Предельные теоремы для приоритетных систем массового обслуживания при критической загрузке тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Сокращения и обозначения

Введение

Глава 1. Дисциплины пакетной обработки требований

1.1 Описание системы

1.2 Дисциплина обслуживания LIFO

1.3 Дисциплина обслуживания RS

1.4 Дисциплина дифференцированного обслуживания

Глава 2. Система обслуживания (Mn\Gп\1\оо) с чередованием приоритетов

2.1 Описание дисциплины обслуживания

2.2 Предельные теоремы в условиях критической загрузки

Глава 3. Система обслуживания с относительными динамическими приоритетами

3.1 Описание дисциплины обслуживания

3.2 Предельные теоремы в условиях критической загрузки 75 Список литературы

Сокращения и обозначения

Используются общепринятые в литературе по теории вероятностей сокращения:

ПЛС - преобразование Лапласа-Стилтьеса СМО - система массового обслуживания сл.в. - случайная величина ф.р. - функция распределения щ - интенсивность i-ro входящего потока J e~sidB^\t) - ПЛС ф.р. длительности обслуживания требований i-ro потока (j - ой модели)

Pik = f t dBi(x) - fc-ый момент ф.р. длительности обслуживания требований i-ro потока. pi = Е агвг1 - загрузка системы a, z) — Е aiZi - скалярное произведение векторов а и z Е - символ математического ожидания 1(A) - индикатор множества (события) А

Теория массового обслуживания как раздел теории вероятностей возникла сравнительно недавно, но за очень небольшой срок превратилась из очень специальной области исследований, связанной лишь с задачами телефонной связи, в обширную область исследований, в которой нуждаются самые разнообразные направления человеческой деятельности. Практические аспекты обслуживания с приоритетом необычайно широки и разнообразны. Сюда относятся и многочисленные задачи теории связи, и вопросы медицинского обслуживания населения, и проблемы обработки информации, и важнейшие аспекты проектирования вычислительных систем, и задачи автоматизации производственных процессов, и многое многое другое. Во всех этих случаях мы имеем дело с массовой обработкой некоторых объектов при учете влияния случайных факторов. С бурным развитием вычислительной техники, усложнением ее структуры, созданием локальных сетей и многопроцессорных систем появилась необходимость выделить ряд направлений в исследовании задач теории массового обслуживания. Наиболее важным из них является математическая теория приоритетных моделей ([6],[14],[15]). В частности, эта теория занимается вопросами оптимизации процессов. Например, в больших приложениях распределенной архитектуры, построенных на основе технологии клиент-сервер, обслуживающему серверу приходится в течение некоторого времени выполнять заявки, поступающие от клиентов, что приводит к необходимости назначения приоритетов. Смысл этой операции заключается в том, чтобы предоставить определенным клиентам преимущественное право на обслуживание, на основе различия их друг с другом. При этом сами процессы могут различаться между собой по разным характеристикам, таким как: размер, важность, пени за простой процессора, наличие определенных прав у клиента и т.д. Таким образом, обеспечивается льготное обслуживание одних процессов с высоким приоритетом за счет других с низким. В связи с этим, появляется необходимость описать систему массового обслуживания более формально.

Итак, структура СМО определяется заданием ряда характеристик, таких как:

1. Входящий поток требований. Однородный поток требований полностью характеризуется случайными моментами их поступления в систему и описывается соответствующим случайным процессом.

2. Обслуживающие приборы. При параллельной установке приборов и обслуживании требований на одном из свободных приборов говорят о многоканальной СМО, при единственном приборе - соответственно об однока-нальной (однолинейной) СМО;

3. Дисциплина обслуживания. Это совокупность правил, определяющих в каждый момент времени очередность и вид выполняемых операций.

4. Длительность обслуживания требований на приборах. Интервалы обслуживания последовательных требований на приборе задают поток обслуживания, который как математическое понятие аналогичен потоку требований.

Структуру СМО принято обозначать последовательностью символов А\В\п\т, где п - число приборов в СМО, т - количество мест ожидания. Символами же А и В характеризуют потоки требований и обслуживания соответственно. Например, если на месте А стоит М, то это означает, что входящий поток имеет показательное распределение (пуассоновское), U -равномерное, Ек - распределение Эрланга, порядка к. Символ В, как мы уже сказали, характеризует поток обслуживания. В настоящей работе во всех рассматриваемых системах предполагается, что длительности обслуживания однородных требований - независимые в совокупности, одинаково распределенные случайные величины. Поэтому буква G означает произвольное распределение длительности обслуживания.

