Общековариантный m-адный метод и его применение к описанию масс бозонов в многомерных теориях физических взаимодействий тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В.ЛОМОНОСОВА

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

ОБЩЕКОВАРИАНТНЫЙ т-АДНЫЙ МЕТОД и его применение к описанию МАСС БОЗОНОВ в МНОГОМЕРНЫХ ТЕОРИЯХ ФИЗИЧЕСКИХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ

Специальность: 01.04.02 — теоретическая физика.

На правах рукописи.

Клименков Владимир Александрович

УДК 530.12;539.12

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени

кандидата физико-математических наук.

Москва, 2005 г.

Работа выполнена на кафедре теоретической физики Физического факультета Московского Государственного Университета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

профессор Владимиров Юрий Сергеевич.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук профессор Кречет Владимир Георгиевич,

Ведущая организация: Российский Университет Дружбы Народов.

Защита состоится 12 мая 2005 года в 15 часов на заседании Диссертационного Совета К 501.001.17 в Московском Государственном Университете имени М.В. Ломоносова по адресу:

г. Москва, Воробьёвы Горы, МГУ, Физический факультет, СФА.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горького Физического факультета МГУ.

Автореферат разослан 11 апреля 2005 года.

Учёный секретарь

кандидат физико-математических наук доцент Захаров Валерий Дмитриевич.

Диссертационного Совета доктор физ.-мат. наук

П. А. Поляков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

С возникновением общей теории относительности, явившейся результатом развития цепочки идей выдающихся мыслителей девятнадцатого — начала двадцатого веков, появилась принципиально новая категория искривлённого пространства - времени. Компоненты метрического тензора, зависящие от четырёх координат, стали играть роль потенциалов гравитационного "поля". Тем самым был сделан первый шаг в реализации глобальной программы по геометризации всех физических взаимодействий.

Затем начались исследования возможности геометризации не только гравитационного, но и других видов физических взаимодействий. На попытки решения этой проблемы были затрачены огромные усилия. Следует напомнить варианты единых теорий гравитации и электромагнетизма, предложенные Г. Вейлем и А. Эддингтоном, самим Эйнштейном (совместно с В. Майером и П. Бергманом), другими физиками-теоретиками первой половины ХХ-го века. В рамках этих исследований были открыты нерима-новы геометрии. Особенно плодотворными оказались идеи Калу-цы.

Вскоре после публикации основополагающих работ Эйнштейна Теодор Калуца предложил способ объединения теорий гравитации и электромагнетизма на основе-гипотезы, что наш мир представляет собой искривленное пятимерное пространство - время. Без сомнения, это и стало началом второго этапа в создании геометрической картины мира. Подчеркнём, что теория Калуцы возникла как непосредственное развитие идей эйнштейновской общей теории относительности на случай геометрической теории пяти измерений. Пятимерная теория Калуцы показала, что при построении многомерных геометрических теорий следует отказаться от постулата равноправности дополнительных и классических измерений.

Отметим, что первая статья Калуцы и ряд последующих ра-

з

бот других авторов были недостаточно общими и четкими. Только спустя много лет идеи Калуцы были сформулированы в строгом и законченном виде. Оказалось, что для этой цели необходимо использовать монадный метод редукции пятимерной теории на четырёхмерное риманово пространство-время. Исторически монадный метод возник в связи с решением именно этой задачи, и лишь спустя много лет был переоткрыт и усовершенствован при разработке методов описания систем отсчета в рамках четырёхмерной общей теории относительности.

Многомерные геометрические теории объединения физических взаимодействий, пройдя свой первый исторический этап -этап развития пятимерных теорий, описывающих с помощью одной дополнительной компактифицированной размерности абеле-во (электромагнитное) поле, находятся в настоящее время на втором своём этапе — этане развития ^мерных теорий (п>5), объединяющих гравитацию и неабелевы калибровочные поля. Этот переход стал возможен только после того, как теория электрослабых и сильных взаимодействий была сформулирована, по аналогии с теорией электромагнитного поля, в терминах векторных полей промежуточных бозонов.

Как известно, модель электрослабых взаимодействий Вайн-берга — Салама - Глэшоу и хромодинамическая модель сильных взаимодействий были построены во второй половине 60-х — начале 80-х годов ХХ-го века на базе калибровочного подхода с соответствующими групповыми симметрия ми.

В ряде работ, посвященных геометризации модели Вайнберга — Салама — Глэшоу, старались напрямую геометризовать группы, используемые в этой теории. Для дополнительных размерностей постулировалась топология сферы, соответствующая группе SU(2), иногда привлекалась ещё одна размерность — с топологией, соответствующей группе ЩГ), как в классическом варианте пятимерной теориии Калуцы. При этом, как правило, общее количество измерений оказывалось равным десяти или одиннадца-

ти. В работах В.Г. Кречета была предпринята попытка описать грави-электрослабые взаимодействия в рамках иятимерной геометрической модели. Однако для этой цели пришлось использовать афинные геометрии с кручением и с вейлевской неметрич-ностью.

В Московском Университете в группе Ю.С. Владимирова исследуется альтернативный подход к многомерным единым теориям, в котором используется тороидальная топология по дополнительным размерностям. В рамках семи измерений была развита геометрическая теория, объединяющая гравитационные и электрослабые взаимодействия, показано её соответствие с моделью Вайнберга - Салама — Глешоу в секторе взаимодействия и в фер-мионном секторе. В рамках восьми измерений была построена геометрическая теория, объединяющая гравитационные и сильные взаимодействия, и показано её соответствие с классической хромодинамикой (в бозонной немассовой части).

Далее на повестку дня естественным образом встала проблема анализа массовых бозоиных секторов восьмимерной геометрической теории грави-сильных взаимодействий и семимерной геометрической теории грави-электрослабых взаимодействий. В обоих случаях в основе всех построений лежит т.н. гиперплотность геометрического лагранжиана, важнейнейшей составной частью которой является многомерная скалярная кривизна. Формула, представляющая результат процедуры расщепления этой величины, содержит слагаемое.(т.н. "массовый" сектор), явный вид которого ранее не выписывался. Поэтому прежде всего стояла задача разработать метод (4+ +1-т)-расщепления геометрических величин (в том числе скалярной кривизны), фигурирующих в п-мерной теории. Было необходимо разработать такой (математический) аппарат (метод), который естественно содержал бы монадный, а также диадный, триадный и т.д. методы в качестве своих частных случаев.

Заметим, что в полном виде монадный метод в специальной

(хронометрической) калибровке впервые был построен А.Л. Зель-мановым и затем независимо в трудах Э. Шмутцера и К. Кат-танео. В 70-х годах ХХ-го века Владимировым Ю.С. и другими авторами были разработаны общековариантный монадный метод и основы общековариантного диадного метода. На рубеже 80-х и 90-х годов Мишаковым А.В. был предложен метод получения из (п-1)-мерной скалярной кривизны ^мерной скалярной кривизны, однако фактически был проделан лишь первый шаг заявленной рекуррентной процедуры (характеризуемый п=6). Вопрос о получении представления для 6-мерного тензора Риччи и тем более для б-мерного тензора Римана - Кристоффеля (не говоря уже о более высоких размерностях) до сих пор оставался открытым.

Общим свойством (недостатком) многомерных геометрических теорий, относящихся к направлению, альтернативному стандартному, является тот факт, что в них все заряженные частицы (как геометрического, так и физического происхождения) характеризуются чрезвычайно большими значениями масс, порядка нланковской массы. Последние возникают из-за дифференцирования соответствующих волновых функций по дополнительным координатам калуцевского типа. Эту трудность пытались устранить различными способами: либо волевым введением в теорию больших затравочных масс, иеренормирующих нланковские массы до наблюдаемых значений, либо посредством использования специальных видов геометрии с кручением, влияющей лишь на значения масс частиц, либо посредством введения скалярного конформного фактора, зависящего от 4-классических и дополнительных координат. Эти и иные приемы но ряду причин оказываются в геометрической теории неудовлетворительными. В данной работе предлагается видоизменение третьего из указанных способов, позволяющее решить эту проблему таким способом, который (в рамках семимерной теории грави-электрослабых взаимодействий) соответствует общепринятому механизму Хигг-са без недостатков последнего.

