О φ-структуре на ортогональных группах чётной характеристики и группах E6,7,8(q), 2E6(q) тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи ЕЛИСЕЕВ МИХАИЛ ЕВГЕНЬЕВИЧ

О ^СТРУКТУРЕ НА ОРТОГОНАЛЬНЫХ ГРУППАХ ЧЁТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ И ГРУППАХ

2Бв(я)

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теории чисел

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математичеких наук

Санкт-Петербург, 2005

Работа выполнена на кафедре «Высшая математика» Нижегородского государственного технического университета

Научный руководитель - доктор физико-математических наук, профессор

Галкин Владимир Михайлович Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук, профессор

Вавилов Николай Александрович доктор физико-математических наук, профессор Кузнецов Михаил Иванович Ведущая организация — Московский педагогический государственный университет

Защита состоится « ¿3 » 2005 г. В_часов на заседании

диссертационного совета Д212.232.29 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Санкт-Петербургском государственном университете. Адрес совета: 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр.,28 математическо - механический факультет Санкт-Петербургского государственного университета.

Защита будет проводится по адресу: 191011 Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, 27, ауд.311 (помещение ПОМИ РАН).

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке имени М.Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу Санкт-Петербург, Университетская наб. 7/9.. Автореферат разослан « 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного Совета доктор физико-математических наук профессор

В.М.Нежинский

ткВ

244-2^68

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В диссертационной работе заканчивается доказательство р-теоремы начатое в работах [1, 2, 3, 4]. ^-теорема была сформулирована В. М. Галкиным в виде гипотезы о разрешимости группы левых трансляций Ц<7) конечной леводистрибутивной квазифуппы (ЛДК). ЛДК это множество <7 с бинарной операцией °, удовлетворяющей аксиомам: уравнения а°х = Ъ и х°а = Ь однозначно разрешимы, а о (Ь о с) = (а о Ь) » (а ° с) (левая дистрибутивность). Группа левых трансляций определяется так: £(<7) =< £а = (х а о х) | а, х е <7(°) >. В дальнейшем фмгеорема была сведена к чисто теоретико-групповой теореме о непростоте конечных р-групп. Под (р-группой понимается группа П с выделенным автоморфизмом <р, если принадлежность элемента вида х<р{х~*) подгруппе, сопряженной с подгруппой ^¡»-неподвижных элементов, влечет <р(х) = х . Для доказательства ^-теоремы необходимо показать, что никакая конечная простая группа не может являться ^-группой при нетождественном автоморфизме <р. В. М. Галкин проверил все спорадические и знакопеременные группы [5]. Оказалось, что нетривиальной р-структуры там нет. С. В. Лещева, О. В. Суворова и Н. В. Мохнина получили аналогичные результаты для серий проективных групп £„(#), унитарных групп и„(д), симплектических групп 5р2п{д) , ортогональных групп в нечетной характеристике, а также групп Р4(д),2 Р4(д),С2(д),2 С2(д), 304(</) и групп Е1г(д) в нечетной характеристике [2, 3,4].

Привлекательность ^-теоремы обусловлена тем, что она включает в себя такие, на первый взгляд далекие друг от друга, утверждения как теоремы Фишера о трансляциях дистрибутивных квазигрупп, Фейта-Томпсона о разрешимости групп нечетного порядка, а также теорему о разрешимости групп с регулярными автоморфизмами (т.е. оставляющими на месте лишь единичный элемент).

Существенное значение имеет ^-теорема и для дальнейшего развития теории ЛДК. Это связано с тем, что изучение ЛДК эквивалентно изучению групп левых трансляций, как отмечает В. М. Галкин (1].

Цель работы. Доказательство ^-теоремы для ортогональных групп в четной характеристике 0*„(д) , групп Е6(д), 2Е6(д) в нечетной характеристике, групп Е61г(4), 2Е6(д) в четной характеристике.

Общая методика исследования. В работе применяются методы теории групп, в частности, результаты из теории конечных групп, в сочетании с методами теории леводистрибутивных квазигрупп и групп.

Научная новизна. Все результаты относящиеся к доказательству ^теоремы являются новыми.

Практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы для дальнейших исследований свойств ЛДК. Кроме того, ввиду указанной связи между ЛДК и группами, результаты могут быть использованы и в теории групп. В частности, как отмечалось в работе [1], теория ЛДК поставляет ряд проблем теории групп. Кроме того, теоретические главы работы могут быть использованы при чтении специальных разделов теории групп и неассоциативных систем.

Публикации. По теме исследований опубликовано 9 работ.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на:

- международной алгебраической конференции, посвященной памяти 3. И. Боревича (Санкт-Петербург, 2002);

- VII, VIII, IX сессиях молодых ученых (Саров, 2002 - 2004).

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 86 страницах

машинописного текста и состоит из введения и семи глав. Список литературы состоит из 37 наименований, в том числе и работ автора.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении описывается суть проблемы, формулируется ^-теорема, кратко описывается содержание глав диссертации.

В четырех первых главах содержится теоретический материал, который необходим для авторского исследования в последующих трёх главах.

В первой главе даются сведения о конечных ^-группах и конечных леводистрибутивных квазигруппах необходимые для постановки проблемы и ее решения.

В частности приводится основное для дальнейшего изложения понятие ^группы [5]. Это группа П с выделенным автоморфизмом <р, удовлетворяющем условию х(р(х~^) е ,у7*у_| =>х(еТ , где Т - подгруппа <р-неподвижных элементов, я — некоторый элемент из П (в бесконечном случае определение более сложно). Далее разбирается ряд примеров в которых показывается, что упомянутые выше теоретико-групповые теоремы действительно являются следствиями ^-теоремы. Затем приводятся сведения из теории ЛДК, которые используются в работе. В частности описывается связь между ЛДК и ^группами, обнаруженная В. М. Галкиным [5]. Оказывается, что по ^-группе Л можно построить ЛДК определив на множестве левых смежных классов П/Т умножение следующим образом: х ° у = хд>{х~1у) (тос! Т) , ( с1в х), у - (с1б у) е <7 , х,уеП). Связь ^группы и ЛДК не является взаимнооднозначной, так как к одной и той же ЛДК могут приводить различные ^-группы. От неоднозначности можно избавиться сопоставив ЛДК так называемую минимальную ^-группу. В [1] приведено доказательство того, что эта группа изоморфна коммутанту Ь'(Сг) группы левых трансляций ЦО). В конце главы приводятся несколько простых, но полезных при доказательстве ^теоремы утверждений.

Во второй главе собраны сведения об ортогональных группах в четной характеристике. Изложение является достаточно подробным, так как многие

утверждения, приводимые в этой главе, разбирались в работах начала XIX века и позднее не перепечатывались. Так с авторскими доказательствами приведены предложение 2.1 об изоморфности С(Э2п+1(^) и 8р1п(я), теорема 2.1 о двух типах ортогональных форм, предложение 2.7 об изоморфизмах в малых размерностях и некоторые другие утверждения.

В третьей главе описываются централизаторы полупростых элементов и инволюций в ортогональных группах четной характеристики.

В §3.1 разбираются централизаторы полупростых элементов (т. е. элементов, порядок которых взаимно прост с характеристикой поля). Полупростой элемент х рассматривается как преобразование пространства V. Оказывается, что пространство V разлагается, в соответствии с рядом требований, в прямую сумму У = х-инвариаитных подпространств. Тем самым вычисление централизаторов сводится к изучению ограничений х на слагаемых. В предложениях 3.1 - 3.7 и сопутствующих леммах уточняется вид ограничений преобразования х на каждом из слагаемых V,.

В конце параграфа приведены значения ли;, при которых централизатор С(х) разрешим (такие случаи требуют отдельного рассмотрения). Эти данные затем используются при доказательстве ^-теоремы на стадии выявления наличия инволюции в подгруппе ^-неподвижных элементов - Т.

В §3.2 описывается строение централизаторов инволюций С(<х) . Рассуждения параграфа существенным образом опираются на известные ранее данные [6], но дается изложение результатов несколько отличное от упомянутого. Существенным оказывается разделение инволюций из 02п(д) и инволюций из $02п(д)\02„(д), что осуществляется в предложении 3.8. Далее рассматриваем преобразование х из Сю(ст) и, выбирая специальным образом базис в V, составляем матрицу соответствующую преобразованию х. На элементы этой матрицы накладываются три группы условий: 1. Коммутирование а их.

2. Сохранение преобразованием х симплектической формы.

