Об интерполяции и прогнозе случайных процессов и полей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

ввдам.

Глава I. ОБ ИНТЕРПОЛЯЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ.

§ I. Интерполяционные формулы, основанные на гадании в узлах интерполяции значений процесса и его производных $ 2. Обобщенные интерполяционные формулы, основанные на задании в узлах интерполяции значений процесса и его производных

§ 3, Интерполяционные формулы, основанные на использовании значений процесса и его производных, при неравномерном распределении узлов интерполяции

Глава П. ОБ ИНТЕРПОЛЯЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ.

§ I. Об одном обобщении интерполяционной формулы Котельникова-Шеннона для случайных полей

§ 2. Интерполяционные формулы, основанные на задании в узлах интерполяции значений поля и ее производных

§ 3. Обобщенные интерполяционные формулы, основанные на задании в узлах интерполяции значений поля и ее производных.

§ 4. Интерполяционные формулы, основанные на использовании значений поля и его производных, при непрерывном распределении узлов интерполяции

§ 5. Интерполяционная формула для случайных полей вида J,

§ 6.Об одном аналоге формулы Котельникова-Шеннона для однородных и изотропных случайных полей

Глава Ш. О ЛШЕЙНОЙ АППРОКСИМАЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

§ I. Линейная аппроксимация случайных процессов с помощью тригонометрических полиномов

Глава 1У.0 НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧАХ ЛИНЕЙНОГО ПРОГНОЗА ДЛЯ

ОГОРОДНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ.

§1.0 линейной интерполяции однородных случайных полей.

§ 2. Задача прогноза для однородного случайного поля по наблюдениям на множестве

Е = {(S,i): S = 0,-cxD<t<oo}u((S,l):

- ОО < 5< оо, i = 0 \

§ 3. Задача прогноза для однородного случайного поля по наблюдениям на множестве

E = {(S,t) : 6 = 0 t = 0,±1,.ju{(S/t)

S=0,±4,.; "Uo}.

В теории передачи информации важную роль играет следующее утверждение. Пусть f ("t) сигнал /неслучайная функция/, спектр которого сосредоточен в интервале , то есть с<

LtX

С0-1)

Тогда , . к =5— 00 V1" оГ) (0.2)

Соотношение (0.2) показывает, что сигнал с ограниченным спектром безошибочно восстанавливается по наблюдениям на бесконечной последовательности j QQ J- . Формула (0.2) была полу

I о< J чена Уиттекером [75] в 1915 г. /впрочем, близкий результат был известен

Коши [12] еще в середине прошлого столетия/. Независимо от работ математиков, эта формула была введена в 1933 г. В.А.КЬ-тельниковым [23] , впервые подчеркнувши ее значение для вопро -сов передачи информации по электрическим каналам. Позже к тому же заключению, независимо от Котельникова, пришел также Шеннон /[53],стр.295 и 435/ .

Сформулированное выше утверждение в работах советских авторов называется теоремой В.А.Котельникова или теоремой Котельникова-Шеннона, в зарубежных исследованиях часто употребляются термины "теорема отсчетов" или "sampling theorem". Отметим, что равенство (0.2) является одной из интерполяционных формул, известных в теории целых функций [ I ] . Наиболее значительные результаты в интерполировании целых функций получены в работах советских математиков - С.Н.Бернштейна [5] , А.О.Гельфонда [7] , Н.И.Ахиезера

I].

Б.Я.Левина [24] , И.И.Ибрагимова [18] , И.И.Ибрагимова и

М.В.Келдыша [19] .

Теорема Котельникова-Шеннона и ее обобщения для неслучайных функций нескольких переменных рассматривалась в работах [б] , [20] , [21] » [72] . Отметим, что обширный обзор исследований по теореме Котельникова-Шеннона приведен в обзорной статье [12] , содержащей больную библиографию, а также в книгах Я.И.Хургина, В.П.Яковлева [51] , [52] .

Начиная с работ Шеннона [53] , теорема Котельникова-Шеннона часто формально использовалась и для случайных сигналов, пред -ставляющих собой стационарные случайные процессы с ограниченным спектром. Для таких процессов верно разложение

V1 . /кЯ£ .Л Sifto^t-^

0.3) где ряд в правой части формулы (0.3) сходится в среднем квадратичном.

