Применение метода Стеффенсена в ограниченных задачах небесной механики тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

КАЗАХСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗКЛМШ! ГОСУДАРСТВИПШ Л^ЕРСНТЕТ Ш.С.М.К11РОМ

;

На правах рукописи Нартикоец Павол Соргеошн

ПР1!МШа!ЯЕ НЕТОДА СТВЙ<ЕНШ1Л Б ОГРЛШИШЫХ ' ЗАДАЧАХ НЕБШЮИ МЕХЛЗПЖИ

(01.02.01 - Теоретическая механика )

Автореферат

диссертации на соясканио ученой степени кандидата фгаико-матомаппоских наук

Лл>«а-Атд, 1991

Puöo'ra выполнена в Сеиоро-Осетаноком. государев воином университете им, КЛ.Хетагурова

Научный руководитель - доктор физикочиатематически*

наук,ирофессор Демин В,Г* Официальные оппоненты- доктор физико-математических

наук,профессор Калыбаов A.A. - кандидат физико-математичаских наук, о.н.о^ Беков A.A.

Ведущая организация ~ Московский государственный

технический университет им.Н.Э.Баумана

Защита .состоится " S " . /// 19у1 года в З-О часов на заседании споциализ ированнаго совета К 058.01.09 в Казахском государственном университете кьцС.М. Кирова по адресу: 460012,г.Алма-Ата,ул,Масанчи,33/47, в актовом зоне.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке КазГУ, Автореферат разослан " " Jt 1991 .т.

УчешИсокрвтарь спецсоьета, к.ф-м.н

Томллкн А.К.

Подписано в печать 23.01.91р.

Формат 60x34 I/I6. Заказ 53. 'Гирач 130.

Институт молодежи ЦК BJIKCM и Госкомтруда СССР

ОПДАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАКЛИ.

Общие решения большинства практических задач динамики космического полета в аналитической фор/е в замкнутом виде найти не удается. Поэтому на практике приходится использовать либо приближенные аналитические методы, либо методы численного интегрирования» Наряду с ними можно рекомендовать промежуточный по своему характеру метод Стеффенсена, предложенный им для решения неограниченной задачи трех тел и ограниченного кругового варианта этой задачи. Он позволяет построить решение ряда динамических задач в виде абсолютно сходящихся рядов по степеням и основан на непосредственном использовании частичных сумм рядов Тейлора \!.!аклорена) без привлечения каких-либо интерполяционных формул.

Настоящая работа посвящена дальнейшему распространению метода Стеффенсена на ряд актуальных модельных задач прикладной небесной техники. Полученные результаты могут представлять практический интерес при выполнении баллистических расчетов в динамике космического полета, причем внедрение метода Стеффен-сбна обеспечивает минимум методических ошибок по сравнению с численным интегрированием и высокое быстродействие.

Предлагаемый Стеффенсеном способ имеет по сравнению о другими методами ряд преимуществ (наивысшая возможная точность при заданном шаге интегрирования, возможность интегрирования о переменным числом производных и пр.). ивЛЬ-ИбйШ

- получение решения различных ограниченных задач небес-ноП механики (обобщенная задача трех тел Хилла, предельная гиперболическая задача трех тел, фотогравитационная ограниченная круговая задача трех тол, задача о спутнике трехосной планеты,

обобщенная задача двух ноподвимшх центров).

■;!§22В..Е£23§32£<Ш25-- При построении решений применяется метод CwWciiceiia. Общее решение уравнений движения отроится, в в идо рядов по возрастающим стопоням аргумента с определенными коэффициентами. Введоние дополнительных (избыточных) координат избавляет от громоздкой операции деления степенных рядов- и существенно упрощаот алгоритм построения решений. Для коэффициентов искомых рядов находятся рекуррентные соотношения* Методом полной математической индукции доказывается существование мажорантных оценок для коэффициентов и устанавливается абсолютная сходимость построенных рядов,

£Й21ШШШ2252йЗ' . Автор впервые приманил метод рекуррентных соотношений для коэффициентов степенных рядов при построении решений актуальных модельных задач динамики космического Ьолета и получил условия абсолютной оходимости этих рядов..

■ Получешше результаты мод-

но исподьзоЕать в задаче о сближении 0 йричалйванйй йобмических

аппаратов, в теории пометных форм, в динамике космических аппа-

i

ратов о солнечным парусом, в теории евалюЦйи протойланвтноГо га8о-пылового облака а пр.

