О С-спектральной последовательности эволюционных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

) ^ ■ >

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В.ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

О С-СПЕКТРАЛЬНОИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЭВОЛЮЦИОННЫХ УРАВНЕНИИ

01.01.04 - геометрия и топология

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

ХОРЬКОВА НИНА ГРИГОРЬЕВНА

УДК 514.763.8

МОСКВА, 1991

Работа выполнена на кафедре высшей геометрии и топологии механико-математического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова

Научный руководитель - доктор физико-математических наук

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

в 16 час 05 мин на заседании специализированного Совета Д.0Ь3.05.05 по математике при МГУ им.М.В.Ломоносова по адресу: 119 899, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, ауд. 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (14 этаж).

доцент А.М.Виноградов

доцент Д.В.Алексеевский кандидат технических наук И.С.Красильщик

Ведущее предприятие - Тартуский университет

Защита диссертации состоится

Автореферат разослан

.1991 г.

Ученый секретарь специализированного Совета Д.053.05.05

В.Н.ЧуОариков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. Дифференциальные уравнения в частных производных играют важную роль в современном естествознании, причем сейчас уже можно считать общепризнанной ту идеологию, которая призывает при исследовании системы (нелинейных) дифференциальных уравнений ( далее "система д.у.", "д.у." или "уравнение") искать не только ее точные решения, но и те или иные характеристики рассматриваемого д.у., которые позволяют получать полезную для приложений информацию оС объекте, описываемом данным уравнением. Одной из важнейших характеристик д.у. является наличие у него локальных симметрий, которые широко используются при исследовании конкретного уравнения 1)_3). Однако развитие геометрической теории дифференциальных уравнений показало ограниченность локальной точки зрения и привело к появлении новых средств исследования д.у., таких как, например, псевдопогенциалы и структуры продолжения Уолквисгэ - Эстабрука, преобразования

1). Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений/ /М.:Наука, 1978.

2). Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований s математической физике//М.:Наука, 1983.

3). Виноградов A.M., Лычагин Ь.В., Красильщик 14.<J. Введение в геометрию нелинейных дифференциал!них уравнений//

М.: Наука, 198В.

/ -///У

Беклунда и др.41,5). После выхода работ А.Ы.Виноградова и И.С.Красильщика б),7) стало ясно, что эти новые конструкции являются фрагментами теории накрытие и нелокальных симметрия 61,7). Нелокальные симметрии при исследовании уравнений могут быть использованы так хе, как и локальные, и потому задача нахождения нелокальных симметрии для заданного уравнения представляет интерес.

Содержательную информацию о геометрических, инвариантах дифференциального уравнения несет также С-спектральная последовательность {Е£,ч(3>ю),й£'4} бесконечно продолженного уравнения У003), введенная А.М.Виноградовым а). Так, например, группы Е^'^ЧЗу отождествляются с грушами к-мерных

4). Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям/ /М.:Мир, 1989.

5). АОловиц М., Сигур X. Солитоны и метод обратной зада-

чи/УМ.:Мир, 1987.

6). Krasllschchlk I.S., Vinogradov A.M. Nonlocal symmetries

and the theory ol covering//Acta Appl. Math. - 1984.

V.2, 110.1, P.79-96.

7). Krasllschchlk I.S., Vinogradov A.M. Nonlocal trends In

the geometry oi dlXIerentlal equation: symmetries,

conservation laws and Backlund transfonnatlon/v'Acta

Appl. Math. - 1989. 7.15.- P.161-209.

8). Виноградов A.M. Одна спектральная последовательность, связанная с дифференциальным уравнением, и алгеСро-геометрические основания лагранжевой теории поля со свя-ЗЯМИ//ДАН СССР.- 1978. Т.238, * 5.- с.1028-1031.

горизонтальных когомологий де Рама 3', среда которых груша Й"-1 (Ут), где п - число независимых переменных, - груша законов сохранения 9). Группа е] ,п~1 для регулярных уравнений 9) может быть отождествлена с кегТ^, где звездочка обозначает операцию формального сопряжения оператора. Как известно, кегГ* содержит все производящие функции законов сохранения, причем дифференциал сопоставляет закону сохранения его производящую функцию, а условие й] ,п~1 (<|>)=0 выделяет те функции фекег1^, которые являются производящими функциями законов сохранения 9). Элементы группы {уа) при р^2 могут трактоваться как законы сохранения для семейств решений д.у. 101.

