Предельные соотношения для частных производных волновых потенциалов и приложения их к задачам теории упругости и гидродинамикм тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ НАУК КЬРГНЗСКОИ РЕСПУБЛИКИ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

Р Г Б ОД Специализированный совет Д 01.9В.08

На правах рукопноя

1ШГУН0В ШЛИ ИЛЬ ДАВЛЕТОВИЧ

ПРЕДЕЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ волновых ПОТЕНЦИАЛОВ И ПРИЛОИЕНИЯ ИХ К ЗАДАЧАМ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ И ГИДРОДИНАМИКИ

01.01.03 - математическая физика

Автореферат диооаргации на соисгсаииэ ученой степени доктора физико-математических наук

Бишкек - 1994

Работа выполнена в лаборатории вычислительной математики Института математики HAH Кыргызской Республики

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор А.Я.Сагомонян, член-корр. HAH Кыргызской Республики, доктор физико-математических наук, профессор В.П.Кочергин, доктор физико-математических наук, Р.Рафатов,

Ведущая организация: Институт прикладной математики -РАН ш. М.В.Келдыша.

Защита диссертации состоится " LL. ЧЩарЛлш г. в |^часов на заседании Специализированного совета Д 01,93.08 по присуждению ученых степеней доктора и кандидата наук в Институте математики ПАН Кыргызской Республики,

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке HAH Кыргызской Республики,

Автореферат разослан " "DKt4&(ft7A 1994 г.

Отзывы на автореферат просим присылать по адресу: 720071« г. Бишкек - 71, Проспект Чуй, 265 "А", Институт математики HAH KP, Специализированный совет Д 01,93,08

Ученый секретарь Специализированного Совета, кандидат физико-математических наук,

старший научный сотрудник Л} С, Искандеров

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТН

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕИН. Ряд важных цаучка-тахничесних проблеа связан с исследованием распространения волн в сплошных средах, о расчэтом кратковременных интенсивных нагрузок на различные инженерные конструкции я аппараты, с исследованием явлений удара тверцих тел о повеохность снимаемых сред и проникания в них т.д. Многие из таких проблем можно решать, как показывает опыт, з райках линейний динамической теории упругости и линейной теории движения идеальной сличаемой жидкости. При атом применяются числеи-ина, аналитико-численннз и аналитические иетоцы современной иатэ-изтячасиой физики.

Разноспша методы применяли к решению наетационарннк задач линейной теории упругости С.К. Годунов, B.C. Рябенький, А.Н. Концов, Д. Поттер, Р. Рихтмайер, К. Нортон, А.Ы. Сдобезв, В.Н. JIou-бардо, У.К. Нигул, Л.Fl. Повериус, Р.!С. Ряяиат и другие.

В работах D.H. Нунуцланова, П.5. Сзбоцам изложена обцяя схема метода пространственных характеристик.

Приближенный метод конечных элементов успешно применялся в решению динамических задач твердого тала в работах В.Л. Аськова, H.A. Константинова Л.В. Сапояникоза, П.Г. Коротких, А.И. Рузано-ва, Ti.К. Родина, В.В. Курозцова, В.П. Болдырева и других.

Метод потенциала с использованием обобщенной фор |улц Сомиль-яиы для решения линейных задач динамической теории упругости и метод граничная элементов получил развитие а работах А.Г. Угодча-кора, Н.М. Хуторлнского, В.В. Гурилова и других авторов.

Большое количество работ посвящено аналитическим и аналитика -численныи метода« рвиения линейных динамических пдач о движении снимаемых ^рэд. Широкое применение получил катод интегральных преобразований. Отметим в этой связи работы В.З. Партона, Х.А. Рахматупина, Б.В. Коотрова, В.П. Поручикоаа, И.Г. Филиппова, В.Р. Чебан, А.О. Егорнчева.

В работах Х.А. Рахматулина, А.П. Сагомоняна, В.Д. Кубенко, В,В, Поручикова, A.A. Коробнина, И.Г. Филиппова и других исследованы задачи о движении линейно сжимаемой жидкостй о применение« аналитических и еналитико-чивлвниих методов.

Асимптоточеспим методам посвяцена фундаментальная работа

В.Д. Бабича В.С, Вулцырева,

В заключение беглого обзора применяемых методов решения рассматриваемых задач, отметим, что аналитическими методами решается узкий круг задач. Основное большинство задач решается чиоленными методами. При этом успех применения того или иного метода зависит от специфики рассматриваемых задач. При решении посредством ЭВМ задач с больвими градиентами для искомых величин и сложными граничными условиями приходится часто сталкиваться в практическом плане с проблемой устойчивости и сходимости метода, а такяе -економиа мавинного времени и рационального использования оперативной памяти ЭВМ. Поэтому вопрос о создании метода решения начально-краевых задач о движении слимаемых сред, являющийся адекватным существу рассматриваемых механических явлений и позволяга-«ий решать указанные вине проблемы, является весьма актуальным.

