруппа в G то обозначим через Nq(H) - нормализатор Н в G.

Если G С GL(F), то обозначим через CfF]^ алгебру инвариантов действия G на V.

Псевдоотражением называется диагонализируемое линейное преобразование, подпространство неподвижных векторов которого имеет коразмерность 1.

Т" - n-мерный алгебраический тор. id ~ тождественное линейное преобразование.

Sj - символ Кронекера. detВ - определитель матрицы В.

По поводу используемых стандартных фактов из теории алгебраических групп, групп и алгебр Ли смотри [1].

3.3 Основные результаты

Сформулируем основные результаты. Для этого в каждом из пространств Vi, \\ выберем базис. Пусть { е^е^е-ъ } ? { 64,^5,е6 } - две копии одного и того же базиса в Vi, { е7,eg,eg } - базис в V^. Положим

Щ = ® е4 <g> е7 + е2 ® е5 <g> е8 + е3 <g> eG <g> е9, й2 = б! @ е5 <g> е9 + е2 <g) ес <g> е7 + е3 <g> е4 ® е8, з = ei <g> е6 ® е8 + е2 <g> е4 <g) е9 + е3 <g> еъ <g> е7,

J = е1 <g> е4 <8> е7 + е2 <g> е5 ® е8 + е3 <g> е6 ® е9, й* = е1 <g> е5 <g> е9 + е2 ® е6 <g> е7 + е3 <g> е4 <g> е8, ul = е1 <g> е6 ® е8 + е2 <g> е4 О е9 + е3 <g> е5 0 е7.

Тогда каждый полупростой вектор эквивалентен вектору следующей формы и — d\ti\ + а2{и2 + й3). (39)

Коэффициенты определены с точностью до линейного преобразования из группы Вейля W^3) , которая порождена комплексными отражениями порядка 3 и ее порядок равен 72 (см. [3, N. 17 в таблице]). Геометрическое описание группы W^ приведено в 3.4.

Замечание 17 . Обозначения к таблицам 7, 8. Вектор е\ <Э ej <Э обозначен через ijk, вектор ei®ej0ek + ep<g>eq®er - через ijk pqr и так далее для любого числа членов. "Представитель" - элемент, являющийся представителем класса нильпотентных частей. dimS - размерность стабилизатора элемента из U с данной полупростой и нилъпотентной частями, вычисленная по формуле из [4, пп. ^.5/. Последняя строка в таблицах 7; 8 соответствует нулевому элементу. "TunS" - тип редуктивной части стабилизатора "Представителя". В пятой графе таблиц 7, 8 перечислены нилъпотннтные части элементов семейств, лежащих в замыкании орбиты элемента семейства с данной нилъпотентной частью (см. ??). "TunS"-тип редуктивной части стабилизатора "Представителя".

Семейства векторов описаны ниже.

Первое семейство. Это 2-параметрическое семейство полупростых векторов. Канонический вид элемента этого семейства имеет форму (39), где коэффициенты ai, а2 таковы, что ага2 Ф 0, а\ + 8а| ^ О, а\ - а2 ф 0.

Известно [5], что стабилизатор L элемента этого семейства группа порядка 27, порожденная тремя элементами = 1) абелева

Непосредственное вычисление показывает, что в этом случае возможна только нулевая нильпотентная часть и Ng(L) конечная группа (см. 3.4, J#*7). Векторы, эквивалентные вектору из первого семейства, составляют открытое по Зарисскому подмножество в U.

Второе семейство. Полупростой вектор этого семейства имеет канонический вид: и = а(й2 + щ), где а ф 0.

Коэффициент а определен с точностью до умножения на корень шестой степени из единицы. Классификация возможных нильпотентных частей приведена в таблице 7.

1. Винберг Э. Б., Онищик A. JI. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам. Наука. М. 1988. - 343 с.

2. R. М. Thrall and J. Н. Chanler, Ternary trilinear forms in the field of complex numbers // Duke Math. J. 1938. v. 4. - N 4. - p. 678-690

3. Винберг Э. Б. Группа Вейля градуированной алгебры Ли // Изв. АН СССР. Серия мат. 1976. том 40. - N 3. - с. 488-526.

4. Винберг Э. Б., Элашвили А. Г. Классификация тривекторов девятимерного пространства // Тр. семинара по вект. и тенз. анализу. Изд-во МГУ. 1978. - том 18. - с. 197-233.

5. A. Kurth, Equivariant polynomial automorphisms of ^-representations // (в печати).

6. G. С. Shephard and J. A. Todd, Finite unitary reflection groups // Canad. J. Math. 1954. v. 6. - N 2. - p. 274-303.

7. Спрингер Т. Теория инвариантов. Изд-во МИР. М. 1981.

8. Винберг Э. Б., Попов В. Л. Теория инвариантов // Итоги науки и техники ВИНИТИ. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления 1989 том 55 - с. 137-315.

9. Винберг Э. Б. Классификация однородных нильпотентных элементов полупростой градуированной алгебры Ли // Тр. семинара по вект. тенз. анализу. Изд-во МГУ. 1979. - том 19. - с. 155-177.

10. Дынкин Б. Б. Полупростые подалгебры полупростых алгебр Ли // Мат. сборник. 1952. том 30. - N 2. - с. 349-462.

11. Попов В. JI. Сизигии в теории инвариантов // Изв. АН СССР . сер. мат. - 1983. - том 47, N 3.- с. 554-622.

12. Kostant В. Lie group representaitons on polynomial rings // Amer. J. Math. 1963. - y. 85. - p. 327-404.

13. Kostant В., Rallis, S. Orbits and representations associated with symmetric apaces // Amwr. J. Math. 1971. -v. 93. - p. 753-809.

14. Егоров Г. В. Инварианты тривектора девятимерного пространства // Вопр. теории групп и гомол. алгебры. Ярославль, 1981. - с. 127-131.

15. Крафт X. Геометрические методы в теории инвариантов. М. :МИР, 1987. 312 с.

16. Нурмиев А. Г. Орбиты и инварианты кубических матриц // "Тезисы докладов, представленных на международный алгебраический семинар, посвященный 70-летию кафедры высшей алгебры МГУ (10-12 февраля 1999 г.)" стр. 44.

17. Нурмиев А. Г. Орбиты и инварианты кубических матриц третьего порядка // Мат. сборник. 2000. том 191. - N 5. - с. 101-108.

18. Нурмиев А. Г. Замыкания нильпотентных орбит кубических матриц порядка три // Успехи Мат. наук. 2000 том 55. - выпуск 2. - с. 143144.