О некоторых свойствах случайных полей, представимых стохастическими интегралами по полям с независимымиприращениями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

РГ Б од

КШВСЬЖЙ УШВЕРСИТЕТ 1меш Тараса Шевченка

На правах рукопису.

ШПОРТЮК Володамир Григорович

УдК. 519.21

ПРО ДЕЯК1 ВЛАСТИВОСТ1 БИПАДКОВИХ ПОЛ1В, ЯК1 ЗОБРМУЮТЬСЯ СТОХАСТИЧНИМИ 1НТЕГРАЛАМИ ПО ПОЛЯХ 3 НЕЗАЛЕЖНШИ ПРИРОСТАМИ.

01.01.05 теор!я ймовГрностей та математична статистика

АВТОРЕФЕРАТ .дасертацП на здобуття вченого ступени кандидата ф1зико-мзтематичних наук

.Кит - 1994

Лис-еигаш «зк> с рук» лис.

Робота зиконанэ на кяфодр! надо! математик-/. #1 Кшвського гоштехтчного шституту.

/

Наукавий кер!вник: доктор ф1зико-математичких наук,

професор БуллитiH Валер1й Володимирович. Оф I ц t ш t опоненти: доктор ф!зико-математичних наук, професор Mtm.ypa Ш1я Степан 1вна. кандидат ф!зико-математичних кэук, Маляренко скатол'о Андр1йович

Пров(дна орган1эац1я: 1нстатут к1бернетики

1м. Б.М.Глушкова HAH УкраИни Ы. Ки1'в).

Захист дасертацП в!дбудеться ^ ОгхкМыкЛ 1994р. о 14.00 год. на зас1дэнн1 спец1ал!зовэно1 ради К 01.01.14 по присудаенню вченого ступени кандидата ф!зико-математичних наук в Ки*вському ун1вэрситет1 1мен1 Тараса Шевченкэ за адрэсою: 252127, Ки1в, проспект Академ1ка Глушкова, В, механ1ко-мэтематичний факультет. 3 дасертац1ею можна ознакомится в б)йл!отец1 ун1верситету.

Автореферат роз!слано ^^ ^^^^^^ 1994 року.

Бчений секрэтар спец1ал1зовано1 ради

Курченко 0.0.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальн1сть .тени. В таорП випадкових процес!в i пол!в

та П застосуванн! в оптиц!, сейсмограф!i, голограф П,

рад1отехн1ц1, електрон!ц1, теорИ зв"язку важливу роль

В1д1грають випадков1 шля, як1 зображукпгься стохастичними

1нтегралами по полях з незалежними приростами.

Серед poóíT, присвячених вивченню пол!в з незалежними

приростами сл!д в1дзначити робота М.Л.Страфа,

А.1.Каткауекайте, Н.Кал1наускайте, Ю.С.МИпури, Н.М.31нченко,

С.М.Савенко. Теор1я 1нтеграл1в го Mípax з незалежними

значениями викладена в книз1 А.В.Скорохода(1986) I роботах

Н.В.Радченко. Властивост1 р!зних вид!в стохастичних

1нтеграл1в по полях з незалежними приростами вивчали

R.Cíiroli 1 J.Wolsh, Praücasa Rao, Ю.С.М1шура, С.М.Савенко.

Нехаа ae(í)=[ /(I,a)dC(s) К™

де /(í,a)- невипадкова д!асна функц!я, що називавться функц1вю в1дгуку; ССз)— стохастично нерерервне центровано однор1дае поле з незалежними приростами. 3 будови поля (Скороход А.В.1986) вишшвае сп1вв1дношення:

s(t)=[ f{t,s)d£(s) = Г /(í,s)dS(з) + Г aw/(T,s)£to(s) =

|Rm R™ Rm

= T](f)+7 (i)

