Представления классических групп и многообразия алгебр Ли тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В.ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 512.5

Журавлев Валерий Михайлович

ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КЛАССИЧЕСКИХ ГРУПП И МНОГООБРАЗИЯ АЛГЕБР ЛИ

Специальность 01.01.06 Математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры

механико-математического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Бахтурии 10. Л.

Официал (I е оппоненты:

— доктор физико-математических наук, профессор Пчелинцев С. В.

— кандидат физико-математических паук, Михалев А. А.

Ведущая организация:

Ульяновский государственный университет

Защита диссертации состоится ", ..." 1996 г. в 16

час. 05 мин. на заседании диссертационного совета Д.053.05.05 при МГУ по адресу: 119899, ГСП, Москва, Воробьёвы горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ ( Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан " ^ " 1996 г.

Учёный секретарь диссертационного совета Д.053.05.05 при МГУ

д.ф.-м.н., профессор В. Н. Чубариков.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В теории представлений групп естественной задачей является нахождение всех подмодулей данного модуля. Согласно теореме Машке, над полями нулевой характеристики любой модуль над данной группой раскладывается в прямую сумму неприводимых модулей, т.е., зная неприводимые компоненты, мы получаем ответ на поставленную задачу. Тем не менее, нахождение компонент разложений и их кратностей во многих случаях сопряжено с трудностями, поскольку исходный модуль представления может быть задан различными способами, затрудняющими эту задачу.

В случае, когда удается представить наш модуль как модуль индуцированный с некоторого модуля подгруппы исходной группы, используя закон взаимности Фробениуса, мы можем свести задачу разложения над данной группой к задаче разложения над ее подгруппой.

В теории алгебр Ли свободная алгебра Ли ¿(V), порожденная конечномерным пространством V, является подалгеброй Ли в тензорной алгебре Т(V) модуля V и естественным образом является левым модулем над полной линейной группой СЬ(У), причем однородные компоненты Ьп(У) являются С£(У)-подмодулями. Можно также определить правое действие симметрической группы Бп на пространстве Ьп{\г) как ограничение действия симметрической группы на тензорной компоненте Тп(У).

Хорошо известно, что в этом случае задачи разложения на неприводимые компоненты над полной линейной и симметрической группами эквивалентны. Структура свободных колец Ли над симметрической группой исследовалась,в частности, уже в работах [I]1 и [2]2. Ближе к нашему времени в работе [З]3. удалось представить пространство Ьп(У) в виде модуля, индуцированного с одномерного представления циклической группы, и ответить, какие неприводи-

'[1] Burrow М. Invariants of free Lie rings Comm.Pure Appl.Math.,1958.,11, 419-431.

2[2] Thrall R.M. On symmetrised Kronecker powers end the structure of free Lie ring Amer.J.Math.,1942.,64, 371-388.

З[3] Клячко А. А. Элементы Ли в тензорной алгебре Сиб. матем. ж., 1974.,15 N 6, 1296-1304.

мые компоненты входят в GL(V)- разложение модуля Ln(V) с ненулевой кратностью. Была также получена формула для кратностей неприводимых модулей. В этой формуле оставались неизвестными значения простых характеров симметрической группы на классах сопряженных элементов, соответствующих произведению независимых циклов одинаковой длины. Нахождение этих неизвестных значений характеров позволяет нам использовать формулу для кратностей неприводимых модулей. Используя результаты статьи [4]4 удается найти и другой метод для вычисления кратностей.

Исследованию вербальных идеалов относительно свободных алгебр Ли посвящена работа [5]5, в ней доказано, что в случае бесконечного поля и бесконечного числа порождающих элементов, инвариантная подалгебра свободной алгебры Ли является вербальным идеалом. Нами рассматривается случай конечного числа порождающих элементов и показывается глубокая связь вербальных идеалов с действием универсальной обертывающей алгебры Ли всех дифференцирований исходной свободной алгебры Ли.

Мы, также, изучаем полинильпотентные многообразия, используя конструкции индуцированных модулей и сплетения групп перестановок. Заметим, что базис свободной алгебры этого многообразия построен в [б]6. Аналогично [3] нами рассматриваются и функториальные свойства модуля следствий тождества полинильпотентности степени п в модуле Ln(V).

Цель работы. Найти значения простых характеров симметрической группы на классах сопряженных элементов, соответствующих произведению независимых циклов одинаковой длины. Вычислить кратности неприводимых модулей над симметрической и полной линейной группами в однородных компонентах свободной алгебры Ли, и модулях следствий тождеств над полями нулевой характеристики. Исследовать модульную структуру полинильпотентного многообразия.