Как правило, в СМО с ожиданием и однородными требованиями применяют следующие порядки обслуживания поступающих требований:

1. Прямой порядок обслуживания, или обслуживание в порядке поступления в СМО. Такую дисциплину иногда обозначают FIFO.

2. Инверсионный порядок обслуживания характеризуется выбором на обслуживание требования, поступившего в СМО последним. Такую дисциплину иногда обозначают LIFO.

3. При случайном порядке обслуживания с равной вероятностью может быть выбрано на обслуживание любое из имеющихся в очереди требований.

4. Обслуживание в режиме равномерного разделения процессора связано с одновременным обслуживанием прибором нескольких требований. При этом скорость обслуживания каждого требования уменьшается во столько раз, сколько требований обслуживается одновременно.

5. Пакетное обслуживание требований обычно рассматривается вкупе с естественным способом формирования пакетов. В пакет, поступающий на обслуживание, включаются все требования, находящиеся в СМО на момент освобождения прибора от предыдущего пакета, либо требования, поступившие в свободную систему.

Дадим теперь вкратце описание наиболее часто использующихся приоритетных дисциплин:

- Дисциплина чередования приоритетов: предусматривает закрепление за требованиями того типа, который находится на обслуживании, наивысшего приоритета. После обслуживания всех имеющихся в СМО требований этого типа из очереди на обслуживание выбирается следующее требование наивысшего приоритета из всех, находящихся в очереди.

- Дисциплина относительного приоритета: при завершении обслуживания требования из очереди на обслуживание выбирается требование с наивысшим приоритетом.

- Дисциплина абсолютного приоритета: при поступлении в СМ О требования более высокого приоритета, чем требование, обслуживающееся на приборе, происходит прерывание обслуживания и начинает обслуживаться поступившее требование, а прерванное либо теряется, либо возвращается в очередь с последующим дообслуживанием или обслуживанием заново.

Наряду с уже перечисленными дисциплинами обслуживания достаточно часто рассматривается дисциплина относительных динамических приоритетов, которая является параметрическим обобщением дисциплин относительного и чередующегося приоритетов. Более подробное ее описание дано в третьей главе данной работы, а также в работах ([2], [3])

Основными характеристиками модели Mr\Gr\l\oo1 рассматриваемой в данной работе, принято считать:

- Длину очереди Li(t),i ~ 1 , г из требований г-го потока в момент времени t;

- Период занятости = 1 , г обслуживанием требований потоков 1, к - промежуток времени, начинающийся с поступления в свободную систему требований одного из потоков 1, к и завершающийся первым после этого моментом освобождения системы от требований потоков 1, к;

- Виртуальное время ожидания Wk(t) ^-требования в момент времени t: т.е. время, которое пришлось бы ждать ^-требованию до момента его первого попадания на прибор, если бы оно поступило в систему в момент времени t;

Виртуальное время пребывания требования в системе vj~{t) для требований приоритета к - время, которое находилось бы в системе требование приоритета к, если его поместить в систему в момент времени t.

Исследование этих характеристик существующими методами приводит к появлению закономерностей, определяющих вышеперечисленные характеристики в терминах преобразований Лапласа, Лапласа-Стилтьеса, а также характеристических функций. Однако, по мере усложнения систем становится все более сложным подобрать адекватный математический аппарат для исследования характеристик. Все это приводит к появлению области исследования приоритетных систем, связанной с использованием асимптотических методов. Как выяснилось, это оказалось мощным средством разрешения структурных сложностей, связанных с особенностями конкретных дисциплин обслуживания; при этом результаты, получаемые посредством применения этих методов, достаточно точно описывают структурные особенности характеристик, хотя иногда и представляются в виде решения систем функциональных уравнений. Наряду с исследованием асимптотики поведения процессов возникает необходимость анализа загрузки системы, определяемой через частоту поступления требований и среднее их количество, обслуженное в единицу времени. Если загрузка меньше единицы, то с течением времени устанавливается стационарный режим и имеет место слабая сходимость характеристик к невырожденным случайным величинам. Если же загрузка больше 1, то наблюдается стремление к бесконечности основных характеристик системы. Нас же в данной работе будет интересовать случай, когда загрузка стремится к 1 и одновременно время t стремится к бесконечности.