3. Сохранение преобразованием х квадратичной формы.

После проверки этих групп условий получаем возможные виды централизаторов (3.3) и (3.4).

Необходимость подробного изложения теории в главе 3 обусловлена разбросанностью имеющейся информации, по различным статьям и отсутствием ряда необходимых для дальнейших доказательств фактов.

В главе 4 рассматриваются группы типа Е и ортогональные группы четной характеристики в интерпретации Шевалле. В § 4.1 сообщаются простейшие сведения о группах Шевалле. Важное значение для последующих рассмотрений имеют предложение 4.1 о строении центра подгруппы унипотентных элементов и предложение 4.2 о строении групп Вейля для групп типа Е. В конце § приводится необходимая для дальнейших доказательств информация о сопряженности полупростых элементов со своими степенями.

В § 4.2 разбирается строение централизаторов инволюций в группах типа Е. Общее их строение известно [6], но в ряде случаев (например, при возникновении разрешимости централизатора) этого недостаточно, и строение централизатора уточняется.

В главе 5 доказывается р-теорема для ортогональных групп в четной характеристике. Доказательство индуктивно, ведется от противного и содержит следующие шаги:

1) Выявляется нерегулярность (р.

2) Показывается наличие в Г (подгруппе ^»-неподвижных элементов) инволюции.

3) Рассматривается централизатор инволюции и устанавливается противоречие с предположением о наличии нетождественной ^-структуры.

Известно [7], что автоморфизм простой группы нерегулярен, поэтому заключаем, что в подгруппе ^неподвижных элементов Г есть или полупростой

элемент, или инволюция. В теореме 5.1 доказывается, что наличие в Т полупростого элемента влечет наличие инволюции, поэтому можно перейти к ее рассмотрению.

Дальнейшее доказательство существенным образом опирается на тот факт, что любой автоморфизм группы Шевалле представим в виде композиции внутреннего, графового, полевого и диагонального автоморфизмов. Понятно, что это справедливо для автоморфизма <р. Рассматривая централизатор инволюции из Т последовательно доказываем отсутствие у <р полевой (теорема 5.2), диагональной и графовой части. Доказательство последнего факта затруднено возможностью вхождения в состав <р тройственного графового автоморфизма (для групп 0%{ц) ). В предложении 5.4 эта возможность исключается. Таким образом, автоморфизм <р является внутренним. Затем устанавливаем, что <р2 = 1 и по теореме В. М. Галкина [8], заключаем, что автоморфизм (р тождественен. Следовательно ортогональные группы не являются р-группами при нетождественном <р.

В шестой главе аналогичное исследование проводится для групп типа Е четной характеристики. Общая схема рассуждений остаётся той же, что и в главе 5. Специфика исследования состоит в использовании интерпретации Шевалле. В предложении 6.1 показано, что в Т есть инволюция. В предложениях 6.2 и 6.3 доказывается тождественность <р на группах Е7 8 (<7) и

Е6(д), 2£6(<7) соответственно. Таким образом, группы типа Е в четной характеристике не могут являться ^»-группами при нетождественном <р.

В главе 7 доказывается ^теорема для групп Е6(д), 2Е6(д) нечетной характеристики. Доказательство проходит по той же схеме. В отличие от групп из глав 5 и 6, в (универсальных) группах £6(д), 2Е6(д) нечетной характеристики может появиться центр. Кроме того, приходится учитывать возможность появления в Т унипотентов без немедленного заключения о

наличии в Т инволюции. Ввиду последнего, доказательство начинается с предложения 7.1, в котором показано, что в Г имеются полупростые элементы. После чего доказывается наличие в Т инволюции (предложение 7.2). Заканчивает доказательство предложение 7.3.

Доказательства главы 7 завершают доказательство ^теоремы.

Цитированная литература.

[1] Галкин В. М. Леводистрибутивные квазигруппы конечного порядка // Квазигруппы и лупы - Кишинев: Штиинца, 1979.

[2]Лещева С. В. Специальные автоморфизмы простых конечных групп: Канд. дисс. - СПб.: СПбГУ, 1998.

[3]Мохнина Н. В. ^структура на симплектических и ортогональных конечных группах в нечетной характеристике: Канд. дисс. - СПб.: СПбГУ, 2000.

[4] Суворова О. В. ^-структура на лиевских конечных группах: Канд. дисс. -СПб.: СПбГУ, 1998.

