Пространственные конденсаторы, некомпактность, потенциалы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

АКАДШШ НАУК УКРАИНЫ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

На правах рукописи

ЗОРИН Наталия Васильевна

ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КОНДЕНСАТОРЫ, НЕШШАКГНОСПЪ, ПОТЕНЦИАЛЫ 01.01.01 - математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Киев - 1992

Работа выполнена в Институте математики АН Украины.,

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор B.C. Азарин,

доктор физико-математических паук, ведущий научный сотрудник A.B. Боццарь,

доктор физико-математических наук, профессор H.A. Широков

Ведущая организация

Львовский государственный университет.

Защита диссертации состоится " '(9 " лсал_199 2Г

в 45 ° часов на заседании специализированного совета Д CI6.E0.0I при Институте математики АН Украины по адресу: 252601 Киев ГСП, ул. Репина, 3.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института.

Автореферат разослан " " CVnjx^U.^! 199:2г.

Ученый секретарь специализированного совета Д.В. Гусак

СНДАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Предмет исследования. Пусть IR , ,-евклидово простран-

ство размерности р ; г - открытое множество, которое, в

частности, может совпасть со всем IR. ; £) - £) Ufii^}- одноточечное бикомпактное расширение 2) , В onwae = ш будем пользоваться стандартными обозначения).« и

Рассматриваемые объекты будем называть плоскими при р=2 и пространственными при р ъ 3 . Весь излагаемый нике оригинальный материал относится к пространственному случаю р ^ 3 ; случаи плоскости р= 2 возникает лишь в исторических справках.

В работе рассматриваются пространственные конденсаторы в 2) и в /®1 (это пары замкнутых множеств соответственно в £) и в S1, удовлетворяющие неким условиям отделимости) к для них строится теория емкостей в рамках следующих двух подходов. Первый - теоретико-потенциальный подход - основан на рассмотрении классов боре-левских зарядов ч) в D и их онергий

3 0):= jj ЮхЮ

( Хбс,^) - конкретизируемое ниже ядро теории потенциала в 2) ), а второй - теоретико-функциональный - на рассмотрении классов достаточно гладких функций ^ , имеющих конечный интеграл Дирихле

¡(¡¡ю- 5 ih {(х)1*с1

ю Сх )

( тр - р-мера Лебега) И удовлетворяющих определенным гранпчнш условиям. Емкости конденсаторов, определенные с помощью экстреми-зациИ интегралов > ¡D) по надлежащим классам

зарядов либо функций, будем называть Потенциальными емкостями либо, соответственно, функциональными. {Такая терминология не всегда совпадает с принятой в литературе. Она обусловлена спецификой ис-сле.цугмых нами задач ii призвана указывать, через какие объекты определяются емкостные характеристики конденсаторов.)

В возникающих здесь вариационных задачах исследованы вопросы

существования и единственности решений; даны геометрические описания экстремалей. Установлены соотношения мегвду различными типами потенциальных и функциональных емкостей конденсаторов. НаМд?пи их модульше п дискретные описания. Изучены свойства непрерывности при различных типах аппроксимации, полуадцитивности. Установлен ряд соотношений (в том числе - точных) меаду емкостями конденсаторов и емкостными характеристиками его "пластин". Результаты в основном имеют вид критериев, и в этом смысле - окончательны.

Вариационные задачи, лежащие в основе построенной теории, в исследуемом нами пространственном случае являются существенно некомпактными. Это привносит в исследование большие дополнительные трудности и, в конечном итоге, приводит к созданию чисто пространственной теории конденсаторов - с новыми, чисто пространственными эффектами и с новыми постановками задач, не свойственными соответствующей теории на плоскости.

Актуальность темы. Научная новизна и методика исследований. Примем следующие обозначения и определения. Пусть - топологическое пространство, являющееся либо открытым множеством 3D со следом^евклидовой топологии, либо его одноточечной компактифш:пци-ей 5D ; (A,B)it?)=0 _ упорядоченное образование, в котором А и В - произвольные множества из

Функциональной емкостью образования О назовем величину

Сар (А,thi

f € ¿ire?),

где - это совокупность всех непрерывных

функций —> [j^,1 , абсолютно непрерывных на линиях ( ACL )

в D , имеющих конечный интеграл Дирихле ^2)) и принимающих значения I на А и 0 на Б . (Инфимум по пустому множеству ессг-да полагается равным -too .)

Пусть - борелевский заряд в 3D с жордановым разложением ч? = - . Будем говорить, что ассоциирован с образова-

нием О , и писать -JAO , если и т)~ сосредоточены соотпет-стбснно на А и В . Обозначим 'ft 1 (О) = '' С4 , 5 ? Q ) : =

■={ V Л С9 : О-СЛ ) = - i }

VJ0) = VJA7&>Q) ■•= ¿nf IJr)), X "j\. , л, л.

(О)

где Л-Са:,^ ) - некоторое ядро в 2) . Величину

с (О) = с - i/v (Ö)

назовем потенциальной X -емкостью образования С

Всюду далее множества Д и В , входящие в образование В > ) , предполагаются непустыми, непересекавэднлюя,

заикнупяш в Q . ^_i (_(

Конденсатором в Д назовем всякое образование С в 2) . В истоках построенной нами пространственной теории лзхпт -исследование следующей запани, общей для плоских и пространственных

конденсаторов. ____—р

Пусть Е Е~ j К.'' ) - конденсатор в IR. , р>2 ;

Сар Е - его функциональная емкость; K2(x,i|), К',- клас-

сическое ядро теории потенциала (логарифмическое loa 4/foC-y| при и ньютоново Ix-^ | при р» 3 ). В силу извест-

ной связи меглду онергней Ci^ С-*5) заряда -Р в R и интегралом Дирихле от его потенциала lO^-к i [R. ) возникает задача о представлении емкости Сар Е через^клаееы зарядов на Е и их энергии.

На плоскости эта задача решена в докторской диссертации Т. Бегби, - СМ. [ßац&у т. Не mOolufuS of а piane соп-

Jensez / J. jUdth. Mecl,. -1 g б7. - , -P, 315-3SS ].

Некоторый ограничения топологического характера, принятые Т.Еегби, были затем сняты П.П. Такрэзовш [О вариационных задачах теории логарифмического потенциала//Неследовашт по теории потенциала.-Киев, 1980.- С,3-13.-(Препр./АН УССР. Ин~т математики; 60.25) J . В частности, ими установлены следующие утверждения. —-р

Теорема I. Для всякого конденсатора Е - С ЕЕ > fR. ) при р ~ Z справедливо представление

GipE -Zft Ск (E ) .

Теорема 2. Пусть p=2 , CK СЕ):»!}. в классе Ж^Е) существует единственный зарад А с минимальной энергией:

СА )=VK СЕ).

При доказательстве теорем I и 2 существенно использовалась конформная инвариантность величин Сар Е и WK С Е) на плоскости. Например, после применения надлежащего дробно-линейного преобразования плоскости доказательство теоремы 2 сводится к доказательству существования минимального заряда А£ для Е с компактными в пластинами Ё+и Е" .Но для такого Е класс

4СЕ ) слабо замкнут и существование А устанавливается без труда.

