Осесимметричная задач для цилиндрической оболочки слабопеременных толщины и радиуса при силовой и температурной нагрузках тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

САШ-ПЕТЕРЕУРГШЙ ГОСУДАРСТВШЬий ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Кохно Георгий Федорович

ОСЕСШЖГРИЧНАН ЗАДАЧА ДЛЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ СЛАБОНЕРШЕННЩ. ТОЛЩЙ И РАДИУСА ПРИ СИЛОВОЙ И ТЕМПЕРАТУРНОЙ НАГРУЗКАХ

Специальность: 01. 02. 04. - мехчника деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени клндидагп физико-матемпт1!чос!!12с пяу;-:

САЬ'лТ - )ЕТ?;РБУРГ

Работа выполнена в Санкт-Петербургской государственном техническом университете.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук, профессор Прокопов В. К. ^ • . -

Официальные оппоненты: доктор технических наук Колчин Г'.Б., каадидат физико-математических няук 11арбут М.А.

I

Йедущая организация - Санкт-Петербургский инженерно-строительный институт.

Защита диссертации состоится " " О-У-ь УоД 1993 г. в \ С часов на заседании специализированного совета К 063.38.20 по присуждению ученой степени кандидата физико-Математических наук в Санкт-Петррбургском государственном \ техническом университете по адресу: 195261, Санкт-Петербург,

ул. Политехническая, д.29. Ч ЬЬ

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке Санкт-Петербургского-государственного технического университета.

Автореферат разослан " 6 "_IМА-ьЯ— 1993 г.

Ученый секретгфь специализированного совета, доцент

В.Н.Иосов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Проблема исследования напряженного и деформированного состояния цилиндрической оболочки переменной толщины с переменным радиусом срединной поверхности возникает в различных областях техники и является одной из вакных задач, как в практическом, так и в теоретическом отношении. Оболочки переменной толщины различной геометрия используется, в виде отдельных элементов в конструкциях судов, гидротурбин, самолетов (сильфоны гладкие и сильфоны гофрированные, волноводы, топливные (,'аки ракет, компрессор», фланцевые соединения), а также других видах машиностроения п строительства.

Оболочки переменной толщины, обладая высокой прочностью, при минимально!? материалоемкости, обуславливэпщей их легкость, повышают эксплуатационные и эстетические качества, делают их применение предпочтительном, а иногда незаменимым в современном производстве. Достоинством является: их способность к вос-триятиг сосредоточенных и локальных нагрузок; обеспечение переменной жесткости конструкции, возможность использования знутреннего объема и т.д. Вместе с тем, решаются проблемы эко-томии дорогостоящих материалов.

Следует отметить, что емкость и весовое качество канструк-;ии существенно зависит от теоретически обоснованного выбора закона изменения толщины элементов, который обычно на практике финимается в виде линейного закона, что не всегда является ттимальным вариантом.

Проектирование и внедрение новых элементов указанного типа [ривело к появлении работ по исследованию прочности оболочек [временной толщины с учетом влияния внешних сил, сдвига и тем-1ературы. Особенно интенсивно развиваются различного рода числение методы расчета оболочки переменной толщины. Однако разработанные методы, не всегда учитывают требуете характеристики, ;о и приводят, как прявило, к достаточно слог:шм алгоритмам и рограммям. Степень разработки проблемы значительно отстает от апросов шстенпрной практики, что вынуждает конструкторские проектные организации проводить дорогостоящие натурные испыта-ия.

Полученные, на данное время результаты по исследованию болочки переменной толщины, не учитывают, как правило,нап-яженно - деформированного состояния оболочки при однэвпеман-ом действии нч нее трех факторов: внешних сил, эффекта сдвига температуры.

Изучение напряженного состояния оболочек переменной толщины с учетом внутреннего давления, поперечною сдвига, теше- ' ратуры является достаточно сложной задачей и требует не только применения точных математических методов, но и решения задач в усложненной, по сравнению с классической, постановке.