ЦЕЛЬЮ РАБОТЫ является разработка метода решения начально-краевых задач линейной нестационарной теории упругости и динамики олабо снимаемой яидкости, основанного на сведении указанных задач к таковым для волновых уравнений и применении теории запаздывающих потенциалов. \ 'МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ основан на возмоиности представления смещений в упругой среда через частные производные потенциалов смещений, а такка - на известном факте, заключающемся в том, что потенциалы смещений в линейной упругой среде и давление, компонента скорости, потенциал скороотей для олабо сжимаемой идеальной ниц-кости удовлетвворяют надлеяащим волновым уравнениям. Для этих волновых уравнений устанавливаются начальные и граничные условия. Решения ке их отыскиваются в вице запаздывающих потенциалов, которые, пак извеотно, удовлетворяют соответствующим волновым урав-. пениям при условиях общего вида для плотностей потенциалов. Вопрос таким образом сводится к определению плотностей волновых потенциалов, обеспечивающих выполнение начальных и граничных условий. В граничные условия входят волновые потенциалы и их частные производные. Поэтому прежде всего устанавливаются предельные со-отновения для частных производных первого и второго порядка по геометрическим переменным запаздывающего потенциала простого слоя я таковые для запаздывающего потенциала двойного слоя и его частных производных nej5$oro порядка для Случая, когда точка, от

- б -

которой зависит интеграл, распространенный по граница трехиэрной области и представляющий волновой потенциал для точек вне гракя-цц, стремится н точяэ границы. С использованием этих граничны* соотношений начально-краевые задачи сводятся к систеиаи интэгро-дифференциалних уравнений цлп плотностей волновых потенциалов.

Для выведенных указании« образом интегро-дифференциалниг уравнений характерно наличие запаздывания, проявляющееся в том, что значения искомых величин в данный иоиенг времени я данной точка границ« рассматриваемой области полностью определяются ах значениями в предыдущие моиенти времени во всех точках граница. Это обстоятельство в сочетании с малы« параметром, появляющийся при выводе предельных соотношений для частных производных второго порядка волнового потенциала простого слоя, позволяет разработать, эффективный численный ыегод решения указанных систем уравнений.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Основой разработанного метода решения начально краевых задач о цвияеини физически и геометрически линейных изотропных сред являются предельные соотношения для частных производных волновых потенциалов. При зтон предельные соотношения для волноввого потенциала двойного слоя, а такие - для частных производных первого порядка волнового потенциала простого слоя известии. Они иогут быть выведены тем же способом, который используется при выводе предельных соотнесений для соответствующих ньютоновых потенциалов. Работы па, в которых выводят^,! предельно соотношения для частных производных второго порядка потенциала простого слоя и частных производных первого порядка потенциала двойного слоя, автору не известны.

Вывод всех упомянутых выше предельных соотчоианий производился согпасно единой методике. При этом на испол зовалось понятие телесного угла, как ото принято в теории ньютонова потенциала.

В работе приводятся общие схемы сведения краевых задач рассматриваемого типа к системам интэгро-диф^эренциальиых уравнений. Применителмш к конирзтлыи задачам динамической теории упругости и динамики слае'о.снимаемой жидкости излояап ях вывод а численный нетод решения.

ОСНОВННЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ. 1, Установлены ирепйлмшэ соотношения для частный произвеп-

ных волновых потенциалов для случая, когда пространственная точка, от котооой зависит интегрзл, распространенный по границе конечной трехмерной области и представляющий волновой потзнцичл, стремится к точке границы. Предельные соотношения выведены для частных пооияводных первого и второго порядка по геометрическим переменным волнового потенциала простого слоя, а татсяе - для потенциала двойного слоя и его частных производных первого порядка. Работы, выполненные ранее, в которых содержится вывод предельных ооотнопений для частных производных второго порядка потенциала простого слоя и частных производных первого порядка потенциала двойного слоя автору данной диссертации неизвестны.

2. Разработана общая екеча сведения краевых задач динамической теории упругости к системам интагро-цифферзнциапышх уравнений. Она основана на поедсгавлэнии потенциалов смещений в упругой среде посредством волновых потенциалов простого слоя и последующем использовании продельных соотношений для частных производных потенциала.

3. С применением указанной общей схемы исследованы осесим-метрические задачи о распространении упругих волн в полупространстве, вызванных нагрузкой, прикладываемой к его границе. Рассмотрены задачи: о вдавливании абсолютно твердого тела вращения в упругое полупространство, о вдавливании в упругую среду указанного вида тела при одновременном его вращении вокруг своей оси симметрии, о проникании в глубь полупространства давления, распространяющегося вдоль его границы. Эти задачи решаются в рачках единой схемы, применяемой я задаче обобщающего типа, включающего в себя как частные случаи перечисленные три задачи.

Задача обобщающего типа сведана к системе интегро-дифферен-циальных уравнений согласно общей схеме. Разработан численный мэ-тот, решения этой системы уравнений, в котором используется ее специфика, заключающаяся в факторе запаздывания по времени. Этот нигод представлен в виде алгоритма численного решения задачи.

4. На основании алгоритма численного решения задачи обобщающего типа составлена программа цлл ЭВМ на алгоритмическом языке Фортран^. Вали выполнены расчеты для ряда исходных данных. Сопоставление результатов примеиания предлагаемого метода к частным аацачам, для которых решения известны, с результатами, полученны-

ми согласно этим ранениям, свипэтел?>ствуэт о действенности ивто-ца.

