Предельные распределения сумм зависимых случайных величин и векторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Г I и у «

р лад МЯ7

йШНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И ПАУКИ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский государственный университет

УДК 519.240

Юдин Михаил Дмитриевич

ПРЕДЕЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СУММ ЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ВЕКТОРОВ

01.01.5 7 теория вероятностей и математическая статистика

Автореферат 0

диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Минск - 1996

Работа выполнена в Мозырском государственном педагогическом институте.

Официальные оппоненты: Доктор физико-математических наук Анисимов В.В. (г. Киев). Доктор физико-математических наук Залесский Б.А. (г. Минск). Доктор физико-математических наук Рыков В.В. (г. Москва).

Оппонирующая организация: Санкт-Петербургское отделение Математического института имени В.А. Стеклова РАН (г. Санкт-Петербург).

Защита состоится «S~» февраля 19Spfr. в 10 4t. job на заседании Совета по защите диссертаций Д 02.01.08 при Белорусском государственном университете (220050, г. Минск, пр. Ф. Скорины 4).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Белорусского государственного университета.

Автореферат разослан »января 1997 г.

Ученый секретарь Совета

доцент

\

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИИ Актуальность темы. Диссертация посвящена решению центральной предельной проблемы теории вероятностей (ц. пр. п.) для сумм зависимых случайных величин и векторов. Решение этой проблемы вызвано необходимостью математического обеспечения исследований случайных процессов с зависимыми приращениями. До появления работ автора эта проблема была довольно хорошо изучена только для независимых случайных величии.

Практически все наблюдаемые реальные случайные процессы являются процессами с зависимыми приращениями. Такими оказываются процессы, наблюдаемые в метеорологии, гидрологии, радиофизике, экспериментальной физике, технике связи, различных деформациях, диффузиях и т. д.. Независимость данных — очень редкое явление в природе, хотя и является удобной математической абстракцией, относительно упрощающей математические выкладки теории. "

Например, во многих^ работах физиков-экспериментаторов были получены многовершинные экспериментальные плотности вероятностей, при этом констатировались лишь результаты измерений, без какого-либо вероятностного моделирования. Только появление результатов, приведённых в данной диссертации, позволило теоретически обосновать появление подобных плотностей, путём математического моделирования. Это дало, в частности, новые характеристики исследуемых явлений, позволило решать вопросы прогнозирования.

Новые научные результаты. В отличие от прежних результатов, полученных Колмогоровым, Хинчикым, Леви и др. для сумм независимых величин, в диссертации ц. пр. п. теории вероятностей решается для сумм зависимых величин. Показано, что при довольно естественных ограничениях зависимости, класс предельных распределений сумм равномерно

г

бесконечно малых зависимых величин совпадает с классом безгранично делимых распределений. Указаны условия сходимости распределений сумм зависимых величин к каждому представителю этого класса.

Для решения , проблемы в диссертации вводится и изучается обобщеннее на случай зависимости характеристики систем случайных величин.

Найдено отражение зависимости между величинами на предельном распределении их сумм.

Логарифм х. ф. предельных распределений сумм зависимых величин выражен по формулам, обобщающим формулы Колмогорова и Леви-Хинчина. Приведены примеры применений этих формул, подчёркивающие существенное влияние зависимости на предельных распределениях. Реыение ц. пр. п. для независимых слагаемых становится в определённом смысле частным случаем.

Распределения сумм зависимых величин аппроксимируются безгранично делимыми распределениями, представленными по обобщённым формулам Колмогорова и Леви-Хинчина, что оценку скорости сходимос-ти^распределений сумм зависимых величин сводит к оценке скорости сходимости распределений сумм одинаково распределённых независимых величин.

На базе теоретических результатов диссертации моделируются некоторые случайные процессы деформаций, разрушений и диффузий, независимость рриращений которых не предполагается.