исследований последнего времени характерно развитие статических и динамических задач линейной теории упругости для изотропных тел, механические харакгэристики которых являются непрерывными функциями координат. Имеющиеся результаты дают иного точных и приближенных решений для областей классического типа - полоса, цилиедр, клин - при различных видах неоднородности. Как для теории, так и для практических приложений, не менее существенной проблемой является построение модели линейной теории динамики оболочки с учетом влияния поперечных сдвигов и упругой неоднородности материала.

Возникает необходимость совершенствования имеющихся и создания новых методов расчета применительно к тонкостенннш кон -струхциям типа изотропной непрерывно неоднородной цилиццричес -кой оболочки при осесимметричной деформации. Об актуальности исследований в этом направлении можно, например, судить по постоянно возрастающему числу публикаций.

Таким образом тема исследования представляется достаточно актуальной и ее разработка позволяет получить аналитические формулы для определения параметров термоупругого состояния оболочек слабопеременного радиуса и толщины, а также развивает новый подход к решению важных практических задач для неоднородных оболочек.

Цель работы. Целью реферируемой работы является: во-первых-подучение замкнутой системы уравнений для цилиндрической оболочки слабопеременной толщины и переменного радиуса, на основе использования смешанного вариационного принципа Э.Яейсснера ; во-вторых — осуществление вывода дифференциальных уравнений равновесия и движения изотропиой, неоднородной' цилиндрической оболочки при осесимметричной деформации ; определение перемещения, угла поворота оболочки, усилий и моментов; изучение температурных напряжений цилиедрической оболочки со слабопеременной геометрией.

Четодика выполнения исследований. В работе используются методы теории упругости; асимптотический метод малою параметра; ыетоды решения дифференциальных уравнений и систем линейных

Ч

алгебраических уравнений. Численные результаты получены с помощью ЭВМ; использован метод Берстой - Хичкока; вцделение квадратного множителя производилось с помощью программы составленной на языке ООРТРАЬ - 1У.

Ьаучная новизна диссертации заключается в исследовании новых - геометрически сложных оболочек и состоит в следующем:

- разработана методика расчета цилиндрической оболочки перемен- • ной толщины с переменным радиусом срединной поверхности;

- решена проблема слабого изгиба тонкостенной оболочки путем построения модели без использования того или иного перехода от трехмерной области к двухмерному континууму, для оболочки со срединной поверхностью частного вида; а именно: оболочки слабопеременного радиуса и толщины;

- получены системы разрешающих дифференциальных уравнений для цилиндрической оболочки с медленно изменяющейся геометрией (толщины и среднего радиуса), с учетом эффектов сдвига и температуры;

- предложена модель расчета стационарных колебаний неоднородной цилиндрической оболочки; решение строится в форме ряда по степеням малого параметра;

- решен ряд конкретных задач по определению напряженно-деформированного состояния оболочки с линейным законом изменения толщины, с учетом внешней нагрузки;

- составлена и реализована на ЭШ программа расчета собственных частот для неоднородных тел цилиндрической формы.

Практическая ценность. Развитые методы расчета могут быть рекомендованы конструкторским предприятиям различного профиля, для проектирования оболочечных конструкций с широким диапазоном законов изменения толщины. Наличие эффективных решетй теории упругости неоднородных тел дает возможность в последующих исследованиях ставить и решать задачи теории пластичности и ползучести для подобных тел. Очевидно, что результаты исследования помогут в решении проблемы прогноза напряженного состояния элементов, при выборе наперед заданной неоднородности.Полученные результаты позволяют решать часто встречающийся вопрос о концевых эффектах для фланцевых соединений в трубопроводах. Предложенная методика важна для расчета процесса оптимизации ряда технологических процессов, таких как, подводная сварка, когда приходится учитывать и изучать температурные и силовые подя.

Апробация работы. Основные положения работы докладывлись и обсуждапгс.ь на на^о-технических конференциях Лекишрздского института водного транспорта (Ленинград 1981-83 г. г., секция: Прикладная математика); методическом семинаре кафедры "Сопротивление материалов" СПГГУ (1993 г.); научно-методических семинарах кафедры математики под рукэвэдством профессора П. Г. Голоскэкова (Jim 1988-91 г. г.).

Публикации. По материалы.) диссертации опубликованы четыре статьи.

Объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и содержит 130 страниц машинописного текста, 2 рисунка, список использованной литературы 63 наименований.

содаешк РАБОТЫ

Во введении дается краткий обзор литературы по теме диссертации, обсуждаются различные подходы к решению данного класса задач; излагается обоснование актуальности и новизны темы; сформ1фованы цель работы и основше положения и дана краткая характеристика диссертации по главам.

В первой главе рассмотрена осесимыетричная деформация цилшзд рической оболочки переменной'толщины с переменными радиусом срединной поверхности; изменения толщины и радиуса считаются м.<;>ыми; на боковых поверхностях действуют радиальные нагрузки Pj и Р^ . Система уравнений получена с помощью смешанною вариационного принципа Э.Рейсснера.

В параграфе I.I. изложена постановка задачи; используются цилиндрические координаты 1 , *f , ^ . Осевая симметрия приводит к отсутствию сдвигов , и касательных напряжений . Вместо радиуса Ч, вводится координата р :

где R (z) и К(^) - переменные радиус и толщина оболочки. Три функции: U.t, ЬУ0 , % определяют деформацию оболочки. Связь и с усилиями и моментами вытекает из смешанного принципа Рейсснера

= О (2]

- тензор малых деформаций, выраженный через перемещение U. ; <о - тензор напряжений; f] - удельная потенциальная энергия деформации, выраженная через напряжения, а Fa - заданная

поверхностная [шрузка. Варьируются и перемещения, и напряжения.

Для разрешения данного варипционнаго соотношения вычисляется интегралы от функции Ф по объему V и по поверхности 3 оболочки при осевой симметрии:

с Чг

Л/ ф ^ V = IX

(V)

-Ч1

(Л) 0

ь/г

гЧ

d2 4- |фЯ

с!я +

Ч.

С учетом, что вариация перемещения и. будет

^ = ея [8"-иг0(Ч)

где е^ и е2 - орты; Поверхностная нагрузка на торцах:

Г

2=0= " х* 2 - е3 ;[а |г==<гбг+й * ег ;

,г * - нормальные и касательные составляющие нагруз-

С 5)

здесь б 2

ки на торцах от внешних сил и моментов. На боковых поверхностях заданы давления:

Гп|_р=-^ = рнег ; Еп\ =

Из функционала Рейсснера после подстановки в (2) значений: П - удельной потенциальной энергии деформации, результатов вычислений интегралов от выражений Е-^о и , а также конкретных значений из (3),получены уравнения равновесия и соотношения упругости

(КТ,)'-0; ( = (КМ.Г-Т^Жр^-р,); (7)

Здесь

в =

Eh

Eh

' И(\-1)г)

- жесткости оболочки на растяжение и изгиб соответственно.

Задача растяжения оболочки оделяется и рассматривается

после задачи изгиба.

Задача изгиба при постоям внутреннем давлении упрощается.Система уравнений для прогиоа и угла сдвига ^ имеет вид

»^^Р^)' (9)

В параграфе 1.2 изучается случай линейно-переменною сечения оболочки, нагруженной внутренним давлением Р (рис.1).

рис.

Имеем R(z)-R0~k2; изучается не коническая оболочка, а такая, внутренняя поверхность которой является цилиндрической, внешня* же поверхность, как и срединная, будет конической. После преобразований система уравнений (9) окончательно принимает вцц

l(Hi>) , . Zk Vv . PR2-T^R»

111

U. -y

IL К

к -y )■

£fi

ï

EK'

«o:

где Т,,«Т((0)- значение Т( (Я.) при 2=0;

К,= Рк(0)- значение Я (д). при 2=0 .

