Погружения метрик в плоские пространства и деформации погружений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Маркои Г1а нсл Енгспьсилч

ПОГРУЖЕНИЯ МЕТРИК В ПЛОСКИЕ ПРОСТРАНСТВА И ДЕФОРМАЦИИ IЮГРУЖЕШШ

01.01.04. — геометрия и топология

А и т о р с ф с р а т диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск - 1996

Работа выполнена па кафедре геометрии Ростовского государственного университета

Научные консультанты: доктор физико-матсматнчсскнх паук,

профессор С.Б.Климентов,

Официальные оппоненты: член-корреспондент РАЕН,

доктор физико-математических наук, профессор В.Т.Фоменко

Защита состоится "20" ИЮНЯ 1996 г. в -Ю часов па заседании Диссертационного Совета Д002.23.02 при Институте математики СО РАН по адресу: г. Новосибирск, Университетский проспект, 4.

С диссертацией молено ознакомиться в библиотеке ИМ СО РАН по адресу : 630090, г. Новосибирск, Университетский пр., 4.

Автореферат разослан мал 1996 г.

Ученый секретарь Диссертационного Совета доктор физико-математических

доктор физико-математических, наук, профессор 10.Ф. Коробейник

доктор физико-математических наук, профессор Е.В.Шикин

доктор физико-математических наук, профессор Ю.Ф.Борисов

Ведущая организация: Казанский государственный университет

наук

01ЛЦЛЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РА1ЮТЫ

Актуальность тел; 1.1. Проблема погружения метрик- г. зада: 1111.1с пространства впервые была сформулирована Л.И 1;1сф:и| в 1К73 г., хотя отдельные результаты, касающиеся, в основном, двумерных метрик- постоянной кривизны, к- тому времени были уже получены Ф.Мнпдипгом, Ь'.Ь'ельтрами, Ф.Клейном и др. О 1901 г-. Д.Гильберт доказал, что метрика постоянной отрицательном кривизны не погружаема I! трехмерное евклидово пространство Ь" и виде полном С2-гладко!) поверхности. И ЬО-х годах Н.В.Ефимов доказал пспогружиемость в Е3 и виде ¡10:111011 С~-гладкий поверхности метрики с отделенной от пуля отрицательной гауссовой кривизной. Ряд примыкающих к этому результатов получен Э.Г.Позняком, Ю.А.Аминоиым, Э.Р.Розспдорпом, Е.В.Шпкииым н др.

В 1916 г. Г.Всйль сформулироиал теорему о С'"1-1101 ружасмостп в Е'! метрики класса С"'л положительной гауссовой кривизны, заданной па сфере, и предложил аналитическую схему с с доказательства. Геометрическими средствами теорема Г.Вейля была доказана А.Д.Александровым, полная реализация аналитической схемы Г.Всндя была осуществлена

A.В.Погореловым, а затем, независимо, ■ -П.Ннрспбсргом.

Для многомерных метрик фундаментальные результаты получены Дж.ГЬшсм. В 1954г. он доказал, что всякая метрика класса С1 на компактном многообразии, топологически погружаемом и данное евклидово пространство, погружаема в это пространство в виде поверхности класса С1. В 1956 г. им была доказана С'-погружаемость произвольной риманоной метрики класса С, г>3, па //-мерном многообразии в евклидово про-

(З/г + Пи) (п + 1) ..

етранство -------------------------- измерении. В 1970г. М.Л.1 ромовым и

1-, А 1-, "( " 1

B.А.Рохлиным эта размерность снижена до -----+ ^ и рассмотрены

погружения пссвдоримановых метрик к псеидосшс.тидокм прост ранет г,а В1972г. Г.Джгкобопнчем гладкость г доведена до Х'г > 2, г с Н .

С другой стороны, известна теорема С.П.Геисбсрга, утверждающая, что сеян размерность евклидова пространства меньше, чем (11+ I) (и -\-2)

---, то при г >2 множество всех римаиовых метрик класса С

на //-мерном многообразии, С" -noi ружасмых ii это пространство, нигде ne плотно множестве всех римаповмх метрик. Поэтому, г. случае пространства невысокой размерности, проблема гладкой погружаемости имеет смысл лишь для некоторых специальных классом метрик.

Большинство из перечисленных результатов о погружаемости объединяет идея г.Бсйля, которая, в общих чертах, заключается в следующем. Метрики ils', которую требуется noiрутпгь к данное пространство, соединяется некоторой деформацией с метрикой! dsI, заведомо погружаемой в это пространство. Затем строится деформация погружения метрики r/.v,' и погружение метрики ds~. Реализация этой идеи в геометрической части приводит к задаче погружаемости метрик, близких к погружаемым, и к задаче о существовании аналитических и бесконечно малых (б.м.) деформаций погружения с заданными вариациями метрики. Каждая из этих задач представляет самостоятельный интерес. Первая — потому, что сама является одним из вариантов проблемы погружаемости метрик, вторая — потому, что является непосредственным обобщением проблемы б.м. и аналитических изгибании поверхности, и относится к ней так же, как неоднородная задача относится к однородной. При решении первой задачи оказываются полезными различные варианты теоремы о неявной функции, при решении второй ■ методы и результаты теории б.м. и аналитических изгиба иии по верх н ост ей.

Теория б.м. и аналитических из1нбапий поверхностей в ¿'"'имеет более длинную историю, чем проблема погружаемости метрик. Уже в IS;or. Д.Джаллетто.м было получено уравнение, описывающее б.м. изгибания явно заданной поверхности, и уст ановлены признаки жесткост и некоторых поверхностей с краем. Первое систематическое изложение теории б.м. изгибаний поверхностей в дано Г.Дарбу. Им были введены поля вращении, выведена основная система уравнении (для вариаций коэффициентов второй основной формы), доказана теорема о проективной инвариантности жесткости (теорема Дарбу-Зауэра) и рассмотрены некоторые другие вопросы. Дальнейшее развитие теории б.,м. и аналитических изгибаний поверхностей связано с работами Г.Либмапа, В.Бляшке, С.Э.Коп-Фосеена, А.Д.Александрова, Н.В.Нфимова, А.В.Погорслова, И.Н.Векуа, Ю.Г.Решетплка, Э.Г.11озпяка, В.Т.Фомеико, И.Х.Сабитова и др.

Относительно б.м. и аналитических изгибании многомерных поверхностен известны лили» отдельные результаты, хотя интерес к ним возрастает-. Поэтому становится актуальным построение теории б.м. и аналитических пзгибашш /¡-мерных поверхностен ь ///-мерных пространствах. В задаче о б.м. деформациях погружении с заданной вариацией метрики наиболее глубокие результаты получены Г.13снлем, Л.В.Погорсловым и С.1).Ю|нмеито1!ым. В последние годы появилось большое количество работ по б.м. н аналитическим деформациям других типов (конформным, аре-альпым, с сохранением грассманова образа п т.д.). Возникает необходимость их систематизации в рамках обшей теории, включающем'! вес эти деформации, а также деформации с заданными вариациями метрики, аналитические и б.м. изгибания.