Цельработы,

Диссертационная работа посвящена исследованию методов геометрического введения масс промежуточных бозонов в многомерных теориях физических взаимодействий типа теорий Калуцы и Клейна

В связи с этим были поставлены следующие задачи

1) обобщить общековариантный монадный метод (редуцирования пятимерного риманового многообразия к четырехмерному) до общековариантного т-адного метода редуцирования (41 т) -мерного риманового многообразия (с топологией тора но дополнительным размерностям) к четырехмерному,

2) применив методику (4+1-1-1+1+1)-расщспления, проанализировать массовой бозонный сектор (включая конформно выделенное слагаемое) восьмимерной теории грави - сильных взаимодействий,

3) применив методику (4+1+1+1)-расщепления, проанализировать массовой бозонный сектор (включая конформно выделенное слагаемое) семимерной геометрической теории грави-электрослабых взаимодействий

Научная новизна

Научная новизна данной работы состоит в том, что в ней впервые

1) Разработан общековариантный т-адный метод редуцирования п-мерной геометрической модели к физической теории в пространственно-временном многообразии п-т измерений (для физических приложений наиболее интересным представляется случай п-т-4) В частности, определено количество типов и вид обобщенных физико-геометрических тензоров внутри каждого типа, получено представление ковариантных производных от произвольного п-вектора в (4+1' т)-расщепленном виде, в т-адном виде записаны проекции тензора Римана — Кристоффеля, тензора Риччи, а также скалярная кривизна, найдены коммутаторы

специальных (т-адных) дифференциальных операторов, необходимые для записи тензора кривизны и других геометрических величин. Все полученные формулы справедливы в геометрических теориях любой размерности и сигнатуры.

2) В рамках 8-мерной геометрической теории, объединяющей обшую теорию относительности и выводы калибровочной модели сильных взаимодействий, на основе (m=4)-адного (тетрадного) метода выделены массовые слагаемые и разработан способ перенормировки планковских значений масс заряженных глюонов, в котором специальное конформное преобразование исходной восьмимерной метрики играет ключевую роль.

3) Разработанная в рамках 8-мерной теории процедура геометрической перенормировки масс применена в 7-мерной геометрической теории грави-электрослабых взаимодействий. Показано, что конформное преобразование, использованное для этой цели, фактически является геометрическим аналогом механизма Хиггса введения масс в калибровочной модели Вайнберга-—Салама—Глэшоу.

Научная и практическая ценность.

Научная ценность диссертации определяется тем, что результаты работы могут быть использованы в исследованиях по поиску теоретического обоснования наблюдаемых значений и спектра масс элементарных частиц.

Апробация работы.

Материалы диссертации докладывались на заседаниях научных семинаров Российского Гравитационного Общества и семинара проф. Ю.С. Владимирова "Геометрия и физика" на Физическом факультете Московского Государственного Университета им. М.В. Ломоносова. Основные результаты диссертации опубликованы в трёх работах.

Структура и объём диссертации.

Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и списка литературы. Общий объём работы — 101 (машинописая) страница, библиография - 96 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение содержит обоснование актуальности тематики диссертации, краткую характеристику направления, в русле которого выполнена работа, а также формулировку цели исследований и постановку решаемых задач.

Первая глава носит вводный характер.

Параграф 1.1 посвящен изложению монадного метода. Основное внимание уделено его общековариантному аспекту, который служит образцом для всех последующих обобщений. В начале параграфа изложена алгебра общековариантного монадного метода, затем введены физико-геометрические тензора и приведено выражение для пятимерных символов Кристоффеля. Далее изложены основные сведения о монадных операторах дифференцирования, после чего приведены выражения для пятимерных тензора Римана, тензора Риччи и скалярной кривизны в (4И)-расщеплённом виде. Последний пункт (1.1.5) посвящен "хронометрической" калибровке монады и записи ряда величин в этой калибровке.

В параграфе 1.2 представлены основные положения упрощённого (без скаляризма) варианта пятимерной теории Калуцы (объединяющей гравитационные и электромагнитные взаимодействия). Особое внимание уделено аспекту перехода от геометрической теории общего вида к содержательной физической модели (для чего необходимо не только "калибровать" монаду "хронометрическим" способом, но и ввести ещё ряд ограничений на компоненты пятимерного метрического тензора).

Параграф 1.3 посвящен изложению основ (диадного) метода (4+1+1)-расщепления и способам его применения в шестимерных геометрических теориях физических взаимодействий. Здесь приведены сведения об алгебре общековариантного диадного метода, о диадных физико - геометрических тензорах и диадных операторах дифференцирования (всё в общековариантной форме). В пункте 1.3.2 определена дважды "хронометрическая" калибровка и показано, какой вид принимают диадные физико - геометрические тензоры и диадные операторы дифференцирования в данной калибровке. Далее приведена физическая интерпретация шестимерной геометричекой теории. Описаны дополнительные условия, которые необходимо наложить на геометрию (компоненты щестимерного метрического тензора), и показано, как с их помощью осуществляется переход к (физической) теории грави -электромагнитных взаимодействий.

В параграфе 1.4 представлены последние результаты, полученные в рамках программы объединения физических взаимодействий на основе развиваемого в группе Ю.С. Владимирова подхода к теориям Калуцы и Клейна (альтернативного стандартному). Пункт 1.4.1 посвящен семимерной геометрической теории грави - электрослабых взаимодействий. Указано на её соответствие с моделью Вайнберга-Салама-Глэшоу (в секторе взаимодействия). Затем кратко изложена восьмимерная геометрическая теория грави-сильных взаимодействий. Указано на её соответствие с классической хромодинамикой. Далее описан некий способ получения сектора взаимодействия семимерной теории грави-электрослабых взаимодействий из сектора взаимодействия единой восьмимерной теории с помощью особой процедуры редуцирования ("склейки" пары дополнительных размерностей). Ряд формул этого параграфа, а также практически весь материал пункта 1.4.4, в котором указаны общие ограничения, налагаемые на ^мерную геометрическую теорию при её физической интерпретации, использованы в третьей главе.

Во второй главе разработан общековариантный т-адный метод для п-мерной геометрической теории.

В параграфе 2.1 введены векторы m-ады, обсуждены их свойства, определены обобщённые физико-геометрические тензоры и найдено представление для п-мерных символов Кристоффеля (через компоненты т-ады).

Параграф 2.2 посвящен т-адным операторам дифференцирования, здесь же получено представление для ковариантной производной от произвольного п-мерного ковектора.

В параграфе 2.3 вычислены некоторые коммутаторы специальных дифференциальных операторов, а также всевозможные полные проекции ковариантных производных от обобщённых физико - геометрических тензоров.

В параграфах 2.4 и 2.5 приведена процедура расщепления п-мерного тензора Римана-Кристоффеля, итогом которой стала запись всех линейно независимых полных проекций указанной величины (относящихся к шести различным типам) в m-ацном виде. Кроме того, в 2.5 выписаны итоговые выражения для проекций п-мерного тензора Риччи и для п-мерной скалярной кривизны — всё в (41 1-ш) -расщеплённом виде. Затем для случая т - 2 показан механизм перехода от общих выражений к частным (в данном случае диадным), приведено выражение для шестимерной скалярной кривизны и произведено -его сопоставление с выражением, полученным ранее А.В. Мишаковым принципиально иным способом.

Третья глава посвящена перенормировке планковских значений масс векторных бозонов в многомерных геометрических теориях.