[5] Галкин В. М. Леводистрибутивные квазигруппы: Докт. дисс. - Горький, 1986.

[6] Aschbacher М., Seitz G. М. Involutions in Chevalley groups over fields of even order // Nagoya Math. J. 1976, 63 - p. 1 - 91. Corrections: 1978, 72 - p. 135 -136.

[7]Горенстейн Д. Конечные простые группы. М.: Мир, 1985.

[8] Галкин В. М. О симметрических квазигруппах // Успехи мат. наук, 1984, Т.39, вып. 6 - стр.191 -192.

Работы автора по теме диссертации

[1] Елисеев М. Е. О ^»-структуре на ортогональных группах в четной характеристике // VII Нижегородская сессия молодых ученых. - Саров: СарФТИ, 2002.

[2] Елисеев M. Е. О ^»-структуре на группах E67S(q), 2E6(q) II Сборник статей по материалам Всероссийской научно-технической конференции -Нижний Новгород - Арзамас, НГТУ - АфНГТУ, 2002.

[3] Галкин В. М., Елисеев M. Е. О ^структуре на конечных ортогональных группах четной характеристики // Международная алгебраическая конференция, посвященная памяти 3. И. Боревича. - СПб: ПОМИ им. В. А. Стеклова, 2002.

[4] Елисеев M. Е. О некоторых автоморфизмах на группах E61i(q), 2E6{q) Il VIII Нижегородская сессия молодых ученых - Саров: СарФТИ, 2003.

[5] Елисеев M. Е. О некоторых специальных автоморфизмах на группах 0£(q) /I Сборник статей по материалам Всероссийской научно-технической конференции. - Нижний Новгород - Арзамас, НГТУ -АфНГТУ, 2003.

[6] Елисеев M. Е. О некоторых автоморфизмах групп E6(q), 2E6(q), q четно-Деп. В ВИНИТИ 16.02.2004 г., № 258 - В2004.

[7] Елисеев M. Е. О некоторых автоморфизмах групп Eix{q), q четно // Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона - Киров, ВятГГУ, 2004, вып. 6 - стр. 52 - 56.

[8] Елисеев M. Е. О ^структуре на простых ортогональных группах в четной характеристике // Вестник ННГУ, сер. Математика, 2004, вып. 2 - стр. 61-70.

[9] Елисеев M. Е. О некоторых специальных автоморфизмах на группах 0%{q), q четно // IX Нижегородская сессия молодых ученых. - Саров: СарФТИ, 2004.

Подписано в печать 30.06.05. Формат 60 х 84 '/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 460.

Нижегородский государственный технический университет. Типография НГТУ. 603600, Нижний Новгород, ул. Минина, 24.

ß 1 68

РНБ Русский фонд

2006-4 13448

Содержание.

Введение.

Глава 1. ^-группы и леводистрибутивные квазигруппы.

Глава 2. Ортогональные группы над конечными полями характеристики 2.

Глава 3. Централизаторы некоторых элементов в ортогональных группах.

§3.1. Централизаторы полупростых элементов.

§3.2. Централизаторы инволюций.

Глава 4. Группы E6js(q), E6(q) и ортогональные группы как группы

Шевалле.

§4.1. Сведения о ортогональных группах и группах типа Е как группах

Шевалле.

§4.2. Централизаторы инволюций в группах типа Е.

Глава 5. ^-теорема для ортогональных групп в четной характеристике.

Глава 6. ^-теорема для групп E6ji$(q), E6(q) в четной характеристике.

Глава 7. ^-теорема для групп Ee(q), E6(q) в нечетной характеристике.

Объектом изучения в данной диссертации являются конечные группы с дополнительной структурой, определяемой заданием на группе П автоморфизма (р> причем принадлежность элемента вида jc^(jc-1) подгруппе сопряженной с подгруппой ^-неподвижных элементов влечет ф(х) = х . Далее такие группы называются ф-группами. По отношению к тождественному автоморфизму любая группа является ^-группой, а потому нас будут интересовать группы с нетривиальной ^-структурой.

В ^-группе П выделяется нормальный делитель IJi =<х<р(х~1)\хеП> , порожденный так называемыми каноническими элементами, — главная подгруппа в П.

Целью работы является завершение доказательства следующего утверждения.