да to(s)- стандартна в!неровв поле за Чвнцавим; £(s)~ стохастично неперервне однор1дне поле з незалежними приростами, в якого в!дсутня гаусова компонента; при цьому поля i(з) í w(s) - незалежв!. Поле т}(Г) будемо називати узагальненим полем дробового ефекту, а зе(Т)-л1н1йним полем. Поле y(í)-гауссове. Прикладом ф!зичного процесу, що приводить до випадкового процэсу типу дробового ефекту, в

дробовий ефекг у вакуумних трубках. Ряд приклад 1 в процес1в дробового ефекту 1 зв"язаних з ними математичних моделей е роботах С.М.Ритова, В.М.Золотарьова, та 1нш. автор!в. Дзяк1 властивост! як' процэс1в дробового ефекту, так узагальнених процес!в дробового ефекту вивчались в робота В.Ф. Сияявського, Р. Луганан1, С.О. Райса, В.В. Булдиг1на Н.В. ЯровоИ, В.В. Довгалюка, В.М. Мельника. В цих роботаз вивчались локальн! властивост! таких процэс!в, оц1нки д; розпод!лу супремуму, функц1ональн1 граничн! теореми т теореми типу Лев!-Бакстерэ .

В дан!й дасертащгн1й робот! вивчакггься умоз нормал1зац! I узагальнених пол1в дробового ефекту у просто] неюрэрвних функц!й та теореми Лев!-Бакстера для однор!ди: узагальнених пол!в дробового ефекту .

Теореми Лев2-Бакстэра вивчають умови зб!жност1 середвьому квадратичному або майже напевне квадратичн вар!ац11 вшадкових функц1а до невшадковоI, в1дм1нно1 в! нуля, стало!. Ц1 теореми досить добре вивчвн! для гауссов процэс!в 1 пол1в (Е.Г.Гладишев, Ю.А.Розанов', Ю.М. Рижов, В.Г.Алексеев та 1нш1). Умови зб!жност! бэкстерових сум для гауссових процес!в у нормах простору 0рл1ча досл!дкувг лись Е.П.Бескл!нською I Ю.В.Козаченком.

Теореми бакстерового типу для вшадкових процэс!в I I як1 не е гауссовими, вивчались в роботах Ф.Коз!на, П.1 Ю.В.Бондаря, О.О.Курченко, В.В.Булдиг1на та В.М.Мельник; Бакстеров! теореми для узагальнених стохастичних 1нте] вивчались А.А.Дороговцевим. Теореми Лев1-Бакстера для стр субгауссових процес!в були отриман! В.В.Буддиг!ним 1 Ю.В.Козаченком.

Ц1 теореми використовуються для знаходаення ефективних кригерНв сингулярност! м!р (Е.Г.Гладишвв, В.Г.Алексеев, Ю.М.Рижов,. О.О.Курченко, Ю.А.Розанов), що в1дщов1дають процз-сам, як! мають бакстерову властив!сть. Цэа п!дх!д використо-вуеться в задачах ввд1лення сигналу на фон1 шуму (Д.Слепян).

Р1зн1 статистичн1 задач!, под1бн! до'описаних вишэ, в застосуванн! до узагальнених гол!в дробового ефекту обумов-люють необх1дн1сть вивчення теорем Лев1-Бакстера для таких

пол1в.

Мета робота. Знаати умови нормал!зацП узагальнених пол1в дробового ефекту у простор! неперервних функц!й. Огримати теореми .Лев 1-Бакстера для одор!дних узагальнених пол!в дробового ефекту та критер! I сингулярност! м!р, що в1дпов1дають однор!дним узагальненим полям дробового ефекту.

Методика досл!дкення. В дисертац! I використовуються теоретико-гмов!рн1сн! метода досл1даення, а також метода 1 факта спектрально! теорИ функц!й.

