Осесимметричная задача для цилиндрической оболочки слабоперпеменных толщины и радиуса при силовой и температурной нагрузках тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Пб ОД

.< СЛИКТ-ШГЕРБ/РГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи Кох но Георгий Федорович ;

0СЕС11ММЕТРИЧ11АН ЗАДАЧА ДЛЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ СЛАБО ПЕРЕМЕННЫХ ТОЛЩИНЫ И РАДИУСА ПРИ СИЛОВОЙ И ТЕМПЕРАТУРНОЙ НАГРУЗКАХ

Специальность: ,01.02.04. - механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени каццццатя физико-математических наук

САЬЧТ - ПЕТЕРБУРГ 1?п3

Работа вшолнзна.в Санкт-Петербургской государственном техническом университете. <■ .

Научный руководитель - доктор физико-математических наук, профессор Црокопов В. К.

Официальные оппоненты: доктор технических мук Колчин Г'.Б., кавдедат физико-математических даук Нербут Ы.А.

Ведущая организация - Санкт-Петербургский инженерно-строительный институт.

Защита диссертации состоится " л " ^-М-ОНЯ 1993 г. в |£ часов на заседании специализированного совета К 063.38.20 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Санкт-Детррбургском государственном техническом университете по адресу: 195261, Санкт-Петербург, ул. Политехническая, д.29. Оо^ Ч15 , Т П

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке Санкт-Петербургского государственного технического университета.

Автореферат разослан н и 1993,. г.

Ученый секретарь специализированного совета, доцент ВЛ1.Носов,

О&ДЛЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теми. Проблемл исследования напряденного и деформированного состояния цилиндрической оболочки переменной толщины с переменным радиусом срединной поверхности возникает в различных областях техники и является одной из важных задач, как в практическом, так и в теоретическом отношении. Оболочки переменной толщины различной геометрии используются, в виде отдельных элементов в конструкциях судов, гидротурбин, самолетов (силъфоны гладкие и сильфоны гофрированные, волноводы, топливные Саки ракет, компрессоры, фланцевые соединения), а также других ведах машиностроения п строительства.

Оболочки переменной толщины, обладая высокой прочностью, при минимально? материалоемкости, обуславливающей их легкость, повышают эксплуатационные и эстетические качества, делают их применение предпочтительным, а иногда незаменимым в современном производстве. Достоинством является: их способность к восприятию сосредоточенных и локальных нагрузок; обеспечение переменной жесткости конструкции, возможность использования внутреннего объема и т.д. Вместе с тем, решаются проблемы экономии дорогостоящих материалов.

Следует отметить, что емкость и весовое качество конструкции существенно зависит от теоретически обоснованного выбора закона изменения толщины элементов, который обычно на практике принимается в виде линейного закона, что не всегда является оптимальным вариантом.

Проектирование и внедрение новых элементов указанного типа привело к появлению работ по исследованию прочности оболочек переменной толщины с учетом влияния внешних сил, сдвига и температуры. Особенно интенсивно развиваются различного рода численные методы расчета оболочки переменной толщины. Однако разработанные методы, не всегда учитывают требуемче характеристики, но и приводят, как правило, к достаточно слг».чым алгоритмам и программам. Степень разработки проблемы значительно отстает от запросов инженерной практики, что вынуждает конструкторские и проектные организации проводить дорогостоящие натурнна испытания.

Полученные, на данное чремя результаты по исследованию оболочки переменной толщины, не учитывают, как правило,напряженно - деформированного состояния оболочки при одновременном действии на нее трех факторов: внешних сил, эффекта сдвиге и температуры.

Изучение напряженного состояния оболочек переменной толщины с учетом внутреннего давления, поперечного сдвига, теше- • ратуры является достаточно сложной задачей и требует не только применения точных математических методов, но и решения задач в усложненной, по сравнению с классической, постановке.

¿ая исследований последнего времени характерно развитие статических и динамических задач линейной теории упругости для изотропных тел, механические характеристики которых являются непрерывными функциями координат. Имеющиеся результаты дают много точных и приближенных решений для областей классического типа - полоса, цилиццр, клин - при различных видах неоднородности. Как для теории, так и для практических приложений, не менее существенной проблемой является построение модели линейной теории динамики оболочки с учетом влияния поперечных сдвигов и упругой неоднородности материала.