Цель работы. Цел:, данной диссертационной работы - разработать содержательную теорию общих (т.е. без каких-либо ограничении па вид вариаций ссчсипн тензорных расслоении) б.м. и аналитических деформации погружений, вынести пз пес теорию б.м. и аналитических изгибании //-мерных поверхностей в «/-мерных плоских (т. с. евклидовых или пссвдо-евкл вдовых) пространствах, получить признаки жесткости и аналитическом неизгибаемости различных классов многомерных поверхностей, дать геометрическую трактовку теоремы об обратной функции (и терминах погружаемости, жесткости и б.м. деформации с заданной парнациси метрики) и на базе -лих результатов выделить некоторые классы римановых и пссвдо-римаповых метрик, погружаемых в плоекпе пространства с низкой коразмерностью.

Методика исследовании. Исследование рассматриваемых в диссертации вопросов проводи тся методами многомерной диффсрсицнальиоп геометрии при систематическом использовании методов тензорного анализа над пссвдоортогональпои группой, теории расслоении, теории групп Ли, функционального анализа, анализа на многообразиях, уравнении с частными производными. Основные результаты получаются в условиях пониженной гладкости рассматриваемых объектов, что исключает возможность использования классических основных уравнении теории поверхностен. Для преодоления этой трудности на базе потоков де Рама разработан аппарат обобщенного внешнего дифференцирования.

I Ьучнаи новизна работы определяется следующими результатами. полученными авюром:

— Введены ппварпантпые нормы в пространствах ссченнн расслоений с компактной структурной группой па компактном многообразии, превращающие эти пространств;] в банаховы.

— Установлено влияние деформаций метрики как ссчеппя расслоения билинейных форм на деформации порожденной сю орбиты в расслоении локальных корспсров, а также па деформации форм локального кореиера, связности и кривизны и этой орбите.

— Разработана теория общих аналитических и б.м. конечного порядка деформаций погружений. Введены поля вращений для таких деформации и изучены их свойства, получены основные уравнения и аналог основной теоремы теории поверхностен. Проведено исследование зависимости основных уравнений в терминах типового числа Лллсндорфсра. Доказаны аналоги теорем Аллсндорфсра.

— Разработана теория б.м. и аналитических изгибаний //-мерных поверхностей в ///-мерных плоских пространствах, аналогичная теории б.м. и аналитических изгибании поверхностей в ¡С'1. Установлен общий вид решении основных уравнений, определяющих б.м. движения поверхности различных порядков. Получен многомерный аналог теоремы Дарбу-Зауора. Установлен ряд признаков жесткости и исжесткости, аналитической изгибаемости и неизгибаемости //-мерных поверхностей в «/-мерном плоском пространстве. В частности, получен многомерный аналог теоремы Н.В.Кфимова об аналитической неизгибаемости поверхности, обладающей жесткостью первого или второго порядков, аналог теоремы Лллсндорфсра о локальной жесткости поверхностей с типовым числом > 3. Получены признаки жесткости и исжесткости расслоенных поверхностей, как замкнутых, так и с краем при краевых условиях типа скольжения.

— Разработана методика исследования геометрических объектов понижена ой гладкости с привлечением аппарата обобщенного внешнего дифференцирования.

— Получены многомерные аналоги теорем Г.Вепля о б.м. деформациях с заданной вариацией метрики и о погружаемости метрики, близкой к метрике сферы. Дана геометрическая трактовка теоремы об обратной функции в терминах погружаемости, жесткости и б.м. деформации с заданной вариацией метрики. Доказана погружаемость в заданные плоские

пространства различных классов метрик, конформных погружаемым, а также метрик, получающихся искр!тленным произведенном метрик сфер.

Теоретическая и ираьггнчеач-аи ценность. Диссертация посиг теоретический характер. Разработанные в иен методы и полученные результаты создают основу для их систематического применения в задачах многомерной дифференциальной геометрии и механики, имеющих отношение к проблеме погружаемости метрик и различным деформациям погружении. Опп могут быть использованы в качестве опорных при решении обобщающих задач (в частности, па пространства постоянной кривизны). Результаты работы могут использованы при создании специальных курсов по геометрии и анализу на многообразиях,

Апробации работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях и научных семинарах: на Седьмой Всесоюзной конференции по современным проблемам геометрии (Минск, 1979 г.), на конференции по геометрии "в целом" (Симферополь, 1980 1'.), на Девятой Всесоюзной геометрической конференции (Кишинев, 1988 г.), на Всесоюзной конференции по геометрии и анализу (Новосибирск, 1989г.), на Всесоюзном совсщапнп молодых ученых по дифференциальной геометрии, посвященном 80-летию Н.В.Ефимова (Абрау-Дюрсо, 1990 т.), на Всероссийской школе-коллоквиуму по стохастическим методам геометрии и анализа (Абрау-Дюрсо, 1994 г.) на Международном геометрическом семинаре "Современная геометрия и се приложения", посвященном 100-летию со дня рождения П.А.Широкова (Казань, 1995 г.), на Международной конференции по геометрии "с целом" (Черкассы, 1995 г.) на научном семинаре МГУ по геометрии "в целом" (1977-1996 г.г.. рук. проф. Н.В.Ефимов, проф. Э.Г.Позпяк, доц. И.X.Сабитов), па Харьковском городском геометрическом семинаре (1977, 1994 г.г., рук. акад. А.1$.Погорелой), па объединенном семинаре отдела геометрии и анализа института математики СО РАН (1995г., рук. акад. Ю.Г.Рсшстпмк), па геометрическом семинаре Харьковского университета (1995г., рук. проф. 10.А.Аминов), на геометрическом семинаре Таганрогского госпедипститута (19У5г.. рук. проф.

B.Т.Фомепко), на семинаре кафедры геометрии Катанпского гоеуппвсрсп-тста (1996г., рук. Проф. Б.11.Шапуков),па семинаре кафедры геометрии Ростовского госутшсрептета (1976-1996, рук. проф. К.К.Мокрпщсв, проф.

C.Б.Климентов), и др.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы и работах 11-16].

Структура диссертации. Диссертация состоит из пяти глав (24 параграфа со сквозной нумерацией, разбитых па пункты), заключения и списка литературы из 145 названий.

соде ржа и 11 [•: гл коты

Введение содержит общую характеристику работы, постановку задач, их специфику, обзор современного состояния рассма триваемых проблем и результатов диссертации.

Глава 1 (§§1-4) имеет предварительный характер. Здесь собраны сведения, касающиеся, в основном, многообразий и расслоений гельдеро-вых классов. В §1 приводятся определения основных объектов (многообразия, расслоения, погружения и т.д.) с цслыо установления терминологии и обозначений. Для упрощения изложения мы рассматриваем только ориентируемые многообразия с фиксированной ориентацией, хотя большинство результатов работы справедливо без этого условия. Расслоение с базой X и расслоенным многообразием Р(Х) мы обозначаем символом его расслоенного многообразия Р(Х) . Для двух многообразии а' и У через Cr(X,Y), r>0,reR, обозначается множество всех отображений X —> Y класса С'. Для данного расслоения Р(Х) символом Er(Х,Р(X)) обозначается множество всех его сечении класса Сг.