Наукова новизна. В дисертац!йн!а робот1 отриман1 так1 основн! результата:

- знаадено умови нормал1зацП- ск!нченновим!рних розпод!л!в узагальнених пол!в дробового ефекту ;

- знаадено сем!1нвар1антн! умови нормэл!зац!I цих пол1в у простор! неперервних функ1й;

- знаадено умови бакстеровост! однор!дних узагальнених пол!в дробового ефекту на ф!ксованому та зростаючому параметричних !нтервалах у терм1нах функц!й в!дгуку та • спектральних терм!нах;

- доведано теореми, типу те ре ми Гладишева, для однор!дних узагальнених пол! в дробового ефекту з! сшктральними

дальностями сшц!ального вигляду. - знайдено достатн1 умови сингулярност! м!р, що в1дпов1дакггь

одаор1дним узагальненим полям дробового ефекту. Теоретична 1 практична ц!нн!сть. Результата дисертац! йно* робота можутд/ бути використан! при вивченн! анал!тичних властавостей реал1зац1й пол!в дробового ефекту; в задачах побудови стохастачних 1нтеграл1в по • узагальнених полях дробового ефекту; для знаходаення ефективних критериев сингулярност1 м!р; в задачах вид!лення сигналу на фон! завад та 1нших статистичних задачах для узагальнених пол! в дробового ефекту.

Апробащя робота 1 публ!кацП. Основн1 результата дисертац!I допов!дались на сем!нарах з теорП ймов!рностей 1 теори випадкових процес!в Ки!вського пол!техн!чного !нстигуту , шрш1й (1992), друг!й (1993) 1 трет!й (1994) науково- молод !жних м!жнародних конференЩях !мен! Академ1ка М.Кравчука "Теоретичн1 та прикладн1 аспекта математики"(КШ) Трет!й Донецьк!й м!жнародн1й конференцП иймов1рн!сн1 модел! процес!в у керуванн1 та над1йност!" (1993) 1 опубл1кован1 в роботах:11 - 4]

Структура 1 об"ем робота. Дисертац!я складаеться з! вступу 1 двох роздШв, розбитих.на с1м параграф!в. Об"ем робота 1 ст. машинописного тексту. Б!бл1ограф!я включав найменувань.

ЗМ1СТ РОБОТИ.

У вступ! наведено короткий огляд досл!даэнь, пов'язаних з темою дисертац! I, та викладено основн! результата робота.

ч

У перлону роздш досл!джукггься умови нормал1зац!1

узагальнених пол1в дробового ефекту В §1 встановлено структуру характеристично! функцП стохастичних 1нтеграл1в по випадкових м!рэх з незалежними значениями. Нехаа ц(В), Вежде") - зл 1 ченноадатизна стохастично неперервна випадкова м!ра з незалежними значениями, визначена на множинах борелевоI а-алгебри Ж(Кт). В1домо 1Скороход,1Э86,ст.и4], що м!ра р(В) допускав

зображення: ^(В)^0(В)ч^|л:1{|1|<5}1вШа>-П:1+-| |г1{(а;|>з>1вА''

К"® КтК

да р.о(В)-гауссова зл!ченноадитивна стохастично неперервна

м1ра, незалежна в!д пуэсоново! випадково* м!ри з незалежними

значениями у(11хВ), ЦсИЧСО}, а П(и><В) - м!ра Лев! випадково!

м!ри ц(В), тобто П(ИхВ)=Е^(ШВ).

ТЕ0РЕМА1.1 Нехай випадкова м!ра ц(В) е зл!ченноадагивною стохастично неперервною однор!даою центрованою випадковою м!рою з незалежними значениями без гауссово! компонента I задовольняе умови: | ^|а:1< «». (1) | | х2!^ < (2)

К"1® «"К

а невипадаова функц!я /(?) така, що: | /2(Т)сг?<®.