Первое опубликованное доказательство формулы (0,3) для стационарных процессов принадлежит Балакришнану [бЗ] . Различные обобщения разложения

0.3) для стационарных случайных процессов изучались в работах [II] , [42] , [43 ] , [77] ,

Отметим, что А.М.Яглом [54] для стационарных случайных процессов с корреляционной функцией X

-)= J eU<£dF(X)

-оС рассмотрел задачу о наилучшем приближении к значению /где "t - любое/ при помощи линейной комбинации jf(t)=Yi (¥) t к=-оо 4 значений оС/

Он нашел необходимое и достаточное условие существования при всех "t такой комбинации Js*(t) » что

Из результатов [54] следует разложение (0.3) , где бесконечная сумма понимается как предел в среднем квадратичном.

В 1959 г. Ю.К.Беляев [4] , Ллойд [ 71 ] доказали, что для стационарных случайных процессов с ограниченным спектром справедливо разложение (0.3) , причем ряд в правой части формулы (0.3) сходится с вероятностью единица.

Для нестационарных случайных процессов, ковариационная функция которых допускает представление лл (0-4) где f (t, Л) удовлетворяет определенным условиям; аналогичные и несколько более общие результаты получены З.А.Пиранашвили [42], В.Н.Нагорным [32] , Р.Худайбергановым [48] . Аналогичные результаты для нестационарных случайных процессов получены в работах [60] ,[61] , [62] , [77] .

Для однородных полей с ограниченным спектром аналог формулы ( 0.3) получено в работах М.И.Ядренко [ 56] , [57] . Для необязательно однородных полей, допускающих представление с ** дт ( 0.5) где Л - некоторое множество параметров X ,

B^ - б- алгебра подмножеств в А , Z( • ) -случайная функция множеств на Ъ^ * . . . х Е>Л такое, что

•a\z(a)z(b) = f(a,b)

А€Ьлх .хВл, btbA«.«bA) ,

F (•, *) комплекснозначная функция множеств адцитивная по обеим аргументам, положительно определенная и такая, что j 5 |F(d\,clj*)|<oo ; AmAm аналогичные и несколько более общие результаты получены в работах В.Н.Нагорного [ 30] , [3l] , [32] , Р.Худайберганова [48] .

В дальнейшем мы будем предполагать, что функции "("„(г,,,Х ), к к к / .,IU могут быть доопределены в плоскости комплекс -ного переменного /относительно t /до целых функций экспо -ненциального типа с конечными показателями и, причем = sup sup |fK(tK,XK")| < оо , тк х еЛ -oe<tK<ooi к к к I

0-6) кСЬк.О з-г К оо,

V0 бк= ьир Ск(Хк)= sup tim ХкеЛ ЛкеА т-*-®© " (0-7)

Важным обобщением теоремы Котельникова-Шеннона является обобщение ее на тот случай, когда на последовательности узлов интерполяции наблюдаются не только значения функций, но и еегроиз-водные до определенного порядка. Поэтому поводу для неслучайных функций Ягерман и Фогель [67] , Линден [б9] , Линден и Абрамсон [68], [70] получили ряд полезных формул, включающих выражения, которые в явном виде содержат значения функций и ее производных.

Настоящая работа в значительной своей части посвящена вопросам интерполяции случайных полей /случайных функций нескольких переменных/. В работе рассмотрены также некоторые задачи линейного прогноза, постановки которых идейно близки к постановкам ин -терполяционных задач. Приведенные в ней результаты имеют не толь Q mm ко теоретическое, но и прикладное значение* Дело в том, что в настоящее время случайные поля используются в качестве математических моделей при решении актуальных проблем статистической радиофизики, статистической оптики, голографии, теории распознавания образов, метеорологии, геологии, квантовой теории полей. Проблема кодирования информации о непрерывной реализации случайного поля с помощью набора конечного или счетного набора значе -ний поля /эти значения называют по предложению У.Гренацдера L10] "наблюдаемыми координатами"/ является крайне актуальной в теории информации, статистике случайных процессов и полей ; при ее решении могут быть использованы, в частности, различные интерполяционные формулы» Интерполяционные форцулы могут быть также использованы при моделировании на ЭВМ случайных полей с заданными ха -рактеристиками.

