Исследование операторов и операторных уравнений, связанное с мерами некомпактности тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ч/

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО

ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ХАБАРОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Ерзакова Нина Александровна

ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАТОРОВ И ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ, СВЯЗАННОЕ С МЕРАМИ НЕКОМПАКТНОСТИ

01.01.01 - математический анализ

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

¿>ре-..зидиум РАК Р0ССй1

Ш^ ёйШ^ !5

пригулялу*степса ДОК пЗГ^?

Хабаровск-1998

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

... 4

ГЛАВА 0. СВОДКА ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ПОНЯТИЙ И ФАКТОВ

0.2. Сведения из теории мер некомпактности и уплотняющих

ГЛАВА 1. О МЕРАХ НЕКОМПАКТНОСТИ и, (3, Х НЕКОТОРЫХ МНОЖЕСТВ В ПРОСТРАНСТВАХ ФУНКЦИЙ

1.1. О мере V подмножеств произвольных правильных пространств ... 43

1.2. О мере некомпактности (3 подмножеств пространств

Ьр ... 55

1.3. О мере некомпактности /3 подмножеств пространств Лоренца ... 72

1.4. О мере некомпактности подмножеств пространств функций, интегрируемых по Бохнеру ... 80

1.0. О мере некомпактности ь> ограниченных подмножеств

пространств Соболева в пространствах Орлича ... 85

1.6. О мере некомпактности х ограниченных подмножеств пространств Соболева в различных пространствах функций ... 90

1.7. О мере некомпактности (3 ограниченных подмножеств пространств Соболева в различных пространствах функций ... 103

ГЛАВА 2. ПРИЛОЖЕНИЕ МЕР НЕКОМПАКТНОСТИ К ТЕОРИИ ОПЕРАТОРОВ

0.1. Обозначения

... 29

операторов 0.3. Сведения из теории операторов 0.4. Разные результаты и определения

... 31 ... 34 ... 35

2.1. Об операторе вложения пространств Соболева в правильные пространства ... 108

2.2. О мере некомпактности оператора вложения специального класса пространств Соболева ... 120

2.3. Об операторе суперпозиции ... 135

2.4. Об уплотняющих операторах в пространствах суммируемых функций ... 141

2.5. О критериях Ф+-операторов ... 146

2.6. Об условиях справедливости одного неравенства ... 153

2.7. Критерии компактности по мере ... 161

2.8. Критерии компактности оператора вложения в пространства Орлича ... 165

ГЛАВА 3. ПРИЛОЖЕНИЕ МЕР НЕКОМПАКТНОСТИ К ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

3.1. О существовании и продолжимости решений дифференциального уравнения с разрывной правой частью ... 174

3.2. О разрешимости задачи Неймана ... 187

3.3. О существовании решения операторного уравнения в пространстве функций, интегрируемых по Бохнеру ... 212

ЛИТЕРАТУРА ... 223

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. Теория мер некомпактности и уплотняющих операторов, возникшая сравнительно недавно, имеет приложения в различных областях математики. Так, например, техника, связанная с мерами некомпактности и уплотняющими операторами, применяется при исследовании дифференциальных уравнений в бесконечномерных пространствах, функционально- дифференциальных уравнений нейтрального типа, интегральных уравнений, а также некоторого типа дифференциальных уравнений с частными производными.

Впервые количественную характеристику степени некомпактности подмножества метрического пространства ввел в рассмотрение польский математик К.Куратовский [29,81] в связи с задачами общей топологии.

Другие наиболее известные меры некомпактности были введены И.Ц.Гохбергом, Л.С.Гольденштейном, А.С.Маркусом в работах [14] и [15].

Как правило, мера некомпактности - это числовая характеристика множества, тесно связанная с некоторым критерием компактности.

Заметим, что необходимость рассмотрения различных мер некомпактности объясняется, в некоторой степени, существованием примеров операторов, уплотняющих относительно одной меры некомпактности и не уплотняющих относительно другой (см. [2], [99], [105]).

В настоящее время известно достаточно много мер некомпактности (см. обзоры [1], [2], [57]) и их продолжают вводить (см., например, [22], [43], [54], [69], [82], [99]), если это требуется для решения поставленной задачи.

Отметим еще, что в [43] дается общее определение меры некомпактности, а в работе [7] исследуется вопрос о структуре множества всех мер некомпактности на банаховом пространстве.

В 1955 году Дж.Дарбо (G.Darbo) в работе [64] использовал меру некомпактности х (Хаусдорфа) для обобщения теоремы Шаудера на класс (к, ^-ограниченных отображений.