Кт

Тод1 визначений стохастичний !нтеграл 1(/)= | /(Т)ф

, К™

1 гого характеристична функц!я мае вигляд: Е ехрИА1(/)} =

= едр| | | [е1Хд*(Т)-1-Ш:ЯТ)) П(с2г) ВГ К

У 9 2 встановлюеться взаемозв'язок м1ж стохастичними 1нтегралами по випадкових м!рах з незалежними значениями 1

£

м!ж стохастичними 1нтегралами по випадкових полях з незалежними приростами. Якщо задано випадкову Mlpy \l , що задовольняе умови (1) 1 (2) , то поставимо Кй у в!дпов1дн1сь випадкове поле £(t) := (0,t]). А якщо задано випадкове поле £(t) то визначимо на Д0(Н0- зл!ченне к!льце, породаене п!вк1льцем нап1вв1дкритих 1нтервал1в з рац1ональними к1нцями (з,Т]с(а,БЗ) випадкову Mlpy ц: ц((з,П):= Д_ J(t) де Д_ J(a)=( ПД, b-a )i(a),- прирЮт

t-S b-a г si 'г г

поля Ut) на т-вим!рному 1нтервал1 (a,b]dRm ,

а Д. ............а.....Ът).

' г г

Нехай поле £(t) таке, що: 1) для v BeRo е(Ц(В))2<ю, (3) 2) ДЛЯ Д0В1ЛЬН01 ПОСЛ1ДОВНОСТ1 {Вп, }е/?о такоI, що

1 0 в,=о и5Е(ц(В))2=о. (4)

При цих умовах Mlpy р., породаену полем з незалежними приростами на R0 можна продовжити до a-здигивно! м!ри IX на £В(Кт).

ТЕОРЕМА 2.1. Нехай C(t) - д!йсне сепарабельне стохастично неперервне одаор!дне центроване випадкове поле з незалежними приростами, яке задовольняе умови (3) 1 (4),а невипадаова функц!я /(*) така, що J f* (t)dt<<*>.

ВТ

Тод1 визначений стохастичниа 1нтеграл

КЛ= J /(t)dC(t) := J /<Г)ф

К™ д>т

1 його характеристична функц!я е еар(Ш(/)} = Г Кгог —

=e2pj--g-v| f(t) dt + J J(t>-1 -iAx/(T)] П(dr) dtl.

Km , Km К

Нехай /(t,3) така д1йсна функц!я, що для дов1льного TdRm

/_=</<?»3), 3dR™)eL2 (R™). Якщо С(в), в«*™ -стохастично

неперервне одаор!дне цэнтроване паю з гауссовою компонентою 1 незалежними приростами то, зг!дщо з теоремою 2.1,

визначене випадаове полэ ае(Т)=Г /(í,b) dt(s) (5)

R™

з характеристичною функц1ею

<pt(M = Eezp{ik*>(f)]- - в) df +

+ 1 '

Поле эе(Т), будамо називати л!н1яним полем, породаеним полем С(в) 1 функц!вю в!дгуку /(1,8), ¥,£НКт.

Якщо С(а)=®й)Д^Кга в стандаргне в!неровв полэ за Ченцовим то визначене гауссове полэ, яке зображуеться

стохастичним 1вггегралом /(Т,з)<3»(а), (7)

Якщо у поля С(з)=£(э) в!дсутня гауссова компонента, то визначене поле, яке зображуеться стохастичним 1нтегралом

т}(Т)=Г /С^з)^(з), (8)

V

Поле Т](Т), ТеЯ™ будамо називати узагальненим полем дробового

ефекту, породаеним полем £(в> 1 функц1ею в1дгуку /(Т,в).

Якщо функц!я в1дгуку /(Т,з) заложить в!д р1зниц!

аргумент!в, тобто /(Т.а) = /(Т-з), 1 / «= Ь2(Кт), .

то поле Т1(Т)=Г /(1-з)й£(в) в стаШонарним (однор!дним). К™

Тому будемо називати так! поля однор!дними узагальненими полями дробового ефекту.

У §3 встановлено умови нормал1зац!I ск1нченновим1них розпод1л!в стохастичних 1нтеграл1в по випадкових полях з

незалежними приростами та узагальнених пол!в дробового

?