Работа состоит из четырех глав, которые делятся на тринад -цать параграфов. Нумерация параграфов по главная.

В главе I рассмотрены представления интерполяционными рядами сепарабельных случайных процессов ("Ъ, td) , - оо <-fc<oo, cOejQ. , с iVi ^ ("t, сб) = 0 , ковариационные функции которых представляются в виде (о.4) , где А - некоторое множество параметров \ , вл - б -алгебра подмножеств из А •

F(A.,Aa> комплекснозначная функция, определенная на декартовом произведении Ъл * ЬА , аддитивная по обоим аргумен -там, положительно определенная и такая, что

ЛЛ

При этих условиях случайный процесс J=»(t, об) представим в виде

0.8) i где

- случайная функция множеств на Jda такая, что az(a1)z(a2) = fca1,a2)

В частности стационарные и гормонизуемые случайные процессы имеют вид (0.9) ,

В дальнейшем мы будем предполагать, что функция "f("t, X) относительно *t может быть доопределена в плоскости комплексного переменного до целой функции экппоненциального типа с конечным показателем такой, что

С. = Sup sup |flt%A;i<co о.ю)

1 = sup sup |f(t,X)|<'

XeA -oo<t<co

3 = SUp C(\)= Sup tiw XcA XeA u —i at* k»o oo

O.Il)

В § I главы I доказывается следующее утверждение. Теорема 1.2. Пусть S) , -oo<t<oo , G £2. , сепарабельный случайный процесс, имеющий вид (0.9). Предположим, что выполнены условия (0.10) ,(о.и) . Тогда почти для всех выборочных функций справедливо соотношение

N-1 ko-LE^W] к=-©о т=о т!

SiN N

0.12) при любом фиксированном о(>(Э , где а = К~— , К=0 id к о(

В этом же параграфе устанавливается следующий факт.

Теорема 1.3. С вероятностью единица для всех ТЬ>По(с0) о 1±£ tn * П

0.13) где rt N-1

L J N

0.14)

K=-U m=o a 6 произвольное положительное число.

Обозначим через класс функций Hcj,(z) » удовлетворяющих условиям:

I/ 1Ц(2)

- целая функция конечной степени ^ ~N ~ J^ ' где ^ ~ любое ямуральное число, d,J5>0 такие, что .

2/1Ц(0)«1.

В § Z главы I доказывается следующее утверждение.

Теорема 1.5. Предположим, что ^("t, (л>) сепарабельный случайный процесс, имеющий представление (0.9) и выполнены условия

Соло) , Со.и) .

Тогда почти для всех выборочных функций справедливо соотношение

-н- \ — ('t-aK)m] х оо

-Eti: о т=о пг! N L

0.15) при любом фиксированном ОС ,для которой <о < о< ,

В теореме 1.6 главы I изучается скорость сходимости в теореме 1.5.

В § 3 главы I устанавливается одно обобщение формулы Котельникова-Шеннона на тот случай, когда наблюдения над процессом и его производными ведутся на некоторой, периодически повторяющейся группе узлов.

Пусть узлы интерполяции заданы следующим способом:

О=од.N-O;

- любое фиксированное натуральное число. Это означает, что узлы разделены на группы по N точек, которые повторяются периодически, внутри группы расположение точек 0,l,.,N-i) произвольно, так что при каждом фиксированном значении (5= 0,1, N-i) последовательность узлов • •»"t , "t "Ь -Ъ -t образует

9 -as ' -ib > Ss » » 9 > •• * * gr MM периодическую последовательность с периодом ос,

Теорема 1.8. Пусть выполнены условия (0.II), (0.10) . Тогда почти для всех выборочных функций справедлива фор

ЧУла оо Н-1 МН ^ YYI.

К—-со Ъ=0 ms=o iM

NH оС п^ж^-ч) е^

0( j \ ТТ 1 СХ

Р =0, p^S при любом фиксированном с< > <5 .