Практическая ценность и реализация результатов. Основные теоремы диссертации содержат легко проверяемые в прикладных задачах условия (которые, как правило, выполняются), поэтому достаточно найти в каждом случае спектральную функцию Колмогорова или Леви-Хинчина и соответствующий предел суммы ковариаций, чтобы получить прг моделировании нужное распределение. Часто поступают наоборот: комшло-

терпим варьированием подгоняют теоретическую плотность, для случая зависимости, к экспериментальной, тем самым определяя параметры предельного распределения.

Физики уже активно начали использовать результаты работ автора. Так в Мозырском пединституте успешно использована теоретические результаты предлагаемой диссертации при моделировании процесса развития клиновидных двойников в металлических кристаллах.

Публикации: По теме диссертации автором опубликованы монография (в форме учебника, что облегчило издание) "Сходимость распределений сумм случайных величин" й 34 научные работа (на август 1996г.) в основном в общесоюзных (общеэсэнговских) и республиканских журналах. Из них три работы написаны в соавторстве, одна из работ — тезисы (входит в число трёх — в соавторстве). Многие статьи автора переведены и переизданы в США.

Весь материал диссертации содержится в опубликованных работах, но не все опубликованные автором результаты по данной теме вощлй в диссертацию.

Начиная с 1980 г. полученные ранее и вновь получаемые результаты по теме диссертации автором регулярно докладывались на спецсеминаре по теорий вероятностей, работающим под руководством профессора Г.А. Медведева при БГУ, а пкже на расширенных заседаниях кафедры ТВ и МС БГУ.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕР1АЦИИ

Диссертация состоит из 6-ти глав, введений, выводов и списка использованных источников, бсновньши ограничениями зависимости берутся пь-записимость и условие равномерно сильного перемешивания (р.с. п!).

В первой главе даётся обзор р»ультатов исследований Других авторов по предельным теоремам для сумм зависимых случайных величин,

ч

Рассматриваются различные виды ограничений зависимости. Вводятся и изучаются обобщённые для случая зависимости функции-характеристики.

А именно, {£„}"„, , п-1,«), — система серий зависимых случайных величин, Sn(M1) = 4„(1+1)+...Нш» • Л*™ — о - алгебра, порождённая Ç». Вводятся функции

fM(t,= Ф„Л0 = М(ейИи(1,Мм)),.

M^expitS,^)

п

изучаются свойства этих функций. В частности, <pn(t) = П'РмСО • где

фо(0 — х. ф. суммы Sn=Sn(o^). Даются условия, в которых логарифм предельной х. ф. суммы So в случае ограниченны?1 дисперсий представляется по формуле

V(t) = f(eiu-I- itx)-Ld Л(1,х) + ita(t), (I)

*

где y(t,х) = HmtM(^J»(t, А/м>^ <х), a(t) = lim¿м(?мГм(1,Л/м)), и в случае неограниченных-дисперсий — по формуле

V(t) = ffeiU-l-+ ita(t), (2)

LS 1 + xV x

где

Ç(t,x) = limiMÎ--%-fIB(t,MM);4M ¿xl <x(t) = Iim¿M[-%-ful(t,MM)].

Формула (1) — обобщение формулы Колмогорова, (2) — Леви-Хиичина, полученных ими для независимых слагаемых.

Во второй главе ц. пр. п. теории вероятностей решается для зависимых величин в случае ограниченных дисперсий. В частости, доказывается

Теорема. Пусть система серий {sM}"i • п = !,«>, удовлетворяет условию р. с. п., коэффициент которого р(х) = о^т"1"'^ е>0, найдутся постоянные Н,, Н2 и п0 такие, что при п>п0

2 Н, и I H2h(n)

шахМ^м <—<— • п 1 1 а

где 0<|r-s|<kn=[nl/4-p/2], 0<q-s<[n^2], 0<р<^^, h(n) - медленно меняющаяся функция. Тогда, если при п—кю

£м(Х^1 хи <х)-2Ь->К(х), £МХЫХ^ -»а,

И V '

то сумма Sn будет иметь безгранично делимое предельное распределение, логарифм х. ф.которого

4/(t)=f(eiu-l-itx)-LdK(x)-^-. й (3)

Аналогичная теорема доказывается для случая mn = j^moii^ Р —

зависимости, где ш0 — любое постоянное число, 0 < р < —. Даются различ-

8

ные вариации подобных теорем.