5. Разработана общая схэпа сведения линейных задач о цвивв-Htia сяимаемой лидкости ;с чнгегро-лиК&ерзнциэльным уравнениям. Она основана на представлении потенциала скоростей посредством волнового потенциала двойного слоя и последующе« использовании предельных соотношений для потенциала и «»го частных производных первого порядка. -Рассмотрены случаи как иапоцвияной, так и подвияной границы среды.

6. С приязненном указанной общэР схемы исследована задачэ об упаре твердого тела вращения по границе полупространства, занятого сжимаемой мидиозтью. Задача свег.зиа к интвгрэ-ди^еренцчально-му уравнению. Разработан алгоритм численного геиения итого уравнения.

7. Иа основании алгоритма численного рзшения задачи об удара твердим телом вращения по поверхности снимаемой яицкости состав-чана программа дня ОСИ на алгоритмическом языка Фортрзн-4. Были

"выполнены расчеты для ряда исходных данных. Сопоставление результатов применения предлагаемого метода к частник задачам а резуль-. татами применения к ним других методов подтвердили действенность Разработанного метода.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ НПИНОСТЬ. Выведенные прэцвльние соотношения для частных поаизв.<щшх запаздывающих потенциалов позволяют сводить и системам и"тегро-цифф9-режшалъных уравнений относительно плотностей во1, ювнх потенциалов любив краовнв задачи ц'я дифференциальных уравнений в частник производных, которые могут быть сведены н волновым уравнениям. Данный метод, кроме рассмотренных здесь задач лиь-йной динамической теории упругости и гидродинамики, ногсзт бить приманен к граничным задачам электродинамики.

Разработанный численный метод реиенпя выведенных интегро-ци^эренниаяышх уравнений был зпообирэва» применительно к конкретным задачам нестационарной теории упругости и динамики слабо сжимаемой жидкости. Результаты зпройац.ж оказались положительными, что свидетельствует о возможности эффективного решения прад-лагвенин методом иниеяерннх задач на прочность при диначичеспих нагрузках.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты исследований, соцэряашчхся в дкшой диссертации, по мера выполнения, били поэтапно доложены на различных научных семинарах, Республиканских и Всесоюзных научных конференциях, а именно:

1. На Всесоюзном симпозиуме по распространению упоуго-плас-тичаских волн, октябрь, 1964г., г Баку.

2. На семинарах Московского государственного университета поц руководством проф. Х.Л. Рахматунина, 1965г., 1971г., 1977г., 1984г., г. Москва.

3. На Всесоюзном симпозиума по распространению упругих и упруго-пластических волн, октябрь, 1968г., г. Кишинев.

4. На Всесоюзном симпозиума по дифференциальным уравнениям и es приложениям, октябрь, 1972г., г. Душамбе,

5. На Всесоюзной конференция по асимптотическим методам в теории сингулприо-возмущенных дифференциальных и интзгро-диффе-ренциальных уравнений и их приложениям, июнь, 1975г., г. Фрунзе.

6. На Республиканской конференции по распространению упругих я упоуго-пластических волн, июнь, 1983г., г. Фрунзе.

7. На Всесоюзной конференции по нелинейной теопии упругости, май, 1905г., г. Фрунзе.

8. На 6 Всесоюзном съезпе по теоретической и прикладной механике, сзнтчбоь, 19ЯГ>г., г. Ташкент.

9. На республиканской конференции "Механика сплошных сред", посвященной памяти академика АН Уз. ССР Х.А. Рахматулина, 1989г., г. Ташкент.

10. На семинарах Института математики HAH KP, 1909-1994г., г, Бишкек.

ПУБЛИКАЦИИ. Исследования, относящиеся к теме диссертиции содержатся в 30 опубликованчих статьях и 8 научных отчетах. Осиов-ныг результата диссертационной работы изложении в работах [1-ldJ.

СТРУКТУРА И ОВЬЕМ РАБОТЫ. Диссертациа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка использованной литературы, включающего 115 наименований. Объеч работн -208 страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРИАНИЕ РАБОТН

Во введении обоснована актуальность выбранного направления исследования, дан краткий обзор литературы, относяиейсл к методам решения нестационарных %3дач о движении сжинаемых срец, приведена

аннотация результатов диссертации,

" В первой главе выводятся предельные соотношения для частных производных первого и второго порядка по геометрическим перэмвл-ным волнового потенциала простого слоя, а такие - предельные соотношения для волнойого потенциала двойного слоя и зго частных производных первого порядка.

В п.1.1 вводится в рассмотрение ограниченная область J1 с достаточно глзц?сой границей (S) в трехмерном пространстве. Точки U,ï,!)6A и (x',y',z') б S в некоторой прямоугольной декартовой системе координат обозначаются через м,и", соответственно. В связи с интегральным представлением решений волнового уравнения

•a* I73£*-= си-а*Т/дл,Ч -дхТ/9У1'ïd'-r/te*'), (г,ч,ъ)&л (1) вводятся в рассмотрение волновые потенциалы - интегралы, распространенные по поверхности (5): потенциал простого сноп -

U 1х,у.г.i) =[[ [Шх'.а1 ,i-t/*)/b)is/W) (2)

и потенциал двойного опоя -

£(Х,У,2,t) =jfAftïix'.y'.it' ,t-7/a.)/e)Jtk)J3/tta). M

vV

где г, = I- (а - у )*- +• (ь -1' = |М/*'| , а энап озна-

чает дифференцирование по направлении внутренней нормали к поверхности {¿') с учетом зависимости Функции от только через посредство расстояния, т.о.