В 1967 году Б.Н.Садовский в работе [41] обобщил теорему Дарбо на уплотняющие операторы.

Напомним, что непрерывный оператор, вообще говоря нелинейный, называется уплотняющим, если он делает меру некомпактности образа множества, замыкание которого некомпактно, меньше меры неком-

пактности самого множества. Отсюда следует, что сумма компактного и сжимающего операторов является уплотняющим оператором.

Существуют примеры [15] уплотняющих операторов, не представи-мых в виде суммы компактного и сжимающего операторов.

Топологическое исследование различных классов некомпактных отображений, осуществлявшееся в последние десятилетия в работах Б.Н.Садовского [1, 2, 10, 41 - 43], Ю.Г.Борисовича [8,9], Ю.И.Сапронова [8,9], М.А.Красносельского [25, 28], П.П.Забрейко [19, 20, 28], Г.И.Вайникко [10], Р.Д.Нуссбаума (R.D.Nussbaum) [8588], М.Фури (M.Furi) [72], А.Виньоли (A.Vignoli) [72], В.В.Петришина (W.V.Petryshin) [91], Ю.Аппеля (J.Appell) [53- 56], Р.Р.Ахмерова [1, 2], В.В.Обуховского [23, 79, 80, 84], М.И.Каменского [1, 2, 79, 80], А.С.Потапова [1, 2, 40] и других (см., например, список литературы в [1,2], а также [3, б, 21, 30, 31, 36, 44, 45, 46, 48, 57, 59 - 63, 6872, 74-76, 89, 93-104]), выявило многочисленные новые применения мер некомпактности в теории неподвижных точек, теории линейных и нелинейных операторов, теории дифференциальных и интегральных уравнений, в теории оптимального управления и т.д.

Основные результаты теории мер некомпактности, а также главные прикладные аспекты изложены в обзорах Б.Н.Садовского и др. [1, 2, 43].

Вместе с тем, техника, связанная с мерами некомпактности, позволяет исследовать все новые задачи из различных областей математики, например, установить новые критерии компактности операторов, доказать существование решений дифференциального уравнения.

С другой стороны, приложений мер некомпактности к исследованию дифференциальных уравнений с разрывной правой частью и операторных уравнений в пространстве функций, интегрируемых по Бох-неру, не достаточно.

Более того, автору настоящей работы не известна литература по приложению мер некомпактности к разрешимости краевых задач математической физики.

Этим, а также вопросам, связанным с развитием теории мер некомпактности и уплотняющих операторов, поиску новых приложений этой теории к решению задач функционального анализа и дифференциальных уравнений и посвящена диссертация.

Цель работы. Исследовать с помощью мер некомпактности некоторые классы операторов и операторных уравнений в различных про-

странствах функций. Затем на основе проведенных исследований получить новые результаты, относящиеся к функциональному анализу, а также к теории дифференциальных уравнений.

Методика исследования. Доказательства проводятся методами функционального анализа, а также теории дифференциальных уравнений.

Подходами к решению в данной работе являются, в частности, доказательство новых формул для мер некомпактности операторов, нахождение условий, при которых операторы будут уплотняющими, применение обобщения теоремы Шаудера о неподвижной точке.

Как правило, теоремы проиллюстрированы на примерах.

Научная новизна и практическая ценность работы. Все результаты диссертации, за исключением нулевой главы, являются новыми. Работа носит теоретический характер.

Работа посвящена как традиционным задачам теории мер некомпактности, а именно: получению формул для вычисления мер некомпактности, исследованию их свойств, а также установлению соотношений между различными мерами некомпактности, так и не традиционным.

Например, равенство двух мер некомпактности было использовано в работе для получения необходимых и достаточных условий компактности по мере.

Далее, в работах ряда математиков К.Дж.Амика (C.J.Amick), В.Д.Еванса (W.D.Evans), Д.Дж.Харриса (D.J.Harris) исследование пространств Соболева на областях с так называемым обобщенным гребнем (generalised ridged domains) сводилось к исследованию пространств функций на интервале.

В настоящей работе, не пользуясь понятием обобщенного гребня, довольно сложным для применения, устанавливается связь более ши-

—•о v

рокого класса областей, включающего вышеозначенный, с интервалом для оценки степени некомпактности оператора вложения пространств Соболева в пространства Лебега.

Кроме того, было ослаблено предположение о компактности в одном результате Ю.А.Дубинского, обобщающего результат Ж.-Л.Лионса.

В качестве приложения этого результата получены необходимые и достаточные условия справедливости известного неравенства Эрлинга - Ниренберга в случае, когда на границу области не налагаются условия гладкости и, следовательно, не предполагается оператор вложения

пространств Соболева в пространства Лебега вполне непрерывным.

