Пространственные задачи теории упругости для цилиндрических тел с некруговой границей тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

НОВОСИБИРСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ИНСТИТУТ ИНЖЕНЕРОВ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА

Нл правах рукописи

ВЯЛИ К ДАВИД ЯКОВЛЕВИЧ

УДК 539.4:624.041

ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ТЕЛ С НЕКРУГОВОЙ ГРАНИЦЕЙ

01.02.04—Механика деформируемого твердого тела 05.23.17—Строительная механика

Автореферат лиссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

НОВОСИБИРСК—1992

Работа выполнена в Новосибирском институте советской кооперативной торговли

Официальные оппоненты:

Доктор технических наук, профессор В. 3. Васильев

Лауреат Ленинской премии, доктор технических наук,профессор Г. С. Мигиренко

Член-корреспондент Академии транспорта России, доктор физико-математических наук, профессор Ю. И. Соловьев

Ведущее предприятие—Институт горного дела СО РАН, г. Новосибирск

Защита состоится «--»— ---1992 г. в——часов

па заседании специализированного совета Д 114.02.01 при Новосибирском ордена Трудового Красного Знамени институте инженеров железнодорожного транспорта по адресу: 630023, Новосибирск, ул. Д. Ковальчук, 191.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института.

13 а

Автореферат разослан «--»--- —1992 г.

]9,0О

* *_и'

Ученый секретарь специализированного совета к. т. п., дс.цепт

А. М. Попов

Общая характеристика работы.

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Классическая теория упругости является и сегодня основой большинства прочностных расчетов. Оценка напряженно-деформированного состояния объекта з рамках классической теории бывает часто необходимым условием эффективности сложных динамических расчетов конструкций и деталей машин.

Б горной механике в последние годы пасущим стал вопрос о широком внедрении в инженерную и исследовательскую практику репегтП именно пространственных задач, позволяющих определить, например, деформацию массива с некруговой 'выработкой при непостоянной вдоль образующей нагрузке.

Вели в плоской и осесикметричной задачах теории упругости есть достаточно обп^е методы решения широкого класса задач, то в пространственных неосесикметричных задачах подобней аналитический аппарат еще на создан. С учетом того, что эксперимент в трехмерных задачах, в противоположность плоской, представляет значительнее трудности, отмеченное выие определяет актуальность настоящей работы.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: получить аналитическое решение нового, достаточно широкого класса пространственных неосесишегричных задач теории упругости с помощью единого подхода, используещего аппарат теории функций комплексного переменного; на этой основе найти ранее неизвестные решения важных для железнодорожного транспорта, горной механики задач с доведением их до числа.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА:

- общие результаты получены для трехмерных неосесиммотричшх зада в цилиндрических областях с гладкой произвольной границей;

- интегральное представление академика И,Н, Векуа впервые используется для решения прикладных задач;

- входящая с него произвольная голоморфная функция представляется рядами по полиномам -¿абера или Шабера-Лорана;

- в итоге теория функций комплексного переменного аффективно используется в пространственных неосесимметричных задачах теории упругости вслед за плоской и осесимметричной задачами;

- получены решения, доведенные до числа, новых пространственных з дач, обобщающие известные ре-ения А.И.Лурье, Н.М. Беляева;

- дана оценка напряженного состояния в головке рельса при смещен1' бандажа колеса в поперечном направлении;

- определено объемное напряженное состояние в массиве с некруговой цилиндрической полостьп при неравномерном давлении нч бесконечности.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ:

- состоит в предложенной новом подходе к решению пространственных задач террии упругости для лирокзго класса циллндричзскнх облаете который может примениться в инженерной и исследовательски! рчботп при пззоктировадаи и оценке надежности ксиструкцг.й,д-гтяле!» машин, приборов, горных выработок и т.д. Разработанные на этой основе предложения и программы переданы научно-исследовательским организациям: НИИ оснований и подземных сооружений им. Н.И. Герсева-нова, ВШИ железнодорожного транспорта, г.^осква.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты диссертации докладывались на П Всесоюзной конференции по теории упругости ( Тбилиси,1984),