Научная новизна. В диссертации получены следующие основ-

4[4] Blessenohl О., Laue Н. On Witt's dimension formula for free Lie algebras and a theorem of Klyachko Bull. Math. Soc.1989.40. 49-57.

5[5] Андреев К.К.,Шабельникова Д.Г. Характеристические подалгебры относительно свободных алгебр Сиб.матем. ж., 1973.,14 N 6,1336-1337.

6[6] Бокуть Л. А. Баз а свободных полинилъпотентных алгебр Ли, Алгебра и логика, 1963., 2, N 4, 13-20.

ные результаты:

1. Найдены значения простых характеров симметрической группы на классах сопряженных элементов, соответствующих произведению независимых циклов одинаковой длины.

2. Предложены два метода для вычисления кратностей неприводимых модулей над симметрической и полной линейной группами в однородных компонентах свободной алгебры Ли и произведены их вычисления для многих частных случаев.

3. Доказывается равенство вербального идеала свободной конеч-нопорожденной алгебры Ли, порожденного совокупностью тождеств {и = 0|i> б IV), где ^-некоторое множество неассоциативных многочленов от т переменных, и идеала U(DerL)(W), порожденного действием универсальной обертывающей алгебры алгебры Ли дифференцирований на множестве W.

4. Находятся оценки на кратности неприводимых модулей над полной линейной и симметрическими группами в пространствах однородных компонент вербальных идеалов при переходе от тождества степени п к его следствиям степени п -f 1.

Б. Обобщаются результаты работы [3] на полинильпотентный случай. При этом над коммутативным кольцом Л с 1, содержащим элементы 1/п и первообразный корень е степени п из 1, для любого мультишщекса а4 = (aj, «2,..., ач), а^а2 ■. .ач = п, а,- 6 N, н произвольного R - модуля V мы определяем GL(V) - модули Lai(V) и Са»{К), и, соответственно, функторы и Са« и доказываем их изоморфизм.

Все основные результаты являются новыми, их достоверность подтверждается подробными доказательствами.

Апробация. Материалы диссертации докладывались на семинарах механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова и на семинаре по алгебре в Ульяновском государственном университете.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах 1-2.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы из 16 названий. Общий объем диссертации 82 страницы.

Во введении показана актуальность работы, сформулированы основные результаты. В главе 1 исследуются кратности неприводимых компонент в однородных компонентах свободной алгебры Ли как модуля над полной линейной и симметрической группами.

В главе 2 изучается структура вербальных идеалов свободной алгебры Ли над полной линейной и симметрической группами.

В главе 3 исследуются структура модуля следствий произвольного тождества полинильпотентности.

Содержание диссертации.

1.1. Известно [7]т, что алгебра Ли L = L(X) со свободным порождающим множеством X = {х\, х?,... , хт} над полем F, является левым G — GL(V) модулем, где V - векторное пространство над F с базисом X. Подпространства Ьп(Х) однородных элементов алгебры L(X) степени п инвариантны относительно этого действия. Если charF = 0 и F содержит первообразный корень степени п из 1, то неприводимые G - модули в пространстве Ln(X) имеют вид

Vx = Tn(V) <g) ГА,

F[Sn]

где д - это Sn - модуль, отвечающий диаграмме Юнга [A], a Tn(V) — V ■ ■j®Vj . При этом V\ - нулевой, если количество строк в диа-

п

грамме больше, чем m = dimV — |Х| .

Цель первой главы диссертации вычислить кратности m(V\, Ln(V)) неприводимых G-подмодулей модуля Ьп{Х), отвечающих всевозможным диаграммам [А]. В работе [3] приведена формула

m(Vx,Ln(V)) =

d|n

где т = (12...п) € 5п, " характер неприводимого Sn модуля отвечающего разбиению А, а /i-функция Мебиуса.

Пусть А = (Ai, Аг,..., А;-) - собственное разбиение числа n,Afc > 0,7i = Id, тг £ {tí'}. Обозначим через сд количество чисел в графе

7[7] Бахтурин Ю. А. Тождества в алгебрах Jlu. М., 1985.

крюков диаграммы, которые делятся на с1, другими словами количество чисел таких что <1 | /1,^.

Теорема.[Основная] а) Если сд ф п/<1, то ХЛ(7Г) = 0.

б) Если с\ = п/й, то

где произведение берется по всем (г,У).

Знак характера вычисляет следующее предложение.