В работе был получен аналог неравенства Эрлинга - Ниренберга, верный как для компактных, так и некомпактных операторов вложения; показано также, что для доказательства разрешимости задачи Неймана, в некоторых случаях, не нужно требовать справедливость неравенства Эрлинга - Ниренберга для всех е > 0. Достаточно, чтобы характеристика степени некомпактности оператора вложения пространств Соболева в пространства Лебега была меньше заданной величины.

Таким образом, было получено обобщение ряда результатов В.Г.Мазьи и, более того, найдено принципиально новое приложение мер некомпактности к исследованию дифференциальных уравнений.

Кроме того, в работе получили развитие, ставшие уже традиционными, методы исследования существования решения дифференциальных уравнений с помощью мер некомпактности.

Так в работе были доказаны утверждения о существовании и продолжимости решения типа Каратеодори и обобщенного решения для задачи Коши дифференциального уравнения с разрывной правой частью, обобщающие результат Б.Н.Садовского для уравнения с непрерывной правой частью. Помимо этого, в отличие от аналогичных результатов А.Ф. Филиппова и А.А.Толстоногова, в работе на правую часть дифференциального уравнения налагаются определенные требования не в области, а в конусном отрезке, что позволяет, во-первых, получить результаты, отличные от результатов вышеупомянутых авторов, во-вторых, распространить применение обобщения теоремы Шаудера на операторы, разрывные на всей области определения.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на 2-м Российско-японском семинаре " Интегральные уравнения в задачах математической физики" (ВЦ ДВО РАН, Хабаровск, 1993), на Тихоокеанской международной конференции "Математическое моделирование и криптография" (Владивосток, 1995), на второй международной конференции "Математика, компьютер, образование" (Москва-Пущино, 1995), на втором международном конгрессе по нелинейному анализу (Афины, Греция, 1996), на 4-м симпозиуме по математическому анализу и его приложениям (Аранджело-вас - Белград, Югославия, 1997), в дальневосточной математической школе-семинаре им. академика Е.В.Золотова (Владивосток, 1997), на научном семинаре академика Ю.Г.Решетняка, институт матема-

тики СО РАН (Новосибирск, 1997), на научном семинаре академиков С.М.Никольского и Л.Д.Кудрявцева, математический институт им. В.А.Стеклова (Москва, 1997), на научном семинаре проф. В.Д.Степанова по функциональному анализу, ХГТУ, Хабаровск, на научном семинаре чл.-корр. Н.В.Кузнецова, институт прикладной математики ДВНЦ РАН и на научном семинаре проф. А.Г.Зарубина по дифференциальным уравнениям, ХГТУ, Хабаровск.

Публикации. Всего по теме диссертации опубликовано 36 работ. В диссертацию включены результаты из работ [107 -133].

Структура и объем работы Работа изложена на 234 страницах, список литературы содержит 133 наименования. Она состоит из введения, нулевой главы вспомогательного характера и трех глав, содержащих новые результаты.

Содержание работы

В первой главе собраны новые результаты, связанные с тремя мерами некомпактности и, ß и х подмножеств таких пространств функций, как Лебега, Лоренца, Орлича, Бохнера, Соболева, которые найдут свои приложения в главах, посвященных теории операторов и исследованию дифференциальных уравнений. Среди мер некомпактности ключевую роль играет мера и, поскольку оценки и формулы для других мер некомпактности, во многих случаях, выводятся из соотношений, полученных между v и этими мерами некомпактности.

Пусть Q - некоторое подмножество 7Zn, на <т - алгебре подмножеств которого определена неотрицательная cr-аддитивная мера

Всюду будем предполагать, что fi(Q) < оо, а через Pjj будем обозначать оператор умножения на характеристическую функцию множества D СО.

Обозначим через v(U) = ve(U) меру неравностепенной абсолютной непрерывности норм элементов подмножества U правильного пространства Е, полагая

uE(U)= Km SUP||PDU|U-

ß(D)-> 0 ueU

Характеристика, подобная v (для подмножеств пространства Лебега), впервые введена в [98] автором настоящей работы и независимо Юргеном Аппелем (Jürgen Appell) [54].

Напомним, что мерой некомпактности Хаусдорфа Xe{U) множества U называется инфимум всех е > 0, при которых U имеет в Е конечную б-сеть.

Целью раздела 1.1 является нахождение класса правильных пространств, в которых равенство двух мер некомпактности произвольного ограниченного подмножества необходимо и достаточно для компактности по мере этого подмножества.