Первая глава данной работы посвящена рассмотрению пакетных дисциплин обслуживания. К основным работам в этой области следует отнести исследования Матвеева В.Ф. и Ушакова В.Г. [15], а также Назарова Л.В. и

Беляева К.П. [5]. В качестве исследуемого объекта авторы рассматривают время пребывания требования в системе. В работе [15] преобразование Лапласа от данной характеристики представлено в виде бесконечной суммы слагаемых. Однако дополнительный интерес представляет собой исследование асимптотических свойств данной характеристики. В работе [5] был предложен метод подобного исследования и получены результаты, характеризующие поведение времени пребывания требования в системе при t, стремящемся к бесконечности. К сожалению, применяемый метод требует слишком сильных условий, налагаемых на длительности обслуживания, связанных с необходимостью разложения в ряды Тейлора. Метод, представленный в первой главе диссертации, позволяет обойти это требование и ограничиться требованием конечности лишь первых двух моментов. Для иллюстрации этого в работе рассматриваются следующие порядки обслуживания в системе с одним входным потоком: LIFO (инверсионный порядок), RS (случайный порядок) и дисциплина дифференцированного обслуживания. Например, для дисциплины LIFO время пребывания требования в системе выражается следующей формулой, доказанной в [15]: v(z, s) = [s + а — air(s)} {j3{z) + av(z, 5)}, B(z) 00 v(z, s) =-^ R( , Z{hn(s,0{z + a - a/3(z))) - hn(s, p(s))}, s — z — a 4- ap{z) n=o где функции hn(s,z) определяются из следующих соотношений h0(s,z) = 2, hn+l(s,z) = f3(s + a - ahn(s,z)).

В параграфе 1.1 функция v(z, s) представляется в виде решения системы функциональных уравнений

F(s, s) — F(z + a — a(3(z), s) = a(z, s)

G{z + a — a(3(z), s) — G{s + a — a/3(z + a — a/3{z)),s) = F(z + a — a(3(z), s) , S(z, s) = G(z + a — af3(z)) s) — G(s, s) что позволяет найти решение не в виде бесконечных рядов, а в виде точных формул.

В параграфах 2 и 3 главы 1 проводится рассмотрение дисциплин обслуживания со случайным порядком и дифференцированным обслуживанием требований. Для них аналогичным образом выписываются функциональные уравнения, содержащие выражения для определения времени пребывания требований в системе, однако они имеют уже другой вид, хотя асимптотический анализ их и проводится аналогичным образом. Отметим, что все результы получены в терминах преобразований Лапласа и Лапласа-Стилтьеса. Однако для полученных формул становится возможным обратить эти преобразования и выписать точные формулы для соответствующих плотностей распределений.

Глава 2 диссертации посвящена рассмотрению системы массового обслуживания с принятой дисциплиной чередования приоритетов. В этой системе рассматривается такая конкретная характеристика обслуживания, как длина очереди в системе. Долгое время этой характеристике не уделялось должного внимания при изучении СМО. В первых работах в этой области исследования более подробное внимание уделено таким характеристикам СМО как периоды занятости, виртуальное время ожидания и виртуальное время пребывания. К ним следует отнести труды Прохорова Ю.В. [18] и Kingman'a J.F.C. [37-38]. Дальнейшее развитие этих исследований продолжалось в работах Rosenlund'a S.I. [39], Азларова Т.А. [22], Iglehart'a D.L. [36], Даниеляна Э.А. [25] и многих других. Наиболее пристальное внимание длине очереди было уделено в работах Акбулатова Н.А. [3] и Ушакова В.Г. [1]. Так, в [3] получены формулы распределения длины очереди в предельном состоянии, при условиях большой загрузки для случая двух приоритетов. Однако все предельные теоремы получены в предположениях конечности всех моментов длительностей обслуживания, хотя сами результаты зависят лишь от первых двух моментов. Такие сильные условия были связаны с необходимостью разрешения спецефических функциональных уравнений с целью определения порядков сходимости по р и коэффициентов разложения в ряд Тейлора. Но зависимость конечных формул лишь от первых двух моментов длительностей обслуживания наводит на мысль о том, что столь сильные условия существования всех моментов являются избыточными. Так, в диссертационной работе [1] Ушакова В.Г. те же самые результаты были получены при условиях существования двух первых моментов длительностей обслуживания.