Предпринятые нами попытки исследования поставленной задачи в пространственном случае натолкнулись на трудности, обусловленные, в первую очередь, отсутствием слабой (и всякой другой) -компактности класса зарядов Ж СЕ) в случае ooeE+UE и неинвариантНостью емкостей Cab Е , С„ СЕ) относительно мебиусовых преоб-р 2 разований (R , р > 3 . Сравнительно элементарными методами эти

трудности удается обойти лишь в случае, когда граничное множество 9—ъ СЕ U Е~) Не содержит точку оо . Для таких конденсаторов

Я?

в наших работах [О некоторых свойствах пространственных конденсаторов,- Киев, I960.- 16 е.- (Препр./АН УССР. Ин-т математики; 80.26) ] и [Об одной вариационной задаче теории пространственных конденсаторов//Современные вопросы вещественного и комплексного анализа.- Киев: Ин-т математики АН УССР, 1984,- С. 71-87 ] установлены полные аналоги теорем I и 2. (Эти и некоторые .другие результаты из цитированных работ были затем повторены в[ibirfctson

(т.2)., VcunancLtnuz&y Л1. К. The. newtonian cajpacdy of a Sfrna conJznsvt/Uianci J

при дополнительных ограничениях связности. Для коццоисатороп Е

с ooec)^ (EUE) в упомянутой работе содержатся лишь некоторые высказывания в описательной форме, содержащие принципиальную ошибку, - см. ниже.)

В I9S5 г. нами Cl, 2] разработан новин подход к исследовании экстремальных задач па некомпактных классах зарядов, в основе которого лежит эффективное использование евклидовой структуры в пространстве зарядов с конечной энергией. С его помощью удалось преодолеть указанные трудности и полностью решить задачу в общем случае произвольного конденсатора Е=СЕ ,Е

В результате бил выявлен рдд чисто пространственных эффектов. В частности, показано, что в пространственном случае класс TTCiС Е) , вообще говоря, не содержит заряда с минимальной энергией. (Привлекая физическую терминологию, можно сказать, что при свободном распределении единичных зарядов на пластинах пространственного конденсатора происходит "утечка" части заряда на бесконечность.) Нами получено полное емкостно-геометрическое описание совокупности конденсаторов Е , для которых исследуемая минимум-проблема в классе ) разрешима. Для коцден-саторов Е , не принадлежащих такой совокупности, величина

VI ( Е ) реализуется на некотором заряде \ 4 Tt СЕ).

Kz

являющимся сильным пределом всякой минимизирующей последовательности } с Tfc4E) .

Благодаря достаточной общности разработанного метода, аналогичную минимум-проблему затем удалось решить при более общих условиях - для более общих (риссових в (R и гриновых в ) ядер и для образований Е = СЕ\ Е" > Т) ) в 2) , удовлетворяющих условию отделимости

suf> Х(зс , tj ) < + со

з:еЕ+, уе

В дальнейшем образование Е = СЕ+, Е i> 5D ) в© , удовлетворяющее условию (I), называется конденсатором в 5D

Для укапанных объектов в работе создана теория потенциальных УС -емкостей: сформированы и рекетг вариационные задачи, дуальные с минимум-проблемой в классе СЕ) ; исследованы свойства

непрерывности и полуаддитивности потенциальных емкостей; в рамках некоторого нового подхода дано их описание через дискретные характеристики (типа трансфинитных диаметров); описаны носители и потенциалы экстремальных зарядов. Созданная теория содержит в себе в качестве предельного случая основные результаты из теории Х-ем-костей замкнутых множеств в 2) .

Эти результаты составляют содержание второй главы диссерта -ции И частично - третьей.

Другой выявленный нами эффект состоит в том, что функциональная емкость Сар Е пространственного конденсатора CERE'S fRp ) 5 вообще говоря, не совпадает с его потенциальной ^-емкостью (с точностью до мультипликативной универсальной постоянной Потенциальная Кг-емкость невырожденного пространственного кон -денсатора Е "СЕ*?iR^) оказывается связанной соотношением равенства с функциональной емкостью порожденного им конденсатора

, E"N{oo} j JRP ) в |RP . Сравнивая определения функциональных емкостей конденсаторов Е в IfP и Е(0) в IR , видим, что единственным различием мсзду ними есть требование непрерывности функций rfc ii(E) в точке оо . Из сказанного видна особая роль бесконечно удаленной точки в данной теории, - она

здесь выступает, как массивное множество. __р

В общем случае произвольных конденсаторов Е в (R и в IR найдены представления функциональных емкостей через надлежащие-классы зарядов ->М Е и их ньютоновы энергии. Между функциональными емкостями конденсаторов в [R^ ив IRP и их потенциальными «^-емкостями установлены попарные соотношения равенств, неравенств с полным исследованием случаев равенств. Найдены дискретные описания функциональных емкостей в fR п IRP

Исследованы свойства непрерывности функциональных емкостей конденсаторов при разных типах аппроксимации. Найдены точные нижние оценки емкостей Са.р(Е+, Е~ j IP ) через ньютоновы емкости границ 9Е , ЭЕ~ с полным описанием случая равенства. Установлены необходимые и достаточные условия существования минимальных функций, дано их представление через ньютоновы потенциалы.

Некоторые из полученных здесь утверждений допускают обобщение на более общие образования в fRp и емкости, исследованные В.М.Гольдштейном и Ю.Г.Решетняком [Введение в теорию функций с обобщенными производными и квазиконформные отображения.-¿I.: Наука,

1983. - 284 o.J .

Эти результаты приведены в третьей главе диссертации.

Четвертая глава посвящена изучению связи между функциональными и потенциальными емкостями конденсаторов в й и в 2 , где 2) - область в Rp . В отличие от предцдущих глав, где в основном применялись методы теории потенциала, здесь главным является метод экстремальных .длин. Сравнение функциональных и потенциальных емкостей осуществляется через их сравнение с модульными характеристиками конденсаторов. (Возможно, в задачах исследования соотношений ыеаду теоретико-функциональными и теоретико-потенциальными характеристиками конденсаторов модальная техника применена впервые.)

В спою очередь, использование емкостной техники позволило установить некоторые чисто модальные утверждения, в том числе -пространственный аналог известной теоремы Мщды о соотношениях равенства между экстремальными расстояниями s S li S

Апробация работы и публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [I - 24 [J.

Результаты диссертации докладывались на Международной конференции по теории потенциала в Нагойе (Япония, 1990 г.), Мевдуна родной летней школе по теории потенциала в Йоэнсу (Финляндия, 1990 г.), Всесоюзной иколе-семинаре по комплексному анализу в Ташкенте (1985 г.), Расширенных заседаниях семинара Института прикладной математики им. И.Н.Векуа (Тбилиси, 1908 г.), Всесоюзной школе по теории потенциала в Кацивели (1991 г.), секции по теории функций при Ученом совете Института математики All Украины, семинаре по комплексному анализу профессора П.М.Тамразова (Киев, Институт математики Ali Украины), Ростовском городском семинаре по теории потенциала профессоров Н.С.Ландкофа и А.Д.Бендикова, семинаре по теории функций профессора А.Л.Гольдберга (Львовский госуниверситет), семинарах профессора В.П.Хавинэ (Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А.Стеклова, гссуниверситет), профессора Л.И.Рошиша (Харьков, ЗТШТ Ail Украины).

