Присоединенное представление и двусторонние идеалы в универсальной обертывающей алгебре полупростой аглебры Ли тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

i^ffiUCTEPCTflÛ НАУлИ, KidilEn ¡МШд И ТЕШЧЗСЛОЙ llüUlilrul РФ

. РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЛРУ1Ш НАРОДОВ

На планах рукооаса

КАЗАРОВ Андрой Сергеевич

ПРИСОЕДИНЕННОЕ ПРЕДСТАВШИЕ И ДВУСТОРОННИЕ ИДЕАЛЫ В УНИВЕРСАЛЬНОЙ 0БЕРТиВА1Ш /UTEEPE ПОЛ/ПРОСТОЯ

алгшъ м

(01.01.01 - шлвигтачвский анализ)

А В ТОР В О В Р А Т

дассертадаа на соасканив ученой стесана кацдвдата <£д5ако-ыатематачаскдх наук

Москва - 1992

Работа исполнена'на ка^одре математического анализа Московского педагогического государстьенного университета им. В.И.Лвшша

Научный руководитель -доктор физико-математических наук, профессор Д.П.2елобенко

Официальные оппоненты: доктор $изик. -иат&иатическнх наук, профессор л.Н.Рудаков доктор $изико-м&таыптических наук, доцант Ю.А.Неретин

Ведуиая организация - БеларусскиЯ государственный униьарсвтвт, г. иинск

Залита диссертации состоится " 1?э5 г.

в /о час, мин. на заседания спеадализироьанного

сонете л 053.22.23 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Российской университете друг б и народов по адресу: 117Э23, и'лскьа, ул.Орджоникидзе, д.3

С диссертацией кожно ознакомиться и научной библиотек Российского униьерситета дружб- народов по адресу: 117198, Ыоскьа, ул. идклухо-Оаклая,. д.6

1992 г

Ученый секретарь специализированного совета

щ

ашШк

, Ы.В.Драгнев

1

ОБШ ХАРАлТЕРйСТИлА РАЯ/Ш

Актуальность темы. Пусть (?• - цолупростая комплексная группа аш а 1Г - универсальная обертывавдая алгебра ее алгебры Ли . Задача классификации представлений алгебры 1Г непосредственно примыкает к важному классу а. дач, связанных с изучением представлений группы & и ее груопоьой алгебры в топологических векторных пространствах. Например, нз классификации всех простых модулей Харил-Чацдры для алгебры 1Г следует классификация всех вполне неприводимых представлений группа & в банаховых пространствах.

Заметим, что ядра представлений алгебры 1Г (другими словами, аннудяторы 1Г -модулей) суть ее идеалы. Таким образом, задача изучения двусторонних идеалов в универсальной обертывающей алгебре V важна с точка зрения теории представлений групп ¿и.

Цзльр работы является исследование конструкции идеалов (в терминах образуицих) в универсальной обертывающей алгебре полупростой конечномерной комплексной алгебры Ли.

Научная новизна. В диссертация получены следующие ноше . результаты:

1). Предложено описание алгебры и*старших, относительно присоединенного представления, векторов в V для.произвольной полупростой алгебры Ли.

2). Найдены необходимые и достаточные условия, выделяющие "старшие", относительно присоединенного представления, компоненты двусторонних идеалов в V среди всех идеалов алгебры V*.

3). Предложено конструктивное описание примитивных идеа-

лой в *ш*ебрв ЛГ длл произьодыюй полупростой алгебры М.

4). Найден явныЯ ьвд образу гада и соотношений алгебры старших ьсктороь 1Г+ для аростьас алгебр Ли типа , к

Б д. •

5). Иайдеи «ышЯ вид образующих примитивных идеалов в алгебре V для простой алгебры Ли типа А^ .

6). На Идеи йышй ьал образувдах ьсех двусторонних вдиалов в кьыггоьой оболочке алгебры Ли .