Приведенное описание групп (3>ю) показывает, что

знание их может оказаться полезным при исследовании дифференциального уравнения.

Цель работы - исследование уравнений, определяющее нелокальные симметрии, построение новых серий нелокальных симметрии для уравнений, имэодих оператор рекурсии А), развитие методов вычисления групп (ую), р>1 с-спектраль-ной последовательности дифференциального уравнения.

Научная новизна. В диссертации доказано существование серий нелокальных симметрий ряда уравнений, имеющих опера-

9). Vinogradov A.M. C-Spectral Sequence, Lagrangian Formalism and Conservation Laws//J. ol Math. Anal, and Appl.-1984. V.100, no. 1«— P.1-129.

10).Tsujlshlta T. Formal geometry of systems of differential equatlon/ZSugaku Expositions AHF.- 1989. V.2.

J-///V

тор рекурсии; предложен метод вычисления группы (¿>да)

для эволюционных уравнений, проведено вычисление группы ,п"1 (З'оо) ляя некоторых эволюционных уравнений с одной пространственной переменной, в том числе для уравнения Бюр-герса, уравнений КдФ, МКдФ, ШдФ; порчены теоремы тривиальности групп , р?-2 для некоторого класса уравнений, имеющих бесконечное число симметрия.

Приложения. Полученные в диссертации результаты могут найти применение при исследовании уравнений математической физики.

Апробация. Результата диссертации докладывались и обг-сукдались на заседании кафедры высшей геометрии и топологии МГУ им.М.В.Ломоносова, на научных семинарах кафедры высшей геометрии и топологии под руководством А.М.Ьиногргдова, на международной конференции по дифференциальной геометрии и ее приложениям ( Чехословакия, г.Врио, 1У8У г.), а также ка научном семинаре кафедры геометрии Тартуского университета.

Публикации, '.'снсвные результаты диссертации опубликованы е работах И 1-14), приведенных в конце автореферата.

Структура диссертации. Работа состоит из введения и

двух глаЕ. осъеч - 77 страниц, в списке литературы 23

ч

наименования.

КРАТНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дан краткий обзор результатов диссертации.

ГлаЕа 1 посвящена вопросам существования нелокальных симметрия.

В 5' дается краткая сводка используемых понятий и фактов из теории накрытий и нелокальных симметрия '' .

Определение 1.б) Накрытие уравнения у есть тройка ( 5\С,т), где у - некоторое бесконечномерное многообразие, С - п-мер-ное распределение на у, удовлетворяющее условиям классической теоремы Фробениуса, а т - такое регулярное отображение у на уа, что для любой точки уО> касгтельное стобрахениэ т^ у есть изоморфизм плоскости Су на картанов-скую плоскость9' уравнения в точке г (у).

Локально накрытие г: у —► уа задается набором векторных полей на у

Ь> ЕЛ , К1«1. (1)

1 1 3-1 3 а

где ^,...я - координаты в слое проекции г (нелокальные

. /V

переменные), а функции Х*еС (У) удовлетворяют условиям

51(х^) = 5ух*), 1а,к«г. (2)

Алгебра нелокальных симметрия уравнения типа т; определяется как алгебра локальных симметрия накрывающего уравнения у. Имеет место следующее предложение. Предложение 1. Любая нелокальная симметрия типа т уравнения у={?=0} является эволюционным дифференцированием91 вида

Эа,В= V <3>

где а=(а1,. ...е^), В=(Ь,,...,Ьн), а^.Ь^С®^), причем функции а^, удовлетворяют уравнениям

1у(а)=0, (4)

53(Ь1)= Эа<в(Х^), ККН. (5)

В §2 устанавливается связь между элементами одномерной группы горизонтальных когомологий де Рама Я1 (У^) и накрытиями. А именно, сопоставим накрытию, задаваемому полями (1), где Х*€С|ЯО>00). набор горизонтальных 1-форм на ут

V ^ 3,1.....(6)

Условия (2) в данном случае имеют вид З^ш =0, 3=1.....N.