УШ Всесоюзной конференции "Численные методы решения задач теории упругости и пластичности" ( Ужгород, 1984), У1 Всесоюзно?.; съезде по теоретической и прикладной механике ( Ташкент,1986),У иУ1 Национальных Конгрессах по теоретической и прикладной механике ( В-фнп, Болприч, i»3t>, 1989), П Международном Конгрессе по механике горных порот ( Белград, 1970), Всессюзнсй конференции "Прсбпекч прсчкссти мятерилдср и сооружений на транспорте" (Ленинград, 1990), 22 Конференции по механике ( Ролла-Миссури,США, 1991), на научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава ЛИСИ, (Ленинград, 1931), ЛСХИ ( Ленинград, 1982) II Всесоюзном семинаре по измерению напряжений в массиве горных пород ( Новосибирск, 1969), I Всесоюзном симпозиуме по математическим методам механики деформируемого твердого тела ( Москва, 1984), семинарах академика Е.И. Шемякина ( Новосибирский госуниверситет), академика М.В. Курлени ( Институт горного дела СО АН), член-корреспондента АН А.Ф. Улитко ( Киевский госуниверситет), профессора В.М. Александрова ( Институт проблем механики АН), профессора А.И. Прилепко ( Московский инженерно-физический институт), профессора Г.5. "андгавидзе (Тбилисский госуниверситет), профессора А.Я. Александрова (Новосибирский институт инженеров железнодорожного транспорта), профессора В.Н. Врагова ( Институт математики СО АН), профессора В.Д. Аннина ( Новосибирский госуниверситет), профессора В.З. Васильева ( Ленинградский институт инженеров железнодорожного транспорта).

СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ. Диссертация состоит из введения, четкрех глав, разбитых на 15 параграфов, списка литературы из 96 наименований и 5 приложений. Объем - 170 страниц, 14 рисунков, 4 таблицы.

Материалы диссертации опубликованы в работах ( 1-23).

СОДЕРЖАНИЕ PAEQTli.

Во введении обоснована актуальность теш, сформулирована цель работы, кратко указано содержание диссертации по главам и ее структура.

В первой главе объект исследования - бесконечное цилиидриче к.ое тело, однородное и изотропное с гладким выпукл™ контуром отнесенное к прлтюугольной системе координат 3> , ось 5

совыев!ена с продольной осью цилиндра. Решение уравнения Лаке

Ail + <]/ ff^l C^LV U ^ 0 (I)

ищется в форые

щ = it (х, ij,) ML - V (a,ip)

1L3 - j (j

непрерывный параметр. В силу принципа суперпозиции классической теории упругости такое решение позволяет исследовать деформацию бесконечного ц:ш ндра, на боковую поверхность которого действует нормальная, ш тоянаая вдоль контура L и произвольная вдоль образующей ш

рузкаР(£/, представиыая в форме 1 СО

р(£) = $ Р.| io^oicU, з

о

где оо

^ (3 - со

Чтобы такое представление било возможно, кусочно-гладкая на к дсы конечном отрезке образующей функция ['^должна быть абсолют

(4)

интегрируема на всей оси С$ . Нагрузки, удовлетворяющие этому требованию, образуют класс, достаточно широкий для приложений.

Заданно смещений в форме (2) сводит векторное уравнение (1) к сильно Эллиптической системе второго порядка

^х + % + (У ^ + ~ Л = 0,

так кагс для реальных тел 0 ^ V < о. 5" и > I . Известно, что сильно эллиптические системы принадлежат к классу с "несутцсстветсм зацеплением", в котором неизвестные функции могут бить "отделена" друг от друга. В плане нормальной разрешимости основных краевых задач такие системы являются самыми просто,¡и. В § 1 чтобы получить из (4) такую систему производится замена неизвестных функций

Ь - - Р Р/. , V/ = С ^у , ^ - «¿|> (5)

Р - ос % + уА'г + У 3 , р = о,25-^1-V)

В итоге получается распавшаяся система уравнений Гельмгольця

В §2,следуя И.Н. Векуа, приводятся две фор™ общего предстяв-пения решений системы (6). В частности

о

где Х0 -функция Песселя ( первого родч) мнимого аргумента,

^г ;£<+ {.у. , ^(г-) " ПРОИЗВОЛЬНЫЙ ТреХМГрНГЙ ГОКТПр, КГМ-

юненты которого голоморфные функции в пблясти Т • огрччм'-оч-ЮЙ 1_ ■ ^ормутп (7) усТЯМЧРЛИРПЧТ ВЯЯИМ'М ОДНППНЧ'Ч'МР Г^ПТГ^Т-- 7 -