¿иоалц ь ал.'Убрв 1Г изучались и р^ива. Сукестьует, например, ©йзараая литература, иосья.ценная класси&икацда примитивных идеалов в 1Г . Однако, насколько известно автору, вопросу констру«;тиы;ого их описания по уделялоеь достаточного внимания, В дассертащи предлагается поы.й метод, позволяющий изучать идеалы алгебры V и терликах ах образухши:.

Методика 'и с а" плоения, 2 диссертавди используется так па-зыьаеныЗ метод старших векторов, заклычь/иаЯся ь систематическое исследовании "стараих компонент" идеалов алгебры 1Г , которые являются идеалами алгебры V4".

Теоиетлческая и псяктическая ценность. Диссертация ииоет теоретический характер. Результату, полученные в на?, ыогут быть использованы в теории дредставлений групп а также в области теоретической физика. *

Алробаимя габотн. Результаты диссертации докладывалась на школе-се:лннарв по групповым методам в физике (г.Тамбов, 1983 г.), а также на рабочем совещании ОЗй (г.Обнинск, 1991 г.)

Публикации. Основные результаты диссертации опубликовала в трех статьях, список которых приводится в конца автореферата.

2

Структура ц объем г-кботн. Диссертация состоит из ььодения, двух глав, прилояэнвя и списка литературы, содержащего 13 наименований. Объем диссертации - 93 страницы.

С0ДНР2А1МЕ I .оЮ-Ш

Во введении сформулированы рассматриваемые в диссертации задачи, приведены известные в птой области результаты, указано распределение материала по главам и параграфам и изложены основные результаты диссертации.

Пусть - полупростая конечномерная комплексная алгебра Да а V - зо универсальная обертывающая алгебра. Алгебра ЦТ кояет быть рассмотрена, как -модуль относительно присоединенного представления аЯ —> Еие{ V . В силу полной приводимости присоединенного представления а конечномерности неприводимых компонент в о^-«одуло ХГ , каждый идеал 3" алгебры 1Г однозначно определяется (и породдается!) сьоой "стар-оей" частьи {6 Т ; , где - максималь-

ная нальпотентная подалгебра в оь , соответствующая положитель-

т+

ны« корням. Легко убедиться, что о является идеалом в так на -эываемой алгебре старших векторов:

^ еи ; ««(-к+С^-о} .

Известно, что алгебра V*" конечно порождена. Более того, конструкция. V оказывается значительно проще, чем алгобры ТГ.

Постановка задачи: 1). дать конструктивное (в терминах образующих и соотношений) описание алгебры старших векторов.

3

2). исследовать связь между идеалам алгебры \Г и их "старанма компонентами", которые в диссертации называются Р-адвалами алгебры ТГ*".

3). Найти иьний вид образующих и соотношений алгебры и+, а также образувсвх идеалов в 1Г для простых алгебр ¿и малых рангов.

Глава 1 посвящена изучении алгебры старацх векторов в идеалов в алгебре V для произвольной полупростой алгебры ли. В иарагри}« 1.1 ¿¡¿одятся основные обозначения и формулируются известные результаты, используемые в дальнейшем.

Пусть с^ - похупростая комплексная конечномерная алгебра Ли и - ее подалгебра лартана. Обозначай через систему положительных корней алгебры относительно и чвроз йа - подсистему простых.коркой в . Корневые вокто-ры , ^ образует базис в максимальных ни-'оьлотент-

шл. подалгебрах?^ в , а элементы ^1 - базис подалгебры лартана . Таким образом, имеем:

<% * $ и.

Для любого -модуля У и любого подмножества V мы обозначаем 1М(А) - множество элементов из веса А 6 £ , где - пространство, сопряженное к , в ТУ - подмножество старших векторов в , то есть \\/: . В частности, универсальная обёртывающая алгебра V и симметрическая алгебра 5 алгебры Ли с^. могут быть рассмотрены, как -модула относительно присоединенного представления а<1; —^ £.пс£ V (соответственно, Вме1 ¿3? ). Легко убедиться, что V*и «Заявляются алгебрами, которые мы

4

назиьаем алгебрами старших векторов.

