О сходимости обобщенных аппроксимаций Паде функций двух комплексных переменных тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ и ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В;ЛОМОНОСОБА у

механико-математический факультет на правах рукописи

Брайнова Елена Георгиевна

' ' . УДК.517.53

О СХОДИМОСТИ ОБОНДЕННЫХ АППРОКСИМАЦИЙ ШДЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ КОМПЛЕКСНЫХ ПЕРВЛЕННЫХ

/ 01.01.01 - математический анализ /

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук.

Москва - 1992

/1 мг-'7 Л

Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова.

Научный руководитель - .кандидат физико-математических наук, доцент В.В.Вавилов.

Официальные оппоненты - ' доктор физико-математических наук, профессор

A.А.Привалов.

кандидат физико-математических наук

B.Н.Сорокин.

Ведущая организация - Беларусский государственный университет.

Защита диссертации состоится " /А /¿V 19921 в 16 час. 05 мин. на заседании Специализированного совета Д.053.05.04 при Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова по адресу: 119899, ГСП, Москва, Ленинские горы, ГЛГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24. С диссертацией можно познакомится в библиотеке механико-математического факультета М1У / Главное здание 14 этаж / ,,

Реферат разослан " ' ъ?. " 01992г.

Ученый секретарь

Специализированного совета /п

Д.053.05.04 при МГУ, доцент Щ^)} |^/т.П.Лукашен]

1 ОНЦАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ 1.1 Актуальность теш

В последние годы резко возрос интерес к классическим аппроксимациям аналитических функций, и в первую очередь, - к аппроксимациям Паде и их обобщениям.

Понятие аппроксимаций Паде возникло в рамках

теории непрерывных дробей в конце XIX века /Фробе-

1)

ниус - 1881, Паде - 1894 /. Являясь наилучшими локальными приближениями степенного ряда, аппроксимации Паде вычисляются непосредственно по его коэффициентам. Аппроксимации Паде позволяют изучать некоторые глобальные свойства аппроксимируемой аналитической Ьункции / мероморфное продолжение, расположение и характер особых точек, однозначность и т.п. / и вычислять эту функцию за пределами круга сходимости степенного ряда / ее тейлоровского разложения /. Подробно с современным состоянием теории и приложениями аппроксимаций Паде можно познакомится по книге Г.Еейкера

(Ьи УСе/1е сн>н. с/еи, /¡'ейге*Ли-

[2] //.£, ШеоЬу с/е&якпиеЛ

Уан МейЬанеС, Мш 49 М.

1Нз] йаАеь £.4.'%., ¿Ые^-кай ь? РаЖ'

Успешное применение методов Паде для решения многочисленных задач в <С ставит естественную задачу обощешя этого метода на случай С. / Л г-,2 /. Характер проблем, связанных с многомерными аппроксимациями, отчетливо проявляется уже в двумерном случае. Предположим, что заданы коэффициенты степенного разложения

Задача состоит в том, чтобы определить области и 2) на двумерной целочисленной решетке ^ J

и полинош

таким образом, чтобы по возможности больше коэффициентов С^ в разложении

обращалось в нуль. Точнее, приняв, что коэффициенты числителя изнаменателя лежат в областях Л^ и 0 , требуем, чтобы 6ц-0 при (1Л\£^> , где - облает] совпадения /с ^^у- /. Множество 5 выбирается таким,

1/° ^ - ¿Япс/У-гЖ» 2>

где через - обозначили число эле ентов множе-

ства^ ;

2/ сГ^ё ;

3/ множество удовлетворяет правилу прямоугольника, другими словами, если точка tL'(Ki, Kt) <= , то

ё , где [о, К.] - прямоугольник из с вершинами в точках fqoj и Jt^j • 3j Первыми были определены СА -аппроксимации / см. [//] /, затем, продолжая изучение алгеброической структуры уравнений, задающих СА -аппроксимации, Грейвс-Моррис, Джонс и Макинсон в 1974 году определяют, так называемые, SO$ -аппроксимации, являющиеся обобщением СА -ап-

Г -7 V

проксимаций / см. /. Более общая схема, основы-

вающаяся по-прежнему на идеи Чисхолма, была предложена в 1976 году / см. [б] /. Дальше последовали работы А.Гончара, А.Кит, Б.Вердонка, К.Люттеродта и В.Вавилова, в которых были предложены другие аппроксимационные схемы, распространяющие идею Паде на случай функций, зависящих от нескольких комплексных переменных.