ефекту t умови нормал!зац11 узагальнених поив дробового ефекту у простор! непэрервних фувкц1а.

ГЕОРЕМА 3.1. Нехаа н - тополопчниа проспр, всН,

« Кт>, в « в -с!м'я пол!в з незалэжниш щшростами, таких, що дяя кожного 0 « 6 Mipa ца, пордаэна полем £0, задовольняв умови теореми 1.1. Яйцо, як 1 ранние, функц!я

/«^(Ю I додатково: 1) G, = f <

Rm

00

2) О* (9) = LX{Q) - J ^(dE) > О,

-со

J z%(dr)

|х|>е0(9)

3) дяя дов!льного е>0 Им --- = о,

в -во О2 (9)

да eo« Н\9, 1 90 в граничною точкою Н, то

№ -- Г /<т> л»ст).

O(0)JRm " в -*во JRm IEOHMA 3.2. Нэхаа Н-тополог1чниа щюст1р, в с Н, (Ее(^)Д«*'"), 9 « в -сгм'я пол!в з нвзалэжними приростами, таких, що для кожного веб це задовольняв умови теореми 1.1. Нехаа /(t,s), f,s «К" - функц!я в!дгуку 1

ТТ0(Т)=[ /(T,s)d4e(s) -узагальнен! поля дробового ефекту.

V

Яюцо додатково ДЛЯ КОЖНОГО i е R" J |/(f,S)|"dS < 00

1 виконана умова 3) Теореми 3.1, то для дов!льних \.....t « R", nil

ß?- И.....V,..].

тобто ycl ск!нченновим!рн1 розпод1ли поля 1 г - -

- /(i,s)d{0(s), isR" зб!гаються при 9-»90 до

ö(9)J|jm

В1ДП0В1ДЯИХ ск1нченновим1рних рОЗПОДШВ ПОЛЯ VU-f /(f,a)d»(s)J « К™.

V

ТЕОРЕМА 3.3. Нэхаа викоиукггься умови: А) для ДОВ1ЛЬНОГО веб I дов!льного k & 1

^(0) = J |а;| iydz) <

-со

Б) для дов!льного f « Ia,5l с Rm 1 дов1лъного к i 1 J |/(T,s)jkda <

в, _ . я Pe(t,, _»

метричному компакт! ($,d);

Г) для кожногов «в Г НдЯ (S,e) ds <

V

U £

Д) lin зир Г &,*($,е) de » 0, дэ ЕЛЗ.е) - метрична

U-+0 в«В Jg

ентроп!я множини S = [а,Б] с RT в!дносно псевдометрики рв, а псевдометрики р9, в « в визначаються сп1вв1днотэнням:

p0(t,t) = sup

1

2 i k —1 >

(й-г)! вь(в)

кр!м того, виконувться умова 3) теореми 3.1 Тод! « С[а,Ь]} = 1, « С[а,Ь]| = 1

л

1 нормован! поля т^ зб1гаються слабко у простор1 неперервних функц1й до гауссового центрованого поля . т^. У другому розд!л! розглядаюгься теореми Лев1-Бакстера для

однор!дних узагальнених пол!в дробового ефекту. У $4 доведено теореми Лэв1-Бакстера для однор!дних узагальнених пол!в дробового ефекту на ф1ксованому параметричному 1нтервал1 у тэрн!нах функц1а в!дгуку та у

спектральних терм1нах.

Розглшемо однор1дне узагалшене полэ дробового ефекту ÎTT=Tj(t>, t«tO; 1 ]®cRm ), яе зсхфажуеться стохзстачнш 1нтегрз-

лом: T}(t)=J /(1-B)d|(B) де /(t),t€ir в функщя В1ДГУКУ, Rm

така, що J |/(в)|кав<а>, k=17ï , a ÇftJ.teR® в д«снв Rm

овпарабэльнв стохастачно неперервнв однор!дне ' центровано випадкове полэ з незалэвнши приростами бэз гаусово! компонента, низначене на основному вмов|рв1сному простор!