Формула (3) — обобщение формулы Колмогорова на случай зависимости слагаемых. В одном из разделов второй главы даются различные примеры применения формулы (3).

Показывается, что представление (3) можно записать в виде

440 = | (elu -1 - itxJ-LdK(x) - Sil, (4)

-в ^ ^

где из области интегрирования исключён нуль, а

а2 =1т1|т2:мМ»; ^»ММ"6)-

причём, суммирование ведётся при 0<|$-р|5кп в случае р. с. п. и 0<|$-р|<тп в случае тп - зависимости.

Формула (4) — также обобщение формулы Колмогорова. В третьей главе ц. пр. п. теории вероятностей решается для случая неограниченных дисперсий.

Пусть , п = 1,°о, система серий случайных величин, суще-

ствование м. о. которых не предполагается, аш = М(ХЮ;|ХШ1|<; т), т>0,

^ Н й т, Г)ш -Хи -аи, Мм — о -алгебра,

п

порождённая Хш, 8П = £г|м • Доказывается «»1

Теорема. Пусть система серий п=1,оо, тп = т0п"8~р-

зависимая, 0<р^1/8, то - любое постоянное число, кроме того, найдутся постоянные т>0 и п« такие, что при Н>т и п>Ло будут выполняться условия:

5иршахР{Х_>>Н/Мш}<^, р,» 1 ^ ' п

, Н,Ь(п) .___, Н2Ь(п)

тахМт!,,, <-тахМтпрт1пгг|ш 2—,

• п ад 1 ^ 1 п

где 0 < |г - 5 [т0п1/4~р ], 0 < |р - в] < [т0п1/4"р], Ё(П)->0 при Н -V», Н) и Н2 — постоянные, могущие зависеть от Н. Тогда если

¿м{—пЦ_;11 < Д-!^^ Нт Нт ¿М—= а,,

Хм —

Хш

о,

|Х

1!т£М(т1„11пч;|Хм|£1,|Хт1|<'1) = а2, где |а, + 1а2|<«>, то сумма Бп будет

иметь безгранично делимое предельное распределение, логарифм х. ф. которого

Ч<0 = [+ (5)

Аналогичная теорема доказывается для случая р. с. п, коэффициент которого Р(ч) = е>0. Рассматриваются различные вариации по-

добных теорем. В частности, приведена теорема без ограничений условных вероятностей.

Показано, что представление (5) можно записать в форме

^-'-ттй^м^'-2?' <6)

из области интегрирования исключён нуль,

о2 ^НшНш^М^^т],^;!^,,,!^ 6,1^1 <е|, причём суммирование ведётся при

0<|г-р|<шв , в случае тп - зависимости, и 0<|г-р|<кп , в случае р. с. п.

Формулы (5) и (6) — обобщения формулы Леви-Хинчина. Даны примеры применений формул (5) и (6), в частности, для нормированных величин.

В четвёртой главе х. ф. сумм зависимых величин аппроксимируются безгранично делимыми х. ф., оценивается модуль разности между соответствующими функциями распределения (ф. р.). Тем самым, оценка скорости сходимости сумм зависимых величин сводится к оценке скорости сходимости суммы одинаково распределённых независимых величин. Так в случае существования м. о. величин , тп=[ш0п|/8-р] - зависимости,

0<р<1^ , х. ф. суммы М^п.=0, аппроксимируются х.ф.