Структура н объем работы. Диссертация состоит из введения и четырех глав, разбитых на 31 параграф. Список литературы содержит 96 наименований. Общий объем работы - 323 с.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Первая глава диссертации носит вспомогательный характер. Она содержит ряд предварительных сведений и результатов, относящихся к теории Х-потенциала множеств в 2) . (Здссь, как и раньше, 2}с - открытое множество, ЗС(сс, у ) - обобщенная функция

Грина ^ для 2) , если 2) ^ либо, в противном

случае, - риссово ядро К^Сх,^ > = | | , € (О, р ) .)

Это, превде всего, утверждения, касающиеся двух основных проблем теории потенциала - проблем равновесия и выметания, а также тесно к ним примыкающего понятия гармонической меры множеств. При этом проблема равновесия на некомпактных множествах понимается в известном обобщенном смысле, допускающем в качестве ее решений меры с бесконечной массой. В утверждениях этого типа ядро

предполагается робэновым (гриновым либо риссовым при с1 б(0, £]), ^1бо только в таком случае проблемы равновесия и выметания разрешимы.

Приведем некоторые из этих утверждений (часто - лишь в описательной форме), придерживаясь нумерации из диссертационной работы. При этом мы считаем известными ряд основных понятий теории потенциала (определения многих из них можно найти в §§1,2 гл.1).

Для борелевской меры ^И

в ¿0 , замкнутого в £> множества С? с © и робэновэ ядра ОССос,^) обозначим через ^^ решение задачи выметания ^ на (2 , равное нулю на множестве

X-иррегулярных точек Хе С? . Известно, что при выметании полная масса меры, вообще говоря, уменьшается. В §§5,6 найдены условия на геометрию множеств С? и 2) , необходимые и достаточные для того, чтобы в тех или иных классах мер выполнялось •

р

Пусть

2> = Г, к/яг^ХеиСо, г],- робэиово ядро. Замкнутое множество С? с 2) называется оС-разреженнш на бесконечности, если выполнено одно из двух: либо С? - компакт, либо множество С? , полученное из О преобразованием инверсии относительно сферы {х: |х| = -разрежено в точке х = О . Совокупность всех

та.'чч^ СИ обозначим через "К. .

Теорема 1.5.5. Следующие утверждения равносильны:

О для всякой конечной меры JJ верно

¿0 Q 4 ?Яи ■

Главная идея, примененная ,для доказательства теоремы 1.5.5, состоит в использовании конструкции (предложенной М.Риссом и развитой Н.С.Ландкофом) построения меры ^^JU > основанной на использовании связи мелзду проблемами выметания и равновесия. Заметим, что использование такой связи оказалось результативным и в ряде других мест диссертации.

Содержание теоремы 1.5.5 уточняется теоремой 1.5.6, дающей полное описание класса конечных i.iep jW , сосредоточенных в /Rp\Q , для которых в случае Qf'К, выполняется

Основываясь на результатах Н.С.Лацдкофа [Основы современной теории потенциала,- М.:Наука, 1966,- 513 с. J, в §5 нами приведены однотипные описания (через сходимость радов шнеровского типа) класса 'JL и класса замкнутых множеств С? с iR с конечной К^-емкостью. Сравнение найденных критериев показывает, что (высказанное в описательной форме) утверждение М.Брело [0 топологи.-:' и границах в теории потенциала.- М.:Мир, 1974,- 224 с. 3 о том, что указанные классы при tL = Z совпадают, ошибочно. Заметим, что на ошибочность Предположения Ниномии о совпадении аналогичных классов на плоскости (в логарифмической теории потенциала ) указал У. MiEuta LOn и\г êelnavLoz ai tnfcpity of icffcizithmic ¡boten-

tiai s /J. JlLcdh. Soc. $<фап.- Ш.- 36, т.- P. </ 75 - ЧЫ ] .

В §§5,6 приведены также другие емкостно-геометрические критерии ■ dL-разреженности множеств на бесконечности. В классическом (ньютоновом) случае с их помощью модно получить емкостно-геометрические описания масса областей б" с (R , в которых бесконечно удаленная точка имеет положительную гармоническую меру (¡)(х,{оо| ;&). Это видно из следующего утверждения, вытекающего из теоремы 1.5.5 в силу существующего представления гармонической меры множеств через оператор ньютонова вылетания.

Теорема I.6.I. Следующие утверждения равносильны:

i) ti)(cct {w] ; (г ) =0 tfoce (г • ü) fR.

(Недавно автору стало известно, что такое утверждение несколько в иных терминах и другим методом установлено также в работе

[£ssen M., Haitste К., Uv¿S J. , Sbea 2). F. Нагтопсс. ma-iozization and dasùccd analysts II ¿f. London JIUth. S ос. - {9 85. - ÜÉ , Л/? 2. - P. 506-5 20 ].

Найден такяе критерий сохранения полной массы меры при ее гриновом выметании для произвольного открытого множества 3D (лемма 1.6.2). Критерий дается в терминах равенства нулю гармонической

меры границы д— 2D в надлежащих областях. íR ^

Другая группа результатов (некоторые из них известны) дает полные геометрические описания носителей и потенциалов мер, решающих проблемы равновесия и выметания в общем случае произвольного замкнутого множества Q с £) и робэнова ядра ( гс >¿f ).

Эти и .другие результаты гл. I применяются в последующих главах и в особенности - в гл. 2 при построении теории Ct-емкостей конденсаторов в £) . Ввиду основополагающей роли методов теории потенциала в нашей работе, для удобства ее прочтения в гл. I включен тшеке рад хорошо известных положений теории X-потенциала. Некоторые из них в работе усилены. Так, например, классический принцип понижения в определенном смысле уточнен леммой I.I.5, полезной для наших приложений.

Вторая глава занимает в работе центральное место. Заложешше здесь основы теории потенциальных X. -емкостей конденсаторов в 2) являются фундаментом дальнейших исследований. Остановимся на ряде ее характерных результатов. (При их описании мы часто кертвуем достигнутой в работе общностью., стремясь к возможному упрощению формулировок. )3десь и далее нам понадобятся следующие обозначения.

Для конденсаторов О -(t~0 ■> F^ '•> íí ) н " ¿ = 1,2,... , будем писать :

, если F^cF^ V n = О, -i i

0¿ /С7 , если 0L <0Ui Vi , г -иг;11 Vn--C\'i i

если 0Ul Щ Vt, = Vn = 0,'i.

Всю/у в гл. . Конденсатор Е=СЕ+, Е~>2))

назовем компактным, если Е + U Е - компакт.

Как отдельный результат, можно вцпелить разработанный и примененный во второй главе метод исследования вариационных задач теории '-К. -потенциала на неко:.;лактн1К классах, зарлдои -) , ассоциированных с конденсатором Ег(Е+, i 2Э ) . Благодаря своей достаточной общности, он, на наш взглдд, имеет широкие возыогаюсти приложения.