Апробш}ия_работа. Основные результаты дйооертации доложены на семинаре по клаооичеокой динамике МГУ (научные руководители: проф. В.Г.Домин, доц. И.ИЖооенко, стлшуч» сотр. Я.В.Тата-ринов), на соминаре кафедры теоретической механики УДН им. П.Лу-мумбы (научный руководитель - проф. А.С.Галиуллин), на семинаре кафедры теоретической механики Казахского государственного университета им. С.М.Кирова (науч. рук. - проф. В.А.Сапа).

Публикации.. Основные результаты диссертации опубликованы в четырех початше работах 1-4

- ъ -

Q î DYI; S Y Р; 3 „ 1! _ S Í/L 2" L? _ P 3 б 21У • Диссертация состоит г?одаш«, '/voz глаз,. лркло-.гнпя и списка литератур» (21 иапиоиоодся) л .12 рюукяоз, 0:51 язлокскя па 120 страницах кашноиисиого тг-гг-

С0ДБГП!5Ш PAEOi'l,

Ео содв^ится краткое описоиио tictopm г.пп{.оо« tr»

теме дг.ссяртпции. Обосноснметея актуальность jnßow. /и; 0,1:1.4•

f'OOy.lbT.lXOn ПО ГЛЛй&М.

Р mproîî п«1'Э 1?осло,цуктсч ирздолышо ^ргаптн обо£.,«?»»игГ« огрпяпагнем ¡задач?! трах юл,

В 5 I г.-лш I рассиатрпЕазтся обобщонцал Т.Н.Лубоп-.шп» о» -ездача тол в'с:л:слс Хплла, котоотл пр?дс: аг-лп"? С5обой продольной рдрпнт елл:;пт;п!ес."0{1 задачи трзх тол бот уч-7Л паралался одной «з 'пр;!7Я1Исаь-?«с

Лг'лпп-:!'о пасс'.'кно гриишцтукг'г-'! точяи изунттся п бгщг:?-координатах Нехвплла и спяс.геасТся д^ф^Р^чниалг.;:."»-.! урп-ие-ш'лга:

d'x п а - ¡i ^J'/f/iïi т,*зт.L, ,,

"/С сВ- " [Í " е CCS vrj I г т^ъ}1-

Й *// >есо4{¥ - О , (1)

0 +еа*г)г*о.

и которых "С - ¿.'одуль радиус-вектора ппссиено граЕитирующей точки, /т}„ \\(Гц - массы притягивающих тел,, V - их истинная аномалия, в - эксцентриситет их коплеровских орбит8 <Г~~ ^ , прпчеь: П. - среднее деижснио притягивающих масс.

Вводятся избыточные координаты и У\-'1'1 К системе (I) присоединяются соотношения:

Произвольное частное решение уравнений (I) и (2) строится в ш,цо рядов по степени истинной аномалии:

оо л с^

И.О ' «-=0 чр '

г = , У = (3)

«.»О ¿»О

С помоцью рекуррентных соотношений ыежду коэффициентами и их иажорирошшил получены оценки

^ к к

гдо • К к. ~ роы] >

А,Ъ,С,С$,Е,А _ ПОСТОЯШШО, УДОЬЛОТЬОрЯЩИО ЪСПОМОГйТОЛЬНШ нэрииснстваи, Из отнх оценок следует абсолютна» сходимость построенных ¡адов. Ряда (3) абсолютно сходятся прл 1?ф'\ 1 .

Рушение, оадаваоиоо формулами (3), пригодно для любнх чме» лобцх значений эксцентриситета,

В § й главы I изучается предельный случай гипэрОоянчгюЕоЙ ограниченной задачи трах тел, сперме прцдлохл»:ша Дбшаеш В.Г. и Ар&оошы Г.Т. Рассиауришетсм дияжошю пассивно гршпирухз.ой

частицы под действием сил ньютоновского тяготения двух масс, движущихся относптзльно их общего центра инерции по /еплеров-сюш гиперболическим орбитам.'