Поэтому формы ш1,... порождают некоторые элементы }, ...Лш^] групш й1 0>м). Обратно, набору из N горизонтальных замкнутых 1 -форм (6) на Уа, являющихся представителями классов когомологий 1.....Сш^кН1 (Ую), соответствует Л-мерное

накрытие уравнения Уа. локально задаваемое полями (1).

Далее в §2 приводится конструкция универсального абе-лева накрытия.

7)

Рассмотрим сумму Уитни одномерных накрытий , определяемых элементами базиса пространства Н1 О^). Это накрытие обозначим через : у11}—» ут. Возьмем сумму Уитни всех одномерных накрытий над 5>(1), определяемых элементами базиса пространства Н1 {у^ ]). Получим накрытие г2 1: у1г)— над УП), которое определяет накрытие *сг=т1,"т2 1 :у(2)—» Уа над ут. Продолжая этот процесс, получим башню накрытий над Ую

Пусть у *- проективный предел этой цепочки, а т*: у *—» уа-

соответствувдая проекция. Накрытие т*: у *—» уа искомое.

Нелокальные симметрии в универсальном абелэвом накрытии описывает следующая теорема.

* ~ *

Теорема 1. Пусть т: у -» у^ - универсальное аСелево

накрытие уравнения у = £Р=0). Тогда для любой вектор-функции а=(а1,...,ат), а1е Сю(;у *), удовлетворяющей уравнению. 1р(а)=0, где волна над знаком оператора обозначает его поднятие в накрытие х*, существует набор таких

функций Б = ( Ь1), Ь € С™ (¿у ), что векторное поле

л* /у а

эа В = эа + Ь1 • гда ~ координата в слое проекции д

1* (нелокальные переменные) есть нелокальная симметрия типа *

а уравнения у.

Теорема 1 утверждает, что в случае универсального абе-лева накрытия любая вектор-функция на накрывающем уравнении, лежащая в ядре оператора 1р, порождает некоторую нелокальную симметрию уравнения у.

В §3 строятся серии нелокальных симметрия для уравнений, имеющих оператор рекурсии. Предлогеняе 2. Пусть дифференциальное уравнение вида

У = (и^ Бх(в(х,г,и,и1,...,ик))}, из=

имеет оператор рекурсии И= Гк Б^, г^с*). Тогда

для любой симметрии Эа в в накрытии т* существует симметрия Эа,в,, где а'= Н(а), И= *к

Предложение 3. Пусть уравнение у и его оператор рекурсии Е удовлетворяют условиям предложения 2.. Предположим также, что существует локальная симметрия <р уравнения у, порождающая с помощью оператора Н бесконечную серию локальных симметрия 5={ Ипф|п=0,1,...), причем 5. Пусть Н(П - поднятие оператора И в накрытие ■х1: у1Л)—» ут, ассоциированное со всеми локальными законами сохранения уравнения у, - нелокальные переменные в накрытии . Тогда, если Ф=

«V

=2Фк»к+Фекег1?; где под знаком суммы отлично от нуля только конечное число членов, <рке5, Ф€Ссо(3^оо>, то И!15(Ф)еСго( и имеет аналогичный вид.

Отметим, что условиям предлохений 2 и 3 удовлетворяет популярное уравнение КдФ.

В §4 приводятся примеры уравнений, к которым предложение 2 формально применить нельзя, но тем не менее в накрытии -х* у этих уравнений возникают дополнительные серии нелокальных симметрия. Среди них уравнение з 1т?-Гордон, модифицированное уравнение Кортевега ле Фриза (МКдФ) и др.

В §5 проводится исследование уравнений (4),(5). определяющих нелокальные симметрии в произвольном накрытии и у —► уа. Доказана следующая теорема. Теорема 2. Для любого накрытия х: 5' —* У^ уравнения ую существует такое накрытие г3: ух —► у —► ут, что любая вектор-функция ф=(ф1,...,ф ), ср±€ С™ (Я,.), удовлетворяющая уравнению 1р(<р)=0, где - поднятие оператора 1г, на Ух, порождает нелокальную симметрию уравнения ух типа г3.

Отметим здесь работу К.К1зо 11>, в которой доказан аналогичный результат для эволюционных уравнений с одной пространственной переменной. Подчеркнем, что теорема 2 справедлива, для произвольных систем д.у..

Глава 2 посвящена развитию методов вычисления члена Е*,п~1(3^) С-спектральной последовательности в случае одного дифференциального уравнения в одномерном линейном расслоении.