Теорема 0.1 (^-теорема). Главная подгруппа конечной ^-группы П разрешима.

На примерах можно показать, что условия теоремы нельзя ослабить, скажем заменой конечной группы на бесконечную или главной подгруппы П\ на П.

Приведенная формулировка ^-теоремы может показаться неестественной, а сама теорема — имеющей лишь частный интерес. В действительности это не так: ^-теорема достаточно глубока по содержанию и связана с рядом вопросов и проблем в теории конечных групп и некоторых неассоциативных объектов. Поясним это рядом замечаний. Во-первых частными случаями ^-теоремы являются (как будет показано в главе 1) утверждения о разрешимости конечных групп с регулярными автоморфизмами и о разрешимости конечных групп нечетного порядка (теорема Фейта-Томпсона). Известно, какие трудности пришлось преодолеть при доказательстве этих теорем. В частности, разрешимость группы с регулярным автоморфизмом установлена лишь на основе классификации конечных простых групп. Оба утверждения на первый взгляд совершенно не связаны и удивительно, что они объединяются в ^-теореме.

Во-вторых ^-группы появляются при изучении любопытного неассоциативного объекта — леводистрибутивной квазигруппы. Под последней понимается алгебраическая система G(o) с бинарной операцией о удовлетворяющей закону левой дистрибутивности аофос) = (а°Ь)°(аос) . Предполагается также выполнимость и однозначность в G левого и правого «делений». Левая (или правая (а о Ь) ° с = (а ° с) о (Ь о с) ) дистрибутивность появилась в математике давно — в 20-х годах ХХ-го века. Так в геометрии эта структура присутствует на так называемых симметрических пространствах. Последние являются римановскими пространствами, а результат операции хоу на точках х,у некоторого пространства есть «отражение» у от х, сохраняющее риманову метрику. Можно также указать на появление этих объектов в алгебраической геометрии [9].

Леводистрибутивная квазигруппа (далее ЛДК) обладает достаточным запасом автоморфизмов, то есть является весьма «симметричным» объектом, а потому привлекательна для изучения. В частности, для любого элемента а автоморфизмом является левая трансляция La=(x—>a ох) . Сами левые трансляции порождают группу L(G) левых трансляций, являющуюся подгруппой (и даже нормальным делителем) в группе Aut(G) всех автоморфизмов ЛДК.

Теперь ^теорема может быть переформулирована в следующем виде (эта формулировка была первоначальной).

Теорема. 0.2. Группа левых трансляций конечной ЛДК разрешима.

Первым, кто обратил внимание на свойства группы левых трансляций Б. Фишер. Он рассматривал квазигруппы, обладающие как левой, так и правой дистрибутивностью, доказав для них в 1964 году вышеприведенную теорему.

Работа Фишера впервые продемонстрировала эффективность теоретико-групповых методов при изучении леводистрибутивных квазигрупп. В конечном счете, разработка круга идей, связанных с этой теоремой, впоследствии привела Фишера к открытию спорадических групп его имени.

В. М. Галкин в 80-х годах прошлого века высказал предположение о справедливости результата Б. Фишера при отказе от правой дистрибутивности. Ему удалось свести ^-теорему к утверждению о непростоте групп П с нетождественным автоморфизмом (р [23]. Именно, из предположения о наличии нетривиальной ^-структуры на неразрешимой, но непростой группе вытекает существование нетривиальной ^-структуры на простом сечении этой группы.

Таким образом, данная проблема свелась к последовательной проверке всех простых групп на предмет несуществования на них нетривиальной ^-структуры.

К началу этого века такая проверка была проведена В. М. Галкиным, С. В. Лещевой, Н. В. Мохниной и О. В. Суворовой для всех известных простых групп [35, 36, 37], за исключением серии ортогональных групп в четной характеристике и серий исключительных простых групп E61g(q),

2E6(q). Нетривиальной ^-структуры на проверенных группах нет.

В этой работе будут разобраны оставшиеся случаи, а именно: ортогональные группы в четной характеристике, исключительные группы

E61s(q), 2Е6(q) в четной характеристике и E6(q), 2E6(q) в нечетной характеристике.

Тем самым ^-теорема будет доказана.