0.16)

В теореме 1.9 изучается скорость сходимости в теореме 1.8 .

- 12

Глава П посвящена изучению представлений случайных полей различными интерполяционными рядами.

С it»

Пусть ^ (ос) - I el ~(|>ft) olt , ' Где ф(±) функция, носитель которой сосредоточен в интервале E"i> 1] и такая, что i

Uct)dt = l . н (0.17)

В § X главы П получен следующий результат.

Теорема 2.2. Пусть ^.("Ь^,. ,"tm, Од) сепарабельное слу-чаное поле, представимое в виде (0.5) .

Предположим, что выполнены условия СО.б) , СО.7) , (0.17) . Тогда почти для всех выборочных функций справедлива формула оо оо

Z-T. .

К^-оО Кт=-оо t=i ОС iitr-^r) (ол8) где 6K<o(K)J5K<C^K-6K , № = 1,2,., т.

Выбирая конкретные функции iJJ(-t) , можно получить различные варианты теоремы Ко тельникова-Шеннона /следствие 2.1 , 2.2 , 2.3 , 2.4 /.

В § 2, § 3, § 4 главы П результаты, полученные в главе I обобщаются на сепарабельные случайные поля, допускающие представление (0.5) .

Например, в § 2 главы П доказывается следующее утверждение. Теорема 2.3. Пусть сепарабельное случайное поле

Ct-i,.,-^, шеет ВЙД

Предположим, что выполнены условия (0.6) t (0.7) . Тогда почти для всех выборочных функций справедлива формула

ОО оо N<4 NaH m+K /fcr «л Л CwM \

Ц=-СО ia=-oo\ m=0 к=0 пг! к! bt" dtK

1 2. Ж л ieSl Ne\

Nt V

N,

0.19) где (i = i>«0 любые фиксированные числа.

С *

В § 5 главы П формула Котельникова-Шеннона устанавливается для случайных полей, допускающих представление в виде стохастического интеграла где i = хе Аа ,

-t,")=Sf(t,X)Z(clX) , (0.20)

А - некоторое множество, - 6 -алгебра подмножеств в А. , Z(S)

5еЬ хК ^ случайная аддитивная комплекснозначная функция v Л Л' множества на Ь х * Ъ А такая, что

AtZ(ft)= 0 , FC^.S^,

V ЬА, ЬА ) ; - функция множеств, аддитивная по обеим аргументам, положительно определенная и такая, что выполняется условие (0.8),

- 14

Теорема 2.9. Пусть |=Ск, со) сепарабельное случайное поле, имеющее вид (0.20) . Предположим, что функция f(t, X) может быть доопределена в пространстве С2 /относительно i /до целой функции экспоненциального типа с конечным показателем С,(Л) , Сг(Х)) и выполняются условия sup sup |f(t,X)|« С,<©о ,

ХеЛ2 teRa ' (0.21) supс^лО = 6^00 , .

0.22)

Х.еЛ

Если <о(] s i=i,S , то для почти всех выбороч

I V ' ных функций справедлива формула

ОО OQ

K,.j=-oo Кг=оо J с/г J (0.23)

В § 6 главы П доказывается, что однородное и изотропное случайное поле |b(t) » спектр которого сосредоточен в круге радиуса R , безошибочно восстанавливается по наблюдениям на множестве где \ к - последовательность положительных корней уравнения j,(«o=0 •

Обозначим через t=(Г, ф ) полярные координаты точки t. Теорема 2.10. Пусть jL(*\<p) (0^Г<оо , ср^ 25i) - однородное и изотропное случайное поле на плоскости, спектр которого заключен в круге радиуса R , а £ Л кJ - последовательность корней уравнения J0(oc) ~ 0 • Тогда при любом натуральном 71 справедливо равенство оо пг-1 in,—I

Ряд в правой части равенства (0.24) сходится в среднем квадратичном.

Глава Ш посвящена изучению вопроса приближения случайных процессов с помощью тригонометрических полиномов.