Исключая из уравнений (10) прогиб Ц и малые величины порядка >£ по сравнению с единицей, оставляя лишь первую степень параметра конусности, приходим к дифференциальному уравнению для сдвига ^

а _ 5(1+1) 4т)П+т))

гле 9Г ^ = ; Г ' Г гг^-^Е •

Частное решение уравнения (II) имеет следующий вид:

Г-^Р (М)

Для оболочки линейно-переменной толщины определяется решение уравнения (II) в виде

рАе р2л,\п (¡»и-УЬг^л'тСрх+У)-у рк (13)

где А, В, ^ , ^ переменные величины; ; ;

А и В определяются из условий заракрепления оболочки. Величины ■ А и определяют краевой эффект вблизи начала оболочки при 2=0, а величины В и ^ ответственны за поведение оболочки вблизи края 2= ¿и в случае достаточно длинной оболочки получены две подсистемы для их определения

п . п

' Рк 31,

фи малом "к" производные искомых функций будут малыми, а сами эти функции - медленно меняющимися. Используя осреднение правых частей уравнений (14) за период Т= &1/р , приходим к выражению для ^

у=А0е г н т НВ0е к (^^-^Ь^рК (Ш

Далее определены прогиб и.о, поворот 9, перерезывающая сила 0. и изгибающий момент М,.

Для полубесконечной оболочки при действии на края »вгибающего момента 1.1.(0) = М и отсутствия перерезывающей силыШО-0

3

определяется угол поворота втулки. х

Для длинной оболочки, когда выполняется неравенство I > , анализ существенно упрощается. 13 случае длинной оболочки определяется угловая жесткость.

е. о-*» н6)

Во второй главе рассмотрены задачи осесимметричной деформации для непрерывно неоднородной цилиндрической оболочки в статической и динамической постановках.

На основе теории малых прогибов тонких оболочек типа Тимошенко формируется математическая модель поставленной задачи, выводятся основные дифференциальные уравнения равновесия и коле-.-бательного движения.

В параграфе 2.1 при выводе дифференциальных уравнений применен смешанный вариационный принцип Э.Рейсснера, который в случае движения опирается на принцип Гамильтона - Остроградского, финцип Рейсснера позволяет составить дифференциальные уравнения равновесия и движения для непрерывно неоднородного тела, при конкретном задании закона изменения упругих модулей, конфигурации тела, гипотез о характере его деформации. Одновременно получаются соответствующие рассматриваемой задаче естественные граничные условия.При этом используются обычные гипотезы о характере деформации оболочки, но учитывается влияние сдвига. Распределение напряжений по толщине оболочки также задается. Основные напряжения подчиняется... линейному закону, второстепенное касательное напряжение - параболическому, финят экспонен -циальный закон изменения модуля упругости от осевой координаты. Вводятся напряжения при помощи функции, производящей обратное преобразование Лежандра

У £ (17)

гдеУ(ё ) - удельная потенциальная энергия, 'выраженная через напряжения,

1/(£) - потенциальная энергия деформации, приходящаяся на единицу объема,

£ - тензор деформации; б - тензор напряжений.

Требования силовых граничных условий на $ :

ь

пб = Г

м кинематических, на

ц.

5.:

достигаются расширением функционала Г1

АлА - ] ню

I

Здесь 1_ - функция Ла^-гранжа, представляющая собой разность кинетической Е,, и потенциальной Я энергий системы;

и части поверхности упругого тела на которых заданы силы (£*) или перемещения (и*);

Вариационное условие стационарности записывается в виде:

Г Ек~ П+ Я Р* № +(М- ¡¿.МЫ =0 (20)

при условии, ЧТО 5а = =0 I ИЛИ что

ви..

= я = I М ~ 8иг

1 0 ч>

= 601-0 Ш)

где: Ек - кинетическая анергия оболочки;

р^ - поверхностная нагрузка, которая приложена на торцах 2=0, 2=£ и на боковых поверхностях £ = 5 • 0<Ь>еи-ной нагрузкой будем пренебрегать.

Из вариационного условия (20) получены дифференциальные уравнения движения, содержащие радиальные и осевые перемещения и угол поворота оболочки, а также усилия и моменты; получены естественные граничные условия на торцах оболочки; внешнее Р4 и внутреннее Рг давления считаются заданными.

? J'

Т, -т)Т.

