Оценки для субгармонических функций и субгармонических разностей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

уральское

ixfl'vl-'llj 1ц UiiiiiLUil.bi

урте:ЮЗ tШТУЗ С:1Е--]ЕЮЕ;1Ч x-t

СЦ2Ш 3JISÎ С7ЕГ АШЖГ ECIÜÍX ^ySHKSt 'Á С£ЕГД?!Ю1£Г£:СКИХ PA3fiCCTETi

(GI.OI.OI - ггатекатичесяиЛ анализ)

А 3 T С P E 5 2 ? А Т

Дчссертзс;!:? t'a сслстсание y-ieкоЛ с^епо'гл кандидата ф;тз^"о-математ1:пес:п-::: nav::

'•La - 1091

1 /-i /.; J

Работа выполнена в Московском ордена Ленина к ордена Трудового Красного Знамени педагогическом государственно!.-, университете им. В.И.Ленина

Научный руководитель - доктор физико-математических

наук, профессор И.5.Красичков-ТерноЕСкий

Официальные оппоненты - доктор физико-математических

наук, профессор А.А.Кондратюк кандидат физико-математических наук А.М.Гайсин

Ведущая организация - Ереванский государственный университет

Защита диссертации состоится " " ¿у с ¿-/¿¿.Л-1 19 в Л г. б Сл часов на заседании Специализированного совета

К 003.59.01 по присуждению учёной степени кандидата физико-математических наук в Институте математики с ВЦ Банкирского научного центра Уральского отделения АН СССР С450000, Уфа, ул.Черкъглевского, 112, к.24)

С диссертацией можно ознакомиться .в библиотеке Института математики с ВЦ

Автореферат разослан " У^ " V¿Ул/ 19 ^У г. Ученый секретарь Специализированного

совета, кандидат физико-математических -ч^д А.Е.Секерин наук ■

. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РЛЕОТЫ '

^

Актуальность темы. Важной задачей теории целых и субгармо-тгдеских функций являете.: получение оценок снизу. Необходимость таких оценок возникает как внутри самой теории целых и субгармонических Функций так и в других вопросах комплексного анализа ' ■ (спектральный анализ инвариантных подпространств аналитических функций, аппроксимация многочленами с весом, описание, замкнутых ндс-елсв и подмодулей аналитических функций, разрешимость дифференциальных равнений бесконечного порядка с постоянными коэффициентами в комплексной плоскости).

Истоки оценок такого рода связаны' с классическими исследованиям;! З.Адаыара, Е.Бореля, Ж.Валирона, А.Вимана, А.Картана, Е.Литтлуда. Достаточно подробный обзор вклада различных авторов в эту область до 60-х годов можно найти в статье П.Д.Барри^. Згой задачей занимались и многие советские математики. Например, к ней причастны: В.С.Азарин, Н.В.Гозоров, А.А.Гольдберг, О.В.Епифанов, И.З.Красичкоз-Терновский, А.А.Кондратзж, Б.Я.Левин, Н.К.Никольский, И.В.Острсзский и другие.

3 литературе известны два подхода к получении таких оценок. Один подход связан с оценкой А.Картана для многочленов и Л.Аль-форса для логарифмических потенциалов конечной меры. Другой подход связан с так называемой С05 *ГГ5- - теоремой. Основоположниками этого подхода были Ж.Валирон, А.Виман и Ж.Пойа. Позднее -С05Т§ - теоремой занимались многие отечественные и зарубежные математики.

I. Загт^ Р. Ъ. 1Ц пиитам вмл?? 1и4«д1а£' •

I» и Л зи15'|йчтои1е {«псио^ ц Рксг. Иа^.

IV) и . -р- 445 -Ц95.

Интерес математиков к оценкам снизу показывает, что данная задача занимает сдно из центральных мест в теории целых и субгармонических функций,, а также указывает на ее многообразные приложения. '

Известные оценки имеат два недостатка: I) в них отсутствует ,связь между расположением множества , на котором выполняет-

ся оценка, и распределением масс риссовской меры, ассоциированной с оцениваемой субгармонической функцией, 2) оценки не учитывают регулярность в поведении ассоциированной мерк.'

Данная работа частично устраняет эти недостатки.