OD

<Q.3>P), яке задовольняе умови: ak=f |x|kn(dx)«»,ic=i7ï

J —00

Роз1б'емо кожен 1нтервал [0,1 ] точками вигледу гк=ктг>,де k=fTNn,a (гп)"1=Лп - натурально число. Позначимо M=(Nn,Nn,...,Nn). t визначшо прнрЮТ порядку р=(р1.р2,...,ря1) (да рг- ц!лэ невЩ'емне число г=ГЛп)

випадкового поля rj(t ) на ш-bsm!рвому куб! it,t+h],

_ р -»

h=(h,h.....h) ж д* Ч«>-(ДД. Дп Ar.h))1)^),

Д9 Ar>hT|(t)=ij(t1,,..,tr+h,...,tiiii)-Ti(t4,...,tr'.....tj 1

Щ*5 Рг=0. г-а СП1ЕМН0ЖНИН у добущу в одиничнм оператором. Нехай тепэр ап—»0 при п—ив так, що для vn:a'1dH Розглшемо посл1довн1сть бакстерових сум

N N

< а > — м п. в

sn (ч>- Сп £ (5-1 )*„)]". »1 да Ц - £ —X

ksi kslk>lksl

1 m

1 {Сп,т&1 ) - невипадкова норяуюча посл1довн1сть.

{<а>

Sn (TJ), IÊH

зб!галась у оередньому квадратичному до невипадково! стало! С , неоСЬидно 1 досигь, щоб вона задовольняла умови:

iO

1) Ш №Г[ = с :

iг

2>Ш ¿ I ( J = 0;

к-» 7«» R™

ы м

ЩШ ^ Z Z J da = 0.

j=i R™

Певним недол!ком у форму лгааян! теореми 4.1 в наявнЮть у II умовах наростаючих сум. Пврех!д в!д функцП в!дгуку /(з) до II шретворения Фур'в /(X)дозволяв уникнути цього недол!ку I отримати зруча!ш! для шрев1рки умови теореми Лев1-Бакстера. KptM того, введения в умови в!дпов!дних теорем пэретворения фур'в функцИ в!дгуку в природн1м, ocKíjrbKs °26 спектральноо щ!льн!стю однор!дного узагальненого поля дробового ефекту.

m

Нехай /(\)= (2%) а J eip{-i<X,B»/(B)ds №Rn

R™

ТЕОРЕМА 4.2. Для того щоб посл1довн1сть {Sn (rj), j-

зс51галась у серэдньому квадратичному до невипадково! стало! С , неойх1дно t досигь, щоб вона задовольняла умови:

1> т J (rn(2ain%)2Pr)P^>r^ = с ;

(Sin 3

* t (A. + U)

R" R" Sin—" г r 2

r 1 X. Zp*) |3|A I»

* Ч |/(\)| |/(Ц)| сйф = О.

ЗИЛ* «С J J J

VT R R

, » <V M ,

m АС« 2 ^

/<M/(li) »

(х+в)/^(ц-е)Лг>a(\)/ir>г(-х-в)?1г>анмв) слфда = о

у п п л п

У §5 доведено теорема Лэв1-Бакстера для однор1даих узагальненш пол!в дробового ефекту на зростаючому параметричному 1нтервал1. Розглядатимэмо поле т)(£) на 1нтервал1 LO,an]m, да tan,n£l) в нввшадкова госл1довн1сть така, цо líg ttn=». РозШ'емо кожэн 1нтервал 10.сМ точками вигляду t.=fexт , да t"'=N4l, fe=l,N 1 г Cm a a =0. Розбиття

* Г* Г» п Г! f| п^ю п Г»

[0,an]m влаштуемо як дэкарт!в добуток розбитПв кожного 10,ап]. Розглянеью Бакстерову суму:

k«l

{■ (Ж> »

sn (TJ), nil [

зб1галась у середньому квадратичному до невипадково! стало! С, необидно 1 доотгь, щоб вона задовольняла умови:

Ш <W<W"J ( пД2з1т1^-р)1Рг) |/(Х)|Жл. = с ;

___ г г i» а у 1 OL \ .1р

2) m <*с J J п——— зсп^-' -

(t ä |1 . А il,« la

r |/(\)| |/(ц)| <йф = 0.