Доказательство носит индуктивный характер. Приводится к противоречию предположение о существовании нетривиального автоморфизма р на каждой из указанных групп. При этом применяются не только групповые методы, но и ряд утверждений о леводистрибутивных квазигруппах. Доказательство существенно использует следующую теоретико-групповую теорему [24].

Теорема 0.3. (Галкин). Если в ^-группе П совпадающей со своей главной подгруппой квадрат автоморфизма (р тождественен, то П— разрешима.

Диссертация включает в себя 7 глав. В четырёх первых главах содержится теоретический материал, который необходим для авторского исследования в последующих трёх главах.

В первой главе приводятся основные сведения о ^-группах, леводистрибутивных квазигруппах и простых конечных группах необходимые для постановки проблемы и ее решения. В частности рассматриваются примеры в которых разбираются упомянутые выше частные случаи ^-теоремы и связь между квазигруппами и ^-группами. В конце главы приведен ряд простых, но полезных утверждений — предложения 1.1,-1.3.

Во второй главе собраны необходимые сведения об ортогональных группах в четной характеристике. В частности, приводится определение ортогональной группы и доказывается неэквивалентность двух типов ортогональных метрик. Рассматриваются автоморфизмы этих групп и приводятся авторские доказательства изоморфизмов в малых размерностях. Некоторые известные факты даны с доказательством, ввиду того, что они разбирались в работах начала XIX века, которые по понятным причинам сейчас недоступны, а в более поздних работах они лишь формулируются.

В главе 3 даются описания централизаторов полупростых элементов и инволюций. Автору не удалось найти связного изложения этого материала в литературе, поэтому рассуждения подробны и ряд утверждений приводится с доказательствами.

В четвертой главе приводятся сведения из теории групп Шевалле. При этом акцент, по понятным причинам, сделан на группы типа Е и ортогональные группы. Основными здесь являются предложение 4.2, в котором выявляется строение групп Вейля для групп типа Е и содержится информация о сопряженности полупростых элементов со своими степенями.

В пятой главе изложено доказательство ^-теоремы для ортогональных групп в четной характеристике. В начале главы приведена схема доказательства. Рассуждение ведется от противного и носит индуктивный характер. Предполагается существование наименьшей (с минимальными п и q) простой ^-группы 02п (q), где q — четное число. Затем показывается, что в действительности построить такую группу невозможно. В ходе доказательства приходится отдельно рассматривать возможность появления тройственного графового автоморфизма (групп Og (q) ) в составе (р.

В шестой главе аналогичное исследование проводится для групп типа Е четной характеристики. Общая схема рассуждений остаётся той же, что и в главе 5. Однако специфика этих групп не позволяет использовать тот же метод. Поэтому все доказательства проводятся на совершенно иной основе — привлекается теоретический аппарат групп Шевалле. л

В главе 7 доказывается ^-теорема для групп E6(q), E6(q) нечетной характеристики. Схема рассуждений аналогична доказательствам из глав 5 и 6. Но опять-таки конкретные особенности вносят свою специфику в методы доказательства. Структура рассматриваемых групп такова, что здесь необходимо доказывать наличие ^-неподвижных полупростых элементов. Кроме того, для некоторых из рассматриваемых (универсальных) групп центр нетривиален, что значительно усложняет доказательство.

Глава 7 завершает полное доказательство ^-теоремы. Основные результаты диссертационного исследования опубликованы в работах [25, 27 - 34]; докладывались на VII, VIII, IX Нижегородских сессиях молодых ученых (Саров 2002 - 2004) и на международной конференции памяти 3. И. Боревича (Санкт-Петербург 2002).

1. Артин Э. Геометрическая алгебра-М.: Наука, 1969.

2. Борель А. Линейные алгебраические группы. М.: Мир, 1972.

3. Бурбаки Н. Алгебра (Модули, кольца, формы). М.: Наука, 1996.

4. Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. М.: Мир, 1972.

5. Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. М.: Наука, 1976.

6. Горенстейн Д. Конечные простые группы. М.: Мир, 1985.

7. Дьедонне Ж. Геометрия классических групп М.: Мир, 1974.

8. Ленг С. Алгебра. М.: Мир, 1968.

9. Манин Ю. И. Кубические формы. М.: Наука, 1972. Ю.Серр Ж. П. Алгебры Ли и группы Ли. М.: Мир, 1969.

10. Семинар по алгебраическим группам. М.: Мир, 1973.

