Паракомпактность и точечно счетные базы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

шдаш наук ссср

СИБИРСКОЕ ОТДЗЛЕШЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

на правах рукописи

АЙ1ШШ Азаг Ураэмухаматогач

УД^ 513.63

Паракомпактность и точечно счетшэ базы

01 01.04 - геометрия и токология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соясхате ученой свепвш' кандидата физико-математических паук

Новосибирск 1991

Работа шпоянаиа з Уральском ¿тлБернг&то на кафздре математического анализа и теории ф/нкцхй.

Маучкый руководитель - - доктор физико-матеыатических наук,

профессор Н.В.Взличко.

О^гцдальда© оппонангн - доктор физшсо-матешткчесиах наук,

профессор В. И.Понопарэв,

кандидат физико-математических наук, доцегп' А.А.Грызлов.

Ведущая организация , - Тбилисский государственный университет

Защита состоится " ^ " Ь'/'Т^ 1991 г. в часов ш эассдакш специализированного соей?а К 002.23.02 в Института ка--тематики СО АН СССР пп адресу : 630090 ,,г.Новосибирск, Угасс-рсл--тетекпй проспект, 4„

С дассертахдаей мо;хно ознакомиться в библиотеке Института математики СО АН СССР.

Автореферат разослан 1991 г.

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физ.-ыат.нзук , доц81г?

в.в.Иванов

ЪХ'КПШМ1

ОВ!!|ЛЯ ХЛРАКЯСРШТИКА РАБОТЫ

-Ш

££гРгаЧ¥Йт дальность темы. Понятно паракомпактности било введено Дьз-

донне в 1944 году. Паракомпактность одног-рсмешю обобщает компактность и метризуемость. Хотя пвракомпшимгш пространства йл.та определены намного пс же, чь„) два продыдувдх класса, ora бистро завое-Ea.ii! популярность топологов и аналитиков и считаются теперь одним из важнейших классов топологических пространств.

Среди результатов, полученных о тоор'-ín ппракомпаетьтас проот-ранств, особо можно отметить теорему о паракомпактности произвольного метрического пространства А.X.Стоуна, доказанную в 19-18 году, которая является одной из наиболее ярких и важных теорем общей топологии, и полученный на ее основа в 1950-Ы г. г. обдай ..¡етризаци-онкяй критерий Бинта - Нагаты - Смирнова.

Понятие пространства с точечно счетной базой также обобщает понятие метризуемости. Проблема паракомпактности нормальных пространств с точечно счетной базой С в частности, с б"- точечно коизч-ной, _ дазъюьктной, б" - локально счетной)' является сегодня . одной из центральных проблем теории паракомпактных1 'Пространств.

Цель работы - исследования по проблеме паракомпактности пространств, обладающих точечно счетной базой.

Общая методика. Исследования ведутся методами общей топологии. Исследуются результаты аксиоматической теории мкс-еств.

Научная новизна. В^е результата диссертанта являются нотами.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертация могут быть использованы спе-циалисташ по общей топологии.

Аотобация работы. Результаты диссертации докладывались на Свердловском топологическом семинаре в 1936 - 1990,г.г., на Уральской :сон£еренции молодых математиков в 1989 г., на заседании кафедры математического анализа и теории функций математлко-ыеханического факультета Уральского госутаверситета в 1990 году, на' объединенной! се-«чнаре по геометрии и топологии Института математики СО АН СССР в '.991 году.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в тяти работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация изложена на 6Í страшца-х и -¡остсит из введения и двух глав, каждая из которых разбита на два [араграфа. Список литературы содержит 14 наименований. .

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОШ

Приведем необходимые определения. Дня семейства множеств % в топологическом пространстве X обозначим через К5 множество то-г.ак л, ь которых у . не локально конечно, и через Fzj - множест-

— в *** ^ Л-г

во luí у , где . у - тело у , Ir-¿ - операция внутренности,

FS - базой назовем базу В топологического пространства, обладающую ¡свойством : для всяк ого счетного BsB множество Fz В сепара-бельноо

Основным результатом параграфа I главы I является

ТЕОРЕМА 4. От аксиом ¿PC на зависит следующее утверждение : нормальное пространство с точечно счетной FS - базой паракомпактно.

Доказательство теоремы состоит из двух частей :

1)'доказано, что в предположении аксиомы V = L -нормальное пространство с точечно счетной FS - базой паракомпактно¿

2) в предположении ЫА + ">СН построен пример нормального непараком-пактного пространства с точечно счетной FS - базой.