Поль ваботк. I) построение оценок снизу для субгармонической в £ . функции конечного порядка ^ > О > учитывающих регулярность распределения масс риссовской меры• , а такяе связь . между расположением множества, на котором выполняются оценки, и распределением касс риссоьской меры. 2) вывод оценок сверху для субгармонической разности, учитывающих регулярность распределения . касс риссовской меры вычитаемой функции.

. .Научная новизна и теоретическая значимость.

1. Получены оценки снизу для субгармонической в . £ функции в терминах величин, описывающих поведение риссовской меры. В этих же терминах получена оценка сверху на верхнюю ^ - плотность исключительного множества,

2. Для субгармонической разности субгармонических в С функций конечного порядка § >0 получены оценки сверху, учи-тывавдие регулярность поведения риссовской меры вычитаемой

.. функции. , ■

. 3. Получены разного рода обобщения и дополнения СОБ1»? -, теоремы.

•'. ' •■'■ Результаты, содержащиеся б диссертации, являются новыми.

а

Оки носят теоретический характер. Могут кайти приложение в различных областях комплексного анализа и быть использованы при чтении спецкурсоз и спецсеминаров по теории функции комплексного перегонного, в частности, на математических факультетах университетов.

Метод исследования. 3 работе используется каноническое представление Адамара-Кеннеди, аппарат субгармонических функций, а ■гакчее методиклассического математического анализа.

Публикации. Основное содер-тсание диссертации отражено в шести работах. Работа б является сжатым вариантом статьи 5 .

Стр^тура и объем диссертации. Диссертант излетена на 82 страишах машинописного текста. Состоит из введения, трех глав и списка литературы, включающего 50 наименований.

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались: на семинаре под руководством профессора И.$.Кра-сичкова-ТерноЕСКОго в Г.ШГ'У им. В.'Л.Ленина (1967); на семинаре под руководством профессора В.П.Громова в ШПК им. Н.К.Крупской (196с); на ТУ Уральской региональной конференции по функционально-дифференциальным уравнениям з Уфе (1969); на научно-методической конференции преподавателей математических кафедр в Кирове (1590); на семинаре под руководством профессора А.А.Гольдберга во Львовском государственно:.! университете (15Э1); на семинаре под руководством чл.-керр. АН СССР В.3.Напалкова в Институте математики с ВЦ ЕКЦ УрО АН СССР (1991).

КРАТКОЕ СОДЕРЖМИЕ ДИССЕРТАЦИИ -

Зо введении отмочено научное направление, которому принадлежит диссертация. Дан краткий обзор предшествующих исследований по тс:*-? диссертации. Сформулированы задачи диссертации и дано ее краткое содержание. В кенце введения приведен перечень основ-

ных результатов.

Пусть ((. - субгармоническая в £ функция конечного порядка ^> о ; р - мэра, ассоциированная по Риссу с й .Не уменьшая общности, считаем, что М10) » 0 и У- - гармоническая функция в некоторой окрестности нуля.

г

Щг) = МП) = ^ ^ <1т ,

О

. I - ^ •

0 г-»<х> г( ъ

Рассмотрим неубывающую абсолютно-непрерывную функции , 1*0 . Эта функция определяет ^ - меру на®*= (0, оо) по правилу:

^ = ив&(е) =

е

где 6 - произвольное борелевское множество в К . Верхняя ^ - плотность измеримого множества Е с (Я4- определяется по правилу

г-><» ^^ -

Здесь Е = Е 0 (0,1] - 3 случае = Ъ соответствующая плотность называется линейкой и обозначается ¿'¿/1?, Е. • 3 случае же ^^ = ^ % соответствующая плотность называется логарифмической и обозначается 1у\ = с!2'А£. Е

Перейдем к изложению содержания глав. Перзая глава носит подготовительный характер. 3 нее включены основные определения и классические результаты, на которых, базируются натп пссл'.допг.-

3 ней сформулированы и доказаны леммы, связанные с оценками часто встречающихся в работе интегралов и с вопросами минимизации, что, на нал взгляд, существенно облегчает изложение основного материала.

Вторая глава посвящена оценкам снизу субгармонических в £ Функций конечного порядка ? >0 . Кратко, задача решаемая в данной главе, формулируется слегтую!дим образом: оценить снизу

^М в терминах , о , а , Т , X , 5-5 ,

^ - Ч, .3 формулировках, когда речь идет об исключительном множестве £ , тлеется в ви^у некоторое множество, полученное объединением счетного числа интервалов. Следуя П.Д.Барри будем оценивать редкость исключительных ьсножеств с помощью 'О - плотностей.