В основе предлагаемого метода лечшт, прежде всего,, эффективное использование гильбертовой структуры в пространстве d :" ^ + 003 ,снабженном евклидовы.! произведением

и хсх^сЦоосЦ^) .

SD*SD

До наших работ [I, 3, 4, б, 7 3 использование гильбертовой структуры в вариационных задачах теории X-потенциала на конденсаторах сдергивалось известным фактом неполноты евклидова пространства énç •

Использование специфической особенности пространств зарядов Л Е , состоящей в равномерной отделимости носителей S(v ) и -О , позволило в §§1,2 гл.2 установить для таких пространств рад утверждений о сходимости, которые, вообще гозоря, для зарядов не верны. Важнейшим срсди них есть следующая теорема о полноте.

Пусть

, а, Ь е [О, +оа метрическое пространство с элементами из (-Ое£ :тМЕ, ->)ЧЕ+ ) i а , -О'С £' ) £ I }

и метрикой, унаследованной из £ ^ ' о

Теорема 2.2.1. Метрическое пространство Ж. , (Е ) (1,6е[_0,

+____cl , о

полно. Если Е U Е - компакт, то полным будет также пространство fo (Е) е { {! : -О А Е } .

4-сю, + ОО 1 ЗС J

В частности, теорема 2.2.1 позволяет существенно продвинуться в исследовании задачи о минимуме энергии 3 (V ) в классе

'5t. СЕ4) (э последующем - ТС -задачи).

Пусть V fE)< +00 (или, что равносильно,

г ( \ f хх

гда L. • / - А -емкость множества). Использование полученных результатов о сходимости зарядов т) Л Е позволяет с помощью стандартных рассуждений убедиться в существовании и единственности эарада X = ХЕ Л £ t являющегося сильным пределом всякой минимизирующей в Т^-задаче последовательности зарядов (теорема 2.3.1).

Заред X имеет энергию, равную (Е ) , и в нашей теории он играет роль, аналогичную роли экстремальной меры в теории емкостей замкнутых множеств. Специфика задачи на конденсаторах состоит в том, что экстремальный заряд X » вообще говоря, не содержится в классе 7FC »а удовлетворяет более слабым уо-

ловиям «4 ? yCV)*{.

Экстремальный заряд Л назовем минимальным, если X е

Ж Се).

Очевидно, дефект массы Х+ происходит только в том случае,

если Оп-меры ( И» 1,2, ...) сколь угодно малых окрестностей

Ъ" (ti) ) точки Александрова й) отделены от нуля равномерно

С \+ JJ + \

по и и . Здесь У^ - сужения на Ь зарадов v^ , образующих минимизирующую последовательность. Теоремой 2.4.1 показано, что в случае Сх С ь ) < +со это невезмежю и поэтому мера Х+ - единичная. Утверждение для Л" - симметричное. Следовательно, в общем случае произвольного ядра условие

metx {С (Е + ) С (Е~ ) ] < +оо (2)

X ' ЭС J

достаточно для существования в классе ТГС (^Е ) минимального заряда. Попутно заметим, что условие

min {С^Е^С^СЕ-)} <♦«>

необходшо, ибо его отрицание эквивалентно каждому из (равносильный равенств С д, С Е ) = О и А = О .

Используя тесную связь i -задачи для конденсатора Е с проблемами равновесия и выметания для его пластин Е и Е , в робэновом случае удается найти условия, одновременно и необходимые,

и достаточные для существования минимального зареда. Соответствующие утверждения приведены ниже. Неробэнов случай ьС. €по своей природе резко отличающийся от робэнова, нуждается в разработке иных методов и, возможно, в привлечении другого математического аппарата.

Для некомпактных конденсаторов Е многие результаты теории потенциальных емкостей доказываются неким аппроксимационнш способом, - сначала они устанавливаются для компактных конденсаторов Еп , а затем с применением некоторой аппроксимационной техники, базирующейся на результатах из §§1,2 о сходимости зарядов на конденсаторах, делается предельный переход по Еп / Е . Важнук роль здесь играет следующее утверждение о непрерывности.

Теорема 2.5.1. Пусть Е^ Е ( ЕЛ я Е - произвольные конденсаторы в "5) ). Тогда

с (Еп) /с СЕ) , +оо .

Если С

+ оо) , то, более того,

X

—> СИЛЬНО.

Таким аппроксимационным способом, в частности, доказываются теоремы 2,6.1 и 2.6.2, описывающие общие свойства экстремальных потенциалов Ц^ (ос.") . Аналогично свойствам экстремальных потенциалов в теории 'Ж-емкостей множеств, ^-у, квазивсюду на 11 £>(Х ) (а в робэновом случае - квазивсюду на Е иЕ )

принимает постоянные значения С и С , С - С - ~\Р ( Е ) .

Е Ь Е Е X

В доказательстве этого и ряда .других утверждений существенно используются энергетические представления С* и С~ ,

Е Е

с4" X ) , с- = (Х~, X). . .«)

Е Е . .

В частности, из (3) с помощью ужо известных утверждений о сходимости находим еле,дующие полезные равенства:

+ = и С+ , с" = и с: V Еп / Е

С - шп V- 1 - —■" -р Е П Ь ^->403

В робэновом случае эти свойства экстремального потенциала 1<- ^ СзсЛ позволяют найти представление экстремального зардца Л в виде линейной комбинации решений задач равновесия и выметания (либо части из них) для множеств Е , Е~ и качественно исследовать ее коэффициенты. Такой подход в сочетании с результатами гл.1 о равновесных и выметенных мерах позволяет достичь окончательных результатов в следующих направлениях.

1) Найдено емкостно-геометрическое описание совокупности конденсаторов Е =(Е+, Е 23) , для которых в классе 4(Е) существует заряд с минимальной энергией. В случае риссова ядра

I ^ ¿¿(О, 2.3,это описание дается следующей теоремой.

Теорема 2.7.1. Пусть С (Е) «(О,+оо). Для того, »ггобы в вариационной ТЕ. -задаче для конденсатора Е существовал минимальный заряд, необходимо и достаточно выполнение одного из взаимоисключающих условий: либо (2), либо Е У Е~ Ф •

Аналогичное описание для гринова (и, в частном случае, ньютонова) дцра найдено в §8 (теорема 2.8.1). В этом случае альтернативное к (2) условие формулируется в терминах равенства нулю гармонической меры границы 9—. 2} в надлежащем открытом множестве.

Ц? г

Если С^СЕ )е(0,-»со) и ни одно из найденных условий существования минимального заряда не выполнено, то в случае С (Е )^4со верны соотношения

Л+(Е+Ь<( , Л-СЕ-) <4

(либо симметричные соотношения в противном случае). При этом "утечка" меры на бесконечность равна дефекту меры при ее выметании на Е- . Существование таких конденсаторов Е вытекает из результатов гл.1.

2) Получены соотношения неравенства с полным исследованием случая равенства между потенциальной СК -емкостью конденсатора Е и гриновой емкостью одной из. пластин Е относительно дополнения другой до 5) (следствия 2.7.1 и 2.9.1).