атвие между множествами всех регулярных в Т решений (б) к аналитических векторов . Интегральные представления И,Н. Векуа решений системы (б) дают*весьма простой и естественный подход к решению граничных задач. В §3 в качестве примера второй основной задачи рассмотрен случай нормальной к поверхности бесконечного цилиндра нагрузки с постоянной вдоль контура L ин тенсивностыо 5 , изменяющейся вдоль образующей по закону С, Граничные условия для искомого вакгера " этом случае будут

TV^WH^ vt»6L «

где (t^) - граничное значение производной^ X ^ ¡) íj,

на контуре L при í

toé L изнутри области Т i

CL^ ^(tc) - постоянные матрицы порядка 3x3. Таким образом, задача о косинусоидальчом загрукении бесконечно: цилиндра с контуром L сводится к линейной граничной задаче (6), (8) для односвяоной области X . ограниченной простой кривой, которую считаем гладкой в смысле Гельдеря. К указанному условию приводит применение методов теории потенциала. Оно обладает достаточной общностью, чтобы охватить области, которые встречаются инженеру. Чтобы установить разрешимость задачи (6), (8), она сведена, следуя П.11. Векуя, к системе сингулярных интегральных уравнений. При этом оказалось, «то

cUt ¿ noe. L

уь

- Я -

То есть, эта система к нормальному типу не принадлежит.

В § 4 та не задача исследуется с помощью подходз, предложенного P.C. Саксом. При этом задача (6), (8) сводится теперь определенны!,! образом к системе интегродифференциальных уравнений, дщ которых имеют место аналоги основных теорем 5. Нетера и которые образуют класс более широкий, чем системы нормального типа. С ■ этой целью в (7) представляется интегралом типа Коити с дейстг .итг льно.'*! векторной плотностью ^ (i) £ Qf' (Lj

f(i) = $ -г— ¿-ь +cC

\ l 2,,, J t-г (1(l)

После ряда преобразований оказывается, что для полненной таким

путем системы интегродифференциальных уравнений выполняется v

условие К-2. или ослабленное условие нормальности: и

U S* (Ь0) ф 0, гдл^ = 5 з Vio€ L <m

Откуда следует, что индекс 2Z этой системы, удовлетворяющей условие (II), равен

эе. = 2р£ -^[ci^cU SpKC-to]L-0 (i;!)

То есть , задача (6), (8) - фредгольмова.

В § 5 показана единственность решения исходной задачи в классе периодических функций (2).

Во второй главе рассматривается приближенное решение задачи (б), (8), которое заверяается программой для БЭСМ - 6 и получением численных результатов. В §1 излагается обцля схема построение приближенного решения линейной граничной задачи длч конечной односвязной области "] , ограниченной гладкой в смысле Ляпунева

кривой : найти регулярное в решение системы

с граничным условием

(1<

где - оператор вида - матрицы, элементы которых •

целые функции действительных переменных в Т , Существо-

вание и единственность решения этой задачи исследовались Н.Н. В куа. Существенным при этом было выполнение условия типа (9). Однако, однозначная разрешимость здесь может иметь место при соблюдении условий более широких, чем (9), но и других функциональных пространствах. Это обстоятельство использовано при пост роении приближенного решения на основе работ М-Б. Гагуа. Обоэна чив через )(^ множество элементов

¥ = X и = V,

а через У множество

(1

2п

и, = и

« I =Л '

• п

где (I^ С-1 - произвольные действительные постоянные, -

частные решения системы 16), приближенным решениям задачи (б), (8) считаем решения уравнения

0 ■

1=0

где - наилучшее приближение ^¡-го порядка заданной гранично! вектор-функции в классе ^ • В итоге показывается, что нс'яяги'г:тнне коэффициенты практически мп^т наводить ия ож'темп

2Ы , , .

2Ы 11=0

и [_

где О)-1/ "]«>) - произвольная полная в' У ортонормирз-

ванная по метрике 1-2. система функций, У ~ совокупность образов КН7 > линейное многообразно функций, определенных и непрерывных на 1_ в смысле Гельдера.