<ГШ г', У , г' ,ь-г!а)/г)/£п = П х',и', Д-*/а)М1/г>/Зп -- Э * ( X' , у , Г , I ~ ) /дЬ / {о-г ) Ъг/Эп, где 3/дк означает дифференцирование по направлению внутренней иормачи к поверхности (5).

Плотности <5 ( х', в', г' , У( х' , г' ,<:) соответствующих волновых потенциалов предполагаются дваяцы непрерывно пиЧ>еренцируо-мнми функциями. Непосредственной подстановкой (2), (3) в (1) маяно убедиться, что функции и1, удовязтсортот волновому уравнении (I! вне (3). Е^зевмз задачи для вэ'иоянх уравнений сводятся таким образом к нахоиценич плотностей соотччт-стаугацих потенциалов, обяспечиваяэдк пчполитт граничных у со-

ВИЙ.

В последуюдих шести пунктах первой главы устанавливаются формулы для предельных значений частных производных волнового потенциала простого слоя. Начало прямоугольной декартовой системы координат 0«д. совмещается с точкой поверхности (5), для которой устанавливаются указанные предельные значения. Плоскость (х,а) совмещается с касательной плоскостью в указанной точке к поверхности (5), а ось 0£ направляется вдоль нормали к ней внутрь области я. Дифференцируя под знаком интеграла при <5) получаем соотношения:

+ -х)/а./гЧ¿5/(4®),

ъи/ду -][ (0Г(х' ,у' ,£',ь-г/а){*- /г* +

+ 6; ( г', Г , Г , *-г/а) (I- - §) /ап1 Ш I (4Ж).

В дальнейшем предполагается:

В п.1.2 устанавливаются, исходя из соотношений (4), (5), предельные значения для ¿¡С/Ас, д(//2У. Прэцелыше соотношения, как И данном, так и последующих пунктах устанавливаются для случая, когда точка (аг,у,г) стремится к началу координат вдоль оси Ог. В заключение отмечается, что схемы доказательств пригодны, с некоторым усложнением рассуядеиий, для случая, когда точка (у ,ъ) стремится к началу координат произвольным образом, оставаясь, однако, по одну определенную сторону от нее.

Вводится в рассмотрение окрукность Н^ достаточно малого радиуса </' на плоскости (л,¡г) с центрои в начале ноординат. Цилиндрическая поверхность, цля которой напраляюцей является указанная охруинооть, а образующей - прямая, параллельная оси 02, "выре-оаб1" еа поверхности (5) некоторую окрестность (5, ) точки (0,0,0). Остальная чзсть поверхности обозначается череп

С4)

(5)

Вследствие предположения о поверхности (5! в пределах (5, ) она представима уравнением вида д' = / (х',^'), где / - достаточно гладкая функция. Обозначается - р =\/х'1 +У'* . тогда г = +(*-«*',г У4*.' Соотношение (4) для случая х=а=0 представляется в виде

Ои <0,0)/(г,Л ^(г,*), (7)

гдэ

3,(8.4) =# Ф(х'.У,В ,Ос|$/(4Ж), _ (3)

1Л ) фи'.^'Л'ЛЛ/МЯ),

(•У

V (X' . (10)

Интеграл (9) не имеет, очевидно, нигде особенностей, а интеграл (8) имеет особенность в начале координат при 1=0. Поэтому при установлении прэполыюго соотношения основный объектом исследования является интеграл (0). Устанавливается соотнояанив: бс'/п. (эу(0,0,»,*)Л>х) =

»[[ (бЧМ>-г/а) +■ (е/а.)с;(М'^-Е/Л))*'^»,«(5/(4я). (11)

По аналогии, применительно к (5), загнаивается:

¿¿т ) »

о

{п',1-г/л) + (г/сО^М'^-г/а.)) И'/г><15/(Ш. (12) Причем интегралы ъ (11), (12) понимаются а смысле Вопи.

Схема, согласно которой устанавливаются предал мню саэтйо-яепия (11), (12), попользуется в осяовния чертах я га послаяувтож мсти пунктах. Основой этой охеыа являются продетавлеяия, подобные (7)-(10).

В п.1.3 устаназлиздптся, исходя яз (б), прздальякз соотповя-

ния:

г-+а о

+jí(s)(C(M' .t-г/а) + (г/а)б;( h', t-г/а.)) г'/Л/S/(4Я). (1й)

Причем интеграл в (13) сходится в смысле Риыаиа.