При здесь имеется в виду так

называемая (¿-функция Грина. Пусть, для простоты, классическое ядро.

Теорема 3. Справе,дливо неравенстве

с (Е) * С СЕ + ),

знак равенства в котором имеет место в том и только в том случае, когда

С (Е'ЬС (Е'ОЕ+). с^с эс

Справедливо и симметричное утверждение. Задача сравнения таких емкостных характеристик, естественная ввиду найденного эффекта "утечки" части заряда Л и представления

сз СЕ+) 7 ^

(здесь ТС Е : ¿ i ] ), возникает

в гл.3,4 при исследовании соотношений между функциональными и потенциальными емкостями конденсаторов.

3) Найдены полные описания носителей и потенциалов экстремальных зарядов Л в терминах геометрии конденсаторов. В зависимости от конкретного вида ядра, они даются теоремами 2.7.2, 2.7.3, 2.9.1 и 2.9.2.

Приведем их формулировки для классического адра Жх,^) и конденсатора Е в том (простейшем в топологическом смысле) частном случае, когда зазор :=2)\(Е + уЕ~) связен. Пусть ЭО - граница СЗ в' Ф , а О - совокупность всех точек Хе (3 , сколь угодно малые окрестности которых содержат порцию (3 положительной Х-емкости.

Теорема 4. Экстремальный зардд tl^ (аО гармоничен в , супергармоничен в 2)N3E" , субгармоничен в Е+ , непрерывен в е + » полунепрерывен сверху и снизу соответственно в точках и + удовлетворяет соотношениям

X Г (х+, х) Vx€E + \I + , U (х) = <

х I сх; х) Vx«e_me. ,

\/х«У ui +

' X ' E E U E"

Числа X) и (X~ X ) конечны, причем

и равенства С X , М =0 , = +оо (аналогично,

<Х+,Х>=0 и С3,СЕ + )=+оо ) равносильны.

Теорема 5. S(X+)^E% SW^E".

В общем случае произвольного конденсатора Е соответствующие описания учитывают более сложный характер взаимодействий положительной и отрицательной частей зареда X , - как между собой, так и с точкой й) . При этом в емкостно-топологических терминах описываются все те компоненты связности зазора , присоедине-

ние которых к пластинам конденсатора Е оставляет инвариантным решение ТяЛ-задачи.

В общем случае произволыюго^ядра в §10 сформулирован

и исследован ряд дуальных с Ж. -задачей вариационных задач па зарядах т) А Е , - в соответствующих классах эти задачи разрешимы либо не разрешимы одновременно с ТС. -задачей, а их экстремали отличаются на мультипликативную постоянную. Одна из таких задач приводит к следующему определению ЗС -емкости конденсатора Е , аналогичному известному определению Валле-Пуссена ЗС-емкости компакта.

Следствие 2.10.1. Справедливо равенство

с sub М(2>), (4)

Jv

где точная верхняя грань берется по классу всех -»)Л Е таких, что

Х «БОО * : ' (5)

(В робэновом случае Би|> и ¿г^ в (5) можно брать по всему 2).)

Основываясь на определении (4) УС-емкости конденсатора и существенно используя метод выметания, в робэновом случае удается доказать свойство счетной полуаддитивности (Е ) по каждой из

пластин в отдельности (теорема 2.11.3). В 511 установлен тайке ряд других свойств емкости С^СЕ") . Найдены верхние и нижние оценки ЗС -емкости конденсатора через X-емкости ассоциированных с ним множеств (теорема 2.11.1); установлено свойство непрерывности слро-ва ск СЕ) (теорема 2.11.2); показано, что экстремальные меры в теории -емкостей множеств являются сильными пределами экстремальных зарядов для надлежащей последовательности конденсаторов (теорема 2.11.5). Среди этих результатов наиболее характерным для созданной теории есть следующее утверждение о непрерывности.

Теорема 2.11.2'. Пусть Е„ \ Е , и пусть в неробэновом случае о1е(2,р) выполнено (2). Если

с (е+) = йт с(Е;\сю=и схоо,<б)

X П->+0О А п—>+оо

то

С (Е) = йю с (EJ. (7)

Если же, кроме того, С

, + do ) t то справедливо более

сильное утверздение:

Ajr ~^ сильно.

Доказательство теоремы 2.II.2 1 основано на наеденных утверждениях о разрешимости '¡^-задачи и существенно использует теорему 2.2.1 о полноте классов зарядов. Используя теорему 3, могло видеть (см, теорему 3.4.4 из гл.З), что условие (6) не только достаточно, но и необходимо для справедливости (7) в общем случае

произвольных Е^ иЕ,Ел\Е

Третья глава диссертации посвящена разработке теоретико-функционального аспекта теории конденсаторов в ив П?р . Проводимые здесь исследования базируются на результатах теории ньютоновых емкостей конденсаторов и в основном используют метода теории ■потенциала (в том числе - методы, разработанные в предцдущей главе). Вццелим следующие основные группы полученных здесь результатов.

I) Найдены представления функциональных емкостей конденсаторов в и в в теоретико-потенциальных терминах. Между функциональными емкостями конденсаторов в П^р ив (£ри их ньютоновы.»! емкостями установлены попарные соотношения равенств, неравенств с полнил исследованием случаев равенств.

функциональная емкость конденсаторов в Кр допускает следующее представление через классы зарядов и их ньютоновы энергии.

Теорема 3.5.2, Для всякого конденсатора Е=(Е+>Е > ^ ) с Е ф оо справедливо равенство

(д-|э Е

Здесь й - универсальная постоянная, равная умноженной на р"2 площади единичной гиперсферы в 1ЯР

Из представления (8) И теоремы 3 вытекает, что теорема I Бег-би - Тамразова о соотношении равенства между функциональными и потенциальными емкостями конденсаторов в П^ полного пространственного аналога Не имеет. Точнее, справедливо следующее утверзде-ние. . —^

Теорема 3.5.3. Для того, чтобы для конденсатора Е в Н\' , р'> 2~ , выполнялось равенство

Са|о Е = 4,р с (Е),

а. С., (Е ) , если Е"^0О

(8)

ап С (Е+)

если Е Э оо ,

Р 7

необходимо и достаточно, чтобы Е не принадлежал классу (1 = = С?—всех конденсаторов Я =СГГ+, ^ (Яр ) так

ГиР-эоо, тах{Се (Р")] = С С Р+0Р

'гго

Класс , во многих вопросах теории емкостей конденсаторов играющий роль некого исключительного множества, назовем исключительным.

Возникновение такого пространственного эффекта сопряжено с изменением роли бесконечно удаленной точки при переходе от плоскости к пространствам большей размерности, что прослеживается во многих вопросах теории потенциала. Фигурирующее в определении

Сар (Е+, Е~ у Ас ) требование непрерывности пробных функций ^ е ¿СОЕ) в точке оо оказывается при р>2 слишком обременительным. Аналогичная плоскому случаю связь мезду функциональными и потенциальными емкостями пространственных конденсаторов достигается на пути существенного расширения класса пробных функций, происходящего в результате снятия каких-либо ограничений на их поведение в точке со . Последнее обстоятельство позволяет расширить масс традиционно рассматриваемых в таких вопросах объектов, разрешая обеим пластинам конденсатора быть одновременно неограниченными. + р

Теорема 3.8.1. Для всякого конденсатора Е ~ С Е , Е } К ) в (Я справедливо равенство

(9)

Пусть (р - замыкание С? в 2) .Из теорем 3.8.1 и 3.5.3 вытекает следующее утверждение о соотношениях между функциональными емкостями в [Я и' (Я .