Вопросам приближения случайных процессов и полей посвящен ряд. работ [13] ,[14] , [27] , [33] . m п

Пусть +■ J3K nC0SK0C есть тригонометрический полиномкстепени, не превосходящей Иъ^ , и

2Tv такой, что 1 с о

Рассмотрим линейный случайный неотрицательный оператор

Ks*l

PicSi где tK>n- * + а > * = . ,тл+ a, -be [ода] .

Пусть CS) -ROt.S).

Через СО С^р ; S" ) обозначим модуль непрерывности функции ср , то есть

Если Ср = Ср (ос) -функция & 1С переменных, S — К. -мерный вектор, то через будем обозначать частный модуль непрерывности ср по К. последним переменным, то есть

01Ccf;S) = <O(<P;^, где - Й К -мерный вектор, первые \t - компонент которого нули, а последующие К компонент совпадают с S .

В § 3.1 доказано следующее утверждение.

Теорема 3.1. Пусть £=> (•£) - - периодический непрерывный в среднем квадратичном случайный процесс. Тогда

JA||СЬ)-;t)| 42(i+9l) O)/R ; ( ) .

V г ' ' C0.26) Как частные случаи оператора (0.25) рассматриваются дискретные аналоги оператора Джексона и Коровкина /пример I, пример 2/.

В главе 1У рассмотрены некоторые задачи линейного прогноза для однородных случайных полей.

В § 4.1 главы 1У рассматривается задача линейной интерполяции однородного случайного поля дискретного аргумента, значения которого известны во всех точках кроме некоторого прямоугольника Г Q4m4N< Т = < Cm,tv):

I СК гъ4 Na

Обозначим через Е>(Т) - гилбертово пространство функций вида

KX.JO- V У a(t,s)eiCAt^

0.27) со скалярным произведением

Si Si сцкр) S j oixdjrt.

Доказывается следующее утверждение.

Теорема 4.1. Для безошибочной интерполяции однородного случайного поля необходимо и достаточно, чтобы

Ъ(Т) = 0 . (0.28)

Условие безошибочной интерполяции однородного поля J=>("t,S) дискретного аргумента в терминах спекральной плотностью f(Kj\) поля переписывается в таком виде ® а \ OIXCIm = ОО

-i-i KKyO J (0.29) для любого

Предположим, что существует множество С ^ 1 такое, что %

J ^Сol\dJV1 >0 ,

0.29) где yt с (Л, - характеристическая функция множество С и оо

-i~i fo.jo J «.so при С ,

Основной результат этого параграфа является в следующем утверждении.

Теорема 4.2. Пусть С - максимальное множество, которое удовлетворяет условие (0.29) и для которого

Ь(Т) ф 0.

Тогда оптимальную линейную оценку поля £>) можно найти по формуле -9 -Si где определяется из уравнения

Ь(А^) = (ei(Xt^S)-ср (Alf)>f(A,J«) , а неизвестные коэффициенты - из системы уравнений

ЛД fi, -fc-u.s-tf, > cl (пг,тъ)ь (m- u, п.- it) = %

LaLA УГЧ [o,

Здесь p(im,Ti) коэффициенты Фурье функций f

-51 -SI

В § 4.2 главы П рассматривается задача линейного прогноза однородного случайного поля J= (£>,"t) по наблюдениям на множестве

EsE1UEg5S (ОЛ): ^=0;-оо<-Ь<оо]и

U{0>"t) :-co<s<oo; i= о] , Будем предполагать, что fa, х»)f.CM •

Введем следующие обозначения

СО Г л I» f(iO- Je f/MdX, ,

- со

- со

- 19

Доказывается следующее утверждение.

Теорема 4.4. Наилучший линейный прогноз значения ^(tc^U^) по результатам наблюдения на Е имеет вид

А/ /w V f,(o) (0.33)

Ошибка прогноза равна

О «О б^.и^Е) = jj [l"|W+iTaC^f]М-АУ ,

- oo - ©о

0.34) где i Г ^u, V . . f,Co)L rv I f/0^ f,(o)

В § 4.3 главы П рассматривается задача линейного прогноза для однородного непрерывного в среднем квадратичном случайного поля .

По наблюдениям на множестве u{(S,t): S>=0,±1,t = o] .