В параграфе 3.1 проанализирован массовый бозонный сектор восьмимерной геометрической теории грави-сильных взаимодействий. Здесь выписан соответствующий исходный лагранжиан, который затем преобразован к виду, используемому при

дальнейших расчётах. Затем показана суть проблемы планков-ских значений масс глюонных полей в данной теории. Пункт 3.1.3 посвящен процедуре конформного преобразования (вейлевского типа: GмN = £ • Сщг), призванной разрешить указанную проблему. Постулирована независимость конформного фактора от четырёх классических координат. Изложены соображения, на основании которых конформный фактор был выбран в виде X = С3 = 1+Ф4 ехр(гРх4)+ф^ ехр{-1/Зх4)+ф+ехр[г^(хг°+хй+х7)}+

. Далее записано выражение для массовой бозонной части геометрического лагранжиана, получившееся после конформного преобразования и операции усреднения по дополнительным координатам, и на его основе проанализированы итоги геометрической перенормировки глюонных масс.

В параграфе 3.2 проанализирован массовый бозонный сектор семимерной геометрической теории грави-электрослабых взаимодействий. В пункте 3.2.1 выписан соответствующий лагранжиан и показана суть проблемы планковских значений масс заряженных W-бозонов. Затем рассмотрен массовый сектор семимерной геометрической теории, полученной редуцированием единой восьмимерной геометрической теории. Пункт 3.2.3 посвящен процедуре конформного преобразования (где также постулирована независимость соответствующего конформного фактора от четырёх классических координат:

+(¡>4 ехр(-{рх4)+ф+ ехр[г7(х6-а;5)] +ф_ ехр[—г*7(ж6—ж5)]). Здесь же записано выражение для массовой бозонной части геометрического лагранжиана, получившееся после конформного преобразования и операции усреднения по дополнительным координатам. На его основе проанализированы итоги геометрической перенормировки массы W-бозона и её влияние на значения масс нейтральных промежуточных бозонов.

В заключении подведены итоги и сформулированы основные выводы диссертации.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Во-первых, разработан общековариантный т-адный метод для п-мерной геометрической теории.

В частности,

определено количество типов обобщённых физико - геометрических тензоров и число независимых величин внутри каждого типа;

получено выражение для обобщённых символов Кристоффе-ля (в расщеплённом виде);

ковариантная производная от векторов т-ады представлена через (обобщённые) физико-геометрические тензоры и сами векторы т-ады;

обобщены определения специальных операторов дифференцирования, для т-адных операторов дифференцирования первого типа получено выражение, обобщающее соответствующие формулы из монадного и диадного методов, для т-адных операторов дифференцирования второго тина доказано, что остаётся справедливой соответствующая формула из монадного метода;

получено представление для ковариантной производной от произвольного п-вектора (в расщеплённом виде);

определено, какие (и на что действующие) коммутаторы специальных (т-адных) дифференциальных операторов необходимы для "вычисления" тензора Римана,-и найдены выражения для них;

получены результаты полного проектирования ковариантных производных от полных проекций ковариантных производных векторов т-ады.

Наконец, с использованием всего вышеперечисленного, в результате символьных операций получены (в расщеплённом виде) все проекции п-мерного тензора Римана (относящиеся к одному из шести существенно различных типов), все проекции п-мерного тензора Риччи, а также п-мерная скалярная кривизна. Все указанные величины представлены через обобщённые

физико-геометрические тензоры, m-адные операторы дифференцирования и "четырёхмерные" части соответствующих расщепляемых величин.

Все упомянутые формулы справедливы независимо от количества дополнительных размерностей и их сигнатуры.

Во-вторых, на основе указанных выше результатов разработана методика перенормировки планковских значений масс заряженных глюонов в рамках восьмимерной геометрической теории грави-сильных взаимодействий.

В частности,

проанализирован массовый бозонный сектор указанной теории, в результате чего подтверждено общее свойство теорий подобного рода — возникновение планковских значений масс заряженных полей;

предложена процедура конформного преобразования исходной восьмимерной метрики на основе конформного фактора особого типа и получено явное выражение для конформно выделенной части геометрического лагранжиана;

показано, что в результате данного конформного преобразования поля нейтральных глюонов остаются безмассовыми, а массы полей заряженных глюонов получают добавок того же план-ковского порядка, который (добавок) должным выбором констант можно сделать не просто отрицательным, но и в точности равным (по модулю) первоначальному (имевшемуся до конформного преобразования) значению либо на сколько угодно отличающимся от него.

В-третьих, методика перенормировки планковских значений масс применена в рамках семимерной геометрической теории гра-ви - электрослабых взаимодействий к заряженным W-бозонам.

В частности,

проанализирован массовый бозонный сектор 7-мерной теории, в результате чего ещё раз подтверждено общее свойство теорий подобного рода генерировать иланковские значения масс

заряженных полей;

показано, что указанное свойство присуще и редуцированному (из единой восьмимерной теории) варианту построения геометрической теории электрослабых взаимодействий;

предложена процедура конформного преобразования исходной семимимерной метрики на основе конформного фактора, также как и в предыдущем случае не зависящего от классических координат, но имеющего иную структуру зависимостей от дополнительных координат, и получено явное выражение для конформно выделенной части геометрического лагранжиана семимерной теории;

показано, что в результате конформного преобразования путём должного выбора значений свободных параметров теории одновременно можно добиться, чтобы

а) поле Z-бозона приобрело массу, согласующуюся с наблюдаемым значением,

б) электромагнитное поле осталось безмассовым,

в) массы W-бозонов получили такой отрицательный добавок (порядка массы Планка), который вкупе с первоначальным (тоже планковским) значением приводит к наблюдаемой величине.

ПУБЛИКАЦИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ РАБОТЫ

1) V.A. Klimenkov, Yu.S. Vladimirov, The renormalization of Plank masses of vector bosons in the eight-dimensional geometrical theory // Gravitation and Cosmology / Vol. 10 (2004), N 1-2(37-38), p. 77-82.

2) V.A. Klimenkov, Yu.S. Vladimirov, Analogue of a Higgs mechanism in the seven-dimensional geometrical theory // Gravitation and Cosmology / Vol. 10 (2004), N 3 (39), p. 191-194.

3) V.A. Klimenkov, Generally covariant method of a many dimensional Riemann tensor's decomposition // Gravitation and Cosmology / Vol. 10 (2004), N 4 (40), p. 313-318.

ООП Физ ф-та МГУ. Заказ 58-100-05

Введение.

Глава 1. Многомерная геометрофизика (обзор).

§1.1. Монадный метод в пятимерной геометрической теории.

1.1.1. Алгебра общековариантного монадного метода.

1.1.2. Физико-геометрические тензора и выражение для пятимерных символов Кристоффеля.

1.1.3. Монадные операторы дифференцирования.

1.1.4. Тензор Римана, тензор Риччи и скалярная кривизна

1.1.5. "Хронометрическая" калибровка монады.

§1.2. Единая теория гравитации и электромагнетизма > (вариант Калуцы).

§1.3. Шестимерная геометрическая теория и диадный метод.

1.3.1. Основы общековариантного диадного метода.

1.3.2. Дважды "хронометрическая" калибровка диады.

1.3.3. Физическая интерпретация шестимерной теории.

§1.4. Объединение взаимодействий на основе многомерных римановых пространств (современный этап).

1.4.1. Семимерная теория грави-электрослабых взаимодействий (бозонный немассовый сектор).

1.4.2. Восьмимерная теория грави-сильных взаимодействий (бозонный немассовый сектор).

1.4.3. Редукция восьмимерной геометрической теории к семимерной (бозонный немассовый сектор).

1.4.4. Общие ограничения, налагаемые на п-мерную геометрическую теорию при её физической интерпретации.

Глава 2. Общековариантный ш-адный метод в п-мерной теории.

§2.1. Вектора т-ады и их свойства, обобщённые физико - геометрические тензоры и представление для п-мерных символов Кристоффеля.