В п.1.4 устанавливаются предельные соотношения для Э О/дх\ д^/ЗУ*. Для точек (-*,*,*), накодясдася вне поверхности (5), походя из (4), шаеы:

d*í/.(z,y,i,t)/¿z* °Jf(s) USlt-z'f/t* -1/г> ,г' ,t-z/a.) +■

+ idl*-s-У* - +

+ |1-г]1/(а'г')«;, ,z',t-i/<t))4s/(4%). (14)

Представляя интеграл в (14) в виде суши двух слагаемых, с использованием ооотновениЯ, подобных (7>-(10), и следуя в основных чертах схема, приведенной в п.1.2, получаем предельное соот-ноаение для з*ч/ /Эх*. Исследование при этом носит значительно более сложный характер, чем при установлении предельных соотношений для частных производных первого порядка. Устанавливается:

(3V(0,0,z,t )/Эх*) = (+2^(0,0) - l/«f)eí(0,t)/4 + i-*-Oto

+ f( (ф(М\£-*/а) - er(0,*M3S'* /*г-1/р> )UÍ4 ix1 )Ы*,/(4Я) < (Я)

гдэ V {x', y'\ - угол, составляемый нормалью к поверхности (5 ) в точке (х'.у, -f U',y')) с осью Ost,

Ф(М',£) « (в'(м'.б) ч- j/aa; (м',t))(Вз^/г* Л/г*) +

+ Х"1^ (M',É)/(tt^). (16)

По аналогии записывается: ti'tn. • (0,0) - l/«f)tf(0,t)/4 +

a -*oto

fíf (ф(М',е-г/о.) - 6" (0,t) (ВЫ'-^'-Х/^11 cos^( ж-, i' )US, /Ш) +

+Jj ф( Mt-z/a)<í5JИл),

(17)

ГЦ8 _

ф(М',1г) = КЫ',*) + г./<хб^м'.-е))(ЗУ'*/гг - 1/г*) +

ьу" < [а-1 г3). (18)

В п.1.5 устанавливается предельное соотношение цля "^и/Эъ^. Для точек (х,9,г)£5 посредством диФФерэнцгровання под знаком интеграла в (6) получается выражение, прэцставлпюпеа Эй*- , подобное (14). Исходя из ;:того вырзязчня, споообои, аналогичном приманенному в п.1.4, устанавливается:

&ж.(Э^(0,0,£,*)/Эг*) = (1//?(^4(0,0) ч ^ (0,0»)еГ{0,<:)/3 +

Ъ -+0±0

5^/(411), (19)

где ^

ф(м',с) - (б'СM-.tr) + (г/л)б;(м'>е))(Зг'а/гг-1/г5) +■

(м',ь)/(а.1г3). (20)

В п.1.6 устанавливается способом, использованины о предыдущих пунктах, предельное соотношение цля 31и/Зх:Эу.

£<.'/«.(3*^(0,0. г, = (0,0)/2 +■

о±о

5/(4Д), (21)

где

= <3(<Г(м'# + <г/а)о;{м-,-е))/гг +

1-6;» ( «»/(а.4?1)).**»»' . (23)

Причем интеграл в (21) понимается в смысла Ноши.

В п.1.7 устанавливаются предельные соогношэния цля д^и/ЭхЭг, 3''и/эузл:

+)5(8>(3(б,( м''<>г''а-> .М'г/Л))/ г»" +

(м',<-г/л)/(и.*г»)/(4Я), (33)

I ->0+0

+.1^,(3(54 М'^-г/а.) + {г/а.)бЦм',1-г/а.))/гг +

(м',£-г/а)/(а*-г*))у'г' ¿а/ия). (24)

Причем интегралы в (23), (24) понимаются в смысле Когаи.

В.п.1.8 с иопользооанием результатов, полученных в прэцшест-«ующих пунктах, устанавливаются предал мша соотношения для частных производных первого порядка потенциала двойного"слоя:

г-*о±о

+^5)4Г(М',е-г/а.)с|5/(4Я), (25)

где

ф*(м',<) - -(ПМ'.Ь) * (5/а)^(М,,е))(Зг'<-/г5"-1/г,)075^ (М') +

♦ (8*Уи>$д(м') + Ш'))/гП - ^ хЛа»р, (М') +

+ хУсл5.рь ) +. ¿¿соь* (Ю)/(а*г*), (26)

прячвы р,[м'), Д(м') - угли, составляемые нормалью к поверхности (5) в точке М' о осями Ох, Оу, соответственно,

&7я.(г>£(0,0. -(1лГт(^г{0,0) (0,0»ШО,Ш2 I-&■+о*о

(Ф*(М',е-г/а) -У(0,е)а>л)(м')/^)1/5//(4Д) +

с/5ь/С 42), (2?)

где

«^(м'.С) « -Шм'^) + (г/«.));.(м',4)((3х'«'сд5^ (М-) + + ЫЧ'соьр^м'))/гт + (3 £'**/г^ - 1/г»)с«у(м')) -

Предельное соотношение пли «Эй/г»* предотавгсяется формулами, анало-гнчними (25), (26).

В заключение пункта 1.8 приводится предельное ооотноивнио для самого запаздывающего потенциала двойного слоя:

' йм ¿(0,0,1,*) -±0,5|Г<0*) - 1/(4Я$($р{М',иг/А) +

2 ->0$0

)- х'С05Д (М') н +

+ (39)

Во второй глава излагается общая схема решения нестационарных краевых задач линейной теории упругости.

.. В п.<1.1 описан способ сведения с использование« потенциалов смещения динамических задач линэйноЯ теории упругости к краевым задачам для волновых уравнеш|1.

В п.2.2 излагается а общих чертах схема сведения, о использованием результатов первой гчави, указанных краевых задач для волновых уравнений к системам иитегро-диф}>еранциалышх уравнений относительно плотностей волновых потенциалов, посредством которых представляются потенциалы смещений.