В §2 дается краткое описание встречающихся в работе расслоений: тривиального, касательного Т(Х), кокасатсльпого Т'(Х) , локальных репс-ров, локальных корспсров, орбит локального репера 9ïf'(A7 и локального корепера ЧК'С'(Х) относительно данной группы С как расслоений со структурной группой С. Чаще всего в качестве группы С в работе фигурирует специальная пссвдоортогональная группа SO( и, Л) сигнатуры Л, n = (liinX. Под сигнатурой мы понимаем упорядоченный набор Л = (Л') , где Л - ±1. Орбит а локального корепера относительно группы SO(n,A) обозначается через 3\'Л(Х) (звездочка иногда опускается), локального репера — через sJiAfXy. Рассматриваются также тензорные произведения векторных расслоении, расслоение ТМ(Х) р раз кон-

траварианшых и ц раз ковариаттшх тензоров prnocinvjn.no фиксированной группы С, расслоение полилинейных форм, расслоение ¿'¿Т'(Х) иссидоримаиових метрик сигнатуры А. В заключительной части параграфа (п.п. 10, 11) приводится определение л-касатслыюго расслоения, ¿'> /, и вводится понятие ¿--производного расслоения. л-производным расслоеип-см расслоения ¡'(X) называется расслосинс ¡>(^(Х), слоем Р^(Х) над каждой точкой .V с=Х которого является .V-касательное расслосинс слоя 1\.(X) расслоения 1'(Х) над этой точкой.

В §3 дастся краткое изложение основных фактов тензорного анализа над группой ЯО( и, Л) . Опорной является

'ПЮРКМА 3.2.1. Для (.'о/ко. 'о локального корспсра г = ( т1)"=! е ИГ(Х,Ч\*Л(X)) с областью определения V сущеапсуеш и притом единственная система 1-форм Ф^ (0',Т' (И)), уОоалетчо-

ряющая ус.чоаиям

<1т' = АФ[, АФ[ = -А' Ф./,Л = /,...,».

к= 1

Формы Ф'к, определяемые этой теоремой, называются формами связности, а их совокупность — связностью Лсви-Чивита. Связность Леви-Чнвита позволяет определить ковариантпое дифференцирование тензорных полей по обычным формулам классического тензорного анализа. Здесь же определяются 2-формы кривизны 6>] равенством

= ■+ Ф[ /10*); /,у,к = /,...,//, и тензор кривизны, прпводл1Ся

тождества Ниапки и некоторые вспомогательные (формулы.

В §4 Предлагается способ введения норм сечении тензорных расслоений. От известных способов он отличается тем, что опирается на компактность группы ¿'О(п) (специальной ортогональной группы), и получаемые нормы не зависят от выбора атласа па многообразии А". !1е вдаваясь здесь в обоснование корректности определений, основную идею можно описать следующим образом. Г1уст1» С — подгруппа группы п,А)п , 0 е Г:г(Х.Т'' ''(X)) -тензорное поле относительно

группы ¿'0(и, Л). Для каждой точки дсА' и каждого базиса ¿¡х. = (¿¡¡(х))"=,, определяемого локальным

рспсро.м Ь = ( hi)"ii e J'-' ( X ( X) ) определено отображение

0:У]('(Х) —> R" \ сопоставляющее базису iv компоненты тензора U(x) . Норма \0\0 ссчспия 0 е С"(X,Т''''(X)) определяется равспствол! _= Sup , где Sup берется по всем базисам, образующим

орбиту ytf'C\'J, |*| — стандартная норма в R"' I 1орма |[0jj , /i=7,2,..., 1<<г, определяется равенством ]jf|jA = ¿llVfl , где

/Л"

У'О — 1-я коварнантная производная поля 0 . Если

У Т М/

О е Е ~(Х,Т''''(X)), 0<Я< /, то норма \0\0 f определяется равснст-

I о(ч}-о(ч:-)\

вом Щ = ¡0^ + Sup —----, где .v,.v' еЛ', р, — расстоя-

ние в некоторой рпмаповои метрике, однозначно определяемой ороитои У\Г'(Х). Норма Щ\1;; определяется равенством

\filk I — + • ПСКТ0Р110Г0 расслоения 1'(Х) эти опреде-

ления распространяются па 1'(Л',)-зпачиыс тензорные поля ( ссчспия из Пкл(X, Тр ,'(Х) ® V(X)) ). Доказывается

ТЕОРЕМА 4.4.1. ikmi многообразие X компактно, им пристрой-

т'-Д/..........._.......... ..... ..............

Л h/i,Л

сшчо Пк'1(Х,Т,и'(X) © V(X)), Л > 0, 0< л< 1, с нормой , яи

лнешея оаиа.хооым пространством.

Глава 2 (§§ 5-7) посвящена б.м. и аналитическим деформациям метрик как ссчспин из Llr(X,S\T*(X)) . В §5 даются определения б.м. и

аналитических деформации ссчсппП векторных расслоении и н\ подрасс-лоеннн, операторов варьирования. Если Р(Х) — С''-нодрасслос-нпе векторного С'7-расслоения V(X), q > /, q е Л,/ е XJ'(X)),

F:X x (-c,i;) —> I'(X), 0 0, — деформация класса Сл, s > I, ссчспия /, то А'-и вариацией f называется ссчспис S'f е И''(X,Pts>(X')),

11Ч\(1)

определяемое формулой (V /(х) =

где Г\(1) = Г(х,1).

2.\! с/1л

{■'х(0)= /(х) . Класс деформаций, определяющих один и те же вариации I)'/,...,б'/, называется бесконечно малой (б.м.) деформацией /-го порядка этого ссчспмя. Б.м. деформация класса С" называется аналитической, если она может быть представлена степенным рядом

сс

1Г(.\,!) - /(х) , сходящимся па (-с,/:) в каждой точке

л* е X.

Вводится понятие б.м. (аналитической) деформации орбиты локального корспера и показывается, что всякая такая деформация однозначно определяется соответствующей деформацией порождающей сс метрики и обратно. Влияние деформации метрики па деформации форм локальных кореперов описывается следующей теоремой.

Г , 2}

1 КОП'.МЛ 5.4.1. Л!» змктичи Осф(>1)мацш1 икА [ клас-

са С\ .V > 0, хеЯ или ¿'=со , ш, метрики сЬ2л е И'1 ( X ¿Т* ( X) )

су1цса»иусш деформации (г, ^ класса С* яокачыюго корспера г в

П''(Х,Ч}А(Х)) , такая, что г, е Н'! (X,ЧЛ'А(X)) . При этом, сс:ш г, = (т'г - ■ аце. оОна пикая деформация корспера 1 • ,ш> <• каж-Опй точке из области определения карспсроа т,, г, спраасдлнап ¡ючспстчо т1=Р(Г)тг, л)с Р:(-1:,с)—> $0(н, ¿\) путь класса С группе Ли и, А), и элементы матрицы Р(() являются функциями класса С'1 на X при камсОом фиксированном ( £.(—£,с) .