§2.2. Операторы дифференцирования и представление для ковариантной производной от произвольного п-вектора.

§2.3. Коммутаторы специальных дифференциальных операторов и (полные) проекторы ковариантных производных от физико-геометрических тензоров.

§2.4. Процедура расщепления тензора Римана - Кристоффеля (общие положения и 1-й этап вычислений).

§2.5. Процедура расщепления тензора Римана - Кристоффеля (2-й этап), тензор Риччи и скалярная кривизна.

Глава 3. Перенормировка планковских значений масс векторных бозонов в многомерных геометрических теориях

§3.1. Массовый сектор восьмимерной теории.

3.1.1. Лагранжиан геометрической теории грави-сильных взаимодействий.

3.1.2. Проблема планковских значений масс заряженных глюонных полей.

3.1.3. Конформное преобразование.

3.1.4. Геометрическая перенормировка глюонных масс.

§3.2. Массовый сектор семимерной теории.

3.2.1. Лагранжиан геометрической теории грави - электрослабых взаимодействий и проблема планковских значений бозонных масс.

3.2.2. Массовый сектор семимерной геометрической теории, полученной редуцированием единой восьмимерной геометрической теории.

3.2.3. Конформное преобразование и перенормировка план-ковских значений бозонных масс.

С возникновением общей теории относительности [1-3], явившейся результатом развития цепочки идей выдающихся мыслителей девятнадцатого - начала двадцатого веков [4-9], появилась принципиально новая категория искривлённого пространства-времени. Компоненты метрического тензора, зависящие от четырёх координат, стали играть роль потенциалов "гравитационного поля". Тем самым был сделан первый шаг в реализации глобальной программы по геометризации всех физических взаимодействий.

Затем начались исследования возможности геометризации не только гравитационного, но и других видов физических взаимодействий. На попытки решения этой проблемы были затрачены огромные усилия. Следует напомнить варианты единых теорий гравитации и электромагнетизма, предложенные Г. Вейлем [10], А. Эддингтоном [11], самим Эйнштейном (совместно с В. Майером, П. Бергманом) [12-14] и другими физиками-теоретиками первой половины ХХ-го века. В рамках этих исследований были открыты неримановы геометрии. Особенно плодотворными оказались идеи Калуцы. В указанном русле одно время работали Луи де Бройль [15], Г.А. Мандель [16] и многие другие.

Вскоре после публикации основополагающих работ Эйнштейна Теодор Калуца [17] предложил способ объединения теорий гравитации и электромагнетизма на основе гипотезы, что наш мир представляет собой искривленное пятимерное пространство-время. Без сомнения, это и стало началом второго этапа в создании геометрической картины мира. Подчеркнём, что теория Калуцы возникла как непосредственное развитие идей эйнштейновской общей теории относительности на случай геометрической теории пяти измерений. Пятимерная теория Калуцы показала, что при построении многомерных геометрических теорий следует отказаться от постулата равноправности дополнительных и классических измерений. Физические обстоятельства нашего мира таковы, что метрический тензор четырёхмерного пространственно-временного сечения многомерного многообразия) не зависит от дополнительных координат. Дополнительное (пятое) измерение в теории Калуцы проявляется в виде смешанных компонент пятимерного метрического тензора и компонент пятимерных символов Кристоффеля.

Отметим, что первая статья Калуцы и ряд последующих работ других авторов были недостаточно общими и четкими. Только спустя много лет идеи Калуцы были сформулированы в строгом и законченном виде. Оказалось, что для этой цели необходимо использовать монадный метод редукции пятимерной теории на четырёхмерное риманово пространство-время. Исторически монадный метод возник в связи с решением именно этой задачи [13,18], и лишь спустя много лет был переоткрыт и усовершенствован при разработке методов описания систем отсчета в рамках четырёхмерной общей теории относительности.

Многие физики-теоретики по-достоинству оценили "чудеса" теории Калуцы, главным из которых является автоматическое расщепление пятимерных уравнений эйнштейновского типа на систему из десяти обычных четырёхмерных уравнений Эйнштейна (причём с тензором энергии-импульса электромагнитного поля в правой части), четыре уравнения Максвелла и ещё одно скалярное уравнение. Среди таких физиков можно назвать Л. де Бройля [19], В.А. Фока [20], П. Йордана, А. Салама [21], С. Вайнберга [22] и многих других.

В настоящее время принято называть пятимерную теорию гравитации и электромагнетизма теорией Калуцы — Клейна, однако под этим названием кроются совершенно различные теории, преследующие разные цели. Как уже отмечалось, теория Калуцы нацелена на геометризацию электромагнитных взаимодействий, тогда как теория Клейна, точнее, теория Клейна — Фока — Румера [23-27] предназначена для геометрического описания масс и квантовой теории. Как оказалось, на стандартную общую теорию относительности можно взглянуть как на оптику в пятимерном пространстве-времени, причём в качестве дополнительной (пятой) компоненты импульса выступает масса покоя частицы. Соответствующие формулы приведены в первой главе. Здесь лишь заметим, что в настоящей диссертации будет предложен механизм получения масс бозонов (частиц-переносчиков взаимодействий), для которого существенно наличие дополнительных размерностей обоих типов (калуцевского и клейновского).

Главная проблема варианта Клейна — Фока состояла в том, что вместо универсального пространства-времени вводилось многомерное конфигурационное пространство: в (смешанные) компоненты метрики входило отношение электрического заряда к массе рассматриваемой частицы. Таким образом пространство-время оказывалось предназначенным для описания лишь одного сорта частиц. При осуществлении своей программы столкнулся с рядом трудностей и Ю.Б. Румер. Выводя за скобки неразрешённый до сих пор вопрос совмещения принципов ОТО (и её обобщений) с квантовой теорией, можно сказать, что корень проблем заключался в том, что две задачи — геометризации электромагнетизма и получения масс — решались одновременно в рамках пяти измерений. В обзорной главе настоящей диссертации приведён вариант шестимерной теории типа теории Калуцы — Клейна (где координаты х°, х1, х2, х3 — классические, х4 — клейновская, х5 — калуцевская), в которой удаётся избежать ряд проблем теории Клейна — Фока — Румера.

Представляет интерес направление исследований, заключающееся в анализе многомерных космологических моделей. Здесь следует отметить работы К.А. Бронникова [28] (с соавторами) и [29], В.Н. Мельникова [30], В.Д. Иващука [31], Ю.С. Владимирова [32] (с соавтором), A.B. Мишакова [33].

Многомерные геометрические теории объединения физических взаимодействий, пройдя свой первый исторический этап - этап развития пятимерных теорий, описывающих с помощью одной дополнительной компактифицированной размерности абелево (электромагнитное) поле, находятся в настоящее время на втором своём этапе — этапе развития n-мерных теорий (п>5), объединяющих гравитацию и неабелевы калибровочные поля. Этот переход стал возможен только после того, как теория электрослабых и сильных взаимодействий была сформулирована, по аналогии с теорией электромагнитного поля, в терминах векторных полей промежуточных бозонов. Как известно, модель электрослабых взаимодействий Вайнберга — Салама — Глэшоу [34-36] и хромодинами-ка [37,38] были построены во второй половине 60-х — начале 80-х годов ХХ-го века на базе калибровочного подхода с соответствующими групповыми симметриями [39-45]. Следует отметить, что предпринимались попытки применить калибровочную идеологию и к самой общей теории относительности [46,47]. Эти работы вкупе с исследованиями в области построения теории Великого объединения [48-52] стимулировали интерес к неабелеву обобщению теорий Калуцы и Клейна. Особую роль здесь сыграли проблема квантования "гравитационного поля" и тесно связанный с ней вопрос о гравитационных волнах (не нашедшие своего разрешения в рамках четырёх измерений). Среди многочисленных работ на эту тему отметим монографию В.Д. Захарова [53].