Для любой подалгеори OV а иы испадъзуо« обозначения

для санметрачоскоа, унаьир— сольной обортиьамце Й алгебр над PC и ах компонент веса /\ f , соответственно.

В параграфе 1.2 описывается конструкций алгебр V и S в терминах образующих и соотносеиий. агатам, чю кмаюг ыосто равенства:

(1) ё ~ S + <£> «d-K.Cs^

(2) V'-

Обозначай через ^ (экстремальный) проектор в S на S , определенный разложение* (1). Это же обозначение uu используеи а для проектора в U" на "LT , определенного разложением (2).

Пседложекие 1. Положим * ф . Тогда иыект иесто равенства:

(а).

(б).

где И - подпространство гармонических элементов в ¿> .

Следствие!. Пусть ~У - алгебра инвариантов присоединенного представления в £> . Тогда имеет место равенство:

Следствие 2. Пусть Н" - центр алгебры V и гдо ip - канонический изоморфизм ¿> и 1Г (отображение симметризации). Тогда имеют место равенства: (а).

5

ы. а О/фУ

лак следствие, получаем, что алгебра & (соответственно, алгебра V*) порождается образующими вида . ^ ^й) >

где (соответственно, Ь £ ) и и € Й

(соответственно, >1 £ и^И*) ).

Далее уточняется структура образуйте вида с по~

ыоацл так называемой алгебры -проекций ПГ . Пусть положено * . Тогда имеем:

(3) ^ = .

Обозначим через Т проекции в & на определенную

разложением (3), я положим для любого веса р. '.

где Цл »р (Ь^). ¿егко убедиться, что пространство

Т- ф Тф р

является градуированной алгеброй.

Предложение 2. Для любого веса справедливо разлохо-

гдо соложено

Иседложение 3. Для любого веса р. справедливо равенство:

ТО*) = т №#<)),

Таким образом, алгебра У оказывается образом пространства Н^% относительно действия проекдад "Г" .

Теорема 1. Пусть -У - идеал в , порожденный образующими ,, алгебры . Тогда фактор-отображение

фактор-алгебры в алгебру Т , определенное проек-

цией Т" • является изоморфизмом алгебр.

Следствие. Пусть алгебра Т порождена образующими н соотношениями:

где Р. - некоторые полиномы. И пусть 6 «5» такие,

что = , ?'-»£. Тогда алгебра 5 порождена

образующими , ' >"> ? 11 соотношениями

вида: ,

Эта результаты переносятся в алгебру 1/^с аоиощьп канонического изоморфизма V/ ^ —> V.

Параграф 1.3 посвяден изучению связи между идеалами алгебры V и их "старшими компонентами", которые мы называем Р-иде-алами в алгебре Л/+.

Пусть 3~ - двусторонний идеал алгебры 1Г . Легко убедиться, что Т порождается, как идеал в И , множеством , которое является идеалом алгебры Для любого идеала & в , алгебре и+ обозначил

ад

- двусторонний идеал в 1Г , порожденный 3 , то есть ХГв! - 1Г'В>'\Г . Очевидно, что имеет место включение

Определение. Идеал 15 в алгебре

гг

называется Р-идвалом, если выполняется равенство В = X .

Пседложение 4. Отображения Т 3 а устанавливают биекдаю между множеством максимальных идеалов алгебр V и ТГ+. В частности, любой максимальный идеал алгебры 1Г"*"является Р-идеалом.

7

цГиДложцико у. Отображения X'—* а 11йЛ

устанавливают баекцлю иежду множествами двусторонних идоало.в алгебры \Г а Р-мдеалои алгебри 1Г+ .

Тикаи образом, задача конструктивного описания идеалов алгебры 1Г равносильна задаче описания Р-идсалов аягобры .

1оо^еца Для того, чтобы идеал В алгебри V* являлся Р-цдоалоы, необходимо и достаточно выполнение следуыцях у слови я:

(а) 6 однороден ь весовой градуировке (то ость каждая ого весовая коиаонента содержатся а Ь );

.(б) "рСс^'В)^ В» , где р - зкстремалышя проектор.