В параграфе 2.1 показано (лемма 2.5), что верхняя ^ -плотность исключительного множества, вне которого имеют место оценки снизу для субгармонической функции, удовлетворяет соотношению

^ = о[ёй1Е < ём"', , оо .

Кроме тоге в этом параграфе сформулированы и доказаны леммы 2.1 и 2.2, посредством которых легко показать, что

Й о- _ -1 . Г в С*МЗ"4,

1И = «4И5Б < бМ , ЗЩ Е < „ , .

И , Ч >4

'Дектральннм во второй главе является следующей доказанный в параграфе 2.2 результат.

Теорема 2.1. Пусть субгармоническая в £ функция {(_ тгмеет конечный порядок (> > 0 , гармонична в окрестности 2=0 и -ию) э О . Тогда существует исключительное

множество Е ' Ц}* такое, что при любом А (б-сМ« сю) и целом выполняются соотношения:

^ = "I О© , г ё Е ,

и\ = 00 > Е , ^»¿Ш^ Е ^ ё Г1*1 ,

где >3(1)= г\ С(?) = е<?ч? .

Как следствия данной теоремы получен ряд результатов. Например, следствие 2.1: если Ц имеет порядок роста § <1 и

то имеет место неравенство

11 о 5 » б — ® ' .

В_частности, если 6 = в , то ® "Л6 "й ?

Последняя оценка точна. Равенство, достигается для функций негде -

2

лого порядка с массами на положительной полуоси .

При 6=5 , = ^ результаты теоремы 2.1 упро-ца-отся и принимают вид

л - ? ?

7. № г - (»1-0 Б (О + ci.fi ^ • \ + о (г) ,

о

2. Левин Б.Я. Целые функции (курс лекций). - М.: Изд-ео ЫГУ. - 1371. - 126 с.

Теорема 3.3. На любом асимптотическом множестве, удовлетворяющем соотношения (1), справедливо соотношение

*Г(2) * - (tow*o(4)

OCHOEH'iS PSTXTbTATi:

Дчееогугацня содержит следуэщие результаты, представленные ' ?'Я!!!Те.

I. Съемки снизу длч субгармонической функции iL конечного о > о ~ £ , вне некоторого исключительного мно-л.-^м ' теорема 2.1).

чцеккя снизу для суе'гарлоническсй фикции 41 ка аеимпт •гнческсл raowcrae Ц , из которого выброшено редко-з мно-~е-CV30 £ (теорема 2.2).

3. елкня'д сверху для верхней $ - плотности исклвчитель-мси •.:коиества £ , з терминах величин, списывающих поведение -нссозско:! меры (§ 2.1).

4. Оценки сверху для субгармонической разности в £. (теорема 3.1).

о. Оценки сверху для субгармонической разности на асимптотическом множестве fi (теорема 3.2).

5. Варианты COSH? - теоремы (теоремы 2.3, 2.4, 3.4).

Результаты диссертации опубликованы з следующих работах:

I, j'TiTSHCTJ К.С. Сценка типа субгармонической разности двух «'уСгг.рчсничосках функт:яй коке»-нсго порядка. - Комплексный

» *-?a.-:::t и его приложения. - !.!., I9EB. - C.I7I-I04. Деп. в ^НГШ, 'Г-

Р К - Е О

* и © - ©

В частности, если Б =■ <о , то ^ -ТТбС^??.

Результаты этой теоремы близки к результатам 0.В.Епифанова1"5. Однако, наличие е наших оценка:-: разности <5 - § уточняет результат 0.В.Епифанова. Кроме того, как показкк-сг следствия теоремы 2.1, е назих оценках все постоянные могут быть выписаны в явном веде.