В ряде работ, посвящённых геометризации модели Вайнберга — Са-лама — Глэшоу, старались напрямую геометризовать группы, используемые в этой теории. Для дополнительных размерностей постулировалась топология сферы, соответствующая группе SU(2), иногда привлекалась ещё одна размерность - с топологией, соответствующей группе U(l), как в классическом варианте пятимерной теориии Калуцы. При этом, как правило, общее количество измерений оказывалось равным десяти или одиннадцати. В работах В.Г. Кречета [54,55] была предпринята попытка описать грави-электрослабые взаимодействия в рамках пятимерной геометрической модели. Однако для этой цели пришлось использовать афинные геометрии с кручением и с вейлевской неметричностью.

В целом, как следует из обзора [56], большинство исследований по объединению известных физических взаимодействий в рамках многоме-рия естественно отнести к стандартному подходу [57-63] (к "теориям типа Калуцы — Клейна"), в котором большую роль играют векторы Киллинга и некомпактифицированные размерности. В Московском Университете в группе Ю.С. Владимирова исследуется альтернативный подход к многомерным единым теориям, названный в [64] индуктивным классическим. (Здесь необходимо отметить, что в последнее время отчётливо прослеживается тенденция к дедуктивному способу представления достигнутых результатов.) Для этого подхода характерно осторожное отношение к увеличению размерности и тщательное исследование следствий, связанных с введением каждого дополнительного измерения. Были последовательно проанализированы [65-80] на предмет адекватности физической реальности (или, точнее говоря, на предмет возможности так сформулировать теорию, чтобы она удовлетворяла принципу соответствия) reoметрические модели пяти, шести, семи, восьми измерений с тривиальной (тороидальной) топологией по дополнительным размерностям.

Если слепо следовать основной идее теории Калуцы, то следовало бы ожидать, что для описания каждого векторного поля, переносящего сильные или электрослабые взаимодействия, необходима своя размерность, чтобы векторному полю с номером э сопоставлялись смешанные компоненты метрического тензора С?. Тогда для описания сильных взаимодействий с восемью промежуточными векторными глюонными полями потребовалось бы дополнительные восемь размерностей, то есть в совокупности с четырьмя классическими размерностями следовало бы использовать двенадцатимерную геометрию. Однако, оказалось, что для описания грави- сильных взаимодействий достаточно ограничиться восемью измерениями (то есть четырьмя дополнительными). Это объясняется тем, что среди векторных глюонных полей имеется три пары хроматически заряженных полей, которые в геометрической теории должны описываться принципиально иным образом, по сравнению с одним нейтральным векторным (электромагнитным) полем в пятимерной теории Калуцы.

Согласно первому общему принципу многомерных теорий все заряженные поля, как геометрические, так и фермионные (вносимые в геометрию извне), должны зависеть циклическим образом от дополнительных (компактифицированных) координат. В теории сильных взаимодействий кварки (фермионы) могут находиться в трех цветовых состояниях, следовательно, необходимы три дополнительные размерности калу-цевского типа, чтобы три цветовых состояния можно было описывать соответствующими зависимостями от этих координат.

Второй универсальный принцип многомерных теорий состоит в том, что стандартные лагранжианы, с которыми имеют дело в четырёхмерных теориях, получаются из многомерных гиперплотностей лагранжианов в результате (усреднения) интегрирования по периодам циклических зависимостей от дополнительных размерностей. В итоге остаются лишь четырёхмерные вещественные выражения (соответствующие общепринятой физической плотности лагранжиана, несмотря на то что исходные величины - многомерный метрический тензор и гиперплотность многомерной скалярной кривизны - не только зависят от дополнительных координат, но и являются, вообще говоря, комплексными. Для описания обменных взаимодействий между кварками в разных цветовых состояниях оказались необходимы специальные зависимости промежуточных векторных бозонов от дополнительных координат, которые позволяют погасить соответствующие экспоненциальные слагаемые (см. §1.4).

Третий общий принцип многомерных теорий состоит в том, что векторные бозоны, переносящие взаимодействия, описываются смешанными компонентами метрического тензора из которых строится система ортонормированных векторов вдоль дополнительных размерностей, ортогональных локальному четырёхмерному пространственно - временному сечению. В восьмимерной теории эта система образует тетраду, в семимерной теории — триаду. Каждый из векторов тетрады (триады) представляется в виде суперпозиции физических полей с некоторыми коэффициентами. Последние находятся из принципа соответствия геометрической и калибровочной теорий сильных (электрослабых) взаимодействий. Таким образом, физические поля (глюонов) выступают в качестве коэффициентов при разложении тетрад по гармоникам зависимостей от дополнительных координат. Этот прием позволяет существенно сэкономить число используемых размерностей.

В итоге в рамках семи измерений удалось построить геометрическую теорию, объединяющую гравитационные и электрослабые взаимодействия, и добиться её соответствия с моделью Вайнберга-Салама-Глешоу в бозонной немассовой и в фермионной части. В рамках восьми измерений удалось построить геометрическую теорию, объединяющую гравитационные и сильные взаимодействия, и добиться её соответствия с классической хромодинамикой (в бозонной немассовой части).

Общим свойством (недостатком) многомерных геометрических теорий, построенных на перечисленных принципах, является тот факт, что в них все заряженные частицы (как геометрического, так и физического происхождения) характеризуются чрезвычайно большими значениями масс, порядка планковской массы [81]. Последние возникают из-за дифференцирования соответствующих волновых функций по дополнительным координатам калуцевского типа. Эту трудность пытались устранить различными способами: либо волевым введением в теорию больших затравочных масс, перенормирующих планковские массы до наблюдаемых значений, либо посредством использования специальных видов геометрии с кручением, влияющей лишь на значения масс частиц, либо посредством введения скалярного конформного фактора, зависящего от 4-классических и дополнительных координат. Эти и иные приемы по ряду причин оказываются в геометрической теории неудовлетворительными. В данной работе предлагается видоизменение третьего из указанных способов, позволяющее решить эту проблему таким способом, который при переходе к варианту грави-электрослабых взаимодействий соответствует общепринятому механизму Хиггса [82] без недостатков последнего.

Включению скалярных полей как компонент метрики в схему Калу-цы — Клейна в рамках стандартного подхода (к ТКК) посвящено немало работ (см., например,[60]). Но оказалось, что это не приводит к реалистическому лагранжиану Янга — Миллса — Хиггса [83]. Введению скалярных полей через компоненты тензора кручения посвящена, среди прочих, характерная работа [84]. Однако, как отмечают сами её авторы, в этом подходе остаётся ещё много открытых вопросов. В ряде статей (см., например, [85,86]) хиггсовские поля включают в теорию внешним к геометрии образом, что противоречит идеологии Калуцы и Клейна. В рамках же индуктивного классического подхода к ТКК оказалось естественным ввести скалярные ("хиггсовские") поля, используя вейлевское конформное преобразование.

В работах [87],[88] и подробно в третьей главе настоящей диссертации рассмотрены массовые бозонные сектора соответственно восьмимерной геометрической теории, объединяющей гравитационные и сильные взаимодействия, и семимерной геометрической теории, объединяющей гравитационные и электрослабые взаимодействия. В обоих случаях в основе всех построений лежит т.н. гиперплотность геометрического лагранжиана, важнейнейшей составной частью которой является многомерная скалярная кривизна. Формула, представляющая результат процедуры расщепления этой величины, содержит слагаемое Щт) (т.н. "массовый" сектор), явный вид которого ранее не выписывался. Поэтому прежде всего стояла задача разработать метод (4+1-т)-расщепления геометрических величин (в том числе скалярной кривизны), фигурирующих в п-мерной теории.