11. Стейнберг Р. Лекции о группах Шевалле. М.: Мир, 1975.

12. Aschbacher М., Seitz G. М. Involutions in Chevalley groups over fields of even order. Nagoya Math. J. 1976. 63. P. 1 91. Corrections: 1978. 72. P. 135- 136.

13. Atlas of finite groups (J. H. Conway, R. T. Curtis, S. P. Norton). Oxford, 1985.

14. Carter R. W. Simple groups and simple Lie algebras. J. London Math. Soc., 158(1965), 193-240 (русский пер. Сб. Математика, 10:5, 1966).

15. Deriziotis D. I., Liebeck M. W. Centralizers of semisimple elements in finite twisted groups of Lie type. J. London Math. Soc. (2), 31 (1985), 48 -54.

16. Feit W., Thomson J. G. Solvability of groups of odd order. Pacif. J. Math., 1963, 13, № 3, 775 1029.

17. Fischer B. Distributive Quasigruppen endlicher Ordnung. Math. Zeitscher, 1964, 83, 267-298.

18. Mizuno K. The conjugate classes of Chevalley groups of type E6. J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, 24 (1977), 525 563.

19. Thomson J. G. Finite groups with fixed-point-free automorphisms of prime order. Proc. Nat. Amer Sci USA, 1959, 45, 578 581.

20. Wall G. E. On the conjugacy classes in the unitary, simplectic and orthogonal groups, J. Austr. Math. Soc. 1963. P. 1 62.

21. Галкин В. M. Леводистрибутивные квазигруппы конечного порядка. Квазигруппы и лупы, Кишинев: Штиинца, 1979.

22. Галкин В. М. Леводистрибутивные квазигруппы: Докт. дис. М.: МГУ, 1991.

23. Галкин В. М. О симметрических квазигруппах: Успехи мат. наук, 1984, Т.39, вып.6, стр. 191 192.

24. Галкин В. М., Елисеев М. Е. О ^структуре на конечных ортогональных группах четной характеристики. Международная алгебраическая конференция, посвященная памяти 3. И. Боревича. — СПб: ПОМИ им. В. А. Стеклова. 2002.

25. Галкин В. М., Мохнина Н. В. О некоторых автоморфизмах на ортогональных группах в нечетной характеристике. М.: Математические заметки, т. 70, вып. 1, 2001.

26. Елисеев М. Е. О ^-структуре на группах E6 7#(q), E6(q). Сборник статей по материалам Всероссийской научно-технической конференции. — Нижний Новгород — Арзамас, НГТУ — АфНГТУ, 2002.

27. Елисеев М. Е. О ^-структуре на ортогональных группах в четной характеристике. VII Нижегородская сессия молодых ученых. — Саров: СарФТИ, 2002.

28. Елисеев М. Е. О ^-структуре на простых ортогональных группах в четной характеристике. Вестник ННГУ, сер. Математика, 2004, вып. 2.

29. Елисеев М. Е. О некоторых автоморфизмах групп E6(q), E6(q\ q четно. Деп. В ВИНИТИ 16.02.2004 г., №258 В2004.

30. Елисеев М. Е. О некоторых автоморфизмах групп Ejj(q), q четно. Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона, Киров, ВятГТУ, вып. 6, 2004.

31. Елисеев М. Е. О некоторых автоморфизмах на группах Eej$(c), £6(q)- VIII Нижегородская сессия молодых ученых. — Саров: Сар-ФТИ, 2003.

32. Елисеев М. Е. О некоторых специальных автоморфизмах на группах 0£(q), q четно. IX Нижегородская сессия молодых ученых. — Саров: СарФТИ, 2004.

33. Елисеев М. Е. О некоторых специальных автоморфизмах на группах (я) • Сборник статей по материалам Всероссийской научнотехнической конференции. — Нижний Новгород — Арзамас, НГТУ — АфНГТУ, 2003.

34. Лещева С. В. Специальные автоморфизмы простых конечных групп: Канд. дис. СПб.: СПбГУ, 1998.

35. Мохнина Н. В. ^-структура на симплектических и ортогональных конечных группах в нечетной характеристике: Канд. дис. СПб.: СПбГУ, 2000.

36. Суворова О. В. ^-структура на лиевских конечных группах: Канд. дис. СПб.: СПбГУ, 1998.