В §1 приводится конструкция С-спектральной последовательности 9>, а также полученное на основе результатов этой

11).К1ао К. Раеи<1оро1еп1;1а1 ап! аутшегг1еа оГ ето1и11оп equations//Pгepгlnt.EMme ип17егз11у.1985.

работы описание групп в случае одного дифферен-

циального уравнения в одномерном линейном расслоении.

В §2 дано удобное для вычислений описание группы ^•»-'(У«,) Л"51 эволюционного уравнения: Теорема 3. Если

.Уги^К^х.и.....иа,.. ),х=(х1,....хп_1 ),и=и(х1,...,хп_,,1)-

эволюдаонное уравнение, то группа Кр1*-11У«,) изоморфна линейному пространству, состоящему из С-дифференциальных операторов Лгс"^)—► С°°(ут) вида

удовлетворяющих уравнению 1*» Д - 4*« 1р, где ? = рп-

Г(х,р0.....р0,...), или системе уравнений

Д^-Д

иг(Д) + й°Ту| 1*«д -= о, где С4(Д) - ^.Д).

В приводятся результаты вычислений груш для ряда эволюционных уравнений с одной пространственной переменной, основные результаты этого параграфа содержатся в теоремах 4 и Ь.

Теорема 4. Если уравнение имеет вид

^ш^-и^ од/б'и / О,

то = О.

Теорема 5. Пусть у - 1 и^ = -и + Згг ) - потенциальное ураЕнение Кортевега-де Фриза (ПКдф). Тогда группа Ь"^'1 есть двумерное векторное пространство над в?, порожденное операторами

§§4-6 посзящены вычислению групп Ц'^) при р>з.

с

Пусть у = i F=0 }, Р е c®(Jk(ic)), - регулярное дифференциальное уравнение в одномерном линейном расслоении

%'. Е11*1-. Мп.

Выделим два класса уравнений приводимыми ниже условиями DC1 и DC2.

Условие DG1. Подаодуль Ку модуля CDlii(C°°(3;oo) ) 9\

порожденный операторами ввда v°lp, обладает прямым дополнением в CDlir(С®(3;ю),С°°())), т.е. существует такой подмодуль о с cMmc^yj.c00^)), что

Ш1Г(СС0(У<о),С00(У<о)) = Крф о. Условие DG2. Подмодуль К^, обладает прямым дополнением, причем модуль О может быть выбран так, что любой оператор из О, обращающийся в нуль на ker 1р, тождественно равен нулю.

Отметим, что если дифференциальное уравнение в частных производных удовлетворяет условию D02, то это уравнение обладает бесконечным числом симметрия.

Имеют место следующие теоремы. Теорема 6. Предположим, что регулярное уравнение y=lF=Q)

в одномерном линейном расслоении u: Е1141-» Мп удовлетво-

р0.а-1

ряет условию DC2 и для некоторого р0>1 Е^

Тогда (Ую)~0 для любого Р>Р0-

Теорема 7. Предположим, что эволюционное уравнение

3> = {ut=i(x,u,5u/ax.....a^i/ax*)}

удовлетворяет следующим условиям:

1 > Е^•1 (Уа) - конечномерное векторное пространство над к; 2) Уравнение у имеет симметрии сколь угодно высокого порядка.

Тогда для любого р>3 1(Ут) = О-

Из теоремы 7 вытекает, в частности, тривиальность при р^З груш Щ'1 (3>м) для таких уравнений как уравнение Бвр-герса. уравнений Кдф, ПКдФ и МКдФ.

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ ПО ТШЗ ДИССЕРТАЦИИ

Ш. Хорькова Н.Г.Об операторах рекурсии для дифференциальных уравнений в частных производных//Геоме трия, дифференциальные уравнения и механика.- Изд-во МГУ,1986.-с.156-158.

12].Хорькова Н.Г. Законы сохранения и нелокальные симмэт-рии//Математически8 заметки.- 1938. Т.44, вып.1. -с.134-144.

[31.Хорькова H.F. Законы сохранения и нелокальные симмет-

. рш//Труды МВТУ .- 1988. *Б12, С.105-119. [4].Хорькова Н.Г. О С-спекгральной последовательности эволюционных уравнений//Математачвские заметки. - 1991. Т.49, вып.6.