В §2 определяется класс контуров |_ и соответствуют* тгм частных решений Ц7^ . В качестве таких контуров 1_ выбраны лемнискаты, которыми можно равномерно аппроксимировать произвольную аналитическую крипу в Жордана на плоскости. Система чяст-ных реиекий (6) получается на основе представления

= о(Л0 (¿м)+й, ущ^ь) ]

((О)

и того, что любую аналитическую в области функцию могно равномерно аппроксимировать на произвольном замкнутом подмножестве это!! области конечнгега лииейными комбинациями целпх степеней:

0.1.2,... (19)

) _>

В качестве таких комбинаций выбраны полиномы £абера, так пап они могут быть заддны явно для областей, орранпченинх опрутнпсты эллипсом или лемнискатой. Например, для четырехфокусной лемтптс-катн ( квазиквадрата) полинетм Фаберя имеют вид

. , ' СО)

ф ■ '

К" о

сЬ - посточннн". > Кп

Произвольная аналитическая в I и непрерывная на "Г функция Ф(й) представляется рядом по многочленам Фабера оо

Ф(*) = I

ш>

в котором функции Ф,^ ) определяются только областью X • а коэффициенты Д ^ - только функцией

Системе (20) интегральное представление H.H. Векуа (18) соноставл) ег однозначно полнул систему линейно независимых частных решений (б):

+„ - ¿о I. (? 1*0 ,

о (22)

- Зт \ Фп (ь) 10 Щ^) ] .

о

Для контуров, указанных выше, интегралы в (22) берутся в замкнутой виде, что, в конечном счете, и позволило в этих случаях довести решение до числа.

Далее в качестве простейшего примера некругового контура рассматривается эллипс с фокусами Х-± 1 и полуосями

(23)

и для него строится система (22) частных решений Ч^ . После подстановки их в (18) и перехода к полярным координатам в §3 находятся неизвестные коэффициенты приближенного решения

^(^ДД).

- [Ч -

Где, например, р 1 ,

- íL ^

»1=0 к-о

(2 Г))

1 И = ° ,

V,

о

•IR

V = И ~2к + i j - определяете ко:зф

фнциенты, _</ д

^ - Ir

Далее были найдены функции lt¡ V¡ W . Например,

U. ^ - Хр oí 1 (¿р) +

А/ М

" V a ^ iA_b>(V-j¡\ I

-v

+ 11 fJ^MM&L^

11=о К=о

-pjí^oA^ ^ -р&„з Avj >

А ^ = Ь* о (k ^ j>) - у di (v И) G I ^ (a.

?

bj - ¿ и ОЫИ -Ui (¿f) - jr SÍ1I С" У O I ^ (.¿д).

А зато« по формулам (2) смещения в эллиптическом иялиндре при носннусоидяльном загруяенни его боковой поверхности. Сравнение эпюр полученных таким образом смешений с anaлогичными йиюрамл А.И. Лурье для кругового цилиндра егицгтельстпуст, что нчМлП! нос радпррдрлрми* см«чче-тИ качеотм-ичо pepwi. Ki> м т"Г", tv-

шение А.И. Лурье получается как частный случай из рассмотренного для эллиптического цилиндра,

В 3-ей главе изложенный подход используется для оценки напряженного состояния в головке рельса при смещении бандажа колеса от вертикальной оси рельса. Головка рельса заменяется бесконечным цилиндром с направляющей четырехфокусной лемнискатой, ап проксиыирующей контур головки. Возможно это в силу того, что размеры подошвы, стенки и даже увеличение высоты головки рельса, как показывают экспериментальные исследования, не влияют на величину контактных напряжений. Уравнение лемнискаты в полярных координатах имеет вид

%

(21

где параметр ^ находится из условия близости контура !_ к очертанию головки. Нормальная нагрузка вдоль контура задается

так:

, 0 < 9 <

Ш = <

о

»/к ^ е 6 ~

(2!