Во ¿тором параграфе получена оценка сверху для субгармонической разности на асимптотическом множестве А

Теорема 3.2. Пусть -¿¿Г- {{-7Г ~ субгармоническая разность субгармонических в (£ функций и 1/ конечного порядка ^ , <э >0 к ^ - мерз, ассоциированная с у Тогда дл.ч любой монотонной убывающей функции 0 [/1~*00)

существует асимптотическое множество Л такое, что

р и? ^

-ыш + 0п-{)&. (г)-тгпг сЦъ + о(4) ( ш-><*>•

IПГ те&Ш(о.гЦ __ ^ \1(1)

Гпкрзгль и:, -ор^му С.-. :. . 3,- :. ан.члгг С0<> Т? ■

тическое множество $ , из которого шброиено редкое тожество

р. , пул ер ой линейной плотности. Здссь такж; доказано, что COS ^ ^ - теорема имеет место и при § = i (следствие теоремы Л.4).

Обратимся к содержанию третьей главы. Пусть -гТ - U-V --;-бгар.*он'.!чегяал разность губгар/ояичесотх в £ Функций -U. и у конечного порядка § > О

Гада-г. решаема« в этой главе кратко формулируется так: С""н:'т.1 ^ясргу -bS р тгрлтаах . 8, (t) и Ееличин,

поведение рт-.ссовскол гзрн, ассоциированной с 1Г . и пгрггргфо 3.1 полученн оценки сверку для -iS , справед-во bc«j3 комплексной плоскости. Теорема 3.1. Прл любом целом Ж >СfJ и £ €(o,l) зедлиг-ы соотношения

■'J{I) i \ В ШЬ0)ЧйИ)В (i(W)) +

I « и

«. Ч J - T5f * осЛ 5 ,

-U(t) 4c<iti \ В wk))* (w-OB мм)}♦гнс?й'+

+ УАПШв-iW _ +0(г) }

>

?де велэтияы в , G , й , X описывают поведение риссов-; ц ) ассоциированной с if , С(?,1Н} = Z'*'**

дар^т-ра^е докапал ртд следствий теоремы 3.1. '-.1Г;р;:"Г;р, ьел-л C5W - т;«я роста *£тшпч -iS и s = О ,

J S.v ^ Gu * [?] ; cc.iv q < i , то

1С

Л № * - (w-o R ^ + щъ ciq \ V «. o(if)

t ё E X -> oo .

Исключительное множество E в этих оценках имеет линейную плотность равнус О

В параграфе 2.3 показано, что последняя сценка имеет место к без предположения ^ = X в случае, когда % -> do , вдоль так называемого асимптотического множества {) (неограниченного множества, на котором flU) = ), из которого выбропено редкое множество интервалов EL

Теорема 2.2. Пусть -Ц. - субгармоническая в £ функция порядка f , 5 > q ; j* - мера, ассоциированная с -Ц. . Для любой невоэраставщеГ; функции 8 UH 0 ,1 -> и целого числа М>С?! существует асимптотическое множество $ и исключительное-множество Е нулевой линейной плотности, такие, что

11(1) f " (l¡H) 6u(t) + HÍ С^ V + о{1) , til at -» СО , í é Е ,

toü" _ ^

г->оо 18(1)

При ? < i из последнего соотношения получается вариант COS Tí ^ - теоремы (§ 2.3), содержащий информацию о множества:/ я с , вдоль которых выполняется оценка

» (Win? -o((Y) .

Этот результат дополняет коллекции COS - теорем, известне-?:

в литературе. В нем содержится дополнительная информация относительно множества, на котором справедлива теорема. Это асимлго-

Г;. Уртенов Н.С. К оценке типа субгармонической разности двух субгармонических-функций конечного порядка. - Современные • проблемы комплексного анализг. и его приложения. - М., 196£ . -С.ВС-СС. Деп. в ВИНИТИ, " C3C8-3SE.

3. Уртенов Н.С. Дополнение к теореме Зимана. - В кн.: Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения (тезисы докладов 1У Уральской региональной конференции-). - Уфа. - • 1989. - С.139-140.

4. Уртенов Н.С. Аналог CDi Tl^ - теоремы для субгармонической разности (тезисы докладов и сообщений). - Киров. - 1990. -С.63.

5. Уртенов Н.С. Оценки снизу для субгармонических функций конечного порядка. - Карачаевск. - I9S0. - 30 с. Деп. в ВИНИТИ, ■ № 2608-390.

3. Уртенов Н.С. Оценки снизу для субгармонических функций конечного порядка//Известия высших учебных заведений/Математика. - 1991. - У? 7. С.85-87.