3 |a

3>^<*OteJ f J

Rm Rm R™

« et (X ♦ u, )

r«i i a i (X » |i )

sin n n "

M

2

л л п п л л

а Н«в)®Ф® = о.

л г»

да а а вярсс<х.«»] I«}-

П П * П П * '

3 Ц161 теореми випливають зручн! для пзрев1рки достатн! умови бакстеровост!:

НАСЛДОК 5.2. Для того щоб посл!довн1сть (Г}),Г&11

зб!галась у оердньому квадратичному до невипадково! стало! С доешь, щоб вояа задовольаяла умови 1)12) теореми 5.2

»ал\+ г 81л " г

1 ушву: 3) Сп(тпО"[ Г П-„ т .. п . •

л л |г=1 * а а (А ♦ и ) в1п " ° г . 2 1 л X |Р | хаи ,р 11. I • |зсп-н-г| ' |/(м||/(Ц)| <»ф = 0.

У 56 доведено теореми ЛзвГ-Бакстора на зросташому парамвтричному 1нтервал1 для однор1 двих узагальнених пол!в дробового ефекгу перетворення Фур'в функцП в1дгуку яких мае степенэвий характер малюет! на нэск!нченност!. Так! задач! для гауссових процес!в розглядав Е.Гладитев, а для узагальнених процес1в дробового ефекгу 1 пол1в дробового ефекту - В.В.БудцигШ 1 В.М.Мельник. ТЕОРЕМА 6.1, Нэхаа т)<1). 1«1Г -однор!дае узагальнене вою дробового ефекгу з фунцют в!дгуку /(*), перетворення Фур*в ' яко! задовольняе умову

I) 1/(*>| - К о(|Х|Гр при |Х|~>

т -1

де |Х|=Г У Хг )/* И>0, р>я.

1 Г = 1 *

Нехая р-р(р)-К , якщо 2Кт-я < 2р < 21та+я

\Ъ

с =

2JTl-2p

(ctnTn) , яйцо 2ß * 2fe*+*

zm-xß - i

(otntn) |1п(апал)| , ящо 2ß = 2toa+m

Тод! ящо 2) lim а » », 3) Um cl t = 0,

/ п _ i» ii

ntoa r\foa

a у випадку, коли 2ß=2toR+m додатково ще 1 4) эе>0: í тп г 8 дга vn,

то i.e.«.- Cnctf ¡ ( Д а г ij<(E-1 ) ûnTn))2= С.

ntoo = v r> n

k

-« г fu И 1 api Л a

ДО o = m caCn(ctnin) П ( 2gtn g ) |/(\)| A.

¿пЛ'"1 •»

ТЕОРЕМА 6.2. НехаЛ T](t) .teR"" - однор!дне узагальненв поле дробового ефекту з фунщ!ею в!дгуку /( t), пере творения фур'в яко! задовольняв умову

л m -6/2 f m -ß /21

1)1/(Х)1-МП +о П|ХР1' щи вир М>0.