В процес® получения этого результата были исследованы следующие понятия.

Ас 2х назовем PF - семейством в X , если Fik = 0 и для любого В = А выполняется условие ¡ StA ("fí В) | ¡В| , где

= - звезда множества В относи-

тельно семейства А. ,

Топологическое пространство X назовем PF -(сдабйа 'PF-) пространством, если в любое его открытое покрытие можно вписать открытое PF - ( являющееся объединением счетного числа РР - семейств,)покрытие. '

Получен следующий критерий паракомпактности.

ТЕОРЕМА I. Коллективно нормальное пространство паракомпактно тогда и только тогда, когда оно является слабым PF - пространством.

Выяснены отношения слабых PF - пространств с другими слабыми свойствами типа паракомпактности, а именно с 0- измельчимостью и слабой паракомпактностью.

ПРИМЕР I. Построено регулярное совершенное пространство с точечно счетной PF - базой, которое не слабо паракомпактно, а в предположении МА + iСН совершенно нормально.

, ПРИМЕР 2. Построено регулярное PF - пространство с первой ;к-

сиомой счетности, локально счетное, совершенное, не металинделе-фово, а в предположении ЧА + тСН нормальное.

ПРИМЕР 3- В предположении <£>„,С Е 3 построено РР - пространство с первой аксиомой счегности, не являющееся 9 - измельчавши .

Степень необходимости теоретико-множествэнннх предположений в приведенных примерах можно увидеть из следствия, которое вытекает из теоремы I и теоремы Никоша .

СЛЕДСТВИЕ . В предположении аксиомц РМЕА. нормальное,слабое РР - пространство хар .стера с с паракомпактно, а следовательно, слабо паракомпактно и 6- измвльчимо.

Следующая теорема устанавливает критерий компактности топологических пространств.

ТЕОРЕМА 2. Пространство компактно тогда и только тогда, когда оно является счетно компактным и слабым РР - пространством.

В ТЕОРЕМАХ 3 и 5 , в отличие от геореш I ,нэ используя понятия коллективной нормальности, даны критерии парако>/'тактностн на основе РР - свойства(в предположешй ) произвольных топологических пространств и пространств, локальное чисдо Линделефа которых < иг^ .

В п.1.2. рассматриваются РР - семейства. Множество ^ у = 51л Г.Ч) \ t : Ъс ЗЪЛ(У), < иге } обозначим через

Открытое в X семейство А назовем РР - семейством в X, если для любого замкнутого дискрета У = ^ : 5 с Э] е А существует семейство { О- ^ и^- окрестность точна ^ |. ^акоэ, что для" любого /6 А ( {'5 : ^ ^ V е ( .

лдея введения РР - семейств навеяна теоремой Балога: локально лииделефово , суб. гталицделефово пространство X паракомпактно тогда и только тогда, когда оно строш коллективно хаусдорфово. Эту теорему можно считать хороши критерием паракомпактности для локально линделефошх пространств.. В предположениях II , 12 (п.1;2) показана взаимосвязь между понятием РР - семейства и теоремой Балога.

Пространство X назовем РР - пространством, если г любое его открытое покрытие мояно вписать открытое РР - покрытие

Напомним, что пространство X называется стропо коллективно хаусдорфовым, если любой замкнутый дискрет из точек пространства X мо^но отделить открытым дискретом.

, В предположении II доказано, что локально линделефово, строго

кг ;лс;гогвно хаусдорфсво пространство является РР - пространством. С,другой стороны, из яредложеыш 12 ьлдк » что любое локально ко-ьзчпо'з семейство ясляатся РР - еемайетовм. И» пак следствие, что [»«рдкомпагсгкое пространство является РР - пространством.

Таким образов доказано, что класс РР -пространств содержит в ' сэбе одновременно все паракомпактные пространства и класс локальна даеделвфовкхг строго коллективно хаусдорфовых пространств.

Тсс нотой еемеЛетЕза. ышхеств А ь топологическом пространство X «¿зовем число-£{А)= /т'л |Г:если хеВл, ВеА, то найдется С еВ такое» что С эх и

Следующая теорема устанавливает критерий паракомпактности про-,.-извольных топологических пространств.

ТЕОРЕМА б (п.2 Д.). Регулярное - пространство паракомпакт-но тогда-и только тогда, когда в любо» открытой покрытие его можно вшеать открытое тучцчно счатиоэ РР - покрытие тесноты < мц.