Возникает необходимость совершенствования имеющихся и создания новых методов расчета применительно к тонкостеннным кон -струкциям типа изотропной непрерывно неоднородной цилиццричес -кой оболочки при осееимметричной деформации. Об актуальности исследований в этом направлении можно, например, судить по постоянно возрастающему числу публикаций.

Таким образом тема исследования представляется достаточно актуальной и ее разработка позволяет получить аналитические форели для определения параметров термоупругого состояния оболочек слабопеременного радиуса и толщины, а также развивает новый подход к решению важных практических задач для неоднородных оболочек.

Цель работы, флью реферируемой работы является: во-первых-получение замкнутой системы уравнений для цилиндрической оболочки слабопеременной толщины и переменного радиуса, на основе использования смешанного вариационного принципа Э.^ейсснера ; во-вторых — осуществление вывода дифференциальных уравнений равновесия и движения изотропной, неоднородной' цилиндрической оболочки при осесимметричной деформации ; определение перемещения, угла поворота оболочки, усилий и моментов; изучение температурных напряжений цилиндрической оболочки со слабопеременной геометрией.

Методика выполнения исследований. В работе используются методы теории упругости; асимптотический метод малого параметра; методы решения дифференциальных уравнений и систем линейных

алгебраических уравнений. Численные результаты получены с помощью ЭВМ; использован метод Берстой - Хичкока; выделение квадратного множителя производилось с помощью программы составленной на языке 40РТ?АЬ - 1У.

Научная новизна диссертации заключается в исследовании новых - геометрически сложных оболочек и состоит в следующем:

- разработана методика расчета цилиндрической оболочки перемен- • ной толщины с переменным радиусом срединной поверхности;

- решена проблема слабого изгиба тонкостенной оболочки путем построения модели без использования того или иного перехода от трехмерной области к двухмерному континууму, для оболочки со срединной поверхностью частного вида; а именно: оболочки слабопеременного радиуса и толщины;

- получены системы разрешающих дифференциальных уравнений для цилиндрической оболочки с медленно изменяющейся геометрией (толщины и среднего радиуса), с учетом эффектов сдвига и температуры;

- предложена модель расчета стационарных колебаний неоднородной цилиндрической оболочки; решение строится в форме ряда по степеням малого параметра;

- решен ряд конкретных задач по определению напряженно-деформированного состояния оболочки с линейным законом изменения толщины, с учетом впесней нагрузки;

- составлена и реализована на ЭВМ программа расчета собственных частот для неоднородных тел цилиндрической формы.

Практическая ценность. Развитые методы расчета могут быть рекомендованы конструкторским предприятиям различного профиля, для проектирования оболочечных конструкций с зироким диапазоном законов изменения толщины. Наличие эффективных решений теории упругости неоднородных тел дает возмояшоеть в последующих исследованиях ставить и решать задачи теории пластичности и ползучести для подобных тел. Очевидно, что результаты исследования помогут в решении проблемы прогноза напряженного состояния элементов, при выборе наперед заданной неоднородности.Полученные результаты позволяют решать часто встречавшийся вопрос о концевых эффектах для фланцевых соединений в трубопроводах. Предложенная методика важна для расчета процесса оптимизации ряда технологических процессов, таких как, подводная сварка, когда приходится учитывав и изучать температурные и силовые поля.

Апробячия работы. Основные положения работы докладыались и обсуждались ка на^но-технических конференциях Ленинградского института водного транспорта (Ленинград 1984-03 г.г., секция: Прикладная математика); методическом семинара кафедры "Сопротивление материалов" СПГТУ (1993 г.); научно-методических семинарах кафедры математики под руководствам профессора П.Г.Голоскокова (ЛИВТ 1968-91 г. г.).

Публикации, lio материалам диссертации опубликованы четыре статьи.

Объем работы. Диссертация состоит иэ введении, трех глав, заключения, списка литературы и содержит 130 страниц машинописного текста, 2 рисунка, список использованной литературы 63 наименований.

СОДЕРШИЕ РАБОТЫ Во введении дастся краткий обзор литературы по теме диссертации, обсуждаются различные подходы к решению данного класса задач; излагается обоснование актуальности и новизны темы; сформированы . цель работы и основные положения и дана краткая характеристика диссертации по главам.