^ Ы C-Aisc^o^/П- Ул. Д..J /ЬьЬЪла^ C^^okCmahis

defiied J ham gebies. Matt.

[S] G-battbs-

as

¡Tla-HLnsoh, G-. ¿/Г, 7iCe ca^cu&fcoi- cf Some

Лоа2с?*¿maais ¿л. ¿u>v сЪш'а^&х.

a Jnd. * К(</9W) , JH.

^ [б] fjugtfes Jones

• СIfphoximan-h: ¿н A/- on^a^^s. ¿7. ¿fat.

Ttfeoty , V. 16 (19./6) , JL01.

1.2 Цель работы

Основная цель этой работы - изучение свойства сходимости некоторых аппроксимационных схем / а именно, аппроксимаций Чисхолма, аппроксимаций типа Чисхолма " по однородным многочленам, обобщенных аппроксимаций Паде соответствующих определенным множествам ^ЛО

и ь^ из / для некоторых классов функций, ме-

ГЛ-

роморфных в с- .

1.3 Общая -методика исследования

В работе применяются методы теории функций одного и многих комплексных переменных, а также методы теории аппроксимации и интерполяции.

- 1.4 Научная новизна

■ Основные результаты диссертации являются новыми.

1. Описаны таблицы и ¡-¡п.,т\ аппроксимаций

Чисхолма / $02) и СОЪ -аппроксимаций/, исследован вопрос их существования и единственности.

Доказан аналог теоремы Монтессу для €(%> -

аппроксимаций и функций , «/^д С^У.

класс функций вида , где гп

Р - целая функция в - многочлен степени /п

по и ^ понг, ¿у & , =

¿?Й(0,О) = 1 . среда нулей £ ^^ и ^(о,^ нет равных по модулю, пары функций (?ц(1А,с) » О) и » не имеют общих нулей.

2. Описана таблица аппроксимаций типа Чисхолма

по однородным многочленам, исследован вопрос их существования и единственности. Доказан аналог теоремы Монтессу для аппроксимаций типа Чисхолма ^ по однородным многочленам и функций ^ , ^(9 3. Описана таблица обобщенных аппроксимаций Па-^

де соответствующих множествам о/" ИсМ> из исследован вопрос их существования и единственности. Доказан аналог теоремы Монтессу для обобщенных аппроксимаций Паде % л и функций £ , •

- класс функций вида , , где

р - целая функция в С , - многочлен степени т. по сумме степеней всех переменных, (¿^о) ^ яь

С^ОМ^П , ^(0,0)^1 , среди нулей (£(¿<,0^ нет равных по модулю, пары функций //¿^ о) > (¿1у б) и • йп^!^ не имеют общих нулей.

у для множеств Ж л верно, что

1/ сйт Ж-Я-+1, Лип Л п .

2/ (о^)^ , (О,о)€;

3/ они удовлетворяют правилу прямоугольника.

класс функций вида Р/^ , где р - целая функция в , £ , И

определено выше, ^ 1

^ 1 ' среди нулей шогочлена (^(¿¿о) нет равных по модулю, пары функций ^(¿^о) ,(¿^ о) и . не имеют общих нулей.

4. Доказан аналог теоремы Монтессу для аппроксимаций Чисхолма и функций ^ , г11т [к^

1.5 Приложения

Результаты диссертации могут найти применение в теории аппроксимаций дая функций многих комплексных переменных, а также в вычислительных задачах во многих областях механики и физики.