Теорема 3.8.2. Пусть Е = (Е+, Е- } ) - конденсатор

в 1Я , одна из пластин которого ограничена, а - соответствующий Е конденсатор в Г^ . Емкости Сар Е 11 Са.£> '"Ё"' равны, если и только если Е ф С .

2) Опираясь на найденные представления (В), (9) и результаты гл.2, изучены свойства функциональных емкостей конденсаторов в

(R и в lRP , в том числе - свойства непрерывности при различных типах аппроксимации (теоремы 3.6.4, 3.8.3 и 3,8.4), инвариантности относительно присоединения точки оо к одной из пластин конденсатора в IR (следствие 3.5.6), полуаддитивности (теорема 3.8.5).

При сопоставимых типах аппроксимации выявлены существенные различия в свойствах непрерывности функциональных емкостей в сравнительнд с , обусловленные, очевидно, различными ограни-

чениями на поведение пробных функций в точке оо . Так, при ап -проксимации Е Ч Е функциональная емкость в р , вообще говоря, не непрерывна: дополнительные условия (6) не только достаточны, но и необходимы для выполнения предельного равенства

Cab Е = Lm Ca{3 (Ю)

п-^ + оо

в общем случае произвольных Еп и Е . Напротив, при аппроксимации ЕП\Е в fR^ равенство (10) всегда выполняется, что хорошо известно. + _

При рассмотрении аппроксимации конденсатора Е-(Е -¡Е i^t)

( si - суть (к либо IK ) возрастающей последовательностью конденсаторов { Е„ =(Е*, Е~ -,£2)},где Е* Е ~ П { ОС : 13C.U П } , ситуация меняется на противоположную. Равенство (10) (с указанными Е I Е п ) заведомо выполняется при ii = IRP , а при Q. = IRр оно выполняется в том и только в том случае, когда Е ф Q . (См, соответственно теоремы 3.8.3 и 3.5,4, где эти утверждения приведены в более общем виде.)

Этот нетривиальный факт нарушения непрерывности функциональных емкостей в fR р не был замечен в цитированной на с.4 работе Андерсона и Ваманамерфи, что привело их к.ошибочному утверждению. А именно : исходя из равенств Qxfi Е h = ^ к ^ ^ ^ п

и делая без обоснования предельный переход по + , они утверждают о справедливости соотношения

Cab Е = 0L. с к

1 г 2

(или, если воспользоваться нашей теоремой 2.5.1, соотношения Са.р Е = СЬр С СЕ ) что, вообще говоря, не ве^но, -

см. теорему 3.5.3.

3) Для функциональных емкостей в Л? и в доказано существование экстремальных функций в классе и дано их представление через ньютоновы потенциалы надлежащих экстремальны)* зарядов. В терминах геометрии конденсатора найдены условия, необходимые и достаточные для существования минимальных функций. (По поводу этих результатов см. §2, теоремы 3.5.5, 3.5.5 н конец §8.)

4) Найдены представления функциональных емкостей в Й^5 и в через дискретные характеристики конденсаторов типа трансфинитных диаметров.

Полученное Т.Бегби (и нашедшее затем многочисленные приложения) дискретное описание емкостей конденсаторов в существенно использует их конформную инвариантность. А именно, определив дискретный модуль сначала для конденсатора Е с Е ОЕ~ Ф оо (а это делается посредством некоторой процедуры экстремизации логарифмической функции специального вида от £ п точек и последующего предельного перехода по И —> +00 ), затем его определяют для произвольного конденсатора в с помощью надлежащего дробно-линейного преобразования.

Дискретное описание ньютоновых емкостей компактных конденсаторов (а следовательно, и их функциональных емкостей) достигается аналогично плоскому случаю. При этом в определения вносятся лишь естественные изменения, вызванные заменой ядра. В задаче дискретного описания функциональных емкостей произвольных (не обязательно компактных) конденсаторов в и возникают дополнитель-

ные трудности, связанные как с определением надлежащих дискретных характеристик, так и с доказательством соответствующих равенств.

В работах автора [II, 19] предложен некоторый новый аппрок-симационный подход, в рамках которого удается получить как искомые дискретные списания функциональных емкостей конденсаторов в и в , так и дискретные описания потенциальных СК-емкостей

конденсаторов в открытом множестве 33 с (ЯР. _

Пусть - конденсатор в , где ас

суть 1ЯР либо ¡Я^ . Для всякого натурального Г>>2 обозначим

х>„(Е)««{ (8У1 Jn(X),

где :=n(h-í)/2 I X - точка из CeVkCe-)" с координатами (ас4 Хп , # ) , 0C¿ е £+, 6 Е" , пробегающими все возможные значения, и

I I

При этом мы полагаем Iоо-ос.| = + |оо-ос| = О для всех ОСей^- и, в частности, для СС=0о (и это существенно). Предел

г h-í>+oo

(он существует) назовем ньютоновым дискретным модулем конденсатора Е • ,

Очевидно, d„CX) есть линейная комбинация взаимных ньютоновых энергий единичных мер Дирака, помещенных в точки зс и Ц ,

—Р L

L = d, И .То, что в случае £2 = ÍR некоторые координаты

точки могут быть бесконечностями, но при этом их вклад в

d (X) равен нулю, обусловлено природой экстремальной задачи на классах зарядов Л Е , фигурирующей в представлении (8) емкости СсЦэ ( Е * Е~ ; |RP ) .

_. Дискретное описание функциональных емкостей конденсаторов в

ÍR дается еле,дующей теоремой. _

Теорема 3.6.1. Для конденсаторов в ÍR справе,дливо равенство

. Са{> Е = а-р /Ъ СЕ ) .

В том частном случае, когда одна из пластин конденсатора Е вырождается В точку оо , из теоремы 3.6.1 находим известное они-

сание Пойа и Сеге ньютоновой емкости компакта. f

Если оо не является изолированной точкой множества Е UE , дискретный модуль конденсатора Е в fl^5 совпадает с дпскрет-шш мо,нулем пороченного им конденсатора Е(-ч в IRP (зал

¡чание

3.6.1). В этом случае к дискретной характеристике Ю(Е) можно придти еще одним - аппрокснмацио!!нш - способом, указывающим, нро-ме того, путь для дискретного описания емкостей в Р.

Для конденсатора Е в обозначим через сово-

купность всех последовательностей ^Е^ таких> 470 Е ? Е Величины

Лс1„ Е := sup Lm Х>И(Е„)\

- +00

I Е <п{ U

назовем соответственно верхним и нижним ньютоновы.! дискретным модулем конденсатора Е . Тогда

Т)к (Е) = wJ Е

и, кроме того, справедливы следующие утверждения.