Число дннделефа пространства X обозначим £( X). Локальное число Яянделефа пространства 1 обозначим ¿£,(Х), ¿1 (X) = Ь'хе?Х-3 и (х) - окрестность точки х такая, что

Следующая теорема устанавливает критерий паракомпактности для топологических пространств, локальное число Лтдолефа которых кроме того ока частично обобщает приведенную выше теорему Балога.

ТЕОРЕМА 7. Регулярное ^'-пространство Хс И(х) пара-

компактно, если б яобоа ого открытое покрытие можно вписать открытое точечно счетное РР- - покрытие,

В п.2.1. рассматриваются пространства с б~ -локально счетными 2 - 'базами. Базу А пространства X назовем 5- базой, если существует отображение {: X '¿." такое, что

1) ^ («) сепарабельно при и е. V ■,

2) для всякого х еХ семейство { и в Л : к с {(и)} является локальной базой.

Из примера [1] следует, что нельзя " наивно" получить положительный ответ на вопрос о паракомпактности нормального пространства с & - локально счетной базой.

В настоящей диссертации доказано : . ТЕОРЕМА I (л.2.1 ). Нормальное пространство с & - локально счетной 3 - базой паракомпактно, г следовательно, метризудо".

Эту теореьу можно рассматривать и как обобщение классического

г

результата Урысона : нормальное пространство матризус .¡о, если оно обладает счетной базой. Как известно, з теореме Урысона нормальность ¡одно заменить регулярностью. В теорема I этого сделать нельзя.

ПРИМЕР 4. Построено регулярное, но на нормальнее, пространство с б~ - локально счетной s - базой.

Далее обобщается на регулярные ирсстрг тства понятие -

свойства, введенного А.Стоуном в классе метризуемых'пространств, « доказывается

ТЕОРЕМА 2 (п.2.1). WS- пространство с б" - локально сетной базой метрязуемо тогда и только тогда, когда оно нормально»

D п,2.2 рассмотрит лея пространства с точечно счетными - s-базамм. Вводятся понятая . S- к С - пространств п с их пояо^ыэ характеризуются пространства, обладайте точечно счетной s - базой.

X называем С-престранствсм, если существует разложение X a • £ = такое, что

1) каждое Х£ сепарабелъно;

2) для ..-.каядого i множество Х1^ : j<'L} замкнуто в X .

X называем 5 - пространством, если любая база в X является 5 - базой.

Т50РЕМА 3. Пространства, обладающие точечно счетной s -базой, суть з точночти S- ( С- ) пространства, обладание точечно счетной базой.

Д1Я пространств с.точечно счетной s- базой таюкэ дана характеристика через понятие базисной отделимости, которое, в определенном смысле, аналогично обычным аксиомам отделимости.

Для сокращений введем несколько обозначений. А А В обозначает, что семейство А является внешней базой. В в X, A v В обозначает, что семейство А не является базой в X ни в какой

точке «В.

Пусть Х- база X. Скажем, что А Х- отделимо от В , если А П В « 0 -л найдется Ад< X такое, что я ХЛ v В .

А и В А- отдояшя!, если-А Х- отделимо от В и наоборот, В X-отдолимо от Л, строго к- отделимы, если дополнительно Х,пХв = ?5.

A s X казоЕСУ ВО - множеством в X , если для всякого BsA 'ш(в) з= l&l , гдз ¿-w(&) - виашняй вес В о X.

А назовем Ш-СВС-) базой, селя в X строго X - этделимы пары дизънйестшг (ВС-) множеств. Соответственно, X .азне. m ВЧ-(ВС-) пространством, если лвбаь. база в X является ВЧ-(ВС-) ба эй.

Результаты, относящееся к базисной отделимости более тно представлены в [2] , р(] автора, там же доказано

ТЕОЭД.'А. Пространство с точечно счетной г - базой является ВС-пространством„

Е частсщей диссертации доказана

ТЕСРЕМ 4 (п.2.2). В предположении \М точечно счетная ВС.. база является 5 - базой-

Таким образом получено СЛЕДСТВИЕ I» В предположении V-'- ВС-пространствос точечно счетной *апой является Э - пространством и С - пространством. Из теоремы ' выводится ряд следствий, Л назовем коллекти в но ВЧ-базой, если существует р с X

2) Л,. П >.х, = £> <=> х у? х'.