В заключительной части параграфа вводится понятие тривиальной аналитической (б.м.) деформации локального корспера как деформации, не влекущей деформации порождаемой им метрики, и устанавливается вид вариаций форм этого локального корспера при такой деформации. Резуп,-тато.м является

'I'lvOlM'.MA 5.5.1. Аиа.шшичсскаи (а.м.) деформация локального корепера г е И'1 (X, УI л(X)) тршттыш тогда и только тогда, когда чариации форм г' имеют сад

¿> V - AikvljTJ, <5sT' -- AkvljT1 + .у = 2,3,...

где

Л-/

Е-

Оп/

Hi

у' = (v'tj) е Б'<(Х,Л~'Т*(Х)), А'к =

О при i^k, А 'при i— к,

iji—l.....п.

В §6 выводятся формулы для вариации форм локального корепера, связности н кривизны при заданной аналитической (б.м.) деформации со-отвстствующси метрики. Показывается , ч то сели вариации метрики ds& имеет вид S"ds2A - 2а^т' 0 г7, сг,-- = <т*7, то вариации форм локального

корепера т = (t'J"=j из орбиты, порожденной этой метрикой, имеют вид

С)

(Г1 г' = A'j rJ, вариации форм связности имеют в мл Ssd>'j = B'jk вариации форм кривизны имеют вид

(П (О s — /

Зв) = Л В)к Х тлЛ г\ д"в) = А' П]К1 гЛ/1 гк +

а = 1

где (!)

j'A_/ , л'к ../

Aj-A akj- + A vh-p

(a) s-t (a)(s-a)

o=/

(/)> , (!) (!) О (!)

V /Л = -[ (4,J- + А" Л jX( AflA - Alu) +

(D (D

"'¡к = L jh 9

(s) (s)

A[ ,-A',

tr AU+ - A!U)+ алА,^А >ir A>;j +

V / (a) (s a) (a) (s а) (а) (л а) (а) (л а)

Kj-A) r>it +ЛАЛ]П(Л1 П^-М ЩЧ) +

а-I

(и) (1-й) (и) (s-a)

+AaAkti(Ai -л) r>:,j)

— коварнаитпап производная в связности Ф, Au = Aa.

13 §7 рассматриваются конформные деформации метрики и подученные в £6 результаты применяются в доказательстве следующей тсорс-м ы.

teol'lima 7.1.1. Дш всякой метрики f/.vj е X,S!J" (X)),

конформной метрике (¡.Чд е Е2 ( X,S^T* ( X)) , существует апа.нппиче-

ская конформная деформация jf/i'^' 1 метрики (Is^, такая, что:

I J tc( -осух>

I) ds'/= (1х2л; 2j <ДФ) = 0 при s>2: 3/ = О при л> J,

'> j - 1,...,ч.

Здесь же выводятся формулы, связывающие формы связности п формы кривизны конформных метрик.

Глава 3 (§§ 8-13) поссящепа общим (т.е. без каких-либо ограничении на вид вариаций сечений тензорных расслоении) б.м. и аналитическим деформациям погружении. Именно с таких деформации начинают изложения теории б.м. изгибаний Г.Дарбу и И.В.Ефимов. Теория таких деформаций представляет собою общую основу различных специальных теории деформации (конформных, арсальпых н т.д.) и, несмотря па большую общность, оказывается богатой содержанием. В частности, для таких деформации может быть введена система полей вращений и получены аналоги основных уравнений и основной теоремы.

§8 носит вводный характер. Здесь дастся оппсаппс плоского пространства /У как аффинного пространства, на векторной части которого задана невырожденная билинейная симметрическая форма, называемая скалярным произведением. Приводятся некоторые факты из теории //мерных поверхностей в /«-мерном плоском пространстве; описываются касательное 77-" и нормальное Т1/-' расслоения поверхности Гс //, ломаль-

пыс реперы и эт их расслоениях, приводятся уравнения Гаусса, Пстсрсопа-Кодаццп и Ричи, формулировка основной теоремы теории поверхностен.

Как уже отмечалось, основные результаты диссертации предполагают использование объектов пониженной гладкости. В связи с этим, возникает необходимость создания аналитического аппарата для работы с такими объектами. В §9 на базе потоков дс Рама и результатов 10.13.Боровского разрабатывается аппарат обобщенного внешнего дифференцирования внешних форм и доказывается

теоргмл 9.3.2. /(ля (¡сякого С -погружения г:Х~> П формы погружениям" н кручения ¡с" обладают обобщенным анешиим дифференциалом. /(ля них снранедлнчы уравнении ! 'аусса, Пешерсоиа-КоОацци и Ричи

j^A*col Лео) = &)>

rr-l

dco" = ф\Ло)1 + ^А'а>]Лк-1,

Г = /

йк'в ^Лсо'Лсо" А" к ^Лк-^ ¡-i р-1

гОе i,i,к = !,...,ii, т,о ~ ],...,р = т- н, m = (Iimf¡, n= dimX, d —

знак обобщенного чисшнего Оифферсициспи.

Рассмотрение общих аналитических и б.м. деформаций погружения 7,:Х—> П начинается с §10, где вводится система полей вращений для таких деформаций. Здесь доказывается

ткоремл 10.1.1. /(■/;/ :;at)aiiiioú б.м. деформации i-го порядка, /</ < со .(аналитической деформации) С г-погружения z:X —> П. Г> /, /' <P Íi. н порпжоеинн.х ею úetbop.Maipiii локальных ортаиормирочаи-

них репериа с = е Ur~'(X, TF) и v = ( vj^, е СГ~'(Х, Т1Г)

сущеанауею и притом еОнистчспная система полей бичектороа (V *){-_,. V <=Б"'(Х,Л2 П). такая, что

а-1 а-1

гОе поО знакам суммы спушрсиисс протаеоспие оисектора на сектор,

5"С; = с,-, д" у„ = у„, 1 = 1.....и, сг = /...../л л- = /,...,/ •

Система (V называется системой полей вращений, а се элемент 1/Л — нолем вращении порядка Л' при б.м. деформации /-го порядка (аналитической деформации) погружения с. Теорема 10.1.1 обобщает соответствующие теоремы о существовании и единственности полей вращений в теории б.м. изгибаний па случай общих деформаций. Особенно отчетливо это показывает

теорема ¡0.2.!. /(ля системы полей г.ращешш / < / < <х>, б.м. деформации 1-го порядка (аналитической деформации) погружения г:Х —> П имеет место равенство

= + + З'т'е,.

а-1 и=1

¡=/,...,11, Л' = 1,2,...,/, при .5-7 вторая сумма исчезает.