В третьей главе с использование!! схемы, изложенной во второй главе, разрабатывается метод ращения осзсимметриче ¡сих задач о распространении в полупространстве упругих волн, внчванных воздействием нагрузки на гранчцу полупространства.

. В п.3.1 приводятся постановки задач. Рассматриваются задачи: о вдавливании абсолютно твердого тела вращения в упругое полупространство, о вдавливании указанного вида тела ■ упругое полупространство при одновременном его вращении вокруг своей оси симметрии, о, проницании в глубь полупространства дааления, распрос-транпющегося вдоль его границы. Перечисленные задачи решаются в рамках единой схемы. Для этого рассматривается следующая задача обобщающего типа. Абсолютно твердое тело вращения вдавливается в упругое полупространство, даигаяоь поступательно вдоль оси симметрии телз, перпендикулярно к граница полупространства, и одновременно вращаяс!- вокруг нее, прй этом вне области контакта в границе полупространства приклациваэгся давление, зависящее от

©

времени и расстояния точки границы от оси симметрии тела по заданному закону. Требуется найти поля смешений я напряжений в упругой среде.

Вводится в рассмотрение цилиндрическая система координат начало 0 которой помещается в точке пересечения оси симметрии тела с границей полупростоанства, ось Ог направляется вдоль оси симметрии тела, а ось 0? распо1агаэтся в одной из плоскостей меридианного сечения тела. Компоненты смещения вдоль координатных линий А, £ обозначаются через иг, и^ , , соответственно, а компоненты напряяения, относящиеся к различным сочетаниям координатных линий, - через , , > ^ > б«- > б** • Коэффициент трения скольжения для соприкасающихся поверхностей обозначается чераз К.

Указанная выше задача обобщающего типа рассматривается в следующей постановка. Найти в области 2>0 для заданного промежутка времени ранение векторного дифференциального уравнения

у Э*'¿c(f,z,i)/Эt^ = (А , (30)

гцо - вектор смещения, у - плотность упругой среды, /

- константы Ламэ, й - оператор Лапласа, удовлетворяюиего начальному условия

¿£(г,г.,0) = 0 (**0) (31)

л граничный условиям

0^(2,0,*) « 0 <0*Н*йс)( (з?л

0,^) « У(г,<:) (33)

= Р (34)

= кб;4(г,о,е) (()*«&(*)), (35)

с. (г. о,*) = о (киэ^ёе^).

Причем принята обозначения: К и) - радиус контактной области в иомент<, - радиус окружности с центром в начале координат, ограничивающей на плоскости ь =0 область влияния вдавливаемого в

среду тепа в течении рассматриваемого промежутка времени, V (£,-£) - компонента смещения в направлении оси 0£ в понтаптпой области, определяемая скоростью поступательного движения тела, уравнением его поверхности и чочзнтом времени,р (г,а - заданная функция, представлявдэя взятие с обратным знаком значения давления на границе полупространства вне контактной области.

П п.3.2 компоненты смещения и напряяенчя представляются поо-редством потенциалов смещений. Вектор смещения ¿б(г,г,£) отыскивается в виде:

¿А(г,£,*) = й,[г,г,Ь) '+¿^(8,2,6), (37)

где и, (?,£-,*) - смещение, обновленное вдавливанием тала в упругое полупространство и приложением давления к граница среды вне контакта, (£,£,£) - смешение, обусловленное искчвчиталъио впэ-щениач вдавливаемого в среду тела вокруг его оси симметрии. Полагается :

=дгас!<р1 г,*,*) (38)

¿4<г,2,<:) = гг>£ <?»(?,£,*), (39)

где <р(г,2,^), <?(£,£,*), 2,¿г) - функции, подлежащие опроделе-

нию.

В результате анализа выявляется, что отличными от тоидест-вонного нуля являются , V/1 • Дчя удобства вводятся обозначения :

Ч> = Ч>Л1 , Чк^^ь (40)

Начально-краевая задача (ЗО)-(Зб) формулируется для потенциалов смешений. При это« согласно обпей схеме ратания краевых задач динамической теории упругости,.изложенной во второй главе, вместо уравнения (30) имеем систему вотновых уравнений

3*4(2,* .^/¿й*- = а*а<Р(г,2,£), (41}

1Ъ,-к))/Нг- (421

Условия яа (31)-(36) выраяаютсч через часгнне производные первого и второго порядка от величин ^ V,. о учетом язкоча Гуаа я соотношений (37)-(40).

В л.3.3 устанавливаются интегрзлыгаэ представления для 1р

- 1И" -

V. Ч,' Выявлено, что уравнения (41), (42) будут удовлетворены, еоли эти величины представлены при£>0 в виде:

<Р(М,*) =Л(5)б,(г1'Д-г/а)/г£<5,/(4й), (43)

^(н.е) (44)

Ч>(м,Ы -К (45)

Ч(И.е) «К (46)

(зд

Причем в (43)-(4б)а,£ -скорости распространения продольной и попепечной, соответственно, волн, X - расстояние меяду точками М им', (5,), {5Х) - области на плоскости * =0, в пределах которых какдая точка находится в момент <:-г/а, *-г/^, соответственно, в пределах круга, занятого возмущениями, бЧм',*), #,(м',£), - подлежащие определению величины, не завися-

щие от координаты «С и удовлетворяющие условиям общего вица, указанный в главе I.