Предложение. Пусть диаграмма [Л] есть объединение I косых крюков длины с/ с длинами ног /?,-. Тогда

Эти формулы можно считать обобщением известной формулы крюков для размерностей неприводимого 3„- модуля. Используя эти результаты, мы получаем возможность применять формулу А.А.Клячко для вычисления кратностей простых компонент моду-

1.2. Второй параграф посвящен вычислению значений характеров для многих частных случаев. В третьем пункте первой главы предлагается также другой метод для вычисления кратностей, использующий результаты [4].

Пусть Ь^х1,...,\к){У) -полиоднородная компонента в Ь{У). Положим

ля Ьп{У).

сИт/-£(д11...1лк)(У) = /А,,...,А* =

Тогда

т(Ух,Ьп(У)) = ^ sgnalx1-l+„(l)l\г-2+o(2),...м-k+c(k)

где последнее суммирование ведется по тем а, для которых Л,- — i -f a-(i) > 0 для всех i = 1,2,..., к.

На основании этих двух методов проводятся практические вычисления кратностей неприводимых модулей во многих частных случаях.

1.3. В заключение первой главы рассматривается ряд, характеризующий двупорожденную свободную алгебру Ли L(x\, т.2) над полем ^charF = 0:

H(t,s)= 'A,.Aa*A,*Äa>

Ai,A2

где Ai + Аг = п.

Поскольку /д,,а2 = 'ai,a2) то H{t,s) = H(s,t). Заметим, что при Ai > 1, имеем /д, о = 0. Неприводимые GL(2) модули V\ — Tn{V)®FSn Т\ отличны от нуля, если диаграмма [А] содержит только две строки, то есть А = (А^Аг), Ai > Аг > 1. Пусть m[V\,Ln(V)) — т\иХт Рассмотрим также ряд кратностей неприводимых GL(2) модулей в С£(2)-разложении модуля L(x 1,^2):

I<{t,s)= rnxiix2i^sx\

Ai>A2>1

Ряд K(t,s) не симметричен относительно переменных s и t. В оставшейся части главы мы выводим равенство , связывающее ряды H(t,s) и K(t,s). В итоге получаем

(t-s)H(t,s) = tK(t,s)-sI<(s,t).

2.1. Вторая глава посвящена изучению вербальных идеалов свободных конечнопорожденных алгебр Ли над полями нулевой характеристики. Напомним, что подалгебра В алгебры А над кольцом R называется характеристической, если она выдерживает все дифференцирования алгебры А, т.е. для любых S £ Der А и Ь £ В имеем S(b) £ В. Хорошо известно [7], что вербальные идеалы (подалгебры) над полем характеристики нуль являются характеристическими. Подалгебра В в А называется инвариантной (вполне инвариантной), если она выдерживает все автоморфизмы (соответственно все эндоморфизмы) алгебры А.

Предположим, что некоторое многообразие определено совокупностью тождеств {и = 0|и (= И7}, где И7-некоторое множество неассоциативных многочленов от m переменных, т.е. W С L{X). Рассмотрим вербальный идеал W(L{X)) алгебры L{X). Это - наименьший идеал, выдерживающий все эндоморфизмы алгебры L(X).

Пусть DerL - алгебра Ли дифференцирований алгебры L(X). Обозначим через U = U(DerL) универсальную обертывающую алгебру алгебры Ли дифференцирований. Поскольку L(X) есть U {DerL)-модуль, то рассмотрим линейное пространство U{DerL)(W). Это множество является идеалом в L(X). Легко видеть, что в нашем случае идеал U(DerL)(W) является характеристическим идеалом алгебры L(X). И, как отмечалось выше, над полем характеристики нуль, нетрудно доказать характеристичность вербального идеала следовательно, существование вложения W{L(X)) С U(DerL){W).

В первой части второй главы доказывается равенство этих идеалов.

Теорема.

W{L(X)) = U(DerL)(W).

2.2. Используя эту теорему и известное правило Ричардсона-Литтлвуда, мы получаем оценки на кратности неприводимых gl(V)-модулей в пространствах однородных компонент вербальных идеалов при переходе от тождества степени п к его следствиям степени п+ 1.

Для формулировки соответствующей теоремы обозначим через Rk[Л] и i ф j, i ф к диаграммы, полученные из диаграммы [А]

прибавлением клетки в к-ю строку диаграммы [Л] и,соответственно, удалением клетки из г-й строки н прибавлением по клетке в j-ю и к-ю строки. Если после таких операций получается несобственная диаграмма, то считаем, что соответствующий символ обозначает пустую диаграмму. В следующей теореме m = dim V.