В статье [89] (и подробно во второй главе настоящей диссертации) последовательно получены представления для п-мерых (п>4) тензора Римана, тензора Риччи и скалярной кривизны через обобщённые физико-геометрические тензоры, обобщённые операторы дифференцирования и "4-мерные" части соответствующих расщепляемых величин. Все формулы имеют единообразный вид независимо от количества дополнительных размерностей и их сигнатуры. Расщепления произведены общековари-антным ш-адным методом, обобщающим общековариантные монадный и диадный методы.

Кратко остановимся на истории возникновения и развития методов редукции многомерных многообразий, в результате которой расщепляются величины, характеризующие эти многообразия.

Как известно, общая теория относительности сформулирована в терминах тензорных величин. Декларируется, что в общем случае координаты точки-события не имеют непосредственного физического смысла, а являются лишь её абстрактными номерками. Но тогда что является измеримым в общей теории относительности? Так постепенно была осознана необходимость дополнить эйнштейновскую теорию гравитации специальным математическим аппаратом описания наблюдаемых величин. Этот аппарат состоит из методов задания систем отсчёта; исторически первым и до сих пор важнейшим из них является метод редукции четырёхмерной ОТО на трёхмерные пространственные сечения систем отсчёта.

Справедливости ради заметим, что монадный метод возник в 30-х годах в рамках 5-мерной теории гравитации и электромагнетизма как метод выделения из 5-мерного многообразия 4-мерного пространства -времени. В рамках 4-мерия для расщепления многообразия на время и 3-мерное пространство этот метод (в объеме алгебры) впервые был применён К.Эккартом в 1940 году. Затем элементы монадного метода развивались и использовались в работах Б. Лифа, А. Ульмана, Ф. Пирани, Г. Денена и других авторов. В полном виде монадный метод в специальной (хронометрической) калибровке впервые был построен А.Л.

Зельмановым [90] и затем независимо в трудах Э. Шмутцера [91,92] и К. Каттанео. В 70-х годах ХХ-го века Владимировым Ю.С. и другими авторами были разработаны общековариантный монадный метод и основы общековариантного диадного метода [93]. Наконец, на рубеже 80-х/90-х годов Мишаковым A.B. был предложен метод получения из (п-1)-мерной скалярной кривизны п-мерной скалярной кривизны [94], однако фактически был проделан лишь первый шаг заявленной рекуррентной процедуры (5Ä —6R). Тем не менее был внесён важный вклад в развитие общековариантного диадного метода.

Вопрос о получении представления для б-мерного тензора Риччи и тем более для 6-мерного тензора Римана (не говоря уже о более высоких размерностях) до сих пор оставался открытым.

Общековариантный m-адный метод, развитый автором настоящей работы вплоть до расщепления (4+т)-мерного тензора Римана, является максимальным обобщением общековариантного монадного метода и, естественно, содержит последний, а также диадный, триадный и т.д. методы в качестве своих частных случаев.

Заключение.

Сформулируем основные результаты, полученные в диссертационной работе.

Во-первых, разработан общековариантный ш-адный метод для 11-мерной геометрической теории (кстати заметим, что фигурировавшее в тексте диссертации условие п-т=4 было введено с прицелом на физические приложения, в математическом аспекте все формулы останутся справедливыми и при менее жёстком условии п-ш>1 — если произвести очевидные переобозначения). В частности, определено количество типов обобщённых физико-геометрических тензоров и число независимых величин внутри каждого типа, получено выражение для обобщённых символов Кристоффеля (в расщеплённом виде), ковариантная производная от векторов т-ады представлена через (обобщённые) физико-геометрические тензоры и сами вектора т-ады, обобщены определения специальных операторов дифференцирования, для т-адных операторов дифференцирования первого типа получено выражение, обобщающее соответствующие формулы из монадного и диадного методов, для т-адных операторов дифференцирования второго типа доказано, что остаётся справедливой соответствующая формула из монадного метода, получено представление для ковариантной производной от произвольного п-вектора (в расщеплённом виде), определено, какие (и на что действующие) коммутаторы специальных (т-адных) дифференциальных операторов необходимы для "вычисления" тензора Римана, и найдены выражения для них, получены результаты полного проектирования ковариантных производных от полных проекций ковариантных производных векторов глады.

Наконец, с использованием всего вышеперечисленного, в результате символьных операций получены (в расщеплённом виде) все проекции п-мерного тензора Римана (относящиеся к одному из шести существенно различных типов), все проекции п-мерного тензора Риччи, а также п-мерная скалярная кривизна. Все указанные величины представлены через обобщённые физико-геометрические тензоры, т-адные операторы дифференцирования (действующие на ФГ-тензоры) и "четырёхмерные" части соответствующих расщепляемых величин.

Ешё раз подчеркнём, что все упомянутые формулы справедливы независимо от количества дополнительных размерностей и их сигнатуры.

Во-вторых, на основе указанных выше результатов разработана методика перенормировки планковских значений масс заряженных глюо-нов в рамках восьмимерной геометрической теории грави - сильных взаимодействий.

В частности, проанализирован массовый бозонныЙ сектор указанной теории, в результате чего подтверждено общее свойство теорий подобного рода — возникновение планковских значений масс заряженных полей, предложена процедура конформного преобразования исходной восьмимерной метрики на основе конформного фактора особого типа и получено явное выражение для конформно выделенной части геометрического лагранжиана, показано, что в результате данного конформного преобразования поля нейтральных глюонов остаются безмассовыми, а массы полей заряженных глюонов получают добавок того же планковского порядка, который (добавок) должным выбором констант можно сделать не просто отрицательным, но и в точности равным (по модулю) первоначальному (имевшемуся до конформного преобразования) значению либо на сколько угодно отличающимся от него.

В-третьих, методика перенормировки планковских значений масс применена в рамках семимерной геометрической теории грави - электрослабых взаимодействий к заряженным \V-6030HaM.

В частности, проанализирован массовый бозонный сектор 7-мерной теории, в результате чего ещё раз подтверждено общее свойство теорий подобного рода генерировать планковские значения масс заряженных полей, показано, что указанное свойство присуще и редуцированному (из единой восьмимерной теории) варианту построения геометрической теории электрослабых взаимодействий, предложена процедура конформного преобразования исходной се-мимимерной метрики на основе конформного фактора, также как и в предыдущем случае не зависящего от классических координат, но имеющего иную структуру зависимостей от дополнительных координат, и получено явное выражение для конформно выделенной части геометрического лагранжиана семимерной теории, показано, что в результате конформного преобразования путём должного выбора значений свободных параметров теории одновременно можно добиться, чтобы а) поле Z-бoзoнa приобрело массу, согласующуюся с наблюдаемым значением, б) электромагнитное поле осталось безмассовым, в) массы \^-бозонов получили такой отрицательный добавок (порядка массы Планка), который вкупе с первоначальным (тоже планковским) значением приводит к наблюдаемой величине.

Приведённые результаты были опубликованы в работах [87],[88],[89] и докладывались на заседаниях научных семинаров Российского Гравитационного Общества и семинара "Геометрия и физика" на Физическом факультете МГУ им. М.В. Ломоносова.

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору, ведущему научному сотруднику кафедры теоретической физики Юрию Сергеевичу Владимирову за предложенную тему, руководство работой и плодотворное сотрудничество.

Автор считает также своим приятным долгом выразить благодарность всему коллективу кафедры теоретической физики МГУ за создание прекрасных условий для научных исследований.

1. Эйнштейн А., Гроссман М. Проект обобщенной теории относительности и теории тяготения // Собрание научных трудов. Т.1. М.: Наука, 1965, с. 227-266.

2. Эйнштейн А. Принципиальное содержание общей теории относительности // Собрание научных трудов. Т.1. М.: Наука, 1965, с. 613-615.

3. Эйнштейн А. Принципиальное содержание общей теории относительности // Собрание научных трудов. Т.2. М.: Наука, 1966, с.366-386.

4. Риман Б Сочинения. М.-Л.: ОГИЗ ГИТТЛ, 1948.