Обозначим через ^^coc/tpC^'J*) заряд, полученный из спектральной меры olF(\JW) при помощи преобразования dF<**M = S2

Предположим теперь дополнительно, что существует производная dXdjA

Введем следующие обозначения

Я .

-зг

Теорема 4.5. Наилучший линейный прогноз поля ПО наблюдениям на множестве Е вычисляется по формуле х- V ^ rxo) f:co) а ошибка прогноза равна

0.35)

OQ OO бг(и„и, ,E) = J J [l-|c>P + c2Ma]f(\A2)d\d\,

-oo-oo

0.36) где f:co)?xo)

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [34] , [35] , [Зб] , [37] , [38] , [зэ] и докладывались на конференции молодых ученых Киевского государственного университета им. Т.Г.Шевченко /апрель, 1983 г./.

Автор пользуется случаем, чтобы выразить глубокую благодарность своему научному руководителю, профессору Михаилу Иосифовичу Ядренко, под руководством которого выполнена настоящая работа, за постановку темы диссертации, многочисленные полезные советы и замечания.

1. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации. -М.: ГИТТЛ, 1947. - 321 с.

2. Барладян Б.Х. Теорема отчетов для случайных процессов и полей. Пробл. передачи информ., 1980, т.ХУ1, вып.4, с.22-35.

3. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены. -М.: Наука, 1966, т.2. 295 с.

4. Беляев Ю.К. Аналитические случайные процессы. Теория вероятностей и ее применения» 1959, т.4, вып.4, с.437-444.

5. Бернштейн С.Н. Собрание сочинений. М., 1952, т.1. 582 с.

6. Блох Э.Л., Игнатьев Н.К. Оптимальная дискретизация многомерных сообщений. Изв. высш. учебн. заведений радиотехника: 1961, т.4, № 6, с.692-699.

7. Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей, 3-е изд. -М.: Наука, 1967. 375 с.

8. Гихман И.И., Скороход А.В. Теория случайных процессов. В 3-х томах. -М.: Наука, 1971, т.1. 664 с.

9. Джерри А. Дж. Теорема отчетов Шеннона, ее различные обобщения и приложения. Обзор. Пер. с англ. Труды Ин-та инженеров по- 129 электротехн. и радиоэлектрон,, 1977» т.65, № II, с.53-89,

10. Дрожжина Л.В. О приближении случайных функций последова -тельноетями линейных положительных операторов. Теория вероятностей и мат. статистика, 1974, вып.II, с.39-44.

11. Дрожжина Л.В. О линейной аппроксимации случайных полей.- Теория вероятностей и мат. статистика, 1975, вып.13, с.46-52.

12. Евграфов М.А. Интерполяционная задача Абеля-Гончарова. -М.: Гостехиздат, 1954. 127 с.

13. Ефимов С«П. Восстановление поля с ограниченным спектром по отчетам сигналов фильтрующей системы, Проблемы передачи информ., 1978, Т.Х1У, вып.2, с.53-60.

14. Ибрагимов И.А, Об ассимптотическом поведении ошибки прогноза. Теория вероятностей и ее применения, 1964, т.9, № 4, с.695-703.

15. Ибрагимов И.И, Методы интерполяции функций и некоторые ее применения. -М.: Наука, 1971. 518 с.

16. Ибрагимов И.И., Келдыш М.В. Об интерполяции целых функций,- Матем. сборник, 1947, т,20 /62/, вып.2, с.283-291.

17. Игнатьев Н.К. Дискретизация многомерных сообщений. Научн. докл. высш. школы. "Радиотехн. и электроника", 1958, № I, с.63-70.

18. Игнатьев Н.К. Оптимальная дискретизация двумерных сообщений. "Изв, высш. учебн. заведений. Радиотехника", 1961, 4, № 6, с.684-691.

19. Коняев К.В. Спектральный анализ процессов и полей. ~М.: Наука, 1973. 168 с.

20. Котельников В.А, 0 пропускной способности эфира и проволоки в электросвязи. Материалы к 1-«у Всесоюз. съезду по вопроса» техн. реконст. дела связи и разв. слаботочн. про-мышл, -М., 1933. - 19 с.