Теорема 3.9.2. Для всякого конденсатора Е в IR верны равенства

СарЕ =%/JlUK Е

Ч(Е) = Y-R Е

(II)

Следствие 3.9.1. Пусть одна из пластин Е , Е ограничена. Равенство

moL Е Е

верно в том и только в том случае, когда ГЁ* 4 С

Поменяв всвду в определении М^^Е и в равенстве (II) ньютоново едро КгСх, у ) на ддро ХСх,^-) « находим дискретное описание потенциальной 'УС -емкости конденсатора Е в открытом множестве 2) (теорема 3.9.3).

5) Для упрощения формулировок последней группы результатов из гл.З все рассматриваемые здесь коцденсатору_Е £"> ) будем считать таковыми, что дополнение СЕ'>= Кр\ Е~ связно и тлеет конечную.ньютонову емкость. (Ограниченность СЕ~ не предполагается. )

В классе таких £ найдены точные нижние оценки емкостей СсЦз Е через ньютоновы емкости граничных множеств ЭЕ+ , ЭЕ" ) описаны все случаи равенства.

Теорема 2.7.1. Справедлива оценка

С, (ЭЕ-)-Ск ОГ)

где знак равенства верен в том и только в том случае, когда дЕ есть поверхность уровня равновесного ньютонова потенциала для Е .

Теорема 2.7.1 уточняет и усиливает некоторые известные ранее сценки Са|> Е , а также дает исчерпывающий отрицательный ответ на гипотезу Аццерсона, Ваманамерфи о справедливости в общем случае произвольного Е тождества

%/сЦ,Е = Ус^СЭЕ*) " Ускрп '

Для доказательства теоремы 2.7.1 в'работе предложен метод, ¿снованный на использовании взаимосвязи мевду ТУС*-проблемой для конденсатора Е , проблемами равновесия и выметания для его пластин.Благодаря его достаточной общности, с помощью такого метода можно получить аналогичные утверждения для конденсаторов в области и гринова ядра (замечание 3.7.4), а также для плоских

конденсаторов и логарифмического ядра (см. работу автора ССценки емкостей плоских конденсаторов/Акр.мат.журн.-1991.-43, If-2.-С. 193-199 3). При некоторых дополнительных ограничениях такие результаты на плоскости были получены ранее Клоком CSomt crif^afttitees foz coLpa-citlj of pfane condensezs/Resu-tts

M<ilh.~l$$6.~ 3 , метод основан на дискретном опи-

сании конформных емкостей и существенно использует специфику логарифмического ядра.

Из теоремы 3.7.1 вытекает (следствие 3.7.2), что минимум функциональной емкости в классе всех конденсаторов Е с фиксированными ньютоновыми емкостями Е и СЕ реализуется на сферическом кольце Ес , i t<|X| < R 3 . Аналогичное к следствию 3.7.2 утверждение, э котором инвариантными предполагаются не ньютоновы емкости указанных множеств, а их лебеговы мерь;,, получено в L&tfítt'MJ F.W. Ine^ltOÍU¿eS fot COndenSCl^hyjottcCCi'r.

«фаCity arJ extwndí Цthliiidr JM. J.• Ш{гЦ,ЬЧ:f.Ш J.

В качестве еще одного следствия из теоремы 3.7.1 в §7 приведено решение следующей экстремальной задачи: в классе всех конденсаторов Е с фиксированной положительной пластиной Е+"= К и фиксированной функциональной емкостью СарЕ = С^ найти конденсатор с минимальной характеристикой С к^^Е ) . Теоремой 3.7.2 показано, что искомый минимум равен

~СК (К ) ] >а реализуется он на конденсаторе,

внешняя оО'кладкэ которого совпадает с надлежащей поверхностью уровня рапновесного ньютонова потенциала для К . Экстремальный конденсатор единственен (с точностью до множеств нулевой емкости).

В главе 4 получено теоретико-потенциальное описание функциональных емкостей в бикомпактном расширении 'X)' произвольной области Ю с [R^ >- см. теорему 4.4.1. Такое описание я&чяется прямым обобщением соответствующего результата для емкостей в , - оно получается из теоремы 3.5.2 путем замены |RP на Ю , оо на (t)^ . Так, в частности, для компактных в 2} множеств Е* верно

Это соотношение нарушается в случае Е+ОЕ 3 , - соответствующее утверждение, содержащее полное исследование случая равенства, приведено в виде следствия 4.4.3 (являющегося прямым обобщением теоремы 3.5.3 о емкостях в ).

Доказательства этих параллельных результатов о емкостях в ив 23 глубоко различны, - применение методов теории потенциала и теории функций, с помощью которых доказывалась теорема 3.5.2, в случае ¡£р затруднено "массивностью" границы Э2) • Один

из основных применяемых здесь методов - метод экстремальных длин: сравнение функциональных и потенциальных емкостей конденсаторов проводится через сравнение последних с 2-модулями семейств кривых.

Тематика и принятая нами методика модульного описания п )тен-циальных емкостей восходит к известной работе

ЬьуюоЛ лис! fu.ftctLOlf)(ъt сот ¡>Шн//Лск МЖ.-Ш

9 доказавшего соотношения равенства

мевду ньютоновой емкостью компакта К с и 2-мо.цулем семейства всех кривых (поверхностей) в £чР , соединяющих (разделяющих) К и точку оо . При атом главным - определяющим величину модуля -подсемейством Такого семейства кривых (поверхностей) является совокупность линий тока векторного поля градиента равновесного ньютонова потенциала Ц. для 1С (соответственно, совокупность поверхностей уровня И ). Применение схемы рассувдений Йугледе к (более сложным по своей физико-геометрической природе) конденсаторам в 2), и их гриновым емкостям наталкивается на трудности, обусловленные, в первую очередь, резко усложняющимся характером поведения линий тока соответствующего векторного поля - в особенности, для нерегулярных конденсаторов. Основываясь на результатах гл.2 о гри-новых емкостях конденсаторов, нами разработана некоторая модификация метода Фугледе и с ее помощью получены представления гриновых характеристик конденсаторов через 2-модули семейств кривых и поверхностей - см. теоремы 4.2.1 и 4.3.2.

Оказалось, что в (наиболее важном для наших конструкций) представлении емкости Сд Сё ,Е т 2) ) через модули семейств кривых должны участвовать как обычные кривые в 2) , соединяющие (в обычном смысле) Е+ и Е~ , так и составные кривые, соединяющие оти множества с помощью точки . Это приводит к рассмотрению се-

мейства соединяющих Е+ и Е кривых, лежащих и непрерывных в бикомпактном расширении области 2) . Его модуль Л1г ( • ) , очевидно, определяется как модуль порожденного им семейства составим:: кривых в 2) . (Все рассматриваемые в работе кривые в 2) подразумеваются локально спрямляемыми.)

Для множеств обозначим через

семейство всех непрерывных в HJ кривых К , лежащих в (2 и соединяющих и .

Теорема 4.3.2. Для всякого конденсатора Е r(Е , Е ; 2)) в 23 справедливо равенство

В качестве следствий из упомянутых утверждений найдены представления функциональных емкостей Е" 23 ) Черрз 2-нодули надлежащих семейств кривых и поверхностей (теорема 4.4.3). Так, в частности, для компактных из (12) и (13) получаем

Сар =Л1г(Г(Е+, Е'^ )).