В этом же параграфе выясняются некоторые свойст ва полей вращений. Доказывается, что дифференциал ноля вращений д-го порядка выражается через л-е вариации форм связности, погружения и кручения, а та к;ке через поля вращений и вариации этих форм порядков, меимпн.х .V.

В § 11 рассматривается система уравнений

с/8'г! = ¿( 8атк Л8*-аФ'к +8*-аткА5аф[),

а-1

А<5*Ф) + Л]8"Ф{ =0,

(18*Ф) = ^/-(8"Ф!к Л8"аф) + 8*-аф[Л5аф)) +

а=1

+ А Л ( О (О; Ад О) ■ + О О)I Л О (О j ) /,

г. О, (11.1)

а = /

(1б*(о" = баф'; л8*-а(о"к_з*-аФ)л8и<о"к +

+Аг(8а(о(л8*-<хкЧ + 8*-а(о\А8ак%)},

8"кхс+8\^ =О,

4-А''(8а^Л8х~актр + 8х-ак^Л8акхр)1,

1'дс ¿>"г' = г' —формы локальною С"'коронера из орбиты У1А(Х) , порожденной метрикой ¡(г.) ^ индуцированной С'-погружением 7.:Х—>Г1, Г > 2, = ф! — формы связности, 8"(о" = со" — формы погру-

жения, 8"к'а — формы кручения, 8лт' 8*со"— ис-

комые /-формы, 5=/,...,/, /,/Л = У,...,/?, г,а,р= /,...,р, /! — знак

обобщенного внешнего дифферепциата. Основным результатом параграфа является

ТЕСН'ЕМЛ 11.1.1. Лели многообразие X односсязио, та всякому решению /¿'V,84Фу,54со ",5*к; класса Ег~2(Х,Т*( X)) системы (ИЛ)соотасшспшуап Г/.м. деформация 1-го порядка погружения I:X —> П, при которой 8*т' ,8>'Ф']-,8:'а)" ,8*к~Т0 являются ¡¡-ми оариа-циями форм локального ко/ктсра г . ссязиости Ф, погружения и кручения. При этом вариации 8SZ погружения z определяются по решению оопо-зпачио с точностью до слагаемых вида где произволь-

ный постоянный шисюнор. <у'4 - произеольиыи постоянный вектор.

Система (11.1) называется основной системой, а теорема I 1.1.1 основной теоремой теории б.м. деформаций погружений. В случае /=/ теорема 11.1.1 уточняется в том смысле, что выписывается явное выражение

иодя деформации <£: Сшпсфадьноп форме) через решения епсте-мы([ 1.1).

$12 рассматривается типовое чиело К'.Н.Аллсидорфера. Дастся его определение, алгоритм вычисления и доказывается

ТКОРЕМА 12.3.1. ¡'.спи г С-погружении г:Х—>П размерность гласного нормального пространства (¡(.х)=со::\1 на X н ти повое, число 1(:,)> 3, то вснкос решение {д^Ф'^б* <о" к'П

/,/' = /,...,/<% г,сг= /,...,/;, системы (11.1,), (//./,-) является решением уравнения (/[.¡у ).

Основным результатом §13 является

ТКОРЕМА [3.1.1. /■ат у С'1 -погружения 7.:Л' —> Г1 ртиер-иость главного нормального пространства (}(.\)=сопх1 на X и <(I) > 4, то Оля всякого решения (¿Г Ф] системы уравнении

(11.1,). (11.1,) существует и притом еОинственное решение (5>'Ф,],8:<со" ,5якТа)1=1. }=},... ,11, а, т = 1,...,р, системы

(11.1,,11.1 ¡,11.1^,11.17) с топ лее. парой первых элементов Ф^З*со".

Глава 4 (§§1-1-19) посвящена б.м. п аналитическим изгибаниям /;-мерных поверхностей вньмерпом плоском пространстве. В §14 приводятся определения основных понятии (б.м. н аналитического изгибания, б.м. п аналитического движения, тривиального б.м. изгибания 1-го порядка, жесткости /-го порядка, аналитической неизгибаемости) и выясняются соотношения между этими понятиями. В частности, доказываются

ТЕОРЕМА 14.2.1. Для того, чтобы всякое о.:.:. :е;гибапие 1-го порядка, I < I < со , погружения 7,'. X —> П являлось б.м. Овижс.иием ¡-го поряока. необходимо и достаточно, чтобы это погружение обладаю жесткостью первого порядка.

ТЕОРЕМА 14.3.1. Паш С1 -погру.тгчше 7.:X —> Г1 обладает жесткостью первого или второго порядка, то оно аналитически нетги-баемо.

Теорема 14.3.1 обобщает' на многомерный случай известную теорему Н.В.Ефимова о соотношении между жесткостью и аналитической не-

нзгибасмостыо. Предлагаемое н данной работе доказательство принципиально отличается от доказательства Н.В.Ефимова тем, что не использует налоисспий б.м. движений.

В §15 даются приложения результат он §§ 5, 6 по деформациям метрик и 10, 11 по общим б.м. и аналитическим деформациям погружений к теории б.м. и аналитических изгибаний «-мерных поверхностей в ///мерном плоском пространстве. Здесь устанавливается общий вид вариаций форм локального корспсра и связности при б.м. изгибаниях погружения г, а также общий вид решения основной системы (11.1), определяющего б.м. изгибания. Уточняется, применительно к б.м. изгибаниям, формулировка основной теоремы 1 1.1.1. Выводится общий вид полей вращений и вариаций полей нормалей при б.м. движениях порядка И, 1<И< со. В заключительном пункте параграфа доказывается теорема об общем виде вариаций форм погружения и кручения при б.м. движениях порядка !>.

В §!6 рассматриваются б.м. изгибания первого порядка и выделяются некоторые классы жестких п нежестких погружений. В п.п. 1,2 доказывается псжесткость //-плоских поверхностей и проводится анализ понятия тривиального б.м. изгибания. Существует два подхода к его определению. При одном из них в основу кладется специальный вид изгибающего поля, при другом ■— равенство пулю вариаций пространственных расстояний между точка,мп поверхности (соответствующее б.м. изгибание называется в работе /г-трпвпапьным). Показывается, что эти два подхода не эквивалентны, и доказывается

ТЕОРЕМА 16.1.1. Для того, чтобы всякое р-шршталыюе б.м.

изгибание первого порядка поверхности /•' масса С1 в П было /прианальным,, необходимо и достаточно, чтобы поверхность /•' не являюсь //плоской на при каком /1</п.

Здесь же устанавливается общий вид изгибающих полей при р-

трпвиальных б.м. изгибаниях.

Основным результатом н.З является ТЕОРЕМА 16.3.1. Пели типовое числа С2- погружения ¿,:Х —> П удовлетворяет условию и размерность главного нормального

пространства <;(х) = р в каждой точке х еЛ\ то ногрупссиис с обладает жесткостью первого порядка .