Теорема. Пусть д1(у)-модулъ W = Wn(L(V)), порожденный множеством W, изоморфен неприводимому gl(V) - модулю, соответствующему разбиению А = (Ai,.. .,Am) числа п, т.е. W — V\. Тогда, если и Rjk[\],i,j,k £ 1 ,т, непустые, то

a) mît (vRt[A], Wnn(L{V))) < m - 1;

6)mlí (vRyA]lÜ/„+1(I(l/))) < 1,

а все остальные неприводимые модули входят в разложение U/n+i(£(V/)) с нулевой кратностью.

2.3. И в заключение второй главы, в частном случае двупоро-жденной алгебры Ли, находятся старшие весовые векторы этих неприводимых модулей следствий. Для этого вводится линейный оператор

S : L(x, у) L(x,y),

S = z,dxg — ad у/г.

Действие этого оператора на векторах старшего веса является определяющим.

Теорема. Пусть f(x,y) = 0 - однородное тождество степени п, порождающее si2 - модуль R„ = ^(Ai,A2)> а v-вектор старшего веса в s¡2 - людуле, порожденном /. Тогда

а) Rn+i - простой sl<¿ - модуль, порожденный элементом [х,и], тогда и только тогда, когда Sи = 0, и при этом Rn+i —

б) Rn+Í = v(a,+i,a2) ф ^(aba^+i), если Sv ф 0, и порождающими неприводимых модулей будут соответственно вектора старшего веса [i,и],Sr.

3.1. Пусть R - коммутативное кольцо с 1, содержащее элементы 1/п и первообразный корень е степени п из 1, а V - некоторый R - модуль, для любого мультииндекса aq = (ai, яг, • ■ aq), сца? ... aq = п, a¡ £ N, мы определим GL(V) - модули Ьач(У) и Ca^l7), и, соответственно, функторы Ьач и Сая и докажем их изоморфизм.

Для определения подпространства La4 рассмотрим полинильпо-тентное многообразие

N0* = Na^iNa,^-!. ..Nai_! = Na?_iNoí-.,

которое задается некоторым тождеством, также называемым тождеством полинильпотентности

fai{t\,. ..,<„) = 0.

В модуле Ln(V) рассмотрим подмодуль следствий тождества полинильпотентности

/ач (fi,.. - ,tn) = 0.

Обозначим его через Lai{V). Очевидно, что La? - функтор из категории R - модулей в себя.

Обозначим через Г,- - циклическую группу порядка г,порождающий которой реализован перестановкой-циклом длины г. Рассмотрим сплетение групп перестановок

Тая = Га, ! Га2 I ■••l Га, = Га,-1 I Г„5 С S„.

Обозначим через Raq одномерный Га» бимодуль, определенный ниже, через групповое кольцо группы Гад. Положим

Ca4{V) = Tn{V) ®ЛГо, Ra"

Очевидно, что С0ч(У) наделен также структурой GL(V)-Mopynn,a. Cai является функтором в категории R - модулей.

Теорема. Пусть R- коммутативное кольцо содержащее элементы 1 /п и е- первообразный корень степени п из единицы, где п = |<*?|. Тогда функторы Сач и La* из категории R-модулей в себя изоморфны. Если R- поле и dim К < оо, то Сая(У) и Lai(V) -изоморфные GL(V) - модули.

Эта теорема обобщает результаты работы [3], касающиеся изоморфизма функторов L„ и С„ из категории R - модулей в себя.

3.2. В групповом кольце Sn строятся идемпотенты caq и 1аЧ, которые являются взаимно обратными отображениями R модулей Сач, и Laq. Следовательно, модуль Laq изоморфен модулю, индуцированному с одномерного модуля над группой сплетения нескольких циклических групп. Исходя из этого, удается, в частности, вычислить разложение на неприводимые компоненты модуль следствий тождества разрешимости ступени 3.

Предложение. В разложении модуля

fiSsKfci, х2], [х3, z4]]( [[кs, х6], [х7, г8]]]

на неприводимые компоненты присутствуют только модули (без кратностей) отвечающие разбиениям

(З2,2), (4,2,12), (3,22,1), (3,2,13), (23,12), (3,15).

Автор выражает глубокую признательность и благодарность Ю.А.Бахтурину, под руководством которого выполнена данная работа, постановку задач, и моральную поддержку. Автор также благодарит М.В.Зайцева и С.П.Мищенко за внимание к работе.

Литература

[1] Журавлев В. М. Кратности неприводимых компонент свободной алгебры Ли как модуля полной линейной группы Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1993.,2. 31-35.

[2] Журавлев В. М. Представления классических групп в свободной алгебре Ли над полями нулевой характеристики деп. в ВИНИТИ за 1225-В96 от 15.04.96 г.