21. Левин Б.Я. Распределение корней целых функций. -М.: ГИТТЛ, 1956,

22. Леонтьев А.Ф. Целые функции. Ряды экспонент. -М.: Наука, 1983.

23. Нагорный B,H. Об интерполяции случайных процессов, I. -Теория вероятн. и матем. статистика, 1970, вып.З, с.93-96.

24. Нагорный В.Н. Об интерполяции случайных процессов, П. Теория вероятн. и матем. статистика, 1970, вып.З, с.97-104.

25. Нагорный В.Н. Про гнтерполящю випадкових пол1В. Доповвдх АН УРСР, 1971, сер.А, № 4, с.319-323.

26. Нагорний В.Н, Про о дне 1Итерполяц1йне зображення випадкових процес1в. Bichhk Ки1вського унхверситету, сер. матем. та механ., 1980, # 22, с.86-88.

27. Нагорный В.Н. Об интерполяции случайных процессов и полей. Дисс, . канд. физ.-мат. наук, -Киев, 1970. 130 с.

28. Нагорний В.Н., Ядренко М.Й. Пол1Ном1альиа 1Нтерполяц1я випадкових процеств. Bichhk Ки1вського унтверситету, сер.- 131 матем. та механ., 1971, № I3t с.10-12.

29. Омаров G.O. Об интерполяции случайных полей. Теория ве -роятн. и матем. статистика, 1984, вып.30, с.

30. Омаров С.О. Об интерполяции случайного процесса с использованием значений процесса и его производных в узлах интерполяции. -Киев, 1983. 15 с. - Рукопись представлена Киеве -ким государственным ун-том. Деп. в УкрНИИНТИ 20 июня 1983, № 539 Ук - Д83.

31. Омаров С.О. Об одном обобщении интерполяционной формулы Котельникова-Шеннона для случайных полей. -Киев, 1983. -16 с. Рукопись представлена Киевским государственным ун-том. Деп. в УкрНИИНТИ 30 июня 1983, № 651 Ук- Д83.

32. Омаров С.О. Про Л1н1йну 1Нтерполяц1Ю випадкових процес1в.- Допов1Д1 АН УРСР, сер.А, 1984, * I, с.

33. Омаров С.О. О линейной аппроксимации случайных процессов.- ДАН УССР, сер.А, 1984, * 8 , с.

34. Омаров С.О. Про л1Н1йну 1Нтерполяц1Ю однорэдних випадкових полib. Bichhk Ки1вського ун1верситету, сер. матем. та механ., 1984, № 26 , с.

35. Островский Б .И. О локальной структуре нормальных полей.- ДАН СССР, 1970, т.195, * I, с.40-42.

36. Папулис А. Теория систем и преобразований в оптике. Пер. с англ. -М.: Мир, 1971. 496 с.

37. Пиранашвили З.А. К вопросу об интерполяции случайных процессов. Теория вероятн. и ее применения. 1967, т.ХП,4, с.708-717.

38. Пиранашвили З.А. Об интерполяции, аппроксимации и некоторых- 132 аналитических свойствах случайных процессов. -Автореф.дис. на соиск. уч.степени канд. физ.-мат.наук. -Тбилиси, 1969.

39. Попов Ю.Д. Деяк1 задач! лшгйного прогнозу для однорщних випадкових полгв. Доповда АН УРСР, 1967, сер.А, № 12, с.1076-1078.

40. Розанов Ю.А. Об интерполировании стационарных процессов с дискретным временем. ~ ДАН СССР, I960, т.130, № 4, с.730-733.

41. Розанов Ю.А. Стационарные случайные процессы. -М.: Физмат-гиз, 1963. 284 с.

42. Ронкин Л.И, Введение в теорию целых функций многих переменных. -4fl.: Наука, 1971. 430 с.

43. Худайберганов Р. Об интерполяции случайных полей. Теория вероятн. и матем. статистика, 1974, вып.Ю, с.154-166.

44. Худайберганов Р. 0 приближении случайного поля. Теория вероятн. и матем. статистика, 1972, вып.6, с.129-132.