(22)

К " К д- -1 ' , ^

, л 12(1 + т)) п

а0 + 0 = У ''

Первые три уравнения представляют собой уравнения движения, разрешенные относительно ускорений ( а0 , -иг , 8 ). Остальные пять уравнений выражают собой закон Гука; На торцах %. = 0; 2 = £ получены естественные граничные условия:

I. а = а* либо

2. т, -т; либо л и ° *

3. м, = м* либо 0 = б* (23)

Ё параграфе 2.2 рассмотрена задача о равновесии непрерывно неоднородной оболочки под действием равномерного внутреннего давления Р =сопз1= Р (наружное давление и массовые силы отсутствуют при осесимметричной деформации.

Неоднородность свойств материала определяется экспонен -циальной зависимостью модуля угругости от осевой координаты:

Е(2)= Еое~^2 ; ( с¿> 0 ) т

Получена система дифференциальных уравнений равновесия и представлено ее решение - и. , иг , 0 . Важное место при этом занимает вопрос о нахождении и анализе корней характвристичес-кого уравнения, получаемого при решении определителя алгебраической системы уравнений, составленного для нахождения произ -вольных постоянных решения исходной системы дифференциальных уравнений. Корни А- ( 1= I, 2, 3, ...,6) вычислены с учетом малости величин порядка по сравнению с единицей и для случаев когда V мало, т.е.

**

I » ЙЬ 7 )/ЯК

12.

В качестве примера, рассматривается задача о внутреннем

давлении оболочки с лесткой заделкой краев; краевые условия:

при 2= 0 и 2 = С , а0= 0 ; ио = 0 ; 9 = 0.

Приводятся выражения для определения напряжения от изгиба и напряжения растяжения.

В параграфе 2.3. исследуется случай движения изотропной непрерывно неоднородной цилиндрической оболочки при осесимыат-ричной деформации. Рассматривается установившееся движение оболочки при экспоненциальной зависимости модуля упругости от осевой коордицягы ( р^ = р^ = о).

Для решения полученных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами использована процедура последовательных приближений. Определено решение в веде суммы ряда, представленного по степеням параметра^^ , где & = Русеть малый параметр, связанный с частотой свободных колебаний о), которая, в свою очередь, не зависит от начальных условий. Граничные условия являются однородными. Подстановка решений вида

1г = 1/0+1г(Л4--цгд^... 0 =

I

с, исходную систему дифференциальных уравнений (22) приводит к рекурентным соотношения«, из которых определяется решение где ЦТ. , У/. , - коэффициенты, подлежащие. определению (1=0, I, 2,...).Ограничиваясь решением для функции нулевого и первого приближения, приходим к системе однородных алгебраических уравнений. Равенство нулю определителя системы дает уравнение шестой степени относительно С02Т0 =

Уравнение решалось методом Верстой - Хичкока. Численные результаты получены с помощью программ, написанных на языке' ФОРТРАН для ЕС ЭВМ.

Отмечено, что из найденных корней уравнения подходят только положительные корни. Удалось получить деформации и соотношения между частотами и геометрическими размерами для изотропной неоднородной цилиндрической оболочки при осесимметричной двфориации. Заметим, что полученные результаты можно распространить на случай оболочек, снабженных системой тонких ребер, которые являются теплопроводящими элементами.

В третьей главе решается задача о термоупругом напряженном состоянии тонкой цилиндрической оболочки со слабопеременной толщиной при механических и тепловых воздействиях, симметричных

относительно оси оболочки.

В параграфах 3.1,, 3.2. дана постановка задачи терыоурру-гостн для цилиндрической оболочки и осуществляется вывод системы разрешающих уравнений. Считается, что оболочка с некоторого момента подвержена внешней радиальной нагрузке нахо-

дится в температурном поле Т (1,Д).

Вместо тензора напряжений вводятся в рассмотрение интег -ралыше величины - усилия и моменты, определение которых тре бует решения обыкновенных дифференциальных уравнений, функции Г (2) и Т (к , л) представляют собой усредненную по толщине температуру и ее радиальный перепад между криволинейными поверхностями оболочки:

— о-К/) ~

где Т (г) аппроксимируется линейным законом Т , я) = ) (^)р ~

она интерпретирует собой температурный изгиб (при _р= "С-К ).