В н. 4 рассматриваются б.м. изгибания первого порядка римаповых произведений погружении. Доказываются

ТЕОРЕМА 16.4.1. Если каждое из С2-погружении г.'.Х, —> Г/л , обладает жесткостью парного порядка, н типовое, число/(7.,.) >2, размерность гласного нормального пространства ч(х[) = сопМ. Л'£ еА'г = /,..., р, то римсиюво произведение 7.1+..Л7.X,у,...у,Хг —> П,у,...Пр погружений 7./.....7./: обладает

жесткостью первого порядка.

ТЕОРЕМА 16.4.2. У:'с7/// хотя бы одно из С1 -погружении Се:Х1: —> Г1 г, .с = !,...,[}, обладает нсжесткостыо псрсого порядка, то

и римаиоао произведение этих погружений обладает нелсеапкостыо первого ио{Пдка.

В §17 рассматриваются б.м. изгибания первого порядка явно заданных поверхностей с краем в /7 при краевых условиях скольжения. В п. I выводится система уравнений, описывающая б.м. изгибания явно заданной //-мерной поверхности класса С" в /7, аналогичная уравнению Джаллетта. Основные результаты параграфа формулируются в п. 2 и заключаются в следующем. Предположим, что /; >/, (ГчпП = Зп п пространство // представлено в виде риманопа произведения П - //;х...х Пн трехмерных плоских пространств. Аффинную систему координат в /7;, задающую сигнатуру этого пространства будем обозначать через Ох'у'?.', ¡=/,...,11.

Тогда Ох'у '7.'____у")'" 7." —-система координат в /7, задающая спгнат\р\

этого пространства . Обозначим через £"; трехмернчо плоскость в /7, параллельную координатной плоскости Ох'у'г' и лежащую в 3(н+1-1)-мерной координатной плоскости Ох'у' 1' ...х"у"7." ■ При фиксированном ¿<п имеется непрерывное семейство плоскостей при /=л такая плоскость единственна, она совпадает с координатной плоскостью Ох "у "7.". Рассмотрим в /7 «//-мерную поверхность«/' класса С' с краем гФ класса С" , удовлетворяющую условиям

A. /(ля ка.иеОоги номера ! — 1.....и каждое из сечений

ф ¡ поверхности Ф плоскостью E¡. за исключением, быть может, конечного числа таких ссчений (при i<n ), является двумерной выпуклой поверхностью ненулевой кривизны, причем каждое из сечений Ф/,..., Фп_,

ограничено.

Б. Поверхность Ф допускает взаимно однозначное проектирование на коорОипатиую плоскость Ох'у 1 ...х"у".

Из этих условий вытекает, что сечение Фн может быть задано уравнением z" = f"(x",y"). Наряду с условиями А и 1> предполагается в ы н ол п с и 11 ы м у слов 11 с

13. Пели сечение Фп не ограничено, то при |.v"j,jl'"j —> од функция

f"(x",y") имеет вис) f" (х" ,у" ) = p2(x",y")(I + с(хя ,у" )). где р~(х",у") положительно опрсОелсннчя кваОратичная форма переменных х",у\ £(х",у")—>0.

Б.м. изгибание поверхности Ф в /"/называется б.м. изгибанием скольжения во заданной Л-мсрной плоскости, ()<íi<3n, если вдоль края дФ изгибающее поле параллельно этой плоскости. При 1:=0 говорят, что поверхность Ф закреплена вдоль края. При условиях А-В доказываются

ТЕОРЕМА 17.2.1. Если проекция D поверхности Ф на плоскость Ох'у'...х"у" ограничена, то поверхность Ф не допускает нетривиальных Гкм. югипатп! ско.чьжсния по 2п-мерной плоскости Ох'у 1 ...х"у".

ТЕОРЕМА 17.2.2. Пели область D не ограничена, то поверхность Ф не Оопускает нетриаиальиых б.м. изгибаний скоикнеения по (2п+1)-мериой плоскости Ох 'у '. ,.х"у "z"■

В случае евклидова пространства при и=1 теорема 17.2.1 совпадаете классической теоремой о жесткости двумерной выпуклой поверхности , взаимно однозначно проектирующейся па плоскость, относительно б.м. изгибаний скольжения но этой плоскости. Теорема 17.2.2 является аналогом теоремы о жесткости бесконечной двумерной выпуклой поверхности.

В § 18 доказывается многомерный аналог теоремы Дарбу-Заузра. Для заданного Сг-погружения ;:Д'-> /7, г> !, и произвольного постоянно-

ю вектора (I ь Г/, (/' -- ±1. определим отображение ¿: Л' —> /'/ форму.. „ :. + ч2о 2

лом ; =----а и н допустим, что это отооражспис также является

(К.

С'-погружением. Пусть V — произвольное поле нормалей поверхности Г=;(Х), & — изгибающее поле первого порядка этой поверхности. Г-соответствующее ноле вращений. Положим

V-а(у(г + а2и)) ^ _ й; -а( Ц( г + а2 а)) аг ' иг

у = У+ 1У(:+а2а)-&,<1/, где /*,* / — внешнее умножение в П.

теорема es.ee Поле V является полем нормалей поверхности /'" = X), поме ¿с является изгибающим полем первого порядка погру.нсе-пи» ; , поле У является полем ира/цеппй при б.м. изгибании с с изгибающим полем ¿с. При этом поле ¿?, тривиально тогда и только тогда, когда тривиально поле &.

В качестве приложении этой теоремы доказываются некоторые признаки жесткости первого порядка 2/1-мерных поверхностей в .?н-мсрпом плоском пространстве, звездных относительно (/¡-/^-мерной плоскости, обобщающие теоремы о жесткости замкнутых выпуклых поверхностей в Е~' и о жесткости выпуклой поверхности при условии закрепления сс края.

В § 19 рассматриваются б.м. изгибания /-го порядка и аналитические изгибания расслоенных погружений (расслоенных поверхностей) в /7. Класс расслоенных поверхностей довольно обширен. В частности, он содержит' рпмаповы произведения, погружения, рассмотренные в 17,18. Определению расслоенного погружения посвящен п.Е Пусть ХГ...,Х1/ — С'-миогообразия, г>2, размерностей п¡,....п[ соответственно, /7/...., Г1 ч —плоские пространства размерностей и/,.....соответственно, 2 < и- < т? , Я = /,.Через У будем обозначать произведение многообразий: -У -- X/ через 5— произведение плоских пространств: .У1; = П¡х...у. Г7 : У1 = X,, = /7,. Для каждого А= /,...,</ мы полагаем Уд = Л', х...хЛ'я, 5Я = /7, х...х/7л.

х ^ Отмстим, что (/¡шУх = 1ЧЛ = (ГипЗл = Мл - •

,:! к!

.V, еА',.....л^ еА' то мы обозначаем ух = (х,,...,хх), так- что

■1-д+/ = О'д'-^д и) ■ Отображение 7.ч :У(1 —> Забудем называть //-кратно расслоенным, если н каждой точке у — (X/е Уч имеет место разложение г(/ = р,(х,) , где /?,:Л'/ -> /7, — С-погруженпе, и для всякого /.'=/,...,//—/, Р11Уг У/, и~=► ^и-/ — С-отображспис, такое, что для каждой точки у еУ^ отображение /?,. —> ///Н/, определенное равенством

Руг(х,,-ч) = Р„м(У1,<х„ч). '^лястся С'-погружением.