р

Б случае 2) - IR это утверлденпе совпадает с одним результатом

г 9

J.Hesse p-extmnal íe^íb а na p-cäpücdjj Pa.ua

щ/

hk.Mairi^S.-ß^i.-PJSi-d'^l ] , a в случае односвязной и ограниченной области 2} - лишь формой отличается от соответствующего результата В.А.Шлыка [ Х-емкость и некоторые ее применения s теории отображений с ограниченным искажением//Докл. АН СССР.-1989. - 306, ТО. - С. I308-I3I0 Л. Наш подход к мо,дульному описанию функциональных емкостей конденсаторов - опосредованно через модульное представление их потенциальных емкостей - существенно отл(н чается от подхода упомянутых авторов.

Ставшее возможным в результате наДденных соотношений привлечение методов теории потенциала позволило установить некоторые чисто модулы un утверждения. (Ранее предпринятые автором попытки доказать и;с геометрическими методами успехом не увенчались.) Ото -

теорема 4.3.3 о непрерывности модульной характеристики

при аппроксимации Е ^ £ и пространственный аналог известной теоремы из CMiinola С.Ъ. ExLumal mflik ar,J banvonic $u.nctiC№ От RiltY\a.m suzÇactS/fTians. Лте/г. Jlicdb. Soc..-

о соотношениях между экстремальными расстояниями в 5D и 3D , имеющий еле,дующий вид.

Теорема 4.5,1. Для того, чтобы для всяких непересекающихся компактов Fl , F£ с J) выполнялось равенство

rCFt,FtiO')) = Mt СГСР1,Fa

необходимо и достаточно, чтобы

ck ((Rp\î)) = 0. (14)

г.

С помощью теоремы 4.3.2 доказательство этого утверждения сводится к доказательству эквивалентности (14) и равенства

( F и Ft - такие же, как в теореме 4.5.1). Такая эквивалентность устанавливается методом выметания.

И наконец, В сочетании с уже известными утверждениями о функциональных емкостях конденсаторов в 2) и 2) , из теоремы 4.5.1 находим еле,дующее усиление и обращение теоремы 3.8.1 (см. теоремы 4.5.2 и 4.5.3).

Теорема 6. Следующие утверждения эквивалентны: I) область Ю удовлетворяет условию (14); U) для всяких непересекающихся компактов F.,, с J) выполняется

Со4> (F,, F^ -,Ъ) = Cap CFt, Ft ) -,

ili) С*ф(Е+, E"iî)) =о.р С (Е*Е~;©)

Основные положения диссертации опубликованы в следующих

работах:

1. Зорий Н.В. Задача о минимуме энергии для пространственных конденсаторов. - Киев, 1985, - 43 с. - (Препр./ All УССР. Ин-т математики; 85.06).

2. Зорпй Н.В. Некоторые функциональные характеристики пространственных конденсаторов и соотношения мезвду ними. - Киев, 1985. -48 с. - (Препр./ ЛН УССР. - Ин-т математики; 65.57).

3. Зорпй Н.В. Экстремальная задача о минимуме энергии для пространственных конденсаторов // Укр. мат. журн. - 1986. - 30, №4.

- С. 431-437.

4. Зорий Н.В. Экстремальная задача о минимуме энергии для пространственных конденсаторов и ядер Рисса. - Киев, 1986. - 24 с.

- (Препр./ АН УССР. Ин-т математики; 85. 58).

5. Зорий Н.В. Функциональные характеристики пространственных конденсаторов: их свойства, соотношения мевду ними // Укр. мат. журн. - 1987. - 39, )?5. - С. 565-573.

6. Зорий Н.В. Одно обобщение понятия конденсатора и связанные с ним экстремальные задачи // Теория приближения и смежные вон-' росы анализа и топологии. - Киев: Ин-т математики АН УССР. -1987. - С. 36-46.

7. Зорий Н.В. О существовании зарядов с минимальной гриновой энергией для пространственных конденсаторов. - Киев, 1987. - 23 с.

- (Препр./ ЛН УССР. Ин-т математики; 87.52).

8. Зорий Н.В. Задача о минимуме гриновой энергии для пространственных конденсаторов // Докл. АН СССР. - 1989. - 307, №2.-

С. 265-269.

9. Зорий Н.В. Задача о минимуме энергии для пространственных конденсаторов и ядер Рисса // Укр. мат. журН. - 1989. - .41, М. -С. 34-41.

10.Зорий Н.В. О ньютоновых емкостях конденсаторов // Вопросы анализа и приближения. - Киев: Ин-т математики АН УССР. - 1989. -С. 67-75.

11. Зорий И.В. О дискретных характеристиках пространственных конденсаторов. - Киев, 1989. - 23 с. - (Пропр./ Ail УССР. Ин-т математики; 89.34).

12. Зорий И.В. Емкости конденсаторов относительно области // Республиканское совещание-семинар по комплексному анализу и прикладным задачам управления, Алуита, 27 сент. - 4 окт. 1989 г.: Тез. докл. - Киев: Ин-т математики All УССР, I9G9. - С. 21.

13. Зорий И.В. Экстремальные длины и гриновы модули конденсаторов// Там же. - С. 22.

14. Зорий Н.В. Модули семийств поверхностен и гриновы емкости конденсаторов // Укр. мат. жури. - 1990. - 42, И. - С. 64-69.

15. Зорий Н. В. Одна точная оценка 2-емкости конденсатора // Там ке. - V2. - С. 253-257.

16. Зорий Н.В. Экстремальные длины и гриновы емкости конденсаторов // Там же. - КЗ. - С. 317-323.

17. Зорий Н.В. Одна вариационная задача теории гринова истепциа-.ла. I // Там же. - М.-С. 494-500.

18. Зорий Н.В. О емкостях конденсаторов // Там ¡¡;е. - - С.912--918.

19. Зорин Н.В. Емкости и дискретные характеристики пространственных конденсаторов // Там же. - №9. - С. II92-II99.

20. Зорий Н.В. Одна вариационная задача теории гринова потенциала. II // Там же. - Ml. - С. 1475-1480.

21. Зорий Н.В. К задаче о минимуме гршювой энергии на конденсаторах // Современные вопросы теории приближения и комплексного анализа. - Киев: Ин-т математики АН УССР. - 1990. - С.50--58.

22. 2otL^ Л/. V. УUе. rr,ir\Cmu-m RXesE

|ог sjoaee. concfe-nSetS //Тез. Мездунар. копр, по теории потенциала, Нагойя, 30 авг. -4 сент. 1990 г. - НагсМл, 1990. - С. 45.

23. Зорий Н.В. О вариационных задачах теории потенциала // Укр. мат. журн. - 1991. - 43, Ь*3. - С. 347-354.

24. Зорий Н.В. Потенциальные емкости конденсаторов и экстремальные длины // Всесоюзная математическая школа "Теория потенциала", Кацивели, 26 июня - 3 июля 1991 г.: Тез. докл. -Киев: Пн-т математики АН УССР, 19Э1. - С. 15.