45. Худайберганов Р. Об интерполяции случайных процессов линейными положительными операторами. Изв. АН Уз.ССР, сер. физ.-мат.наук, 1974, № 4, с.63-65.

46. Хургин Я.И., Яковлев В.П. Методы теории целых функций в радиофизике, теории связи и оптике. -М,: Физматгиз, 1962. 220 с.

47. Хургин Я.Й., Яковлев В.П. Финитные функции в физике и технике. -М.: Наука, 1971. 408 с.

48. Шеннон К. Работы по теории информации и кибернетике. Пер. с англ. -М.: Изд-во иностр. лит., 1963. 829 с.- 133

49. Яглом A.M. К вопросу о линейном интерполировании стационарных случайных последовательностей и процессов. Успехи мат. наук, 1949, т.4, вып.4/32/, с.173-178.

50. Яглом A.M. Спектральные представления для различных классов случайных функций. В кн.: Труды 4-го Всесоюзн. мат.съезда. -М.: Изд. АН СССР, 1963, т.1, с.250-273.

51. Ядренко М.Й. Про деяк1 задач1 лш1йного прогнозу для одно-рщних випадкових пол1В. Вiсник Ки1вського унгверситету, сер. астроном,, матем. та механ., 1958, № X, вип.2, с.113-123.

52. Ядренко М.И. Некоторые вопросы теории случайных полей. Дисс. . канд. физ.-мат.наук. -Киев, 1961• 162 с.

53. Ядренко М.Й. Спектральная теория случайных полей. -Киев: Вшца школа. Изд-во при КГУ, 1980. 208 с.

54. Доренко М.Й. Спектралыи розклади 1зотропних випадкових полIB. -ДАН УРСР, 1967, сер.А, № 9, с.835-837.

55. Alan J.L. On band limited stochastic processes. SIAM.J. Appl.Math., 1976, v.30, no 2, p.p.269-277.

56. Alan J.L. Approximate interpolation and the sampling theorem. SIAH. J.Appl.Math., 1977, т.32, no.4, p.p.731-744.

57. Alan J.L. Sampling theorems for nonstationary random process. Trans.Amer.Math.Soc., 1978, v.242, p.p.225-241.

58. Balakrishnan A.V. A note on the sampling principle for continuous signals.-IRE.Trans.inform.Theory, 1957, II-3» p.p.143-146.- 134

59. Bojamic R, Shisha 0. Approximation of continuous, periodic functions by discrete linear positive operators. -J.Approx.Theory, 1974, r.11. no.3, p.p.231-235.

60. Derore R.A. The Approximation of continuous functions by positive lineor operators.- Lecture notes in Mathematics, 1972, v.292.

61. Gardner W.A. A sampling theorem for nonstationary processes.-IEEE.Trans.Jnform.Theory, 1972, v.IT-18, p.p.808-809

62. Jaderman D.L., Pogel L.J. Some general aspects of the sampling theorem. IRE.Trans.Jnform.Theory, 1956» v.IP- 12,p.p.139-146.

63. Linden D.A., Abramson N.M., A generalizution of the sampling theorem.- Jnform.Contr, 1961, v.4, p.p.95-96.

64. Linden D.A. A discussion of sampling theorems. Proc. IRE, 1959, v.47, p.p.1219-1226.

65. Linded D.A., Abramson N.M. A generalization of the sampling theorem.- Jnform.Contr., 1960,v.3» p.p.26-31.

66. Lloyd S.P. A sampling theorems stationary (Wide sense) stochastic processes. Trans.Amer.Math.Soc, 1959* v.92, no.92, p.p.1-12.

67. Whittaker E.T. On the functions which are represented by the expansion of interpolating theory. Proc.Roy.Soc. Edihbugh, 1915, v.35, p.p.181-184.

68. Yaglom A.M. Second-order homogeneous random fields. -Pros.of.IY Berkely.Sympos.on Math.Stat.and Probab., 1961, v.2, p.p.593-622.

69. Zakai M. Band-limited funktions and the sampling theorems.-Inform.Contr., 1965, v.8, p.p.143 158.