Легко видеть, что с указанным свойством является Сг-погружснисм. Поверхность Г - г(/СУ(//) с называется «/-кратно

расслоенной поверхностью. Каждая из поверхностен = СЛ(УЛ) с называется базой поверхности 1'л+1, а каждая из поверхностей Фу1 = р, СА^^с /Уд,, — слоем этой поверхности над точкой ,уя е . Приводятся необходимые и достаточные признаки жесткости /-го порядка и аналитической неизгибаемости //-кратно расслоенных поверхностей. В частности, доказывается

теорема 19.2.1. Для того, чтобы {¡-кратно расслоенная поверхность Г^ облаОачи жесткостью порядки !> I а пространстве необходимо, чтобы Паза обладали .песеткосшыо порядка I а пространстве Г1 ].

Основным результатом параграфа является

ТЕОРЕМА 19.3.1. Пусть размерности главных нормальных пространств базы Г) и каждого слоя Ф постоянны, и шиповые числа этих

поверхностен удовлетворяют условиям I (/•',)> 2, 1(Фг )>2. Пусть, далее, база Р1 обладает жесткостью порядка 1> 1 в пространствеГ1 ¡. а каждый слон Ф обладает ж-есткостыо порядка I а пространстве Л,м/. Тогда поверхность обладает жесткостью порядка I в пространстве Яу.

Глава 5 (§§ 20-24) посвяшспа применению результаты глав 1-4 для выделения некоторых классом метрик, погружаемых в плоские пространства. В основном это классы метрик, конформных метрикам, которые погружаемы в эти пространства, и некоторые их расширения (например, искривленное произведение). В §20 доказывается погружаемость метрик, конформных погружаемым, с коэффициентами конформности специального вида. Пусть а'— //-мерное, п> 1, компактное с'-многообразие, г> !, //"' — плоское ///-мерное, ///>//, пространство с сигнатурой Л = (А1,..., А'") , (0;а ,,...,(!,„_,,ат) —аффинная система координат в //"', задающая сигнатуру А. Обозначим через Г/1"'1 координатное подпространство в П'" с системой координат (0;а n...,allll) и допустим, что задано С'-погружение z:X—> Пт~\ такое, что в каждой точке х еX вектор :,(.х) не изотропен. Обозначим через !(:.) — метрик)', индуцированную z, и положим Ы = J\z2\, n = min\z(x)!, b = max\z(x)\ . Дока-

11 VI ¡ .ve.V 1 1 .ve.V 1 1

зывастся

ТЕОРЕМА 20.1.1. Пусть f:[a,b/—>R, возрастающая фуик-

rr , • . , , i ;

ция класса С . Оля которой функция ¡n--;—Ч не/а,»/, возрастает.

w

Пела погружение z'X —.> П'"~' звездно относительно точки О <£z(X). то Оля всякого t е R, удовлетноряю/цего условию Ы < (Ьтах /') '. меш-

рика

(20.1)

R

С Г rrW

-погружаема а II .

Для конкретных сигнатур ограничения на функцию f и параметр /

могут быть ослаблены. Так, доказывается

ТЕОРЕМА 20.1.2. Пели С'-погружение z.'X —> Г!"' звездное

относительно точки О £ z( X), удовлетворяет условию z'A'" <0, то Оля

всякой монотонной функции /:[ а,/) / -> R класса Сг при J/| < ( niax\f\) '

I и-h/' '

метрика виОа (20./) С' -погружаема в //'".

В §21 дастся геометрический вариант теоремы об обратной функции.

ТЕОРЕМА 21.1.1. Пусть ¡'(X) связное подрасслоение расслоения S2X(X) римстовых метрик па п-мерпом, п > 2, компактном -многообразии X, содер.м-шцее, и качестве сечения метрику l(z) . где 7.:X —> Е С к'Л -погружение Хв ш-мериое евклидово пространство Е. к >2, 0 < Я < /, т>п. Пусть Р'(Х) производное расслоение. Допустим, что погружение ; ойладасш .псесткосшыо первого порядка в Е, и для каж-úou формы а е Ек,л(Х,Р'(Х) ) допускает б.м. деформацию в Е с öl(z) = ст. 7'огда ч С к,Х -топологии меицшка I(z) обладает в ЕА'Л(Х,Р(X)) окрестностью, из которой любая метрика С к">" -погружаема в Е.

В §22 результаты глав 2-4 и (¡21 используются в вопросе о погружаемости и евклидово пространство искривленного произведения метрик сфер. Результат представляет собою обобщение теоремы Г.Всйля о погружаемости метрики, близкой к метрике сферы. Пусть Х,,...,Хр — компактные односвязиыс С "-многообразия размерностей nl,...,n¡, соответственно, пс > 2, ¡: — 1,...,р, каждое из которых диффеоморфио сфере или ее части. Допустим, что на каждом многообразии Хс задана риманова метрика сферы ds"t.. lia произведении многообразий А' = X ,х...хХ р рассмотрим метрику dsl = ds"rv...+ds'p. Эга метрика называется произведением метрик ds} ,...,ds~. Для всяких функций (рс:Х —> R, £=],...,р, р>1, удовлетворяющих условию tpc(x)>0 Ух = (хх ) е X,

метрика ds" = (p,ds~,+...i-<p (Js'p называется искривленным произведением метрик dsj,...,ifs~ , а функции ip(рр — коэффициентами искривления. Пусть Е— евклидово пространство размерности n¡+...+np +р.

Основным результатом параграфа является

ТЕОРЕМА 22.1.1. Произведение метрик сфер dsl = ds] +...+ds2p

обладает в Е>'">1( X,S~ Т*( X) ) окрестностью (в С -топологии), из кото/ни'/ любое искриалсинос произведение этих метрик С -погруэ/саемо в Е, А >2, 0 < Л < /.

В §23 выводится система уравнений, которая может быть использо-иана в вопросах погружений метрик и плоские пространства и и вопросах однозначной определенности. Пусть Г1 —/«-мерное плоское пространство с сигнатурой Л = (А1 ), определяемой системой координат (0;а,,...,а 1П), А'— //-мерное, /<//</;/, гладкое многообразие. Обозначим

10 при ¡Í а,

, ¿у = /Г""*', а,т = /,...,/> = 1н-н.

А" при р = а,

Основным результатом параграфа является

ТЕОРЕМА 23.1.1. Пусть метрика ds2 е Е'(X,S 2ЛТ'(X)), г >2, и пусть za eCr(X,R), eCr~'(X,R) функции, удовлетворяющие системе уравнений {gradz",gradz^ + = А"11, rúe {*,*} ска/ярное произведение в метрике ds2, а,/3 = 1,...,///. г,сг = 1,...,р. по повторяющимся индексам ■ суммирование. Тогда отображение z:X —> II. определенное формулой z(.x) = z"(x)au. V.v бА'. является

Сг -погружением, иидуцирующнм метрику ds2.