Далее цн рассматриваем аналог алгебри Т для V а, с помощью наго, получаса описание прииитивцих идеалов (ядер неири-водньшх представлений) в териаиах образуя»^«*.

Обозначим для люоого веса А £ через Рд - идеал в "1Г, порождении» а -эдеивитша Цда. Ь-ХОО , где V» .

Тогда известно, что

1Г ,

для лнбого веса Дч- . Пусть ^ - проекция в V на"и6/+)> определенная этим разложением. Тогда множество Тд = Тд (и+) > как нетрудно убедиться, является подалгеброй в II (п^).

Предложение 6. Пушгь - идеал в 1Г , порожденный элементами гада г (г) , где н € 2 и К ^ - центральный характер, соответстьукадй весу X & • Тогда фактор-отображение Т^ ; -У*/^* —> Тд ! определенное проекцией Т\ , является внтаизскгор^изиои алгевр.--: л

Пусть А^ - простой V-модуль с иишанш весом § .

■ • . ■ ...... ■ . - ... .

Согласно известной теорема Дхфю, всякий примитивный идеал в алгебре 1Г имеет над Т^ = . Обозначим через

аннуллтор а Тх младшего вектора модуля ,

Теорема 3. Пусть А 6 $ и а)^ ,¿¿>5 - образующие СРд , как идеала алгебры 7д . И пусть ,,.} - образующие центра 2 алгебры V . Тогда примитивный идеал порожден элементами — ) , л = ¡V и алемента-

МИ ч^ еи* такими, что ТхО?Л = и). .

Во второй главе рассматриваются конкретные случаи простых алгебр Ли малых рангов. В параграфе 2.1 получен явный вид образующих и соотношений в алгебре Т/^для алгебр Ли типа А^ >

Ал и ВЛ .

Пусть — . Тогда система состоит из одного

корил ы . Элемент & —2})и поровдает центр алгебры 1Г .

Предложение 7. Дяя = А^ алгебра порождается коммутирующими элементами ¿? и €ас .

Пусть (Ц - . Тогда система Д^ состоит из простых корней Ы. , р, и корня ^ "^ + .

Теосема 4. Дпя — алгебра V порождена образующими: ^ V . .

% = ^ - ^4» - р

^ = ч- е^е^ -ере.«,

где , ^ - образующие центра 2 , и соотношениями:

9

• = л);

A,, <GJ « J«о,

где положено <Р(- Т^г

Пусть q» &J. . Тогда система ; ZI у. состоит из простых корней Ы , уЗ й корней , •.

Теосема 5. Для с^ ^ алгебра порождена образующими: j ил-=

где » - образующие центра . и соотношениями:

=

10

рдв .

Доказательства тасром 4 и 5 основаны на описании конструкции алгебры -проекций Т . Для других алгебр Ли описание алгебры старших векторов оказывается слишком громоздким. Поэтому мы в приложении указываем лишь некоторые из образующих и соотношений между ними в алгебре Т для простой алгебры Ля типа .

В параграфе 2.2 мы получаем описание всех двусторонних идеалов алгебры 17 для — А^ . Этот результат не является новым (см. А.А.Кириллов "Элементы теории представлений"). Однако, мы получаем его новым способом, исследуя свойства Р-идеалов в алгебре

Согласно предложению 7, имеет место разложение:

'■'■'■ 1 = 0 ■

Обозначим через ?ч проекцию в на • , определенную з.тим разложением, а для любого идеала Е> в "(Г*" положим:

А> ,

Пселлодение 8. Для того, чтобы идеал В в алгебра 17 . алгебры Лд типа А^ являлся Р-идеалом, необходимо а достаточно выполнение сл цукдах условяй:

(а) 6И «= Е> , для любого и 6 +■ ;

(б) г„. сг ^ . . для любого п е 1Н' , где положено 2П Н — п^Ч-

Для любого 40 в Н обозначил - глашыЯ идеал

I И , лороэдешшй л) , л положим:

и

Силсируем произвольно« подмножество /10 в И (¿о) ц для любого

к € Аа 0 -[о] положил:

(4) аг. ~ (и>> П

к

Пусть ¿о ) - двусторонний идеал в алгебре V , порож-

денный элементами (4).