5. Риман Б. О гипотезах, лежащих в основании геометрии // Сб. "Альберт Эйнштейн и теория гравитации". М.: Мир, 1979, с. 18-33.

6. Клиффорд В. О пространственной теории материи // Сб. "Альберт Эйнштейн и теория гравитации". М.: Мир, 1979, с. 18-33.

7. Эйнштейн А. Эрнст Мах // Собрание научных трудов. Т.4. М.: Наука, 1967, с. 27-32.

8. Минковский Г. Пространство и время // Сб. "Принцип относительности". М.: Атомиздат, 1973, с. 167-180.

9. Пуанкаре А. О науке. // М.: Наука, 1983. 560 с.

10. Вейль Г. Гравитация и электричество. В кн.: Альберт Эйнштейн и теория гравитации. - М.: Мир, 1979. - с. 513-527.

11. Eddington A.S. Fundamental theory. N.Y.: Cambridge Press, 1946.

12. Эйнштейн А., Майер В. Единая теория гравитации и электричества // Эйнштейн А. Собрание научных трудов. Т.2. М.: Наука, 1966, с. 366-386.

13. Эйнштейн А., Бергман П. Обобщение теории электричества Ка-луцы // Эйнштейн А. Собрание научных трудов. Т.2. М.: Наука, 1966, с. 492-513.

14. Эйнштейн А., Баргман В., Бергман П. О пятимерном представлении гравитации и электричества // Эйнштейн А. Собрание научных трудов. Т.2. М.: Наука, 1966, с. 543-554.

15. De Broglie L. L'Univers a cinq dimensions et la mecanique ondulatoire. // Journ. Phys. Rad., 1927, ser. 6, v. 8, p. 65-73.

16. Mandel H. Zur Herleitung der Feldgleichungen in der allgemeinen Relativitätstheorie. I-III // Zeits. f. Phys. 1926. - Bd. 39. - s. 136-145; 1927. - Bd. 45. - s. 285-292; 1929. - Bd. 56. - s. 838-843.

17. Калуца Т. К проблеме единства физики. // Сб. "Альберт Эйнштейн и теория гравитации". М.: Мир, 1979, стр. 529-534.

18. Бергман П.Г. Введение в теорию относительности. М.: ИЛ, 1947.

19. Луи де Бройль. Революция в физике. М.: Госатомиздат, 1963.

20. Фок В.А. Избранные труды. С-Пб.: Изд-во С-Пб. Ун-та, 2003.

21. Salam A., Strathdee J. On Kaluza-Klein theory //Ann. of Phys., 1982, v.141, p. 316-352.

22. Weinberg S. Quasi-Riemann theories of gravitation in more than four dimensions // Phys. Lett. 1984. - V. B138. - p. 47-51.

23. Klein O. Quantentheorie und funfdimensionalen Relativitätstheorie // Zeits. f. Phys. 1926. - Bd. 37. - s. 895-906.

24. Fock V. Zur Schrodingerishen Wellenmechanik // Zeits. f. Phys. -1926. Bd. 38. - s. 242-250.

25. Klein О. Zur funfdimensionalen Darstellung der Relativitätstheorie // Zeits. f. Phys. 1927. - Bd. 46. - s. 188-208.

26. Румер Ю.Б. Исследования по 5-оптике. M.: ГИТТЛ, 1956.

27. Румер Ю.Б. Принципы сохранения и свойства пространства и времени // Сб. "Пространство, время, движение". М.: Наука, 1971, с. 107-125.

28. Bronnikov К.A., Ivashchuk V.D., Melnikov V.N. Time variation of gravitational constant in multidimensional cosmology. // Nuovo Cimento, 1988, V. B102, p. 209-215.

29. Bronnikov K.A. Multidimensional cosmology with a generalized Maxwell field: integrable cases. // Gravitation and Cosmology / Vol. 3 (1997), p. 65-70.

30. Мельников В.Н. Многомерная космология и проблема вариаций констант. В кн. "Итоги науки и техники. Классическая теория поля и теория гравитации", том 1 ("Гравитация и космология"). - М.: изд-во ВИНИТИ, 1991, с. 49-110.

31. Ivashchuk V.D. Multidimensional cosmology and Toda-like systems. // Phys. Lett, 1992, v. A170, p. 16-20.

32. Владимиров Ю.С., Пераса Альварес А. Однородные изотропные космологические модели в 6-мерной теории Калуцы-Клейна. / / Вестник МГУ. Сер. физ. и астр. - 1992. - Т. 33, N 6, с. 17-22.

33. Мишаков A.B. Точные решения (типа "пыль" и "излучение") уравнений 6-мерной космологии. // Тезисы докладов 8-й Российской гравитационной конференции (Пущино, 1993).

34. Вайнберг С. Идейные основы единой теории слабых и электромагнитных взаимодействий. Нобелевская лекция по физике 1979 года.] // УФН, 1980. Том 132, стр. 201-217.

35. Салам А. Калибровочное объединение фундаментальных взаимодействий. Нобелевская лекция по физике 1979 года] // УФН, 1980. Том 132, стр. 229-253.

36. Глэшоу Ш. На пути к объединённой теории — нити в гобелене. Нобелевская лекция по физике 1979 года] // УФН, 1980. Том 132, стр. 219-228.

37. Индурайн Ф. Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов. М.: Мир, 1986.

38. Ченг Т.-П., Ли Л.-Ф. Калибровочные теории в физике элементарных частиц. М.: Мир, 1987.

39. Боголюбов H.H., Ширков Д.В. Введение в теорию квантованных полей. М.: Наука, 1973.

40. Соколов A.A., Тернов И.М., Жуковский В.Ч., Борисов A.B. Калибровочные поля. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1986.

41. Хуанг К. (Huang К.). Кварки, лептоны и калибровочные поля. М.: Мир, 1985.

42. Волошин М.Б., Тер-Мартиросян К.А. Теория калибровочных взаимодействий элементарных частиц. М.: Энергоиздат, 1984.

43. Окунь Jl.Б. Физика элементарных частиц. М.: Наука, 1988.

44. Окунь Л.Б. Лептоны и кварки. М.: Наука, 1990.

45. Хелзен Ф., Мартин А. Кварки и лептоны: Введение в физику частиц. М.: Мир, 1987. - 456 с.

46. Иваненко Д.Д., Пронин П.И., Сарданашвили Г.А. Калибровочная теория гравитации. М.: изд-во МГУ, 1985. - 144 с.

47. Пономарёв В.Н., Барвинский А.О., Обухов Ю.Н. Геометроди-намические методы и калибровочный подход к теории гравитационных взаимодействий. М.: Энергоатомиздат, 1985. - 168 с.

48. Весс Ю., Беггер Дж. Суперсимметрия и супергпавитация. М.: Мир, 1986. - 184 с.

49. Duff M.J., Nilsson B.E.W., Pope C.N. Kaluza-Klein supergravity // Phys. Rep. 1986. - V. 130. - p. 1-142.

50. Введение в супергравитацию. / Под ред. С. Феррары, Дж. Тейлора. М.: Мир, 1985. - 304 с.

51. Грин М., Шварц Дж., Виттен Э. Теория суперструн. Т. 1,2. -М.: Мир, 1990. - 518 е., 656 с.

52. Бринк Л., Энно М. Принципы теории струн. М.: Мир, 1991. -296 с.

53. Захаров В.Д. Гравитационные волны в теории тяготения Эйнштейна. М.: Наука, 1972.

54. Krechet V.G. Geometrization of physical interactions, 5-dimensional theories and the many world problem // Gravitation and Cosmology/ Vol. 1 (1995), N 3, p. 199-204.

55. Кречет В.Г. Пятимерная геометрическая модель грави электрослабых взаимодействий. // Сб. "Гравитация и электромагнетизм", вып. 6, Минск: изд-во "Университетское", 1998.