ехрц/п0), где

= i (eilI-l-itx)^fd'Fn(x),

2 W^ x

0<|i-p|sm„ i

1 2

—+-p

0<sn <cn 2 3 . Если exp\|/n(t)eL, то d условиях, аналогичных условиям

теорем главы 3, получены оценки:

^(O-exp^OlsJ^,

п.

где B(t) — многочлен второй степени относительно t с коэффициентами, разве лишь убывающими с ростом п, и если Fn(x) — ф. р. с х. ф. expvj/n(t), Gn(x) - - ф. р. суммы Sa и F'(x)<:N, то sup|Fn(x) - Gn(x)| < сп"|/8ф'2.

Аналогичные оценки находятся для случая ограниченных дисперсий и случая неограниченных м. о.

Пятая глава посвящена решению ц. пр. п. теориг вероятностей для сумм зависимых случайных векторов.

Пусть =^21 j — d - мерный случайный вектор, s = I,n, n = l,«>, t=(ti,..., td), x=(xi.....xj) (x,t) — скалярное произведение, матрица в„=|| bn(ij)!i. ьа(Ц)= £ в ^У436 зависимости.

Доказывается, что в случае ограниченных дисперсий в условиях, аналогичным условиям теорем главы 2, предельное распределение суммы

a

Sn ~ , = 0, будет безгранично делимым, логарифм х. ф. которого

ы

-2

где К(х)= Нт£М(£м;4га ¿х), В = НтНтВп, I — вектор-столбец, а из об-

ласти интегрирования исключен нуль-вектор.

В случае неограниченных дисперсий логарифм предельной х. ф. получен в форме

где, при покоординатном усечении векторов Хш и покоординатной центрированности (см. стр. 6): Т1ш = Хга -а1м\ г|ю =(г|м.—.Т1и ).

Ч'(х) = Нш ИП1 ^М

( Л

п < х

—2 ' Пю -А

П Т1

, А= Иш ПтУМ—¡зу-, В — предел I +

ч1 + П

той же матрицы, что и в (7), но для векторов г)«.

Аналогичные представления даны при выполнении условия р. с. п..

В шестой главе на базе теоретических результатов, полученных в главе 2, моделируются некоторые процессы деформаций, разрушений, диффузий. К экспериментальным плотностям вероятностей путём компьютерного моделирования подобраны соответствующие теоретические плотности, параметры которых дают новые характеристики исследуемого материала.

ВЫВОДЫ

Автором диссертации получены обобщения известных формул Колмогорова и Леви-Хинчина на суммы зависимых случайных величин, векторов.

В диссертации показано:

1. При естественных ограничениях зависимости между случайными величинами, векторами, в общих условиях, обеспечивающих их равномерную бесконечную- малость, предельные распределения сумм случайных пеличин, векторов, принадлежат классу безгранично делимых распреле-

пений. Логарифмы х. ф. предельных распределений определяются обобщёнными формулами Колмогорова и Леви-Хинчина.

2. Зависимость мследу случайными величинами, векторами, отражается в предельных распределениях их сумм появлением, вообще говоря, дополнительного нормального компонента, порождаемого корреляцией слагаемых.

3. Для нахождения предельных распределений сумм зависимых случайных величин, в условиях основных теорем диссертации, достаточно найти х. ф. предельного распределения суммы, предполагая, что сла-

гаемые независимы, затем умножить полученную х. ф. на ;хр

г 1 < аг

2 |.гдеа

— предел суммы копариации слагаемых, или их усечении, в случае неограниченных дисперсий. Аналогично для сумм зависимых векторов.

4. При а>0 корреляция слагаемых "сглаживает" предельные распределения их суммы. При а>0 все предельные распределения сумм случайных величин абсолютно непрерывны. Аналогично для сумм зависимых случайных векторов.