В первой главе рассмотрена оеесимыетричная деформация цилиндрической оболочки переменной толщины с переменными радиусом срединной поверхности; изменения толщины и радиуса считаются малыми; 'на боковых поверхностях действуют радиальные нагрузки Pj и P¿ . Система уравнений получена с помощью смешанно!о вариационного принципа Э.Рейсснера.

В параграфе I.I. изложена постановка задачи; используются цилиндрические координаты t , , ^ . Осевая симметрия приводит к отсутствию сдвигов у , ^ и касательных напряжений • Вместо радиуса Ч, вводится координата р :

где R (%) и К(^) - переменные радиус и толщина оболочки. Три функции: U.e, ЬУС , ^ определяют деформацию оболочки. Связь их с усилиями и моментами вытекает иэ смешанного принципа Рсйсснера

JjJ fé-^i"б'ПSudS = 0 (2)

Зцеоь^^- тензор малых деформаций, выраженный через перемещение U. 5 б* - тензор напряжений; f) - удельная потенциальная энергия деформации, выраженная через напряжения, a F - заданная

поверхностная 1шрузка. Варьируются и перемещения, и напряжения.

Для разрешения данного вариационного соотношения вычисляются интегралы от функции Ф по объему V и по поверхности оболочки при осевой симметрии:

I ^

(V)

-4i

¿2. +•

(<!) {0 r-h/2 О

1 р ч

+ + (3)

г-%

.ь/г - ¿»и - --ijg

С учетом, что вариация перемещения U. будет

+J> ^ У" ^о )1

где ©^ и ez - орты; Поверхностная нагрузка на торцах:

, l4j - нормальные и касательные составляющие нагрузки на торцах от внешних сил и моментов. На боковых поверхностях заданы давления:

F,

здесь é

2=0

(Ч)

(5)

Г* > 11

Тм

\f-Wi Мг '

Из функционала Рейсснера после подстановки в (2) значений: П - удельной потенциальной энергии деформации, результатов вычислений интегралов от выражений £"&!о и , а также кон-

кретных значений из (3).получены ур~авнзния равновесия и соотношения упругости

(ИТ,)'»0; (КМ,)'^; (щ/.т^Км); (7)

Здесь

в =

ЕК

Б =

ЕК

- жесткости оболочки на растяжение и изгиб соответственно.

Задача растяжения оболочки отделяется и рассматривается

после задачи изгиба.

Задача изгиба при постоят. ( внутреннем давлении упрощается.Система уравнений для прогиоа и угла сдвига ¡f имеет вид

5R . п. ч'. < Г -oto. ÍK

<¡rRK>-etl

[pRíK^HTJJ

ЯК^^-^/^бС^-.^ЖКу = (9)

В параграфе 1.2 изучается случай линейно-переменного сечения оболочки, нагруженной внутренним давлением Р (рис.1).

рис. 1

Имеем "к^; изучается не коническая оболочка, а такая,

внутренняя поверхность которой является цилиндрической, внешня* же поверхность, как и срединная, будет конической. После преобразований система уравнений (9) окончательно принимает вед

рЛ'-тМ.

Ч.

5(I--¡»E ^ö К "

ЕК

u. - у

Gk . « —r— (u. h v °

У >■

К

Ek'

00)

где Т»=Т, (0)- значение Т, (¿) при2=0;

К,= Я(0)- значение Я (2). при 2=0 ,

Исключая из уравнений (10) прогиб Ц и малые величины порядка по сравнении с единицей, оставляя лишь первую степень параметра конусности, приходим к дифференциальному уравнению для сдвига ^

где = —^ ; 5М)Е •

Частное решение уравнения (II) имеет следующий вид:

= пг)

Для оболочки линейно-переменной толщины определяется решение уравнения (II) в виде

&Л\л(рл+У)-у рк ((3)

где А, В, ^ , У переменные величины; ; =С0 ;

А и В определяются из условий заракрепления оболочки. Величины А и определяют краевой эффект вблизи начала оболочки при 2-0, а величины В и 41 ответственны за поведение оболочки вблизи края 2=1 и в случае достаточно длинной оболочки получены две подсистемы для их определения

Н . (1 •

При малом "к" производные искомых функций будут малыми, а сами эти функции - медленно меняющимися. Используя осреднение правых частей уравнений (14) за период Т= , приходим к

выражению для У

-(В .¿к) СР+тгЬ

Далее определены прогиб цо, поворот 8, перерезывающая сила 0. и изгибающий момент М,.