Подставляя (43)-(46) в граничные условия для ч> V, , ^ , совершая предельный переход при стремлении внутренней точки полупространства 2»0 к точке ее границы, воспользовавшись при этой прздельныии соотношениями для частных производных потенциала простого слоя, получаем систему интегро-диффзрэнциалмнлс уравнений относительно искомых функций & (м',е), ( «',<), К указанным уравнениям согласно общей схеме решения добавляется еде одно интегро-дифференциальное уравнение, получаемое предельным переходом в соотношении

Лу (?+•?*) = 0.

В п.3.4 излагается численный метод решения системы интегро-дяФЗарвнцналышх уравнений, к которой в п.3.3 своцена начально-краевая вацачя (30)-(36). При этом, как указывалось выше, используется специфика интвгро-цкффзренниалышх уравнений, заключающаяся в факторе яапаздываиия. Искомые вэличини определяются плп

конечной последовательности моментов времени ,..., , из-

меняющихся с постоянным шагом . При вычислениях для момента из области интегрирования каядого из интегралов, входящих в систему уравнений, выделяется малая область, вне которой, вследствие запаздывания, значения подинтегральной функции известны. В пределах из ««алой области значения подинтегральноГ: функции берутся для интервала гдэ они уяе определены на предыдущем по

времени зтапе расчетов. Показано, что допускаемая при этом в связи о удовлетворением граничных условий погрепиость имеет порядок (ад*)4, (вМ)*", Погрешность яе, допускаемая при вычислении искомых величин, имеет порядок (аль)3, (¿4«)'.

В п.3.5 излагаются два способа определения компонент смещений и напряжений внутри области, занятой возмущениями в полупространства &> 0, пойле решения системы интегро-дифференциальныя уравнений, к которой сведана задача (30)-(36). Один из способов заключается в непосредственном дифференцировании под знаком интеграла в (43М46) н подстановке в формулы, представляющие компоненты смещения и напрявения. Другой способ заключается в использовании формул численного дифференцирования.

В п.3.6 производится сопоставление результатов применения данного метода к специально построенной тестовой задаче о точным решением задачи. При этом выявлено, что реианиэ задачи предлагаемым методом близко я точному ее решении. Это является подтверждением правильности выкладок, выполненных в связи о выводом предельных соотногаяиий в глава 1 и интегро-дифференциальннх уравнений в глава 3, а тзкие - свидетельством действенности разработанного метода.

Глава 4 посвящена применению волновых потенциалов для ранения линейных задач о движения снимаемой пицкости.

В п.4.1 излагается общая схема решения начально-краевых задач о движении слабо -сжимаемой яидкости. Считается, что «идкость идеальна, а ее течение - безвихревое. В этом случаэ существует потенциал скоростей Ч», связанный со скоростью двиявния зависимостью V Считается, что в пределах изменения значащий параметров течение яидкости описывается волновыми уравнениями для давления Р и потенциала скоростей V:

¿V/ дь1- = а'-др, » а\: <р ,

где а - окорооть звука в жидкости.

С использованием линеаризованного уравнения Лагранва

Р/Рл + SV/St = (UJ/15Í-, гд® pQ - плотность навозмущанной иицкости, начально-краевая задача своцится к отысканию потенциала скоростей Ч>, удовлетворяющего соответствующим начальному н граничным условиям. Причем считается, что начальное условие заключается в отсутствии возмущений в начальны/) иомен г времени. Излагается общая схема решения начально-краевых задач сначала для случая неподвикних, а затем - подвижных границ. При этом предполагается использование предельных соотношений для волнового потенциала двойного слоя и его частных производных первого порядка, установленных в п.1.0.

В п.4.2 приводится постановка задачи об ударе твердым затупленным выпуклым талон вращения по поверхности снимаемой кидкости. Считаотоя, что затупленное тело вращения, двигаясь поступательно сдол i вертикальной оси симметрии, в момент времени t=0 встречается о границей полупространства, заполненного снимаемой вицкостыо. Предполагается, что скорость погрувания тела в видность является вацанной функцией времени - V„(tí), значительно меньшей скорости зоука t вщкости.

Вводится в рассмотрение цилиндрическая система координат OjUí. Задача своцится к отысканию потенциале скоростей -ч>(?,г,4), удовлетворяющего волновому уравнению

3fcv(¿",í,t)/aí1'=¡cti'á!p(z,£,<) (s>0), (4?)

начальному условию

íf(z,í,Q) = 0 (48)

н гршичним условиям:

3>е(г ,0,t)/<?£= V„(t) (O^fi(t)), (49)

f (z,0,t) = 0 (s>R(t)). (50)

гцо В (t) - радиус смоченной части поверхности тела в иочент с ■ U п.4.Я раиениа задачи (47)-(50) предлагается отыскивать, олацуя охвиа, излсжзнной в п.4.1, в вида волнового потенциала доойнаю слоя -

ylM.t) - 1! (ШМ',£-г/«) /г)J5, (51)

гдо обозначения JV<fti, г иы.ог ют на смысл, котрий придан им в п.i Л, И- точна полупространства г>0, (5) - часть плоскости t «0,

в пределах которойi-г/а>0. Подстановка (51) в (49), (50) приводит к интегро-диЗференциальному уравнению относительно плотнос*й волнового потенциала 3f(M',£). Отметим, что задача (47)-(50) ранее рассматривалась в [il] , где ее решение отыскивалось в виде волнового потенциала простого слоя. Относительно плотности волнового потенциала при этом получалось интегральное уравнение Вояьтерра первого рода, решение которого имеет особеность на границе контакта.