<|/(б)-р . т < о ^ 3г/2

О > <е 4 2г,

Вдоль образующей принимается косинусоидальный закон изменения местной и реактивной нагрузки:

РГ

ь

о5

О

6» ' 11|

О,

(2

£ >«-

Как видно из (28) распределение реактивных напряжений в нижней части головки предполагается линейным, так как в силу принципа Сен-ВеНана напряжения вблизи выкружки слабо зависят от их распределения в нижней части головки и тем более от того, как они меняются в стенке и подошве рельса. В §3 искомые напряжения пр«дс

тавлены интегралами Фурье. Например, 00

[ [(^/О11* + * (V^)]^^^'; (30) о

где Л | Iй ~ постоянные Ламе, а индекс обозначает производную по соответствующей переменной. Выражения для W-, V, W находятся подобно изложенному во второй главе. Компоненты тензора напряжений вычислялись в точках на линии равнодействующей местной-нагрузки. В этом же пункте приводится краткое описание программы счета и некоторые его результаты. Распечатка силой F0RTRAV-программы для EC-jCXH дана в приложении 5. Характер изменения главны:; напряжений на линии равнодействующей соответствует экспериментальным исследованиям профессора ИЛ. Смирнова в НИИ мостов ( Санкт-Петербург) и отличается от известных результатов U.M. Беляева, которые били получены на основе .решения Буссннеснн.

В настоящее время проектирование и расчет подземных транспорт пых и горнодобывающих сооружений основан большей частью на известных решениях плоской задачи теории упругости. Однако в реал! них условиях давление массива пород но многих случаях считать постоянным вдоль выработки целься. И ото обстоятельство может существенно влиять на напряженное состоянии чпечта вбчнзи нее. В связи с. зтим в 4-ой главе рассмотрены внгмшие п°дпчч дпя упреем среды с цркруговой цилиндрической нолостш, [■"• mr с гь ¡ичиугч К'чтср )1 »г,!--ж> ко|'^.>гм"'> «г 'браяить in 6( cK<*i»»niivo ПЧО-И.ч Т>" ttnv'">MM сл н''р-.:Ч'!"М , || an, fi. ; if4:»li"V I ?« v,-> >г.н..,р п 'i J-

{ункцнй комплексной переменной, хотя подход к решению отличаете от изложенного выше и берет свое начало в работах китайских авторов "Тал^Лс-П/'ц^бип Оъ'гн^-Ркил, , которые исследовали случай круговой полости. При этом, если нагрузка на бесконечности меняется линейно бдоль оси полости, решение получается в замкнутом виде для. любых контуров. В §1 рассмотрен изгиб упруго пространства с цилиндрической полостью эллиптического сечения относительно вертикальной оси ^ . Определены напряжения вблизи полости. С.Г. Лехиицким рассматривалась похожая по поста новке задача, но исследовался изгиб> относительно продольной оси полости - Е , поэтому задача была не пространствогной, я плоской, в силу чего решение, естественно, упрощалось. Искомое поле напряжений в этом пункте находится решением системы интегральных уравнений Вальтерра методом последовательных приближений, причем в качестве нулевого приближения для неизвестных

функций <Р и ^ берутся их выражения для соответствующей плоской деформации, умноженное на 2- . В результате находятся

и не зависящие от Ъ напряжения ТХ£ и Ту^ , которых при плоской деформации нет. В полярных координатах ^ & выражения для них имеют вид ■

>

Отсюда, при Ь1-С,Р\-1 получается решение аналогичной задачи нт! круговой пэлопти единичного радиуса указанных выше авторов,

В следующем параграфе тем же методом исследуется случай, полости с контуром I , внешность которого конформно отображается на внешность круга с помощью аналитической функции

представляющей 2 первых члена разложения в ряд формулы Кристоффе-ля-Шварца.

При нагружениях пространства с некруговой цилиндрической полостью на бесконечности силами, зависящими от '£ нелинейно, процесс последовательных приближений для названной Еыше системы интегральных уравнений не обрывается на второй итерации, как для уже отмеченных случаев, приводит к громоздким выкладкам и не является удобным. В связи с этим в §3 рассматривается применение полиномов Фабера-Лорана для внешних задач. При нелинейно зависящих от 2- нагружениях на бесконечности пространства с цилиндрической полостью определение смещений и напряжений вблизи нее возможно, в силу принципа суперпозиции, если известны смещения и напряжения от действия на поверхность полости соответствующих компенсирующих усилий. Для этого может быть использован тот же путь, что и во второй глаЕе. Существенным при этом является построение произвольной аналитической функции для внешности контура 1_ . Многочлены Фабера-Лорана играют здесь ту же роль, что и полиномы Фабера ранее. Аналитическая в области .2. , внесшей к и , непрерывная в замкнутой области С и равная нулю на бесконечности (функция ( что соответствует рассматриваемому эагруже'лш пространств) прядете ■»лги1 г ей рядом по многочленам Фаберя-Лорпна.