5. Распределения сумм зависимых случайных величин аппроксимируются "сопровождающими" безгранично делимыми распределениями, определяемыми при конечном числ¿слагаемых, "промежуточными" обобщёнными формулами Колмогорова и Леви-Хинчина, что, в частности, сводит нахождение скорости сходимости распределений сумм зависимых

к •

величинк-нахождению скорости сходимости распределении сумм независимых одинаково распределённых величин.

Результаты диссертации дают доступный математический аппарат

для моделирования реальных случайных процессов, как линейных, так и

»

многомерных, т. е. процессов с зависимыми приращениями.

Результаты исследований по теме диссертации автором опубликованы в работах:

Характе ристика Публикация

1 2

1. Юдин М. Д. Сходимость распределений сумм случайных величин. - Минск, "Университетское", 1990. - 254 с.

2. Юдин М. Д. Предельная теорема для сумм зависимых случайных величин// Изв. вузов, Математика. - 1962, № 1. - С. 172-177.

ЗЛОднн М. Д. О предельных распределениях сумм зависимых величин// Изв. вузов, Математика. - 1968, N9 2. - С. 114-121.

4. Юдин М. Д. О пуассоновском распределении сумм зависимых величин// Изв. вузов, Математика. - 1970, № 9. - С. 106-113.

5. Юдин М. Д. О центральной предельной проблеме теории вероятностей дня сумм зависимых случайных величин// Сб. "Теория вер. и матем. статистика", Киев. - 1972, № 4. - С. 195-211.

6. Юдин М. Д. О предельных распределениях сумм случайных величин, удовлетворяющих условию перемешивания// Изв. вузов. Математика. - 1973, № 3. - С. 112-118.

7. Юдин М. Д. Об обобщении формул Леви-Хинчина и Колмогорова на суммы Дп}-зависимых величин// Труды объед. матем. кафедр пединститутов центр, зоны РСФСР, Иваново. -1973, т. 2, вып. 2.-С. 191-204.

8. Юдин М. Д. О предельных законах для сумм слабозависимых величин с конечной дисперсией// Изв. вузов, Математика. - 197.,, № 5. - С. 113-114.

9. Юдин M. Д. Об обобщении формулы Леви-Хинчина на суммы величин, удовлетворяющих условию переме-шивания// Сб. "Случайные процессы и статистич. выводы", Из-во "ФАН", Ташкент,- 1975, вып. 5. -С. 187-198.

Ю.Юдин М. Д. Применение обобщённой формулы Леви-Хинчина к суммам нормированных величин// Сб. "Предельные теоремы и матем. статистика", Из-во "ФАН", Ташкент.-1976.-С. 177-181.

Румыния 11. Юдин М. Д. О решении центральной предельной проблемы теории вероятностей для сумм Г(п)-эависимых величин// Rev. Roum. Math. Pures et Appl. - 1976, т. XXI, № 10. - С. 13351346.

12ЛОдин M. Д. Примеры применения обобщённой формулы Колмогорова к суммам зависимых случайных величин// Изв. вузов. Математика. - 1980, № 9. - С. 65-70.

Румыния 13. Юдин М. Д. О решении центральной предельной проблемы теории вероятностей для сумм случайных величин, удовлетворяющих условию перемешивания// Rev. Roum. Math. Pures et Appl. - 1980, т. XXV, № 8. - С. 1249-1257.

14. Юдин M. Д. О сходимости распределений сумм зависимых случайных величин к нормальному закону// Изв. АН БССР. -Сер. физ.-мат. наук. - 1981, № 1. -С. 54-58.

15. Юдин М. Д. О скорости сходимости распределения суммы Г(п)-зависимых случайных величин к нормальному закону//

Изв. АН БССР. - Сер. физ.-мат. наук. - 1981, № 3.-С.57-60. «

Три 16. Башмаков В. И., Чикова Т. С., Юдин М. Д. Распределение соапг. трещин по размерам в кристаллических телах// ДАН БССР. -1983, т. XXVII, № 4. - С. 326-328.