Для полубесконечной оболочки при действии на края изгибающего момента М.(0) = И и отсутствия перерезывающей силы0(0)-0

3

определяется угол поворота втулки. X

,Цля длинной оболочки, когда выполняется неравенство 6 > , анализ существенно упрощается. Б случае длинной оболочки определяется угловая жесткость.

е. (»41 ' '

Во второй глава рассмотрены задачи осесимметричной деформации для непрерывно неоднородной цилиндрической оболочки в статической и динамической постановках.

На основе теории малых про!ибов тонких оболочек типа Тимошенко формируется математическая модель поставленной задачи, выводятся основные дифференциальные уравнения равновесия и колв«.■ бательного движения.

Б параграфе 2.1 при выводе дифференциальных уравнений применен смешанный вариационный принцип Э.Рейсснера, который в случае движения опирается на принцип 1амильтона - Остроградского, финцип Рейсснера позволяет составить дифференциальные уравнения равновесия и движения для непрерывно неоднородного тела, при конкретном задании закона изменения упругих модулей, конфигурации тела, гипотез о характере его деформации. Одновременно получаются соответствующие рассматриваемой задаче естественные граничные условия.фи атом используются обычные гипотезы о .характере деформации оболочки, но учитывается влияние сдвига. Распределение напряжений по толщине оболочки также задается. Основные напряжения подчиняются .... линейному закону, второстепенное касательное напряжение - параболическому, финят экспонен -циальный закон изменения модуля упругости от осевой координаты. Вводятся напряжения при помощи функции, производящей обратное преобразование Лежандра

У £ -и(|), 07)

гдеУ(<| ) - удельная потенциальная энергия, "выраженная через напряжения,

1/(£) - потенциальная энергия деформации, приходящаяся на единицу объема,

£ - тензор деформации; 6 - тензор напряжений.

Требования силовых граничных условий на $:

п£ = V *

м кинематических, на $ : ч

и. - и.

08)

достигаются расширением функционала

г,

М[ - ] Ь с^

09)

1

Здесь ь - функция Ла-«гранжа, представляющая собой разность кинетической Е^ и потенциальной Я энергий системы;

и 2и части поверхности упругого тела на которых заданы силы ((;») или перемещения (11^;

Вариационное условие стационарности записывается в виде:

1 Г П+ Я Г* " " ^ + И (и-и.^ЯЛ =0 (20)

при условии, что

8а.

= =0 1, - к&

или что

= 'ЬллУ = 81

го-

г.

= ее / = о ш)

где: Е,, - кинетическая анергия оболочки;

^ - поверхностная нагрузка, которая приложена на торцах 2=0, 2=£ина боковых поверхностях £ = «у • Объемной нагрузкой будем пренебрегать.

Из вариационного условия (20) получены дифференциальные уравнения движения, содержащие радиальные и осевые перемещения и угол поворота оболочки, а также усилия и моменты; получены естественные граничные условия на торцах оболочки; внешнее Р, и внутреннее давления считаются заданными.

■■¡Г = О

Е(зО.

;> J '

(¿г)

и

■О _!_ [Тг-тЯ,

Г~Е( 2)1 К *

< + 6 =

5"Е(дЖ У ;

Дервые три уравнения представляют собой уравнения движения, разрешенные относительно ускорений ( й0 , -иг , 8 ). Остальные пять уравнений выражают собой закон Гука; На торцах 2. = 0; 2 — £ получены естественные 1раничные условия:

I. II а* либо "-о" <

2. Т, = т; либо +

3. м,- м; либо 9 = е* Ш)

Б параграфе 2.2 рассмотрена задача о равновесии непрерывно неоднородной оболочки под действием равномерного внутреннего давления Р = сопз1= Р (наружное давление Рл и массовые силы отсутствуют- при осесимметричной деформации.