^к.^(Л),

,1-1

I 1 -

где ь,, - коэффициенты разложения, обладающие отмеченными ранее свойствами. Далее показано, что для рассматриваемой задачи рад (33) сходится равномерно Уг ё О, и для ее приближенного решения надо взять I] , при которого погрешность удовлетворения граничных условий будет достаточно малой. В качестве примера в этоы пункте построены полиномы для контура !— с вершинами на комплексной плоскости в точках -2 = А, I , - <} —ь .

В приложениях приведены программы: вычисления смещений в эллиптическом цилиндре; счета модифицированных функций Б^сселя разложением по полиномам П.Л. Чебыаева; контрольного счета на ЭВМ "Искра-226" значений интегралов, вычислявшихся на БЭСМ-6 для первой програкш; вычисления главных напряжений в. лемнискатнс цилиндре под местной нагрузкой для оценки напряженного состояния в головке рельса при смещении бандана колеса. Здесь ке помещены материалы по внедрению.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

Основным итогом диссертационно" работы является создание нового метода определения полей смещений и напряжений в пространственных задачах теории упругости для широкого класса цилиндрических областей с произвольной гладкой границей, вслед за плоской и осесимметрнчноН задачами, эффективно использующего теорию функций комплексного переданного. Углубление, развитие этого метода и расширение числа исследуемых задач и рассматриваемых цилиндрических областей представляются одним из перспективны направлений в развитии пространственно!! теории упругости.

В качестве примеров применения указанного подхода получено

решение классической задачи о деформации бесконечного эллиптического цилиндра при нормальном косинусоидальном загрукении его боковой погерхноегти; полечена оценка напряженного состояния в

- 18 -

зоне боковой грани головки рельса, что расчет по теории Герца-Беляева сделать не позволяет.

Другой способ использования функций комплексной переменной позволил получить в замкнутой форме выражения для напряжений в трехмерной задаче для массива с некруговой полостью при линейн.м загружении на бесконечности.

Предлагаемый в работе подход к решению пространственных задач для цилиндрических тел может быть использован и в других разделах математической физики ( электростатика, магнитостатика и т. п.) ,в которых исследуются линейные граничные задачи для эллиптических систем дифференциальных уравнений.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бялик д.Я. Изгиб полого цилиндра// Прикладная механика , 1968. Т.1У. Йш.5. С. 130-133.

2. Бялнк Д.Я., Курленл М.В., Леонтьев A.B. Влияние предварительного распора инденторов скважшшого деформометра на их перемещения// Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. 1969. !ЯЗ. С. 107-III.

3. Бялик Д.Я., Гсмас Г. Определение перемещений стенок цилиндрической полости под местной круговой нагрузкой // Основания, фундаменты и механика грунтов. 1969. !№. С. 29-31.

4. 6y<ifi к. £ Yt. Cciiüea"bzo>teiL foice Clütion. иь а,

bcielwk.. - hui. c| tla Zn<l Coifi. of ti«, Xt^iL.

Set. |t;'i- becfbuL^lffi.

b. Бялик Д.Я., Чулишш Г.К. О расчете электрических и магна'.н! полей в цилиндрических областях по принципу нчлол^ыч//та. СОЛИ ССОР. С..р. т «-»и. мауЛ. Т97">, Пип.Я. ММ ПС.

б.Дялик Д.Я., Чулшшн Г.К. Упругое равновесие эллиптическое цилиндра. М.,1979. 14 с. - Доп. ВИНИТИ. № 3272 - 79 Деп.

7. Вялик Д.Я, Линейное загрукение упругого пространства с цилиндрической полостью эллиптического сечения. М., 1979. 10 Деп. ВИНИТИ. № 3527 - 79 Деп.

0. Бялик Д.Я. 0 деформации цилиндрических тел при косинус дальном нагрукении вдоль продольной оси. М., 1980. 20 с. - Д ВИНИТИ. № 4921 - ВО Деп.