Задача описывается следущей продольной системой уравнений ДЕИженнл;-

dtг =l Z*

-f

Для избыточных поременных X= Z и t верш соотношения: с/X , _ у c[t г г г. *

«¿ZT +Mdt =0 *= * " + z . (6)

Ь'ешонио системы (5) и (6) строится с помощью абсолютно сходчвдх-ся по степенях» рядов вренени с неопределенными коэффициентами:'

то «:0 ' *То >

X = Se. t\ • (7)

X »O f Sl

Доказательство абсолютной сходимости рядов (7) проводится, слодул работам Сте^К'енсена.

ßo 5l2poß_j;aäfiS изучается фотогравитацношая ограниченная круговая задача трех тел с учетом эффекта Пойнтинга-РоСертсона.

На гравитационное поло двух точечных масс, обра^аки;ихсл вокруг общего центра imepum, накладывается поле световой репуль-сии, источники которого совпадает с притягивавши массами. Исследуется движение пассивно гравитирукцой натерюлыюА

- Ь -

точки в суперпозиции отих силовых полей.

Условно считаем что одной ко прт-ягивакгцих иаос является Солнца, а другой - Юпитер.,

Ь гелиоц&птрлческой системе координат уравнения дкисшы нид:

х-ььШ-Цк^Щ-*-*-*'} •

где и Ъь - нодули расстояний до Солнце, и Юпитер, Сило-еап функция дается формулой; ' ,

{&>%>)-XX - (9)

шиш:

Вводятся дополннтелыгио порйиешгыо: ~ ^ > ~ ' -у .„, _ ,-г-

I , "Ц , удовлегаоряхциз диффоренциьлыгл! соотпс

^ат* ¿гг а-^.г),

4. и -1 с{/±

* с11

Поглодаю снсото с угспгаг.иаш (6) и соотноденшши

= у8-,-* (п)

у С&Ь. +/!-' ¿11. -П V ь/Ъ-П

обязуют пол,чум систеау ураиюний отллснтольно 1шрсюо:ып

у. ¿Ли г*, У-*., Хч.

- У -

Репониэ 1гцетсл а гидо рчдоп о неопределенными коо'Мицпен-

В § 2 для коэффициентов этих рядов ПОЛуЧЗКЫ рекурр&нтниу асотношоинл^ В § 3 проведено иослодоваииз абсолютной сходимости фордальинх реие:шй с помощью казоранпшх оценок для 1:оз$1и-

циоптов.

Б § I гяашд 3 спудшк, пргаш;,'.ленкй за г^ссиено граьитиуую-цун члогицу, де'.::.:зтс:! ъ полз тягогегсм планеты, обладлмуэй трх-ссш*:.; цзт'рзлыслм одяипсоидом г'лг-зт.:?.:?и и равчгсизрно яргтааг.еЧся :;округ одной ца сесгс: гздтггьх центральны;; осей гаодош. Нтонод Л'лаа1;з;чос:гп сиггогр::чна относительно птоскооги, прохо^адой «герза Ц; нтр инетлг.-л йврпендаулврго сен со враг'.енит.

Урактнил дрцкеш: I опуиапсч го гг;«Йсч п л «: ? с V а т ^::' г о ~ сглй координат таею? шгд:

112)

Г ' - эа

г/ ! О У. '

Силог---: .^уиязм п точч -1 «.(•• г,к.»/

- 1С -

ул равна!

¡1 _ , ЪХ^ + Чгг У**»^

1/С — т. - ~ 3

«9 <14>

гло а-¿л. ¥-7^3-2а.Ь

пгячом З^УиЗ» " главные центральные моменты инерции планете} сЛ - характершй линейный размерен

В качестве избыточных координат принята величины % , Х = У= Х"Г удовлетворящио соотношениям:

гМ Л=0.

(15)

Вместе о уравнениями (13) и соотношением

= ^ ' (16) 01С1 образуют замкнутую систему относительно перемоток

X. У, 2, * , А\ У. (

Решение указанной системы строится в видо рядов:

с«.!*,

„ _ - " ^ «л м Л

»«О

ТГГ„ I к!0 ' »--о

(17)

Доказана абсолютная сходимость рядов (17) в некоторой области лзмансния t ,

Установленные результаты представляют практический интерес пр| расчетах движения космического аппарата в окрестности Луны.