Зависимость ^ (л) от температуры Т (^,2) дается формулой:

Из функционала Рейсснера следуют соотношения упругости, определяющие тврмоупругое состояние оболочки. Далее с учетом слабоизмоияемой геометрии поверхности и предположения об усред -нении по толщине с учетом условия ^ получена система

уравнений для прогиба 1Х0 и угла сдвига ^ , с учетом температур* них составляющих.

В параграфе 3.3 определяется стационарное температурное поле Т (р |2) в случае линейно - переменного сечения оболочки, нагруженной равномерным внутренним давлением Р, с последующим выводом разрешающего уравнения относительно изгиба оболочки исследуемого типа.

Положение поверхности определяется заданием вектор - радиуса 1.(2) - непрерывной и требуемое число раз дифференцируемой вектор функции 1= 1,(2). Положение точек (базисной) поверхности оболочки определяется введенными ранее координатами "С , ^ , 2. и описывается набором геометрических уравнений - ограничений. Положение точе« поверхностей оболочки, определяется введением двух координатН'и сС .которые задают углы между осью и срединной, а также внешней поверхностями оболочки (рис. 2).

рис.2

Показано, что стационарное температурное поле оболочки в рассматриваемой области описывается выражением, являющимся решением уравнения Лапласа

Т ( 1,2.) = А, + А2 1п >С,

эдось А, и Аг - заданные постоянные.

Показано, что Т (г) и^(-2) представляется в виде:

Т(2)

А.+А, ЬьК

55 б

К

Ю7

тг

/

Отмечено, что: температуре, Т (^,2) является функцией координаты "г", слабо зависит от переменных » 2 , и не зависит от координаты ^ ; для замкнутых оболочек частные решения будут соответствовать асимптотическому тепловому режиму; а случав, когда оболочка незамкнута и нужно, удовлетворять условиям на ее краях или удовлетворять начальному условию (в случав нестационарной постановки), определяется общее решение ураапе-ния Лапласа.

Далее получено дифференциальное уравнение для сдвига в осесимметричной задаче термоупругости для цилиндрической оболочки (при кФ 0). В деформацию сдвига добавляется слагаемое, учиты-

вающее температурную составляющую

%кР -

/бел. ( р1 ++) -1- &0е

1.5

Анализ термоупругого состояния позволяет определить прогиб, угол поворота, перерезывающую силу, изгибающий момент с учетом температурного напряжения.

Показано, чво перемещения в исследуемой оболочке, вызванные в результате совместного действия нагружения и температуры определяются наложением перемещений от внешней нагрузки и перемещений, обусловленных температурным полем.

Очевидно, что принцип суперпозиции будет иметь место п для угла поворота, перерезывающей силы, изгибающего момента оболочки исследуемого типа.

ОСНОШШЕ РЕЗУЛЬТАТЫ и выводы.

Разработана методика расчета напряженного-деформ!фован-ного состояния ц'илицдрической оболочки переменно* толщины и переменного радиуса с учетом поперечного сдвига, неоднородности упругих свойств материала и влияния температурного поля.

Получены следующие результаты:

1. Решена задача осесимыетричного изгиба цилиндрической оболочки слабопеременной толщины с переменным радиусом срединной поверхности; изменение толщины и радиуса считаются малыми; на боковых поверхностях действуют радиальные нагрузки.

2. Получена система уравнений с помощью смешанного вариационного принципа Э.Рейсснера.

3. Изучен- случай линейно-переменной толщины оболочки, нагруженной равномерным внутренним давлением,

4. Найдено дифференциальное уравнение для сдвига и получено его решение.

5. Определены прогиб, поворот, изгибающий момент, перерезывающая сила (имеются в виду величины, соответствующие осесимметричной деформации) оболочки.

6. -В результате анализа полученных результатов для полубесконечной оболочки при действии на краю изгибающего момента и отсутствии перерезывающей силы, определяется угол поворота втулки на краю и соответствующая угловая жесткость. Эти величины служат для более точного расчета деформированного состояния оболочки в процессе проектирования оболочечных конструкций.

7. Осуществлен вывод уравнений равновесия и движения изотропной непрерывно неоднородной цилиццрической оболочки при осескммтричной деформации. В основу этого вывода положены гипотезы для тонких оболочек типа Тимошенко; получены также естестЕеннке граничные условия на торцах оболочки.