Теосема Каждий идеал X в алгебре 1Г имеет вид ¡ГКМ • где 40 - образующий главного идеала 3 о 2 в 2

и А0 А (ш) .

В параграфе 2.3 мы получаем конструктивное описание всех примитивных идеалов алгебры ТГ для — . Фиксируя ьес А .введем обозначения:

и для любых чисел НЬ и в таким, что $ (г 1Ы и для любого целого числа р положил:

Г Г 5-р

и5 • П , при ¡>>б'3

' _р 3 |

Теосеу.а 7. Примитивный идеал Л^ — ^ип ид в случае — Д_2. порожден элементами - 'Хд . ч и

алеке~сами:

12

(а) гс^р при Л* € . .где +

(в) при Асч. ^ . Ар в . где ^ —

где )р! Л^ч-Лр, + -2. .

В доказательстве используется конструкция алгебры Тд и изучаются свойства аннулятора в 'младшего вектора модуля . Как следствие, № получаем формулу для кратностей в тензорном произведения простого конечномерного модуля л контрагредиентного к нему модуля. Эти кратности известны, однако, но пи Я подход к ях вычислению^ по-видимому, представляет интерес.

.Последний параграф второй главы посвящен описанию двусторонних идеалов в квантовой оболочке алгебры Ли в ^ . Квантовой оболочкой алгебры'Ли называется алгебра У^С^л'У вад полем (у) , порожденная образующими ~Ь , Ъ , -р , в и соотношениями:

где положено « . Центр алгебры О^С3^) порожден элементом г. « (у-у) ^ .Ш рассматриваем представление

, заданное

операторами: -.'.

ЕОс) =г [е^П • ГОг) = в!. ТСс) = ^г Т} ТСх) = , хе у&У,

13

2 подалгебру порожденную элементами г ,

= -¿^ , / , е . Представление -Т" действует в алгебре локально шмьпотентно, порождается подалгеброй

{-Ре V .< ЕОП-о]

как модуль относительно представления ЗГ . Всякий идеал в алгебре однозначно определяется (и порождается!) ово-. им пересечением с . Таким образом, используя терминологию Р-вдеалов, как и в классическом случав, ми получаем следующий результат.

Для любого со & Щ обозначим - главный иде-

ал в алгебре % у , порожденный оз , и положим:

сое ^

где -г"^ = 2" £ . Пусть и Л^ - произволь-

ные подмножества в Л (~и>) и » соответственно. Обозна-

чим через (ь), Л/" двусторонний идеал в алгебре

У^С^л) » порожденный элементами:

= п с^т1- п СКУ^е*

пеЛ1 лбЛо

: цкк п&к

где 1с пробегает множество [о]и Л^V Л0 . ^

Теорема 8. Любой идеал в алгебре Т^ (ьС^) имеет вид ~> У » .тае о) - обраэуицай главного идеала «7л в алгебре Щ- и А^ /г(ь>).

14

Публикация по томе диссертации

1. Казароя A.C. Описание примитивных идеалов конечно,! коразмерности в универсальной обертывающей алгебре алгебры Ли oj. = 3Е (з г <С) . Методы $ункц. анал. в мат. $из. -

- М.- Изд-во УЛН-- 1987. - С.87-100.

2. гСазарол A.C. Опасение стэряих лекторов в обертнвагздгос алгебрах над полупростыми алгебрами Ли. // Деп. в ВИНИТИ,

'я 5037-В97. - 1а.07.87. - М., 1987 (8 стр.).

3. Kil2arov А. S. Tbe hi^liext' treeiors аЧа^Ааи<£ tka- exiramft/ pr-ojectop o-f ikt сстр&х semt-S-im Mit aß^etfrvt-. // ScccHzrlnfr , reac'tv0iis)'{f,a«sv4\c«s in ¿juünfum sijs^m-? апй «^mwefnj|V "Wbl-Irsliop . — -ofoinsfe;- -faai.-p.93-^60.