Неоднородность свойств материала определяется экспонен -циальной зависимостью модуля угругости от осевой координаты:

Е(г)= Е0е~*2 ; (<¿>0) (2Ю

Получена система дифференциальных уравнений равновесия и ■представлено ее решение - И0 , иг , 0 . Важное место при этом занимает вопрос о нахождении и анализе корней характеристического уравнения, получаемого при решении определителя алгебраической системы уравнений, составленного для нахождения произ -вольных постоянных решения исходной системы дифференциальных уравнений. Корни А^ (1= I, 2, 3, ...,6) вычислены с учетом малости величин порядка ^ по сравнению с единицей и для случаев когда V" мало, т.е.

« г

2.1

ЯН

В качестве примера, рассматривается задача о внутреннем

давлении оболочки о жесткой заделкой краев; краевые условия: при 2= 0 и 2 = I , И0= 0 ; шо = 0 ; 9 = 0.

Приводятся выражения для определения напряжения от изгиба и напряжения растяжения.

В параграфе 2.3. исследуется случай движения изотропной непрерывно неоднородной цилиндрической оболочки при осесимывт-ричной деформации. Рассматривается установившееся движение оболочки при экспоненциальной зависимости модуля упругости от осевой координаты ( Р^ = = 0).

Для решения полученных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами использована процедура последовательных приближений. Определено решение в веде суммы ряда, представленного по степеням параметра!»«! , где ^"■^■Я^^есть малый параметр, связанный с частотой свободных колебаний о), которая, в свою очередь, не зависит от начальных условий. Граничные условия являются однородными. Подстановка решений вида

9 = 0О+ 9,$ + 04ф + ...

в, исходную систему дифференциальных уравнений (22) приводит к рекурентныы соотношениям, из которых определяется решение где I/; , ТА/С , - коэффициенты, подлежащие.определению (1=0, I, 2,...).Ограничиваясь решением для функции нулевого ш первого приближения, приходим к системе однородных алгебраических уравнений. Равенство нулю определителя системы дает уравнение шестой степени относительно С02То

Уравнение решалось методом Берстой - Хичкока. Численные результаты получены с помощью программ, написанных на языке' ФОРТРАН для ЕС ЭВМ.

Отмечено, что из на^енных корней уравнения подходят только положительные корни. Удалось получить деформации и соотношения между частотами и геометрическими размерами для изотропной неоднородной цилиндрической оболочки при осесимметричной деформации. Заметим, что полученные результаты можно распространить на случай оболочек, снабженных системой тонких ребер, которые являются теплопроводящими элементами.

В третьей главе решается задача о термоупругом напряженном состоянии тонкой цилиндрической оболочки со слабопеременной толщиной при механических и тепловых воздействиях, симметричных

относительно оси оболочки.

В параграфах 3.1., 3.2. дана постановка задачи термоурру-гости для цилиндрической оболочки и осуществляется вывод системы разрешающих уравнений. Считается, что оболочка с некоторого момента подвержена внешней радиальной нагрузке нахо-

дится в температурном поле Т (1

Вместо тензора напряжений вводятся в рассмотрение иитег -ральныв величины - усилия и моменты, определение которых 1ре -' Сует решения обыкновенных дифференциальных уравнений, функции X (2) и Т (<ь, а) представляют собой усредненную по толщине температуру и ее радиальный перепад между криволинейными поверхностями оболочки:

, Т (Ч,Я) = Т(2) + Т(Ч/ 2)

— о-п/, ~ ..

где Т (г) аппроксимируется линейным законом Т , я) =

она интерпретирует собой температурный изгиб (при р= 1--Я ).

Зависимость ^ Сн) от температуры Т (^>,2) дается фор^мулой:

/(Я)« "¡7

Из функционала Рейсснера следуют соотношения упругости, определяющие термоупругое состояние оболочки. Далее с учетом слабсизмоняемой геометрии поверхности и предположения об усред -нении по толщине с учетом условия В'К ^ \ получена система уравнений для прогиба и_0 и угла сдвига у , с учетом температур* ках составляющих.

В параграфе 3.3 определяется стационарное температурное поле Т (р ,2) в случае линейно - переменного сечения оболочки, нагруженной равномерным внуяренним давлением Р, с последующим выводом разрешающего уравнения относительно изгиба оболочки исследуемого типа.

Положение поверхности определяется заданием вектор - радиуса 4(2) - непрерывной и требуемое число раз дифференцируемой вектор функции ч. = 1/(2). Положение точек (базисной) поверхности оболочки определяется введенными ранее координатами I , ^ , Л к списыгагтся набором геометрических уравнений - ограничений. Положение точе« поверхностей оболочки, определяется введением двух координатой оС,которые задают углы между осью и срединной, а также внешней поверхностями оболочки (рис. 2).