В п.4.4 излагается численная метод решения интегро-диффервн-циального уравнения, к которому сводится задача (47)—(60). Он представляет собой упрощенный вариант мвтода решения системы пн-тегро-дифференциальных уравнений, излояэнного в п.3.4.

В п.4,Б излагаются два способа вычисления компонент скорости ■ и давления внутри области, занятой возмущениями. Эти способы аналогичны приведенным в п.З.б в связи с вычисление»! компонент смещений и напряжений внутри области, занятой возмущениями в упругой среде.

В п.4.6 обсуждаются результаты расчетов согласно составленной для ЭВМ программа. Выявлено, что сравнение результатов применения предлагаемого мйтода с результатами решения частных случаев рассматриваемой задачи другими методами свидетельствует о лейст-ванности нанего мfroда.

В заключения дается краткое изложение результатов работы. ОСНОВНОЕ СОДЕРИАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ' ОПУБЛИКОШб В СЛЕДУЮЩИХ РАБОТАХ

1. Иманалиев М.И. Шамгунов Ш.Д. Проникание в сжимаемув жидкость тела ограниченного малсискривленной бесконечной цилиндрической поверхностью' // Изв. АН Киргизской ССР, 1967, Р ЕГ. -

С.61 -74,

2. Шамгунов Ш.Д. Удар произвольным тупым телом вращения по границе полупространства',-занятого сжимаемой видкостьп // Материалы Всесоюзного симпозиума по распространенно упруго-пластических йолн в сплошных средах. - Баку: Иэд-flo АН Аэерб. ССР,,-1960. -С.406-423.

3. Шамгунов* Ш.Д. Удар- твердым'.затупленним телом вращения по поверхности сжимаемой иицкости // Ред. Изв. АН Киргиз. ССР. - ДЕП. ВИНИТИ, ■ 2089-75 Деп.

4. Шамгунов Ш.Д. Падение горизонтально располоненного бесконечно длинного цилиндра на поверхность жидкости // Ред. Изв. АН Киргиз. ССР. - ДБП. ВИНИТИ, Р 2091-75 Деп.

Б. Ваигуков Ш.Д. Предельные соотношения для частных производных волнового потенциала простого слоя и их приложения // Исследования по ннтегро-дифференциальным уравнениям, вып.21. -Фрунзе: Илии, 1988. - С.281-290.

6. Шаигунов Ш.Д. Предельные соотношения для частных производных волнового потенциала простого слоя и их приловения к задачам динамической теории упругости // Тезисы докладов республиканской конференции "Механика спловиых сред". - Ташкент, 1939. - С.98.

7. Иаигунов Ш.Д. Предельные соотношения для функции, представленной формулой КирхгоМа и их приловения // Исследования по интегро-диффзренциальным уравнениям, вып.23. - Фрунзе: Илим, 1990. - С.205-214.

8. Шамгунов Ш.Д. Удар бесконечно длинным талом, ограниченным цилиндрической поверхностью, по границе полупространства, заполненного сяимаемой жидкостью // Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям, вып.4. - йрунзе: Илим, 1967, - С.158-166.

С. Шамгунов Ш.Д. Метод расчета начальной стадии уд^ра тупым телом вращения о поверхность яидкости // Труды Киргизского государственного университета. - 1974, вып.10. - С.40-43.

10. Шамгунов Щ.Д. Об асимптотике решений одного класса сингулярных интегральных уравнений, олисываюцих явление удара твердым телом о поверхность яидкости // Тазисы докладов Всесоюзной конференции по асимптотическим методам в теории сингулярно возмущенных дифференциальных и интегро -дифференциальных уравнений и их приложениям. - круизе, 1975. - С.239-Й42.

Shnmgunov Shamil Davletovich

The limit equalities for the partial derivatives of the nave jjptentiala and their applications to problems of the theory of elasticity and hydrodynamics.

.; ' Summary

Thei-e a're obtained the formulae for the partial derivatives of the wave potentiala at points tending to boundary. By aeana of these equalities the linear boundary value problems of the theory'of-elasticity and of hydrodynamicn are reduced to the systems of integro-differential equationn. The method is elaborated for numerical solving of such syatems of equationa.

Шамгунов Шамил Давнегобич

Толкундук потенциалдардын айрым туундулары учун пределдик катыштяр капа алардын серпилгич теориясн гана гидродинамика маселелерине колдокулупу,

Аннотация

Толкундук потенциалдардын айрым туундулары учун пределдик каткптар келтирип чигарыла1!. Бул катыштарднн вардамы менен серпилгич теериясыный кана гидродинамикасынын сызыктуу чектуу масалелери зштегро-дифферэкцкалдык теддемзлер систе»даларына келтирилет. Та^цемэлердш мкндай систе^ларын чыгаруунун сан-дык ьгкмасы иштеп чыгарылат.