1.6 Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на научном семинаре механико-математического факультета МГУ, руководимого В.В.Вавиловым и Е.А.Рахмановым, а также на конференции / МГУ 1992 г. /.

1.7 Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в двух __ , ^

~ класс функций вида Р/^ ' Щ ,

где Р - мероморфна в полидиске /¿^/з} — ~ ^ • -многочлен, удовлетворяющий всем условиям, что и при определении с» кроме того нули и ¿^(ф'Ц) упорядочены определенным способом, пары функций и Н0)2*) , не имеют общих нулей

работах автора, список которых помещен в конце автореферата.

1.8 Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, пяти параграфов, иллюстраций / 15 рисунков / и списка литературы, содержащего 47 наименований. Объем диссертации 118 страниц.

2. СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первом параграфе диссертации приведены основные понятия иопределения, сформулирован ряд предложений используемых в дальнейшем^ В частности, дано описание таблиц j^^lj и G-бЪ и SCß -аппроксимаций соответственно / аппроксимации Чисхолма /, {ff^mlj - аппроксимаций типа Чисхолма по однородным многочленам, - обобщенных аппроксимаций Паде соответствующих множествам of* Л . Обсужден вопрос их существования и единственности для произвольной функции у . Исследованы да -аппроксимации и аппроксимации типа Чисхолма по однородным многочленам для симметричной функции. Доказано, что все рассматриваемые аппроксимации инвариантны относительно преобразований переменных вида

f 2,, ^ fa, OLZ+J где оС£<С , оСФО .

Q.

Во втором параграфе доказаны ТЕОРЕМА 1. Пусть ?i=(*}Jtjml) , Ю^О -

фиксированные целые числа, (С^),

такие, что If^-cLH^ - ограничено при n^mitifafit)-"* oi/'O . Тогда 1/ дая всех достаточно больших А, , fl^d/-. ограничено, существует и единственна G02)-аппроксимация функции ^ типа (п., пг) • Обозначим ее

f _ ¿Лм/И

че7рез А*

2/ Для всех достаточно больших и П^О-/!/ :

(fy-pl&j.) -ограничено а/ степень многочленов ^ равна ^ по и по 2*. ;

б/ нули многочленов ^ m стремятся к нулям многочлена при /г ~mitL. ¿^,/ц) -***3 ;

в/ для любого компакта Ке=-С*' верно следующее соот-*ттк

3/ Для любого компакта £ из '. Qjty-O^ верно следующее соотношение: ,

ТЕОРЕМА 2. Пусть фиксированное целое число,

(С3)/ где ^ (СУ-Л^Р) при ^ /•

Тогда

1/ дая всех достаточно больших /г. , п-Gd/ существует и единственна S02) -аппроксимация типа (/1,/п)

функции -С . Обозначим ее через С 2/ Для всех достаточно больших /г- , а/ степень многочленов равна Ьъ по каждой

переменной в отдельности;

б/ нули многочленов стремятся к кулям многоч-

лена при Д.—;

в/ для любого компакта верно соотношение:

3/ Для любого компакта £ из б, ^Н0у

верно соотношение:

СЛЕДСТВИЕ 1. Пусть функция £ - симметричная и

Ь)>0 - фиксированное целое число /.

Тогда

1/ для всех достаточно больших /г-

существует и единственна -аппроксимация типа (А/Лг-)

л ^

функции / . Обозначим ее через -¿г3"— •

" ^ ул/"»

2/ _/* - симметричная функция.

3/ Для всех достаточно больших Л- ,

а/ степень многочленов ^^ равна "2- по каждой

переменной , % ;

б/ нули многочленов стремятся к нулям многочлена

при ;

в/ для любого компакта И^С верно соотношение:

4/ Для любого компакта е. из верно соотношение:

В третьем параграфе получены следующие результаты. ТЕОРЖА 3. Пусть /а70- фиксированное целое число, . Тогда

1/ для всех достаточно больших !ь , сущес-

твует и единственна аппроксимация типа Чисхолма по

однородным многочленам порядка (п., иг) функции Г .