9. Бялик Д.Я. Изгиб упругого пространства с цилиндрическс полостью эллиптического сечения// Механика стержневых систем и сплошных сред. Л., 1981. Вып.4. С. 41-47 ( Межвуэ.сб.назто ЛИСИ).

10. Упругое равновесие лемнискатного цилиндра при косинус дальном нагрукении вдоль продольной оси. М., 1981. 19 с. - } ВИНИТИ. № 4596 - 81 Деп.

11. Бялик Д.Я. 0 единственности решения одной периодичес! задачи теории упругости в цилиндрических областях// 1'еханик! формируемого тела в расчет транспортных сооружений. Новосиб] 1982. С. 49-51 ( Межвуэ.сб.научи, тр.; ШШТ).

12. Бялик Д.Я. Линейное загружение упругого пространства цилиндрической полостью квадратного сечения// Тезисы докл. 2 Всесоюзн.конф. по теор. упругости. Тбилиси, 1984. С. 45-46.

13. Бялик Д.Я. К задаче об упругом равновесии лемнискати цилиндра// Численше методы решения задач герии упругости пластичности: Матер.УШ Всесоюзн.конф. .Ужгород, 1904. С.70-';

14. Бялик Д.П. Некоторые пространственные неосесимметри! задачи упругости для цилиндрических областей с некруговой границ?. й- р-гхс., с^ 'ЩЪк Мх±, Сеи^-г. с^

ThiCL. Ciini appt. tlhel, Wf, Игиыь. V.2, Р.И-2Г,

15. Бялик Д.Я. О разрешимости одной периодической задачи статической теории упругости в цилиндрических областях//

Дифференциальные уравнения. 1986. T.XXFI. )> 8. С. 1393-1399.

16. Бялик Д.Я. К расчету железнодорожных тоннелей на основе ¡транстветшх моделей// Напряжения и деформации в железнодорожных конструкциях .Новосибирск, 1983, С. 32-34( Медвуз.сб.научи.тр.; НИШКТ).

1?. Бллик Д.Я. Программа вычисления смещений при косннусоидаль■ ном закружении эллиптического цилиндра постоянной вдоль контура нормальной нагрузкой// Сб.описаний алгоритмов и программ для ЗЗМ/ HifiM. Новосибирск , 1988. Вып. 2, С. 36.

18. Решение задачи определения напряжений в головке рельса при различных уровнях нагрузки: Отчет ОНИР/HlICKT; Руководитель темы Бялик Д.Я.ГР 01900006084. 4.1. Инв. 02900009I9I. 30 е.; Ч. П. Инв. !> 029000034100. 20 с. Новосибирск, 1989.

19. Бялик Д.Я. D разрешимости периодической задачи для системы Ламе в цилиндрических областях.- ■

J/гt. Con(¿1, cj Jlecl, atui typt. mt«ti,> fol/ui. 1989. V.2. P. 31-34.

20. Бялик Д.Я. К оценке контактных напрянений в головке рельса при смещении бандаиа// Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте: Тез.докл. Ленинград, 1990. С.67.

21. Бялик Д.Я. 0 напряженном состоянии в головке рельса при смещении бандам// Строительная механика иелеянодороашх конструкций. Новосибирск, 1990. с. 22-26 ( I!?vpyn.'?d.нлучн.тр.;

шиш.

- яг -

¡¿2. Бялик Д.Я. Программа оценки напряженного состояния головке рельса при смещении бандажа от его вертикальной о Сб.описаний алгоритмов и программ для ЭВМ/НИЖГ. Новосиби 1991. Вып. 4. С, 16.

23. ВуаА'к .Р: Уа. То Иш РюОеМ Ср ¿1&&1С Ц/иШ&ииъ о^ %ссиел угШь

МокишЛ&ь СоьЬьъь (Ы'Л Л* йррЬиЬ'ои.з,-дтСсршМ «ь Мг*/ьа>ин , V. К. ■ Ры>, о1 ¿2ы1 ШИ^-иь Шик, /Я/., т^сип, МЛ., т. Р.Ш-Ш,

Попд.к печ.2.04.92.Формат 60x84/16.Объем 1.5 п.л.Тирак К Ьаказ 141. Новосибирск. Ротапринт НИСКГ.