В § 2 главы 3 рассматривается обобщенная задача двух неподвижных центров. Задача состоит в исследовании движения спут-

кика в ньютоновском поло притякошш, создаваемом двумя непод-кетолш в абсолютном пространстве притягивающими центрам. Особое значение зта задача приобрела в связи с исследованием движения искусственных спутников осескмметричных планет. В спутниковой теории масса!', неподвижных центров приписываются надле-ааа^ш образом выбранные комплексные значения

Г>Ь = , тя = гГ {<- <Г1) . (13)

Протея с-или Ц2ИТШ располагаются на шшюн расстоянии друг от, друга.

Уравнения движения пассивно гравитирующей точки в плането-центричесной системе координат записываются в виде;

Х=и'х , , 'ц-и'а .

Спловая функция обобщенной сэдачи двух неподвижных центров

П]; оде та в ля отел фо ¡тл у;; о й ^

,. _ (+ I -1 ■ 'I \ '¿I /

в которой

- ха+1/г + -с(<г± ¿}]\ (П = г).

Звздени мзбытсчшю координаты X^ ,^ X= , -I

' I которю удовлетворят1 соотношениям:

" ¿Х У -п « с! У , а V <11± _ „

Задача заключается в интзгрлро^алии спстокиЧ (19) - (ИТ) прп сздат:их ¡ичельних услос/лх.

Сгрои-:оя искспоо чклтняэ рогзшю в виде радов:

г—'> ' - «-•■п. и 4

Га, С , .

" '«з ' ?■■■') ' '-"О

а »и л. в о

Уст ъчовлона рокурроитнио соотношения для гачисл:<в;г:1 яоонрсдо-лс*.ых коз|»рзця0НГОЕ рядов /22/.

При доказательство абсолютной сходимости стих рдцов иримэиол f/пто.ц математической индукции. Указаны вспомогателькко нора-FoiicTPn, но зависящие от индекса суммирования и обеспочаьлз-тке рбсолмтнуо сходимость построашшх рядов.

В нрнло^онии дается краткое описание результатов числои-;шх траекториях расчетов для отдельных рассмотрзнжи: дзе-сортяции задачу, которые позволяют оцэннгг, досгол;с!.;;а метода Отаф-ьенсвиа.

Численно были исследованы слодуадао заказа: обоб^опная задача-Хиллы /плоский вариант/, гиперболическая ог~ рзмичопзия задача трех тол /плоски!! вариант/, двкздииэ материальной точки в поло тяготит трохосноГ: планеты.

Траектории вычислялись на ЗБ," методом Рунгс-Кутта '1-го порядка п с помощью рядог Стерторозна*. Оривноиио методов проводилось по критерии их быстродействия.

Внесло квя показали, что го ксох задачах катод СтвДОисвиа

t

экономичной по быстродействии, Он обоспочиваот дверную экономии мпаинного времени.

На защиту выкосятся следующие осиоянке результат« диссертации:

1. Обобщать и обоснованно »и?ода Стедапсена на аадачп т-босной механики о двибонии материальной точки в произвольных потенциальных полях.

2. Построены решения с форуо сходящихся степенных рядов для сообщенной задачи Хилла, продельной гиперболической ограниченной круговой задачи трех тел, (¿отограввтационной ограниченной круговой задачи трах тол, задача о двиконви снугпика и ноле'тяготения трехосной планеты, обобщенной задачи двух ишюдвитншх цо кт¡юн.

3. Численными экспериментами установлено преимущество /в смысле быстродействия/ метода Стеффенсена по сравнению о численными методами интегрирования,

Автор выражает благодарность своему научному руководителю профессору В.Г. Домину за помощь в работе.

По содержанию диссертации опубликованы следующие работы:

1. Нартикоев П.СЛ Поотроениэ решений обобщенной задачи Хилла методом Стеффенсена. Депонировано в ВИНИТИ 03.02.87, Л 773-В-37, 17 с,

2. Нартикоев П.С. Об одном способе решения предельной гиперболической задачи трех тел. Депонировано в ВИНИТИ

03.02,87, &772-В-87, 16 о.

3. Нартикоев П.С. Предзычиоленйе движений материальной точки в поле тяготения трехосной план&тн» Депонировано в ВИНИТИ 03,03*87» Л 771-В-07, 40 б,

4» Нартикоев П.С» Фотограсйтоцаонная ограниченная круговая аадача трэх тел. Депонировано в ВИНИТИ 23,02,87, й 1245-В-в7„

бб Й4