г>< |r=í J iSrSm

!1,яицо 2<ß S3 _

r¿T7m"

1с,якщр2к-1<рг5 2k+1 fte2 » a-ß

С = ПС . С =0 (Ö )(сП ) г

п г*1 пг го п 'г' 4 Л п'

Í1, яйцо ß *2k+1

I In (ctnxn ) I ящо ßr= 2K+1 Тод! ЯКЩО 2) Ctn->œ ,при n-ко 3) tn<*n->0, ЩЗИ П->»

m-1 1 m—1

4) э ®>о : vil (tn)a (an)2 *»0

M

TO hi*"- Wl < et Ч( (fe-1 >\«»2 = с

Ks( n n

-mr fa X et T *p "I Л a

да c= ш ww J [nj ) rji/(\)i <л < «

У Ï7 розглядаються твердаення про сингулярн1сть Mîp, як! в1дпов1датъ узагальненим полям дробового ефекту.

\Ч

Вэхаа tj^t), i«*™ - узагальнен1 однор!дн! поля

дробового ефокту з функц!ями в!дгуку <pt(i) 1фж(Т), тобто:

VT>ef <^0-5)^ (в), Ф,(Т-з)й£(з),

V Rm

ТЕОРЕМА 7.1. Якщо т^, т^ узагалънен! одаор!дн1 поля

дробового эфе югу з фунщ!ями вГдгуку, перетворення Фур* в

яких задовольняють умош:

|ф.<А)| = Ц|А|~Чо(|Х|~% при lt>0, |3.>1М=1,2; 1 им |ф4(М|/| Ф.а>Й,

1X1—мв

то гмов1рн!сн1 м!ри, що в1дпов1дають цим полям у функцюнальному простор 1 реал!зац!й будуть сингулярн!.

Основн! положения дисвртац! Г сцубл! кован! в роботах: 1 .Шпоргик В.Г. Про стохастичн! 1нтв1рали по полях з незале»-ними приростами.//Случайные процессы я бесконечномерный анализ, (сб. научн. трудов). Киэв Ин-т. математики АН Украины 1992 С. II5-125.

2. Булдиг1н В.В. та Шпорггвк В.Г. Про нормал!зац1ю випадкових пол!в, як! зображуються стохастичниш !нтзгралами по полях з незалэжними приростами. //Теор1я амов1рностеа 1 мат. статистика 49 (1993) ст. 65-82.

3. Шпортвк В.Г. Деяк! граничн! теореми дяя узагальнених по-л!в дробового ефекту.//Деп. в Укр.ЦЦШП i2.0ij.l994 *&ЙУк.9^

4. Шпортюк В.Г. Цро деяк! граничн 1 теореми дяя узагальнених пол!в дробового ефекту. //Прац! ВоеукраШсысоГ конференцП молодих вчених (математика). 4.2. С. 283-290. Деп. в Укр.НДШГ! 20.ОТ. 1994 Л1302 Ук.94.

Шпорток В.Г. О некоторых свойствах случайных полей, представших стохастическими интегралами по полям с независимыми приращениями. Рукопись. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности Q1.01.05 - теория вероятностей и математическая статистика. Киевский университет. Киев. 1994.

Получены условия нормализации конечномерных распределений обобщенных полей дробового эффекта. Найдены семиинвариантные условия нормализации таких полей в пространства непрерывных функций. Доказаны теоремы типа Леви-Бакстера для однородных обобщенных шлей дробового еффекта и типа Гладышева для обобщенных полей дробового еффекта с функциями отклика специального вида.

Shportyouk V.Gr. On some properties of random fields represented by stochastic integrals over fields with independent increments. Manuscript. Thesis for a degree of candidate of sciences (Ph.D) In physics and mathematics, - speciality 01.01.05 -theory of probability and mathematical statistics. Kiev University. Kiev. 1.994.

Conditions of the normalization of finite-dimensional distributions of a generalized Schottky effect fields are given. Semi-Invariant conditions of the normalizations of these fields In the space of continuous functions are found. Levi-Baxters theorems and Gladyshev theorems for homogeneous generalized SchottKy effect fields with response function of special type are proved.

КЛЮЧ0В1 СЛОВА: нормал!зад1я, стохастчний 1нтеграл, випад-кове поле, сингулярнЮТь, незалежн! прироста, бакстеровЮть.