В данной диссертационной работе дополнительно рассмотрена трехпри-оритетная система, принципиальное отличие которой от двухприоритетной заключается в качественной специфике функциональных уравнений. В параграфе 1 главы 2 приводится определение данной СМО с дисциплиной чередования приоритетов, а также без доказательства приводятся хорошо известные факты, описывающие закономерности, связанные с функциональными свойствами длины очереди. Рассматривается нормированный процесс L*(t) = с преобразованием Лапласа оо p(z1,z2,.,zr,s) = J о здесь 7 = тъп( 1, а/2) и р = 1 - афп - a2/?2i - «з/Ззъ и доказываются предельные теоремы вида lim pap{e~Ulp ,e~U2p\е~изР\ spa) = F(e~UlP, e~U2p, e~U3P, spa), n—>oo(p—>0) для "схемы серий "в условиях большой загрузки. В зависимости от значения параметра нормировки а получаются различные результаты. Приведем для примера результат теоремы 7 параграфа 2.2: где lim pap(e~UlP ,e~U2P\e~W3P , spa) = — n—>co(/9—>0) 2 s

S!+S2

Si =

PuU2 - /?2>1 щ - /3*nrj3)(u2 - Ркщ) X X i; /

U2

2p*3l(l - al/3*u)(l - a^21)(l - a^31) P31V2 ~ Р21Щ

In 4- с

Э* I ^

P31 a?V2+a-*all3nm) , rj (l-a^JCl-aS^) ^ ° dv-?

S* =

А>з-/53>1 2(1-a^)^ ui - Phm)(u3

Ph

In с

Q* I ^ р31 atwi+az^ 1

1) при a < 2, С =

2) при a = 2, с = ■

3) при a > 2, с = а также = a*Ul + + «3^3 и u\3 = -Si^^i.

В этих формулах для наглядности изложения опущен индекс j модели в "схеме серий "в условиях критической загрузки, а со знаком * обозначаются предельные значения характеристик при j оо. Здесь параметр /932 = aiPi2 + CL2P22 + 0,3/З32, при этом рассматривается ситуация, когда время и загрузка изменяются согласованно. В качестве следствия к теореме, без доказательства, приведен результат для системы с г входящими потоками.

Глава 3 данной работы посвящена рассмотрению дисциплины относительных динамических приоритетов для системы М^ | G'2111 оо. Как мы уже отметили раньше, данная дисциплина обслуживания является параметрическим обобщением дисциплины чередования приоритетов и дисциплины относительных приоритетов, в связи с чем представляет самостоятельный интерес для изучения. В своей работе [2] Даниелян Э.А. впервые ввел определение данной СМО, а также получил функциональные уравнения, отражающие структурные особенности поведения длины очереди в данной системе. В частности им доказана очень важная теорема:

Теорема Функции Pk(z,s) (к = 1, г, 5 > 0, 0 < zk < 1) и Pq(s) (преобразование Лапласа свободного состояния системы) определяются из следующих уравнений: где функции Fk(s; 0к lykz) удовлетворяют системе функциональных уравнений:

Pk{z,s) zk( 1 - pk{sp)

Po(s) = /vji(s),

Щ- * ф-Н) - akFk(s; 0*" W)},

Ffc(s;0fc 1z)-akkFk(s]Ok lykkz) = /л(5;0А~1з/^)+ г Y, WkjFk{s\ 0J lykjz) - ak+1JFk(s;0J lyk+hjz)], (2) j=k+1 fk(s; Ofc 1z) = [(ik+1(s*k+1)

Там же в [2] приведено доказательство разрешимости данной системы функциональных уравнений, однако решение данной системы было получено в виде ряда, что, как мы уже отмечали выше, недостаточно для глубинного понимания сути поведения длины очереди. В связи с этим в 1987 году Акбулатовым Н.А. в своей диссертационной работе были получены предельные результаты в "схеме серий"в условиях большой загрузки. Однако условия получения остались прежними, т.е. требуется конечность всех моментов длительностей обслуживания, что, как уже отмечалось, является избыточным условием. Заметим также, что метод анализа функциональных уравнений, используемый в работе Ушакова В.Г. [1], неприменим здесь в явном виде за счет наличия в функциональных уравнениях коэффициентов ajcj. В данной работе предложена модификация данного метода, позволяющая обойти эти трудности. Основной результат главы сформулирован в Теореме 9 параграфа 3.2. Дополнительно проведены обращения предельных функций как преобразований Лапласа плотности вероятности по переменным Mi, if2- Маргинальные плотности распределения нормированной длины очереди потоков представляют собой интегральную экспоненту с соответствующими коэффициентами.