«Ч

е

рис. 2

Показано, что стационарное температурное поле оболочки в рассматриваемой области описывается выражением, являющимся решением уравнения Лапласа

Отмечено, что: температура Т ( является функцией

координаты "1", слабо зависит от переменных ^ . 2 . » не зависит от координаты ^; для замкнутых оболочек частные решения будут соответствовать асимптотическому тепловому режиму; в случав, когда оболочка незамкнута а нужно, удовлетворять условияи на ее краях или удовлетворять начальному условию (в случае нестационарной постановки), определяется общее решение уравнения Лапласа.

Далее получено дифференциальное уравнение для сдвига в осесиммечричной задаче термоупругости для цилиндрической оболочки (при к?£ 0). В деформацию сдвига добавляется слагаемое, учитывали

Т( -0,2.) = А, + Аг

здесь А, я'кг - заданные постоянные.

Показано, что Т (з) и (2) представляется в виде:

Т(2)~ А, +Аг ЬьЯ ;

Анализ термоупругого состояния позволяет определить прогиб, угол поворота, перерезывающую силу, изгибающий момент с учетом температурного напряжения.

Показано, чво перемещения в исследуемой оболочке, вызванные в результате совместного действия нагружения и температуры определяются наложением перемещений от внешней нагрузки и перемещений, обусловленных температурным полем.

Очевидно, что принцип суперпозиции будет иметь место и для угла поворота, перерезывающей силы, изгибающего момента оболочки исследуемого типа.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ.

Разработана методика расчета налряженного-деформ(фовак-ного состояния цилиндрической оболочки переменной толщины и переменного радиуса с учетом поперечного сдвига, неоднородности упругих свойств материала и влияния температурного поля.

Получены следующие результаты:

1. Решена задача осесимметричного изгиба цилиндрической оболочки слабопеременной толщины с переменным радиусом срединной поверхности;.изменение толщины и радиуса считаются малыми; на боковых поверхностях действуют радиальные нагрузки.

2. Получена система уравнений с помощью смешанного вариационного принципа Э.Рейсснера.

3. Изучен- случай линейно-переменной толщины оболочки, нагруженной равномерным внутренним давлением.

4. Найдено дифференциальное уравнение для сдвига и получено его решение.

5. Определены прогиб, поворот, изгибающий момент, перерезывающая сила (имеются в виду величины, соответствующие осесимметричной деформации) оболочки.

6. В результате анализа полученных результатов для полубесконечной оболочки при действии на краю изгибающего,момента и отсутствии перерезывающей силы, определяется угол поворота втулки на краю и соответствующая угловая жесткость. Эти величины служат для более точного расчета деформированного состояния оболочки в процессе проектирования оболочечных конструкций.

7. Осуществлен вывод уравнений равновесия и движения изотропной непрерывно неоднородной цилиндрической оболочки при осесимшричной деформации. В основу этого вывода положены гипотезы для тонких оболочек типа Тимошенко; получены также естественнне граничные условия на торцах оболочки.

д. Рассмотрены свободные колебания неоднородной оболочки. Решение задачи строится в форме ряда по степеням малого параметра. Получено значение первой частоты. 9. Разработан аналитический метод получения приближенного решения задачи термоупругости для цилиндрической оболочки со слабопеременной геоме!рией.

Основные результаты опубликованы в следующих работах:

1. Кохно Г.Проколов В.К. Ос асимметричный изгиб цилиндрической оболочки слабопеременной толщины и переменного радиуса // фикл. механика. - 1986. - » II. С. 86 - 92.

2. Кохно Г.Ф. Влияние переменности модуля упругости на равновесие цилиндрической оболочки // Сб. научн. тр. ДИВТа. 1907. С. 162 - 167.

3. Кохно Г. Ф. Равновесие и свободные колебания изотропной непрерывно неоднородной цилиндрической оболочки при осесимметрич-ной деформации. Статья депонирована в ЦШТИ 18.07.1988.

* 217 - Р.Ф.

4. Кохно Г.Ф. Вывод системы разрешающих уравнений термоупругости для оболочки со слабопеременной геометрией // Сб.научн, тр. ДИВТа. 1993.