Три 17. Башмаков В. И., ЧиковаТ. С., Юдин М. Д. Роль стопоров в соавт развитии клиновидных двойников в металлических кристал-Деп. лах// Деп. Изв. АН БССР. - Сер. физ.-мат. наук. - 1983, № 6. -С. 113. Рег.№2728-83.

18. Юдин М. Д. О скорости сходимости распределения суммы слабо зависимых случайных величин// Изв. АН БССР. - Сер. физ.-мат. наук. - 1984, № 2. - С. 44-52.

19. Юдин М. Д. О предельных распределениях сумм зависимых случайных величин с неограниченными дисперсиями// ДАН БССР.-1984, т. 28, № 6. - 496-498.

Деп. 20. Юдин М. Д. Сходимость распределений сумм зависимых

случайных величин в пуассоновских условиях в случае неограниченных дисперсий// Деп. Изв. АН БССР. - Сер. физ.-мат. наук.-1984, №3.-с.115. -Деп. в ВИНИТИ, рег.№4421-83. Деп. 21. Юдин М. Д. Центральная предельная теорема для зависимых случайных величин в случае неограниченных дисперсий// Деп. Изв. вузов. Математика. - 1984. Рег. № 898-84

22. Юдин М. Д. Об обобщениях формул Колмогорова и Леви-Хинчина на суммы зависимых величин// ДАН БССР. - 1986, т. 30, №1.-С. 29-31. Деп. 23. Юдин М. Д. Об аппроксимации распределений сумм тп-зависимых случайных величин распределениями из класса IЛ Деп. Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. наук. - 1987, № 4. - С. 117. Рег. № 3587- Вж. 19.05.86.

24.10дин М.Д. Замечание к аппроксимации распределений сум-суммы зависимых величин безгранично делимыми распрде-лениямн//Изв.АН БССР. Сер. физ.-мат. наук.-1987,№2. - С. 38-41.

25. Юдин М. Д. О скорости сходимости распределений сумм зависимых случайных величин// Киев: Сб. "Теория вероят. и матем. статистика". - 1989, № 41. - С. 120-125.

26. Юдин М. Д. К уточнению условий сходимости распределений сумм зависимых случайных величин// Изв. вузов. Математика,- 1989, № 10. - С. 87-89.

27. Юдин М. Д. К аппроксимации распределений сумм независимых величин распределениями из класса IV/ Изв. вузов, Математика. - 1989, № 4. - С. 83-88.

28. Юдин М. Д. Об аппроксимации распределений сумм зависимых случайных величин распределениями из класса 1Л Весщ АН БССР. Сер. фп.-мат. навук. - 1991, № 1. - С. 35-41.

29. Юдин М. Д. Сложное пуассоновское распределение в теории деформаций и разрушений// Изв. вузов. Математика. -1993, № 6.-С. 62-64.

30. Юдин М. Д. Один подход к моделированию диффузионного процесса// Весщ АН Беларусь Сер. ф]з.-мат. навук. - 1994, №2-С. 58-60.

31. Юдин М. Д. О решений центральной предельной проблемы теории вероятностей для сумм зависимых векторов// Весщ АН Беларусь Сер. ф1з.-мат. навук. - 1994, № 3 С. 31-35.

32. Юдин М. Д. Об обобщении формулы Леви-Хинчина на суммы зависимых векторов// Изв. вузов. Математика. - 1996,

Резюме

Юдин Михаил Дмитриевич. Предельные распределения сумм

зависимых случайных величин и векторов.

Ключевые слова: случайная величина, случайный вектор, зависимость, распределение, характеристическая функция, перемешивание, математическое ожидание, дисперсия, ковариация, предельное распределение, безгранично делимое распределение, аппроксимация.

В диссертации решается центральная предельная проблема теории вероятностей для сумм зависимых случайных величин и векторов. Получены обобщения формул Колмогорова и Лепн-Хинчина. Эти обобщения содержат отражение зависимости случайных слагаемых на предельном распределении их сумм.