д О

Обозначим ее через <0Ц,т = — 2/ Для всех достаточно больших , Н-^ ^ а/ степень многочленов равна /п. / под степе-

нью понимаем сумму степеней по каждой переменной /,

б/ нули т стремятся к нулям при/?-*»«» ;

в/ для любого компакта верно соотношение:

3/ Для любого компакта £. из (ь)**^]

верно соотношение:

СЛЕДСТВИЕ 2. Пусть £ - симметричная и / т 7 О - фиксированное целое число /. Тогда 1/ для всех достаточно больших А ,

существует

и единственна аппроксимация типа Чисхолма порядка

{ппт.') функции у со следующей нормировкой:

» где ^Р63 обозна-

чили аппроксимацию типа Чисхолма по однородным многочленам порядка функции . 2/ - симметрична . 3/ Для всех достаточно больших ц , а/ С&ут. ;

б/ нули многочленов /г стремятся к нулям многочлена б? при ;

в/ для любого компакта К^^ верно соотношение: ^ / в? = 4/ Для любого компакта £ из верно соотношение: 4л,

Л.-!» ее

В четвертом параграфе доказана ТЕОРЕМА 4. Пусть (С*) • Тогда 1/ для всех достаточно больших Л-, / при

Я--* ^ множества растут так, что максимальный треугольник вписанный в неограничено растет / существует и единственна обобщенная аппроксимация Па-де соответствующая множествам и . Обозначим ее через „ ~ -

л /

2/ Для всех достаточно больших Л- , /г- £

•и множество не может быть заменено меньшим; в/ многочлены стремятся к многочлену

покоэффициентно при ¡г *** ; г/ для любого компакта К <—верно соотношение:

3/ Для любого компакта Е из верно соотношение: ^

Ллг

В пятом параграфе доказаны следующие утверждения. ТЕОРЕМА 5. Пусть фиксированное число

(&) • Тогда 1/ для всех достаточно больших таких что //^""йСй^] - ограничено / оС >0 / существует и единственна ^^-аппроксимация типа

'функции § . Обозначим ее через Г — Л*!™.

2/ Для всех достаточно больших Л- : \ -

ограничено

а/ степень многочленов равна по х^ и Лг^,

по ;

б/ нули стремятся к нулям при /т.—*

/ и=тсп- /;

в/ для любого компакта верно соотношение:

3/ Для любого компакта £ из верно соотношение:

ТЕОРЕМА 6. Пусть tr\?Q - фиксированное целое число,

j<£j/n (£) /¿(„(^¿¿»(Z) при =

= tn /, Тогда ддя всех достаточно больших /г

1/ существует и единственна &Ct> -аппроксимация

типа (й, гп.^ функции f . Обозначим ее через г — Pa/»L

2/ а/ Степень равна т. по катсдой переменной

в отдельности для всех достаточно больших П, ; б/ нули многочленов стремятся к нулям многочлена Qm при tt ; в/ для любого компакта

верно соотношение:

JJ0 - логарифмически вшуклая оболочка множества 2> , где & O&z и

4 е С*: /*у/< //>„ | л M<i**J ■4 ft / <

и ^ - наименьшие среди нулей и

Q^OjZ^ соответственно.

3/ Для любого компакта Е из верно соотношение: л,

Ж» ///-¿««Г/^

Автор приносит глубокую благодарность своему научному- руководителю В.В.Вавилову за постоянное внимание к работе.

Щ

Q определяется так же как и при оС= £ .

*

Список работ автора по теме диссертации

1. Брайнова Е.Г. О рациональных аппроксимациях функций мероморфных в <С . Рукопись деп. в ШНИТИ РАН, № 1050, 1992.

2. Брайнова Е.Г. О рациональных аппроксимациях функций двух комплексных переменных мероморфных в полидиске. Рукопись деп. в ВИНИТИ РАН, й 1935, 1992.