56. Ходос А. Теории Калуцы-Клейна: общий обзор // УФН. 1985. - Т. 146. - с. 647-654.

57. Cho Y.M. Higher-dimensional unifications of gravitation and gauge theories// J. of Math. Phys. 1975. - V. 16. - p. 2029-2035.

58. Cho Y.M., Jang P.S. Unified geometry of internal space with spacetime // Phys. Rev. 1975. - V. D12. - p. 3789-3795.

59. Witten E. Search for a realistic Kaluza-Klein theory // Nucl. Phys.- 1981. V. B186. - p. 412-428.

60. Awada M.A. Kaluza-Klein theory over coset spaces // Phys. Lett.- 1983. V. B127. - p. 415-418.

61. Chyba C.F. Kaluza-Klein unified field theory and apparent four-dimensional space-time // Am. J. Phys. 1985. - V. 53. - p. 863-872.

62. Aulakh C., Sandev D. Infinite-dimensional gauge structure of Kaluza-Klein theories// Phys. Lett. 1986. - V. B173. - p. 241-246.

63. Pasini A. A conceptual introduction to the Kaluza-Klein theory// Eur J. Phys. 1988. - V. 9. - p. 289-296.

64. Владимиров Ю.С., Попов А.Д. Многомерные модели физических взаимодействий типа теории Калуцы-Клейна. // Сб. "Итоги науки и техники", том 1. М.: ВИНИТИ, 1991, стр. 5-48.

65. Владимиров Ю.С. Совмещение 5-мерной теории Калуцы и единой теории Вейля. // Тезисы V Советской гравитационной конференции.- М.: Изд-во МГУ, 1981. с. 123.

66. Ю.С.Владимиров. Размерность физического пространства времени и объединение взаимодействий. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1987.

67. Владимиров Ю.С., Гаврилов В.Р. Заряженные векторные поля в 7-мерной теории грави-электро-слабых взаимодействий. // Сб. "Гравитация и электромагнетизм". Минск: изд-во Университетское, 1987, с. 9-14.

68. Владимиров Ю.С., Мирошник А.О. Метрический вариант 7-мерной теории грави-электро-слабых взаимодействий. // Сб. "Гравитация и электромагнетизм". Минск: изд-во Университетское, 1988, с. 37-44.

69. Мирошник А.О., Мишаков А.В. Многомерная модель хромоди-намики с метрическим описанием глюонных полей. В кн.: Гравитация и электромагнетизм. - Минск: Изд-во Университетское, 1988. - с. 149154.

70. Гаврилов В.Р. 7-Мерная модель грави-электро-слабых взаимодействий с нетривиальной топологией. // Тезисы VII Советской гравитационной конференции. Ереван: Изд-во ЕГУ, 1988. - с. 180-182.

71. Владимиров Ю.С., Мирошник А.О. Обоснование значения угла Вайнберга в 6-мерной модели грави-электро-слабых взаимодействий. // Вестник МГУ. Сер. физ. и астр. - 1988. - Т. 29, N 5. - с. 5-9.

72. Мирошник А.О. Исследование единых многомерных метрических моделей физических взаимодействий. Дисс. . канд. физ.- мат. наук. - М.: МГУ, 1989. - 147 с.

73. Vladimirov Yu.S., Miroshnik А.О., Mishakov A.V. Multidimensional geometrical models of physical interactions. // Wiss. Zeit. Univ. Jena. 39J., H. 1, 1990, p. 128-132.

74. Yu.S. Vladimirov, S.I.Mamontov. Symmetry in a 6-dimensional geometric model of gravi-electroweak interaction // Gravitation and Cosmology / Vol. 2 (1996), N 3 (7), p. 235-243.

75. Владимиров Ю.С., Мамонтов С.И. Поколения лептонов в 6-мерной геометрической модели грави-электрослабых взаимодействий. // Тезисы докладов 9-й Российской гравитационной конференции (Новгород, 1996).

76. Yu.S. Vladimirov,A.G.Minkov. 7-Dimensional geometric model of gravi-electroweak interactions // Gravitation and Cosmology / Vol. 4 (1998), N 2, p. 103-106.

77. Губанов A.H., Миньков А.Г. Многомерные геометрические модели физических взаимодействий. // Сб. "Гравитация и электромагнетизм", вып. 6, Минск: изд-во Университетское, 1998, с. 77-83.

78. Yu.S. Vladimirov, A.N.Gubanov. 8-Dimensional Geometric Model of Gravi-Strong Interaction // Gravitation and Cosmology / Vol. 4 (1998), N 3 (15), p. 193-198.

79. Yu.S. Vladimirov, A.G.Minkov. Particle rest masses in multigimen-sional geometric models // Gravitation and Cosmology / Vol. 5 (1999), N 2 (18), p. 121-126.

80. Yu.S. Vladimirov, A.N.Gubanov. Unification of gravi-electroweak and strong interactions in an 8 dimensional theory / / Gravitation and Cosmology / Vol. 5 (1999), N 4 (20), p. 277-280.

81. Владимиров Ю.С. Планковские массы и многомерные теории поля. // Сб. "Проблемы теории гравитации и элементарных частиц", вып. 17, М.: Энергоатомиздат, 1986, с. 66-74.

82. Ансельм А.А., Уральцев И.Г., Хозе В.А. Хиггсовские частицы. // УФН. 1985. - Т. 145. - с. 185-223.

83. Янг Ч., Миллс P. (Yang C.N., Mills R.L.) Сохранение изотопического спина и изотопическая калибровочная инвариантность. // Сб. "Элементарные частицы и компенсирующие поля". М.: Мир, 1964, с. 28-38.

84. Волович Н.В., Катанаев М.О. Скалярные поля и динамическое кручение в теориях типа калуцы-Клейна. // ТМФ. 1986. - Т. 66. - с. 79-89.

85. Hasenfratz A., Hasenfratz P. Continuum limit of an SU(2) gauge theory with a scalar doublet. // Phys. Rev. 1986. - V. D34. - p. 3160-3164.

86. Mishra S. Sal am-Weinberg symmetry breaking with superheavy Higgs particles. // Phys. Lett. 1987. - V. B186. - p. 99-102.

87. V.A.Klimenkov, Yu.S. Vladimir ov.

88. The renormalization of Plank masses of vector bosons in the eight-dimensional geometrical theory

89. Gravitation and Cosmology / Vol. 10 (2004), N 1-2 (37-38), p. 77-82.

90. V.A.Klimenkov, Yu.S.Vladimirov.

91. Analogue of a Higgs mechanism in the seven-dimensional geometrical theory // Gravitation and Cosmology / Vol. 10 (2004), N 3 (39), p. 191-194.89. V.A. Klimenkov

92. Generally covariant method of a many-dimensional Riemann tensor's decomposition

93. Gravitation and Cosmology / Vol. 10 (2004), N 4 (40), p. 313-318.

94. Зельманов A.JI. Хронометрические инварианты и сопутствующие координаты в общей теории относительности. // Докл. АН СССР.- 1956. Т. 107. - с. 815-819.

95. Schmutzer Е. Projectiv unified field theory, I-V. // Exp. Techn. Phys., 1980, Bd. 28, p. 395-402, 499-508; 1981, Bd. 29, p. 129-136, 337-341, 463-480.

96. Schmutzer E. Sketch of a new 5-dimensional projectiv unified field theory physical predictions and applications. //' Ann. der Phys., 1988, Bd. 45, s. 578-594.

97. Владимиров Ю.С. Системы отсчета в теории гравитации. М.: Энергоатомиздат, 1982.

98. Мишаков А.В. Возможные эффекты скаляризма в многомерных теориях физических взаимодействий. Дисс. . канд. физ.- мат. наук.- М.: МГУ, 1993. 179 с.

99. Синг Дж.Л. Общая теория относительности. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1963.

100. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М.: Наука., 1967.