В §24 результат !,i §§21, 23 используются в вопросе о погружаемости в /»-мерное евклидово пространство Е метрик, конформных метрике, погружаемой в Ее полем омбилических нормален. Точка х еХ называется омбилической точкой погружения z:X —> Г1 относительно поля единичных нормалей к, если найдется такое число !<(х) # 0, что вторая основная форма íl(v) погружения с относительно нормали v удовлетворяет в этой точке условию П( v) = !<(х)I(z) .Поле v называется полем омбилических нормалей погружения с (поверхности z(X)), если каждая точка х еХ является омбилической относительно к.

Примером (далеко не единственным) поверхности, обладающей полем омбилических нормалей является поверхность, лежащая па (т -1)-мерной сфере в Е. Доказывается

ТЕОРЕМА 24.1.1. Пели СА,л-погружение с;Х-> Е обладает жесткостью первого поржжа и полем омбилических нормалей, то метрика I(z) имеет окрестность в X(XJ) (в С-топологии). т

кошорой любая метрики, конформная 1(:.), Оонускаст С1' '"' -иоеру.иеепие. а ¡:.

В Заключении кратко формулируются основные результаты диссертационной работы:

1. Дано строгое описание основных поилтий, связанных с бесконечно малыми конечного порядка п аналитическими деформациями сечений векторных расслоений и их подраселоспий. Установлена связь аналитических н бесконечно малых конечного порядка деформаций рпмаповой или пссв-доримаповой метрики с соответствующими деформациями порожденной сю орбиты « расслоении локальных кореперо» па многообразии, форм локального корспсра, форм связности и форм кривизны.

2. Построена теория общих (т.е. без каких-либо ограничений на вид вариаций сечений тензорных расслоений ) аналитических и бесконечно малых деформаций конечного порядка погружений данного многообразия в плоское пространство. Для таких деформаций введены поля вращений, получены основные уравнения, доказан аналог основной теоремы и проведено исследование зависимости между основными уравнениями для погружений с высокими типовыми числами (получены аналоги теоремы Ал-лепдорфера).

3. С использованием результатов п.п. I, 2 построена теория бесконечно малых конечного порядка и аналитических изгибаний многомерных поверхностей с произвольной коразмерностью в плоском пространстве. Выделены решения основных уравнений, описывающие аналитические и бесконечно малые движения поверхностей в плоском пространстве. Доказан многомерный аналог теоремы Дарбу-Зауэра и получен ряд признаков жесткости и нсжссткостп различных порядков, а также аналитической неизгибаемости многомерных поверхностей как замкнутых, так и с краем при краевых условиях типа скольжения.

4. Продемонстрированы возможност и метода внешних форм в задачах о погружаемоеги метрик и деформациях погружений. С использованием потоков дс Рама развит аппарат обобщенного внешнего дпфференциро-

вания. Это почполило получить основные результаты в условиях пониженной гладкости.

5. Даны инвариантные определения норм сечений тензорных расслоений. Это позволяет использовать в задачах о погружаемости многомерных метрик и деформациях погружений средства функционального анализа. Получен геометрический аналог теоремы об обратной функции в терминах погружении метрик в евклидовы пространства и даны его приложения к проблеме о погружаемости метрик, близких к погружаемым. Получены многомерные аналоги теоремы Г.Всйля о погружаемости метрик, близких к метрике сферы. Выделен ряд классов метрик, погружаемых в плоские пространства с низкой коразмерностью.

Выражаю благодарность моим научным консультантам проф. С.Б.Климентов}' и проф. Ю.Ф.Коробейнику за неоценимую помощь при выполнении работы.

11УЕЛ11КАЦ1 II I НО ТЕМЕ Д11ССЕРТАЦИ11

1. Марков II.Е, О жесткости звездных внутрсиис-склсеппых поверхностен// Матем. заметки. 1977. Т. 22, №3. С. 321-333.

2. Марков П.Е. О бесконечно малых изгибаниях двумерной поверхности в четырехмерном плоском пространстве// Укр. гсом. сб. 1978. №21. С. 55-72.

3. Маркой П.Е. О деформациях поверхностей с сохранением площадей их подмногообразии//Тез. докл. иа 7 Вессогози. конф. по совр. иробл. геометрии. Минск. 1979. С. 119.

4. Марков 11.Е. Бесконечно малые изгибания некоторых многомерных поверхностей// Матем. заметки. 19S0. Т. 27, №3. С. 469-479.

5. Марков U.E. Бесконечно малые изгибания высших порядков многомерных поверхностей//Укр. гсом. сб. 1982. №25. С. 87-94.

6. Марков Г1.Е. Бесконечно малые изгибания одного класса многомерных поверхностей с краем// Матем.сб. 1983. Т. 121, №I. С. 48-59.

7. Марков П.Е. Об одном классе бесконечно малых изгибаний поверх-

<s.

У.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

и.к-к-п//Mir.. СКИЦ mil. 1<«.\№4. С. 22-25.

Маркой U.M. Ьеекопечно малые изгибании высших порядков многомерных поверхностей и пространствах постоянной кривизны// Mai ем. en. IOS7. 'Г. 13.1,^-1. Г. 6-1-85.

Марков П.К. О жесткости рпмапог.ых произведений// Тез. докл. на V Вссеоюзи. гсом. копф. Кишинев, I9S8. С. 204.

Маркой U.E. О бесконечно малых деформациях поверхностен с заданным изменением метрики// Тез. докл. па Всесоюзи. конф. по ico .метрип и анализу. Новосибирск, 19S9. С.52.

Марков U.E. Реализация метрик, близких к метрике произведения сфер// Тез. докл. пл Всссоюти. совещании молодых ученых по дифференциальной геометрии, поев. 80-лсттпо М.В.Пфнмова. Росгов-иа-Допу, 1990. С. 65.

.Марков П.Е. О погружении метрик, близких к погружаемым// Укр. гсом сб. 1992. №35. С. 49-67.

Марков Г1.Е. О погружаемости многомерных метрик-, конформных погружаемым// Тез. докл. па Вссрос. школе-коллоквиуму по стохастическим методам геометрии и анализа. М., 1994. Марков П.Е. О погружении одного класса метрик, конформных погружаемым// Изв. вузов. Ссвсро-Канк-азскнп регион. 1995. №3. С. 3-S. Марков П.Е. Об одной системе уравнений теории общих аналитических и бесконечно малых деформации погружении// Тез. докл. па Междупар. конф. но геометрии "в целом". Черкассы, 1995. С.56-57. Маркой П.Е., Шаповалова J1.1I. Об одной системе уравнений теории изометрических погружении// Изв. вузов. Северо-Кавказский регион. 1995. №2. С. 13-17.

УПД РГУ. Зак. 12 1. Т -100. 6.05.96.

2,1 уч.-изд. л.