Пространство X называем коллективно ВЧ-пространством, если любая база X является коллективно ВЧ-базой. Основным следствием теоремы 4 является , СЛЕДСТВ1Е 3. В предположении 4 = 1. пространство с точечно счетной ВЧ-базой является коллективно ВЧ- простравзтвом. В ггредположгши же МА. + т СН построен ПРИМЕР 7. Метриэуемсе БЧ-пространс™во, не являющееся коллективно ЕЯ-пространством.

Таким образом из теоремы 4 и примера 7 следует ТЕОРЕМА 5 (п.2.2). Утверждение : 34-пространство с точечно счетной базой является коллеетивно И-пространством - не зависит от ак«...ои 1РС.

1) Критерий паракомпактности топологических пространств, .полученный на основе РР - свойства ( теорема Л п.1.1).

2) Независимость от аксиом 2РС утверждения о параком-.пакткости нормальных пространств с точечно счетной РЗ - базой,

3) Критерий паракомпактности топологических пространств, полученный на осноге РР-свойства,

4) Достаточный критерия паракомпактности регулярных пространств, частично обобщенней известную теорему Балога.

5) Достаточный критерий паракампактнс дг нормальных пространств с 'б" - локально счетной безо'!, горыл мокно рас-

оснсвн^Е РЕЗУЛЬТАТ

'сматривать как усиление классической теоремы Урысош; о метризации.

6) Независимость от аксиом 2.FC утверждения: ВЧ-пространст-во с точечно счетной базой является коллективно ВД-пространством.

7) Получены характеризации простр ¡ств с точечно счетной S - базой через С-пространства и базисную отделимость.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ГШ даХЕРТАЦШ

1. Айнулин А.У. Обобщение теоремы Урысона // Тополог.пространства и их кардинальные инвариант«.-Устинов,1986.-0.29-31,

2. Айцулин А.У. Новые аксиомы отделимости// Карданальшэ инварианты и расширения топологических пространств:Сб. науч.трудов.-Ижевск,I989.-C.79-83,

3. Ай^глин А.У. Новые крк^ерии паракомпактности/Уральский гос„ун*т.-Свердловск,1990.-43с.-Деп. в ВИНИТИ 13.II.90,№ 5662-В-90.

4. Айцудин А.У. Базисная отделимсстьДрал.гос.ун-т.-Свердловск, 1990.-15с.-Деп. в ВИНИТИ 13.11.90,» Б683-В-90.

5. АЯиулин А.У.' Критерии паракомпактностн//Проблеш теоретической и прикладной математики.-Свердловск,1990.-С.68-69.

ЛИТЕРАТУРА

1. Архангельский A.B. Паракомпактность и метризация.Метод покрытий в классификации пространств. Итог;: науки и техн. ВИНИТИ. Совр. пробл.мат.Фунд.направления,51(§9Э9),6-76.

2. Ни кош Д*.Топологическое пробное пространство для многих аксиом теории множеств. Успехи мат.наук,1983,том 38,вып.6,97-103.

3. Справочная кшга по математической логике.Часть 2. Теория мно-жеств//М.:Наука,1982.

4. Энгвлькида Р. Общая топология//!!„ :!fep,l986.

5. ВaAxfh i-, РллохотрГ1Сгп.еМ La ЯосаЩ %1п.4еЩ .¡расе*., Со.n.J. MaikVoP. 38, л/г. 2, №&, Ш-72?.

6. <Г&ъп*Л W.G.. У coiieciioAun ' ?/atu,c(o,^y> поллигта.? Jlo те ¡¡¡асе. with CL - 6- Zoca.eiy aouniagee ¿tue. Ъро&зуу D?oc. ¿¡(joio), £¿-.<5.

?. ^teiv ei UT.<f. AfoiKai Мсоге Sfxzcei in wuveiit,

Рг<х. JfmU. JUaU. "ее., Иг. Цв, th. I , 13-3V, 2. 1 -&93

8. JLa.*d€oo£ о/ Йг ie{ -1. огей': iofofbgy ¡[flfoiU-Zotf xsl f 19"".

ц : '

5. Jjyjoi P.J, J /boirisi&iAé ¡otuíCoA ù> tíe aotnaE Moot? y>ace

f-loCfeb . p- lüuik. Sor., r ¿> Q<asd) , ¿{¿q -

10, Kuc'in Л/.Е. ¿ectuzei м ikectetic iffatogg. Confine*

¿< Я of ihe JUeU. ¿екнем , Л. гз.

iO