Такой класс пространств определяется следующим образом.

Определение 1.1.1. Мы будем говорить, что правильное пространство Е обладает свойством (N), если для любых последовательностей измеримых множеств {П„} (0„ С О) и функций {«„} из равенства

Jim \\ип\\Е = Jim \\Рппип\\Е < оо

следует равенство

fe ||^)\OnWn|U = 0.

Приведены примеры, показывающие, что в правильных пространствах норма может обладать свойством Фату и, следовательно, свойством Рисса-Фишера, но в то же время вести себя по-разному относительно свойства (N).

Получен новый критерий компактности по мере.

Теорема 1.1.3. Пусть U - ограниченное подмножество правильного пространства Е со свойством (N). Тогда U компактно по мере, если и только если Хе{У) = ve{Y) Для каждого V С U.

Теорема 1.1.3 является обобщением теоремы 1.1.2.

Теорема 1.1.2. Пусть U ~ ограниченное подмножество Lp(i),//). Тогда U компактно по мере, если и только если

XLp(Q,ß)(y) =

для каждого V С U.

В частности, в разделе 1.1 для меры некомпактности v обобщен результат автора настоящей работы из [98, 104] с пространств Lp на произвольные правильные пространства.

Теорема 1.1.1. Пусть U - произвольное ограниченное подмножество правильного пространства Е. Тогда

XE(U) > uE{U)

и

XE(U) = ve{U),

если U компактно по мере.

Раздел 1.2 посвящен мере некомпактности /3 подмножеств пространств Lp.

Пусть Е - банахово пространство, a U - ограниченное подмножество Е. Мерой некомпактности /3e(U) = (3(U) множества U называется супремум тех г > 0, для которых в U существует бесконечная последовательность {г/„}, такая, что

IK - Urn II > г

для всех пф т.

Мера некомпактности (3 впервые, по-видимому, рассматривается в работах JI.C. Гольденштейна, И.Ц. Гохберга, А.С.Маркуса [14,15]. Исследованию этой меры некомпактности посвящены работы таких авторов как Ж. X. Уилле (J.H. Wells ), Л.Р.Уильямс (L.R. Williams) [96], В.Истратеску (V. Istràtescu) [74], Ж. Данеш (J.Danes) [61] и др. В частности, автором настоящей работы в [97, 98] были доказаны свойства алгебраической полуаддитивности и инвариантности (3 относительно перехода к выпуклой оболочке, важные для приложений (см., например, обзор Б.Н.Садовского, [2, с. 43]). В 1982 г. также автором настоящей работы в [97, 98] была доказана пропорциональность мер некомпактности (3 и % в пространствах 1р при 1 < р < оо и независимо в 1988 г. испанским математиком Т, Домингезем Бенавидесом (T. Dominguez Benavides) [66].

В разделе 1.2 преследуется традиционная для теории мер некомпактности цель, а именно: оценить меру некомпактности (3 некоторых подмножеств Lp.

В частности, здесь приводится точное значение для меры некомпактности (3 единичного шара В, полученное автором еще в 1982 г. [98], а также в 1989 г. [107] другими рассуждениями (данный результат не был включен в кандидатскую диссертацию). Этот же результат был получен независимо испанскими математиками в 1991 г. Т.,Dominguez Benavides и J.M.Ayerbe [67].

Теорема 1.2.1. При 1 < р < оо

По аналогии с разделом 1.3 получены оценки меры некомпактности /3 подмножеств пространств Лоренца.

Теорема 1.3.1. Пусть 17 - ограниченное множество в

(1 < р < оо). Тогда

Следствие 1.3.1. Пусть В(в,1) - единичный шар А1/р(0,//). Тогда /За1/р(п,ц)(В(9, 1)) = 2 для всех 1 < р < оо. Теорема 1.3.2. Пусть

исвЬжМ(в,г)пвА1/рМ(в,1).

Тогда

/3*^(0,) (10 < тах(2'Л,21-1*).

В разделе 1.4 исследуется мера некомпактности подмножеств пространств функций, интегрируемых по Бохнеру.

Пусть (О, Т) - ограниченный интервал на вещественной оси, Е -банахово пространство. Пусть Ьр(0,Т;Е) (1 < р < оо) обозначает множество всех измеримых по Бохнеру функций и : (О,Т) —> Е, для которых

о

Обозначим через II множество функций из Ьр(0, Г; Е), допускающее для любого б > 0 аппроксимацию множеством

и(Щй : ад = £ Ь(й)кД. (6,-(й) € Е)} ¿=1

по метрик