Методы исследования. В работе используется теория преобразования Лапласа и Лапласа-Стилтьеса, теория аналитических функций, а также различные аналитические методы решения функциональных уравнений.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертации носят теоретический характер и могут быть использованы при рассмотрении различных вопросов, посвященных приоритетным системам обслуживания.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на 3-м Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Сочи, 2003), на XXIII Международном семинаре, посвященном проблемам устойчивости в стохастических моделях (Испания, Пампло-на, май, 2003), на научно-исследовательских семинарах кафедры математической статистики МГУ им. М.В.Ломоносова (Москва, 2003).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 3 работах автора ([7],[8],[9]), которые перечислены в списке литературы.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, и списка литературы, содержащего 45 наименований. Нумерация теорем в данной работе принята сквозная, однако основные равенства и параграфы нумеруются в соответствия с главами, в которых они приводятся. Отметим, что каждый раз из контекста будет понятно, о каком равенстве или теореме идет речь. Общий объем работы 92 страницы.

1. Ушаков В.Г. Аналитические методы исследования приоритетных систем обслуживания. Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. Москва, 1994 г.

2. Даниелян Э.А. О классе дисциплин относительных динамических приоритетов в системе Mr|Gr|l|oo. Известия АН Узб. ССР. Ташкент, 1980, №6.

3. Акбулатов Н. А. Длина очереди в некоторых приоритетных моделях без прерываний обслуживания. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Москва, 1987.

4. Боровков А.А. Вероятностные процессы в теории массового обслуживания. М., Наука, 1972.

5. Беляев К.П., Назаров Л.В. Предельные теоремы для характеристик в одной модели массового обслуживания с пакетной обработкой заявок. Теор. вероятн. и ее примен., 1995, т.40, № 2.

6. Гнеденко Б.В., Даниелян Э.А., Димитров Б.Н., Климов Г.П., Матеев В.Ф. Приоритетные системы обслуживания. Изд. Московского ун-та, 1973.

7. Савенков Т.Ю. Предельные распределения вектора длин очередей при критической загрузке для СМ О с чередованием приоритетов. Вестн. Моск. ун-та., сер. 15, вычисл. матем. и киберн., 2002, №3, С.46-49

8. Савенков Т.Ю. Система обслуживания М2|С?2|1|оо с относительными динамическими приоритетами. J. of math, sciences. В печати.

9. Савенков Т.Ю. Предельные теоремы для характеристик систем массового обслуживания с пакетной обработкой требований. Вестн. Моск. ун-та., сер.15, вычисл. матем. и киберн., 2003, №3, С.42-45

10. Беляев К.П. Асимптотическое поведение некоторых характеристик в системах типа M\G\l с пакетной обработкой заявок при большой загрузке. Вестн. Моск. ун-та., сер. 15, вычисл. матем. и кибер., М.,1982, т, С.78-79.

11. Боровков А. А. Асимптотические методы в теории массового обслуживания. М., Наука, 1979 , 357с.

12. Даниелян Э.А., Земляной Н.С. К асимптотике длины очереди систем Mr\Gr\l\oo в условиях критической загрузки. ДАН Арм.ССР. Ереван, 1978., T.XII, №4, С.193-196.

13. Даниелян Э.А., Земляной Н.С. Класс предельных распределений совместного стационарного распределения времен ожидания некоторых систем Mr\Gr\l\oo в условиях критической загрузки. ДАН Арм.ССР., Ереван, 1980., Т. XX, №1, с.3-10.

14. Джейазол Н.К. Очереди с приоритетами. Мир, 1973, 279 с.

15. Матвеев В.Ф., Ушаков В.Г. Системы массового обслуживания. Изд. Московского ун-та, 1984.

16. Диткин В.А., Прудников А.П,Спрвочник по операционному исчислению. М., Высшая школа, 1965, 446с.

17. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной. М., Наука, ФИЗМАТЛИТ, 1999.

18. Прохоров Ю.В. Переходные явления в процессах массового обслуживания. Лит. мат. сб-к. Вильнюс, 1963, Т.З, №1, с.199-206

19. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее применения. М., Мир, 1967, Т.2.

20. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М., Наука, 1969, Т.2.

21. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. Изд. Наука., М., 1965,

22. Азларов Т.А, Хусаинов Я.М. Предельные теоремы для систем обслуживания с абсолютным приоритетом в условиях большой загрузки. Изв. Ан УЗб. ССР, сер. физ.-мат. наук, 1974, №6, с.53 55.

23. Гахов Ф.Д., Черский Ю.И. Уравнения типа свертки. М., Наука, 1978, 296 с.

24. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М. Наука, 1977.

25. Даниелян Э.А. Дисциплины FIFO, LIFO, RS в системах Mr\Gг\1\оо с относительными и абсолютными приоритетами. Изв Ан Узб. ССР, сер.физ.-мат. наук, 1981, №5, с.9 14.

26. Духовный И.М. Однолинейная система обслуживания с чередованием приоритетов. Проблемы передачи информации, 1969, №2, с. 61- 72

27. Евграфов М.А. Аналитические функции. М., Наука, 1968.

28. Кожевин Д.А., Ушаков В.Г. О предельном распределении длины очереди в СМО с относительным приоритетом при критической загрузке. Вест. Моск. ун-та. Сер. 15, Вычисл. матем. и киберн. 1988, №2, с.43-47

29. Коэн Дж., Боксма О. Граничные задачи в теории массового обслуживания. М. Мир, 1987, 272 с.

30. Печинкин А.В. Большая загрузка в системе с дисциплиной преимущественного обслуживания требований наименьшей поступившей длины с прерыванием обслуживания. Мат. Исследования. Кишинев, 1986, №89, с. 85 93.

31. Ушаков В.Г., Харитонцев Е.Г. Оценки скорости сходимости в некоторых предельных теоремах для приоритетных СМО, В сб. Случайный анализ, М., МГУ, 1987, с.121 129.

32. Ушаков В.Г., Харитонцев Е.Г. Об оценках близости распределений по их преобразованиям Лаиласа-Стилтьеса. В сб. Вероятностное моделирование систем и сетей обслуживания. Петрозаводск, Петрозаводский гос. университет, 1988, с.79-84.

33. Хинчин А.Я. Работы по математической теории массового обслуживания. М., Физматгиз, 1963, 236 с.

34. Hooke J.A. Some limit theorems for priority queues. Dep. of opns.Res., Cornell University., 1969, TR №.91.

35. Hooke J.A., Prabhy N.V.Priority queues in heavy traffic. Opns. Res. 1971, №, pp. 1-9.

36. Iglehart D.L. Whitt W. Multiple channels queues in heavy 1,11. Adv Appl.Probab, 1970, m, pp 150 177; №2. pp.355 - 369.

37. Kingman J.F.C. The server queue in heavy traffic. Proc.Camb.Phil.Soc. 1961, 57, pp.902-904.

38. Kingman J.F.C. On queues in heavy traffic. J.Rey. Stat. Soc., 1962, B-25, pp. 383 392.

39. Rosenlud S.I. On the length and number of served customers of the busy periods of a generalized M\G\l queue with finite waiting room. Adv. Appl. Probab. 1973, №5, pp.379-389.

40. J. Abate, W. Witt. Limits and approximations for the M\G\1 LIFO waiting time distribution. Operation research letters, 1997, 20, pp. 199-206.

41. J. Abate and W. Whitt, An operational calculus for probability distributions via Laplace transforms, Adv. Appl. Prob., 1996, №28., pp. 75-113.

42. J. Abate and W. Whitt, Laplace transforms of probability density functions with series representation. Operation research letters, 1998.

43. Bramson M. Heavy traffic limits for some queueing networks. School of math., University of Minnesota, Minneapolis, MN55455.

44. Limic V. On the behavior of LIFO preemptive resume queues in heavy traffic. Elect. Comm. in Probab., №4, 1999, pp. 13-27.

45. Puhalskii A.A. Moderate deviations for queues in critical loading. University of Colorado at Denver, 1997.