Показано, что предел суммы ковариаций играет в предельном распределении сумм случайных величин не меньшую роль, чем пределы сумм дисперсий и математических ожиданий, поставляя в предельное распределение , вообще говоря, сглаживающий нормзпьный компонент.

Путём аппроксимации распределений сумм зависимых величин безгранично делимыми распределениями, задача оценки скорости сходимости распределений сумм зависимых величин сводится к оценке скорости сходимости распределений сумм одинаково распределённых независимых величии. .

Результаты диссертации позволяют моделировать одномерные и многомерные случайные процессы с зависимыми приращениями.

Приведены примеры применений обобщённых формул Колмогорова, Лсви-Хинчина и моделирования случайных процессов с зависимыми приращениями.

16

Summary

Yudin Michail Dmitrievich. Limit distributions of sums of dependent random variables and vectors.

Key words: random variable, random vector, dependence, distribution, characteristic function, mixing, matematic expectation, dicpersion, covariation, limit distribution, infinitely divisible distributions, approximation.

The research is devoted to solving the central limit problem of the sums of dependent random variables and vectors. The generalization of Kolmogorov's and Ley-Khintchine's formulas is received. This generalization contains the reflection of random items dependence on the limit distribution of their sums.

It is shown in the dissertation that the limit of covaritations sum plays such a role in the limit distribution of random variables sums that i_ not less thet the one of the limit sums of dispersions and mathematic expectations. The limit of covariations sum sends a smooting normal component to the limit distribution.

By means of approximation of distribution of dependent variables sums by infinitely divisible distributions the task of estimation of the rate of

convergence of equally distributed independent random variables sums. " *

The results of the research allow to model one-dimentional and multidimentional stochastic processes with dependent increments.

The examples of generalized formulas of Kolmogorov and Levy-

Khintchine use and of modelling stochastic processes with dependent

«

increments are given.

п

Рэзюме

Юдзш М1хаш> Дэмпгрыеш'ч. Л1М1тавыя размеркавашп сум залежных выпадковых ветчьшя? 1 вектара^.

Ключавыя словы: выпадковая вел1чыня, выпадковы нектар, залежнасць, размеркаванне, характарыстычная функцыя, перамешванне, матэматычнае чаханне, дысперая, каварыяцыя, пш1тавае размеркаванне, бясконца дзяш'мае размеркаванне, апракамацыя.

У дысертацьи рашаецца цэнтральная л1мггавая праблема тэорьн ¡мавернасцей для сум залежных выпадковых вел1чыняу 1 вектарау. Атрыманы абагульненш формул Калмагорава 1 ЛевьХшчына. Гэтыя абагульненш змяшчаюць адб^ванне выпадковых скпадшкау на л1мггавым размеркаванш 1х сум.

Паказана, што л1м1т сумы каварыяцый адыгравае у Л1м*1тавым размеркавашп сум выпадковых ветчыняу не меньшую ролю, чым лшгты сум дысперсШ 1 матэматычных чаканняУ, паста^ляючы У л1мггавае размеркаванне, навогул кажучы, згладжвальны нармальны кампанент.

Шляхам алрахамацьп разнеркавання сум залежных везпчыняу бясконца дзял1мым! размеркаваншнп, задача ацэгаа хупсасщ збежнасщ размеркавання сум залежных вешчыняу зводнцца да ацэньа хуткасщ збежнасщ размеркавання^ сум аднолькава размеркаваных незалежных вел1чыня^.

Вынш дысертаць» дазваляюць мадэляваць аднамерныя 1 шматмерныя выпадковыя працэсы з залежным1 прыросгамь

Прыведзены прыкпады прымянення абагуленых формул Калмагорава, Левь'Хшчына 1 мадэляванне выпадковых працэсау з залежным} приростам!.